UMA APLICAÇÃO DA TEORIA DAS OPÇÕES REAIS EM TEMPO DISCRETO PARA AVALIAÇÃO DE UMA CONCESSÃO RODOVIÁRIA NO BRASIL

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2 Luiz Eduardo Teixeira Brandão UMA APLICAÇÃO DA TEORIA DAS OPÇÕES REAIS EM TEMPO DISCRETO PARA AVALIAÇÃO DE UMA CONCESSÃO RODOVIÁRIA NO BRASIL Tese de Doutorado Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção do Departamento de Engenharia Industrial da PUC-Rio como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Doutor em Engenharia de Produção. Orientador: José Paulo Teixeira Rio de Janeiro Dezembro de 2002

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4 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da Universidade, do autor e do orientador. Luiz Eduardo Teixeira Brandao Engenheiro Civil pela PUC-Rio, Mestre em Engenharia Civil pela Universidade de Stanford (1977) e Mestre em Administração de Empresas (MBA) pela Stanford Graduate School of Business (1979). Trabalhou na Shell Brasil e foi Diretor Financeiro da Encal Consultoria e Aerolevantamentos S/A. Foi professor do IAG da PUC-Rio e do FGV Management. Atualmente é consultor de empresas e Professor Visitante da McCombs School of Business da Universidade do Texas em Austin. Ficha Catalográfica Brandão, Luiz Eduardo Teixeira Uma aplicação da teoria das Opções Reais em tempo discreto para avaliação de uma concessão rodoviária no Brasil / Luiz Eduardo Teixeira Brandão; orientador: José Paulo Teixeira. Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Industrial, [14], 118 f. : il. ; 30 cm Tese (doutorado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Industrial. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia industrial Teses. 2. Finanças. 3. Opções reais. 4. Análise de projetos. 5. Investimento sob incerteza. 6. Análise de decisões. I. Teixeira, José Paulo. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Industrial. III. Título. CDD: 658.5

5 À minha família

6 Agradecimentos Ao meu orientador Prof. José Paulo Teixeira pela orientação e auxílio nesta caminhada, Ao meu co-orientador Prof. Tara Nanda K. Baidya, pelo incentivo, exemplo e apoio inestimável, Ao Prof. Jim Dyer, que me recebeu na Universidade do Texas em Austin e abriu as portas para novos conhecimentos, Aos professores e colegas José Carlos Abreu Filho, Celso Funcia Lemme, Roberto Montezano, Roberto Moreno, Nelson Leão Pedrozo e Walter Lee Ness, que participaram da Comissão examinadora, À CAPES, CNPq e PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não teria sido possível, Às funcionárias Claudia Teti, do Dept. de Engenharia Industrial, e Etiene Farias e Magda Flegr do IAG PUC-Rio, pela colaboração e ajuda, Aos meus pais, Desio (in memorian) e Ilvaita Brandão, pelo carinho e pela formação que recebi, À minha esposa Sonia, pelo apoio incansável e incentivo nas horas difíceis, e aos meus filhos, Luiz Felipe e João Pedro, pela compreensão.

7 Resumo Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. Uma aplicação da teoria das opções reais em tempo discreto para avaliação de uma concessão rodoviária no Brasil. Rio de Janeiro, 2002, 132p.Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Um dos problemas da avaliação por Opções Reais é a exigência de se ter mercados completos para que possam ser utilizados métodos baseados no princípio da não arbitragem para a sua solução. Outro problema é a inclusão de duas ou mais fontes de incerteza na modelagem matemática do projeto, que aumenta a complexidade do problema, especialmente quando essas incertezas envolvem risco privado, não correlacionado com o mercado. Este trabalho sintetiza conceitos aplicados a Teoria das Opções Reais desenvolvidos por diversos autores com ferramentas de Decision Analysis para propor uma metodologia de avaliação de projetos em tempo discreto utilizando algoritmo próprio aplicado a modelo de árvore de decisão com malha binomial que pode ser implementada utilizando-se programas de software padrão já existentes no mercado. O método é computacionalmente intenso, mas de modelagem mais simples e intuitiva que os métodos tradicionais de Opções Reais, permitindo assim uma maior flexibilidade na elaboração do modelo. Esta metodologia é aplicada ao problema de valoração de uma concessão rodoviária no Brasil com flexibilidade gerencial em mercados incompletos e risco político. Palavras-chave Finanças; Opções Reais; Análise de Projetos; Investimento sob Incerteza; Análise de Decisões.

8 Abstract Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. A discrete time application of Real Options theory for the valuation of a highway concession project in Brazil. Rio de Janeiro, 2002, 132p. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. One of the problems of the evaluation for Real Options is the need to have complete markets so that non arbitrage methods can be used for its solution. When that is not the case, or when the determination of a dynamic portfolio of market securities that replicate the stochastic characteristics of the project is not feasible for any reason, the alternative is to use an exogenous and arbitrary discount rate. Another problem is the inclusion of two or more uncertainty sources in the mathematical modeling of the project, which brings a certain degree of complexity to the problem, especially when those uncertainties involve private risk, not correlated with the market. This work synthesizes some Real Options Theory concepts developed by several authors with Decision Analysis tools to propose a method for evaluation of projects in incomplete markets by dynamic programming using an innovative algorithm to model the project s stochastic process with a binomial lattice and decision tree. The method is computationally intense, but simpler and more intuitive than that the traditional methods of Real Options, allowing for a greater flexibility in the modeling of the problem. This methodology is applied to the problem of the valuation a highway concession in Brazil with managerial flexibility in incomplete markets and political risk. Keywords Finance; Real Options; Valuation; Capital Budgeting, Investment under Uncertainty; Decision Analysis.

9 Sumário 1 Introdução A Decisão de Investimento na Empresa Programa de Privatização de Rodovias no Brasil Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnoló-gico Estrutura da Tese 18 2 Revisão da Literatura Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) Taxa Ajustada ao Risco (CAPM) Equivalente Certo Probabilidades Neutras a Risco Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado Método das Opções Reais Opções Reais em Mercados Completos Opções Reais em Mercados Incompletos Contingent Claims Analysis Programação Dinâmica Decision Tree Analysis (DTA) O Modelo Binomial 37 3 Modelo Teórico Determinação da Taxa de Desconto em Mercados Incompletos Premissa Primeira O Processo Estocástico do Valor do Projeto Premissa Segunda Modelagem do Risco Privado Premissa Terceira Investidor Neutro a Risco Privado Investidor Avesso ao Risco Privado 50

10 3.4. Um Modelo em Tempo Discreto Modelagem Determinística Simulação de Monte Carlo (SMC) Árvore Binomial do Projeto Árvore de Decisão do Projeto Generalização da Fórmula do Valor do Projeto Modelagem das Opções Exemplo 68 4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária Introdução Histórico A Concessão Rodoviária O Projeto Investimento e Depreciação Custos Operacionais Plano Financeiro Análise de Risco Risco de tráfego Risco Cambial Riscos de Inflação e taxa de juros Risco Político Modelo Financeiro Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais Opção de Abandono Opção de Expansão Solução Modelagem Determinística: FCD sem Opções Determinação da Volatilidade do Projeto Árvore do Projeto Modelo 1 - Opção de Expansão Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com Risco Político 105

11 5 Conclusões e Recomendações Conclusões Limitações da metodologia Recomendações para trabalhos futuros: Modelagem de Opções Reais Ferramentas de Análise Apêndices Processos Estocásticos Programação Dinâmica com Processos Estocásticos Distintos Transformação Algébrica da Árvore Binomial Código VBA Determinação da Volatilidade do Projeto através da SMC Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto com Opção de Abandono Simulação de Monte Carlo Risco de Tráfego Risco de Câmbio Risco de Taxa de Juros Verificação da Premissa de Normalidade dos Retornos Referências Bibliográficas 130

12 Lista de Figuras Figura 1 Projeto com dois estados da natureza 35 Figura 2 Portfólio livre de Risco 36 Figura 3 Modelo de Cox, Ross e Rubinstein 37 Figura 4 Modelo Binomial de um Período 38 Figura 5 Strip de Contratos Futuros 45 Figura 6 Nível de Tolerância ao Risco 53 Figura 7 Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto 56 Figura 8 Árvore Binomial Recombinante 59 Figura 9 Árvore Binomial com Dividendos 60 Figura 10 Pseudo Fluxos de Caixa 63 Figura 11 Valor do Projeto em (T,S) 65 Figura 12 Árvore de Decisão do Projeto 69 Figura 13 Modelo do Projeto com Opção de Abandono 70 Figura 14 Projeto com Opção de Abandono 70 Figura 15 Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão 71 Figura 16 Projeto com Opção de Abandono e Expansão 72 Figura 17 Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total 76 Figura 18 Carga transportada por modalidade no Brasil ( ) 76 Figura 19 Variação Anual do PIB ( ) 81 Figura 20 Variação Mensal da Taxa de Câmbio ( ) 82 Figura 21 LIBOR 6 meses 84 Figura 22 Dinâmica do Valor do Projeto 95 Figura 23 Modelo Binomial do Projeto 97 Figura 24 Árvore de Decisão do Projeto 98 Figura 25 Árvore de Decisão com Opção de Expansão 99 Figura 26 Valor do Projeto com Opção de Expansão 100 Figura 27 Política Ótima de Investimentos 100 Figura 28 Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão 101 Figura 29 Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na Expansão 101

13 Figura 30 Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono 102 Figura 31 Árvore de Decisão com Opção de Expansão e Abandono 103 Figura 32 Política Ótima de Investimentos 104 Figura 33 Modelagem do Risco Político 106 Figura 34 Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco 108 Figura 35 Modelo Matemático para Árvores de Decisão 121 Figura 36 Tráfego: Simulação de Monte Carlo 126 Figura 37 Taxa de Câmbio: Simulação de Monte Carlo 127 Figura 38 Taxa de Juros: Simulação de Monte Carlo 127 Figura 39 Erro da Distribuição dos Retornos 128 Figura 40 QQ Plot dos Retornos 129

14 Lista de Tabelas Tabela 1 Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais 23 Tabela 2 Fatores de Tolerância ao Risco de Howard 54 Tabela 3 Planilha Determinística do Projeto 68 Tabela 4 Comparação da Malha de Transporte 75 Tabela 5 Resumo das Concessões 77 Tabela 6 Parâmetros do Risco Político 85 Tabela 7 Fluxo de Caixa do Projeto 87 Tabela 8 Dados do Projeto 88 Tabela 9 Parâmetros para a Opção de Abandono 91 Tabela 10 Parâmetros para a Opção de Expansão 93 Tabela 11 Simulação de Monte Carlo 96 Tabela 12 Determinação da Tolerância ao Risco para CNO 107

15 1 Introdução 1.1. A Decisão de Investimento na Empresa Devido à sua importância para a criação de valor para o acionista, a decisão de investimento na empresa sempre foi o foco de grande interesse acadêmico e empresarial. O método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD), introduzido nas empresas na década de 50, foi inicialmente considerado um método sofisticado de avaliação de projetos devido à necessidade do uso de tabelas de Valor Presente. Apesar das suas óbvias vantagens sobre o obsoleto método do Payback utilizado até então, a sua popularização só se deu após o advento dos computadores e calculadoras portáteis que automatizaram os cálculos de matemática financeira necessários, sendo atualmente o método de uso mais difundido nas empresas. Mais recentemente, a partir do trabalho pioneiro de Black, Scholes e Merton (1973) para a avaliação de opções financeiras, surgiu a idéia de se incorporar métodos semelhantes ao problema do investimento sob condições de incerteza. Estes métodos visam agregar o valor da flexibilidade gerencial à metodologia de valoração tradicional do FCD, e passaram a ter denominação geral de Teoria das Opções Reais, para indicar o conceito de opções sobre ativos reais, ao invés de sobre ativos financeiros. No entanto, apesar de representar uma importante evolução sobre o método do FCD, devido a sua complexidade teórica e matemática avançada, o seu uso mais difundido na indústria tem sido limitado. Um dos motivos é a complexidade adicional que decorre do uso de opções reais. Opções financeiras têm como ativo básico, ativos financeiros ou commodities que possuem determinadas características que facilitam o seu tratamento, como preço de mercado, series históricas, divisibilidade e razoável conhecimento das suas distribuições probabilísticas, que permitem modelar as suas distribuições futuras com alguma facilidade. Já o mesmo não ocorre com as opções reais, onde o ativo básico geralmente não possui essas características

16 16 necessárias. Outro motivo é o alto grau de complexidade matemática exigido para a modelagem em tempo contínuo, geralmente acima das qualificações dos gerentes tradicionais. Mas, da mesma forma com o que ocorreu com o método do FCD, a contínua evolução das ferramentas computacionais disponíveis para automatizar as partes trabalhosas do processo e alguns avanços teóricos tendem a tornar o seu uso cada vez mais difundido Programa de Privatização de Rodovias no Brasil Em 1995 o governo brasileiro anunciou um plano para transferir rodovias e outras instalações públicas e serviços para concessionários particulares, com o objetivo de reduzir os encargos de investimento e manutenção das redes de estradas federais e estaduais. Desde então, o governo federal e diversos estados brasileiros iniciaram um processo de licitação pública dos contratos de concessão, através do qual diversos grupos nacionais passaram a investir e operar estradas em troca do direito de cobrança de pedágio. Dada a extensão territorial do país e a continuada ausência de capacidade de investimento do Estado existem grandes perspectivas de um crescimento continuado nestas concessões e de um aumento significativo da presença do setor privado na infra-estrutura de transportes do país. Por outro lado, esses investimentos apresentam um certo grau de risco. Como acontece em muitos países, ocorre na sociedade brasileira um intenso debate a respeito dos custos e benefícios para a população das políticas de desregulamentação e privatização nos setores de serviço e infra-estrutura e sobre qual deve ser o papel do governo nessas áreas. Embora na década de 90 tenhamos visto uma maior desregulamentação e grande crescimento nas privatizações, seguindo uma tendência mundial, a continuidade dessas políticas é incerta, o que cria um fator de risco político aos investimentos nessa área. Dado que essas concessões são outorgadas a empresa que, atendendo as demais exigências do contrato, ofereçam o menor preço para o pedágio, a correta análise do valor da concessão se torna imprescindível para que a

17 17 empresa possa ganhar a concessão ofertando o menor preço possível dentro dos seus objetivos de risco de retorno. Os métodos de opções reais permitem que sejam incluídos na análise os benefícios da flexibilidade gerencial presente nestes projetos e a incorporação adequada da análise de risco político Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnológico Esta tese pertence à linha de pesquisa de Análise de Investimentos em condições de incerteza, considerando a existência de opções reais. O objetivo deste trabalho é a análise da dinâmica de investimento privado no setor de infra-estrutura de transporte rodoviário no Brasil através da Teoria das Opções Reais, considerando-se inicialmente mercados incompletos. Ao contrário de projetos do setor de energia ou de exploração mineral onde o produto do projeto (energia, petróleo, minério, etc.) é comercializado em mercado, uma concessão rodoviária não representa um processo industrial, mas sim uma prestação de serviços, para o qual os mercados são incompletos. Isso faz com que a solução usual de se aplicar os métodos de opções reais considerando que os mercados são completos não possa ser aplicado nesse caso, tornando-se necessário um outro tipo de solução. A grande maioria dos problemas de decisão de investimento na prática cai nesta categoria. Mesmo quando o produto do projeto é uma commodity negociado em mercado, é comum adotar-se a premissa de que o produto do projeto é perfeitamente correlacionado com os riscos do projeto em todos os estados da natureza, e em todos os períodos futuros, o que nem sempre é verdadeiro, mas tal premissa permite considerar-se que o mercado é completo e a partir daí aplicar-se os métodos de avaliação neutra a risco ao problema em questão. Outro problema que surge da aplicação de métodos de opções reais é que a modelagem matemática do projeto quando há mais de uma fonte de incerteza torna o problema extremamente complexo e de solução trabalhosa. Por outro lado, neste trabalho mostraremos que a flexibilidade gerencial pode ser mais facilmente modelada através de ferramentas de Análise de

18 18 Decisão, como Árvores de Decisão, que são uma forma de Programação Dinâmica. A incerteza e a flexibilidade que possibilitam a adoção de diferentes estratégias à medida que as incertezas vão se resolvendo são características tradicionais dos métodos de Análise de Decisão, que permitem a modelagem dos fluxos de caixa em grande detalhe e a consideração de diversas fontes de incerteza com facilidade. Até recentemente, os modelos de Árvores de Decisão em tempo discreto não apresentavam a mesma complexidade dinâmica dos modelos de opções reais em tempo contínuo. No entanto, avanços recentes em capacidade computacional têm possibilitado o desenvolvimento de ferramentas de modelagem cada vez mais poderosas, possibilitando a construção de árvores de decisão com centenas de milhares de alternativas. Com a contínua evolução dessas ferramentas computacionais, os métodos de Análise de Decisão começam a se aproximar da complexidade dinâmica dos modelos em tempo contínuo. Este trabalho mostra como podemos incorporar diversas fontes de incerteza ao projeto com facilidade com o uso da Simulação de Monte Carlo, modelando-se o processo estocástico do projeto e suas opções reais através de um modelo binomial e árvore de decisão, através do uso de probabilidades neutras a risco Estrutura da Tese Essa tese está organizada da seguinte forma. O capítulo 1 apresenta o problema da avaliação de ativos em condições de incerteza em mercados incompletos e indica os métodos que serão adotados para a sua análise. O capítulo 2 apresenta a revisão da literatura e o estado da arte da Teoria das Opções Reais. O capítulo 3 apresenta as premissas do modelo teórico adotado e sua modelagem matemática. O capítulo 4 apresenta a aplicação desta metodologia para a valoração de um projeto de concessão rodoviária no Brasil e seus resultados. No capítulo 5 mostramos as conclusões e propõe extensões para pesquisa futura. O capítulo 6 apresenta os apêndices técnicos e referências bibliográficas.

