Uma Proposta de Resolução do Problema de Corte Bidimensional via Abordagem Metaheurística

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional Uma Proposta de Resolução do Problema de Corte Bidimensional via Abordagem Metaheurística Dissertação de Mestrado, submetida ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno: Elias Carlos Correa Temponi Engenheiro de Produção Civil (CEFET/MG) Orientador: Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza (CEFET/MG) Co-orientador: Prof. Dr. Flávio Antônio dos Santos (CEFET/MG) Belo Horizonte, dezembro de 2007.

2 T288p TEMPONI, Elias Carlos Correa 2007 Uma proposta de resolução do problema de corte bidimensional via abordagem metaheurística. Belo Horizonte: CEFET-MG, p. Dissertação (Mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CEFET/MG. 1. Programação Linear. 2. Otimização combinatória. 3. MetaHeurística. 4. Pesquisa Operacional. I. Título. CDD:

3 Agradecimentos Agradeço a todas as pessoas que direta e indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. Aos meus pais, Elias Carlos Correa e Zariff Marçal de Oliveira em gratidão pelo incentivo, compreensão e apoio na conquista de novos horizontes. Aos meus irmão pelo apoio em todos os momentos. Ao meu orientador, Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza, pelas sábias palavras de estímulo que contribuíram na minha formação acadêmica, profissional e pessoal. Ao meu Co-orientador, Prof. Dr. Flávio Antônio dos Santos, pela confiança em mim depositada desde o inicio da Graduação até minha conclusão do mestrado. Um agradecimento especial ao meu Tema de Pesquisa e ao Método da Descida, que possibilitaram uma pessoa especial tornar-se minha namorada. À minha namorada, Mariana, pelo apoio direto e sacrifícios, paciência e compreensão que foram fundamentais na conclusão da minha dissertação, principalmente, na reta final. Aos professores e colegas do Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, do CEFET-MG, pelas críticas e sugestões durante o curso e durante prática dos nossos seminários. À CAPES, pelo apoio financeiro individual recebido. A todos vocês, meus sinceros agradecimentos. ii

4 Resumo Este trabalho apresenta um estudo sobre os Problemas de Corte e Empacotamento, uma classe de problemas de otimização combinatória cujo objetivo consiste na combinação de unidades menores (itens) dentro de unidades maiores (objetos). Mais especificamente, foram tratados dois tipos de problemas: o Open Dimensional Problem e o Cutting Stock Problem. Ambos problemas foram tratados, tanto na forma guilhotinada de 2 estágios, quanto na forma não-guilhotinada, não sendo considerado como válido o movimento de rotação dos itens. Por se tratar de problemas natureza NP-Difícil, o que significa que não existe um algoritmo exato eficiente que o solucione em tempo polinomial, é proposta, para sua resolução, três metaheurísticas: Iterated Local Search (ILS), Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) e uma metaheurística híbrida, que utiliza a metaheurística GRASP como geradora da solução inicial da metaheurística ILS. A metodologia proposta foi avaliada utilizando as instâncias de pequeno e grande porte formuladas por Hopper e Turton (2001a). O desempenho das metaheurísticas propostas, para o caso guilhotinado, foi comparado com resultados obtidos com a resolução do modelo matemático proposto por Lodi et al. (2004). No caso não-guilhotinado, as metaheurísticas foram comparadas entre si e com valores de referência das instâncias de Hopper e Turton (2001a). Analisando os resultados obtidos pudemos constatar que a metodologia proposta apresentou um bom desempenho, em termos de tempo e qualidade das soluções encontradas. Evidências empíricas mostram que esse procedimento pode ser apropriado para solucionar instâncias associadas a situações reais. Palavras-Chave: Problema de Corte Bidimensional; Metaheurística;Iterated Local Search (ILS); GRASP. iii

5 Abstract This work deals with the Cutting and Packing Problems, a class of Combinatorial Optimization Problems whose aims the combination of lesser units on bigger units. More specifically, two types of problems has been treated: the Open Dimensional Problem and the Cutting Stock Problem. Both problems was treated considering guillotine and no-guillotine cuts. Movement of rotation of itens was not considered as valid. Due of the NP-Hard nature of the problems, it is proposed for their resolution, three metaheurísticas: Iterated Local Search (ILS), Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) and a hybrid metaheuristic, that uses metaheuristic GRASP to generate the initial solution for the metaheuristic ILS. The methodology proposal was evaluated using the instances formulated by Hopper and Turton (2001a). Performance of the proposed metaheuristic for the guillotine case was compared with results gotten with the resolution of the mathematical model proposed by Lodi et al. (2004). In the no-guillotine case, the metaheuristics were compared between themselves and with values of reference of the instance of Hopper and Turton (2001a). Analyzing the gotten results we could evidence that the proposed methodology presented a good performance in terms of time and quality of solutions. Such empirical evidences show that this procedure can be appropriate to solve instances associates with real situations. Keywords: Bidimensional Cutting stock Problem; Metaheuristic; ILS; GRASP. iv

6 Sumário 1 Introdução Considerações iniciais Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Justificativas Organização do Trabalho Problema de Corte e Empacotamento Introdução Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento Problemas de Corte Bidimensional Open Dimensional Problem Formulação Matemática do Open Dimensional Problem - Caso Guilhotinado Cutting Stock Problem Formulação Matemática do Cutting Stock Problem - Caso Guilhotinado Uma Revisão de Métodos de Resolução de Problemas de Otimização Combinatória Problema de Otimização Combinatória Heurísticas Construtivas Heurísticas de Refinamento Método de Descida Método de Descida Randômico Metaheurísticas Iterated Local Search (ILS) Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) Metaheurísticas híbridas Metodologia para a solução do Problema de Corte Modelagem Computacional Técnica de Encaixe para Problemas de Corte Aspectos Gerais das Metodologias para Solução Propostas Função de Avaliação Estruturas de Vizinhança v

