ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ÈÖÓ º Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Î Ð Ó ËÓ Ö Ò Ó ½ Ñ Ó ¾¼½¾ Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö ÛÛÛºÙÒ Ú º Ùº Ö» Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ
|
|
|
- Pedro Lucas Estrada
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ÈÖÓ º Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Î Ð Ó ËÓ Ö Ò Ó ½ Ñ Ó ¾¼½¾ Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö ÛÛÛºÙÒ Ú º Ùº Ö» Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
2 Ð Ó Ö ½ Ì ÓÖ ÓÑÔÙØ Ó Ô ØÙÐÓ ¾µ ̺ º Ú Ö Ó Èº º Å Ò Þ ÓÓ Ñ Ò ¾¼¼ ¾ Ó ¾ ÈÖÓ Ö Ñ ² Å Ò ¹ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ô ØÙÐÓ ½ ¾µ ʺ Ö ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ½ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
3 ÊÓØ ÖÓ ½ ¾ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò Ñ ÕÙ Ò Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü Ö Ó Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
4 ÈÖÓ Ö Ñ ÓÒ ØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÖÙ ÕÙ Ø Ð Ñ Õ Ò Ñ ÕÙ ÖØ ÓÔ Ö Ø Ø Ú Ñ Ö Ü ÙØ Ó Ç Ø Ú Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ó ÒØÖ ÔÖÓ ÙÞ Ò Ó ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÓÐ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ñ Ò Ö ÓÑÓ ÓÔ Ö Ó Ø Ø Ó ÕÙ Ò Ó ÒÓ Ø ÑÔÓ Ì ÔÓ ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÓÐ ÅÓÒÓÐ Ø ÓÛ ÖØ ÔÖÓ Ö Ñ µ ÁØ Ö Ø Ú Û Ð ÔÖÓ Ö Ñ µ Ê ÙÖ Ú ÔÖÓ ÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ µº ÓÑÔÓ Ó ÕÙ Ò Ð Á ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö À ººº Á ÒØ ÓÖ Ø Ø T 1,T 2,T 3 ººº ÇÔ Ö Ó Ú Þ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
5 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ú Ó Ö ØÖ Ö Ó ÍÑ Ò Ó ÐÓÓ Ð Ñ ÒØÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ú Ó ÓÒ ÓÒ Ú Ó ÒÓÒ ÓÒ º Ê ÔÖ ÒØ Ö ÙÜÓ Ö Ñ µ Ì ÜØÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ µº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
6 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
7 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÐÙÜÓ Ö Ñ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
8 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ò Ó ÍÑ Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÙÑ Ò Ø Ö Ø Ö ÕÙ ÔÓ Ù ÙÑ Ó Ù ÒØ ÓÖÑ ØÓ r 1 F Ú Ô Ö r 2 ÓÔ Ö Ó ÑÔÐ µ r 1 Ú Ô Ö r 2 ÓÔ Ö Ó Ú Þ µ r 1 T ÒØÓ Ú Ô Ö r 2 ÒÓ Ú Ô Ö r 3 Ø Ø µ ÓÒ r 1,r 2 r 3 Ó Ö ØÙÐÓ ÒÙÑ Ö Ó F ÙÑ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó T ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
9 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ò Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P ÙÑ Ô Ö ÓÖ Ò Ó ÓÒ P = (I,r) I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓµ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ r Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ðº Ç ÖÚ Ù Ò ØÖÙ ÒÓ ÔÓ Ñ Ø Ö Ó Ñ ÑÓ Ö ØÙÐÓ Ê ØÙÐÓ Ò Ó ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ö Ö Ò Ó Ñ ÒÓ ØÓ Ó Ó Ò Ò ÙÑ Ò ØÖÙÓº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
10 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P 1 = (I 1,1) ÓÒ I 1 = { ½ F Ú Ô Ö ¾ ¾ T 1 ÒØÓ Ú Ô Ö ½ ÒÓ Ú Ô Ö G Ú Ô Ö T 2 ÒØÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ½} P 2 = ({1 Ú Ô Ö ¾} ½µ P 3 = ({1 F Ú Ô Ö ¾ ¾ T Ú Ô Ö ½ ÒÓ Ú Ô Ö } ½µ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
11 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ö Ñ ØÖÙØÙÖ Ó Ñ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ñ ÒØÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ü ÙÓ ÕÙ Ò Ð Ü ÙÓ ÓÒ ÓÒ Ð Ò ÒØÖ Ò µ Ü ÙÓ Ø Ö Ø Ú Ò ÒØÖ Ò µº Ê ÔÖ ÒØ Ö ÙÜÓ Ö Ñ ØÖÙØÙÖ Óµ Ì ÜØÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÖÙ ÕÙ Ö Ð Þ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ ØÖÙØÙÖ Óµº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
12 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ó Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÓÔ Ö Ó Ú Þ Ó ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ë V W Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÒØÓ V ;W ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÙÓ ÕÙ Ò Ðµ Ë V W Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ T ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØÓ T ÒØÓ V ÒÓ W ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÙÓ ÓÒ ÓÒ Ðµ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
13 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ó Ë V ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ T ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØÓ ÒÕÙ ÒØÓ T V ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÙÓ Ø Ö Ø Ú Ó Ø ÔÓ ÒÕÙ ÒØÓ µ Ë V ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ T ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØÓ Ø T V ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÙÓ Ø Ö Ø Ú Ó Ø ÔÓ Ø Ù Ø ØÙ Ó ÒÕÙ ÒØÓ ÓÑ ÓÒ Ó Ò µº Ë V ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÒØÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓº (V ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
14 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÑÔÐÓ T 1 ÒØÓ ÒÕÙ ÒØÓ T 2 Ø T 3 (V ;W) ÒÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
15 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ ÓÒ ØÓ ËÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ñ ÓÑ Ò Ó Ø Ö Ø ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ü ÙÓ ÕÙ Ò Ð Ü ÙÓ ÓÒ ÓÒ Ð Ò ÒØÖ Ò µ Ò Ó Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ù ÔÖÓ Ö Ñ º Ê ÔÖ ÒØ Ì ÜØÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÖÙ ÕÙ Ö Ð Þ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ ØÖÙØÙÖ Óµº ÓÒ Ö ÕÙ R 1,R 2,... Ó ÒØ ÓÖ Ù ÔÖÓ Ö Ñ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
16 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ò Ó Ò Ó ÜÔÖ Ó ÓÔ Ö Ó Ú Þ Ó ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó Ó ÜÔÖ Ç ÒØ ÓÖ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÜÔÖ Ë V W Ó ÜÔÖ ÒØÓ V ;W ÙÑ ÜÔÖ Ó Ü ÙÓ ÕÙ Ò Ðµ Ë V W Ó ÜÔÖ T ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØÓ T ÒØÓ V ÒÓ W ÙÑ ÜÔÖ Ó Ü ÙÓ ÓÒ ÓÒ Ðµ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
17 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ò Ó Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P E 0 ÓÒ R 1 E 1,R 2 E 2,...,R n E n R 1,R 2,...,R n Ó ÒØ ÓÖ Ù ÔÖÓ Ö Ñ E 1,E 2,...,E n Ó ÜÔÖ ÕÙ Ò Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÒØ Ó ÔÓÖ R 1,R 2,...,R n E 0 ÜÔÖ Ó Ò Ð ÌÓ Ó Ó ÒØ ÓÖ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ö Ò Ó Ñ P Ú Ñ Ö Ò Ó Ñ P º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
18 ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ P R;S ÓÒ R F T ÒØÓ R ÒÓ G;S S T ÒØÓ ÒÓ F;R Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
19 Å ÕÙ Ò ÓÒ ØÓ Ó ÍÑ Ñ ÕÙ Ò ÈÓ Ù ØÖÙØÙÖ Ô Ö ÖÑ Þ Ò Ñ ÒØÓ Ó Ñ Ñ Ö µ ÈÓ Ù Ô Ð Ö ÚÓÐÚ Ö Ó Ô Ö Ó Ñ Ó ÜØ ÖÒÓ Ö ÔÓÒ Ú Ð ÔÓÖ ØÖ Ù Ö Ò Ó Ô Ö Ó ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó Ø Ø Ù Ó ÒÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÓÖÑ ÙÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÐØ Ö Ó Ó ÓÒØ Ó Ñ Ñ Ö Ô Ö Ó ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Óµ Ð ÓÖ Ó ÙÑ Ú ÐÓÖ Ð Ó Ô ÖØ Ö Ó ÓÒØ Ó Ñ Ñ Ö Ñ ÒÓ ÒØ ÒØÓ ÐØ Ö ¹Ð ÒØ ÓÖ Ø Ø µº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
20 Å ÕÙ Ò Ò Ó ÍÑ Ñ ÕÙ Ò ÙÑ ¹ÙÔÐ M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÓÒ V Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö ÖÑ Þ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ö X Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö Ð Ó Ò ÒØÖ Y Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö Ö ØÓ Ò π X ÙÒÓ ÒØÖ Ø Ð ÕÙ π X : X V π Y ÙÒÓ Ø Ð ÕÙ π Y : V Y Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾¼» ½¾
21 Å ÕÙ Ò Ò Ó Ë Ñ O M T M Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ø Ò Ó ÔÓÖ Mº Π O Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÔ Ö Ø Ð ÕÙ o O M,(π o : V V ) Π O Π T Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ø Ð ÕÙ t T M,(π t : V {Ú Ö ÖÓ Ð Ó}) Π T Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾½» ½¾
22 Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) V = N 2 X = N Y = N π X = ÖÑ Þ Ò π Y =Ö ØÓÖÒ Π O = { Ù ØÖ ÓÒ } Π T = { Þ ÖÓ} Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾¾» ½¾
23 Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ ÖÑ Þ Ò N N 2 n N, ÖÑ Þ Ò (n) = (n,0) Ö ØÓÖÒ N 2 N (n,m) N 2, Ö ØÓÖÒ (n,m) = m ÓÒ N 2 N 2 (n,m) N 2, ÓÒ (n,m) = (n,m + 1) Ù ØÖ N 2 N 2 (n,m) N 2,n > 0, Ù ØÖ (n,m) = (n 1,m) n = 0, Ù ØÖ (n,m) = (0,m) Þ ÖÓ N 2 {Ú Ö ÖÓ Ð Ó} (n,m) N 2, n = 0, Þ ÖÓ(n,m) = Ú Ö ÖÓ (n,m) N 2, n 0, Þ ÖÓ(n,m) = Ð Ó Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
24 Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ Å ÕÙ Ò ÍÑ Ê ØÖ ÓÖ M U = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) V = N X = N Y = N π X = id N π Y = id N Π O = { Ù } Π T = {Þ ÖÓ} Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
