SISTEMA DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL

Transcrição

1 1 CAPÍTULO O que é a Física? A Física é uma ciência fundamental que se ocupa com a compreensão dos fenômenos naturais que ocorrem no nosso universo. É uma ciência baseada em observações experimentais e em medições quantitativas. O objetivo maior de uma abordagem científica é o de desenvolver teorias, baseadas nas leis fundamentais, que poderão prever os resultados de várias experiências. Felizmente, é possível explicar o comportamento de muitos sistemas físicos com apenas um número limitado de leis fundamentais. Essas leis fundamentais exprimem-se na linguagem da matemática, que é o instrumento que possibilita a passagem da teoria para a experiência. Sempre que aparece uma discrepância entre a teoria e a experiência, é necessário que se formulem novas teorias e novas experiências, a fim de se remover a divergência. Muitas vezes, uma teoria é satisfatória sob condições limitadas; uma teoria mais geral poderá ser satisfatória sem estas limitações. Exemplo clássico é o das leis do movimento, de Newton, que descrevem exatamente o movimento dos corpos em velocidades baixas, mas que não se aplicam aos corpos que se movem com velocidades comparáveis à da luz. A teoria da relatividade restrita, desenvolvida por Albert Einstein ( ), prevê com êxito o movimento dos corpos em velocidades próximas da velocidade da luz e, por isso, é uma teoria do movimento mais geral. A Física Clássica, desenvolvida antes de 1900, inclui teorias, conceitos, leis e experiências em três disciplinas principais: (1) Mecânica Clássica, (2) Termodinâmica (transferência de calor, temperatura e comportamento de sistemas com grande número de partículas) e (3) Eletromagnetismo (estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos, ótica e radiação). Galileu Galilei ( ) fez contribuições significativas à Mecânica Clássica nos seus trabalhos sobre as leis do movimento com aceleração constante. Na mesma época, Johannes Kepler ( ) usou observações astronômicas para desenvolver leis empíricas sobre o movimento dos corpos planetários. As contribuições mais importantes à Mecânica Clássica foram proporcionadas por Isaac Newton ( ), que desenvolveu a mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um dos inventores do cálculo como instrumento matemático. Durante o século XVIII, prosseguiu o desenvolvimento da física clássica. A termodinâmica, a eletricidade e o magnetismo, porém, não se desenvolveram até a metade do final do século XIX, principalmente em virtude de a aparelhagem, apropriada às experiências controladas, ou ser muito grosseira ou não estar disponível. Embora muitos fenômenos elétricos e magnéticos tenham sido estudados antes, foi somente o trabalho de James Clerk Maxwell ( ) que proporcionou uma teoria unificada do eletromagnetismo. Quase no final do século XIX, principiou uma nova era da física, em geral conhecida como física moderna, que se desenvolveu, principalmente, pela descoberta de muitos fenômenos físicos que não podiam ser explicados pela física clássica. Os dois desenvolvimentos mais importantes desta era moderna foram as teorias da relatividade e a mecânica quântica. A teoria da relatividade, de Einstein, revolucionou de maneira completa os conceitos tradicionais de espaço, tempo e energia. Entre outras coisas, a teoria de Einstein corrigiu as leis do movimento, de Newton, na descrição do movimento de corpos com velocidades comparáveis à da luz. A teoria da relatividade admite que a velocidade da luz seja um limite superior para a velocidade de qualquer corpo ou sinal, e mostra a equivalência entre massa e energia. A formulação da mecânica quântica por vários cientistas importantes ofereceu uma descrição dos fenômenos físicos no nível atômico.