7 4.3.3 Heurística Construtiva Heurística de Refinamento Aplicação de metaheurísticas para a solução do Problema de Corte Aplicação da metaheurística ILS ao Problema de Corte Aplicação da metaheurística GRASP ao Problema de Corte Híbrida GRASP-ILS Resultados Computacionais Descrição dos Problemas-teste Descrição da rotina de testes Resultados computacionais: Open Dimensional Problem Resultados: ODP Caso Guilhotinado Resultados: ODP Caso Não-Guilhotinado Resultados Computacionais: Cutting Stock Problem Resultados: CSP Caso Guilhotinado Resultados: CSP Caso Não-Guilhotinado Conclusões Gerais e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Trabalhos Futuros Referências 69 vi

8 Lista de Tabelas 2.1 Exemplos de aplicações dos Problemas de Corte e Empacotamento Resumo Características das Metodologias Testadas Siglas adotadas Resultado do ODP-G através do uso de Método Exato Resultado do ODP-G através do GRASP Resultado do ODP-G através do ILS Resultado do ODP-G através do ILS-GRASP Comparação dos resultados obtidos pela aplicação de metaheurísticas GRASP, ILS e GRASP-ILS para o problema ODP-G Comprimento Ótimo dos Problemas-teste Resultado do ODP-NG através do GRASP Resultado do ODP-NG através do ILS Resultado do ODP-NG através do ILS-GRASP Comparação dos resultados para o problema ODP-NG Resultado do CSP-G através do Método Exato Resultado do CSP-G através do GRASP Resultado do CSP-G através do ILS Resultado do CSP-G através do ILS-GRASP Comparação dos resultados para o problema ODP-G Número mínimo de objetos para CSP-NG Resultado do CSP-NG através do GRASP Resultado do CSP-NG através do ILS Resultado do CSP-NG através do ILS-GRASP Comparação dos resultados para o problema CSP-NG vii

9 Lista de Figuras 2.1 Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento Wäscher et al. (2006) Estrutura Intermediária dos PCE - Minimização da Entrada Exemplo do corte guilhotinado de 3 estágios Exemplo do corte não-guilhotinado Open Dimensional Problem Exemplo do Open Dimensional Problem Exemplo do modelo matemático do Open Dimensional Problem Cutting Stock Problem Exemplo do modelo matemático do Cutting Stock Problem Pseudo-código da Heurística Construtiva (Souza 2007) Pseudocódigo do método de descida (Souza 2007) Exemplo do comportamento do Método da Descida Pseudo-código do Método de Descida Randômico (Souza 2007) Pseudo-código do Método ILS Exemplo do Comportamento da Metaheurística ILS Pseudo-código do Método GRASP Exemplo do Comportamento da Metaheurística GRASP Estrutura de dados ITEM Estrutura de dados OBJETO Estrutura de dados SOLUÇÃO Representação da Solução para o CSP Representação da Solução para o ODP Seqüencia de itens utilizada nos exemplos Pseudo-código da heurística Next-Fit Exemplo da Heurística de encaixe Next-Fit Pseudo-código da heurística First-Fit Exemplo da Heurística de encaixe First-Fit Pseudo-código da heurística Best-Fit Exemplo da Heurística Best-Fit Exemplo da Heurística de encaixe Bottom-Left Exemplo da Primeira Estrutura de Vizinhança do ODP Exemplo da Segunda Estrutura de Vizinhança do ODP Exemplo da Primeira Estrutura de Vizinhança do CSP Exemplo da Segunda Estrutura de Vizinhança do CSP Exemplo da Terceira Estrutura de Vizinhança do CSP viii

10 4.19 Pseudo-código do procedimento de construção aleatória para o ODP Pseudo-código do procedimento de construção aleatória para o CSP Pseudo-código do Método ILS Pseudo-código do Método GRASP Pseudo-código do Método GRASP-ILS Características dos problemas-teste de Hopper e Turton (2001a) Exemplo da solução ótima para a instância C5P1 (Hopper e Turton, 2001a) ix

11 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações iniciais Atualmente, no mundo corporativo tão competitivo, as indústrias enfrentam uma árdua tarefa ligada às tomadas de decisões que são vitais à sobrevivência de seus produtos no mercado. Muitas decisões estão relacionadas às atividades de produção e logística de seus bens e pequenas reduções no custo dessas operações implicam em uma economia de recursos financeiros que favorece a competitividade da indústria no mercado. Vários tipos de problemas surgem quando se trata de otimizar processos produtivos. Dentre eles, destacam-se os problemas de transporte de produtos e os problemas de seqüenciamento de máquinas em linhas de produção e, em especial, nos interesses deste trabalho, os problemas de corte e empacotamento. Os problemas de empacotamento, em geral, são aqueles que requerem que peças menores sejam empacotados em peças maiores. Em algumas aplicações, em vez de empacotar, o objetivo é cortar peças maiores para a obtenção de produtos menores. Estas operações de corte ou de empacotamento são freqüentes em diversas indústrias como as de madeira, tecido, vidro, aço, espuma e as de construção civil. O Problema do Corte (PC) foi introduzido na literatura por Gilmore e Gomory (1961). O PC consiste basicamente em determinar a melhor maneira de cortar peças maiores (objetos) para a obtenção de peças menores (itens), respeitando-se determinadas restrições e minimizando-se as perdas ou maximizando-se a utilização do objeto. Devido a sua importância econômica, os Problemas de Corte tornaram-se um tema relevante para a Pesquisa Operacional. Trata-se de problemas que apresentam facilidades para serem representados através de modelos matemáticos, mas que, devido à sua complexidade, são difíceis de serem solucionados. Tal dificuldade se deve ao fato deste ser um problema de otimização combinatória, no qual o objetivo é minimizar uma função de várias variáveis sujeitas a um conjunto de restrições e, embora o problema tenha um domínio finito de soluções viáveis, a simples enumeração das soluções pode tomar dimensões muito grandes, desmotivando o uso desta técnica enumerativa devido ao tempo computacional. O Problema de Corte é classificado como NP-Difícil, o que significa que ainda não existe um algoritmo exato que o solucione em tempo polinomial. Uma alternativa para solucionar esses problemas é a utilização de métodos heurísticos, que, se de 1