25 Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ id N : N N n N,id N (n) = n N N n N, (n) = n + 1 Ù N N n N,n > 0, Ù (n) = n 1 n = 0, Ù (n) = 0 Þ ÖÓ N {Ú Ö ÖÓ Ð Ó} n = 0, Þ ÖÓ(n) = Ú Ö ÖÓ n 0, Þ ÖÓ(n) = Ð Ó Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
26 Å ÕÙ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÙÑ Å ÕÙ Ò Ò Ó Ë Ñ M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) P ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ O P T P Ó Ó Ö Ô Ø ÚÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ø P º P ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ñ ÕÙ Ò M ÓÑ ÒØ o O P, Ü Ø ÙÑ Ò ÙÒÓ (π o : V V ) Π O t T P, Ü Ø ÙÑ Ò ÙÒÓ (π t : V {Ú Ö ÖÓ Ð Ó}) Π T ÓÔ Ö Ó Ú Þ ÑÔÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ò º ÈÓÖØ ÒØÓ P ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M ØÓ Ó Ó ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ø ÙØ Ð Þ Ó Ñ P Ø Ú Ö Ñ Ò Ó Ñ M ØÖ Ú ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÓÔ Ö Ø Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
27 Å ÕÙ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÙÑ Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ½ Þ ÖÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ¾ ¾ Ù ØÖ Ú Ô Ö ÓÒ Ú Ô Ö ½ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R ÓÒ R Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ S;Rµ S Ù ØÖ ÓÒ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
28 Å ÕÙ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÙÑ Å ÕÙ Ò Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö Å ÕÙ Ò ÍÑ Ê ØÖ ÓÖ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R ÓÒ R Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
29 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÒ ØÓ Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P = (I,r) Ô Ö M ÓÒ R Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ØÙÐÓ P º ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ R V (r 0,v 0 )(r 1,v 1 )(r 2,v 2 )... ÓÒ r 0 = r Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ð P v 0 Ó ÓÒØ Ó Ò Ð Ñ Ñ Ö Mº Ò Õ Ò Ø Ó ÕÙ Ó ÙÑ Ó Ô Ð Ñ ÕÙ Ò M ÙÖ ÒØ Ü ÙÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ P ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó ÔÓ Ö Ò Ø ÓÙ Ò Ò Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
30 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ò Ó Ç Ô Ö (r k+1,v k+1 ),k 0 Ó Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ô Ö (r k,v k ) Ô ÖØ Ö Ò Ð Ó Ø ÔÓ Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÔÓÖ r k r k : F Ú Ô Ö r (r k+1,v k+1 ) = (r,π F (v k )) r k : Ú Ô Ö r (r k+1,v k+1 ) = (r,v k ) r k : T ÒØÓ Ú Ô Ö r ÒÓ Ú Ô Ö r π T (v k ) Ú Ö ÖÓ ÒØÓ (r k+1,v k+1 ) = (r,v k ) π T (v k ) Ð Ó ÒØÓ (r k+1,v k+1 ) = (r,v k ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
31 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P ½ Þ ÖÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ¾ ¾ Ù ØÖ Ú Ô Ö ÓÒ Ú Ô Ö ½ ÓÑÔÙØ Ó P Ò Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D ½ ¼µµ ¾ ¼µµ ¾ ¼µµ ½ ¾ ½µµ ¾ ¾ ½µµ ½ ½µµ ½ ½ ¾µµ ¾ ½ ¾µµ ¼ ¾µµ ½ ¼ µµ ¼ µµ ÓÑÔÙØ Ó ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
32 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Q ½ ÓÒ Ú Ô Ö ½ ÓÑÔÙØ Ó Q Ò Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D ½ ¼µµ ½ ½µµ ½ ¾µµ ½ µµ ½ µµ ½ µµ ½ µµ ½ µµ ½ µµ ½ µµ ººº ÓÑÔÙØ Ó ÁÆ ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
33 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÓÒ ØÓ Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P Ô Ö Mº ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ I V (i 0,v 0 )(i 1,v 1 )(i 2,v 2 )... ÓÒ I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ i 0 = P; v 0 Ó ÓÒØ Ó Ò Ð Ñ Ñ Ö Mº Ò Õ Ò Ø Ó ÕÙ Ó ÙÑ Ó Ô Ð Ñ ÕÙ Ò M ÙÖ ÒØ Ü ÙÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ P ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó ÔÓ Ö Ò Ø ÓÙ Ò Ò Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
34 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ó Ç Ô Ö (i k+1,v k+1 ),k 0 Ó Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ô Ö (i k,v k ) Ô ÖØ Ö Ò Ð Ó Ø ÔÓ Ò ØÖÙÓ Ò Ð i k º ÓÒ Ö ÕÙ U W Z Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ F ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó T ÒØ ÓÖ Ø Ø º i k = ÓÑÔÙØ Ó Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ v k Ò Ñ Ñ Ö º i k = F;U (i k+1,v k+1 ) = (U,π F (v k )) i k = T ÒØÓ U ÒÓ W;Z π T (v k ) Ú Ö ÖÓ (i k+1,v k+1 ) = (U;Z,v k ) π T (v k ) Ð Ó (i k+1,v k+1 ) = (W;Z,v k ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
35 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ó i k = ÒÕÙ ÒØÓ T U;W π T (v k ) Ú Ö ÖÓ (i k+1,v k+1 ) = (U; ÒÕÙ ÒØÓ T U;W,v k ) π T (v k ) Ð Ó (i k+1,v k+1 ) = (W,v k ) i k = Ø T U;W π T (v k ) Ð Ó (i k+1,v k+1 ) = (U; Ø T U;W,v k ) π T (v k ) Ú Ö ÖÓ (i k+1,v k+1 ) = (W,v k ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
36 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ÓÑÔÙØ Ó P Ò Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ¾ ¼µµ Ù ØÖ ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ¾ ¼µµ ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ½ ¼µµ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ½ ½µµ Ù ØÖ ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ½ ½µµ ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ¼ ½µµ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ ¼ ¾µµ ¼ ¾µµ ÓÑÔÙØ Ó ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
37 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ ÓÒ ØÓ Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) P ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ô Ö M P E 0 ÓÒ R 1 E 1,R 2 E 2,...,R n E n º ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ J V (j 0,v 0 )(j 1,v 1 )(j 2,v 2 )... ÓÒ J ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÜÔÖ j 0 = E 0 ; v 0 Ó ÓÒØ Ó Ò Ð Ñ Ñ Ö Mº Ò Õ Ò Ø Ó ÕÙ Ó ÙÑ Ó Ô Ð Ñ ÕÙ Ò M ÙÖ ÒØ Ü ÙÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ P ÍÑ ÓÑÔÙØ Ó ÔÓ Ö Ò Ø ÓÙ Ò Ò Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
38 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ò Ó Ç Ô Ö (j k+1,v k+1 ),k 0 Ó Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ô Ö (j k,v k ) Ô ÖØ Ö Ò Ð Ó Ø ÔÓ Ò ØÖÙÓ Ò Ð j k º ÓÒ Ö ÕÙ U W Z Ó ÜÔÖ F ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ó T ÒØ ÓÖ Ø Ø R i ÒØ ÓÖ Ù ÔÖÓ Ö Ñ º j k = ;U (j k+1,v k+1 ) = (U,v k ) j k = F;U (j k+1,v k+1 ) = (U,π F (v k )) j k = R i ;U (j k+1,v k+1 ) = (E i ;U,v k ) j k = T ÒØÓ U ÒÓ W;Z π T (v k ) Ú Ö ÖÓ (j k+1,v k+1 ) = (U;Z,v k ) π T (v k ) Ð Ó (j k+1,v k+1 ) = (W;Z,v k ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
39 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P P R ÓÒ R Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ S;Rµ S Ù ØÖ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ó P Ò Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D R; ¾ ¼µµ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ S; Rµµ ¾ ¼µµ S; R ¾ ¼µµ Ù ØÖ ÓÒ R ¾ ¼µµ ÓÒ R ½ ¼µµ R; ½ ½µµ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ S; Rµµ ½ ½µµ ººº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
40 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÒØ ÒÙ Ó ÓÑÔÙØ Ó P Ñ M ººº S; R ½ ½µµ Ù ØÖ ÓÒ R ½ ½µµ ÓÒ R ½ ¾µµ R; ¼ ¾µµ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ S; Rµµ ¼ ¾µµ ¼ ¾µµ ¼ ¾µµ ÓÑÔÙØ Ó ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
41 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Q Q R ÓÒ R R ÓÑÔÙØ Ó Q Ò Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ R; ¾ ¼µµ ººº ÓÑÔÙØ Ó ÁÆ ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
42 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P P R ÓÒ R Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ ÓÑÔÙØ Ó P Ò Å ÕÙ Ò ÍÑ Ê ØÖ ÓÖ M U R; ¾µ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ ¾µ Ù R ¾µ R ½µ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ ½µ Ù R ½µ R ¼µ Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ ¼µ ¼µ ººº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
43 ÓÑÔÙØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÒØ ÒÙ Ó ÓÑÔÙØ Ó P ººº ¼µ ½µ ¾µ µ µ ÓÑÔÙØ Ó ÁÆÁÌ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
44 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÓÒ ØÓ Ó Ç Ø ÒÓ ÙÑ Ô ÖØ Ö ÙÑ ÒØÖ Ñ Ø ÑÔÓ Ò ØÓ Ò Ô Ö ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ º ÔÐ ¹ ÙÒÓ ÒØÖ π X Ó Ó ÒØÖ Ü ÙØ ¹ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ø µ ÔÐ ¹ ÙÒÓ π Y Ó Ú ÐÓÖ Ò Ð Ñ Ñ Ö º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