19 2 Revisão da Literatura 2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) Em mercados completos, podemos determinar o valor de um projeto pelo método do FCD, observando o preço de mercado de um conjunto de investimentos financeiros que repliquem os fluxos de caixa futuros do projeto em todos os estados da natureza e em todos os períodos futuros. Para assegurar o direito aos fluxos de caixa futuros, o gerente então estaria indiferente entre adquirir o projeto ou os ativos financeiros que compõe este portfólio replicante, já que ambos produzem exatamente os mesmos fluxos de caixa. Em conseqüência disso, pelo princípio da não arbitragem, ambos terão necessariamente o mesmo valor. Por outro lado, os custos de cada um desses investimentos podem ser diferentes. Num mercado de ativos financeiros eficiente, não é possível criar valor adquirindo este portfólio, pois o seu custo será sempre igual ao seu valor, e conseqüentemente, o seu VPL será zero. Já o mercado de ativos reais não é eficiente, e a empresa poderá criar valor se puder comprar os direitos aos fluxos de caixa futuros através de um projeto que tenha um custo menor do que o do seu portfólio replicante, e conseqüentemente, VPL positivo. Uma empresa pode então criar valor para seus acionistas se ela consegue gerar essas oportunidades de arbitragem entre os mercados de ativos reais e os mercado de ativos financeiros. Em condições de incerteza em mercados incompletos, haverá sempre um erro ( tracking error ) oriundo da diferença entre os fluxos do portfólio replicante e os do projeto, a não ser em alguns casos especiais como em alguns projetos de extração mineral onde os fluxos do projeto podem ser perfeitamente replicados por um portfólio de contratos futuros da commodity e investimentos em ativos sem risco. Nesses casos, algumas alternativas existentes para avaliar um projeto de risco pelo método do FCD são a de descontar os fluxos futuros esperados a uma taxa ajustada ao risco,

20 20 descontar os Equivalente Certos dos fluxos de caixa futuros à taxa livre de risco, ou utilizar Probabilidades Neutras a Risco para descontar os fluxos de caixa futuros à taxa livre de risco Taxa Ajustada ao Risco (CAPM) A taxa de desconto apropriada ao risco do projeto é determinada através do CAPM, sendo o ajuste ao risco feito no denominador. O Valor Presente nesse caso é dada por: kt VP E C() t e dt = onde β ( ) o k = Rf + E Rm Rf e Ct () = Fluxos de Caixa futuros no instante (t). ou, em tempo discreto: VP = n E( C () t ) t= 1 ( 1+ Rf + β E( Rm) Rf ) i (2.1) Equivalente Certo O ajuste ao risco pode também ser feito no numerador, substituindo-se o Fluxo de Caixa Esperado pelo seu Equivalente Certo (EC) e descontandose este à taxa livre de risco. Começando pelo retorno no modelo uniperiódico, temos: EC ( ) VP = + k 1 j ( kr m ) ( R m) e k = C 1 VP e também ( CR m ) ( R m) cov, 1 cov, β j = = var VP var Substituindo a expressão de β em (2.1), ficamos com: E( C ) ( CR m ) ( R m ) VP = 1 cov, 1 + Rf + E( Rm) Rf VP var

21 21 VP = ( ) λ cov ( C, R m ) E C (1 + R ) f onde λ = ( m) var ( R m ) E R R f para chegarmos a: ( ) EC C VP = (1 + R ) f onde EC ( C ) = E ( C ) λ cov ( C, R m ) (2.2) O Valor Presente é determinado descontando-se o Equivalente Certo à taxa livre de risco. No caso de commodities negociados em mercados futuros, os preços futuros de mercado são os equivalentes certos do valor destas commodities. Em projetos cujos fluxos de caixa futuro sejam perfeitamente correlacionados com o valor destas commodities, podemos achar o seu valor simplesmente utilizando estes preços futuros diretamente e descontando-os à taxa livre de risco. No caso de um investidor avesso a risco, o Valor Esperado do Fluxo de Caixa { E( C )} é substituído pelo seu Valor Esperado da Utilidade do Fluxo de Caixa { EU ( C )}, onde a função utilidade U(.) reflete a aversão a risco do investidor Probabilidades Neutras a Risco O ajuste ao risco pode também ser feito nas probabilidades de mercado atribuídas aos diversos estados da natureza. Esse método é simplesmente uma aplicação do princípio da não arbitragem, em que os preços dos ativos devem ser consistentes de forma que seja impossível auferir lucros sem correr risco. Dessa forma, sempre existirá uma distribuição neutra a risco em relação a qual o retorno esperado de qualquer ativo é à taxa livre de risco. Isso foi primeiro constatado por De Finetti (1937) na década de 30 e posteriormente por Arrow (1950). Em mercados completos, onde o número de ativos linearmente independentes é igual ou maior do que o número de estados, as distribuições de probabilidades neutras a risco e o preço dos ativos têm solução única. Em mercados

22 22 incompletos, a distribuição neutra a risco não tem solução única, mas é composta de um conjunto de distribuições que determinam os limites superior e inferior de preços dos ativos. No caso de um projeto em que o investimento necessário representa uma parcela significativa da riqueza (ou do orçamento de investimento de uma empresa), a distribuição de probabilidades neutra a risco em mercados incompletos pode ser determinada através da sua função utilidade e probabilidades subjetivas. Infelizmente essas ferramentas não nos dão o valor de mercado do projeto, mas apenas um valor que leva em conta a aversão a risco de um determinado investidor. Segundo Smith & Nau (1993), uma alternativa utilizada é a de separar os riscos do projeto em riscos de mercado (riscos que podem ser replicados por um portfólio de títulos de mercado) e riscos privados (riscos que não podem ser replicados no mercado), Para o primeiro caso, é considerado que o mercado é completo, e para o segundo caso, pode ser desenvolvida uma função utilidade que leve em conta a aversão a risco do investidor, a partir do qual se determina o Equivalente Certo, que é então descontado à taxa livre de risco Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado Como a maioria das ferramentas utilizadas para valoração de ativos, o método do FCD foi desenvolvido para valorar ativos financeiros como títulos e ações. Lemme (2000) identifica alguns dos problemas decorrentes da aplicação deste método para ativos reais: (Tabela 1)

23 23 Ativos Financeiros Ativos Reais Comentário Divisibilidade Indivisibilidade Projetos não são divisíveis ;valor do controle faz com que o todo não corresponda a soma das partes Repetição de Eventos Eventos únicos Não replicabilidade reduz utilidade de medidas estatísticas Alta liquidez Baixa Liquidez Baixa liquidez aumenta o risco custo de transação custo de transação Viola premissa do CAPM Informações amplamente difundidas Assimetria de informação entre investidores Permite ganhos de arbitragem Existe Mercado Ausência de Mercado Sem preço de mercado Risco de Mercado Risco de Mercado e Risco Privado Risco Privado não correlacionado com o Mercado Curto Prazo Longo Prazo Tempo para expiração Tabela 1 Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais Além desses, outra característica importante é que ativos financeiros são investimentos tipicamente passivos onde o preço é determinado pelo mercado e independe de qualquer ação que um investidor individual possa tomar. Embora isso possa ser verdade no caso de alguns ativos reais, certamente não o é para muitos outros que apresentam flexibilidade operacional e interações estratégicas com outros projetos. Deparado com uma incerteza futura a respeito do nível de preços ou de demanda do mercado, o método do FCD atribui probabilidades a cada um dos estados possíveis e calcula o Valor Esperado desta incerteza. Dessa forma, o método do FCD avalia o projeto apenas com as informações disponíveis no instante zero. Na prática, ao tomar conhecimento na época futura do real nível de preço e de demanda, o gerente pode ajustar a sua produção e/ou estratégia empresarial a realidade do mercado para maximizar o seu lucro ou para minimizar o seu prejuízo. O importante é notar que a operação do projeto, e conseqüentemente, os seus fluxos de caixa futuros, podem ser alterados em função de decisões gerenciais à medida que esse futuro for se revelando, fato esse que é desconsiderado no método do FCD. Dessa forma, o gerente de uma empresa que investe em um ativo real como um projeto de investimento que apresente flexibilidade gerencial, tem a responsabilidade de administrar e operar este investimento visando maximizar o valor para os acionistas. Para tanto, ele tem a flexibilidade de

24 24 escolher entre diferentes estratégias de investimento e operacionais e tomar decisões que afetarão os fluxos de caixa futuros deste projeto, e conseqüentemente, o seu valor. Nestas condições, o método tradicional do FCD é falho porque não captura o valor que essa flexibilidade gerencial traz para o projeto ao assumir que o projeto é gerenciado de forma estática, e não dinâmica. A premissa implícita no método do FCD é que a taxa de desconto e o Valor Esperado dos fluxos de caixa futuros são conhecidos, e que o projeto será iniciado imediatamente. Ao considerar que projetos de investimento são operados de forma passiva, sem nenhuma interferência ou flexibilidade gerencial após o seu início, o método do FCD ignora o valor de opção existente nessa oportunidade de investimento, e pode levar a decisões de investimento não ótimas Método das Opções Reais Para que um projeto apresente valor de opção, três condições são necessárias: que o investimento seja total ou pelo menos parcialmente irreversível, que exista flexibilidade suficiente no projeto que permita ao gerente operar o projeto de forma diferenciada (adiando, suspendendo, ampliando, abandonando, etc.) dependendo do estado da natureza que venha a ocorrer no futuro, e que exista incerteza sobre o nível dos fluxos de caixa futuros que este projeto poderá gerar. O motivo disso é que uma empresa que está considerando uma oportunidade de investimento é detentora de uma opção de compra: ela tem o direito, mas não a obrigação de investir num projeto num tempo futuro. Ao realizar o investimento, a empresa perde a opção de adiar e de levar em conta novas informações que possam afetar a sua decisão de investimento. Assim, tomar uma decisão de investimento irreversível tem um custo de oportunidade que precisa ser considerado para avaliarmos corretamente a decisão de investimento. Dessa forma, podemos observar que existe valor mesmo que a empresa não tenha ainda realizado o investimento: esse valor é o valor da opção de investir. Se esse valor é perdido uma vez que o projeto é realizado, então o valor do projeto deve cobrir não apenas o custo do seu investimento inicial, mas também o custo de oportunidade da opção de investir.

25 25 Embora acadêmicos e executivos de empresas soubessem desde há muito que projetos apresentam valor de opção, não existia uma metodologia quantitativa que permitisse a sua valoração. Via de regra, esses valores são incorporados através de análises qualitativas e subjetivas sob o titulo genérico de Valor Estratégico, e a decisão tomada ignorando-se os valores obtidos pelo método do FCD. Os problemas com esta metodologia são vários: 1. Sendo subjetivos, esses ajustes são difíceis de terem a sua consistência ou acerto verificados, ficando a sua determinação na dependência da intuição do gerente responsável. 2. A presença de opções altera o risco do projeto, tornando difícil determinar qual a taxa de desconto apropriada no caso. Um dos primeiros trabalhos a abordar as limitações do método do FCD foi Robichek & Van Horne (1967) que analisou a opção de abandono de um projeto e concluiu que a análise tradicional não incorpora esse valor. Embora as suas conclusões estivessem corretas, a sua função de valoração estava incorreta, pois não incorporava os métodos de valoração de opções que só seriam desenvolvidos anos mais tarde por Black, Sholes e Merton (1973). Assim, foi apenas com o desenvolvimento da Teoria das Opções Reais nos últimos vinte anos que se pode estabelecer uma metodologia para se quantificar estes valores (Pindyck & Dixit, 1994). Diversos trabalhos pioneiros abriram o caminho para a aplicação a ativos reais dos conceitos desenvolvidos por Black & Scholes (1973) e Merton (1974) para opções financeiras. Tourinho (1979) utilizou o conceito de opção para avaliar uma reserva de recursos naturais não renováveis com incerteza de preço; Brenann & Schwartz (1985) analisaram a política operacional ótima de uma mina de cobre; McDonald e Siegel (1986) determinaram o timing ótimo para se investir num projeto que demande investimentos irreversíveis e cujos custos e benefícios sejam representados por processos estocásticos de tempo contínuo. Nesse trabalho, verificaram que este custo de oportunidade, não capturado pelo método do FCD, pode assumir valores significativamente maiores que o investimento original no

26 26 projeto. Dixit e Pindyck (1994) e Trigeorgis (1995) foram os primeiros a sintetizar diversas destas idéias em um único texto. Quando existem significativas flexibilidades gerenciais como a de adiar, abandonar, expandir, suspender ou retomar um projeto com investimento irreversível em condições de incerteza, o método das opções reais pode levar a valores substancialmente maiores que os determinados pelo método do FCD. A implicação disso é que o método do FCD tende a subestimar projetos que apresentem valor de opção Opções Reais em Mercados Completos A literatura a respeito da aplicação da Teoria das Opções Reais em mercados completos é bem extensa, sendo Dixit e Pindyck (1994), Trigeorgis (1995), Brennan e Schwartz (1985), MacDonald e Siegel (1986) alguns dos autores mais representativos. O fundamento teórico é o mesmo aplicado as opções financeiras, e como tal, parte do princípio da não arbitragem para determinar que o valor de um projeto é idêntico ao de um portfólio dinâmico de mercado que replique perfeitamente as características estocásticas desse projeto. Dado que o detentor do projeto tem direito a exatamente o mesmo fluxo de caixa que o detentor deste portfólio, o valor do projeto será o mesmo que o valor de mercado deste portfólio replicante, pois qualquer diferença porventura existente daria margem a ganhos de arbitragem. A premissa básica neste caso é de que existe no mercado um número suficiente de ativos linearmente independentes que possibilite a estruturação deste portfólio replicante. Nesse sentido, diz-se que o mercado é completo, sendo que esta é uma premissa largamente utilizada na avaliação de Opções Reais, e é o que torna possível a avaliação neutra a risco. Tipicamente neste caso, o problema é resolvido por Contingent Claims Analysis Opções Reais em Mercados Incompletos Quando não é possível montar um portfólio de ativos que mapeie as mudanças estocásticas do projeto, ou quando a correlação entre o projeto e o

27 27 portfólio de mercado é menos do que perfeita, diz-se que o mercado é incompleto. Um dos principais problemas que ocorrem nesse caso é a determinação da taxa de desconto apropriada para o projeto, uma vez que não podemos, neste caso, utilizar a avaliação neutra a risco. Dixit e Pindyck (1994) propõe o uso de Programação Dinâmica para a solução destes casos, através da aplicação da Equação de Bellman, que estabelece que o valor de um investimento é a soma do valor auferido em um pequeno intervalo de tempo, acrescido do Valor Esperado de todos os fluxos de caixa futuros, descontados a uma taxa de risco e considerando-se que todas as decisões futuras são ótimas. O problema deste método é que ele pressupõe uma taxa de desconto exógena arbitraria. Dixit e Pindyck afirmam que sem mercados completos não existe uma teoria para determinar o valor correto para a taxa de desconto, dado que nesse caso o CAPM não pode ser utilizado para calcular a taxa de desconto ajustada ao risco da maneira usual. Dessa forma, apenas na condição de neutralidade ao risco a Programação Dinâmica dará os mesmos resultados que o CCM. Copeland e Antikarov (2001) propõe que se adote o Valor Presente do projeto sem nenhuma opção, com a taxa de desconto calculada de acordo com o CAPM, como numa avaliação pelo método do FCD tradicional, como o seu valor de mercado. Isso permitiria a utilização do próprio projeto como o ativo básico do portfólio replicante (o outro seria um investimento sem risco), ou seja, como o seu ativo básico do projeto com opções. A esta premissa ele dá o nome de Marketed Asset Disclaimer (MAD). A utilização do próprio projeto como o seu ativo básico e parte do seu portfólio replicante torna o mercado completo para este projeto, garante uma perfeita correlação entre o projeto e este portfólio replicante, e permite o uso da condição de neutralidade ao risco para a solução do problema de valoração. Smith e Nau (1993) fazem uma distinção entre o risco de mercado de um projeto, para qual o mercado é completo, e o seu risco privado, para o qual o mercado é incompleto. Os riscos correlacionados com o mercado permitem a montagem de um portfólio replicante e o hedge desse risco, que por ser tratar de um risco sistemático, não pode ser diversificado pelo investidor. O risco privado não é correlacionado com o mercado, portanto, não pode ser hedgeado, mas por ser um risco não sistemático, pode ser

28 28 diversificado pelo investidor. Os autores propõem que a função utilidade do investidor seja utilizada para se determinar o Equivalente Certo do risco privado, descontando-o em seguida pela taxa livre de risco Contingent Claims Analysis A premissa fundamental no Contingent Claims Analysis é que o mercado seja suficientemente completo para que as mudanças estocásticas no valor do investimento possam ser replicadas através de um portfólio dinâmico de ativos, cujo preço seja perfeitamente correlacionado com o valor do projeto. Uma vez feito isso, podemos utilizar a avaliação neutra a risco para resolver o problema. Caso se queira ainda saber qual a taxa de desconto apropriada para o projeto, basta observar no mercado o retorno do portfólio replicante, embora isso não seja necessário para a determinação do valor do projeto. Seja V(x,t) o valor de mercado de uma empresa que terá um fluxo de lucro futuro C (x,t), onde x é uma variável de estado do preço do seu produto e µ o retorno deste ativo, onde µ = α + δ = ganho de capital + dividendos. Assumindo que este produto é negociado no mercado e que seu preço x segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB), temos: dx = α x dt + σ x dz (2.3) onde dz é o incremento de processo de Wiener. Podemos montar um portfólio composto de um investimento unitário em um ativo sem risco e n unidades do ativo produzido pela empresa a um custo total de (1 + nx). Num período de tempo dt o retorno deste portfólio será o retorno do investimento no ativo sem risco, r dt, dividendos auferidos de n x δ dt e um ganho de capital de n dx = nα x dt + nσ x dz. Dessa forma, a taxa de retorno deste portfólio replicante será dada por: ( ( )) r+ nx α + δ dt+ σnxdz. 1+ nx

29 29 O projeto tem um valor de V(x,t) e um retorno instantâneo de C(x,t) dt, além de um ganho de capital de dv(x,t). Expandindo dv(x,t) pelo Lema Cxt (, ) + Vt + V 2 de Itô chegamos a α x x+ V σ xx x Vx x dt + σ dz. Por V( x, t) V( x, t) definição, ambos investimentos devem apresentar o mesmo risco e o mesmo retorno, e igualando os termos ficamos com um sistema com duas equações: nx Vx x = 1 + nx V ( x, t) 1 r+ nx( α + δ) Cxt (, ) + Vt + Vxαx+ 2 Vxxσ x dt = 1 + nx V ( x, t) 2 2 dt A resolução deste sistema nos dá a equação diferencial parcial para o valor do projeto: (Uma análise mais detalhada desta metodologia pode ser encontrada em Dixit & Pindyck (1994)) σ xvxx ( xt, ) ( r δ) xvx ( xt, ) Vt ( xt, ) rv( xt, ) Cxt (, ) = (2.4) A mesma conclusão pode ser obtida montando-se um portfólio livre de risco composto da firma e na venda a curto de n unidades do ativo produzido pela empresa, onde n é determinado de forma a obrigar este portfólio a não ter risco. φ 1 + = V nx 1 + φ 0 = V - nx φ 1 - = V nx 1 - dφ = dv n dx Desenvolvendo dv por Itô, chegamos a: ( t x 2 xx ) ( x ) dφ = V + V αx + V σ x nαx dt + V n σxdz

30 30 Para eliminar o risco do portfólio fazemos Vx n= 0 e n= Vx. Como este portfólio é livre de risco, o seu retorno livre de risco tem que ser igual ao seu retorno total, e ficamos então com rφ dt = dφ + C(x,t) dt - δ Vx x dt. Substituindo os valores de φ e dφ chegamos com a mesma equação (2.4) derivada anteriormente: σ xvxx ( xt, ) ( r δ) xvx ( xt, ) Vt ( xt, ) rv( xt, ) Cxt (, ) = (2.5) O valor das opções reais do projeto é determinado estabelecendo-se condições de contorno especificas para o tipo de opção em consideração Duas variáveis estocásticas lognormais O nível de complexidade aumenta substancialmente quando incorporamos mais de uma incerteza no projeto. Seja V(x,y,t) o valor de um projeto com duas variáveis estocásticas, que gera um fluxo de caixa C(x,y,t) ao longo de toda a sua vida útil. Assumimos que o mercado é suficientemente completo que possibilite a montagem de um portfólio de ativos de mercado que repliquem as características estocásticas do projeto e utilizamos o método de Contingent Claims Analysis para resolver o problema. Caso o mercado não seja completo, recorremos ao método da Programação Dinâmica para a sua solução, adotando uma taxa de desconto exógena ρ. Assumindo que x e y seguem uma MGB, temos: dx = αx xdt + σx xdzx dy = α ydt + σ ydz y y y Var( dz) = Var( ε dt ) = dt. Var( ε) = dt 2 2 Var( dz) = E( dz ) E ( dz) = dt 0 Assim temos E dz = E dz = dt e 2 2 ( x) ( y) Cov( dzx, dz y) E( dzx. dzy) ρ = ρ = dzxdzy σ. σ = dt dzx dzy

31 31 Edz (. dz) = ρ dt x y Montamos a seguir um portfólio livre de risco φ com duas posições curtas, uma para cada variável aleatória. φ = V mx ny dφ = dv mdx ndy onde V V V 1 V 2 1 V 2 1 V 2 dv = dx + dy + dt + dx + dy + dt x y t 2 x 2 y 2 t V V V + dxdy ++ dxdt + dydt xy xt yt Eliminando os termos em dt2 e mudando a notação: dv = Vxdx + Vydy + Vtdt + Vxxdx + Vyydy V dxdy + V dxdt + V dydt xy xt yt (2.6) Mas dx = σ x dt, dy = σ y dt e dt = x y ( αx σ x x)( αy σ y y) dxdy = xdt + xdz ydt + ydz dxdy = α αxydt + α σ xydz dt + α σ xydz dt + σ σ xydz dz dxdy = σσ dxdy = σσ dxdt 2 x y x y y y x x x y x y x y x y x y = dydt = xy dz dz xyρdt 0 Substituindo em (2.6) ficamos com: ( α σ ) ( α σ ) dv = V xdt + xdz + V ydt + ydz + V dt + x x x x y y y y t Vxxσ xx dt + Vyyσ yy dt + Vxyσ xσ y xyρdt 2 2 Substituindo em dφ:

32 dφ = Vx( αx xdt + σx xdzx) + Vy( αy ydt + σ y ydzy) + Vtdt + Vxxσxx dt V σ y dt + V σ σ xyρdt m α xdt + σ xdz n α ydt + σ ydz 2 ( ) ( ) 2 2 yy y xy x y x x x y y y dφ = ( V m)( α xdt + σ xdz ) + ( V n)( α ydt + σ ydz ) + V dt + x x x x y y y y t Vxxσx x dt + Vyyσ y y dt + Vxyσxσ y xyρdt 2 2 Como queremos que este portfólio seja sem risco, eliminamos os termos estocásticos, o que conseguimos fazendo m = Vx e n = Vy. Assim, ficamos com: dφ = Vtdt + Vxxσ xx dt + Vyyσ yy dt + Vxyσ xσ y xyρdt 2 2 Para evitar ganhos de arbitragem, o retorno deste portfólio sem risco durante um espaço curto de tempo dt deverá ser (r φ dt). Por outro lado, os ganhos com este ativo durante o mesmo período de tempo dt são o ganho de capital (dφ), o fluxo de lucros C(x,y,t)dt, menos o custo de se manter a posição curta deste portfólio, (m δ x x + n δ y y) dt. Igualando estes dois retornos temos: rφdt = dφ + C( x, y, t) dt mxδ dt nyδ dt ( ) x r V ( x, y, t) mx ny dt = dφ + C( x, y, t) dt mxδ dt nyδ dt dφ rv ( Vx Vy) = + C Vxδ Vyδ dt x y x x y y rv ( Vx x Vy y ) = Vt + Vxxσxx + Vyyσ yy + Vxyσxσ y xyρ C V xδ V yδ y x y x x y y Vxxσx x + Vyyσ y y + Vxyσ xσ y xyρ+ ( r δx ) Vx x+ ( r δy ) Vy y 2 2 rv ( x, y, t) + V + C( x, y, t) = 0 t (2.7) A equação (2.7) fornece a função valor de um projeto sujeito a duas fontes de incertezas estocásticas lognormais. Essa equação não tem solução analítica, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para a sua solução.

