Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadas- não saturadas via análise limite no espaço cônico quadrático

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1 Marlene Susy Tapia Morales Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadas- não saturadas via análise limite no espaço cônico quadrático Tese de Doutorado Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do titulo de Doutor pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Júnior Co-orientador: Prof. Luiz Eloy Vaz Rio de Janeiro Setembro de 2013

2 Marlene Susy Tapia Morales Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadas- não saturadas via análise limite no espaço cônico quadrático Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC- Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Júnior Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Luiz Eloy Vaz Co-Orientador Universidade Federal Fluminense Prof. Gilson de Farias Neves Gitirana Júnior Universidade Federal de Goiás Prof. Tacio Mauro Pereira de Campos Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Doutor Raquel Quadros Velloso Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Doutor. Andre Maues Brabo Pereira Universidade Federal Fluminense Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Cientifico PUC-Rio Rio de Janeiro, 20 de Setembro de 2013

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Marlene Susy Tapia Morales Graduou-se em Engenharia Civil na Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco (Perú), possui mestrado em Engenharia Civil pela Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio), com ênfase em Geotecnia Ambiental. Ficha Catalogrâfica Tapia Morales, Marlene Susy Morales, Marlene Susy Tapia Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadas não saturadas via análise limite no Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadas espaço cônico - não quadrático saturadas / via Marlene análise Susy limite Tapia no espaço Morales ; cônico orientador: quadrático/ Eurípedes Marlene do Tapia Amaral Morales; Vargas orientador: Júnior ; coorientador: Vaz Luiz Eloy Vaz Eurípedes do Amaral Vargas Júnior; co-orientador: Luiz Eloy 141 f. : il. (color.) ; 30 cm v., 142 f,; il. ; 30 cm Tese (doutorado) Pontifícia Universidade 1. Tese (Doutorado) Pontifícia Universidade Católica Católica do Rio do de Rio Janeiro, de Janeiro, Departamento Departamento de Engenharia de Engenharia Civil. Civil, Inclui referências bibliográficas. Inclui bibliografia. 1. Engenharia Civil Teses. 2.Análise de confiabilidade. 3. Análise Limite. 4. Solos não saturados. 1. Engenharia 5. Estabilidade civil de Teses. taludes Análise de confiabilidade. Programação 3. Análise cônica limite. quadrática. 4. Solos I. não Eurípedes saturados. do Amaral Vargas Júnior. II. Luiz Eloy Vaz. IV. 5. Estabilidade Pontifícia Universidade de taludes. Católica 6. Programação do Rio de Janeiro. cônica quadrática. Departamento I. Vargas de Júnior, Engenharia Eurípedes Civil. do V. Título Amaral. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 A meus queridos e amados pais, Javier e Sabina, minhas irmãs Rosa, Licelly e Thalia pelo que significam, tudo para mim...

5 Agradecimentos Ao CNPq e ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, pela ajuda financeira e oportunidade concedida na minha evolução profissional, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado. À meu orientador Eurípedes do Amaral Vargas Júnior, pela oportunidade, orientação e conhecimentos transmitidos durante a elaboração deste trabalho. À meu co-orientador Luiz Eloy Vaz pela oportunidade e a paciência em transmitir muito do seu valioso conhecimento durante o desenvolvimento de minha pesquisa. À Raquel pelas inúmeras respostas que contribuíram para este trabalho. À minha família pais e irmãs por todo o que passamos juntos para chegar até aqui, obrigado por ser meu porto seguro e a minha torcida oficial. Ao Paul, por ser minha fonte de admiração, inspiração e por seu apoio incondicional em todos os momentos que passamos nesta árdua jornada; sem você isto não teria se tornado possível. À Presvitero e Joana, pela sua amizade, apoio e incentivo para terminar este trabalho. Aos meus amigos Liset, Liliana, Gerado, Jocileia e demais colegas pela amizade e pelos bons momentos compartilhados nestes anos. Aos funcionários da Secretaria do DEC pela sempre amável atenção.