2 2 Os cientistas estão constantemente trabalhando para melhorar o entendimento das leis fundamentais, e a cada dia se fazem novas descobertas. Em muitas áreas de pesquisa, há grande superposição entre a física, a química e a biologia. Os muitos avanços tecnológicos dos últimos tempos são fruto dos esforços de muitos cientistas, engenheiros e técnicos. Alguns dos mais notáveis avanços recentes são: (1) as missões espaciais sem tripulação e o desembarque tripulado na Lua, (2) os circuitos miniaturizados e os computadores de alta velocidade e (3) as técnicas sutis e elaboradas de eletromagnetismo usadas na pesquisa científica e na medicina. O impacto desses progressos e descobertas na nossa sociedade foi, na realidade, muito grande e é bem provável que as descobertas e os desenvolvimentos futuros serão estimulantes e desafiadores, de grandes efeitos benéficos para a humanidade. 1.2 Instrumentos para o estudo da Física Muitos fenômenos que ocorrem na natureza são captados diretamente através dos sentidos: vemos que um automóvel corre, sentimos com a mão que um objeto é mais quente do que outro, ouvimos que o som de um violino é diferente daquele de um piano. Todavia, as informações registradas pelos sentidos têm sempre um caráter pessoal. Não podemos nos basear apenas nisso para construir uma ciência como a Física, para a qual as afirmações devem ser independentes da pessoa específica que realiza a observação. Tomemos um exemplo. Se perguntarmos a duas pessoas que acabaram de sair do mar como está a água, é bem provável que uma nos responda que está fria, e a outra que está quente. Isso demonstra quão diferentes, de um observador para outro, são as sensações provocadas pelo mesmo fenômeno. Mas, se dispusermos de um instrumento muito simples e conhecido, ou seja, um termômetro, bastará submergi-lo na água e ler a temperatura que ele indicar. Poderemos então responder a quem quer que nos pergunte com está a água do mar que, naquele instante, ela tem uma temperatura de, por exemplo, 22 graus Celsius. Essa resposta terá o mesmo significado para qualquer pessoa que conheça um termômetro e os critérios com que ele é construído. Na natureza há inúmeros outros fenômenos que não estamos aptos a perceber servindo-nos apenas de nossos sentidos. Por exemplo, não vemos as ondas de rádio, não ouvimos os ultra-sons, não percebemos os raios cósmicos (a chuva de partículas que chega à Terra vinda do espaço). Conseguimos evidenciar esses fenômenos fazendo uso de instrumentos, que permitem ampliar o campo das nossas observações. Eles costumam ser indispensáveis para a obtenção de observações quantitativas. Naturalmente, para ler os resultados dos instrumentos, ainda precisaremos de nossos sentidos. Sem os olhos, não conseguiremos ver que ponto da escala foi alcançado pela coluna de mercúrio do termômetro. Usando um instrumento, a observação adquire um caráter objetivo (ou seja, independente do observador) e quantitativo. A temperatura, o comprimento, a velocidade, a intensidade da corrente elétrica são palavras que fazem parte da linguagem da Física. São chamadas de grandezas físicas e se referem a conceitos que têm a característica de poder ser medidos com instrumentos. A Matemática sempre teve um papel muito importante na Física, desde o nascimento desta ciência, há cinco séculos. Uma das razões dessa profunda aliança é o fato de que a Física se serve de grandezas e, por isso, tem necessidade de lidar com números, que são o resultado das medidas. Mas a Matemática coloca ainda à disposição da Física outros instrumentos, além deste que os números permitem elaborar. A Matemática constitui o fio condutor das teorias físicas. 1.3 O Método Experimental O homem sempre observou que uma pedra, abandonada de certa altura, chega rapidamente ao solo. Para um físico, essa observação não é suficiente. Estudar a queda de uma pedra significa dizer alguma coisa mais precisa do que meramente constatar o fenômeno tal como ele ocorreu na natureza. É necessário que se chegue a estabelecer a regra ou, como se diz, a lei segundo a qual o