33 33 No caso em que os mercados não forem completos para o projeto e não for possível montar o seu portfólio replicante, a sua solução deve ser feita pelo método da Programação Dinâmica, onde a taxa de desconto do projeto é exogenamente arbitrada, conforme apresentado em Programação Dinâmica O método dos ativos contingenciais requer que os mercados sejam completos. Quando este não é o caso, uma solução utilizada é o método da programação dinâmica, onde se adota uma taxa de desconto exógena ρ e o problema de valoração é dividido em duas partes: a decisão imediata e uma função de valoração que engloba as conseqüências de todas as decisões subseqüentes. Uma vez modelado desta forma, a solução do problema é obtida a partir da otimização estática do último período, e voltando-se deste ponto final até o instante inicial, considerando-se que sempre serão tomadas decisões ótimas em cada período a partir das informações existentes naquela instante. Assim o valor de todas as oportunidades ótimas de investimento será: 1 F0 = max V0 I, E0( F1) 1+ r A Programação Dinâmica pode ser expressa através da Equação Geral de Bellman, onde u t é a variável de controle utilizada para maximizar o valor do projeto, e C t (x t, u t ) é o fluxo de lucros no instante t. 1 Ft( xt) = max Ct( xt, ut) + Et[ Ft+ 1( xt+ 1) ] u 1+ ρ t Quando o intervalo de tempo t tende a zero e o tempo é contínuo, a equação de Bellman, pode ser escrita como: 1 ρ F( x, t) = max C( x, u, t) + E[ df] u dt

34 34 Se a variável aleatória x segue um processo de Itô na forma de dx = a( x, u, t) dt + b( x, u, t) dz, temos: 1 2 { t x } 2 xx ρ F( xt, ) = max Cxut (,, ) + F( xt, ) + axutf (,, ) ( xt, ) + b( xutf,, ) ( xt, ) u No caso do problema de parada ótima, a equação se reduz a: 1 F( x, t) = max Ω ( x, t), C( x, t) dt + E F( x + dx, t + dt) x 1+ ρdt onde Ω(x,t) é o benefício obtido exercendo-se a opção de abandono (payoff terminal). Na região de continuação, o segundo termo do lado direito da equação é o maior dos dois, por definição, portanto o payoff terminal será ignorado e a expressão simplifica para: 1 F( x, t) = C( x, t) dt + E F( x dx, t dt) x 1+ ρdt + + Expandindo pelo Lema de Itô, após alguma álgebra chegamos a: b( xtf, ) xx ( xt, ) axtf (, ) x ( xt, ) Ft ( xt, ) ρ Fxt (, ) Cxt (, ) = (2.8) Esta é a equação diferencial que satisfaz a Função de Valoração do projeto na região de continuação, onde a segunda parcela da equação de Bellman é maior do que a primeira, Ω(x,t), e vale para x > x*(t). Para valores menores que x*(t), Ω (x,t) é maior, portanto vale mais a pena parar. Podemos notar que se fizermos a(x,u,t) = α x e b(x,u,t) = σ x e lembrando que α = r δ e que em Programação Dinâmica arbitramos uma taxa de desconto exógena ρ ao invés da taxa livre de risco r, verificamos que a equação acima é a mesma equação (2.4) obtida pelo método de Contingent Claims Analysis.

35 Decision Tree Analysis (DTA) As limitações do método do FCD podem ser superadas também com o uso de modelos de árvore de decisão. Com DTA, a flexibilidade gerencial é modelada em tempo discreto através de instantes de decisão futuros que permitem ao gerente maximizar o valor do projeto condicionado às informações disponíveis naquele instante, quando diversas incertezas possivelmente já foram resolvidas. Dessa forma, a presença da flexibilidade gerencial embutida nos nós de decisões futuras permite que se modele um processo de gerenciamento ativo do projeto. Essa modelagem, no entanto, altera os fluxos de caixa futuros esperados, e conseqüentemente, as características de risco do projeto. O desvio padrão dos fluxos de caixa do projeto com flexibilidade não é o mesmo do projeto sem flexibilidade. Isso faz com que a taxa de desconto ajustada ao risco determinada inicialmente para o projeto sem flexibilidade, não possa ser utilizada para a determinação do valor do projeto com opções reais. Esse problema pode ser resolvido com o uso de probabilidades neutras a risco, conforme demonstrado a seguir. Seja S 0 o valor do projeto sem flexibilidade e SS + 1 e S - 1 os fluxos de caixa esperados após um período nos dois estados da natureza possíveis. Seja F 0 o valor do projeto com flexibilidade. (Figura 1) S 1 + S 0 F 0 S 1 - F 1 + F 1 - Figura 1 Projeto com dois estados da natureza Vamos supor ainda que p seja a probabilidade neutral a risco de S 0. Isso implica que p é a probabilidade que dá o valor do ativo básico quando descontamos os fluxos de caixa futuros à taxa livre de risco. p S 1 + S 0 1-p S 1 -

36 36 + ps1 + (1 p) S1 S0(1 + r) S1 Então S0 = p= + 1+ r S S 1 1 (2.9) Montamos um portfólio sem risco (Φ) composto do projeto com flexibilidade e n posições vendidas de S. Ao final de um período, os valores possíveis para este portfólio serão: (Figura 2) Φ 1 + = F 1 + n S 1 + Φ 0 = F 0 n S 0 Φ 1 - = F 1 - n S 1 - Figura 2 Portfólio livre de Risco Como este portfólio é sem risco, podemos fazer: Φ + 1 = Φ 1 - F + 1 n S + 1 = F n S 1 n (S + 1 S - 1 ) = F F 1 F n = S F S1 Para evitar ganhos de arbitragem, um investimento sem risco tem necessariamente que retornar a taxa livre de risco: Φ + 1 Φ 0 = 1 + r + + F1 ns1 F0 ns0 = 1+ r + + F1 ns1 + ns0(1 + r) F0 = 1+ r Substituindo o valor de n, após alguma álgebra chegamos a: F 0 = F F F S r S S r S ( (1 ) ) ( (1 ) ) S1 S1 S1 S1 1+ r

37 37 F 0 = p 1 p + + S0(1 + r) S 1 S1 S0(1 + r) 1 + F S1 S 1 S1 S 1 F Então: 1+ r F 0 = pf + (1 p) F 1+ r (2.10) A equação (2.10) mostra que podemos determinar o valor do projeto com opções (F 0 ) utilizando probabilidades neutras a risco determinadas para o projeto sem opções conforme equação (2.9), e descontando o valor esperado destes fluxos de caixa através da taxa livre de risco O Modelo Binomial A distribuição de probabilidade lognormal contínua pode ser modelada através de uma árvore binomial discreta. De acordo com o modelo primeiramente desenvolvido por Cox, Ross and Rubinstein (1979), a cada passo o preço (S) é multiplicado por uma variável aleatória que pode tomar dois valores, u ou d. (Figura 3) Su 3 Su 2 S Su Sd Su d Su 2 d Su d 2 Sd 2 Sd 3 Figura 3 Modelo de Cox, Ross e Rubinstein Para que essa representação emule uma distribuição lognormal, é necessário escolher valores apropriados para u, d e a probabilidade p, de forma que a média (µ) e a variância (σ2) dos retornos de S sejam os mesmos que os parâmetros do Movimento Geométrico Browniano (MGB) de S,

38 38 ds = µ S dt + σ S dz. Definindo S1 = S0e v t, temos v t = ln ( S ) 1/ S0. Para simplificar, assumimos que S 0 = 1 e ficamos com v t = E ln S 1. Após um período, S 1 assumirá o valor Su ou Sd. Da mesma forma, o retorno ( ) v nesse período será ( Su S ) ln / = ln u ou ln d, com probabilidade p e (1-p) respectivamente, conforme ilustrado na Figura 4. p Su p υ + = ln (Su/S) = ln u S 1 - p Sd 1 - p υ - = ln (Sd/S) = ln d Figura 4 Modelo Binomial de um Período O Valor Esperado e a Variância destes retornos serão respectivamente e ( ) 2 E ln S 1 = pln u+ (1 p)ln d Var ln S 1 = p(1 p) ln u ln d sabido que os retornos de uma distribuição lognormal têm distribuição normal. Assim, temos dln S = dv = vdt+ σ dz e ficamos com: E ln S 1 = v t 2 Var ln S 1 = σ t. É Igualando esses valores às fórmulas determinadas anteriormente, ficamos com: v t = pln u+ (1 p)ln d (2.11) ( ) 2 2 σ t = p(1 p) ln u ln d (2.12) Temos um grau de liberdade uma vez que temos três incógnitas e apenas duas equações. Fazendo ln u = - ln d, ou seja, u = 1/d temos: v t = (2p 1)ln u (2.13) ( ) 2 2 σ t = p(1 p)4 ln u (2.14)

39 39 Fazendo (2.13) 2 + (2.14) obtemos ( ) σ Substituindo em (2.13) chegamos a: p = σ v t ln u = v t + t. Substituindo o valor de p em (2.13) obtemos o valor de ln u: v t ln u = σ v + t 1 ln ln u v t t = + σ d = v t + σ t u = e d = e v t + σ t v t + σ t onde σ v = µ 2 2 para: Para valores pequenos de t, essas fórmulas podem ser simplificadas 1 1 v p = + t (2.15) 2 2σ u = e σ t (2.16) d t = e σ (2.17) Essas fórmulas estão apresentadas em função dos parâmetros dos retornos da variável lognormal. (v e σ são o valor esperado e o desvio padrão dos retornos). Podemos também definir o valor de p em função da própria variável lognormal: [ T ] [ ] E S 0 µ t E S = ps u+ (1 p) S d T = S e 0 0 Se = psu+ (1 psd ) µ t µ t e = pu+ (1 p) d.t e µ d p = u d (2.18)

40 3 Modelo Teórico O modelo teórico adotado é baseado em três premissas. A primeira é que o Valor Presente do projeto sem flexibilidade é o melhor estimador não tendencioso do seu valor de mercado (Copeland & Antikarov, 2001). Essa premissa faz com que possamos considerar o mercado completo para o projeto, e conseqüentemente, permite a utilização de um portfólio replicante e do princípio da não arbitragem para determinar as probabilidades neutras a risco do projeto da forma usual em mercados completos. A segunda premissa é que a as variações no valor do projeto seguem um random walk, o que implica que podemos modelar o processo estocástico do valor do projeto através de um Movimento Geométrico Browniano. A terceira é a de que podemos separar os riscos de mercado dos riscos privados de um projeto, dando tratamento diferenciado a estas duas fontes de incerteza. As considerações a respeito da validade e do impacto destas premissas será analisada posteriormente Determinação da Taxa de Desconto em Mercados Incompletos A aplicação dos métodos usuais de avaliação de opções reais como Contingent Claims Analysis e Programação Dinâmica apresentam, na prática, algumas limitações. A primeira é que, exceto em alguns casos muito especiais, de um modo geral os mercados são incompletos para a grande maioria dos projetos, o que invalida o uso do Contingent Claims Analysis. Por exemplo, uma empresa que esteja analisando a oportunidade de investir na prestação de serviços de atendimento ao cliente através de um call center terá dificuldade de encontrar ativos de mercado que repliquem as características de risco deste investimento. Se o investimento for numa fábrica de sapatos, a dificuldade será a mesma, uma vez que não existe mercado futuro para serviços de atendimento nem sapatos.

41 41 Segundo, mesmo quando estas condições ideais ocorrem, é extremamente difícil determinar um portfólio de mercado que possua uma perfeita correlação com os risco do projeto. A solução tradicional de assumir que a volatilidade do projeto é igual à de uma commodity negociada em mercado nem sempre é verdadeira, pois ignora o fato de que o projeto pode ter outras fontes de incerteza além do preço que podem afetar essa correlação. Por fim, a atribuição da taxa de desconto exógena (ρ) no método da programação dinâmica não é derivada de considerações de equilíbrio de mercado, mas apenas reflete a avaliação subjetiva de risco do investidor, e portanto, o valor encontrado para o ativo não pode ser considerado um preço de mercado. Dixit & Pindyck (1994), pag. 152, afirmam que sem um portfólio replicante, não existe uma teoria para determinar o valor correto para a taxa de desconto (ρ) a não ser que façamos premissas restritivas sobre as funções utilidade dos investidores ou gerentes. O CAPM, por exemplo, não seria aplicável, e portanto, não poderia ser utilizado para calcular a taxa de desconto ajustada ao risco da maneira usual. O problema aqui levantado, e que limita a utilização dos métodos mencionados anteriormente é que a existência de flexibilidade gerencial em projetos de investimento, ou seja, de opções reais, faz com que o risco deste projeto se altere, uma vez que, agora, o gerente pode escolher exercer estas opções se o projeto estiver no dinheiro, eliminando desta forma parte do downside risk e/ou maximizando o retorno do projeto. A conseqüência desta alteração do risco é que a taxa de desconto apropriada para este projeto também se altera. Dessa forma, mesmo que possamos determinar a taxa de desconto apropriada para o risco do projeto tradicional, através do CAPM, por exemplo, com a presença de opções de flexibilidade gerencial o risco do projeto se altera, e conseqüentemente, a taxa computada pelo CAPM não é mais válida. Em mercados completos, o portfólio replicante pode ser rebalanceado para refletir com exatidão os novos fluxos de caixa decorrentes do projeto e suas opções reais, e ao fazermos isso, implicitamente estamos buscando no mercado a taxa de desconto atribuída a este portfólio replicante, e conseqüentemente, ao projeto. Em mercados

42 42 incompletos, como não é possível estabelecer um portfólio replicante, não sabemos qual a taxa de desconto a aplicar ao projeto que tenha opções reais Premissa Primeira Copeland e Antikarov (2001) propõem uma alternativa para esse problema (Marketed Asset Disclaimer MAD) que envolve a utilização do CAPM para determinar o valor de mercado do projeto, antes da inclusão das opções reais. Os autores partem do princípio de que o Valor Presente do projeto sem as opções, conforme calculado pelo método do FCD tradicional usando CAPM, é o melhor estimador não tendencioso do valor de mercado do projeto, caso ele fosse negociado no mercado. Dessa forma, o mercado implicitamente se torna completo para o projeto com as opções, uma vez que agora ele pode ser perfeitamente replicado por um portfólio que inclua o projeto original, sem opções. Os autores têm como argumento final o fato de que nada pode ser melhor correlacionado com o projeto do que o próprio projeto. Dessa forma, adotamos a premissa de que uma vez definido o Valor Presente do projeto original, este é o seu valor de mercado, e o problema pode então ser resolvido por qualquer um dos métodos tradicionais para condições de mercado completo O Processo Estocástico do Valor do Projeto O teorema de Samuelson (1965) mostrou que em mercados eficientes, onde os investidores têm informações completas sobre as expectativas futuras dos fluxos de caixa esperados de um ativo, os preços atuais já refletem toda as informações disponíveis até o momento, e as variações da taxa de retorno deste ativo serão aleatórias, isto é, seguirão um random walk. A implicação disso é que como os investidores já têm expectativas a respeito das flutuações futuras do valor do ativo, essas expectativas já foram incorporadas nos preços. Se as expectativas se realizarem, os investidores irão receber exatamente a sua taxa de retorno esperada, e apenas eventos

43 43 imprevistos, e portanto, aleatórios, podem alterar esses resultados. Assim, as variações sobre a taxa de retorno esperado também serão aleatórias. A extensão destes conceitos para o mercado de ativos reais decorre da aplicação da premissa primeira de que o valor presente de um projeto é o melhor estimador do seu valor de mercado. Valendo-nos desta premissa, podemos tratar o projeto como um ativo negociado dentro de um mercado eficiente, uma vez que existe agora um valor de mercado para ele, que é o seu valor presente. Assim, consideramos que o processo estocástico deste ativo real terá comportamento idêntico ao do ativo financeiro de mercado postulado por Samuelson. Isso significa que mesmo que os fluxos de caixa de um projeto sejam crescentes, decrescentes, ou até cíclicos, os seus retornos seguirão um random walk. Isso será verdade ainda que o projeto esteja sujeito a uma única fonte de incerteza de reversão a média, contando que essa informação já esteja disponível no mercado e incorporada ao seu preço atual. Copeland e Antikarov aplicaram este teorema para o caso de projetos de investimento, e concluem que qualquer que seja o padrão de evolução dos fluxos de caixa de um projeto, as variações no seu Valor Presente seguirão um random walk também. Dessa forma, se os retornos (R) de um projeto podem ser representados por um random walk na forma de um Movimento Aritmético Browniano (MAB) 1 R= dln x= µ dt+ σdz, então podemos concluir que o processo seguido por dx é um Movimento 2 σ Geométrico Browniano (MGB) onde dx = µ xdt + σxdz. Essa 2 premissa permite a combinação de qualquer número de incertezas no modelo do projeto em uma única incerteza representativa, cujos parâmetros podem ser obtidos através de Simulação de Monte Carlo. Para provar o teorema de Samuelson, assumiremos inicialmente algumas premissas. A primeira é que o risco do ativo é zero, e portanto, a taxa de retorno de mercado ajustada ao risco para este ativo será a taxa livre de risco. Em seguida, assumimos também que todas as taxas de juros do mercado são zero, inclusive a taxa livre de risco, e finalmente, supomos que 1 O Apêndice 6 mostra os processos estocásticos mais comuns