12 1.4 Objetivos 2 um lado não garantem a obtenção da solução ótima do problema, de outro pode dela se aproximar, garantindo soluções sub-ótimas com baixo esforço computacional, quando comparado à utilização de métodos exatos. Neste trabalho são propostas, para resolução do problema de corte bidimensional, três abordagens via metaheurísticas: Iterated Local Search(ILS), Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) e uma metaheurística híbrida que utiliza GRASP como gerador da solução inicial e, posteriormente, ILS para o refinamento desta solução. 1.2 Objetivos Objetivo Geral Este trabalho tem, como objetivo geral, o estudo e a aplicação de metaheurísticas para solucionar o Problema de Corte Bidimensional Objetivos Específicos desenvolver algoritmos heurísticos, bem como suas combinações, e testá-los utilizando instâncias da literatura; analisar os resultados obtidos pelos diferentes métodos, verificando a eficiência de cada um deles com relação à qualidade da solução final produzida, bem como o tempo gasto na sua obtenção. 1.3 Justificativas A otimização do processo de corte de materiais tem sido objeto de estudo desde os trabalhos iniciais de Gilmore e Gomory (1961). Do ponto de vista econômico, trata-se de um problema extremamente importante devido as várias aplicações em diversos setores industriais. Do ponto de vista da ciência, trata-se de um problema bastante interessante devido sua complexidade computacional. Como se trata de um problema NP-difícil, o uso dos métodos exatos torna-se bastante restrito, devido ao tempo computacional. Neste sentido, as heurísticas e metaheurísticas têm recebido uma atenção especial dos pesquisadores, pois sacrificam a garantia da solução ótima para buscar boas soluções em um tempo computacional significativamente reduzido. 1.4 Organização do Trabalho O presente trabalho está organizado em 6 Capítulos, que refletem genericamente as fases do trabalho desenvolvido para o tema que dá título a esta dissertação. O Capítulo 2 inicia este trabalho, fazendo uma introdução sobre a classe de Problemas de Corte e Empacotamento. Em seguida, é feito um estudo sobre Problemas

13 1.4 Organização do Trabalho 3 de Corte Bidimensional. Posteriormente, são apresentados dois tipos de Problemas de Corte, que serão objetos de estudos deste trabalho. No Capítulo 3 é feita uma breve introdução sobre problemas de otimização combinatória, bem como dos métodos utilizados pra resolvê-los. O foco deste Capítulo está na apresentação de alguns procedimentos heurísticos e metaheurísticos que serão utilizados na resolução dos problemas propostos no Capítulo 2. No Capítulo 4 apresenta-se a metodologia utilizada para resolver os problemas propostos no Capítulo 2. Inicialmente, é mostrada a modelagem computacional utilizada para representar a solução do problema. Em seguida, é apresentada a aplicação de procedimentos heurísticos e metaheurísticos na solução dos problemas objeto de interesse. Os resultados computacionais são apresentados no Capítulo 5. Neste Capítulo a metodologia apresentada no Capítulo 4 é aplicada à várias instâncias da literatura e os resultados das metaheurísticas são comparados com a solução exata e entre si. Finalmente, no Capítulo 6 é feita uma conclusão geral do trabalho, bem como é apresentada algumas sugestões para trabalhos futuros.

14 Capítulo 2 Problema de Corte e Empacotamento Este Capítulo faz uma revisão sobre os Problemas de Corte e Empacotamento, bem como, é apresentado os problemas objeto de estudo. Na Seção 2.1 é feita uma breve introdução sobre a classe de Problemas de Corte e Empacotamento (PCE). Na seção 2.2 são apresentadas duas tipologias utilizadas, pela literatura, para classificar os PCE. Na Seção 2.3 é feito uma revisão sobre os problemas de Corte Bidimensionais e, nas subseções 2.4 e 2.5 são definidos os dois problemas tratados neste trabalho. 2.1 Introdução Problema de Corte e Empacotamento (PCE) é o nome geral dado a uma classe de problemas de otimização combinatória que consiste na combinação de unidades menores (itens) dentro de unidades maiores (objetos). Os Problemas de Corte e Empacotamento, tomados separadamente, possuem uma estrutura lógica idêntica e podem ser descritos de forma similar. Ambos possuem dois conjuntos de entradas: um conjunto de objetos maiores, chamados de objetos; um conjunto de objetos menores, chamados de itens. No caso dos Problemas de Empacotamento (PE), o objetivo geral consiste em empacotar os itens dentro dos objetos. No caso dos Problemas de Corte (PC), o objetivo geral consiste em determinar uma forma para cortar os objetos, produzindo itens. Os objetos e os itens podem ser definidos em uma, duas ou três dimensões. Os itens são selecionados e agrupados em conjuntos que são atribuídos aos objetos de modo que: todos os itens de um conjunto devem caber inteiramente no objeto ao qual foram atribuídos; os itens devem ser colocados nos objetos sem sobreposição. Devido a sua natureza genérica, os PCE são utilizados para modelar diversas situações reais, geralmente relativas às áreas industriais. Alguns exemplos de aplicações dos problemas de corte e empacotamento são vistos na Tabela