3 fenômeno se desenvolve. Essa lei permitirá calcular, por exemplo, quanto tempo leva um objeto para cair de certa altura até o solo. t = 0,45 h onde t é o tempo medido em segundos e h é a altura da qual o objeto cai medida em metros. Essa fórmula exprime a lei da queda dos objetos sobre a Terra. Ela responde a todas as possíveis perguntas do tipo: quanto tempo leva para chegar ao solo um objeto que cai de determinada altura? A lei abarca, por essa razão, uma lista infinita de dados, alguns dos quais são mostrados na tabela 1.1. Tabela 1.1 Altura h Tempo t (metros) (segundos) 1 0,45 1,7 0,59 2 0,64 3 0,78 4 0,90 5 1,01 6 1,11 Para chegar a este resultado, devemos fazer algumas experiências, ou seja, devemos examinar detalhadamente como um objeto cai, eliminando do fenômeno queda de um objeto todas as causas que o perturbem. Por exemplo, é claro que, se a pedra for abandonada de uma torre num dia de vento, seu movimento será um tanto alterado ou, melhor dizendo, perturbado. Assim, para podermos generalizar a maneira como caem os objetos na ausência de perturbações será mais adequado realizar a experiência da queda da pedra num dia sem vento. Entenderemos ainda melhor esse fenômeno se ele for realizado dentro de um tubo em que se tenhas feito vácuo. Procedendo assim, estaremos seguros de que o ar não poderá alterar o movimento da pedra. Naturalmente, uma vez estabelecida a lei segundo a qual os corpos caem no vácuo, poderemos estudar como eles caem no ar parado, sem vento. É evidente que eles cairão de modo diverso de como cairiam no vácuo, e a diferença observada certamente se deverá à presença do ar. Poderemos, assim, formular outra regra, que leve em conta a ação do ar sobre a queda dos corpos. Enfim, poderemos ainda completar esse estudo examinando as diferenças que ocorrem entre a queda de um corpo no ar parado e quando há vento, e conseguiremos ainda estabelecer qual seria a influência do vento. O método experimental da Física consiste uma sábia combinação de observações e experiências, que tem o propósito de esclarecer os aspectos essenciais dos fenômenos naturais. Sem recorrer à experiência, não seria possível distinguir num fenômeno aquilo que é importante daquilo que, numa primeira abordagem, pode ser desprezado. Os fenômenos que ocorrem na natureza são, freqüentemente, muito complexos. Com o auxílio do método experimental, é possível compreendêlos através de passos sucessivos. Inicialmente se estuda o fenômeno simples reduzido ao essencial. Depois se acrescentam as complicações, até se chegar a reproduzir o fenômeno de partida. A experiência não é uma coisa possível de realizar em todas as ciências. Por exemplo, ela não é possível na Astronomia. Aí, evidentemente, o homem se limitará às observações dos fenômenos astronômicos, sem poder produzi-los nem influenciá-los. A Física propriamente dita é uma das ciências em que a experiência é mais facilmente realizável. Isso não significa, porém, que a Astronomia não seja uma ciência. Para entender o 3