44 44 o preço spot de mercado do ativo segue um processo autoregressivo estacionário na forma: S as onde N e Cov S a = + 2 t 1 t εt ε + t (0, σε ) ( t, εt) = 0 < 1 S t é o preço spot atual do ativo, portanto, é uma constante conhecida, e S t+1 é o preço spot no próximo período. No tempo atual (t), temos E[S t ] = S t e Var[S t ] = 0. No tempo futuro (t+1) temos: ES [ + 1] = EaS [ + ε ] = aes [ ] + E[ ε ] = as t t t t t t Var[ S ] = Var[ as + ε ] = a Var[ S ] + 2 a Cov[ S, ε ] + Var[ ε ] = σε t t t t t t t No tempo futuro (t+2), temos: S = as + ε = a( as + ε ) + ε t+ 2 t+ 1 t+ 1 t t t+ 1 S = a S + aε + ε 2 t+ 2 t t t+ 1 ES [ ] = aes [ ] + ae[ ε ] + E[ ε ] = as 2 2 t+ 2 t t t+ 1 t Var[ S ] = E[ S E( S )] t+ 2 t+ 2 t+ 2 Var[ S ] = E[ a S + aε + ε a S ] t+ 2 t t t+ 1 t Var[ S ] = E[ a ε + 2 aε ε + ε ] Var S t+ 2 t t t+ 1 t [ t+ 2] = σ ε ( a + 1) 2 A fórmula de recorrência será então: T T ES [ + ] = a ES [ ] = as t T t t T 2 2( n 1) Var[ St+ T] = σ ε a T = 1, 2,... n= 1 Dependendo do valor do parâmetro a, o processo de S t pode ser crescente ou decrescente. Se a<1, o processo será estacionário. 2 Note que Var( ε ) = E( ε ) E ( ε ) = σ, portanto E[ ε ] = σ t t t ε t ε

45 45 Mostraremos que qualquer que seja a evolução dos preços de S t, mesmo que S t seja declinante, a taxa de retorno de S t será constante e igual à taxa de mercado ajustada ao risco, que no caso é zero. Um ativo tem valor porque ele dá direito a um fluxo de caixa futuro ao seu detentor. Considerando a ausência de custos de armazenamento, podemos expressar o valor de um ativo como o somatório do valor presente de um strip de contratos futuros (Figura 5) para a entrega de $1 em um tempo futuro (t + T). Se o preço dos contratos futuros não se alterar no tempo, num mundo onde as taxas de juros são zero e sem convenience yield, então o valor do ativo também será constante. t t +1 t +2 t +3 t+t F t(s t+1) F t(s t+2) F t(s t+3) F t(s t+t) Figura 5 Strip de Contratos Futuros O preço no tempo (t) de um contrato futuro para entrega de $1 no tempo (t+t) sem juros e sem convenience yield é dado por F t (S t +T) = E t (S t +T). Para T = 3, teremos: F( S ) = E ( S ) t t+ 3 t t+ 3 F( S ) = E ( a S + a ε + aε + ε ) = a S t t+ 3 t t t+ 1 t+ 2 t+ 3 t O preço no tempo (t+1) de um contrato futuro para entrega de $1 no tempo (t+3) será: F ( S ) = E ( S ) t+ 1 t+ 3 t+ 1 t+ 3 F ( S ) = E ( a S + a ε + aε + ε ) = a S + a ε t+ 1 t+ 3 t+ 1 t t+ 1 t+ 2 t+ 3 t t+ 1 A única diferença neste caso é que em (t+1), o erro εt+1 já existe e é conhecido. A variação no preço futuro de um período para o outro, visto do tempo (t) é:

46 46 [ ] 2 [ ( + 3) + 1( + 3) ] = [ ε + 1] [ ( ) ( )] = Et Ft( St+ 3) Ft+ 1( St+ 3) = Et a St ( a St + a εt+ 1) E F S F S a E t t t t t t t E F S F S t t t+ 3 t+ 1 t+ 3 Concluímos que mesmo que o preço spot se altere, o valor esperado das mudanças no preço futuro não se altera. Como o valor do ativo é o somatório dos preços futuros, o valor esperado do preço spot também não se altera, e o valor do ativo será constante (contanto que adicionemos de volta os dividendos pagos a cada período). Como o valor é constante, a taxa de retorno esperada deste ativo será zero. Quaisquer alterações que ocorram no futuro serão fruto de efeitos imprevistos, e portanto, aleatórios, e o retorno deste ativo terão variações aleatórias seguindo um random walk Premissa Segunda Baseado nas conclusões de Samuelson (1965), e seguindo Copeland e Antikarov (2001), assumimos que o retorno do projeto tem distribuição normal, portanto, o processo estocástico do valor do projeto segue um Movimento Geométrico Browniano, ou seja, o projeto tem uma distribuição lognormal. A premissa da lognormalidade do valor do projeto é utilizada por diversos autores, entre eles McDonald e Siegel (1986). As principais críticas à consideração da lognormalidade de projetos vem de Dixit e Pindyck (1994, pg. 137). Os autores argumentam que se o projeto não apresenta flexibilidade gerencial que permita a suspensão da produção quando os custos superarem as receitas, então o valor do projeto poderá assumir valores negativos, descaracterizando a sua lognormalidade. Da mesma forma, se o gerente tiver flexibilidade para suspender a operação do projeto nestes casos, o valor também não seguirá uma distribuição lognormal. E finalmente, numa indústria competitiva, o equilíbrio de longo prazo forçará o preço, e conseqüentemente o projeto, a seguir um processo de reversão à média. É padrão na literatura sobre opções financeiras assumir que ações de empresas negociadas em bolsa seguem uma distribuição lognormal, embora

47 47 isso também seja apenas uma aproximação da realidade. Ações não podem ter valor negativo porque são opções sobre o valor da empresa o detentor de uma ação tem direito aos fluxos futuros líquidos da empresa. Caso os fluxos se tornem desinteressantes, o detentor da ação abre mão desses direitos e o valor da ação vai para zero. Um projeto com opção de abandono tem características semelhantes a uma ação. Em Project Finance, onde o projeto tem características de empresa independente, essa identidade é total, pois se o valor do empreendimento ficar negativo o acionista abandonará o projeto entregando-o aos credores. No modelo adotado para a premissa segunda, assume-se que os fluxos de caixa do projeto a cada período são distribuídos aos acionistas, e que o valor do empreendimento sofre uma descontinuidade no instante dessa distribuição, reduzindo-se o seu valor pelo valor do dividendo distribuído. Dessa forma, esse modelo implicitamente assume que se o fluxo de caixa for negativo em qualquer período, o dividendo será também negativo, representando uma necessidade de aporte/investimento do acionista naquele período, e evitando que o projeto se torne negativo. Dado que a modelagem do processo estocástico do projeto é realizada com base na planilha do valor esperado dos fluxos de caixa, em ocorrendo um fluxo esperado futuro negativo, esse valor será considerado como um investimento necessário, e o seu valor presente adicionado ao valor do investimento inicial exigido pelo projeto. Seja V i o valor de um projeto que não paga dividendos no período i e V i+1 /V i o seu retorno no período de tempo entre i e i+1. De acordo com a premissa segunda de que os retornos seguem um caminho aleatório, o logaritmo do retorno ln( V i + 1 / Vi ) é normalmente distribuído, e definimos v e σ 2 como a média e variância desta distribuição normal. Quando os períodos de tempo tendem a zero, este modelo estocástico pode ser expresso como um Movimento Aritmético Browniano (MAB) na forma d ln V =ν dt + σdz, onde dz = ε dt é o processo de Wiener padrão. A premissa de que a distribuição do logaritmo do valor dos retornos do projeto em qualquer tempo é normal implica em que a distribuição do valor do projeto em si é lognormal. Dessa forma, mudanças em V i serão

48 48 lognormalmente distribuídas em podem ser modeladas através de um Movimento Geométrico Browniano (MGB) na forma onde µ ν + 1 σ 2 = 2. dv = µ Vdt + σvdz, 3.3. Modelagem do Risco Privado Smith e Nau (1993) propõem a separação entre o risco privado de um projeto, não correlacionado com o mercado, e o risco de mercado, para o qual o mercado é completo. O risco de mercado é definido como o risco que pode ser perfeitamente hedgeado através de negociação de títulos de mercado. O risco privado, ou técnico, decorre de uma incerteza do projeto que não pode ser hedgeada. A incerteza de preço num projeto de exploração de petróleo, por exemplo, é um risco de mercado, uma vez que pode ser eliminado através de operações de hedge no mercado futuro. As incertezas a respeito do volume de petróleo que pode ser extraído do reservatório, por sua vez, configuram um risco privado, já que não existe nenhum ativo de mercado que replique as características dessa incerteza. Com essa separação, podemos decompor os fluxos do projeto nos seus componentes privados e de mercado. O risco de mercado é então valorado observando-se o preço de mercado de ativo ou portfólio de ativo que repliquem o risco e retorno do projeto e utilizando-se a condição de não arbitragem. O risco privado pode ser modelado utilizando-se as preferências subjetivas de um investidor avesso a risco, através de uma função utilidade para determinar o seu Equivalente Certo, que é então descontado à taxa livre de risco. No item este conceito será apresentado em mais detalhe. Se considerarmos que o investidor possui uma carteira diversificada de investimentos, e que este projeto não representa uma parcela significativa da sua riqueza, então podemos assumir que ele será neutro ao risco privado, e o Equivalente Certo será somente o Valor Esperado. Essa premissa se baseia no fato de que o mercado irá remunerar o investidor apenas pela parcela de risco não diversificável (sistemático), uma vez que o risco não sistemático pode ser totalmente eliminado através da diversificação dos seus investimentos. Uma outra maneira de chegarmos a esta mesma conclusão é

49 49 observar que o risco privado medido pelo seu Beta será zero, uma vez que não possui correlação alguma com o índice de mercado, supondo sempre a premissa de diversificação do investidor Premissa Terceira Assumimos que podemos fazer a separação entre o risco privado e o risco de mercado, e dar tratamento diferenciado para cada um deles. Dessa maneira, efetivamente substituímos o problema de mercados incompletos por um problema onde o mercado é parcialmente completo. Com o tratamento diferenciado do risco privado, podemos considerar o mercado completo para o risco de mercado e utilizar uma função utilidade para calcular o Equivalente Certo do risco privado Investidor Neutro a Risco Privado O risco privado decorre de uma incerteza não correlacionada com o mercado, portanto, não passível de ser hedgeado com instrumentos do mercado financeiro. Um investidor diversificado, ou uma empresa de grande porte com uma carteira de investimentos diversificada e milhares de acionistas, deve ser neutro ao risco privado, uma vez que este é um risco não sistemático que pode ser eliminado através de uma estratégia adequada de diversificação. Por não ser correlacionado com o mercado, o seu Beta é zero, e nenhum prêmio de risco deve ser atribuído ao risco privado nesses casos, e a modelagem é feita determinando-se o Valor Esperado desta incerteza considerando-se que o investidor é neutro ao risco privado, que é então descontado a valor presente à taxa livre de risco. Como o modelo utilizado já utiliza a avaliação neutra a risco para determinar o Valor Presente do projeto, a inclusão do risco privado nesse caso não implica em nenhuma modificação teórica maior no modelo.

50 Investidor Avesso ao Risco Privado O conceito de que empresas de capital aberto devem ter comportamento neutro a risco não sistemático vem de Ekern e Wilson (1974), que mostraram que para uma empresa com um grupo de acionistas com função utilidade exponencial, a tolerância ao risco da empresa é o somatório da tolerância ao risco de cada um dos seus acionistas. À medida que o número de acionistas aumenta, este somatório também aumenta e a aversão ao risco diminui. Lintner (1965, 1970) conclui também que à medida que o número de investidores aumenta em um mercado de capitais perfeito, o preço de risco de mercado tende a zero no limite e a aversão ao risco desaparece, fazendo com que os Equivalentes Certos sejam iguais ao Valor Esperado. No entanto, se considerarmos que o investidor não é suficientemente diversificado, e este investimento no projeto representar uma parcela considerável da sua riqueza, é provável que este investidor apresente um comportamento avesso ao risco privado. É comum observar-se empresas abrir mão de quotas de investimento em projeto grande porte com o objetivo de reduzir a sua exposição ao risco essa inclusive é a principal justificativa para a estruturação de projetos na modalidade de Project Finance. Se uma empresa detém poucos projetos no seu portfólio e as cotas de investimento na empresa representam uma parcela significativa da riqueza dos seus acionistas, isso implica que os acionistas não estão suficientemente diversificados. A principal justificativa para esse comportamento na literatura financeira é que os mercados não são perfeitos, existindo fricções (riscos de insolvência, custos de transação, informação imperfeita, pequeno número de acionistas, acionistas não diversificados, conflitos de interesse entre credores e acionistas, etc.) que criam assimetrias com relação a possíveis perdas advindas do projeto. Greenwald e Stiglitz (1990) argumentam que as empresas agirão de forma avessa a risco como resultado de problemas de informação imperfeita no mercado de capitais, incluindo assimetrias de informação entre provedores de capital e gerentes. March e Shapira (1987) observaram que na prática os gerentes sistematicamente demonstram aversão a risco a partir do momento em que a empresa atingiu os seus

51 51 objetivos ou metas pré-estabelecidas. Hackett (1985) observou que não é realista assumir que os gerentes são meros agentes dos acionistas, uma vez que eles são os responsáveis também por tentar conciliar os interesses de todos os stakeholders da empresa (acionistas, credores, empregados, fornecedores, clientes, comunidade e os próprios gerentes). Swalm (1966) levantou funções utilidade para um grupo de 100 executivos numa grande empresa industrial, e notou que eles eram fortemente avessos a risco. Spetzler (1966) chegou as mesmas conclusões em um estudo semelhante numa grande empresa de petróleo entre os gerentes responsáveis por decisões de investimento. Walls, Morahan e Dyer (1995) observaram que na Phillips Petroleum os gerentes apresentavam comportamento fortemente avesso a risco nas decisões de alocação de capital envolvendo investimentos que poderiam trazer importantes conseqüências negativas para a empresa, mesmo quando o risco sistemático já havia sido levado em consideração. Num estudo empírico sobre as atitudes a risco de gerentes, MacCrimmon and Wehrung (1986), e Shapira (1995) também apresentaram evidências que gerentes são freqüentemente avessos a risco não sistemático. Uma das justificativas é que os acionistas nem sempre estão otimamente diversificados. Embora isso seja claro em empresas familiares ou de capital fechado, alguns estudos apontam para o fato de que esta situação é mais comum do que deveria. Concluímos então que no contexto da empresa, os gerentes na prática apresentam comportamento avesso a risco privado em projetos de grande volume de investimentos relativo a empresa, e que este comportamento é ditado por imperfeições do mercado. Em empresas de menor porte, como é típico de empresas familiares com pequeno número de acionistas, é de se supor que este tipo de comportamento seja mais acentuado. E se os acionistas não são suficientemente diversificados, é provável que vejamos uma tendência de diversificação via empresa para compensar este fato. Smith e Nau (1993) sugerem adotar nesses casos uma função utilidade que reflita a aversão a risco do investidor para achar o Equivalente Certo do risco privado, a partir do qual pode ser utilizada à taxa livre de risco para

52 52 descontar esse fluxo a valor presente. Uma forma comum para a modelagem da aversão ao risco é a função utilidade exponencial negativa na forma: ux ( ) = a be cx (3.1) onde a > 0 e b > 0 são constantes e c é o coeficiente de aversão u''( x) absoluta ao risco de Arrow-Pratt, c= ARA=. Definimos TR como u'( x) sendo o nível de tolerância ao risco da empresa, onde TR = 1/c, e sem perda de generalidade, podemos fazer os coeficientes a =1 e b =1, para ficar então com: x ux ( ) 1 e TR = (3.2) O Equivalente Certo (EC) é o Valor Esperado de uma loteria ou investimento, menos o seu prêmio de risco. Considerando uma função utilidade exponencial na forma da Equação (3.2) e probabilidades discretas, temos: x n i TR EC( x) TR ln pi 1 e = (3.3) i= 1 Em tempo contínuo, teremos: EC( x) = TR ln y f ( y) dy (3.4) onde y u( x) 1 e RT = = x A função utilidade exponencial permite que a utilidade do investidor seja caracterizada unicamente pelo seu coeficiente de aversão ao risco c ou pelo seu nível de tolerância ao risco TR. A TR, por sua vez, é o valor monetário que faz a empresa indiferente entre jogar ou não uma loteria onde existe probabilidade de 50% de ganhar X e 50% de perder X/2, conforme diagrama da Figura 6:

53 X TR X/2 Figura 6 Nível de Tolerância ao Risco Note que o Valor Esperado desta loteria é positivo, de forma que um investidor neutro a risco sempre preferiria jogar a loteria, se ela lhe fosse oferecida a custo zero, como é o caso. Apenas a aversão ao risco do investidor, ou seja, o receio de perder o valor de X/2, o levaria a recusar jogar esta loteria. Para pequenos valores de X, a loteria é preferida por quase todos os investidores, dado o seu valor esperado positivo. À medida que X aumenta, a aversão ao risco leva o investidor a considerar a loteria cada vez menos atraente devido ao incremento do valor do possível resultado negativo, até o ponto em que o investidor prefere não mais jogar a loteria. O valor de X que reflete o ponto de equilíbrio onde o investidor é indiferente entre aceitar jogar a loteria ou não é o que denominamos nível de tolerância ao risco deste investidor (TR). A medição do nível de Tolerância ao Risco é feita através de sucessivos questionários onde o valor de X vai sendo modificado até se obter o ponto de equilíbrio acima mencionado. Muitas vezes, no entanto, não é possível a determinação da TR através deste método pela impossibilidade de se realizar as entrevistas necessárias, ou até mesmo, definir-se quem entrevistar. Nesses casos, na ausência de um processo de medição direta, Howard (1988) propõe que o nível de Tolerância ao Risco da empresa pode ser inferido a partir dos seus principais dados econômicofinanceiros. Analisando um grupo de empresas dos setores de petróleo e petroquímica, ele apresenta um estudo que sugere existir uma relação entre a medida de Tolerância ao Risco (TR) e alguns dos principais indicadores econômicos da empresa, como vendas, lucro e patrimônio líquido. Os

54 54 valores encontrados por Howard, e que representam a média para as empresas pesquisadas, estão apresentados na Tabela 2: TR/Vendas TR/Lucro 1.24 TR/Patr. Líquido Tabela 2 Fatores de Tolerância ao Risco de Howard Para o caso do projeto analisado neste trabalho, foram utilizados os parâmetros acima para determinação do grau de Tolerância ao Risco da empresa Um Modelo em Tempo Discreto Seja um projeto com uma vida útil de m períodos, que exige um investimento inicial I para ser implantado e que se espera irá gerar um fluxo de caixa esperado C i, i = 1,2,...,m em cada período. Esses fluxos de caixa representam os dividendos distribuídos pelo projeto, onde δi é a taxa de distribuição instantânea destes dividendos representada por C i / V i, e V i é o valor do projeto pré-dividendos no período i. A taxa de desconto ajustada ao risco do projeto conforme determinada pelo CAPM é µ. Isso significa que dado o atual valor de mercado do projeto, um investidor exigiria uma taxa de retorno µ para investir nele. 3 Se o projeto representa a totalidade da empresa, então a taxa µ será a taxa de retorno exigida pelos acionistas (k e ). O projeto está sujeito tanto a incertezas privadas quanto de mercado, que irão afetar os seus fluxos de caixa futuros, e também apresenta suficiente flexibilidade gerencial que permita uma administração ativa dos seus gerentes visando maximizar o seu valor ao longo de sua vida útil. No entanto, a existência desta flexibilidades que representam as Opções Reais do projeto alteram o risco do projeto, uma 3 Note que µ é a taxa de desconto do projeto. A taxa interna de retorno (TIR) do projeto poderá ser maior ou menor do que µ, dependendo do montante do investimento inicial exigido.