45 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ò Ó Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P Ô Ö Mº ÙÒÓ ÓÑÔÙØ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÒÓØ P,M : X Y ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö Ð Ò Ô Ö x X (r 0,v 0 )(r 1,v 1 )...(r n,v n ) ÙÑ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ø P Ñ M ÓÒ r 0 Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ð P v 0 = π X (x) Ñ Ñ x ÒÓØ P,M (x) ÔÓÖ π Y (v n )º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
46 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P ÜÓ ½ Þ ÖÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ¾ ¾ Ù ØÖ Ú Ô Ö ÓÒ Ú Ô Ö ½ P,M D : N N n N, P,M D (n) = n P Ö ÔÖÓ ÙÞ Ò Ó Ó ÒØÖ Ü ÑÔÐÓ πx (3) = (3, 0) ÓÑÔÙØ Ó P Ñ M D ÔÖÓ ÙÞ Ó Ú ÐÓÖ Ò Ð (0, 3) πy (0, 3) = 3 ÈÓÖØ ÒØÓ P, M D (3) = 3 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
47 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ó Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P Ô Ö Mº ÙÒÓ ÓÑÔÙØ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÒÓØ P,M : X Y ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö Ð Ò Ô Ö x X (i 0,v 0 )(i 1,v 1 )(i 2,v 2 )...(i n,v n ) ÙÑ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ø P Ñ M ÓÒ i 0 = P; v 0 = π X (x) Ñ Ñ x ÒÓØ P,M (x) ÔÓÖ π Y (v n )º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
48 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Å ÕÙ Ò Ó Ê ØÖ ÓÖ M D Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P ÜÓ Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ P,M D : N N n N, P,M D (n) = n P Ö ÔÖÓ ÙÞ Ò Ó Ó ÒØÖ Ü ÑÔÐÓ πx (2) = (2, 0) ÓÑÔÙØ Ó P Ñ M D ÔÖÓ ÙÞ Ó Ú ÐÓÖ Ò Ð (0, 2) πy (0, 2) = 2 ÈÓÖØ ÒØÓ P, M D (2) = 2 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
49 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ò Ó Ë Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P Ô Ö Mº ÙÒÓ ÓÑÔÙØ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P Ò Ñ ÕÙ Ò M ÒÓØ P,M : X Y ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö Ð Ò Ô Ö x X (j 0,v 0 )(j 1,v 1 )(j 2,v 2 )...(j n,v n ) ÙÑ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ø P Ñ M ÓÒ j 0 = E 0 ; v 0 = π X (x) Ñ Ñ x ÒÓØ P,M (x) ÔÓÖ π Y (v n )º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
50 ÙÒÓ ÓÑÔÙØ ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Å ÕÙ Ò ÍÑ Ê ØÖ ÓÖ M U Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P ÜÓ P R ÓÒ R Þ ÖÓ ÒØÓ ÒÓ Ù R µ P,M U : N N n N, P,M U (n) = 2n P ÙÔÐ Ò Ó Ó ÒØÖ Ü ÑÔÐÓ πx (2) = 2 ÓÑÔÙØ Ó P Ñ M U ÔÖÓ ÙÞ Ó Ú ÐÓÖ Ò Ð 4 πy (4) = 4 ÈÓÖØ ÒØÓ P, M U (2) = 4 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
51 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ P Q ÕÙ ÕÙ Ö Ø ÔÓ Ó ØÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒÓØ Ó P Q ÓÑ ÒØ M, P,M = Q,M ÇÙ P Q Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ ÒØ Ö Ô Ø Ú ÙÒ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ñ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ò M ÕÙ ÔÓ ÓÒ Ö Öº Ö Ð Ó Ò ÙÞ ÙÑ Ô ÖØ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ð Ô ÖÑ Ø Ò Ð Ö ÓÖÑ ÓÑÔ Ö Ø Ú ÔÖÓÔÖ Ü Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÓ Ó Ó Ù ÓÑÔÐ Ü ØÖÙØÙÖ Ðº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
52 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÈÖÓÔÖ ÓÑÔÙØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÕÙ Ö Ø ÔÓ µ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ü ÙØ Ñ Å ËÅ Ë ÓÔ Ö Ò Å ËÅ ÓÖ Ñº Ù Ø Ø Ú Ô Ö ÖÑ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ô ÒØÖÓ ÙÓ Ó ÓÒ ØÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
53 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ Ç ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P 1 P 2 ÜÓ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ P 1 ½ T Ú Ô Ö ¾ ÒÓ Ú Ô Ö ¾ F Ú Ô Ö ½ P 2 ½ T Ú Ô Ö ¾ ÒÓ Ú Ô Ö ¾ F Ú Ô Ö T Ú Ô Ö ½ ÒÓ Ú Ô Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
54 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÙØ Ó P 1 ÓÑ ÒØÖ x (1,π X (x)) (2,π X (x)) (1,π F (π X (x))) (2,π F (π X (x))) (1,π 2 F (π X(x))) (2,π 2 F (π X(x)))... (1,π n F (π X(x))) (3,π n F (π X(x))) ÈÓÖØ ÒØÓ P 1,M (x) = π Y (π n F (π X(x))) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
55 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÙØ Ó P 2 ÓÑ ÒØÖ x (1,π X (x)) (2,π X (x)) (3,π F (π X (x))) (1,π F (π X (x))) (2,π F (π X (x))) (3,πF 2 (π X(x))) ººº (1,π n 1 F (π X (x))) (2,π n 1 F (π X (x))) (3,πF n(π X(x))) (4,πF n(π X(x))) ÈÓÖØ ÒØÓ P 2,M (x) = π Y (π n F (π X(x))) P 1 P 2 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
56 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ Ç ÔÖÓ Ö Ñ P 3 Ø Ö Ø ÚÓµ P 4 Ö ÙÖ ÚÓµ ÜÓ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ P 3 ÒÕÙ ÒØÓ T F P 4 P 4 R ÓÒ R T ÒØÓ F;Rµ ÒÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
57 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÙØ Ó P 3 ÓÑ ÒØÖ x ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π X (x)) F ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π X (x)) ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π F (π X (x))) F ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π F (π X (x))) ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π 2 F (π X(x))) ººº ÒÕÙ ÒØÓ T F;,π n F (π X(x))),π n F (π X(x))) ÈÓÖØ ÒØÓ P 3,M (x) = π Y (π n F (π X(x))) P 1 P 2 P 3 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
58 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔÙØ Ó P 4 ÓÑ ÒØÖ x R;,π X (x)) T ÒØÓ F;Rµ ÒÓ µ,π X (x)) F;R,π X (x)) R,π F (π X (x))) T ÒØÓ F;Rµ ÒÓ µ,π F (π X (x))) F;R,π F (π X (x))) R,π 2 F (π X(x))) ººº R,π n F (π X(x))) T ÒØÓ F;Rµ ÒÓ µ,π n F (π X(x))),π n F (π X(x))),π n F (π X(x))) ÈÓÖØ ÒØÓ P 4,M (x) = π Y (π n F (π X(x))) P 1 P 2 P 3 P 4 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
59 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ë P I ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓº ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P M Ø Ð ÕÙ P M P I º ÂÙ Ø Ø Ú Ó Ø ÒÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ P M ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ô ÖØ Ö P I Ö Ø Ô ÖØ Ö Ó Ñ Ô Ñ ÒØÓ ÓÒ ØÖÙ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ñ Õ Ò ÓÒ ØÖÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Óº ÓÑÓ Ñ Ñ ÓÔ Ö Ó Ü ÙØ Ò Ñ Ñ ÓÖ Ñ Ñ Ñ Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ó ÒØ P M P I º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
60 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
61 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P I Ø Þ ÖÓ Ù ØÖ ÓÒ µ Ç ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P M ÜÓ Ó Ø Ó ÔÓÖ Ñ Ô Ñ ÒØÓ Ö ØÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ P I ½ Þ ÖÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ¾ ¾ Ù ØÖ Ú Ô Ö ÓÒ Ú Ô Ö ½ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
62 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ¾ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ê ÙÖ ÚÓ Ë P M ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Óº ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R Ø Ð ÕÙ P R P M º ÂÙ Ø Ø Ú ËÙÔÓÒ ÕÙ L = {r 1,r 2,...,r n } Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ØÙÐÓ P M r 1 Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ð ÕÙ r n Ó Ò Óµ Ö ØÙÐÓ Ò Ðº ÒØÓ P R R 1 ÓÒ R 1 E 1,R 2 E 2,...,R n k,1 k < n E k Ò Ó Ù ÒØ ÓÖÑ rk : F Ú Ô Ö r i E k = F; R i rk : T ÒØÓ Ú Ô Ö r i ÒÓ Ú Ô Ö r j E k T ÒØÓ R i ÒÓ R j µ P R P M Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
63 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Q ½ Þ ÖÓ Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ¾ ¾ Ù ØÖ Ú Ô Ö ÓÒ Ú Ô Ö ½ Ç ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ R ÜÓ Ó Ø Ó ÔÓÖ Ñ Ô Ñ ÒØÓ Ö ØÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Q R R 1 ÓÒ R 1 Þ ÖÓ R 4 ÒÓ R 2 µ R 2 Ù ØÖ R 3 µ R 3 ÓÒ R 1 µ R 4 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
64 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖÓÐ Ö Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ê ÙÖ ÚÓ È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P I Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R Ø Ð ÕÙ P R P I Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
65 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ê ÙÖ ÚÓ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P M Ø Ð ÕÙ P M P R ÂÙ Ø Ø Ú Ù ÒØ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ ÕÙ Ô Ö ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ñ ÕÙ Ò ÒÓ ÔÖ ÒØ Ò Ò ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÕÙ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÓÒ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ P R ÜÓ Ñ ÕÙ Ò ÙÑ Ö ØÖ ÓÖ M U P R R ÓÒ R zero ÒØÓ ÒÓ sub;r;add;addµ P R,M U (n) = 2n Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
66 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ê ÙÖ ÚÓ Õ Ò ÓÔ Ö ÓÒØ Ò ÓÑÔÙØ Ó P R Ô Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØÖ n sub;sub;...;sub; add;add;...;add }{{}}{{} n 2n ËÙÔÓÒ ÕÙ P M ÓÒØ Ñ k ÓÔ Ö add ÙÑ ÒÙÑ Ò ØÖÙÓ Ö ÒØ µ ËÙÔÓÒ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØÖ n > k/2 ÓÑÓ ÔÓÖ Ô Ø P M P R Ñ Ñ Õ Ò ÓÔ Ö Ü ÙØ ÔÓÖ P M Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