15 2.2 Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento 5 Tabela 2.1: Exemplos de aplicações dos Problemas de Corte e Empacotamento. Problemas Objetos Itens Dimensão Alocação de comerciais tempo de cada tempo de cada 1D em TV intervalo propaganda Alocação de arquivos em tamanho das mídiaquivos tamanho dos ar- 1D mídia Empacotamento de galpões caixas 3D caixas em galpões Empacotamento de carga contêineres cargas 3D em contêineres Corte de bobinas (papel, bobinas peças menores 2D aço, tecido,...) Corte de vigas (madeira, vigas peças menores 1D aço,...) Corte de placas (vidro, placas peças menores 2D aço, madeira, granito,...) Corte de espumas para espumas / isopor peças menores 3D colchões ou isopor Nos últimos 40 anos, devido à grande variedade de aplicações reais, os Problemas de Corte e Empacotamento têm sido objeto de estudo por diversos pesquisadores. Embora apresentem uma estrutura básica comum, apresentam diversas variações, geralmente associadas às restrições relativas às situações reais. No intuito de facilitar a classificação das variações dos Problemas de Corte e Empacotamento, Dyckhoff (1990) e Wäscher et al. (2006) propuseram uma tipologia que é apresentada na Seção Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento Segundo Wäscher et al. (2006), os Problemas de Corte e Empacotamento podem ser divididos em cinco subproblemas, que possuem diferentes objetivos: Problema de seleção de objetos: quando determinados objetos possuem características diferentes, como dimensões, custo, material; Problema de seleção de itens: quando determinados itens possuem utilidades diferentes, tendo prioridade em relação aos outros; Problema de agrupamento de itens: quando um determinado conjunto de itens não pode ficar junto com outro, como, por exemplo, produtos químicos e produtos alimentícios; Problema de alocação de itens em objetos: quando determinados itens podem ser alocados somente em determinados objetos;

16 2.2 Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento 6 Problema de layout: quando os itens devem ser dispostos nos objetos, respeitando-se as condições geométricas. Dyckhoff (1990) introduziu uma tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento, na qual propõe quatro critérios para classificar esta classe de problemas: 1. Dimensionalidade: (1) uma dimensão; (2) duas dimensões; (3) três dimensões; (N) n dimensões. 2. Tipo de Atribuição: (B) todos os objetos são utilizados para alocar uma parte dos itens; (V) todos os itens são alocados utilizando-se apenas uma parte dos objetos. 3. Tipo de Objetos: (O) um único objeto; (I) objetos idênticos; (D) objetos diferentes. 4. Tipo de Itens: (F) poucos itens de formas diferentes; (M) muitos itens muito heterogêneos; (R) muitos itens pouco heterogêneos; (C) itens iguais. Cada tipo de problema de corte é definido como sendo uma quádrupla α/β/γ/δ, na qual α é a dimensionalidade; β é o tipo de alocação; γ é o tipo de objeto; e δ é o tipo de item. Por exemplo, um problema de corte cujo objetivo seja determinar a melhor maneira de cortar barras idênticas de 12 metros de comprimento para produzir d i barras menores de 3, 5 e 7 metros, é classificado, segundo Dyckhoff (1990), pela quádrupla 1/V/I/F. Essa classificação, no entanto, apresenta limitações, como a impossibilidade de diferenciar problemas de uma mesma classe que possuem características diferentes. Isso ocorre, por exemplo, em problemas clássicos, como o problema de alocação de memória, o problema Bin Packing clássico, o problema da linha de montagem e o problema de alocação de tarefas em multiprocessadores, que, apesar de apresentarem características diferentes, seriam classificados como 1/V/I/M. A tipologia proposta por Dyckhoff, inicialmente considerada um bom instrumento de organização e classificação dos problemas na literatura, tornou-se deficiente para classificar as novas variações do PCE, fato que foi agravado pelo crescente número de publicações nas últimas décadas, o que motivou a pesquisa de uma nova tipologia para estes problemas.

17 2.2 Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento 7 Em 2006, Wäscher et al. (2006) propõem uma nova tipologia, baseada nas idéias de Dyckhoff. Esta nova tipologia consta de cinco critérios: 1. Dimensionalidade: os problemas são divididos, segundo esse critério, em unidimensional, bidimensional e tridimensional. 2. Tipo de Atribuição: os problemas, de acordo com este critério, podem ter objetivos de: Maximizar a Saída: neste caso, todos os objetos disponíveis não são suficientes para alocar todos os itens. Assim, é necessário maximizar a utilização dos objetos (saída). Minimizar a Entrada: neste caso, os objetos disponíveis são suficientes para alocar todos os itens. Assim, é necessário alocá-los buscando minimizar um valor, que pode ser, por exemplo, o custo ou a quantidade de material desperdiçado. 3. Tipo dos Itens: idênticos; pouco heterogêneos; muito heterogêneos. 4. Tipo de Objetos: um único objeto: com todas as dimensões fixas; com uma ou mais dimensões variáveis. muitos objetos: idênticos; pouco heterogêneos; muito heterogêneos. 5. Forma dos Itens: regulares; irregulares. A estrutura da classe de Problemas de Corte e Empacotamento proposta por Wäscher et al. (2006) é feita em 3 etapas: na primeira etapa, os critérios tipo de atribuição e tipo de itens são combinados para definir a estrutura básica do PCE; na segunda etapa, o critério tipo de objetos é combinado com os problemas básicos para definir a estrutura intermediária; finalmente, na terceira etapa, são adicionados os critérios dimensionalidade e forma dos itens à estrutura dos problemas.

18 Tipo de Atribuição Objetos Tipo de Itens Idênticos Problema de Empacotamento de Itens Idênticos Maximização da Saída Todas dimensões fixas Fracamente Heterogêneos Problema de Alocação Fortemente Heterogêneos Problema da Mochila Problema de Corte e Empacotamento Dimensão(ões) variáveis Arbitrário Open Dimensional Problem Minimização da Entrada Todas dimensões fixas Fracamente Heterogêneos Problema de Corte e Estoque Fortemente Heterogêneos Problema de Empacotamento 2.2 Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento 8 Figura 2.1: Tipologia dos Problemas de Corte e Empacotamento Wäscher et al. (2006). A estrutura básica dos PCE é composta por seis subproblemas, conforme apresentado na Figura 2.1.