4 4 movimento dos corpos celestes, devemos combinar as experiências feitas na Terra com a observação do universo, fazendo uso de relações expressas matematicamente. O método experimental consiste, pois, em uma análise dos fenômenos. Naturalmente, para que as experiências sejam produtivas, não devem ser feitas às cegas. No início, convém ter uma idéia de como se desenvolve o fenômeno que queremos estudar. A partir disso, formulamos uma hipótese que eventualmente pode ser sugerida por alguma semelhança com outros fenômenos já conhecidos. A seguir, faremos nossas experiências sobre o fenômeno. Se os resultados conseguidos estiverem de acordo com a hipótese formulada, ela estará confirmada. Caso contrário, ela deverá ser abandonada ou modificada. Esse método que começas com a observação do fenômeno, utiliza experiências, analogias e hipóteses e finalmente chaga à lei que rege o fenômeno é chamado método indutivo. As leis que regulam um grupo de fenômenos se acham freqüentemente reunidas numa teoria. Uma teoria é uma estrutura matemática que relaciona entre si as diferentes leis e permite, dessa maneira, coligar os resultados de numerosas experiências. Por exemplo, a teoria do eletromagnetismo é constituída de algumas leis bastante gerais que explicam os fenômenos elétricos e magnéticos. Usando instrumentos matemáticos, podemos, a partir de uma teoria, prever novas leis e, com isso, descobrir novos fenômenos. Aplicamos, nesse caso, o método dedutivo. A seguir, é necessário fazer experiências para verificar se os fenômenos previstos realmente existem. Em caso afirmativo, a teoria deve ser considerada válida; se não, deve ser modificada e, em casos extremos, abandonada. Por exemplo, as leis da Mecânica (teoria que explica o movimento dos corpos) foram estabelecidas pro Galileu e por Newton, com base em observações astronômicas e em experiências realizadas na Terra. Com essas leis, podemos prever o movimento dos planetas em torno do Sol e o movimento dos satélites artificiais. Os lançamentos espaciais, que se iniciaram em 1957, são uma clara confirmação de uma teoria descoberta trezentos anos antes. 1.4 Introdução ao Sistema de Unidades Dá-se o nome de sistema de unidades físicas ao conjunto de unidades utilizadas para medir todas as espécies de grandezas físicas. Outrora, cada unidade de um sistema era definida arbitrariamente. Não havia a menor correlação entre as unidades. Os sistemas assim obtidos tinham um grave inconveniente: complicavam as fórmulas físicas, sobrecarregando-as com incômodas constantes de proporcionalidade. Tais sistemas, hoje denominados incoerentes, estão fora de uso. 1.5 Unidades Fundamentais e Derivadas Posteriormente, verificou-se que as unidades de um sistema podiam ser definidas em função, explícita ou implícita, de seis unidades, desde que fossem convenientemente escolhidas. Estas seis unidades são consideradas como as unidades fundamentais, ou primárias, do sistema, sendo definidas arbitrariamente. As outras unidades, consideradas derivadas, ou secundárias, são definidas em função das fundamentais. Por extensão, as grandezas correspondentes às unidades fundamentais são denominadas grandezas fundamentais do sistema; as outras, grandezas derivadas. 1.6 Sistemas LMT e LFT Um sistema de unidades físicas congrega unidades geométricas, cinemáticas, dinâmicas, térmicas, eletromagnéticas e óticas. Em tais sistemas não há a necessidade de seis unidades fundamentais. Bastam três.

5 Destas, uma deve ser geométrica, uma cinemática e uma dinâmica. Todos os sistemas hoje usados, adotam o comprimento como a grandeza geométrica fundamental e o tempo como grandeza cinemática fundamental. Não houve a mesma unanimidade na escolha da grandeza dinâmica fundamental. Alguns sistemas escolheram a massa e, outros, a força. Representando, simbolicamente, o comprimento por L, a massa por M, a força por F e o tempo por T, podemos agrupar os sistemas, hoje usados, em dois tipos gerais: LMT (também denominados inerciais ou físicos) e LFT (também denominados gravitacionais ou técnicos). Os sistemas do tipo LMT usam o comprimento, a massa e o tempo como grandezas fundamentais. Os do tipo LFT usam o comprimento, a força e o tempo. 1.7 O Sistema CGS É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: centímetro (cm) Massa: grama (g) Tempo: segundo (s ou seg) Embora os livros modernos só utilizem o sistema MKS, muitas obras consideradas clássicas da Física, sendo anteriores à adoção deste sistema, utilizam o CGS. 1.8 O Sistema MKS É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: metro (m) Massa: quilograma (kg) Tempo: segundo (s ou seg) Foi proposto por Giorgi, em 1904, no 6º Congresso Internacional de Pesos e Medidas. Atualmente, é o sistema universal da Física. E mais cedo ou mais tarde, será o único sistema a ser usado. Por este motivo deve receber uma atenção especial por parte dos alunos. 1.9 O Sistema MKgfS É do tipo LFT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: metro (m) Força: quilograma-força (kgf ou kg*) Tempo: segundo (s ou seg) É o sistema mais usado em Engenharia. Em um grande número de obras técnicas é o único sistema empregado. Isto justifica o seu estudo O Sistema Internacional de Unidades A primeira coisa a fazer quando se quer medir uma grandeza é selecionar uma unidade de medida. Somente depois de ter feito essa escolha é que poderemos estabelecer quantas vezes a unidade está contida na grandeza a ser medida. Por exemplo dizer que um automóvel se move a 130 km/h significa: ter escolhido o quilômetro por hora como unidade de medida de velocidade; ter estabelecido que essa unidade de medida está contida 130 vezes naquela grandeza. Nos Estados Unidos, isso seria expresso de outra forma. Lá diriam que o automóvel está 5