67 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ê ÙÖ ÚÓ ÓÑÓ 2n > k Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ñ Ñ Ò ØÖÙÓ add Ü ÙØ Ñ ÙÑ Ú Þ Ò ÓÑÔÙØ Ó P M Á Ó Ò ÕÙ ÙÑ Ú Ó ÒÓÒ ÓÒ Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ü ÙÓ Ö Ô Ø Ò ØÖÙÓ ÔÓ ÒÓ Ö ÔÓ Ú Ð ÓÑ ÙÑ Ò Ó Ö ØÖ ÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ö Ü ÙÓ Ó ÐÓÓÔ Ò Ñ Ó Ö Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒØÖ À ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ñ P M ÒÚÓÐÚ Ò Ó Ò ØÖÙÓ add ÄÓ Ó ÓÑÔÙØ Ó P M ÒÓ ÔÓ Ö Ò Ø Ó ÓÒØÖ Þ Ô Ø Ü Ø Ò P M ÆÓ Ü Ø P M Ø Ð ÕÙ P M P R º ÆÓ ÔÓ Ú Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ô Ö M U ÕÙ Ó Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒØÖ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
68 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Ó ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P M ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ P I Ø Ð ÕÙ P I P M ÂÙ Ø Ø Ú Ù ÒØ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÕÙ Ô Ö ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ñ ÕÙ Ò ÒÓ ÔÖ ÒØ Ò Ò ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÕÙ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÓÒ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P M ÙÖ Ù ÒØ Ñ ÕÙ Ò ÙÑ Ö ØÖ ÓÖ M U P M,M U (n) = 1 n Ô Ö ÓÙ 0 n ÑÔ Öº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
69 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
70 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó Õ Ò ÓÔ Ö ÓÒØ Ò ÓÑÔÙØ Ó P M Ô Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØÖ n sub;sub;...;sub, n ÑÔ Ö }{{} n sub;sub;...;sub; add, n Ô Ö }{{} n ËÙÔÓÒ ÕÙ P I ÓÒØ Ñ k ÓÔ Ö sub ËÙÔÓÒ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØÖ n > k ÓÑÓ ÔÓÖ Ô Ø P I P M Ñ Ñ Õ Ò ÓÔ Ö Ü ÙØ ÔÓÖ P I Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
71 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÁØ Ö Ø ÚÓ ÅÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑÓ n > k Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ò ØÖÙÓ sub Ü ÙØ Ñ ÙÑ Ú Þ Ò ÓÑÔÙØ Ó P I ÄÓ Ó Ü Ø ÙÑ Ò ØÖÙÓ Ø Ö Ø Ú Ó Ø ÔÓ ÒÕÙ ÒØÓ ÓÙ Ø ÕÙ ÓÒØÖÓÐ Ü ÙÓ ÓÔ Ö Ó sub Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ò ØÖÙÓ ÒÓ ÒØ ÒØÓ ÒÓ ÔÓ Ú Ð ÓÒØ Ð Þ Ö ÕÙ ÒØ Ü Ù ÓÔ Ö Ó sub ÕÙ ÓÖ Ñ Ü ÙØ ÒÓ ÐÓÓÔ ÓÒ Õ ÒØ Ñ ÒØ Ø Ò Ù Ö ÓÒ Ó Ô Ö ÓÙ ÑÔ Ö Ó Ú ÐÓÖ n ÒØÖ ÆÓØ ÕÙ Ñ P M Ú Ð Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÒ Óµ Ø Ø ÑÔÐ Ü ÙÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÔ Öµ Ù ØÖ ÄÓ Ó P I ÒÓ Ô Þ ÔÖÓ ÙÞ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÈÓÖØ ÒØÓ ÒÓ Ü Ø P I ÕÙ Ø Ð ÕÙ P I P M º ÆÓ ÔÓ Ú Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ô Ö M U ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÒØÖ Ô Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
72 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ À Ö ÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
73 ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÈÓ Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð Ç ØÖ ÓÖÑ Ð ÑÓ ÔÓ Ù Ñ Ó Ñ ÑÓ ÔÓ Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ò Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÙÑ Ñ ÕÙ Ò Ø Ð ÕÙ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ñ È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ò Ü Ø ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò Ø Ð ÕÙ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ñº Ç Ì ÓÖ Ñ Ñ¹Â ÓÔ Ò ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ó ÓÑÓ ÒØÖ º ÆÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ñ Ñ ÓÔ Ö Ñ Ñ ÓÖ Ñ Ó Ù Ø ÑÔÓÙÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ú Ð Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ò º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
74 ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò Ò Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ P Q ÕÙ ÕÙ Ö Ø ÔÓ Ó ØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ñ ÕÙ Ò M ÒÓØ Ó P M Q ÓÑ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ò Ñ ÕÙ Ò M Ó Ù ÓÙ P,M = Q,M P Q Ò Ó Ó ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ñ ÕÙ Ò M ÓÙ ÔÖÓ Ö Ñ M¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
75 ÕÙ Ú Ð Ò Ñ ÕÙ Ò Ò Ó Ù Ñ ÕÙ Ò Ó Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÑ ÔÓ ÑÙÐ Ö ÓÙØÖ Ú ¹Ú Ö º Ë Ñ M = (V M,X,Y,π XM,π YM,Π OM,Π TM ) N = (V N,X,Y,π XN,π YN,Π ON,Π TN ) N ÑÙÐ ÓÖØ Ñ ÒØ M P, Q P,M = Q,N N ÑÙÐ M P, (Q,c : X M X N,d : Y N Y M ) P,M = d Q,N c (M N) ((M ÑÙÐ N) (N ÑÙÐ M)) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
76 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ØÓ Ó ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÕÙ Ö Ø ÔÓ Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÔÓ Ñ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ Ö ÔÓ Ø Ö Ð Ô Ö ÕÙ ØÓ ÒÚÓÐÚ Ö ÑÓÒ ØÖ Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ ÒØÖ Ø ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ð Ô Ö Ø ÔÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÒÓ ÒØ ÒØÓ Ú Ð Ô Ö ÙÑ Ð Ô Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ ÚÓ ÕÙ Ð ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ñ ÓÔ Ö Ó Ú Þ µ ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ð Ú Ð Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÒ Õ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ø ÚÓ Ø Ñ Ñµ ÈÖ ¹Ö ÕÙ ØÓ Å ÕÙ Ò ØÖ Ó ÁÒ ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
77 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÓÒ ØÓ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ö ÓÑÓ ÙÑ ÓÑÔÓ Ø Ô ÐÓ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ü ÙØ ÙÖ ÒØ ÓÑÔÙØ Óº ÈÖÓ ÙÞ ÙÑ Ø Ö Ó ÓÓÖÖ Ò ÓÔ Ö ÒÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ø Ò Ó Ü ÙØ Ó Ø Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÓÖÑ ÙÑ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö Ñ Ñ Ö ÖÑ Þ Ò ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ó È Ö ÒÓÚ ÓÔ Ö Ó ÒÓÒØÖ Ñ ÕÙ Ò ØÖ Ó ÓÒ Ø Ò Ó ÒØ ÓÖ Ñ Ñ ÒÓ Ò Ð ÖÑ Þ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ü ÙÓ ÖÑ Þ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ö Ø Ò Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÑÓÒ ØÖ Ö ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
78 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ò Ó Ë M ÙÑ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) Ð Ñ Ó ÓÒ Ö O Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø ÔÓÖ M T Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÔÓÖ Mº ÒØÓ V = O X = O Y = O π X = id O π Y = id O Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
79 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ò Ó M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) Π O Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÔ Ö Ø Ð ÕÙ o O,(π o : O O ) Π O Ø Ð ÕÙ, γ O,π o (γ) = γo Π T Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ø Ð ÕÙ t T,(π t : O {Ú Ö ÖÓ Ð Ó}) Π T È Ö Ò Ö ÙÑ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ò Ö Ó Ô Ö Ô Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ø Ø ÙÑ Ú Þ ÕÙ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÔ Ö Ó Ô ÔÖ ÓÖ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
80 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÙÒÓ Ò ÙÞ ÔÓÖ ÙÑ ØÖ Ó Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò Ë N = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) ÓÒ Ö ¹ O = {o 1,o 2,...,o n } Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÔ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Π O γ = o 1 o 2...o n ÙÑ ØÖ Ó Nº ÙÒÓ Ò ÙÞ Ô ÐÓ ØÖ Ó γ Ò Ñ ÕÙ Ò N ÒÓØ Ó [γ,n] : X V ÙÒÓ ØÓØ Ð [γ,n] = π on...π o2 π o1 π X Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
81 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÙÒÓ Ò ÙÞ ÔÓÖ ÙÑ ØÖ Ó Ñ ÙÑ Ñ ÕÙ Ò ÙÒÓ [γ,n] ÔÐ ÙÑ ÒØÖ x X ÒÓØ [γ x,n] = π on...π o2 π o1 π X (x) Ë γ = ɛ ÒØÓ [ɛ x,n] = π X (x) Ç ÖÚ Ö ÕÙ [γ x,n] V º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
82 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ò Ó Π T Ñ ÔÖ Ò Ô Ó Ò Ó Π T Ð ÚÖ À ÒØ Ö ÒÓ ÒØ ÒØÓ Ñ Þ Ö ÓÑ ÕÙ ÙÑ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M ÔÖÓ ÙÞ ÓÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÓÑÔÙØ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ P Ñ Ñ Õ Ò ÓÔ Ö ÕÙ Ö Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ ÓÙØÖ Ñ ÕÙ Ò N ÙÖ ÒØ Ü ÙÓ P ÓÑ ÙÑ ÒØÖ x Æ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÙÒ Ø Ø Ñ M ÔÖÓ ÙÞ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ ÔÖÓ ÙÞ Ö Ñ Ñ N È Ö Ó Ò Ö Ó ÓÒ Ö Ö ÕÙ t T, γ O,π tm (γ) = π tn ([γ x,n]) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