19 2.3 Problemas de Corte Bidimensional 9 Na Figura 2.2, é apresentada a estrutura intermediária para os problemas que possuem, como objetivo geral a minimização da entrada, que são o foco deste trabalho. Tipo de Objetos Tipo de Ítens Pouco Heterogêneo Muito Heterogêneo Idênticos Single Stock Size Cutting Stock Problem (SSSCSP) Single Bin Size Bin Stock Problem (SBSBSP) Todas Dimensões Fixas Pouco Heterogêneo Mutiple Stock Size Cutting Stock Problem (MSSCSP) Mutiple Bin Size Bin Stock Problem (MBSBSP) Muito Heterogêneo Residual Cutting Stock Problem (MSSCSP) Residual Bin Stock Problem (MBSBSP) Um único objeto com uma dimensão variavel Open Dimensional Problem ODP Figura 2.2: Estrutura Intermediária dos PCE - Minimização da Entrada Finalmente, pode-se refinar a estrutura intermediária, acrescentando os critérios dimensionalidade e forma dos itens. O resultado final da estrutura proposta por Wäscher et al. (2006) é obtida através da seguinte regra: {1,2,3}-D {retangular, circular,..., irregular} {classificação intermediária}. Por exemplo, a nomenclatura 2D retangular Open Dimensional Problem está relacionada com o problema de corte ou empacotamento, no qual o objeto e os itens são retangulares e o objeto possui uma das dimensões variáveis. Na presente dissertação, são estudados dois problemas: o Open Dimensional Problem, no qual o objeto possui largura fixa e comprimento infinito ; o Single Stock Size Cutting Stock Problem, que será simplesmente chamado de Cutting Stock Problem, no qual os objetos são idênticos e possuem dimensões fixas. Ambos os problemas serão tratados considerando-se itens retangulares. Eles serão detalhados nas seções 2.4 e 2.5, respectivamente. 2.3 Problemas de Corte Bidimensional Nos Problemas de Corte Bidimensionais, duas dimensões, como, por exemplo, largura e comprimento, são consideradas relevantes no processo de corte. Diversas indústrias têm como parte integrante de seus processos produtivos o corte de peças retangulares maiores para a obtenção de produtos intermediários ou finais, também retangulares. Esta operação geralmente implica em perda de matéria-prima, com conseqüente aumento nos custos. Esse fato pode comprometer a competitividade de diversos setores industriais.

20 2.3 Problemas de Corte Bidimensional 10 Assim, pode-se definir o PCB da seguinte maneira: considerando objetos de dimensões (H, W), é necessário cortar, a partir deles, itens de dimensões (h i, w i ), em que h i é o comprimento e w i é a largura dos itens i = 1,..., n. É importante que o processo de corte respeite um conjunto de restrições impostas, geralmente relacionadas ao tipo de indústria e aos equipamentos de corte. Dependendo do tipo de restrição que é imposta ao processo de corte, pode-se obter classificações adicionais em relação às tipologias apresentadas na Seção 2.2. A seguir, apresenta-se as restrições mais significativas para o presente trabalho. Uma importante restrição é relativa à limitação na geração dos itens, fazendo com que existam problemas de corte restritos e irrestritos. Considera-se que o corte seja restrito quando há um limite para o número máximo de vezes que um item pode ser cortado a partir do objeto. Caso não exista essa limitação, o corte é dito irrestrito. Este trabalho considera o corte irrestrito. Uma outra restrição diz respeito à maneira com que os itens são alocados dentro dos objetos. Quando os itens retangulares são alocados dentro de objetos também retangulares, de tal forma que os lados dos itens sejam paralelos ou ortogonais aos lados dos objetos, o PCB é dito ser ortogonal. No caso contrário, o PCB é considerado não-ortogonal. Neste trabalho, é considerado o caso ortogonal. Em alguns casos, o processo produtivo industrial impõe a restrição de que os itens não sofram rotações, ou seja, um determinado tipo de item deve ser alocado no objeto segundo a mesma orientação. Problemas que envolvem rotações de itens tornam-se mais complexos, já que são consideradas todas as rotações possíveis na combinação dos itens. Com o objetivo de reduzir o número de combinações possíveis, alguns autores consideram apenas rotações ortogonais (90 ). Este trabalho trata do PCB sem a rotação dos itens. Há, ainda, a restrição relacionada com a extensão do corte em determinada direção. Segundo esse critério, o PCB pode ser classificado em guilhotinado ou não-guilhotinado. No caso guilhotinado, o corte deve se estender de um lado ao outro do objeto, de modo que, a cada corte, são produzidos dois novos retângulos. O corte guilhotinado é classificado segundo o número de estágios de corte. O corte guilhotinado de um estágio é uma seqüência de cortes consecutivos na mesma direção. Na Figura 2.3, tem-se o exemplo de um corte com 3 estágios, sendo que, no primeiro estágio, é feito o corte 1; no segundo estágio, são feitos os cortes 2 e 3; e, no último estágio, são feitos os cortes 4 e Figura 2.3: Exemplo do corte guilhotinado de 3 estágios. Segundo Arenales et al. (2004), se o número permitido de estágios é limitado por

21 2.4 Open Dimensional Problem 11 k, diz-se que o padrão de corte resultante é um padrão de corte guilhotinado em k-estágios. Portanto, o padrão de corte da Figura 2.3 é classificado como um padrão 3-estágios. No corte não-guilhotinado, o corte acompanha o contorno do item, sem descaracterizar o objeto, conforme representado na Figura 2.4. Figura 2.4: Exemplo do corte não-guilhotinado. Em resumo, as restrições consideradas para o presente trabalho são as seguintes: o corte é assumido irrestrito; os itens são alocados ortogonalmente nos objetos; não são permitidas rotações dos itens; são considerados os casos de cortes não-guilhotinado e guilhotinado de 2- estágios. 2.4 Open Dimensional Problem O Open Dimensional Problem (ODP) pode ser definido da seguinte forma. Considere que se tenha, em estoque, um objeto retangular com largura fixa W e comprimento grande o suficiente para alocar todos os itens. Considere também a necessidade de atendimento a um conjunto de pedidos d i de itens de dimensões (w i, h i ), no qual h i é o comprimento e w i é a largura dos itens i = 1,..., n, conforme apresenta a Figura 2.5). O ODP consiste, então, em determinar a melhor forma de cortar o objeto, de modo a minimizar o comprimento utilizado do objeto. Ítens Objeto h i w i Figura 2.5: Open Dimensional Problem. W