6 6 viajando a 80 milhas por hora. De fato, nos velocímetros dos automóveis americanos, as velocidades são medidas em milhas por hora. Não há qualquer motivo para que se escolha uma unidade de medida em vez de outra. No entanto, por praticidade, é conveniente selecionar o menor número possível de unidades de medida diferentes. Foi o que ocorreu em nível mundial quando se decidiu escolher as unidades de medida oficiais. São elas: o metro para o comprimento; o segundo para o tempo; o quilograma para a massa; o ampère para a intensidade de corrente elétrica; o kelvin para a temperatura; a candela para a intensidade luminosa; o mol para a quantidade de matéria. Essas sete unidades, que fazem parte do Sistema Internacional de Unidades, são suficientes para medir qualquer outra grandeza. Por exemplo, como veremos adiante, a velocidade é medida em metros por segundo (m/s). Aqui, nos fixaremos em particular nas unidades de medida de comprimento e de tempo Outros Sistemas Usados Sistema MTS É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: metro (m) Massa: tonelada (t) Tempo: segundo (s ou seg) É usado na França Sistema Inercial Inglês e Norte Americano É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: pé (ft) Massa: libra (lb) Tempo: segundo (s ou seg) É usado na Inglaterra e nos estados Unidos Sistema Gravitacional Inglês e Norte Americano É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são: Comprimento: pé (ft) Força: libra-força (lbf ou lb*) Tempo: segundo (s ou seg) É usado na Inglaterra e nos estados Unidos Conversão de Unidades Todas as medidas de grandezas físicas têm um número e uma unidade. Quando se somam, subtraem, multiplicam ou dividem essas grandezas, numa equação algébrica, por exemplo, as unidades são tratadas como se fossem quaisquer grandezas algébricas. Por exemplo, suponhamos que se queira calcular a distância percorrida, em 3 horas (h), por um carro que se desloca à velocidade constante de 80 quilômetros por hora (km/h). A distância é igual ao produto da velocidade v pelo tempo t

7 80 km x = vt = 3h/ = 240 km h/ A unidade de tempo, no caso a hora, é cancelada como se fosse uma grandeza algébrica comum, e a distância percorrida aparece na unidade de comprimento apropriada, o quilômetro. Este procedimento de tratar as unidades facilita a conversão de uma unidade em outra. Por exemplo, imaginemos que se queira converter a resposta de 240 km a milhas (mi). Sabendo que 1 mi = 1,61 km, dividimos cada membro desta igualdade por 1,61 km para chegar a 1 mi 1,61 km Uma vez que se qualquer grandeza pode ser multiplicada por 1 sem que se altere o seu valor, podemos passar de 240 km para milhas simplesmente pela multiplicação pelo fator (1 mi)/(1,61km) = 1 1 mi 20 km = 240 km = 149 mi 1,61 km O fator (1 mi)/(1,61 km) é um fator de conversão. Todos os fatores de conversão têm o valor 1 (sem dimensões) e permitem que se converta a medida de uma grandeza expressa em uma unidade de medida na medida equivalente expressa em outra unidade. Se as unidades foram escritas explicitamente e depois canceladas, não é preciso ter a preocupação de saber se é preciso multiplicar por 1,61, ou dividir por 1,61, para passar de quilômetros para milhas, pois as unidades nos dizem, automaticamente, se o fator escolhido estava certo ou errado. Exemplo 1-1: Se o seu carro estiver a 90 km/h, qual a sua velocidade em metros por segundo e em milhas por hora? Solução: Aproveitamos as informações 1000 m = 1 km, 1 min = 60 s e 1 h = 60 min, a fim de converter a velocidade em metros por segundo. A medida 90 km/h é multiplicada por um conjunto de fatores de conversão, cada qual exatamente igual a 1, de modo que o seu valor não se altere. Para converter a milhas por hora, aproveitamos o fator de conversão (1 mi)/(1,61km). 1. Multiplicamos 90 km/h por um conjunto de fatores de conversão que transformam quilômetros a metros e horas a segundos: 90 km h 1000 m 1 km 1 h 60 min 1 min = 60 s 25 m / s 7 2. Multiplicamos 90 km/h por (1 mi)/(1,61km): 90 km h 1 mi 1,61 km = 55,9 mi / h A seguir, mostramos uma lista com os principais fatores de conversão utilizados atualmente.