55 55 vez que o gerente pode escolher exercer estas opções se elas resultarem num aumento do valor do projeto ou numa redução das possíveis prejuízos, de forma que a taxa de desconto µ anteriormente determinada não é mais a taxa apropriada para descontar os fluxos do projeto com as opções reais. Por esse motivo, utilizaremos probabilidades neutras a risco para que os fluxos do projeto possam ser descontados com a taxa livre de risco. A modelagem do problema será feita em três etapas onde primeiramente o projeto é analisado em condições de certeza para se determinar o seu Valor Presente Esperado no instante inicial, que de acordo com a premissa primeira, será considerado o seu valor de mercado. Em seguida é realizada uma Simulação de Monte Carlos com o objetivo de reduzir as fontes de incerteza a uma só, definindo com isso o processo estocástico do Valor do Projeto. A terceira e última etapa envolve a criação da árvore binomial do projeto e posterior transformação em árvore de decisão com a incorporação dos instantes de decisão que representam as opções reais, onde ocorre a maximização de valor do projeto Modelagem Determinística Inicialmente determinamos o Valor Presente do Projeto no instante inicial através do método do Fluxo de Caixa Descontado tradicional, utilizando-se para isso uma planilha Excel. Para tanto, calculamos o Valor Esperado dos Fluxos de Caixa do Projeto {, = 1, 2,..., } C i m em condições de certeza, ainda sem a inclusão das opções reais decorrentes de eventuais flexibilidade gerenciais que o projeto possa apresentar. Estes fluxos de caixa são em seguida descontados a taxa de risco determinada pelo CAPM (µ) para a determinação do Valor Presente do Projeto a cada período, através da fórmula (3.5): i V i [ ] m ECt = Valor do Projeto pré-dividendos (3.5) t i (1 + ) t= i µ De um modo geral consideramos que não existe fluxo de caixa positivo no instante inicial, apenas os investimentos necessários, que não

56 56 são computados para o cálculo do Valor do Projeto. O Valor Presente do Projeto no instante inicial então é dado por: V 0 = m t= [ ] EC 1 (1 + µ ) t t Além do valor do projeto no instante inicial, nessa etapa são também calculados o Valor Presente em cada um dos períodos do projeto. O valor do projeto tende a se reduzir em cada período, à medida que os fluxos de caixa são pagos como dividendos e menos períodos de operação restam no projeto. Na Figura 7 podemos ver a dinâmica da evolução do Valor do Projeto com o tempo em condições de certeza. 1,500 1,250 V 0 V 1 V 2 1, V V (250) Figura 7 Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto Simulação de Monte Carlo (SMC) A distribuição lognormal do valor do projeto pode ser complemente definida através da média e desvio padrão dos seus retornos. Note que pela premissa primeira, assumimos que o valor presente do projeto sem opções é o seu valor de Mercado, como se o projeto fosse um ativo negociado livremente. Assumindo a premissa de mercados eficientes, adquirir o projeto a este preço garante um VPL nulo, e o retorno esperado do projeto será

57 57 exatamente igual a sua taxa de retorno ajustada ao risco µ. Disso resulta que a média dos retornos µ do projeto é definida exogenamente. O desvio padrão dos retornos, ou seja, a volatilidades do projeto, pode ser determinada através de uma simulação de Monte Carlo do Movimento Aritmético Browniano dos retornos dlnv = vdt+ σ dz. Os impactos das incertezas que afetam as variáveis relevantes do projeto e o seu impacto nos retornos podem ser determinados através da simulação dos processos estocásticos de cada um, e como resultado, os fluxos de caixa do projeto também se tornam estocásticos. Cada iteração da simulação gera um novo conjunto de fluxos de caixa futuros dos quais um novo valor de projeto ao final do primeiro período V 1 é computado usando-se (3.5) com i = 1, e uma amostra da variável aleatória v é determinada através da equação (3.6) onde E ( ~ ν ) = ν. 1 v ln V = (3.6) V0 Com um número suficiente de iterações (10.000) computadas pela simulação, podemos determinar a volatilidade do projeto através a partir das amostras de v. Definimos a volatilidade do projeto como o desvio padrão dos retornos (σ ), conforme equação (3.7) 4. σ 2 n µ ( ) 2 i µ i = (3.7) n 2 Em um projeto que paga dividendos, a taxa de retorno total do investidor (µ) é composto de uma parcela de ganho de capital, que é a taxa de crescimento do valor do projeto com o tempo (α), mais os dividendos (δ) gerados pelo projeto ao longo da sua vida útil. Assim temos: µ = α + δ 4 O código VBA que efetua a Simulação de Monte Carlo necessária na planilha do projeto está apresentado no apêndice 6.4.

58 58 Como veremos a seguir, no modelo de aproximação binomial da evolução do valor do projeto adotado, os dividendos são explícita e discretamente incluídos na árvore binomial do projeto. Assim, nenhuma outra consideração a respeito dos dividendos se faz necessária, e a determinação dos parâmetros do modelo binomial é feita desconsiderandose qualquer efeito da taxa de distribuição de dividendos a fim de evitar inclui-los novamente. Assim, para a árvore binomial temos δ = 0 e µ = α. Conforme já mencionado anteriormente, pela premissa segunda assumimos que os retornos do projeto tem distribuição normal, com média 2 σ µ e volatilidade σ, e conseqüentemente, V 1 tem distribuição 2 lognormal. (Equação(6.1)). O projeto será então definido por ( V µσδ I) 0,,,, i, e o seu processo estocástico em tempo contínuo será: dv ( x, t) = ( µ δ ) V ( x, t) dt + σv ( x, t) dz onde α t = µ δ t t Em um projeto com vida útil ilimitada, podemos considerar δ como uma constante. De forma inversa, uma taxa de distribuição de dividendos e retorno esperado constantes, implicam que o projeto tem vida infinita 5. No caso de um projeto com vida útil finita, a taxa de distribuição de dividendos não é constante, pois podemos observar que no último período a taxa de distribuição de dividendo corresponderá a 100% do valor do projeto, uma vez que o valor do projeto será zero após a distribuição do último dividendo e final da sua vida útil. Nesses casos, se considerarmos que a taxa ajustada ao risco do projeto (µ) é uma constante de mercado, uma variação em δt implica que também a taxa de crescimento do valor do projeto também é variável, uma vez que µ = α t + δ t. 5 Definimos o valor do projeto como o valor presente dos fluxos de caixa futuros, T = µ t V0 Ct e dt T = 0 =. Sabemos que o valor esperado de um ativo sujeito a uma taxa de t crescimento α num tempo futuro t é EC ( t ) = Ce α 0. Se δ é a taxa de distribuição de dividendos, então temos C 0 = δ V 0 e α = µ δ, e ficamos com T δ T T ( µ δ ) t µ t δ Ve 0 0 = ( δ 0) = T 0 δ = 0 V V e e dt. Como sabemos que o valor desta expressão é V 0, podemos verificar que isso apenas ocorrerá se T =.

59 Árvore Binomial do Projeto Dado o Valor do Projeto V 0, o custo de capital µ e a volatilidade σ, conforme determinados anteriormente, o Valor do Projeto é agora modelado no tempo como um processo estocástico lognormal com volatilidade σ, através de uma árvore binomial recombinante discreta, conforme o modelo de Cox, Ross and Rubinstein (1979) (Figura 8). V 2 0 V V 0 u 2 V 0 u 3... V 0 p V 1 0 V 2 1 V V 0 p V 0 u V 0 ud V 0 u 2 d... (1-p) V 1 1 V (1-p) V 0 d V 0 ud 2... V 2 2 V V 0 d 2 V 0 d3... Figura 8 Árvore Binomial Recombinante onde u = e σ t e d t = e σ e a probabilidade de subida é dado por µ.t e d p = u d i j j e Vi, j= V0u d i = 0,1,2,...m, j = 0,1,2,...i. O projeto, no entanto, gera fluxos de caixa (dividendos) em cada período, portanto, o valor do projeto sofre uma descontinuidade no instante dessa distribuição, à semelhança do que ocorre com uma ação que paga dividendos. A taxa de distribuição dos dividendos é dada pela razão entre os Fluxos de Caixa e o Valor do Projeto em cada período conforme computado através do modelo determinístico, onde V i é dado pela equação (3.5): C i δ i = (3.8) Vi Em condições de incerteza e com variáveis estocásticas, assumimos a taxa de distribuição de dividendos, embora variável de um período para o

60 60 outro, se mantém constante para todos os estado de um período, de tal forma que os fluxos de caixa em qualquer estado de um mesmo período sejam sempre uma proporção fixa do valor do projeto naquele período e estado, ou seja: C i, j δ i = j (3.9) V i, j onde i = período (i = 0, 1, 2,..., m) j = estado (j = 0, 1, 2,..., i) δ i = taxa de distribuição de dividendos no período i Assim, uma representação mais correta do valor do projeto no tempo é mostrada na Figura 9: VP VP 0 VP 0 u 2 (1-δ 1 )(1-δ 2 ) VP 0 u 3 0 u(1-δ 1 ) (1-δ 1 )(1-δ 2 )(1-δ 3 )... VP 0 d(1-δ 1 ) VP 0 ud(1-δ 1 )(1-δ 2 ) VP 0 u 2 d(1-δ 1 )(1-δ 2 )(1-δ 3 )... VP 0 d 2 (1-δ 1 )(1-δ 2 ) VP 0 ud 2 (1-δ 1 )(1-δ 2 )(1-δ 3 )... VP 0 d 3 (1-δ 1 )(1-δ 2 )(1-δ 3 )... Figura 9 Árvore Binomial com Dividendos Podemos verificar que em condições de incerteza, o valor V (i,j) do projeto no período i, estado j, é dado pela seguinte fórmula recorrente: i 1 i j j Vi, j= V0 u d (1 δ k) pré-dividendos (3.10) k = 1 i * i j j Vi, j= V0 u d (1 δ k) ex-dividendos (3.11) k= 1

61 61 onde V i, j = valor do projeto no período i e estado j, pré-dividendos V = valor do projeto no período i e estado j, ex-dividendos * i, j A probabilidade P(i,j) e ocorrer o valor V(i,j) é: i Pi (, j) = p (1 p) j i j j i i! onde j = é o coeficiente binomial e ( i j)! j! (3.12).t e µ d p =. u d Com a árvore binomial apresentada podemos determinar o valor do projeto em condições de incerteza em cada período e estado. A seguir passamos a inserir as flexibilidades gerenciais que o projeto apresenta de forma a observar o seu impacto sobre o valor do projeto. Dado que as opções do projeto alteram o seu fluxo de caixa (e o seu risco), para calcular o valor do projeto com opções é necessário determinar um novo portfólio de mercado que replique os fluxos do projeto em todos os estados e períodos. Alternativamente, podemos utilizar probabilidades neutras a risco para a mesma finalidade e resultados. Isso é possível devido à premissa do Marketed Asset Disclaimer (MAD) que ao assumir que o Valor Presente do Projeto sem opções de flexibilidade é o melhor estimador não tendencioso do seu valor de mercado, permite modelar o problema como se o mercado fosse completo, computando-se as probabilidades neutras a risco, e dessa forma utilizar a taxa livre de risco para descontar os fluxos de caixa do projeto, ao invés de se adotar uma taxa de desconto exógena arbitrária. Por ser mais simples no caso, este será o método adotado, e com isso, os fluxos do projeto serão descontados à taxa livre de risco e a probabilidade p modificada para: p = rt. e d u d (3.13)

62 62 Antes de passar para a fase seguinte, faremos uma transformação na árvore binomial do projeto, de forma a expressá-la em função dos seus fluxos de caixa determinísticos, ao invés de ser função do valor do projeto nos períodos e estados anteriores. Essa transformação visa facilitar a inclusão das opções de flexibilidade do projeto, que transformarão a árvore binomial numa árvore de decisão. Uma vantagem disso é que a definição das opções do projeto em função dos seus fluxos de caixa permite um maior nível de detalhe do que é possível quando as definimos sobre o valor do projeto a cada período, já que o fluxo de caixa é uma variável mais básica do que o valor do projeto, que é determinado a partir do fluxo de caixa. Uma opção para suspender temporariamente a operação do projeto é mais facilmente modelada como função dos fluxos de caixa suspensos do que como função do valor do projeto. E a partir dos novos fluxos de caixa o valor do projeto pode ser facilmente computado. Outra vantagem é que o valor do projeto sofre descontinuidade ao longo do tempo devido às saídas dos fluxos de caixa em cada período, e com a transformação proposta isso é incorporado automaticamente no modelo Árvore de Decisão do Projeto No modelo de árvore binomial desenvolvido anteriormente, o valor pré-dividendo do projeto no período i e estado j, é dado em função do valor V 0 do projeto no instante inicial, da taxa de drift µ, da volatilidade σ e da taxa de distribuição de dividendos δ i. (Equação (3.10)). Dessa forma temos = f ( V σ µ δ ), onde V f ( C µ ) V,,,, 0 i j i =. Ao incorporamos as opções 0 i, reais do projeto, transformamos a árvore binomial (incerteza) em uma árvore de decisão (incerteza + opções). Por outro lado, a modelagem das opções é mais facilmente implantada determinando-se o seu impacto sobre os fluxos de caixa do que sobre o valor do projeto. Dessa forma, fazemos uma transformação algébrica para explicitar o valor do projeto em função de uma série de fluxos de caixa artificiais que têm a propriedade de garantir que o processo estocástico seguido pela função Valor do projeto siga o mesmo Movimento Geométrico

63 63 Browniano estabelecido anteriormente. Esses fluxos, que denominaremos de pseudo fluxos de caixa, por sua vez, serão função dos fluxos determinísticos do projeto C i (i = 1, 2,..., m), do drift µ e dos parâmetros u e d do modelo binomial. Como estaremos descontando os pseudo fluxos à taxa livre de rt. e d risco utilizando probabilidades neutras a risco, temos também p =. u d A principal vantagem desta transformação é que ela permite explicitar a função de valor do projeto em termos de uma variável mais básica, que é o fluxo de caixa do projeto, possibilitando uma maior flexibilidade na modelagem das opções reais do projeto. Na Figura 10 podemos ver a árvore binomial onde o valor do projeto está expresso em função desses pseudo fluxos. ( V f ( C σδ µ ), =,,, ) i j i i C C 2 0 C 1 0 C 2 1 C V 0 C 1 1 C C 2 2 C Figura 10 Pseudo Fluxos de Caixa Para programas geradores de árvore de decisão, que possuem estrutura incremental, a fórmula do valor do projeto como função dos pseudo fluxos de caixa é dado por: V 0 i i j j (1 ) m i p p Ci, j j = (6.14) i (1 + r) i= 0 j= 0

64 64 Para uso com linguagens de programação que utilizam estrutura matricial, a fórmula absoluta é mais indicada: i i j j (1 ) m i p p j Ci i j j V0 = u d (6.15) i i (1 + r ) (1 + µ ) i= 0 j= 0 O desenvolvimento destas fórmulas está apresentado no Capítulo 6, apêndice Generalização da Fórmula do Valor do Projeto A determinação do valor do projeto em outros períodos e estados que não o inicial também pode ser feita. Seja (t) o período e (s) o estado da natureza. O valor pré-dividendos do projeto no período t e estado s será: V ts, = E C m i+ s t i, j (3.14) i t i= t j= s(1 + r) i t onde i t j + s, (1 ) j E C s i j = p p Ci, j. j s Na Figura 11 podemos ver uma ilustração do valor do projeto onde t = 3 e s = 1.

65 65 VP 5,0 VP 4,0 VP 3,0 VP 5,1 VP 2,0 VP 4,1 V 1,0 VP 3,1 VP 5,2 VP 2,1 VP 4,2 V 0,0 VP 3,2 VP 5,3 VP 1,1 VP 4,3 VP 2,2 VP 5,4 VP 3,3 VP 4,4 VP 5,5 Figura 11 Valor do Projeto em (T,S) A fórmula absoluta de valor nesse caso é dada por 6 : i t i t j+ s j s p (1 p) j s C i j j V u d (3.15) m i+ s t i ts, = i t i i= t j= s (1 + r ) (1 + µ ) Modelagem das Opções Uma vez definido e estruturado o modelo de difusão do valor do projeto, a inclusão das flexibilidades gerenciais é feita inserindo-se os instantes de decisão onde será maximizada a função valor do projeto. A cada oportunidade de se exercer uma opção do projeto, a decisão ótima será do tipo: max {valor de continuação; valor da opção} 6 Os valores dos pseudo fluxos de caixa C ij são fixos e constantes, e são função apenas do período i e estado j. Para o cálculo de V t,s o que muda é apenas o conjunto dos pseudo fluxos de caixa a serem incluídos no somatório e a probabilidade de ocorrência de cada um destes.

66 66 O valor de continuação é dado pela fórmula (3.14) já vista. O valor da opção dependerá, é claro, das características dessa flexibilidade gerencial naquele período. Uma opção de abandono, por exemplo, pode significar que a empresa abre mão dos fluxos de caixa futuros em favor de um valor terminal Ω. Uma opção de expansão pode multiplicar o valor dos fluxos de caixa futuros por um fator qualquer, menos o custo do novo investimento. Nesse caso, o novo valor do projeto daquele instante para frente supondo o exercício desta opção há que ser determinado para que possa ser comparado com o valor do projeto sem o exercício, e escolhido o maior. Vamos considerar o caso de uma única opção de abandono no período (T) com valor terminal Ω. A decisão ótima em cada estado possível do período (T) será: max {valor de continuação; Ω } O valor do projeto agora, incluindo a opção de abandono no período (T) será a soma de duas partes: os fluxos pré e pós-opção. Primeiramente computam-se os valores esperados dos pseudo fluxos de caixa entre o instante inicial e o instante da opção no período (T). Em seguida, computam-se o valor esperado do projeto em cada estado do instante da opção em diante, até o final da vida útil do projeto. Esse valor de continuação (V T ) é comparado ao valor de abandono, e a decisão ótima é tomado visando sempre a maximização do valor do projeto. Assim, o valor do projeto com opção de abandono no período (T) é dado por: V * 0 i= 0 j= 0 { } T 1 i E Ci, j E max VT, Ω = + i T (1 + r) (1 + r) V * 0 T i T i j j T S S p (1 p) C 1 i, j p (1 p) max V,, T i j S = 0 S Ω = + i T (1 + r) (1 + r) i= 0 j= 0 { T S }

67 67 Substituindo o valor de continuação do projeto da equação (3.14), ficamos com: V * 0 i= 0 j= 0 T E C T m i+ S T i i, j i j j T S S p (1 p) C p (1 p) max, Ω i, j i T S= 0 S i= T j= S (1 + r) T 1 i j = + i T (1 + r) (1 + r) Substituindo o valor dos fluxos de caixa da equação (3.15) temos: V * 0 i i j j Ci i j j p (1 p) u d T 1 i (1 ) i j + µ = + i (1 + r) i= 0 j= 0 + i T i T j S j S C + i i j j p (1 p) u d i T + T S S j S (1 µ ) p (1 p) max +, Ω i T S (1 + r) T (1 + r) T m i S T S= 0 i= T j= S (3.16) A equação (3.16) nos dá o valor do projeto considerando uma única opção de abandono num período qualquer T 7. Como definimos anteriormente a função valor como sendo o valor pré-dividendos, o valor de continuação V T inclui os dividendos do período T. No caso, foi considerado que o eventual abandono do projeto se dará imediatamente após o recebimento dos dividendos do período T. Dessa forma, tanto o dividendo quanto o valor de abandono serão recebidos, portanto, para efeito da análise o valor dos dividendos no período T deve ser acrescido ao valor de abandono Ω na fórmula (3.16) acima. No caso também foi considerado que o valor terminal Ω é constante. Pode-se verificar que a modelagem de um valor terminal Ω variável em função do período e estado pode ser facilmente implementada. A implementação de outros tipos de opções exige a alteração e adequação das fórmulas apresentadas de forma a considerar as particularidades e o impacto 7 A verificação da fórmula pode ser feita mostrando que ela reverte para a fórmula (6.15) quando se faz T = S = 0.

