Uma Heurística Gulosa para o Problema de Bin Packing Bidimensional

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1 Uma Heurística Gulosa para o Problema de Bin Packing Bidimensional Leandro Dias Costa, Luiz da Silva Rosa e Marcelo Lisboa Rocha Departamento de Ciência da Computação Fundação UNIRG Alameda Madrid Nº 545, Jardim Sevilha, CEP , Gurupi TO Brasil. {leandrodegasa,luiz_911,marcelolisboarocha}@yahoo.com.br Resumo. O objetivo deste artigo é apresentar um algoritmo polinomial na quantidade de recursos computacionais utilizados, que encontre soluções rapidamente para o problema de Bin Packing bidimensional (2D-BBP). O problema 2D-BBP é NP-difícil no sentido forte e extremamente difícil de ser resolvido na prática. Desta forma, duas heurísticas gulosas para o problema são propostas, de modo a encontrar boas soluções com baixo tempo computacional. Palavras-chave: Heurística Gulosa, Bin Pancking Bidimensional, Otimização. 1. Introdução A utilização de técnicas heurísticas visando à solução de problemas de otimização, tal como o problema de binpacking bidimensionais (2D-BBP), é justificado pela complexidade dos mesmos, o que geralmente inviabiliza a utilização de técnicas exatas para resolvê-los [Feremans et al. 2002]. Problemas de corte e empacotamento têm sido extensivamente tratados na literatura. Devido à diversidade de casos em que esses problemas podem aparecer na prática, e a complexidade estrutural dos mesmos (os problemas são em geral NP-difíceis) [Berkley and Wang, 1987] e [Coffman, Garey and Johnson, 1982], faz com que a grande maioria dos trabalhos encontrados na literatura apresente abordagens heurísticas para a resolução desses. O principal objetivo deste artigo é o de apresentar uma técnica que encontre soluções rápidas para a abordagem do 2D-BBP. As heurísticas nada mais são do que um processo iterativo ou de refinamento de solução de problema que organiza e direciona heurística subordinada, pela combinação de diferentes conceitos, podendo manipular uma solução completa, incompleta ou um conjunto de soluções, tentando evitar parada prematura, através de mecanismos que permitam escapar de um ótimo local, podendo assim obter um desempenho melhor que as heurísticas tradicionais. Em busca desta eficiência, é proposta neste trabalho a aplicação de uma heurística gulosa para o problema do 2D-BBP com o intuito de se encontrar boas soluções num tempo computacional razoável. Este trabalho está dividido como se segue: na Seção 2 é apresentada uma descrição detalhada sobre o problema do 2D-BBP. A Seção 3 apresenta o algoritmo proposto para o problema do 2D-BBP. Já na Seção 4, são mostrados os testes computacionais, resultados e tempo de execução. O trabalho é então concluído na Seção Definição do Problema O problema do Bin Packing bidimensional (2D-BBP) é utilizado quando duas dimensões do objeto são relevantes no processo de corte e empacotamento. Esse problema consiste

2 basicamente em cortar ou empacotar os objetos para produzir ou arrumar os itens de maneira a atender a demanda associada a eles otimizando alguma função objetivo que podem ser, a maximização do lucro ou a minimização da perda ou resíduo de material [Chen, Lee and Shen, 1995]. Exemplos desses materiais são: chapas retangulares de madeira, chapas de aço, papelão, paletes, etc. O 2D-BPP tem como dados de entrada: Um conjunto de n itens (caixas retangulares), cada um desses itens sendo caracterizados pela largura wj, altura hj e comprimento dj. Um número limitado de bins (contêineres ou caixas retangulares maiores), onde inicialmente há uma disponibilidade de pelo menos n bins idênticos e bidimensionais, tendo dimensões, internas, comuns: largura W, altura H e comprimento D. Os itens não necessitam serem feitos de um mesmo material, muito embora, supõe-se que todos esses possuam uma mesma densidade, são perfeitamente rígidos, além de serem homogêneos. Figura 1. Uma aplicação no problema Bin Packing Na mesma Figura 1, é mostrada uma solução para o sistema de corte e alocação de posições. O 2D-BBP está representada por conjunto de formas geométricas retangulares chamadas de itens que serão alocadas dentro de uma caixa denominada bin, posicionada no canto da figura, dessa forma chegando ao seu objetivo que é empacotar os itens dentro de um menor número possível de células (bins). 3. Algoritmo Proposto Nesta seção, é apresentada uma descrição das principais características do algoritmo proposto neste trabalho para solução do problema do 2D-BBP. O 2D-BBP foi implementado na linguagem C, utilizando uma heurística de construção ou gulosa (greedy). Como proposta deste trabalho, tem-se uma heurística gulosa simples (tradicional), aqui denominada HGS, como também uma heurística gulosa aleatoriazada, aqui denominada HGA. O objetivo de se utilizar aleatorização em um algoritmo guloso, é permitir que o mesmo explore novas soluções no espaço de busca. Obtendo-se assim, uma maior diversidade de soluções e conseqüentemente, aumentando assim, a possibilidade de obtenção de melhores soluções que a heurística gulosa simples [Comer et al., 1990]. Contudo, devido à característica de ser multi-start (múltiplos-reinícios), a HGA possui maior tempo computacional que a HGS. A seguir, na Figura 1 e Figura 2, são apresentados respectivamente, os pseudocódigos principais de HGS e HGA.