8 8

9 9

10 10

11 11

12 Análise Dimensional O conceito de dimensão tem significado especial na física. Em geral denota a natureza física de uma grandeza. Uma distância, por exemplo, quer seja medida em metros ou em quilômetros, é sempre uma distância. Dizemos então que a sua dimensão é comprimento. Os símbolos que serão usados para indicar, respectivamente, comprimento, massa e tempo serão L, M e T. Usaremos colchetes [ ] para simbolizar as dimensões de uma grandeza física. Por exemplo, nesta notação, as dimensões de velocidade, v, são escritas [v] = L/T, e a área A é [A] = L 2. Em muitas situações, você terá que deduzir ou verificar uma certa fórmula. Embora você possa ter esquecido os detalhes da dedução, há um procedimento útil e eficaz, denominado análise dimensional, que pode ser adotado a fim de ajudar a dedução ou a verificação da expressão final. Esse procedimento deve ser sempre adotado e ajudará a minimizar a memorização mecânica das equações. A análise dimensional usa o fato de as dimensões poderem ser tratadas como se fossem grandezas algébricas. Isto é, as grandezas podem ser somadas, ou subtraídas, se tiverem a mesma dimensão. Além disso, os termos em cada membro de uma equação devem ter, também, a mesma dimensão. Com essas regras simples, você poderá usar a análise dimensional para determinar se uma expressão tem, ou não, a forma correta, pois uma relação só pode ser correta se as dimensões de cada membro de uma equação forem as mesmas. Para ilustrar o procedimento, suponhamos que se queira deduzir a fórmula para a distância x coberta por um carro durante um intervalo de tempo t, quando o carro parte do repouso e se move com aceleração uniforme a. mais adiante veremos que a expressão correta, nesse caso especial, é x = at 2 /2. Vamos verificar a validade dessa expressão mediante uma abordagem da análise dimensional. A grandeza x no primeiro membro tem a dimensão de comprimento. A fim de a equação ser dimensionalmente correta, a grandeza no segundo membro deve também ter a dimensão de comprimento. Podemos fazer a verificação dimensional substituindo, na equação, a aceleração pelas suas unidades fundamentais, L/T 2, e o tempo pela unidade T. Então, a forma dimensional da equação x = at 2 /2 pode ser escrita como L 2 L = T/ = L 2 T/ As unidades de tempo se cancelam, como está indicado, e resta apenas a unidade de comprimento. Um procedimento mais geral da análise dimensional é o de escrever uma expressão com a forma x a n t m onde n e m são expoentes a determinar e o símbolo indica proporcionalidade. Essa relação só é correta se as dimensões de ambos os membros forem as mesmas. Uma vez que, no caso que estamos analisando, a dimensão do primeiro membro é comprimento, a dimensão do segundo membro tem que ser comprimento. Isto é, n m 0 [ a t ] = L = LT Como as dimensões de aceleração são L/T 2 e a dimensão de tempo é T, n L m T = L 2 T