6 Resumo Tapia Morales, Marlene Susy; Eurípedes do Amaral Vargas Júnior; Luiz Eloy Vaz. Análise de confiabilidade de taludes em condições saturadasnão saturadas via análise limite no espaço cônico quadrático. Rio de Janeiro, p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Este trabalho tem por objetivo a avaliação da estabilidade de taludes de solo quando sometidos a processos de infiltração de chuva, utilizando conceitos de Análise Limite e Análise de Confiabilidade. Primeiramente, determina-se a variação da sução no solo, para isto, emprega-se o Método dos Elementos Finitos e o Método de diferenças finitas na solução da equação de Richards. O modelo de Van Genuchten (1980) é utilizado para a curva característica. Na solução da nãolinearidade, emprega-se o método Picard Modificado. A instabilidade de taludes é estudada mediante o método de Análise Limite Numérica com base no Método de Elementos Finitos e o critério de Mohr Coulomb como critério de escoamento. A solução do problema matemático será realizada no espaço cônico quadrático com o objetivo de tornar a solução mais computacionalmente eficiente. Considerando as propriedades do solo como variáveis aleatórias foi incluída a determinação do Índice de Confiabilidade utilizando as formulações dos métodos de Monte Carlo e FORM (first order reliability method). Inicialmente são introduzidos conceitos básicos associados ao fluxo saturado-não saturado. A seguir são apresentados alguns conceitos. Sobre Análise Limite e sua formulação pelo Método de Elementos Finitos. Finalmente são introduzidos os fundamentos da Análise de Confiabilidade. Análises de confiabilidade das encostas de Coos Bay no estado de Oregon nos Estados Unidos e da Vista Chinesa no Rio de Janeiro Brasil, são apresentadas devido a que estes taludes sofreram colapso quando submetidos a processos de infiltração de água de chuva. Os resultados deste trabalho mostram que a falha das encostas ocorre quando o índice de confiabilidade atinge um valor perto de dois. Palavras-chave Análise Limite; Confiabilidade; Estabilidade de taludes; Programação cônica quadrática.

7 Abstract Tapia Morales, Marlene Susy; Eurípedes do Amaral Vargas Júnior (Advisor); Luiz Eloy Vaz (Co-Advisor). Reliability Analysis of saturatedunsaturated soil slopes using limit analysis in the conic quadratic space. Rio de Janeiro, p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This thesis aims to perform a reliability analysis of the stability of 2D soil slopes when they are submitted to water infiltration due to the rains.the time variation of the soil matric suctions is calculated first. The Finite Element Method is used to transform the Richards differential equation into a system of nonlinear first order equations. The nonlinearity of the problem is due to the use of the characteristic curve proposed by van Genuchten (1980). The Modified Picard Method is applied to solve de time-dependent nonlinear equation system. The responses of the flux-problem are transferred to the stability problem in some instants using the same time-interval (normally days).to estimate the stability of the slopes, limit analysis is used. The limit analyses are performed based on the Inferior Limit Theorem of the Plasticity Theory. The problem is defined as an optimization problem where the load factor is maximized. The equilibrium equations are obtained via Finite Element discretization and the strength criterion of Mohr-Coulomb is written in the conic quadratic space. Therefore, a SOCP (Second Order Conic Programming) problem is generated. The problem is solved using an interior point algorithm of the code Mosek.Since the soil properties are random variables a reliability analysis can be performed at each instant of the time-dependent problem. In order to perform the reliability analyses, Response Surfaces for the failure function of the slope are generated. In this work, the Stochastic Collocation Method is used to generate Response Surfaces. The Simulation Monte Carlo Method and the FORM (First Order Reliability Method) are used to obtain both the reliability index and the probability of failure of the slopes.reliability analyses of the Coos Bay Slope in the state of Oregon in USA and in the Vista Chinesa Slope in Rio de Janeiro, Brazil, are presented because they collapse due to rainfall infiltration. The results show that the soil slope fails when the related reliability index is close to two. Keywords Limit analysis; Reliability; Slope stability; Conic quadratic programming.