22 2.4 Formulação Matemática - ODP Caso Guilhotinado 12 O Open Dimensional Problem aparece na literatura com uma série de nomes diferentes, dependendo do tipo de variação sofrida. No caso dos itens serem retângulos, o ODP recebe os nomes de Rectangular Strip Packing Problem ou Two-Dimensional Strip Packing Problem (Hopper e Turton, 2001a), (Martelo et al., 2003), (Yeung e Tang, 2004). Quando os itens retangulares devem ser colocados no objeto de forma ortogonal, o ODP é conhecido como Orthogonal Rectangular Strip Packing Problem (Jakobs (1996), Hopper e Turton (2001b), e Martelo et al. (2003)). Lodi et al. (2004) denominam este problema de Level Packing Problem quando os itens são alocados no objeto formando-se níveis. Quando os itens possuem forma não-regular, como, por exemplo, na indústria de sapatos, o ODP é referenciado como Irregular Strip Packing Problem ou Nesting Problem (Fischer e Dagli, 2004) e (Bennell e Oliveira, 2008). Conforme exposto na Seção 2.3, existem duas formas de cortar os objetos: de forma guilhotinada e de forma não-guilhotinada. A Figura 2.6 ilustra a representação de uma solução para ambos os casos. Comprimento Utilizado Comprimento Utilizado W (a) Forma Guilhotinada W (b) Forma Não-guilhotinada Figura 2.6: Exemplo do Open Dimensional Problem. Na forma guilhotinada, o corte se estende de um lado ao outro do objeto. Na forma não guilhotinada, o corte acompanha o contorno dos item. Neste trabalho, ambos os casos serão tratados Formulação Matemática do Open Dimensional Problem - Caso Guilhotinado Na resolução do Open Dimensional Problem Guilhotinado (ODPG) adotou-se o modelo matemático proposto por Lodi et al. (2004). Nesse modelo, os items são alocados, formando-se faixa, e o objetivo consiste em minimizar a soma dos comprimentos das faixas. Para a modelagem matemática deste problema, deve-se considerar que: os itens são ordenados por ordem decrescente de comprimento; em cada faixa, o item mais à esquerda é o de maior comprimento;

23 2.5 Formulação Matemática - ODP Caso Guilhotinado 13 a primeira faixa é a de maior comprimento; Além disso, considera-se também que os dados do problema são: W: largura do objeto; h i : comprimento do item i = 1,..., n; w i : largura do item i = 1,...,n; As variáveis de decisão são definidas do seguinte modo: x ij : variável binária, que assume valor 1 se o item j estiver alocado na faixa i e assume valor 0, caso contrário; y i : variável binária, que assume valor 1 se o item i inicializa a faixa i, e assume o valor 0, caso contrário. Assim, o Open Dimensional Problem na forma guilhotinado pode ser modelado como: sujeito a min f = n j=i+1 n i=1 h i y i j 1 x ij + y j = 1, (j = 1,...,n) i=1 w j x ij (W w i )y i, (i = 1,..., n 1); (2.1a) (2.1b) (2.1c) x ij, y i {0, 1}, i, j (2.1d) A restrição (2.1b) garante que cada item será alocado uma única vez. A restrição (2.1c) garante que o somatório da largura dos itens alocados em cada faixa não irá ultrapassar o limite imposto pela largura do objeto. A Figura 2.7 apresenta o valor das variáveis de decisão, no caso de uma solução factível hipotética do problema apresentado em (2.1). 4 6 i 1 Comprimento y1 y3 y4 1 3 Utilizado 5 7 x1,2 x3,5 x3,7 x4, min f n h i y i W Figura 2.7: Exemplo do modelo matemático do Open Dimensional Problem.

24 2.5 Cutting Stock Problem Cutting Stock Problem O Cutting Stock Problem (CSP) pode ser definido da seguinte forma. Considere que se tenha, em estoque, um número infinito de objetos retangulares de dimensões (W, H). Considere também a necessidade de atendimento a um conjunto de pedidos d i de itens de dimensões (w i, h i ), no qual h i é o comprimento e w i é a largura das peças i = 1,..., n, conforme mostra a Figura 2.8. O objetivo a ser satisfeito no CSP é cortar o menor número de objetos, de modo a produzir toda a demanda pelos itens. Ítens Objetos hh i H Cw i W Figura 2.8: Cutting Stock Problem Formulação Matemática do Cutting Stock Problem - Caso Guilhotinado Na resolução do Cutting Stock Problem em sua forma Guilhotinada (CSPG), adotou-se o modelo matemático proposto por Lodi et al. (2004). Nesse modelo, os itens são alocados formando-se faixas, e, posteriormente, as faixas são combinadas e alocadas em determinado objeto. Para a modelagem matemática deste problema, deve-se considerar que: em cada faixa, o item mais à esquerda é o de maior comprimento; em cada objeto, a primeira faixa é a faixa de maior comprimento; os items são ordenados e re-numerados por ordem decrescente de comprimento. Os dados do problema são: W: largura do objeto; H: comprimento do objeto; h i : comprimento do item i = 1,..., n; w i : largura do item i = 1,...,n;

25 2.5 Formulação Matemática - CSP Caso Guilhotinado 15 As variáveis de decisão utilizadas são definidas como: x ij : variável binária, que assume o valor 1 se o item j estiver alocado na faixa i e assume o valor 0 caso contrario; y i : variável binária, que assume o valor 1 se o item i inicializa a faixa i e assume o valor 0 caso contrario; z ki : variável binária, que assume o valor 1 se a faixa i estiver alocada no objeto k e assume o valor 0 caso contrario; q k : variável binária, que assume o valor 1 se a faixa k é a primeira faixa do objeto k e assume o valor 0 caso contrario; Desse modo, o Cutting Stock Problem em sua forma Guilhotinada (CSPG) pode ser modelado como: sujeito a min f = n j=i+1 n i=k+1 n k=1 q k j 1 x ij + y j = 1, (j = 1,..., n); i=1 w j x ij (W w i )y i, (i = 1,...,n 1); i 1 z ki + q i = y i, (i = 1,...,n); k=1 h i z ki (H h k )q k, (i = 1,...,n 1); x ij, yi, z ki, qk {0, 1} i, j, k (2.2a) (2.2b) (2.2c) (2.2d) (2.2e) (2.2f) A restrição (2.2b) garante que cada item será alocado exatamente uma única vez. A restrição (2.2c) garante que o somatório da largura dos itens em cada faixa não irá ultrapassar o limite imposto pela largura do objeto. A restrição (2.2d) garante que cada faixa será alocada apenas uma vez em algum objeto. A condição de que a soma dos comprimentos das faixas alocadas em um determinado objeto não ultrapasse o comprimento do objeto é garantida pela restrição (2.2e).