68 68 de cada tipo de opção. A inclusão de opções múltiplas implica em modelar o valor de continuação de forma a incluir as opções futuras. Em um modelo de programação dinâmica isso é feito automaticamente à medida que o valor do projeto vai sendo computado desde o último período até o período inicial, incorporando o valor de opção a cada instante de decisão existente Exemplo Ilustraremos a estruturação do modelo teórico com um exemplo simples de um projeto de quatro períodos. O projeto está sujeito a uma única fonte de incerteza que é o valor futuro das suas receitas. A taxa de desconto ajustada ao risco do projeto é de 10%, e a taxa livre de risco é de 5%. Começamos a análise calculando o valor esperado dos fluxos de caixa futuros e o valor presente do projeto no instante zero, conforme Tabela Receita Custo Variável (400) (440) (480) (520) Custo Fixo (240) (240) (240) (240) Depreciação (300) (300) (300) (300) LAIR IR 50% (30) (60) (90) (120) Depreciação Investimento (1,200) Fluxo de Caixa (1,200) VP 0 = 1,177 WACC = 10% Investim = (1,200) VPL = (23) Tabela 3 Planilha Determinística do Projeto De acordo com a premissa primeira, assumiremos que $1.177 é o seu valor atual de mercado. Como o projeto exige um investimento de $1.200, podemos observar que o projeto tem VPL negativo, o que indique não é ótimo a sua implantação. A evolução do valor do projeto no tempo foi apresentada na Figura 7. Assumiremos que as receitas futuras do projeto seguem uma distribuição lognormal na forma dx = αxdt + σxdz, com drift α = 6.5% e volatilidade σ = 30%. Em seguida fazemos uma Simulação de Monte Carlo

69 69 modelando as receitas futuras como um Movimento Geométrico Browniano com os parâmetros acima, e computando a cada iteração o valor da taxa de retorno µ, onde µ = ln ( VP 1/ VP0). Calculando o desvio padrão de µ obtemos uma estimativa para volatilidade do projeto de σ = 24.4%. Pela premissa segunda, assumimos que a taxa de retorno µ tem distribuição normal, portanto, o valor do projeto terá distribuição lognormal, que será aproximada através de uma árvore binomial. O próximo passo é o cálculo dos valores de u, d, e da probabilidade neutra a risco p, conforme fórmulas já definidas anteriormente. Os pseudo fluxos de caixa são computados utilizando-se as fórmulas (6.11) e (6.12), e o valor do projeto é determinado aplicando-se os procedimentos usuais de Programação Dinâmica, começando-se do período final e retornando ao instante inicial descontando-se os fluxos à taxa livre de risco com probabilidades neutras a risco. Na Figura 12 podemos ver o modelo utilizado, observando-se que o valor presente obtido através da árvore binomial é o mesmo da planilha determinística. T1 [1177].541 B aixo.459 T2 [1431] T2 [878.6] B aixo B aixo.459 T3 [1661] T3 [1160] T3 [1020] T3 [712.4] B aixo B aixo B aixo B aixo.459 T4 [1846] T4 [1444] T4 [1274] T4 [1027] T4 [1133] T4 [886.2] T4 [782] T4 [630.4] B aixo B aixo B aixo B aixo B aixo B aixo B aixo B aixo.459 [1957] [1715] [1512] [1363] 236 [1342] [1194] 236 [1069] 236 [977.7] [1201] [1053] 236 [928] 236 [836.9] [823.8] 236 [732.7] [656.1] [600.2] Figura 12 Árvore de Decisão do Projeto

70 70 O projeto tem uma opção de abandono no terceiro ano da sua vida útil, pelo valor terminal de $350. Inserimos um nó de decisão que modela a flexibilidade gerencial existente no ano 3 do projeto, conforme demonstrado na Figura 13. T1 T 1 /(1 + r) T 1 /(1 + r) T2 T 2 /(1 + r)^2 T 2 /(1 + r)^2 T3 T 3 /(1 + r)^3 T 3 /(1 + r)^3 Decisa o Continua Abandona T4 Abn_Value/(1+r)^3 T 4 /(1 + r)^4 T 4 /(1 + r)^4 Figura 13 Modelo do Projeto com Opção de Abandono Com a inclusão da opção de abandono, um novo valor presente do projeto é calculado utilizando-se probabilidades neutras a risco, conforme ilustrado na Figura 14. Em alguns estados a opção de abandono será exercida, e o valor do projeto com esta opção real aumenta para $ T1 [1232] A lto B a ix o T2 [1454] T2 [ ] A lto B a ix o A lto B a ix o T3 [1661] T3 [1210] T3 [1069] T3 [8 5 5 ] A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o D ecisao [1846] D ecisao [1444] D ecisao [1274] D ecisao [1135] D ecisao [1133] D ecisao [ ] D ecisao [ ] D ecisao [ ] T4 C o n tin u a [1846] A bandona [1633] T4 C o n tin u a [1444] A bandona [1430] T4 C o n tin u a [1274] A bandona [1260] T4 C o n tin u a [1027] A bandona [1135] T4 C o n tin u a [1133] A bandona [1119] T4 C o n tin u a [ ] A bandona [ ] T4 C o n tin u a [7 8 2 ] A bandona [ ] T4 C o n tin u a [ ] A bandona [ ] Figura 14 Projeto com Opção de Abandono

71 71 O mesmo resultado pode ser obtido utilizando-se a linguagem de programação Visual Basic (VBA). No apêndice 6.4 é apresentado o código VBA utilizado para a função que calcula o valor do projeto sem opção (ComputeValue) e para o valor do projeto com opção de abandono no terceiro ano (ComputeOption). Uma vez definida a árvore de decisão do projeto e seus parâmetros estocásticos, opções adicionais podem ser incluídas com facilidade. Supondo que a opção de abandono possa ser exercida também no ano 2, e que exista ainda a opção de expandir o projeto 30% neste mesmo ano um custo de $100. A modelagem do problema está apresentada na Figura 15 e na Figura 16 está representada a árvore de decisão completa do projeto. Podemos observar que o valor do projeto aumenta nesse caso para $1.301, e que a opção de expansão apenas não será exercida no estado mais desfavorável do ano 2, enquanto que a opção de abandono continua sendo exercida apenas no ano 3. As linhas em negrito na Figura 16 indicam a decisão ótima que a empresa deve tomar naquele estado. T1 T2 E xpande -Invest/(1 + r)^2 a C ontinua T1/(1 + r) T1/(1 + r) T 2 /(1 + r)^2 T 2 /(1 + r)^2 D ecisao2 C ontinua a Abandona Abn_Valu e /(1 + r)^2 a T3 T 3 /(1 + r)^3 T 3 /(1 + r)^3 D ecisao3 T4 Abandona Abn_Valu e /(1 + r)^3 T4/(1+r)^4 T4/(1+r)^4 Figura 15 Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão Mesmo para um modelo simples como o apresentado aqui, podemos ver que a árvore de decisão se torna complexa com rapidez. Para problemas reais, a complexidade da árvore de decisão será tal que a sua visualização será impossível, e adotaremos apenas a sua estrutura de modelagem para representar a visualização do projeto.

72 D ecisao2 [1827] Expande T3 [1827] T3 C ontinua [1661] D ecisao3 [2068] D ecisao3 [1545] 420 C ontinua [2068] Abandona [1700] T4 C ontinua [1545] Abandona [1436] T2 [1563] D ecisao2 [1251] Abandona Expande [1122] T3 [1251] T3 C ontinua [1210] D ecisao3 [1375] 420 D ecisao3 [1104] T4 C ontinua [1375] Abandona [1266] T4 C ontinua [1054] Abandona [1104] T1 [1301].541 D ecisao2 [1110] Abandona Expande [952] T3 [1110] T3 C ontinua [1069] D ecisao3 [1234] 420 D ecisao3 [963.2] T4 C ontinua [1234] Abandona [1125] T4 C ontinua [913.2] Abandona [963.2] T2 [992.7] D ecisao2 [855] Abandona Expande [811.2] T3 [813.2] T3 C ontinua [855] Abandona [707] D ecisao3 [890.2] D ecisao3 [813.6] T4 C ontinua [782] Abandona [890.2] T4 C ontinua [630.4] Abandona [813.6] Figura 16 Projeto com Opção de Abandono e Expansão

73 4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária 4.1. Introdução Devido à falta de capacidade de investimento do setor público no Brasil, e também seguindo uma tendência mundial, na década de 90 o governo federal e diversos governos estaduais reorganizaram as suas prioridades de investimento e passaram a leiloar concessões públicas ao setor privado, que assumiria a responsabilidade dos investimentos necessários em troca dos direitos de exploração do serviço concedidos. Uma das áreas em que isso ocorreu foi no setor de infra-estrutura, em particular, nos setores de energia e transporte. Dado que investimentos em infra-estrutura são tipicamente de longo prazo de maturação, para o investidor privado, estes investimentos apresentam considerável risco econômico e também, político. No caso de uma concessão rodoviária, o risco econômico é decorrente da volatilidade do tráfego na rodovia, da taxa de câmbio, visto que estes projetos geralmente têm parcela significativa do investimento financiada em moeda estrangeira, e outras fontes de incerteza como taxas de juros e inflação. O risco político é decorrente da incerteza sobre o compromisso de longo prazo do setor público com a política de privatização de serviços. Numa concessão rodoviária o risco político é relevante devido aos grandes investimentos necessários nos anos iniciais, que só passam a ser compensados por grandes fluxos de caixa para os investidores muitos anos à frente, quando o ambiente político pode estar significativamente diferente do ambiente reinando no inicio da concessão. Além disso, ao contrário dos Estados Unidos e principalmente da Europa, praticamente não havia no Brasil rodovias pedagiadas, sendo que o custo de implantação e operação das rodovias no país sempre foi arcado por toda a sociedade e não apenas por seus usuários. Nesse contexto, é natural que o usuário em geral fosse

74 74 avesso a um processo que passasse a lhe cobrar por um serviço que até então lhe era gratuito. Para lidar com o risco político, o investidor tipicamente adota um prêmio de risco arbitrário, que é adicionado à taxa de desconto ajustada ao risco econômico do projeto. Essa taxa é arbitraria porque o risco político é um risco privado da empresa, isto é, não correlacionado com o mercado. Dessa forma, não é possível determinar um prêmio de risco para essa incerteza baseando-se em condições de equilíbrio de mercado. Infelizmente, o uso desta metodologia pode levar a empresa a tomar decisões não ótimas, como aumentar em demasia o valor ofertado para o pedágio para compensar o risco político percebido, e correr o risco de ser preterido no leilão da concessão por excesso de conservadorismo. Além disso, uma concessão rodoviária apresenta flexibilidades operacionais. A operação, por exemplo, pode ser expandida através da construção de faixas de trafego adicionais para aumentar a capacidade de escoamento da rodovia e conseqüente incremento nas receitas de pedágio, ou mesmo através do investimento em novas concessões. No caso das receitas ficarem muito aquém do esperado por qualquer motivo, o projeto também pode ser abandonado através de uma opção contratual implícita. A presença dessas opções faz com que a análise pelo método do Fluxo de Caixa Descontado tradicional leve o investidor a subestimar o real valor do empreendimento. A metodologia proposta no Capítulo 3 será aplicada a valoração de um projeto de concessão rodoviária típico em condições de incerteza de mercado, considerando suas opções reais e incorporando os efeitos do risco político Histórico Em 1995, o governo brasileiro aprovou uma revisão da Lei de Concessão das estradas que permitia ao governo transferir rodovias, bem como outras instalações públicas e serviços, para concessionários particulares. Esse processo foi deflagrado com a concessão pelo Ministério dos Transportes em cerca de 856,4 km de rodovias federais, incluindo a ponte Rio-Niterói, cujos 13,2 km conectam a cidade do Rio de Janeiro ao

75 75 norte do país. O plano do governo era reduzir a rede de estradas federais de km para cerca de km e de transferir a operação, manutenção e execução das melhorias necessárias em cerca de km de estradas de alto volume de tráfego para concessionários particulares, que recuperariam os seus investimentos através da cobrança de pedágio. O plano do governo era composto de um programa de descentralização, elaborado com a assistência do Banco Mundial, que previa também a transferência da responsabilidade de estradas para os governos estaduais. A malha rodoviária brasileira possui aproximadamente 1,6 milhão de km, volume esse considerado insuficiente para atender as necessidades de um país com as dimensões continentais do Brasil. Essas estradas são classificadas em três níveis administrativos: 3. Uma rede com km sob jurisdição federal, dos quais km são pavimentados e km não pavimentados; 4. Redes estaduais com km sob as jurisdições das 27 estados, dos dois territórios federais e o Distrito Federal, dos quais km são pavimentados; e 5. Redes municipais que se estendiam por mais de 1,4 milhão km, sob as jurisdições de mais de municípios, dos quais apenas são pavimentados. O Ministério dos Transportes considera que 92% dessas estradas não tem o grau de segurança mínimo desejado. Na Tabela 4 podemos ver a comparação da extensão das malhas de transporte do Brasil com a de outros países 8. País Rodovias (x km) Ferrovias (Km) EUA ,712 Brasil ,277 Japão ,251 França ,574 Alemanha ,398 Índia NA 62,486 Tabela 4 Comparação da Malha de Transporte 8 U. S. Department of Commerce - National Trade Data Bank, November 3, 2000

76 76 Devido à pequena extensão da sua malha ferroviária e hidroviária, e o alto custo do transporte aéreo, o transporte rodoviário representava mais de 60% do transporte de carga doméstica e 90% do movimento de passageiros no Brasil. Os gastos anuais com o transporte rodoviário eram significativos, e em 1995 eram estimados em US$ 60 bilhões, o que correspondia a quase 15% de Produto Interno Bruto (PIB) do país. Na Figura 17 podemos ver a importância do transporte rodoviário no transporte de carga no Brasil, em relação a outros países no mundo, em toneladas por km. 75% 63% 50% 25% 24% 26% 8% 0% China Australia EUA Brasil Figura 17 Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total Na Figura 18 9 podemos observar o crescimento da importância da malha rodoviária no país, em relação aos demais meios de transporte. 500,000 TKm milhões 400, , , , Dutos Hidrovias Ferrovias Rodovias Figura 18 Carga transportada por modalidade no Brasil ( ) 9 Confederação Nacional dos Transportes

77 77 Até o momento cerca de km de estradas, sendo km federais e km estaduais foram privatizadas (Tabela 5), envolvendo 32 empresas concessionárias e US$ 12 bilhões de dólares de investimento previstos, sendo que a maior parte dessas concessões se localizam em cinco estados do Sul e Sudeste, onde se encontram os maiores centros urbanos e industriais. A continuação deste programa levará o Brasil a ser o país com o maior número de estradas privatizadas no mundo, seguido da Argentina com km e Estados Unidos com km. Concessões Km Concessões federais contratadas Concessões estaduais contratadas Concessões em licitação ou a licitar Total Tabela 5 Resumo das Concessões A Concessão Rodoviária Uma concessão rodoviária é um acordo contratual entre a companhia vencedora do leilão e o governo. De um modo geral, as principais características desse tipo de concessão são a existência de um prazo definido para explorar o negócio, a necessidade de altos investimentos durante os primeiros anos da concessão e pagamento de ônus ao Estado. Uma das vantagens da concessão rodoviária em estradas de alto tráfego é que geralmente elas apresentam uma grande capacidade de geração de caixa, que no caso da concessão de rodovias já existentes podem ser estimados com razoável grau de confiabilidade a partir de dados históricos. Por outro lado, a cobrança de pedágio é uma atividade de alta visibilidade para usuários e obriga a concessionária a lidar diretamente com o público para cobrar pela prestação de serviços que até então eram gratuitos para estes usuários. Isso muitas vezes provocava conflitos de interesse com grupos 10 Fonte: ANTT - ABCR -

78 78 prejudicados com algum poder de influência política ou da mídia, que exacerbavam o potencial de interferência governamental na concessão, especialmente dado o longo prazo do projeto. A concessão da rodovia obriga a empresa vencedora a uma série de investimentos na estrada conforme estabelecido em contrato, podendo incluir ou não a exigência de construção de novos trechos, e geralmente é outorgada a empresa que ofereça o menor preço para o pedágio. O vencedor ganha então o direito de operar a rodovia durante um período de 20 anos e de cobrar o pedágio proposto, enquanto o governo retém a posse legal dos bens físicos. Depois deste período, a rodovia volta ao poder concedente livre de quaisquer obrigações. O contrato prevê também que a tarifa do pedágio seja reajustada de acordo com a inflação acumulada no período segundo fórmula preestabelecida, e tem como objetivo de manter o equilíbrio econômico-financeiro do projeto no mesmo nível daquele proposto inicialmente. Situações excepcionais, fora do controle da concessionária, e que venham a afetar o retorno do projeto, também poderão ser considerados para efeito de reajuste de tarifa. A fiscalização da concessão é responsabilidade da Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT) 11, criada em junho de 2001 através da Lei n.º , a quem cabe a responsabilidade de outorgar, administrar e fiscalizar as concessões do transporte público rodoviário e ferroviário no país O Projeto O projeto em questão trata de uma concessão rodoviária no Brasil de uma estrada de grande porte por um período de 20 anos. O projeto será estruturado como um Project Finance, onde será constituída uma empresa com o propósito específico de participar da licitação, e investir e operar o projeto se vencedora, nos moldes de uma SPC (Special Purpose Company). Os acionistas da empresa são privados. O capital necessário para os investimentos virá de fontes de financiamento externo, geração de caixa do

79 79 projeto e aporte de recursos dos acionistas. Além das incertezas a respeito dos riscos de mercado e do risco privado, o projeto apresenta flexibilidades gerenciais, ou opções reais, que podem levar os gerentes a um extremo de abandonar a concessão caso o cenário futuro se mostre extremamente desfavorável, ou de expandir o negócio para outras oportunidades internas ou externas à concessão, caso os resultados iniciais do projeto sejam satisfatórios Investimento e Depreciação A maior parte dos investimentos necessários, estimados em R$ 300 milhões, será realizada nos primeiros cinco anos, o que é típico em projetos deste tipo. Após os primeiros cinco anos, com a rodovia já dentro dos padrões de segurança e qualidade pré-estabelecidos, o volume de investimentos se reduz e a prioridade passa a ser a sua manutenção. Nos cinco anos seguintes, considerou-se que os investimentos sejam distribuídos uniformemente ao longo desse período. Após o décimo ano da concessão não estão previstos novos investimentos, além das despesas normais de manutenção da rodovia, sendo que o contrato de concessão requer que a rodovia seja entregue em boas condições operacionais e livre de quaisquer ônus após o período de concessão. Os investimentos realizados serão depreciados pelo prazo restante, independente de quando executadas, de forma que o valor contábil dos ativos seja zero ao final da concessão Custos Operacionais Os custos operacionais da rodovia envolvem a prestação de serviços aos motoristas, estações de primeiros socorros médicos e serviço de ambulância, veículos de emergência para reboque de veículos acidentados, recapeamento do pavimento, reparo de cercas e guard-rails, sinalização, limpeza e reparos nos muros de contenção e sistemas de drenagem, renovação estrutural, alargamento e reconstrução de pontes, viadutos e obras de arte, barreiras divisórias do canteiro central, construção de novos acessos, e a operação das estações de pesagem e das praças de pedágio e

80 80 administração. A concessionária também é responsável pelos custos adicionais referentes aos seguros a serem contratados, garantias contratuais, performance bond, taxas de inspeção e outras despesas correlatas durante todo o período da concessão. Esses valores crescem nos primeiros cinco anos e depois se mantêm constantes até o final do prazo de concessão Plano Financeiro Os custos do projeto estão estimados em R$ 300 milhões, sendo que R$ 120 milhões serão financiados com capital de terceiros, e o restante com capital acionário e pela própria geração de caixa do projeto. No caso foi considerado que 50% do financiamento foi contratado internamente através de uma agencia de desenvolvimento nos moldes do BNDES, e o restante no mercado externo em moeda norte americana, na modalidade stand by. Ambos empréstimos tem prazo de carência e serão amortizados em 10 anos pelo sistema de amortização constante (SAC), onde o principal é pago em parcelas iguais, e os juros são calculados sobre o saldo devedor do período. Os valores ficam disponíveis para a concessionária a partir do início da concessão, e vão sendo sacados à medida das necessidades de investimento, com os juros pagos apenas sobre o saldo devedor. Considerou-se que o empréstimo local tenha um custo de TJLP + 3% a.a., e o empréstimo externo de LIBOR + 3.5% a.a Análise de Risco Risco de tráfego A Taxa Média Diária Anual (TMDA) de tráfego na rodovia é atualmente de veículos. É largamente utilizado na análise de rodovias a premissa de que o volume de tráfego é correlacionado com o PIB do país, dado que o aumento de renda amplia as oportunidades das pessoas e o incremento da vontade de viajar está vinculado ao fato de que as pessoas querem tirar mais vantagem das novas oportunidades. O aumento da produção também leva a um aumento na demanda por transporte dos bens