8 Sumário 1 Introdução 19 2 Critérios de Resistência Modelos Constitutivos Critério de Resistência de Mohr-Coulomb Criterio de Resistência de Drucker-Prager Critério de Resistência em Solos não Saturados 27 3 Fluxo Saturado e não Saturado Potencial da Água no Solo Equação Governante Propriedades Hidráulicas de Solos Não Saturados Curva Característica Curva de Condutividade Hidráulica Solução Numérica da Equação de Fluxo Discretização Espacial Discretização no Tempo Método Picard Modificado Critério de Convergência Exemplos de Validação 49 4 Análise Limite Teoremas de Análise Limite Teorema de Análise Limite Inferior Teorema de Limite Superior Conceitos Relacionados à Plasticidade Critério de Resistência Lei de Fluxo Principio do Trabalho Virtual Formulação da Análise Limite pelo Método dos Elementos Finitos Formulação da Equação de Equilíbrio Formulação Forte 60

9 Formulação Fraca Condição de Equilíbrio e Compatibilidade Condições de Contorno Condição de Resistência Formulação Convencional do Problema de Análise Limite Inferior Formulação no Espaço Cônico Quadrático da Análise Limite Problema Cônico Quadrático Critério de Resistência de Mohr-Coulomb no Espaço Cônico Quadrático Elemento Finito Implementado Exemplos de Validação Talude Infinito Homogêneo Exemplo de Talude 2D 71 5 Análise de Confiabilidade Fundamentos Função de Falha Probabilidade de Falha Índice de Confiabilidade Métodos de Análise de Confiabilidade Método de Simulação de Monte Carlo Método FORM (First Order Reliability Method) Transformação de Variáveis para o Espaço Reduzido Busca do Ponto de Projeto Fator de Importância das Variáveis Geração da Superfície de Resposta Superfície de Colocação Estocástica Exemplos de Validação Verificação da Importância das Variáveis Validação do Uso da Superfície de Resposta Análise de Sensibilidade dos Parâmetros de Resistência Análise de Confiabilidade Via Uso do Método de Elementos Finitos e Superfície de Resposta 96 6 Exemplos de Aplicação Encosta de Coos Bay Encosta da Vista Chinesa 110

10 7 Conclusões e Sugestões Conclusões Sugestões para futuros trabalhos Revisão Bibliográfica 125 A Apêndice 136 A.1 Fundamentos da Análise de confiabilidade 136 A.1.1 Variáveis Aleatórias 136 A Características das Variáveis Aleatórias 136 A Função Densidade de Probabilidade 138 A Distribuições de Probabilidades 139

11 Lista de figuras Figura 2.1- Relação tensão deformação para modelo rígido-plástico perfeito (Chen e Han, 1988). 22 Figura 2.2- Superfície de resistência no espaço das tensões principais. 23 Figura 2.3- Critério de escoamento de Mohr-Coulomb no plano (σ, τ ). 24 Figura 2.4- Critério de resistência de Mohr-Coulomb com secção em forma de octógono. 25 Figura 2.5- Superfície de escoamento de Mohr-Coulomb: no espaço das tensões principais (c=0). 26 Figura 2.6- Superfície de plastificação de Drucker-Prager. 26 Figura 2.7- Envoltória tridimensional de resistência para solos não saturados (adaptado de Lu e Likos, 2004). 30 Figura 3.1- Área elementar de solo. 34 Figura 3.2- Elemento de solo não saturado (adaptado Fredlund e Rahardjo, 1993). 36 Figura 3.3- Curva Característica. 37 Figura 3.4- Histerese (adaptado, Reichardt e Timm, 2004). 38 Figura 3.5- Função da condutividade hidráulica. 39 Figura 3.6- Geometria e discretização para a validação de fluxo não saturado. 50 Figura 3.7- Curva caracteristica. 50 Figura 3.8- Evolução da carga de pressão no tempo. 51 Figura 3.9- Geometria do exemplo de validação, malha de elementos finitos e condições iniciais. 52 Figura 3.10 Evolução da carga de pressão no tempo para os nós 1, 2 e Figura 4.1 Superfície de resistência e vetor de deformação plástica (Carrion, 2009). 58 Figura 4.3 Cone quadrático. 64 Figura 4.4 Elemento quadrilateral isoparamétrico. 67 Figura 4.5 Geometria e malha de elementos finitos do talude infinito. 69 Figura 4.6 Estimativa do fator de segurança ao colapso mediante redução dos parâmetros de resistência. 71 Figura Geometria do talude 2D. 72 Figura Malha de elementos finitos. 72 Figura 4.9 Estimativa do fator de segurança ao colapso mediante redução