26 2.5 Formulação Matemática - CSP Caso Guilhotinado 16 A Figura 2.9 apresenta o valor das variáveis de decisão, no caso de uma solução factível hipotética do problema apresentado em (2.2) x x f n q k k 1 1 y8 y3 y5 y13 y10 y12 min y 1,2 x8,9 x8,15 x3,4 x3,16 5,6 x5,7 x13,14 x10,11 1 1,8 z3,5 z3,13 z10,12 1 z q 1 q3 q Figura 2.9: Exemplo do modelo matemático do Cutting Stock Problem.

27 Capítulo 3 Uma Revisão de Métodos de Resolução de Problemas de Otimização Combinatória Este Capítulo faz uma revisão sobre os métodos de resolução de problemas de otimização combinatória. Na Seção 3.1 é feita uma breve introdução sobre os problemas de otimização combinatória, bem como dos métodos utilizados para resolvêlos. Nas seções 3.2 até 3.4 são estudados os métodos heurísticos. Inicialmente, são abordadas as heurísticas construtivas (Seção 3.2), em seguida, as heurísticas de refinamento (Seção 3.3) e finalizando é feita uma revisão sobre metaheurísticas (Seção 3.4). 3.1 Problema de Otimização Combinatória Um problema de otimização combinatória é um problema de maximização ou minimização definido pelo par (S, f(.)), no qual: S: conjunto discreto e finito de todas possíveis soluções viáveis (s) para o problema em questão; f( ): função objetivo que associa cada solução s S a um valor real f(s). Resolver um problema de otimização combinatória consiste em encontrar s S que atenda às relações: f(s ) f(s), s S (3.1) no caso de problemas de minimização, ou, no caso de problemas de maximização: f(s ) f(s), s S (3.2) Assim, pode-se definir um problema de otimização, para o caso de minimização, como: min f(s) (3.3) suj. a s S (3.4) 17

28 3.2 Heurísticas Construtivas 18 Os principais métodos para resolução de um problema de otimização são os métodos exatos, os métodos aproximativos e os métodos heurísticos. Os métodos exatos procuram obter a solução ótima para o problema a partir da construção de modelos matemáticos de otimização e da implementação de algoritmos específicos para sua resolução. Contudo, devido à complexidade combinatória de alguns problemas, o tempo computacional necessário para sua resolução torna-se muito alto, sendo, geralmente, um tempo não-polinomial. Os métodos aproximativos tentam adotar uma estratégia que equilibre a qualidade da solução obtida com o tempo total de processamento. Assim, os algoritmos aproximativos, a cada iteração, se aproximam da solução ótima. A qualidade da solução alcançada está diretamente relacionada ao tempo de execução. Os métodos heurísticos, por outro lado, são capazes de encontrar soluções viáveis em tempo de execução polinomial, mas não garantem a qualidade da solução encontrada. Em outras palavras, a princípio, quando resolvemos problemas de otimização através de métodos exatos, tem-se a garantia de que a solução encontrada é a solução ótima. Quando se utiliza os métodos aproximativos, pode-se garantir que a solução encontrada está próxima da solução ótima. Quando, por fim, são utilizados os métodos heurísticos, não há nenhuma garantia da otimalidade da solução encontrada. A utilização de métodos exatos se justifica em circunstâncias nas quais as instâncias consideradas para um determinado problema são relativamente pequenas ou o tempo de processamento disponível é adequado o bastante para a aplicação considerada. Na resolução de problemas práticos, os métodos heurísticos têm se mostrado bastante apropriados, pois permitem a obtenção de boas soluções viáveis com maior rapidez que os métodos exatos. Como o foco do presente trabalho é a resolução do Problema de Corte com a utilização de métodos heurísticos, torna-se necessária uma revisão mais detalhada destes. Diversas são as classificações existentes para diferenciar os métodos heurísticos. No presente trabalho, a classificação adotada os diferencia na forma de heurísticas construtivas, heurísticas de refinamento, metaheurísticas e heurísticas híbridas. Nas subseções a seguir, são detalhadas cada uma destas. 3.2 Heurísticas Construtivas As heurísticas construtivas são responsáveis por construir uma solução viável para o problema objeto de análise. Esta construção é feita de forma incremental, de modo que, a cada iteração, um novo elemento é escolhido para integrar a solução. O procedimento geral das heurísticas construtivas pode ser visto no pseudocódigo representado pela Figura 3.1. A forma mais comum de se escolher um novo elemento é de acordo com a função de avaliação utilizada. Neste caso, deve-se escolher, dentre os possíveis elementos, aquele que minimiza (ou maximiza) a função de avaliação do problema abordado. Diz-se, então, que foi utilizado uma heurística de construção gulosa. Uma outra maneira muito comum de se escolher um novo elemento é de forma aleatória. Isto é, a cada iteração, escolhe-se aleatoriamente um elemento dentre