83 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ü ÑÔÐÓ M = (V,X,Y,π X,π Y,Π O,Π T ) O = {F,G,H} Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ ÓÔ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø ÔÓÖ M T = {T } Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÔÓÖ Mº ÒØÓ V = {F,G,H} X = {F,G,H} Y = {F,G,H} π X = id {F,G,H} π Y = id {F,G,H} Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
84 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ü ÑÔÐÓ Π O = {π F,π G,π H } γ {F,G,H},π F (γ) = γf γ {F,G,H},π G (γ) = γg γ {F,G,H},π H (γ) = γh Π T = {π tm } π tm (γ) = π tn ([γ x,n]) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
85 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó P ÜÓ ½ F Ú Ô Ö ¾ ¾ G Ú Ô Ö G Ú Ô Ö T Ú Ô Ö ÒÓ Ú Ô Ö ½ ÓÒ Ö x = ɛ ÈÓÖØ ÒØÓ π X (ɛ) = ɛ ÓÑÔÙØ Ó P Ò Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M ÙÔÓÒ Ó Ù Ø Ö µ (1,ɛ)(2,F)(3,FG)(4,FGG)(1, FGG) (2,FGGF)(3,FGGFG)(4, FGGFGG)(5,FGGFGG) Ñ π Y (FGGFGG) = FGGFGG P,M (ɛ) = FGGFGG Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
86 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ë Ñ P Q Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÔÓ ÕÙ ÕÙ Öº ÒØÓ (P Q) (P M Q) Ô Ö ØÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M µ Ë Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒØÓ Ð Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ØÖ Ú Ð ÔÓ ÓÖÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ò Óµ µ Ë Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÒØÓ Ð Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÑÓÒ ØÖ Óµº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
87 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ R ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö N ÙÑ Ñ ÕÙ Ò M ÙÑ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó º ¹ Ò ÐÑ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ö ÕÙ R,N (x) = π YN [ R,M (ɛ),n] ÇÙ ÕÙ ÙÒÓ ÓÑÔÙØ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ R Ò Ñ ÕÙ Ò N Ù Ð Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó Ô Ð ÓÑÔÓ Ó ÙÒÓ Ñ ÕÙ Ò N ÓÑ ÙÒÓ Ò ÙÞ Ô ÐÓ ØÖ Ó R Ò Ñ ÕÙ Ò Nº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
88 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÓÑÔÙØ Ó R Ñ N ÓÑ ÒØÖ x (r 0,v 0 )(r 1,v 1 )... ÓÑ v 0 = π XN (x) ÓÑÔÙØ Ó R Ñ M ÓÑ ÒØÖ ɛ (m 0,γ 0 )(m 1,γ 1 )... ÓÑ γ 0 = π XM (ɛ) = ɛ ÈÖÓÚ ¹ ÔÓÖ Ò ÙÓ ÕÙ k 0 r k = m k v k = [γ k,n] Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
89 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó k = 0 r0 = m 0 Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ð R v0 = π XN (x) [γ0, N] = [ɛ, N] = π XN (x) ÈÓÖØ ÒØÓ v 0 = [γ 0, N] À Ô Ø k 0 rk = m k vk = [γ k, N] Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
90 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó È Ó Ò ÙÓ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ø ÔÓ Ò ØÖÙÓ Ö Ö Ò ÔÓÖ r k = m k µ F Ú Ô Ö r r k+1 = r m k+1 = r v k+1 = π F (v k ) = π F ([γ k, N]) = [γ k F, N] γ k+1 = γ k F ÈÓÖØ ÒØÓ r k+1 = m k+1 v k+1 = [γ k+1, N] T ÒØÓ Ú Ô Ö r ÒÓ Ú Ô Ö r r k+1 = m k+1 ÔÓ T M (γ k ) = T N ([γ k, N]) = T N (v k ) v k+1 = v k = [γ k, N] = [γ k+1, N] ÈÓÖØ ÒØÓ r k+1 = m k+1 v k+1 = [γ k+1, N] ÑÓÒ ØÖ Ñ Ð Ö ÔÓ Ñ Ö Ø Ô Ö ÓÙØÖÓ Ø ÔÓ ÔÖÓ Ö Ñ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¼» ½¾
91 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó (P M Q) Ô Ö ØÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M (P Q) ÈÖÓÚ Ô Ð ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú (P Q) ((P M Q) Ô Ö ØÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M) ËÙÔÓÒ ÕÙ P Q ÒÓ Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÄÓ Ó Ü Ø ÙÑ Ñ ÕÙ Ò N = (V,X,Y,π XN,π YN,Π ON,Π TN ) ÙÑ ÒØÖ x X Ø Ð ÕÙ P,N (x) Q,N (x) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½» ½¾
92 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÓÒ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M = (O,O,O,id O,id O,Π OM,Π TM ) ÓÒ Ö ÕÙ γ O,π tm Π TM,π tm (γ) = π tn ([γ x,n]) = π tn ([γ,n]) ÓÑÓ R,N (x) = π YN [ R,M (ɛ),n] ÒØÓ P,N (x) Q,N (x) π YN [ P,M (ɛ),n] π YN [ Q,M (ɛ),n] [ P,M (ɛ),n] [ Q,M (ɛ),n] P,M (ɛ) Q,M (ɛ) ÈÓÖØ ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M Ø Ð ÕÙ P Q ÒÓ Ø Ñ Ñ Ñ ÙÒÓ ÓÑÔÙØ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ¾» ½¾
93 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÓÖ Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ËÙÔÓÒ ÕÙ P Q Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÓÒ Ö ÓÑÓ Ô Ø ÕÙ P Q ÒÓ Ñ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÑ Ø ÓÒÐÙ Ö ÔÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ Ö Ø ÕÙ P Q ÒÓ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó Á Ó ÓÒØÖ Þ ÙÔÓ Ó ÓÖ Ò Ð ÄÓ Ó Ô Ø Ð P Q Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
94 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖÓÐ Ö Ó P Q ÓÑ ÒØ Ô Ö ØÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M P,M (ɛ) = Q,M (ɛ) ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÑÓ Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó ÔÖÓ ÙÞ Ñ Ø Ö Ó ÓÔ Ö Ü ÙØ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ù ÕÙ ÔÖÓÔÖ ÔÖ ÒØ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ú Ð ÓÙ ÓÑÔÙØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ü ÙØ Ñ Å ËÅ Ë ÓÔ Ö Ò Å ËÅ ÓÖ Ñº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
95 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÁÒ ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÍÑ Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÙÑ Ò ØÖÙÓ Ó Ø ÔÓ r 1 : T ÒØÓ F Ú Ô Ö r 2 ÒÓ G Ú Ô Ö r 3 Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÓÑ Ò Ñ ÙÑ Ò Ò ØÖÙÓ Ø Ø ÓÔ Ö Ô Ò ÔÓÖØ ÒØÓ Ò Ù Ó Ò ØÖÙ Ø ÒØ Ô Ö Ü ÙØ Ö ÓÔ Ö Ú Ö Ó ÙÜÓ Ó ÓÒØÖÓÐ r 1 ØÓ Ö ØÙÐÓ ÒØ ÓÖ r 2 r 3 r 2 r 3 Ó ØÓ Ö ØÙÐÓ Ù ÓÖ r 1 º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
96 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ò Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø P ÙÑ Ô Ö ÓÖ Ò Ó P = (I,r) ÓÒ I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓµ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø r Ó Ö ØÙÐÓ Ò Ðº Ç ÖÚ Ù Ò ØÖÙ ÒÓ ÔÓ Ñ Ø Ö Ó Ñ ÑÓ Ö ØÙÐÓ Ê ØÙÐÓ Ò Ó ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ö Ö Ò Ó Ñ ÒÓ ØÓ Ó Ó Ò Ò ÙÑ Ò ØÖÙÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
97 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ò Ó r 1 : T ÒØÓ F Ú Ô Ö r 2 ÒÓ G Ú Ô Ö r 3 Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ñ Ö Ö Ú ÔÓÖ r 1 : (F,r 2 )(G,r 3 ) È Ö ÑÔÐ Ö ÑÓÒ ØÖ Ó Ú Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÒ Ö ¹ ÕÙ Ü Ø Ô Ò ÙÑ Ò Ó ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒÓØ Ó T Ç Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ñ Ö Ø Ò Ó Ô Ö Ó Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ñ ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
98 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÑ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÜØ Ò Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒØ Ò n ÒØ ÓÖ Ø Ø ÒÓØ Ó T 1,T 2,...,T n º Æ Ó Ü Ø Ñ 2 n ÓÑ Ò ÔÓ Ú Ô Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÔÓ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ r : (O 1,r 1 )(O 2,r 2 )...(O 2 n,r 2 n) ÓÒ Ö ÑÓ Ò ØÖÙÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø Ø ÓÙ (O 1,r 1 ) T 1 = T 2 =... = T n = Ð Ó ººº (O 2 n,r 2 n) T 1 = T 2 =...T n =Ú Ö ÖÓ ÓÑÓ Ó Ø Ø Ó Ú Ð Ó ÓÐ Ñ ÒØ Ô Ò Ó Ö ÑÓ Ø ÒØÓ (O,r) Ö Ñ Ù Ó Ñ Ò ØÖÙÓ ÓÑ 2 n Ô Ö º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
99 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ê ÔÖ ÒØ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ò ÓÖÑ ÙÑ ÙÜÓ Ö Ñ ØÖ Ù Ö Ö ØÙÐÓ ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö ØÓ ÓÔ Ö ØÖ Ù Ö Ó Ö ØÙÐÓ ɛ Ô Ö Ó Ò Ì ÖÑ ÒÓ ÕÙ Ú Ö Ò Óµ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó Ö ØÙÐÓ Ù Ñ Ó Ò È Ö Ö ØÙÐÓ ÒÙÑ Ö Ó i Ö Ö i : (F,i )(G,i ) ÓÒ Ó Ú Ö Ö Ô Ö Ó Ø Ø T ÑÔÐ Ü ÙÓ ÓÔ Ö Ó F Ô Ü ÙÓ F Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ö ØÙÐÓ Ø Ò Ó i ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ó Ø Ø T ÑÔÐ Ü ÙÓ ÓÔ Ö Ó G Ô Ü ÙÓ G Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ö ØÙÐÓ Ø Ò Ó i º Ë ÙÑ ÖØÓ Ö ÑÓ Ü ÙÓ ÓÒ ÙÞ Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÙÑ ÐÓÓÔ Ò Ò ØÓ Ú ¹ Ù Ö ( ÐÓ,w) Ö ÒØ Ö Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Ó ÔÖÓ Ö Ñ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾» ½¾
100 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ü ÑÔÐÓ É Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼¼» ½¾
101 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ü ÑÔÐÓ É Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼½» ½¾
102 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ü ÑÔÐÓ É 1 : (G,2)(F,3) 2 : (G,2)(F,3) 3 : (F,4)(G,5) 4 : (F,4)(G,5) 5 : (F,6)( ÐÓ,w) 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(G,7) 7 : (G,7)(G,7) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼¾» ½¾
103 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ Ê Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