12 dos parâmetros de resistência para o talude 2D. 73 Figura Função de falha. 76 Figura Função densidade de probabilidade de g. 78 Figura Função distribuição acumulada da probabilidade de falha g(x). 79 Figura 5.4 Pontos na simulação de Monte Carlo (Adaptado de Pereira, 2007). 81 Figura Representação gráfica do método FORM (a) espaço original e (b) espaço normal padrão. 82 Figura 5.6- Interpolação com uso dos polinômios de Lagrange (adaptado de Da Costa Pantoja, 2012). 87 Figura Gráfica da superfície de resposta. 88 Figura 5.8- Modelo do talude infinito. 89 Figura 5.9- (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada. 91 Figura Índice de confiabilidade, talude infinito unidimensional. 92 Figura Diagrama de fluxo da metodologia aplicada para a determinação do índice de confiabilidade via superfície de resposta. 93 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias C e ϕ. 94 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias C e γ. 95 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias ϕ e γ. 95 Figura Índice de confiabilidade, para diversas combinações na geração da superfície de resposta de duas variáveis aleatórias. 96 Figura Talude infinito modelo bidimensional. 97 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; do talude bidimensional na profundidade de 0,4 m da frente de umedecimento. 98 Figura Índice de confiabilidade, talude infinito bidimensional. 99 Figura 6.1 Geometria da encosta Coos Bay. 101 Figura 6.2 Seção da malha de elementos finitos da encosta Coos Bay. 101 Figura 6.3 Curvas característica e de condutividade hidráulica. 102 Figura 6.4 Histograma da precipitação acontecida na encosta CB em 1996 (Adaptado de Borja et al., 2012). 103 Figura 6.5 Variação da carga de pressão no tempo 24 horas do cenário

13 de precipitações Figura 6.6 Variação da carga de pressão no tempo 25.7 horas do cenário de precipitações Figura 6.7 Variação da carga de pressão no tempo 13.6 horas do do cenário de precipitações Figura 6.8 Variação da carga de pressão no tempo 16.1 horas do cenário de precipitações Figura 6.9 Variação da carga de pressão no tempo 2.5 horas do caso Figura 6.10 (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias c' e ϕ'. 109 Figura 6.11 Perfil geotécnico e geométrico da encosta da vista Chinesa. 111 Figura 6.12 Seção da malha de elementos finitos da encosta da vista Chinesa. 111 Figura 6.14 Curvas características (a) solo coluvionar e (b) solo residual (Adaptado de Velloso, 2007). 113 Figura 6.15 Variação da carga de pressão no dia 3 de precipitação. 114 Figura 6.16 Variação da carga de pressão no dia 5 de precipitação. 114 Figura 6.17 Variação da carga de pressão no dia 12 de precipitação. 115 Figura 6.18 Variação da carga de pressão no dia 18 de precipitação. 115 Figura 6.19 Variação da carga de pressão no dia 22 de precipitação. 116 Figura 6.20 (a) Resultados do fator de segurança oa colapso (FS) da encosta da Vista Chinesa e (b) variação da carga de pressão no tempo. 118 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias c1' e c2'. 119 Figura 6.22 (a) Resultados do β da encosta da Vista Chinesa comparado com os (b) Fatores de segurança aso colapso (FS) via análise limite e (c) variação da carga de pressão no tempo. 120

14 Lista de tabelas Tabela 4.1 Propriedades do material do talude infinito. 69 Tabela 4.2 Redução de parâmetros de resistência do talude infinito. 70 Tabela 4.3 Propriedades do material do exemplo. 72 Tabela 4.4 Redução de parâmetros de resistência do talude infinito. 73 Tabela 5.1 Relação do índice de confiabilidade e a probabilidade de falha (USACE, 1999). 80 Tabela 5.2 Variáveis utilizadas na análise de confiabilidade. 89 Tabela 5.3 Fator de importância dos parâmetros. 90 Tabela 5.4 Propriedades das variáveis aleatórias. 98 Tabela 6.1 Resultados do Análise Limite para o caso Tabela 6.2 Resultados do Análise Limite para o caso Tabela 6.3 Resultados do Análise Limite para o caso Tabela Desvios padrões indicativos das propriedades do solo (Adaptado de JCSS, 2006). 108 Tabela Propriedades das variáveis aleatórias da encosta Coos Bay. 108 Tabela Resultado da análise de confiabilidade do caso Tabela Resultado da análise de confiabilidade do caso Tabela Resultado da analise de confiabilidade do caso Tabela Propriedades hidráulicas dos solos da vista Chinesa (Velloso, 2007). 113 Tabela Propriedades de resistência da encosta da Vista Chinesa. 116 Tabela Propriedades das variáveis aleatórias da encosta da Vista Chinesa. 118