13 ou n m 2n L T = L Uma vez que os expoentes de L e de T devem ser os mesmos nos dois membros, vemos que n = 1 e m = 2. Portanto, podemos concluir que 2 x at Esse resultado difere da expressão correta, x = at 2 /2, por um fator 1/ Densidade e Massa Atômica Uma propriedade fundamental de qualquer substância é a sua densidade ρ (letra grega rô), definida como a massa por unidade de volume: m ρ = 1.1 V Por exemplo, o alumínio tem a densidade de 2,70 g/cm 3, e o chumbo tem a densidade de 11,3 g/cm 3. Então, um pedaço de alumínio com 10 cm 3 de volume de chumbo tem a massa de 27,0 g, enquanto um mesmo volume de chumbo terá a massa de 113 g. Na tabela 1.1 está uma lista das densidades de várias substâncias. Tabela 1.1 Substância Densidade ρ (kg/m 3 ) Ouro 19,3 x 10 3 Urânio 18,7 x 10 3 Chumbo 11,3 x 10 3 Cobre 8,93 x 10 3 Ferro 7,86 x 10 3 Alumínio 2,70 x 10 3 Magnésio 1,75 x 10 3 Água 1,00 x 10 3 Ar 0,0013 x 10 3 A diferença de densidade entre o alumínio e o chumbo se deve, em parte, à diferença entre as respectivas massas atômicas (ou pesos atômicos). A massa atômica do chumbo é 207 e a do alumínio, 27. No entanto, a razão entre os pesos atômicos, 207/27 = 7,67, não corresponde à razão entre as densidades, 11,3/2,70 = 4,19. Tal discrepância é devida à diferença entre os átomos nas respectivas estruturas cristalinas.

14 14 Toda matéria, em geral, é constituída por átomos e cada átomo é constituído por elétrons e um núcleo. A massa de um átomo está, praticamente, contida no núcleo, que é formado por prótons e nêutrons. Assim, podemos compreender a razão de os pesos atômicos dos diversos elementos serem diferentes. A massa de um núcleo é medida em relação à massa de um átomo do núcleo de carbono 12 (este nuclídeo, isótopo do carbono, tem seis prótons e seis nêutrons). A massa do 12 C, é, por definição, exatamente igual a 12 unidades de massa atômica (u) e uma unidade de massa atômica é igual a 1, x kg. Nesta unidade, o próton e o nêutron tem massas da ordem de 1u. Com maior precisão, Massa do próton = 1,0073 u Massa do nêutron = 1,0087 u A massa do núcleo do 27 Al é aproximadamente 27 u. Na realidade, medições mais exatas mostram que a massa nuclear é sempre ligeiramente menor que a massa combinada dos prótons e nêutrons que constituem o núcleo. Os processos de fissão e fusão nuclear estão baseados nestas diferenças de massa. Um mol de qualquer elemento (ou composto) é constituído por um número de moléculas da substância igual ao número de Avogadro N A. O número de Avogadro se define de modo que um mol de átomos de carbono 12 tenha uma massa exatamente igual a 12 g. O seu valor é N A = 6,02 x moléculas/mol. Por exemplo, um mol de alumínio tem a massa de 27 g e um mol de chumbo, a massa de 207 g. Embora os dois tenham massas diferentes, um mol de alumínio contém o mesmo número de átomos que um mol de chumbo. Uma vez que num mol de qualquer elemento existem 6,02 x átomos, a massa de um átomo será dada por Por exemplo, a massa de um átomo de alumínio é massa atômica m = 1.2 N A 27 g / mol m = 6,02

