Tesselações: Arte e Matemática
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- Maria Eduarda Marta Amado de Santarém
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1 Tesselações: Arte e Matemática J. Ezequiel Soto S. 29 de Janeiro, 2018 Tesselações: Arte e Matemática 1
2 Motivação Tesselações: Arte e Matemática 2
3 M.C. Escher Holandés, nascido em Leeuwarden. ( ) Construções impossíveis. Tesselações. Representações do infinito. Metamorfoses. Diálogo com a matemática Coxeter Tesselações: Arte e Matemática 3
4 Tesselações: Arte e Matemática 4
5 Tesselações: Arte e Matemática 5
6 Tesselações: Arte e Matemática 6
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8 (Al-Ándalus, ) Tesselações: Arte e Matemática 8
9 Tesselações: Arte e Matemática 9
10 Tesselações: Arte e Matemática 10
11 Tesselações: Arte e Matemática 11
12 Definições Tesselação / ladrilhado (tesselation / tiling) Cobertura sem sobreposição com azulejos (tiles) Tesselações: Arte e Matemática 12
13 Azulejos Azulejos: 1. Topologicamente equivalentes ao disco fechado. 2. Todo ponto do plano pertence a um azulejo. 3. Interseções entre eles não contém pontos interiores. 4. Uniformemente limitados por fora e por dentro. Observação: Sem 2 temos um empacotamento. Sem 3 temos uma cobertura. Tesselações: Arte e Matemática 13
14 As fronteiras dos azulejos podem ser interpretadas como uma partição do plano. Essa partição pode ser decomposta em nós e arestas e interpretada como uma malha. Tesselação Normal: as interseções entre dois azulejos são: vazias, um ponto (nó-) ou curvas conexas (aresta). Tesselações: Arte e Matemática 14
15 Os conjuntos: T de azulejos E de arestas V de nós ou vértices determinam a estrutura combinatória de uma tesselação, e permitem determinar equivalências. Um parche ou mosaico é uma região do plano coberta por alguns azulejos. Na prática é o que podemos desenhar. Elemento básico para provar algumas afirmações. Tesselações: Arte e Matemática 15
16 Azulejos congruentes Se existe um (conjunto) protótipo de azulejo, chamamos a tesselação de: Monoedral, diedral,... k-edral, conjunto de k protótipos. Se uma configuração de cópias de um conjunto P de protótipos cobre o plano, dizemos que P admite essa tesselação. Dado um conjunto P, decidir se é um conjunto de protótipos para uma tesselação é formalmente indecisível. Tesselações: Arte e Matemática 16
17 Teorema de extensão Se para qualquer r>0, existe um parche de azulejos de P que contém um disco de rádio r, então P admite uma tesselação do plano. O teorema justifica a construção de tesselações por subdivisão. Na prática, só estamos interessados em tesselar áreas de tamanhos arbitrários. Tesselações: Arte e Matemática 17
18 Simetria 1. Identidade 2. Reflexão (por retas) 3. Rotação 4. Traslação 5. Reflexão deslizante Isometrias. Grupo de operações é fechado por composições. Congruência. Periodicidade. Tesselações: Arte e Matemática 18
19 Órbitas: imagem de um objeto sob o grupo. Dois grupos de simetria G e H são equivalentes se existe uma transformação afim A: H= AGA 1 Apenas rotações: grupos cíclicos Traslações paralelas: grupos de frisos (7) Traslações em direções l.i.: grupos de tesselações (17) Grupos cristalográficos (Fedorov, 1891) Tesselações: Arte e Matemática 19
20 Tesselações: Arte e Matemática 20
21 Tesselações: Arte e Matemática 21
22 Tesselações: Arte e Matemática 22
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25 patterninislamicart.com/drawings-diagrams-analyses Tesselações: Arte e Matemática 25
26 Como encontrar e identificar os 17 grupos? A pergunta sobre a Alhambra tem resposta? Periodicidade herdada das órbitas, padrões. Construções: Apenas polígonos regulares Arquimedianas Duais (Laves) Aperiódicos: Subdivisão Ammann Penrose Resultados recentes... Tesselações: Arte e Matemática 26
27 Tesselações: Arte e Matemática 27
28 Tesselações: Arte e Matemática 28
29 Tesselações: Arte e Matemática 29
30 Penrose Ammann Tesselações: Arte e Matemática 30
31 Tesselações: Arte e Matemática 31
32 Nature, 2007 Tesselações: Arte e Matemática 32
33 De volta na Alhambra com Escher... (Al-Ándalus, ) Tesselações: Arte e Matemática 33
34 Tesselações: Arte e Matemática 34
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38 Tesselações: Arte e Matemática 38
39 Tesselações: Arte e Matemática 39
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45 Referências COXETER, H.S.M.; MOSER, W.O.J.; 1980 (4a). Generators and Relations for Discrete Groups. ESCHER, M.C.; Le monde de M.C. Escher: l'oeuvre de M.C. Escher (commenté par J.L. Locher). SUTTON, Daud; Islamic Design: A genius for geometry. GRÜNBAUM, Branko; SHEPARD, G.C.; Tilings and Patterns. KAPLAN, Craig; Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. SCHATTSCHNEIDER, Doris; Visions of symmetry : notebooks, periodic drawings, and related work of M.C. Escher. WADE, David; Geometric Patterns & Borders. Tesselações: Arte e Matemática 45
46 17 Wallpaper Groups Art of the Islamic World: A Resource for Educators. Edited by Maryam D. Ekhtiar and Claire Moore. Islamic Art and Geometric Design. Activities for Learning. The Metropolitan Museum of Art. M.C.Escher Oficial Website. Pattern in Islamic Art. WADE, David; Symmetry and Ornament. JABLAN, Slavik; Tiling Encyclopedia. FRETTLÖH, Dirk. Tesselações: Arte e Matemática 46
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