104 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ Ê Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
105 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ü ÑÔÐÓ Ê 8 : (G,10)(F,9) 9 : (F,9)(G,11) 10 : (G,10)(F,9) 11 : (F,12)(F,13) 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(F,13) 13 : (F,13)(F,13) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
106 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ Ë Ñ P ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö P Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ÒØ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÒØÓ P,M (ɛ) = P,M (ɛ) Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Å ÕÙ Ò ÌÖ Ó M ÔÓÖØ ÒØÓ P P Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
107 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÍÒ Ó ÙÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÒ Ó ÙÒØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B ÒÓØ Ó A B Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó Ô ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ A B Ú Ñ ÒØ Ò Ü Ó ÓÑ Ó ÒÓÑ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ñº Ö ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ó ÑÔÐ Ò ÙÒ Ó ÙÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ó ÒÓ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ò Ô º Ó Ü Ø Ñ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ó Ñ Ñ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ð Ú ÖÓ Þ Ö Ô ÖØ A B ÔÓÖ Ñ Ú Ñ ÒØ ÒØ Ó ÓÑ Ó ÒÓÑ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ñº ÓÒ Ö A = {a,x} B = {b,x}º ÒØÓ ÙÒ Ó ÙÒØ A B Ö ÙÐØ Ñ {a A,x A,b B,x B } ÓÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ {a,x A,b,x B } Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
108 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÍÒ Ó ÙÒØ ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ Ë Ñ Q = (I Q,q) R = (I R,r) Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ô Ó Ù Ò Ó Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø Ñ P q = (I,q) P r = (I,r) ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó ÓÒ I = I Q I R º ÒØÓ (P q P r ) (Q R) Ú Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ Q R ÓÖÖ ÔÓÒ Ú Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ P q P r º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
109 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ë A 0 A 1... ÙÑ Õ Ò ÓÒ ÙÒØÓ º Ð Ø ÓÒ ÙÒØÓ k 0 A k A k+1 Ð Ø Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ n k 0 Ø Ð ÕÙ A n = A n+k Ç Ð Ñ Ø ÙÑ Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ A n ÓÒ n Ó Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓ Ó Ø Ó Ñ º ÒÓØ ¹ lim A k = A n Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¼» ½¾
110 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÒØÓ Ü ÑÔÐÓ Ë A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = A 6 = A 7..., ÌÖ Ø ¹ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓ k 0 A k A k+1 ÌÖ Ø ¹ ÙÑ Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓ n = 5,6,7,... Ó Ø ÕÙ k 0 A n = A n+k Ç Ð Ñ Ø Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ A 5 ÔÓ n = 5 Ó Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓ Ó Ø Ó Ñ º lim A k = A 5 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½¼» ½¾
111 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Á ÒØ Ó Ñ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ë I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ n Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ö ¹ Õ Ò ÓÒ ÙÒØÓ A 0 A 1... Ò ÓÖÑ Ò ÙØ Ú A 0 = {ɛ} k 0,A k+1 = A k {r r Ö ØÙÐÓ ÒØ ÓÖ Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÔÓÖ Ð Ñ ÒØÓ A k } ÈÖÓÚ ¹ ÕÙ A 0 A 1... ÙÑ Õ Ò Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ö ØÙÐÓ r Ò ØÖÙÓ I ((I,r) (I,w)) (r / lim A k ) ÇÙ ØÓ Ó Ó Ö ØÙÐÓ r w Ø ÕÙ r / lim A k Ö Ø Ö Þ Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½½» ½¾
112 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ É 1 : (G,2)(F,3) 2 : (G,2)(F,3) 3 : (F,4)(G,5) 4 : (F,4)(G,5) 5 : (F,6)( ÐÓ,w) 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(G,7) 7 : (G,7)(G,7) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½¾» ½¾
113 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ É A 0 : {ɛ} A 1 : {6,ɛ} A 2 : {5,6,ɛ} A 3 : {3,4,5,6,ɛ} A 4 : {1,2,3,4,5,6,ɛ} A 5 : {1,2,3,4,5,6,ɛ} ÈÓÖØ ÒØÓ lim A k = A 4 = {1,2,3,4,5,6,ɛ} (I,7) (I,w) ÔÓ 7 / A 4 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
114 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ Ê 8 : (G,10)(F,9) 9 : (F,9)(G,11) 10 : (G,10)(F,9) 11 : (F,12)(F,13) 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(F,13) 13 : (F,13)(F,13) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
115 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ Ê A 0 : {ɛ} A 1 : {12,ɛ} A 2 : {11,12,ɛ} A 3 : {9,11,12,ɛ} A 4 : {8,9,10,11,12,ɛ} A 5 : {8,9,10,11,12,ɛ} ÈÓÖØ ÒØÓ lim A k = A 4 = {8,9,10,11,12,ɛ} (I,13) (I,w) ÔÓ 13 / A 4 Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
116 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÐ Ó Ë I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø º ÑÔÐ Ó ÐÓ Ò Ò ØÓ Ñ I Ø Ñ ØÖ Ô Ó ÐÙÐ Ö Õ Ò Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ö ØÙÐÓ A 0 A 1... r / lim A k ÜÐÙ Ö Ò ØÖÙÓ ÖÓØÙÐ ÔÓÖ r I ÌÓ Ó Ó Ô Ö (F, r) Ñ I Ó Ù Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ( ÐÓ, w) ÁÒÐÙ Ö Ò ØÖÙÓ w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Ó Ñ Ñ ÒÓ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
117 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ É Ñ ÙÒÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÐ Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÐØ Ñ 1 : (G,2)(F,3) 2 : (G,2)(F,3) 3 : (F,4)(G,5) 4 : (F,4)(G,5) 5 : (F,6)( ÐÓ,w) 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) ÆÓØ Ð Ñ Ò Ó Ò ØÖÙÓ 7 : (G,7)(G,7) Ù Ø ØÙ Ó Ò ØÖÙÓ 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(G,7) ÔÓÖ 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
118 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ò Ò ØÓ Ü ÑÔÐÓ Ê Ñ ÙÒÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÐ Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÐØ Ñ 8 : (G,10)(F,9) 9 : (F,9)(G,11) 10 : (G,10)(F,9) 11 : (F,12)( ÐÓ,w) 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) ÆÓØ Ð Ñ Ò Ó Ò ØÖÙÓ 13 : (F,13)(F,13) Ù Ø ØÙ Ó Ò ØÖÙÓ 11 : (F,12)(F,13) ÔÓÖ 11 : (F,12)( ÐÓ,w) Ò ØÖÙÓ 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)(F,13) ÔÓÖ 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) ÒÐÙ Ó Ò ØÖÙÓ w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
119 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ê ØÙÐÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ó Ë I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÑÔÐ º Ë Ñ r s Ó Ö ØÙÐÓ Ò ØÖÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ I Ñ Ó Ö ÒØ ɛº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÔÓÖ r s Ñ r : (F 1,r 1 )(F 2,r 2 ) s : (G 1,s 1 )(G 2,s 2 ) ÒØÓ r s Ó ØÓ Ö ØÙÐÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ ÒØ (F 1 = G 1 ) (F 2 = G 2 ) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½½» ½¾
120 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ê ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ Ò Ó Ë I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÑÔÐ º Ë Ñ r s Ó Ö ØÙÐÓ Ò ØÖÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Iº ÒØÓ r s Ó ØÓ Ö ØÙÐÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ ÒØ r = s = ɛ ÓÙ r s Ó ÓÒ Ø ÒØ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾¼» ½¾
121 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ê ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ó Ë I ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÑÔÐ º Ë Ñ r s Ó Ö ØÙÐÓ Ò ØÖÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Iº Õ Ò ÓÒ ÙÒØÓ B 0 B 1... Ò Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ù ÒØ ÓÖÑ B 0 = {(r,s)} k 0,B k+1 = {(r,s ) (r,s ) B k, r Ù ÓÖ r s Ù ÓÖ s 0 i k,(r,s ) / B i } Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾½» ½¾
122 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ë Ñ Q = (I Q,q) R = (I R,r) Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ô Ó Ù Ò Ó Ò ØÖÙ ÖÓØÙÐ ÓÑÔÓ Ø ÑÔÐ º Ç Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ÒØ Ó Ù Ö Ú Ö Q R Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ º Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾¾» ½¾
123 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ½ Ç Ø Ö P q = (I,q) P r = (I,r) ÓÒ I = I Q I R º Ò ØÖÙÓ w Ü Ø Ö Ú Ö ÓÓÖÖ Ö ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ Ú Þ Ñ I ¾ Ë q r Ó Ö ØÙÐÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒØÓ B 0 = {(q,r)}º Ó ÓÒØÖ Ö Ó Q R ÁÅ k 0 Ç Ø Ö B k+1 ÓÒØ Ò Ó Ó Ô Ö (q,r ) Ö ØÙÐÓ Ù ÓÖ (q,r ) B k Ø ÕÙ q r (q ɛ) (r ɛ) 0 i k, (q, r ) / B i ÓÒ Ö B k+1 Bk+1 = Q R ÁÅ Bk+1 Ë ØÓ Ó Ó Ô Ö B k+1 Ó ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ k k + 1 Ú Ô Ö º Ë ÒÓ Q R Áź Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