81 81 produzidos. Utilizando dados históricos do PIB desde 1970 (Figura 19), obtemos um crescimento médio de µ = 4.44% a.a. e volatilidade σ = 4.54% para o período, assumindo que tanto o PIB quando o volume de tráfego tem distribuição lognormal. No caso de existirem séries históricas de volume de tráfego, essas séries podem ser correlacionadas com a série do PIB para estabelecer uma projeção de crescimento futura, através de uma análise de regressão. Foi estabelecido também um limite superior para o tráfego na rodovia equivalente a sua capacidade máxima de tráfego, de veículos/dia, equivalente ao dobro da sua atual capacidade de tráfego. Este limite já considera as melhorias que serão realizadas na rodovia ao longo do período de concessão, mas não inclui futuras expansões como a construção de faixas de tráfego adicionais. 15% 10% 5% 0% % Figura 19 Variação Anual do PIB ( ) Risco Cambial Uma parte do financiamento do projeto é denominado em moeda estrangeira (USD), enquanto que as receitas serão todas em Reais. Isso pode acarretar o risco de perdas no curto prazo no caso de desvalorização acentuada da moeda, uma vez que a periodicidade do reajuste da tarifa é anual. A evolução recente da taxa de câmbio histórica real no Brasil pode ser dividida em duas épocas distintas, se desconsideramos o período de alta 13 Fonte: IPEA

82 82 inflação antes do início do Plano Real em De 1994 até janeiro de 1999, ocorre uma fase de baixa volatilidade em que o taxa de câmbio era determinada pelo Banco Central. Essa fase terminou abruptamente em meio à crise econômica mundial de 1998, que levou o Banco Central a liberar o câmbio em janeiro de Desde então, o câmbio passou a apresentar uma volatilidade significativamente maior, além de um expressivo crescimento em termos reais, da ordem de 21% a.a. (Figura 20). 20% 10% 0% Ago Ago 02-10% Figura 20 Variação Mensal da Taxa de Câmbio ( ) Também não se observa um processo de reversão a média como era de se esperar para essa variável. Mesmo considerando esse valor excessivo, no segundo semestre do ano de 2002 observou-se um aumento ainda mais significativo tanto na volatilidade quanto na sua taxa de crescimento, o que nos parece insustentável no longo prazo. Dessa forma, dado que o tamanho da série histórica disponível relativa ao período de câmbio flutuante é insuficiente para que possamos determinar a partir dele o processo estocástico desta variável ou os seus parâmetros, para o crescimento foi arbitrada a taxa de µ = 8%, e para a volatilidade adotou-se a volatilidade observada no período desde 1994, obtendo σ = 11.4%. Assumimos ainda que a variável tem distribuição lognormal.

83 Riscos de Inflação e taxa de juros Tanto os empréstimos em moeda local quanto os empréstimos em moeda estrangeira tem taxas de juros flutuantes, portanto, o custo financeiro do projeto pode sofrer variações ao longo do prazo de concessão. Geralmente a fórmula de reajuste do contrato estabelece previsão para reajustes periódicos que levam em conta os efeitos da inflação, mas o risco de juros corre por conta da concessionária, que pode optar por fazer hedge, se necessário. O empréstimo do BNDES adota uma parcela variável que é a Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP), cujo valor em março/2002 era de 10% a.a., e o seu custo total de TJLP + 3% a.a. 14. A TJLP reflete o custo de captação dos recursos do BNDES, e é fixada trimestralmente pelo Conselho Monetário Nacional. A TJLP é dada pelo somatório da meta de inflação, calculada pro rata para os doze meses seguintes ao primeiro mês de vigência da taxa, inclusive, baseada nas metas anuais fixadas pelo Conselho Monetário Nacional (CMN) e do prêmio de risco, que incorpora uma taxa de juro real internacional e um componente de risco Brasil. O empréstimo em moeda estrangeira tem um custo de LIBOR + 3.5% a.a., sendo que março de 2002 o seu valor era de 2.63% a.a. 15. Considera-se que um processo de reversão à média reflete melhor o processo estocástico da evolução da taxa de juros, e também para commodities, que um Movimento Geométrico Browniano. Assumimos que o processo da taxa de juros é o Ornstein-Uhlenbeck Geométrico, na forma: dp = η( P P) Pdt + σp Pdz onde ή é o fator de reversão à média P é a taxa de juros média no longo prazo σ P é a volatilidade da taxa de juros

84 84 Dado que a série da TJLP é pequena (desde 1995 apenas) e que a TJLP incorpora uma componente de juros internacional, utilizamos a série histórica mensal da LIBOR de 6 meses desde 1987 (Figura 21) para a determinação da taxa de juros de longo prazo. O valor encontrado de P = 5.85% está coerente com Luenberger (1998), pág. 407, que considera que a taxa de juros de longo prazo do mercado é cerca de 6% a.a. A volatilidade da série foi de σ P = 6.7% e o fator de reversão à média foi arbitrado em ή = % 9% 6% 3% 0% Figura 21 LIBOR 6 meses Risco Político Dado que a operação da concessão envolve a cobrança de pedágio numa estrada até então de trânsito livre, era provável que houvesse uma reação dos usuários contra essa cobrança obrigatória. Esperava-se, no entanto, que as melhorias realizadas na rodovia servissem para mostrar aos usuários que havia uma relação custo/benefício positiva. Um dos problemas é que a cobrança de pedágio é um serviço de alta visibilidade pública, e que torna o governo sujeito a pressões políticas de usuários da rodovia, não acostumados a pagar diretamente pelos serviços recebidos. Outro, é que devido ao grande volume de investimentos necessários nos anos iniciais, a maior parte da geração de caixa do projeto só ocorre muitos anos dentro do projeto. Assim, na hora em que a concessão estiver tendo uma alta

85 85 lucratividade e com poucos investimentos sendo realizados, a concessionária fica exposta a pressões políticas visando à redução da tarifa. O próprio processo de privatização, não só das rodovias, mas como de todos os ativos em poder do governo que agora estava sendo transferido para o setor privado, tem sido alvo de críticas constantes por parte de setores da sociedade que discordam desta política, e que advogam uma participação mais extensiva do Estado na economia. Dessa forma, é possível que durante o longo prazo da concessão, possam ocorrer mudanças políticas significativas no país que levem ao poder um governo com objetivos distintos no tocante ao processo de privatização. Considera-se que o efeito do risco político seja o de não repassar aumentos de custos não administrados para a tarifa, como variações extraordinárias na taxa de câmbio, juros ou inflação, repasse para a concessionária de ônus não previstos inicialmente no contrato, e até a intervenção na concessão resultando em sua encampação ou rescisão contratual. Para o estudo de caso, foi considerado que as intervenções mais extremas estão previstas em contrato e implicam em indenização da concessionária pelos investimentos realizados. Assim, para efeitos deste estudo de caso, considerou que o impacto do risco político é o de afetar negativamente a tarifa básica do pedágio, qualquer que seja a justificativa para isso. A maneira usual de incorporar os impactos do risco político em projetos é incluir um prêmio de risco adicional, geralmente na faixa de 2% a 3%, à taxa de mercado do projeto. No entanto, essa taxa adicional é arbitrária e não leva em conta as particularidades da diversificação de risco dos investidores. O tratamento proposto incorpora explicitamente estas características e não implica na utilização de taxas arbitrárias. Assumimos que a distribuição de probabilidades de perda de valor no pedágio é discreta, e seus parâmetros são os da Tabela 6: Prob Valor da Redução 50% 0 30% 5% 20% 10% Tabela 6 Parâmetros do Risco Político

86 86 Na modelagem do problema considerou-se que a fase crítica de maior exposição ao risco político ocorre a partir na segunda metade da concessão, do ano 10 ao ano 15, inclusive. A justificativa para isso é que nos anos iniciais, quando a concessionária está incorrendo em pesados investimentos e a rentabilidade do projeto é baixa ou negativa, o risco de interferência externa é pequeno. Por outro lado, o risco também tenderia a diminuir à medida que se aproxima o final do período de concessão. Essas premissas têm a vantagem adicional de simplificar a parte computacional do projeto, que cresce exponencialmente com cada opção acrescentada Modelo Financeiro A partir dos parâmetros estabelecidos para a evolução do volume de tráfego na rodovia, foram projetados os níveis de tráfego médios diário anuais para os próximos 20 anos. O tráfego na rodovia ocorre 365 dias no ano e é cobrado nos dois sentidos. Os dados de tráfego são dados em unidades, sem fazer distinção entre automóveis e veículos de carga. Como os veículos de carga pagam mais pedágio do que os automóveis, utiliza-se um fator multiplicador para normalizar os dados de tráfego, conhecido como Veiculo Equivalente (VHE). Para o caso em questão, o VHE é de 2.2 e assumido constante durante todo o período da concessão. A receita total da concessão no ano t então é dada pela fórmula: R = TMDA 365 P 2 VHE t t t Onde Rt = Receita total no ano t TMDAt = Tráfego Médio Diário Anual no ano t Pt = Preço do Pedágio no ano t VHE = Fator Multiplicador de Veiculo Equivalente

87 87 Em toda a análise foram considerados valores reais. O modelo do fluxo de caixa adotado está apresentado Tabela 7: Fluxo de Caixa Receita de Pedágio - Imposto sobre pedágio = Receita Liquida - Custos Oper e de Manut - Seguro, Taxas e Garantias - Juros - Depreciação = LAIR - IR = Lucro Líquido + Depreciação + Financiamento - Investimentos - Amortizações = Fluxo de Caixa do Acionista Tabela 7 Fluxo de Caixa do Projeto { δ } C = R (1 IP) CO S J (1 IR) + D + F I AM (4.1) t t t t t t t t t t onde Invest Acum Dt = 21 t R t = Receita de Pedágio IP = Alíquota do Imposto sobre Pedágio CO t = Custo Operacional S t = Seguros, taxas e garantias. J t = Juros IR = Alíquota de Imposto de Renda F t = Financiamento I t = Investimento AM t = Amortização do Financiamento

88 88 Na Tabela 8 temos os principais dados utilizados na modelagem financeira do projeto. Variável Valor Unidade Dados Técnicos Período da concessão 20 anos Tráfego Inicial TMDA Capacidade Máxima TMDA Início da Operação Jan/2003 VHE 2,2 Fator Veículo Equivalente Dados Financeiros Investimento 300 R$ Milhões Financiamento Local 60 R$ Milhões, Cronograma Desembolso 20% Por ano durante cinco anos Taxa de Juros TJLP + 3% a.a. Carência 3 anos Amortização SAC 10 anos Financiamento Externo 60 R$ Milhões (equivalente em USD) Cronograma Desembolso 20% Por ano durante cinco anos Taxa de Juros LIBOR + 3.5% a.a. Carência 5 anos Amortização SAC 10 anos Tarifa Pedágio 3.75 R$ Imposto sobre Pedágio 6% Percentual sobre Receita Pedágio Imposto de Renda 30% Percentual sobre LAIR Taxa Ajustada ao Risco 21% a.a. Acionista Taxa Livre de Risco 8% a.a. Taxa inflação 5% Considerados valores reais. Tabela 8 Dados do Projeto

89 Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais Ao contrário de projetos de extração mineral como petróleo, cobre, etc., ou mesmo projetos onde a empresa detém opção de investimento com longo prazo de exercício, uma concessão rodoviária exige que o concessionário inicie os seus investimentos de imediato, dado que é um serviço público que não pode ser adiado sem prejuízo para a população. Não existe, portanto, nenhuma flexibilidade quanto à possibilidade de se adiar o investimento necessário. Por outro lado, podemos definir duas outras opções relevantes para este projeto: a opção de abandono e a opção de expansão para novos projetos Opção de Abandono Embora não exista previsão explicita para a hipótese de abandono da concessão por parte do concessionário, ela está implícita nas cláusulas contratuais que abordam os casos de extinção do contrato. O contrato de concessão da Via Dutra, o maior projeto da rede federal, menciona: (os grifos são nossos) Nos casos de adventos do termo contratual e encampação... procederá aos levantamentos e avaliações necessários a determinação do montante de indenização que será devida a CONCESSIONARIA na forma prevista nos itens 114 e A reversão no advento do termo contratual far-se-á com indenização das parcelas dos investimentos que tenham sido realizados com o objetivo de garantir a continuidade e atualidade dos serviços pertinentes a concessão Considera-se encampação a retomada do serviço pelo poder concedente, durante o prazo da concessão, por motivo de interesse público, mediante lei autorizativa especifica e após prévio pagamento da indenização prevista no item anterior A inexecução total ou parcial do CONTRATO de concessão acarretará, a critério do DNER, a declaração de caducidade da concessão, ou a aplicação de sanções contratuais A caducidade poderá ser declarada pelo DNER quando: a) O serviço estiver sendo prestado de forma inadequada ou deficiente, tendo por base as normas, critérios, indicadores e parâmetros definidores da qualidade do serviço; b) A CONCESSIONARIA descumprir cláusulas contratuais ou disposições legais e regulamentadoras concernentes a concessão;

90 90 c) A CONCESSIONARIA paralisar o serviço ou concorrer para tanto, ressalvadas as hipóteses decorrentes de casos fortuitos ou forca maior; d) A CONCESSIONÁRIA perder as condições economias, técnica ou operacionais para manter a adequada prestação do serviço concedido; e) A CONCESSIONÁRIA não cumprir as penalidades impostas por infrações, nos devidos prazos; f) A CONCESSIONÁRIA não atender a intimação do DNER no sentido de regularizar a prestação do serviço; g) A CONCESSIONÁRIA for condenada em sentença transitada em julgado por sonegação de tributos, inclusive contribuições sociais Instaurado o processo administrativo e comprovada a inadimplência, a caducidade será declarada por decreto do Chefe do Poder Executivo, independente da indenização prévia, calculada no decurso do processo A indenização de que trata o item acima, será devida na foram dos itens 113 e 114, descontado o valor das multas contratuais e dos danos causados pela CONCESSIONÁRIA. Fica claro que qualquer que seja a forma ou o motivo da rescisão contratual será devida uma indenização equivalente ao valor contábil dos investimentos já realizados, deduzidos quaisquer custos e/ou multas devidas, inclusive com execução das garantias, se for o caso. Se a empresa quiser abandonar a concessão, ela poderá fazer isso de comum acordo, ou unilateralmente, dando causa para que o DNER invoque a cláusula de caducidade da concessão. Em ambos os casos haverá custos que reduzirão o montante a ser recebido como indenização, sendo que na situação de litígio, obviamente, os custos seriam maiores. No caso, consideramos a hipótese mais conservadora de rescisão litigiosa, estimando os custos dessa opção de abandono em 30% do valor da indenização a ser recebida. Qualquer saldo devedor de financiamentos também deverá ser quitado previamente ao abandono, pois o contrato de financiamento certamente tem cláusula que resguarda os credores desse tipo de risco, e exigirão que os empréstimos sejam quitados antecipadamente. Para efeitos de simplificação, o período de exercício da opção foi limitado ao período entre o ano 4 e o ano 10 da concessão. Na Tabela 9 podemos ver um resumo da opção de abandono.

91 91 Opção de Abandono Preço de Exercício: Quitação do Saldo Devedor Financiamento Inicio da Opção: Ano 4 Prazo de Expiração: Ano 10 Beneficio: 70% do Valor Contábil dos Investimentos Tabela 9 Parâmetros para a Opção de Abandono A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de continuação com o valor de abandono naquele período: { } { V C + VC SD} max Valor de Continuaçao, Valor de Abandono max, 0.70 t t t t onde V t = Valor de Continuação no período t C t = Fluxo de Caixa do Projeto no período t VC t = Valor Contábil no período t SD t = Saldo Devedor do Financiamento no período t+1 Note que em tempo discreto, por convenção, consideramos que todos os eventos relativos ao projeto ocorrem ao final de cada período, quando são distribuídos os dividendos. Os valores do projeto em qualquer período são sempre valores pré-dividendos, e instante do abandono é após o recebimento dos dividendos. Dessa forma, tanto o valor de continuação quando a opção de abandono incluem o valor do dividendo do período. Podemos observar também que esta opção tem preço de exercício variável Opção de Expansão Caso o volume de tráfego o justifique, durante a vigência da concessão a concessionária pode aumentar a escala do projeto, seja através do aumento da capacidade de escoamento da rodovia ampliando o número de faixas de tráfego dentro da sua faixa de domínio, seja através de possíveis extensões do projeto para outras localidades, aumentando a quilometragem da estrada. Essa decisão implicará no aumento da receita de pedágio e

92 92 exigirá um investimento nas obras civis que se fizerem necessárias, caracterizando, portanto, uma opção de expansão do projeto. Uma outra forma de expandir o projeto é através de investimentos em outras concessões. O programa de privatização de estradas no Brasil ainda está na sua fase inicial, e por ser um negócio ainda novo, existem vantagens competitivas para os pioneiros. Até o momento foram privatizadas algumas estradas federais, como a Ponte Rio-Niterói, a Via Dutra, a rodovia Rio- Petrópolis-Juiz de Fora, Rio-Teresópolis, além de outras rodovias estaduais no Rio de Janeiro, São Paulo, Minas, Paraná e Rio Grande do Sul. O nível de conservação das rodovias existentes e o déficit de rodovias quando comparado a países mais desenvolvidos mostra que existem ainda grandes oportunidades e potencial para a expansão para outras concessões nesta área. Dada a falta de recursos para investimento em projetos de infraestrutura do setor público, projetos de novas rodovias também podem ser viabilizados através de esquemas de compartilhamento de riscos entre o setor público e o setor privado. As oportunidades de expansão se estendem também para além das fronteiras do país. Na América Latina, vários países estão lançando seus próprios programas de privatização de estradas, atraindo o interesse de diversas companhias multinacionais. O potencial de novos negócios não se limita apenas a concessões rodoviárias, mas também a outras concessões de infra-estrutura de transportes, como aeroportos, ferrovias e hidrovias. Por outro lado, num ambiente competitivo, a expansão para outras oportunidades de investimento em outras concessões não representa uma opção proprietária, uma vez que essa opção é compartilhada com outras empresas competidoras. No caso, dada a magnitude do investimento exigido e o grande volume de concessões ainda por serem licitadas, considerou-se que haverá oportunidades suficientes para todas as empresas habilitadas, de forma a configurar uma opção proprietária para cada uma. Além das novas oportunidades de investimento futuro, existe a possibilidade de se alavancar o valor do negócio através da abertura de capital da concessionária (IPO) para atrair novos investidores. Um IPO tipicamente tem um grande potencial de criação de valor para os patrocinadores do projeto devido à diluição de capital que se observa nesses