3 calcula a área de cada item ordena os item em ordem decrescente da área numbins=0 Enquanto não tiver alocados todos os itens fazer Criar um novo bin (numbins=numbins+1) Enquanto houver item com área que caiba no bin fazer Selecionar o item de menor área que caiba no bin Subtrair da área disponível do bin a área do item selecionado Marcar o item selecionado como já utilizado Figura 1. Pseudo-Código de HGS calcula a área de cada item ordena os item em ordem decrescente da área numbins=0 Para k=1 até numerodeiterações fazer Enquanto não tiver alocados todos os itens fazer Criar um novo bin (numbins=numbins+1) Enquanto houver item com área que caiba no bin fazer Selecionar o item de menor área que caiba no bin Subtrair da área disponível do bin a área do item selecionado Marcar o item selecionado como já utilizado Se bestnumbins > numbins então bestnumbins = numbins FimSe FimPara 4. Resultados Computacionais Figura 2. Pseudo-Código de HGA Nesta seção serão apresentados os testes e resultados computacionais realizados sobre instâncias da literatura [Beasley, 1990], utilizando as heurísticas gulosas propostas Testes e Resultados Computacionais Os testes e resultados computacionais foram realizados para a heurística gulosa simples, denominada HGS, e a heurística gulosa aleatório, denominada HGA, para a solução do problema de Bin Packing 2D. Ambas foram submetidas às 12 instâncias (m1a, m1b, m1c, m1d, m2a, m2b, m2c, m2d, m3a, m3b, m3c e m3d). Vale a pena ressaltar que cada instância possui 100 itens de tamanhos e demandas variadas. Para Guloso Aleatório, foi utilizado um número fixo de interação igual a Todos testes foram realizados em um computador com a seguinte configuração: Intel Celeron 2.4 Ghz, 256 MB de RAM e utilizando o sistema operacional Conectiva Linux 10. Na

4 Tabela 1 a seguir, são apresentadas as soluções para as heurísticas HGS e HGA em termos do número de bins necessários para acomodar as demandas dos itens menores e o tempo de computação em segundos de CPU. Vale a pena ressaltar que o número de iterações utilizadas para o HGA foi 100. Tabela 1. Desempenho do Guloso Simples x Guloso Aleatório. Instâncias Solução HGS Tempo Solução HGA Tempo m1a m1b m1c m1d m2a m2b m2c m2d m3a m3b m3c m3d Da Tabela 1, é possível observar que a heurística gulosa aleatória (HGA) apresenta soluções melhores que a heurística gulosa simples, ao custo de um maior tempo computacional. No caso da avaliação da qualidade das soluções obtidas, quanto menor o número de bins utilizados, melhor. 5. Conclusões Como contribuição deste trabalho, desenvolveu-se um algoritmo bidimensional utilizando uma heurística gulosa para o problema do 2D-BBP. Embora fácil de descrever, o problema do 2D-BBP é difícil de se resolver. Como visto anteriormente, este problema está classificado como um problema NP-dificil o que limita o uso de técnicas exatas para encontrar a solução para instâncias grandes. O intuito deste trabalho é encontrar boas soluções num tempo computacional razoável. O objetivo foi plenamente alcançado com a aplicação da heurística gulosa proposta, portanto, conclui-se que os resultados obtidos pelo 2D-BBP são animadores, boas soluções numa quantidade de tempo computacional satisfatório. Referências Baker, B. S., Brown D. J., and Katseff, H. P. (1981). A 5/4 algorithm for two-dimensional packing, Journal of Algorithms, 2, pp Beasley, J. E. OR-Library: Distributing Test Problems by Eletronic Mail. J. Oper. Res. Soc. 41, p , Berkey, J.O. and Wang, P.Y. (1987). Two dimensional finite bin packing algorithms. Journal of the Operational Research Society, 38, Chen, C.S.; Lee, S.M. and Shen, Q.S. (1995). An analytical model for the container loading problem. European Journal of Operational Research, 80,

5 Coffman, S. E. G., Garey M. R., Johnson, D. S. (1982). Approximation algorithm for bin packing an updated survey, in algorithms design for computer design system, Springer- Verlag, New York, 1984, pp Comer, T.H.; Leiserson, C.E & Rivest, R.L. (1990). Introduction to Algorithms. MIT Press, Cambridge. Feremans, C., Labbé, M. and Laporte, G. (2002) A comparative analysis of several formulations for the generalized minimum spanning tree problem. Networks, 39, p