124 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ (I Q, q) (I Q,q) ÓÑ I Q ÜÓ ÑÔÐ Óµ q = 1 1 : (G,2)(F,3) 2 : (G,2)(F,3) 3 : (F,4)(G,5) 4 : (F,4)(G,5) 5 : (F,6)( ÐÓ,w) 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
125 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ (I R, r) (I R,r) ÓÑ I R ÜÓ ÑÔÐ Óµ r = 8 8 : (G,10)(F,9) 9 : (F,9)(G,11) 10 : (G,10)(F,9) 11 : (F,12)( ÐÓ,w) 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
126 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ I Q I R 1 : (G,2)(F,3) 2 : (G,2)(F,3) 3 : (F,4)(G,5) 4 : (F,4)(G,5) 5 : (F,6)( ÐÓ,w) 6 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) 8 : (G,10)(F,9) 9 : (F,9)(G,11) 10 : (G,10)(F,9) 11 : (F,12)( ÐÓ,w) 12 : (Ì ÖÑ ÒÓ,ɛ)( ÐÓ,w) w : ( ÐÓ,w)( ÐÓ,w) Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
127 Î Ö Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓÒÓÐ Ø Ó Ü ÑÔÐÓ 1 8 Ó Ö ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ B 0 = {(1,8)} B 1 = {(2,10),(3,9)} (2,10) (3,9) Ó Ó Ô Ö Ö ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ B 2 = {(4,9),(5,11)} (4,9) (5,11) Ó Ó Ô Ö Ö ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ B 3 = {(6,12),(w,w)} (6,12) (w,w) Ó Ó Ô Ö Ö ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ B 4 = {(ɛ,ɛ)} (ɛ,ɛ) ÙÑ Ô Ö Ö ØÙÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ B 5 = {} ÈÓÖØ ÒØÓ (I,1) (I,8) ÓÒ Õ ÒØ Ñ ÒØ Q Rº Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
128 Ü Ö Ó Ü Ö Ó Ó Ð ÚÖÓ Ì ÓÖ ÓÑÔÙØ Ó Ìº º Ú Ö Ó Èº º Å Ò Þ ¾º½¾ ¾º½ ¾º½ ¾º½ ¾º½ ¾º¾¼ ¾º¾½ ¾º¾¾ ¾º¾ ¾º¾ ¾º¾ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ½ Ñ Ó ¾¼½¾ ½¾» ½¾
ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ÈÖÓ º Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Î Ð Ó ËÓ Ö Ò Ó ¾½ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö ÛÛÛºÙÒ Ú º Ùº Ö» Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ Å ÖÙ Ê Ñ
ÈÖÓ Ö Ñ Å ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð Ò ÈÖÓ º Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Î Ð Ó ËÓ Ö Ò Ó ¾½ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö ÛÛÛºÙÒ Ú º Ùº Ö» Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ Å ÖÙ Ê ÑÓ ÍÆÁÎ Ë µ Ì ¾¼½¼¹½ ¾½ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ½» ½¾ Ð Ó Ö ½ Ì ÓÖ
ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ Ù
Å Ö ØÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ Ó ½ ÖÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ Ë Ò ÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÙÜ Ð Ó
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ Ó ÓÒØ Ó Ò Å ÒØ ¹ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ó Ò Ô Ó ÓÑ Ø Ó ÕÙ Ø Ñ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ Ó Ú Ð Ó Ó ÙÖ Ó Ô Ð Þ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÖÑ Ó Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ñ ÙÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ¹ ØÙÐÓ Ô Ð Ø
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ð Ù ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Å ÖÓ ¾¼½½ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ø Ó ÐÙ Ó ÒÑ Ó ÐÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ Ö Ð Ó Ñ ÒØÓ Î Ó Ó Ñ ÙØÓ ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á Æ ½¼½½ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ù Ö Ë ÐÚ ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å
ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Å ÖÓ ¾¼½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ¾ ÕÙ Ø Ø Ó Ù Ó Å ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö Ù Ñ Ö ÔÐ Ò ÑÔÙÜÓ ÓÖÑ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ø ÚÓÐÙ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÑÔÓÖØ Ò Ó ÙÐØÓ Ö Ð Ó Ó º º º º
Ê Ð Ó ÍÖ ÒØ Ê Ð Ó ÜÔ Ö Ò Ô Ö ØÙ Ð È Ó Ð Ç ÈÓ Ö Ó Ë Ñ ÓÐ ÑÓµ ÊÓ ÖØ Ë ÖÑ Ø ÛÛÛºÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÒºÓÑ ½¼ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÌÖ Ò Ö Ó ÌÖ Ù Ó ÖÐÓ Ä Ø Ë ÐÚ ÖÐÓ Ñ Ö Ò Ð Ø ÐÚ Ñ ÐºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ÙÐ ÎÓÓ Ô ØÙÐÓ ÙÐ ÎÓÓ º º º Ò Ó ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ö Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÓ Ù Ñ Ó Ó Ë Ò ÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÌÓ
ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ½¼½ º½ ÊÙ Ò Å Ð ÓÖ ÅÙ ØÓ Å Ð ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
Å Ò Ñ Þ Ó Î Ò Ñ ÌÓÖÒ Ó ÊÓÙÒ ÊÓ Ò ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÖÓÙÒ ÖÓ Ò ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØ Ô Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó
Å Ò Ñ Þ Ó ÎÒ Ñ ÌÓÖÒÓ ÊÓÙÒ ÊÓÒ ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒÓ ÖÓÙÒ ÖÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØÔ Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÌÌÈ Ò Ë Ó ¾º º ÙÑ Ø Ð ÙÑ ØÓÖÒÓ Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ À È Ó Ò Ð ÓÑ ¹ Û
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó
ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ º Ò Ó ½º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ØÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ò Ö ¹ Å ÒØ Å Ø Ö ¾º½ Ò Ö ÓÖ Ó È Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ë Ø Ñ ÍÒ Ú Ö Ò Ö Æ Ó¹ Ô Ö ØÙ Ð Ò Ö µ º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ò Ö ¹ Å ÒØ Å Ø Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ Ò Ö ¹ Å ÒØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ½¾ ½¾¼ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ ½¾ ½¾¼º½ Ë Ø Ñ Å Ó ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¼ ¹ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó º½ ÒØÖ ÒÓ ÓÖ ÓÒ ÕÙ Ö ÕÙ ÚÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ Û
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò ÌÖ Ð Ó Ñ Ó Ö Ù Ó
ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º º º º º º º º
ÈÖ Ò Ô Ó Ö Ø ÖÒ ÀÙÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ò È Ø ÖÒ Ù Ò Ô Ö Ó ÒÓ Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º
Ë Ö Ñ ÄÙÞ ÓÙÖ Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ
Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ ËÙÑ Ö Ó ¼ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ¼º½ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ÁÒØÖÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð ¹ ½½º½ ÆÙØÖ ÒØ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ÈÖ Ú Ò Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ½½ ¹ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð Ù ÒØ Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð ÍÖ ÙÐ Ö ² Ù Ò ½ Ó ¹ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ù ÌÙ Å ÖØ Ò Ù Ö Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ ¾ Ô ØÙÐÓ ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ó Ò Ú ÙÓ Ø ÓÖ Ó Ò ÖÓ ÙÑ ÒÓ Ñ ÓÖ ÔÓ Ñ Ô Ö Ö¹ ÙÑ ÓÙØÖ Ø Ó ÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ñ Ò Ø Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó ¼ º½ ÙÒ Ó Ó ÈÓÖØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø ÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÐÓ º½ Ë ÒØÖ ÓÒ Ø ÐÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ º½ Ç Æ Ú
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁ Ç ÍÒ Ú
September 24-28, 2012 Rio de Janeiro, Brazil
È ÖØ Ó Ð ÕÙ ¹ ÐÓÖ Ø Ó Ö Ó P 4 ¹Ð Ò Ø Ò Ó Ê ÕÙ Ð Ö ÚÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ Ò Ò ¹ Í Æ Ø Ö ¹ ÊÂ Ö ÕÙ Ð ºÙ º Ö ËÙÐ Ñ Ø ÃÐ Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Í ÊÂ Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Ê ÙÐ Ó ºÙ Ö º Ö ÄÓ Ò ÆÓ Ù Ö ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó ÓÑ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º
Ø Ó ÙÒ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ò Ö Î Ú ÓÑ Ê Ø Ö ÒÓ Ö Ò È ÙÐ ÓÕÙ ÛÛÛº Ñ ÒØ Ò Ø Ú ºÒ غ Ö Ö Ð ¼½ ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó Ì ÔÓ Ó Adriano Cruz 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó Î Ö Ú Ì ÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÚ Ö Ó ÒØÖ ÈÓÒØÓ ÐÙØÙ ÒØ Ö Ø Ö ÆÓÑ Î Ö Ú ¾ Î Ö Ú Ú Ö Ñ Î Ö Ú Ú Ö Ñ ½º Î Ö Ú ÓÒ Ø ÒØ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó ÕÙ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ò ÔÙÐ º ¾º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁÁ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ ¾ ÇÖ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù ½ ½ ½ º½ Ç ÕÙ ÙÑ ÖØ Ó È Ó ÁÒØ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½ º½º½ ÈÖ Ó º º º º º º º º º º º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ËÙÑ Ö Ó ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ¾ º½ ÎÓÒØ Ë ÓÔ Ò Ù Ö ÔÖ ÚÓÒØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ç ÜØÖ
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
= PD PA PB = R 2 OP 2.