93 93 casos, contanto que algumas pré-condições existam, como um bom histórico de performance do projeto e potencial de crescimento. A estratégia necessária para exercer a opção de crescimento implica em expandir a concessão original para outras adicionais em condições de alta rentabilidade, potencial de crescimento e abertura de capital para atrair novos investidores. Consideramos que seriam necessários pelo menos 4 anos para a concessionária estabelecer um histórico de sucesso na administração do projeto e para recuperar a sua capacidade de investimento. Isso permitiria que ela estivesse preparada para aproveitar oportunidades de expansão nos anos seguintes através de opções múltiplas. Para tanto foram consideradas três novas oportunidades de concessão representando um investimento num projeto com 50% do tamanho da concessão original, nos anos 4, 7 e 10, levando-se em conta os ganhos que se traduzem num investimento 50% menor decorrente do ganho de escala, know how e experiência adquirida com o projeto original. Uma das características destas opções é que elas são pontuais, pois surgem e expiram no ato do leilão de licitação. Na Tabela 10 podemos ver um resumo das opções de crescimento. Opção de Expansão Preço de Exercício: Investimento de 25% da Concessão Original Opção 1: Ano 4 Opção 2: Ano 7 Opção 3: Ano 10 Prazo de Expiração: Imediato Beneficio: Aumento de 50% no Fluxo de Caixa Tabela 10 Parâmetros para a Opção de Expansão A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de continuação com o valor da opção de expansão naquele período: { } { V C + V I} max Valor de Continuaçao, Valor de Expansão max, t t t

94 94 V t = Valor de Continuação no período t C t = Fluxo de Caixa do Projeto no período t I = Investimento Líquido no Projeto Solução A modelagem deste projeto através dos modelos tradicionais de tempo contínuo tem formulação matemática complexa devido às suas características, que são comuns a este tipo de projetos. Essas características são as três fontes de incerteza estocásticas, o tempo finito da concessão (20 anos), o limite superior para o volume de tráfego na rodovia, e a existência de opções múltiplas ao longo de sua vida útil. Na modelagem proposta veremos que estas questões podem ser resolvidas sem maiores problemas sem ter que recorrer a simplificações exageradas na modelagem do problema Modelagem Determinística: FCD sem Opções Foi considerado inicialmente apenas o projeto em condições de certeza, para efeito da montagem do cenário básico, sem a inclusão de nenhum tipo de opção de flexibilidade gerencial. Foi adotada a taxa de custo de capital próprio (ke) de 21%, que foi considerado como o custo de capital ajustado ao risco do projeto, e computado o valor presente do projeto através do método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) tradicional utilizando uma planilha, conforme dados da Tabela 8. O valor encontrado foi de R$ 106,539 milhões. Dado que o valor presente dos investimentos líquidos é de R$ 110,804 milhões, o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto é negativo em R$ 4,264 milhões, o que, de acordo como o FCD tradicional, não recomendaria o investimento. Seguindo Copeland & Antikarov, o valor do projeto de R$ 106,539 será tomado como o valor de mercado do projeto, o que nos permitirá considerar o mercado completo e utilizar probabilidades neutras a risco para descontar o fluxo de caixa do 16 Valor Presente do investimento total no projeto menos o financiamento de terceiros

95 95 projeto à taxa livre de risco. Para tanto, precisamos apenas determinar a volatilidade do projeto para que o portfólio replicante e as probabilidades neutras a risco possam ser determinados. Isso é feito através da modelagem das incertezas de mercado do projeto. Na Figura 22 podemos observar a dinâmica do valor do projeto no modelo determinístico, notando que devido aos grandes investimentos necessários nos primeiros anos da concessão, o valor do projeto tem uma queda nos anos iniciais e tem o seu valor máximo apenas na segunda metade da concessão. 250, , , ,000 50, Figura 22 Dinâmica do Valor do Projeto Determinação da Volatilidade do Projeto Dado que não utilizaremos nenhuma taxa de desconto exógena, nem adotaremos premissas a respeito do comportamento estocástico dos retornos do projeto em relação a um portfólio replicante qualquer, a volatilidade do projeto será determinada através de simulação de Monte Carlo das variáveis de risco de mercado existentes no projeto. Uma vez determinado o valor de mercado do projeto, definimos em seguida o processo estocástico das suas incertezas de mercado, que no caso são o volume de tráfego diário, a taxa de câmbio e de juros que irão vigorar ao longo de todo o período da concessão. Essas três incertezas contribuem para a incerteza de mercado sobre o valor do projeto. Fazendo uma Simulação de Monte Carlo, e considerando os parâmetros e as distribuições estocásticos previamente determinados para cada uma dessas variáveis, a

96 96 cada iteração obtemos um novo conjunto de projeções para as variáveis estocásticas do modelo, e consequentemente, para o Fluxo de Caixa, para o Valor Presente e para a taxa de retorno do projeto. A variável estocástica taxa de retorno é definida como: k ln V 1 = V0 onde V 0 é o Valor Presente do projeto obtido no cenário determinístico, V 1 é a variável estocástica do valor do projeto daqui a um ano, que incorpora o fluxo de caixa C 1 do projeto no ano 1. A partir dessa Simulação de Monte Carlo, com um número de iterações suficientes podemos obter a volatilidade do projeto, que será o desvio padrão anualizado da sua taxa de retorno k. Podemos verificar que a inclusão de mais fontes de incerteza na modelagem de risco do projeto é trivial, uma vez determinados os parâmetros estocásticos de cada uma das variáveis. Foram feitas duas simulações com iterações cada e uma terceira com iterações, cujos resultados estão apresentados na Tabela 11. Simulação n.º Retorno (k) Volatilidade (σ) Tabela 11 Simulação de Monte Carlo Os resultados da simulação apresentados na Tabela 11 indicam que a volatilidade do projeto é de cerca de σ = 0.20, demonstrando que a volatilidade do projeto não guarda qualquer relação com as volatilidades das suas fontes de incerteza de mercado Árvore do Projeto Tendo determinado o Valor Presente do projeto e a sua volatilidade, podemos modelar a distribuição estocástica do projeto como um Movimento Geométrico Browniano (MGB) através de um modelo binomial. Essa

97 97 modelagem é semelhante ao de uma ação que paga uma taxa de dividendos que é constante em cada estado de um mesmo período, mas que pode variar de um período para outro, conforme solução proposta por Copeland & Antikarov (2001), pg No entanto, além de ser de trabalhoso, este método apresenta o inconveniente de não ser intuitivo, pois trabalha com o Valor Presente do projeto em cada período ao invés do fluxo de caixa como é de costume, e principalmente, não permite a inclusão das opções de flexibilidade diretamente no modelo. Neste trabalho propomos um método alternativo que utiliza uma árvore de decisão com um modelo binomial para modelar o valor do projeto em função dos seus fluxos de caixa estocásticos, de tal forma que o valor do projeto siga um MGB com os parâmetros predeterminados. Esse método tem a vantagem de ser de aplicação bem mais simples e pode ser utilizado em softwares de árvores de decisão, o que permite a modelagem das opções de flexibilidade diretamente no modelo. Além disso, ao contrário dos valores presentes, os fluxos de caixa em cada ano mantêm uma relação linear com os inputs do projeto, facilitando a análise e modelagem das opções. Dadas as dimensões da árvore de decisão final do projeto, a sua elaboração manual e mesmo visualização por inteiro se tornam impossíveis, uma vez que a sua complexidade cresce exponencialmente com o número de períodos. Uma representação simplificada utilizada é mostrada no modelo de árvore do projeto da Figura 23, onde cada nó de incerteza indica que esta incerteza ocorre em cada um dos estados do período anterior 17. T 1 /k T 1 /k T 2 /k ^2 T 2 /k ^2 T 3 /k ^3 T 3 /k ^3 T 4 /k ^4 T 4 /k ^4 T 5 /k ^5 T 5 /k ^5 T 6 /k ^6 T 6 /k ^6 T 7 /k ^7 T 7 /k ^7 T 8 /k ^8 T 8 /k ^8 T 9 /k ^9 T 9 /k ^9 T10/k^10 T10/k^10 a T11 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20 a T11/k^11 T11/k^11 T12/k^12 T12/k^12 T13/k^13 T13/k^13 T14/k^14 T14/k^14 T15/k^15 T15/k^15 T16/k^16 T16/k^16 T17/k^17 T17/k^17 T18/k^18 T18/k^18 T19/k^19 T19/k^19 T20/k^20 T20/k^20 Figura 23 Modelo Binomial do Projeto 17 No modelo binomial apresentado k = 1+r

98 98 Este modelo gera uma Árvore de Decisão com todas as ramificações que representam o processo estocástico do Valor do Projeto, sendo que o número de estados finais é de A árvore de decisão correspondente está apresentada na Figura 24, onde são mostrados apenas os cinco primeiros períodos. Utilizando-se probabilidades neutras a risco, obtém-se um resultado de V 0 = R$ 106,540 milhões, idêntico ao da planilha. Foi considerado que a taxa livre de risco é de 8% a.a. T1 [106540] A lto B a ix o T2 [122923] T2 [ ] A lto B a ix o A lto B a ix o T3 [137787] T3 [ ] T3 [ ] T3 [ ] A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o T4 [151184] T4 [115404] T4 [106717] T4 [ ] T4 [ ] T4 [ ] T4 [ ] T4 [ ] A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o A lto B a ix o T5 [164389] T5 [129121] T5 [123908] T5 [101195] T5 [115222] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] T5 [105873] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] T5 [ ] Figura 24 Árvore de Decisão do Projeto Modelo 1 - Opção de Expansão Incorporamos três opções de expansão para esse projeto nos anos 4, 7 e 10, (Figura 25) representando oportunidades para expandir o negócio, seja

99 99 através de investimentos no aumento da capacidade de tráfego na rodovia, seja através de novas licitações que virão a ser feitas pelo Estado no futuro. Considerando o grande número de estradas ainda por privatizar e as significativas exigências de investimento de capital para as futuras concessões, considerou-se que haverá um número suficientemente grande de licitações e suficientemente reduzido de empresas habilitadas a participar, configurando-se então estas oportunidades de expansão como opções proprietárias para este projeto. T1 T1/k T1/k T2 T2/k^2 T2/k^2 T3 T3/k^3 T3/k^3 T4 T4/k^4 T4/k^4 Dec4 E xpande -Exp*Inv /k^4 N ao E xpande a a a T5 T5/k^5 T5/k^5 T6 T6/k^6 T6/k^6 T7 T7/k^7 T7/k^7 Dec7 E xpande -Exp*Inv /k^7 N ao E xpande b b Dec10 b T8 T8/k^8 T8/k^8 T9 T9/k^9 T9/k^9 T10 T10/k^10 T10/k^10 E xpande -Exp*Inv /k^10 N ao E xpande c c c T11 T11/k^11 T11/k^11 T12 T12/k^12 T12/k^12 T13 T13/k^13 T13/k^13 d T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20 d T14/k^14 T14/k^14 T15/k^15 T15/k^15 T16/k^16 T16/k^16 T17/k^17 T17/k^17 T18/k^18 T18/k^18 T19/k^19 T19/k^19 T20/k^20 T20/k^20 Figura 25 Árvore de Decisão com Opção de Expansão A análise mostra que o valor do projeto aumenta de R$ 106,539 milhões para R$ 139,514 milhões com a presença das opções de expansão (Figura 26), onde podemos ver os primeiros três períodos da árvore de decisão.

100 100 T1 [139514] T2 [162920] T2 [ ] T3 [186706] T3 [118971] T3 [110484] T3 [ ] Figura 26 Valor do Projeto com Opção de Expansão A política ótima de investimentos é mostrada na Figura 27. Podemos ver que na grande maioria das vezes (85% para a opção do ano 4) será ótimo aproveitar as oportunidades de expansão que possam surgir no futuro. Dec4 Dec7 Dec10 E xpande N ao_e xpande (does not occur) E xpande N ao_e xpande (does not occur) E xpande N ao_e xpande (does not occur) Figura 27 Política Ótima de Investimentos É possível que exista uma margem de erro sobre o tamanho da oportunidade de expansão. Foi feita então uma análise de sensibilidade sobre o fator de expansão, que está apresentada na Figura 28. As mudanças de cores indicam a fronteira onde ocorre uma alteração na estratégia ótima da empresa. Os resultados indicam que o valor do projeto aumenta com o tamanho da expansão, o que era de se esperar.

101 101 Figura 28 Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão Foi analisada também a sensibilidade do projeto ao valor do investimento necessário para a sua expansão. Os resultados estão na Figura 29. Podemos ver que o valor da opção de expansão é bastante sensível ao valor do investimento, e é inversamente correlacionado com o volume do investimento. Figura 29 Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na Expansão

102 Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono Nesta análise foi incluída a opção de abandono nos anos 4 a 10. A modelagem parcial do problema mostrando apenas o trecho do projeto com as opções entre os anos 4 e 10 pode ser observada na Figura 30, sendo que os demais períodos não sofrem nenhuma alteração. O preço de exercício da opção de abandono é o saldo entre os valores a receber pela indenização dos investimentos realizados e o custo da quitação do saldo devedor dos empréstimos. Dec4 E xpande -E xp *Inv/k^4 a Continua Abandona 52971/k^4 a a T5 T5/k^5 T5/k^5 Dec5 Continua Abandona 60595/k^5 T6 T6/k^6 T6/k^6 Dec6 Continua Abandona 67784/k^6 T7 T7/k^7 T7/k^7 Dec7 E xpande -E xp *Inv/k^7 b Continua b Abandona 74571/k^7 Dec10 b T8 T8/k^8 T8/k^8 Dec8 Continua Abandona 80830/k^8 T9 T9/k^9 T9/k^9 Dec9 Continua Abandona 86824/k^9 T10 T10/k^1 0 T10/k^1 0 E xpande -E xp *Inv/k^10 Continua Abandona 86613/k^10 Figura 30 Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono A Figura 31 nos mostra uma visão parcial da árvore de decisão incorporando ambas os tipos de opções. Este modelo tem cerca de 8 milhões de estados possíveis, e o Valor Presente do projeto é computado da forma usual de Programação Dinâmica, começando-se do final, utilizando-se as probabilidades neutras a risco em cada incerteza, e tomando-se a decisão ótima em cada oportunidade de decisão. Em função do valor das opções incluídas no modelo, o valor do projeto sobe agora para R$ 147,812 milhões.

103 T1 [147812] T2 [168020] T2 [110474] T3 [189246] T3 [128801] D ec5 [264281] T6 C ontinua [264281].649 D ec4 [237091] Expande [237091] T5.351 D ec5 [186854] Abandona [109449] T6 C ontinua [186854].649 T4 [211937] T5 C ontinua [189609] Abandona [105534] D ec4 [165461] Abandona Expande [115632] [165461] T5 T5 C ontinua [146357] D ec5 [182332] D ec5 [134288] T6 C ontinua [182332] Abandona [101013] T6 C ontinua [134288] Abandona [ ] T4 [147320] Abandona [111111] Figura 31 Árvore de Decisão com Opção de Expansão e Abandono D ec6 [293676] D ec6 [209966] D ec6 [206052] D ec6 [151380] T7 C ontinua [293676] Abandona [121945] T7 C ontinua [209966] Abandona [118311] T7 C ontinua [206052] Abandona [114397] T7 C ontinua [151380] Abandona [111962]

104 104 A política ótima (Figura 32) mostra que a opção de abandono só será exercida a partir do ano 9, o que aparentemente é contra intuitivo, pois seria de se esperar que o seu valor fosse alto nos anos iniciais, quando existem maiores probabilidades do projeto apresentar fluxos de caixa negativos. O motivo da opção não ser exercida é que nos anos iniciais o valor de abandono é onerado pela necessidade de se quitar o saldo devedor dos empréstimos de longo prazo do projeto. Esse saldo devedor diminui à medida que esses empréstimos vão sendo quitados, o que faz com que o valor de abandono cresça com o tempo até tornar essa opção dentro do dinheiro no ano 9. Dec4 E xpande Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec7 E xpande Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec5 Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec8 Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec6 Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec9 Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) E xpande Continua A bandona (d o e s n o t o c c u r) Dec10 Figura 32 Política Ótima de Investimentos

105 Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com Risco Político O modelo adotado está apresentado em parte (apenas anos 10 a 15 da concessão) na Figura 33, e incorpora o risco de uma redução no valor do pedágio nesse período. Esse risco é modelado de forma cumulativa, o que significa que poderá haver redução do pedágio em maior ou menor grau em um, dois, ou todos os anos compreendidos neste período. Dado que o risco político da concessão é um risco privado da concessionária, no sentido de que ele não é correlacionado com o mercado, a sua presença torna o mercado incompleto para este projeto, e consequentemente, não teríamos mais como determinar a taxa de desconto apropriada. Ao contrário dos riscos de tráfego (PIB) e de taxa de câmbio, o risco político não pode ser hedgeado por nenhum portfólio de títulos de mercado. Analisaremos o problema de duas formas, considerando inicialmente neutralidade a risco, e posteriormente, de aversão ao risco não sistemático Investidor neutro ao risco não sistemático Consideramos inicialmente que o acionista é suficientemente diversificado para apresentar comportamento neutro ao risco não sistemático, e portanto, é calculado o Valor Esperado da incerteza de risco político em cada uma das suas ocorrências. Nesse sentido, a análise demonstrou, como era de se esperar, que o risco político afeta negativamente o resultado do projeto, fazendo com que o seu valor se reduza de R$ 147,812 milhões para R$ 139,739 milhões.

106 106 RP10 Dec10 T10 T10/k^10 T10/k^10 Nenhum Medio Grande Expande -Exp*Inv/k^10 Continua Abandona 86613/k^10 a a T11 RP11 T12 RP12 T13 a T11/k^11 T11/k^11 Nenhum Medio Grande T12/k^12 T12/k^12 Nenhum Medio Grande T13/k^13 T13/k^13 b RP13 T14 RP14 T15 RP15 b Nenhum Medio Grande T14/k^14 T14/k^14 Nenhum Medio Grande T15/k^15 T15/k^15 Nenhum Medio Grande Figura 33 Modelagem do Risco Político O modelo tem cerca de 268 milhões de estados finais possíveis e sua modelagem apenas é possível através de programas de geração automática de árvores de decisão. Dada a impossibilidade de visualização de uma árvore com estas dimensões, para efeito de simplificação, apresentamos apenas a modelagem do risco político abrangendo os anos 10 a 15. Os demais períodos permanecem inalterados desde a última modelagem Investidor avesso ao risco não sistemático No caso em que o investidor não esteja adequadamente diversificado em relação ao projeto, é provável que este investidor apresente comportamento avesso ao risco com relação ao risco não sistemático. Exemplos de comportamento avesso ao risco privado não se restringem a pequenos investidores ou empresas familiares de pequeno porte. A experiência brasileira no programa de privatização de serviços de infraestrutura mostrou que a formação de consórcios para participar dos leilões

107 107 de privatização foi um dos arranjos preferidos pelos investidores, com exemplos como os da VBC (Grupo Votorantim, Bradesco e Camargo Corrêa) no setor de energia e CCR Companhia de Concessões Rodoviárias, formada inicialmente pela Camargo Corrêa, Andrade Gutierrez e Construtora Norberto Odebrecht, e ainda o Consórcio Brasil, que adquiriu a Companhia Vale do Rio Doce CVRD. A justificativa mais plausível para que uma empresa reduza voluntariamente sua participação num investimento rentável seria o interesse em reduzir também a sua exposição ao risco não sistemático, o que indica um comportamento avesso a esse tipo de risco por parte dessas empresas. Para o caso do projeto em análise, foram aplicados os parâmetros definidos por Howard (1988) para a Construtora Norberto Odebrecht (CNO) para a época da concessão da Via Dutra no ano de 1996, temos: CNO (1996) R$ Milhões Fator Tolerância ao Risco Vendas Lucro Patr. Líquido Tabela 12 Determinação da Tolerância ao Risco para CNO Com base na Tabela 12 foi feita uma análise de sensibilidade para valores de Tolerância ao Risco entre R$ 100 milhões e R$ 600 milhões para o cálculo do Equivalente Certo do projeto. Considerando uma função utilidade com uma TR de R$300 milhões, o Equivalente Certo do projeto é de R$ 133,803 milhões, o que implica numa redução de valor do projeto devido a aversão do investidor ao risco político. Para valores de TR maiores, a redução de valor diminui, uma vez que uma TR maior indica uma menor aversão ao risco privado. Na Figura 34 vemos o resultado da análise de sensibilidade do grau de Tolerância ao Risco (TR) que apresenta o Equivalente Certo do projeto para diversos níveis de TR. Cada mudança de cor indica que ocorre uma mudança na política ótima do projeto.

108 Figura 34 Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco 108