29 3.3 Heurísticas de Refinamento 19 procedimento HeuristicaConstrutiva(f( ), N( ), s, itermax) 1 s ; 2 Inicialize o conjunto C de elementos candidatos 3 enquanto (C ) faça 4 e escolha um elemento do conjunto C 5 s s e; 6 Atualize o conjunto C de elementos candidatos 7 fim-enquanto; 8 Retorne s; fim HeuristicaConstrutiva(); Figura 3.1: Pseudo-código da Heurística Construtiva (Souza 2007). aqueles que estão na lista de elementos candidatos. Neste caso, diz-se que foi utilizada uma heurística de construção aleatória. A vantagem das construções gulosas está no fato de gerarem boas soluções iniciais, em comparação com a construção aleatória. Uma desvantagem está na dificuldade de se implementar um algoritmo para escolher o melhor elemento para compor a solução. Já a construção aleatória tem a vantagem de ser de fácil implementação, mas, por outro lado, pode gerar soluções iniciais de péssima qualidade. Em ambos os casos, as soluções geradas pelos métodos heurísticos necessitam de melhorias. Para isso, são utilizados os métodos de refinamento, que partem de uma solução inicial - gerada utilizando-se os métodos construtivos - e tentam melhorá-la através de operações diversas, até que não seja mais possível. Na Seção a seguir, é feita uma revisão sobre os métodos de refinamento. 3.3 Heurísticas de Refinamento As heurísticas de refinamento, também conhecidas na literatura como técnicas de Busca Local, têm, como objetivo, tentar melhorar uma solução inicial qualquer, gerada de forma aleatória ou através de alguma heurística construtiva. Para isso, ela utiliza o conceito de estrutura de vizinhança para explorar o espaço de soluções do problema de otimização na busca de melhores soluções. Para melhor entendimento das heurísticas de refinamento, é importante definir os conceitos de vizinhança e de solução ótima local: Uma estrutura de vizinhança é uma função N : S 2 s, que determina, para todo s S, um conjunto de vizinhos N(s) S. O conjunto N(s) é chamado de vizinhança de s. Em outras palavras, uma solução s faz parte da vizinhança da solução s se, e somente se, s resultou de uma modificação em s, de tal maneira que continue a fazer parte do conjunto de soluções possíveis. Uma solução ótima local relacionada com a estrutura de vizinhança N é uma solução ŝ tal que s N(ŝ), tem-s que f(ŝ) f(s). Desta forma, ŝ é

30 3.3 Método de Descida 20 chamada de solução ótima local se f(ŝ) f(s), s N(ŝ). Nas subseções a seguir, são apresentados dois métodos de busca local utilizados na resolução de problemas de otimização combinatorial: o Método de Descida e o Método de Descida Randômico Método de Descida O Método da Descida é um algoritmo cujo objetivo é encontrar um mínimo local a partir de uma solução inicial qualquer. O procedimento do método de descida é ilustrado na Figura 3.2 e funciona como segue: o algoritmo parte de uma solução inicial qualquer s e, a cada iteração, analisa todos os vizinhos V da solução corrente s existentes no domínio da sua estrutura de vizinhança N(s), guardando o melhor vizinho s. Em seguida, caso o melhor vizinho represente uma melhoria no valor da função de avaliação, o melhor vizinho selecionado torna-se a nova solução corrente do problema. Como o Método da Descida só aceita movimentos de melhora, ele termina quando não existe um vizinho melhor do que a solução corrente, ou seja, quando um ótimo local é encontrado. A Figura 3.2 mostra o pseudo-código do método de descida aplicado a um problema de otimização, no qual deseja-se minimizar uma função objetivo f( ). procedimento Descida(f( ), N( ), s) 1 V = {s N(s) f(s ) < f(s)}; 2 enquanto ( V > 0) faca 3 Selecione s V, sendo s = arg min{f(s ) s V}; 4 s s ; 5 V = {s N(s) f(s ) < f(s)}; 6 fim-enquanto; 7 Retorne s; fim Descida; Figura 3.2: Pseudocódigo do método de descida (Souza 2007). A Figura 3.3 ilustra o comportamento do método de descida para o caso de funções objetivo contínuas. Note que, no ponto que representa um ótimo local, não existe nenhum vizinho que melhora o valor da função objetivo. Observe, também, que independentemente da solução inicial, o método sempre encontra um ótimo local que, em algumas vezes, poderá coincidir com o ótimo global.

31 3.4 Método de Descida Randômico 21 F(s) Vizinho 1 Solução Corrente Vizinho 2 Espaço de Busca (a) Primeira Iteração F(s) Vizinho 1 Nova Solução Corrente F(s) Vizinho 2 Vizinho 1 Vizinho 2 Solução Ótima Local Espaço de Busca (b) Segunda Iteração Espaço de Busca (c) Terceira Iteração Figura 3.3: Exemplo do comportamento do Método da Descida Método de Descida Randômico De acordo com Souza (2007), a principal desvantagem do método de descida, apresentado na Seção 3.3.1, é que, a cada iteração, o método faz uma busca exaustiva, analisando todos os vizinhos da solução corrente, o que pode exige um tempo computacional muito alto para determinados problemas. O Método de Descida Randômico é uma variante do método de descida que evita esta pesquisa exaustiva, economizando, assim, tempo computacional. Ele consiste em, a cada iteração, analisar um vizinho qualquer e aceita-lo somente se for melhor que a solução corrente; não o sendo, a solução corrente permanece inalterada e outro vizinho é gerado. O método termina após um número fixo de iterações sem melhora no valor da solução corrente. O método de descida randômico também pode ficar preso em um ótimo local A Figura 3.4 mostra o pseudo-código do método de descida randômico. 3.4 Metaheurísticas As metaheurísticas são heurísticas que possuem caráter geral, podendo ser aplicadas na resolução de diferentes problemas de otimização. Sua principal estratégia é tentar escapar dos ótimos locais, a fim de encontrar um possível ótimo global. De acordo com Osman e Laporte (1996), apud Blum e Roli (2003), uma metaheurística é formalmente definida como um processo de geração iterativo, que guia uma heurística subordinada, combinando inteligentemente diferentes conceitos para explorar o espaço de busca. Segundo Voß et al. (1999), apud Blum e Roli (2003), metaheurística é um processo iterativo, que guia e modifica as operações das heurísticas subordinadas, para