Å ½ ¹ ÍÒ ½½ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò ÁÁ Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ Ç Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò ÔÓÒØÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ù Ö Ò ÖÖ Ñ ÓÙØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ ½¼ Ò Ó ÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÑÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ó Ú º½ Ó Ú Ñ Â ÖÙ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ò Ö Ó Ó Ø ÒÓ Ó
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó ÒØÖ Ë ÔÓÖ ÓÒ ÓÐ Adriano Cruz adriano@nce.ufrj.br 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Ë ¹ ÙÒÓ ÔÖ ÒØ ÒØÖ ¹ ÙÒÓ Ò ÙÒ Ø Ö ÔÙØ Ö Ð Ò Óººº ¾ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ ¾¼¼ Ñ ½ ¼º ÅÓ ÐÓ Ê Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÓÒº ÓÑ Ð
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ô ØÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
ÒØ Ò Ó ÂÓ ÕÙ Ñ Ò Ö Ø Ú ÍÑ Å ØÓ ÓÐÓ È ÖØ Ó Ô Ö Ó Ó¹ÔÖÓ ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ñ Ó Ì Ù Ñ Ø ÓÐ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù ÓÙØÓÖ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ýö Ô Ð Þ Ó Ñ Ò Ò Ö ÓÑÔÙØ ÓÖ µ ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó ÓÐ Ò Ò Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó º½ Î ÈÐ Ò Ø Ö º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó ½
Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ô Ö ÓÖ Ñ ÍØ Ð Þ ÒÓØ Ó ÒØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ Ò
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ê Ö Ø ÒÓ ÖÚ Ð Ó Ë ÒØÓ ÔÖÓ ÓÖºÔ ÓØ º Ø Ø Ø Ó Ñ ÐºÓÑ ÖÙÔÓ ÓÓ Ð È ÓØ Ø Ø Ø Ó ¾¼½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö Í Å µ Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö ½ ½º½ È Ö ÓÐ Ó Ë Ñ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó È
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó Ò Ñ ÁÒÚ ÖØ Ö Ó
ÚÓÐÙ Ó Î Ø Ç ËÙÖ Ñ ÒØÓ Ó Ë Ö ÀÙÑ ÒÓ ¹ Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ÈÓÖØ ÓÖ Î ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó
v 1 (x, y, z) = (1 z x 2, x y, x(1 z)) v 2 (x, y, z) = ( x y, 1 z y 2, y(1 z)) V c k (Rn ) = {(v 1, v 2,, v k ) R n, Ø Ð ÕÙ v i, v j = δ ij }.
k¹ ÑÔÓ Î ØÓÖ Ó Ö Î Ö Å Ö À ÖÑ Ò È ÙÐ Ä Ø Å ÐÐÓ Ê ÙÑÓ Ç Ò ÙÑ k¹ ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ ÓÑ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ò ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÓØÓÔ ÙÑ Ú Ö ËØ Ð ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ñ ½¼ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒÓÓ ÙÑ k¹
ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò ð Ù Ó Úð Ó Ó Á Ç Ó ÓÖ ÓÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò Ð Ò ÐÓ Ó ÔØ Ó Ñ Ö µ Ñ Ò Ð Ø Ð ÑÓ Ó Õ
ÌÎ Ø Ð ÁÒØ Ö Ø Ú Ôð ØÙÐÓ ¾ Ó ô è Ó ÓÒØ ÈÖÓ º Ð Ô À ÒÖ ÕÙ Å Ê æ Ä ÓÖ Ø ðóö Ó ÅÙÐØ Ñð Ò Ñ ô è Ó Ê ÓÑÙÒ ô èó ̻ʠæ ÍÒ È ØÖ ðóôóð ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò
ÕÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÑ Ð Ò Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ù ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐØ Ñ ÕÙ ØÖÓ ÔÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ù ÒØ º ÑÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ó ØÓÖ
Ç ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙØÅ Ü Ç ÑÔ ÓÒ ØÓ Ö ÐÖÓ Ó ØÓÖÒÓ ÙØÓÐ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ó ÑÓÖ ÒÓ ÑÙÒ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ô ÖØÔ ÑØ º ÓÑÔ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ð Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ó Ó ÒÓ Ø Ó ÓÑÔ ÒÑ ØÖ Ò Ñ Ö Ó Ø Ð Ú Ó ÔÖÓÙÖ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ Å Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾¾º¾ Ö Ð Ô Ö Ô Ö Á Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¾ ¹ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ
ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÓÒ ØÓ Ó Æ Ó ½ ½º½ Ç Ò Ó Ñ Ð Ò ºÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÖÚ Ó Ó Ö Ó º º º º º
Ñ Ð Ò ÄØ º Ê Ð Ø Ö Ó ØÖ Ø Æ Ó ÖØ ÙÖ º Ó Ø ÄÙÝ ÓÕÙ Å Ò ÐÐ Å Ö Ý Ö Ò ØÓ Ë ÐÚ Ë ÙÒ Ñ ÒÒ ÑÔÖ Ò ÓÖ ÑÓ Ô Ö Ò ÓÑÔÙØ Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ËÓ È ÙÐÓ ËÓ È ÙÐÓ ¾ Å ÖÓ ¾¼½ ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÓÒ ØÓ Ó Æ Ó
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÖ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÚÓÐÙÓ ÈÖ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÚÓÐÙÓ ÈÖ ½ ½º½ ÈÖ ÈÖ Ñ Ø Ú º º º º º º º º
ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ ½ ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º Å ØÓ ÓÐÓ ¾ Ñ Ó Ð Ø Ö Ð Ó Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º
Å ØÓ ÓÐÓ Ø Ñ Ø Ú Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Ë Ñ Ò Ö Ó ÁÑÔ ØÓ Ó Ñ Ó Ó Ö Ó ÓÑ Ö Ó ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
Ò ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò ÈÖÓÐÓ Í Í ¾» ½
ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò Å Ø ¹ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÈÖÓÐÓ ÂÓ Ë ÕÙ Ö Ó Ù Ñ º Ö ¹ Á Ü ¹ Í Å ÏÓÖ ÓÔ Ì ÖØ Ñ ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ ½ Ñ Ó ¾¼½ ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò ÈÖÓÐÓ Í Í ½» ½ Ò ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö ½ ¼ ½ ¼º½ ÐÓ Ó Ö ÊÓ Ñ
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ç ÁÒ Ó Î
ÇÊ Ç Ê Á ÄÍ ÇË ÌÊ ÄÀÇ Á ÆÌ Á ÇË È Ê ÇÅÈÍÌ Ç Å Ê
ÇÊ Ç Ê Á ÄÍ ÇË ÌÊ ÄÀÇ Á ÆÌ Á ÇË È Ê ÇÅÈÍÌ Ç Å Ê Æ Ê Ê ÇËÇ ËÇÍ ÇÖ ÒØ ÓÖ Ê Ò ØÓ ÒØÒ Ó Ð Ó ÖÖ Ö ÇÊ Ç Ê Á ÄÍ ÇË ÌÊ ÄÀÇ Á ÆÌ Á ÇË È Ê ÇÅÈÍÌ Ç Å Ê ÖØ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù
Ö Ñ ÒØÓ Ó Ø Ö Ö Ö Ó Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ ÖÒ Ò Ó Ó ÒÓ ÔÓÖ ØÓ Ó Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ñ Ô ÐÓ Ò ÒØ ÚÓ Óѹ ÔÖ Ò Ó ÒÓ Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÒÓ Ñ ÕÙ Ø ÑÓ ØÖ ¹ Ð Ò Ó
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ Å ØÓ Ó ÒØ Ø Ó Ô Ö ÈÖ Ó Ò Ä Ö Ó ÖØÙÖ Ê Ó Ð ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÍÖ ÒÓ Ì ÜØÓ Ø Ù Ñ Ø Ó Ò Ü ¹ Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö ¹ Ö Ð Å Ò
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼¼ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò ½¼¼º½Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑÓ Ô Ö Ú Ö º Ç Ø ÔÓ Ú Ö ÓÑ ÒØÙ ÖÑÙ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Þ Ñ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó ½¼½ ½¼º½ ÙØÓ ØÖ Ù Ó ÈÖ
ýä ÍÄÇ Ä Å Ä Ò Ù Ñ Ô Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ö ÙÒ º ÈÓÖ ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Ñ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ ÑÓ Ò Ó ÙÑ Ñ Ñ Ö µº ÌÓ
ýä ÍÄÇ Ä Å Ä Ò Ù Ñ Ô Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ö ÙÒ º ÈÓÖ ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Ñ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ ÑÓ Ò Ó ÙÑ Ñ Ñ Ö µº ÌÓ Ü Ø Ñ ÒØ µ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ú ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÐÙÐÓ Ð Ñ º ÓÑÓ