15 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 2 at 1. Mostrar que a expressão x = vt + está dimensionalmente correta, sendo x uma coordenada 2 com a dimensão de comprimento, v uma velocidade, a uma aceleração e t o tempo. 2. O deslocamento de uma partícula que se move com aceleração uniforme é uma função do tempo n e da aceleração. Suponhamos que esse deslocamento seja descrito por s = ka m t, onde k é uma constante adimensional. Mostrar, pela análise dimensional, que essa expressão estará satisfeita se m = 1 e n = 2. Esta análise pode dar o valor de k? 3. O quadrado da velocidade de um corpo que se desloca com aceleração uniforme a é uma função 2 de a e do deslocamento s, conforme a expressão v = ka m s n, onde k é uma constante adimensional. Mostrar, pela análise dimensional, que essa expressão estará satisfeita se m = n = O consumo de gás natural por uma certa usina obedece à equação empírica V = 1,5t + 0,008t, onde V é o volume, em milhões de pés cúbicos e t o tempo em meses. Exprimir essa equação nas unidades pés cúbicos e segundos. Indicar as unidades apropriadas nos coeficientes. Admitir o mês com 30 dias. R: V = 0,58t + 1, t 2 5. A lei da gravitação universal, de Newton, é dada por F = G Nessa expressão, F é a força da gravidade, M e m são as massas e r é a distância entre as massas. A força tem as unidades kg.m/s 2. Quais as unidades SI da constante de proporcionalidade G? R: As unidades de G são m 3 /(kg.s 2 ) 6. Converter o volume 8,50 in. 3 para m 3, lembrando que 1 in.=2,54 cm e 1 cm = 10-2 m. R: 4 1,39 10 m 3 7. Um lote de terreno tem 100,0 ft por 150,0 ft. Determinar a área desse lote em m 2. R: 3 1,39 10 m 2 8. Um certo animal desloca-se à velocidade de 5 furlongs por quinzena (essa unidade de velocidade é bem pouco usual). Sabendo que 1 furlong = 220 jardas e que uma quinzena = 14 4 dias, determinar a velocidade do animal em m/s. R: 8,32 10 m/s 9. Um terreno tem uma área de uma milha quadrada e tem 640 acres. Determinar o número de 3 metros quadrados em 1 acre. R: 1,56 10 mi (a) Achar o fator de conversão para passar de mi/h a km/h. (b) Até pouco tempo, a velocidade nas rodovias estava limitada a 55 mi/h. Usar o fator de conversão encontrado na parte (a) para achar esse limite de velocidade em km/h. (c) Em certas regiões, o limite de velocidade foi elevado para 65 mi/h. Qual o valor dessa elevação, em relação ao limite anterior de 55 mi/h, expresso em km/h? R: (a) 1 mi/h = 1,609 km/h; (b) 88,5 km/h; (c) 16,1 km/h 11. A base de uma pirâmide cobre uma área de 13 acres (1 acre = ft 2 ) e tem a altura de 481 ft. O volume de uma pirâmide é dado pela expressão V = Bh/3, onde B é a área da base e h a 6 altura da pirâmide. Achar o volume dessa pirâmide em metros cúbicos. R: 2,57 10 m 3 Mm 2 r 15

16 Sabendo que a densidade média da Terra é de 5,5 g/cm 3 e que o raio médio é de 6,37 x 10 6 m, 24 calcular a massa da Terra. R: 5,95 10 kg 13. Vamos admitir que uma mancha de óleo, na superfície da água, seja constituída por uma camada monomolecular e que cada molécula de óleo ocupe um cubo com aresta de 1,0 µm. Estimar a área de uma mancha de óleo formada por 1,0 m 3 de óleo. R: 10 6 m Um metro cúbico (1,0 m 3 ) de alumínio tem massa de 2,70 x 10 3 kg e 1,0 m 3 de ferro tem a massa de 7,86 x 10 3 kg. Achar o raio de uma esfera maciça de alumínio que equilibre uma esfera maciça de ferro, com o raio de 2,0 cm, quando ambas estiverem penduradas numa balança de braços iguais. R: 2,86 cm 15. Calcular a densidade de um cubo maciço que tem 5 cm de aresta e uma massa de 350 g. R: 2,80 g/cm Quantos gramas de cobre serão necessários para fazer uma casca esférica, com o oco interno tendo 5,70 cm de raio e o raio externo de 5,75 cm? A densidade do cobre é 8,93 g/cm 3. R: 184 g 17. Admitamos que sejam necessários sete minutos para encher um tanque de gasolina com 30 galões. (a) Calcular a vazão de enchimento do tanque, em galões por segundo. (b) Calcular a vazão de enchimento em metros cúbicos por segundo. (c) Determinar o tempo, em horas, 2 necessário para encher um metro cúbico, com a mesma vazão. R: (a) 7,14 10 gal/s; (b) 4 2,70 10 m 3 /s; (c) 1,03 h