15 Lista de Símbolos No critério de resistência Coesão [MT 2 L -1 ] Coesão efetiva [MT 2 L -1 ] Coesão aparente [MT 2 L -1 ] u a Poro pressão de ar [MT 2 L -1 ] Poro pressão da água [MT 2 L -1 ] Função de falha Ângulo de atrito Ângulo de atrito efetivo Parâmetro de resistência não saturada Tensão normal [MT 2 L -1 ] e Tensões normais principais [MT 2 L -1 ] Tensão normal efetiva [MT 2 L -1 ] Resistencia ao cisalhamento [MT 2 L -1 ] Parâmetro de resistência não saturada [-] No fluxo saturado não saturado Matriz que relaciona o gradiente hidráulico com a C(h) Capacidade de retenção especifica [L -1 ] Compressibilidade do solo [M -1 T 2L ] Compressibilidade do fluido [M -1 T 2 L] Vetor associado aos gradientes de carga de elevação nodais [L 3 T] Carga de pressão [L],, Carga de pressão no interior do [L] elemento finito Carga hidráulica total [L] Matriz de condutividade [L 2 T -1 ] Matriz Jacobiana dos elementos [L] [K],,, Tensor de condutividade hidráulica [LT -1 ] k s Condutividade hidráulica saturada [LT -1 ] n Parâmetro empírico de Van Genuchten [-] Componentes do vetor normal do n i contorno Γ Número de nós do elemento N l Funções de interpolação [-] {q} Vetor de vazões específicas [L 2 T -1 ] Vetor de vazões nodais [L 3 T -1 ], Coordenadas locais dos elementos [-]

16 Resíduo do método de Galerkin [L 3 T -1 ] Grau de saturação [-] Coeficiente de armazenamento [L -1 ] específico Matriz de massa [L 2 ] Tempo [T] u a Poro pressão de ar Poro pressão da água [MT 2 L -1 ] [MT 2 L -1 ] Volume total [L 3 ] V V Volume de vazios [L 3 ] V w Volume de agua [L 3 ] V s Volume de sólidos [L 3 ] W m Pesos de ponderação na integração de [-] Gauss Coordenada global dos nós do elemento [L] Coordenada global dos nós do elemento [L] Carga de elevação Parâmetro do modelo de Van Genuchten [L -1 ] Porosidade do solo [-] Massa especifica da água [ML -3 ] Delta de Kroenecker Δ Tamanho do passo do tempo [T] Γ Contorn do modelo Γ Contorno com condição de Dirichlet Γ Contorno com condição de Neumman θ Umidade volumétrica [L 3 L 3 ] Umidade volumétrica saturada [L 3 L 3 ] Umidade volumétrica saturada [L 3 L 3 ] Umidade volumétrica residual [L 3 L 3 ] Potencial total da água [ML 2 T -2 ] Potencial gravitacional [ML 2 T -2 ] Potencial matricial [ML 2 T -2 ] Potencial osmótico [ML 2 T -2 ] Potencial de pressão [ML 2 T -2 ] Coeficiente que define o tipo de marcha no tempo { H} Vetor gradiente da carga total [L] Domínio do modelo Subdomínios Na análise limite no espaço cônico quadrático Coesão [MT 2 L -1 ] Coesão reduzida Matriz de compatibilidade cinemática do elemento Matriz de equilíbrio Vetor dos carregamentos nodais Matriz de transformação para o espaço

17 cônico quadrático Vetor da transformação para o espaço cônico quadrático Vetor das forças reais Critério de resistência Matriz de identidade Matriz de interpolação das velocidades Matriz de interpolação das tensões Vetor da carga distribuída na superfície, Coordenadas paramétricas Vetor de velocidade nodal Vetor das velocidades de deformações virtuais Vetor dos deslocamentos virtuais Velocidade de deformação total Velocidade de deformação elástica Velocidade de deformação plástica Ângulo de atrito Ângulo de atrito reduzido Peso especifico Fator de carga К Espaço cônico quadrático,, Restrição no espaço cônico quadrático Vetor da restrição do espaço cônico quadrático Fator de proporcionalidade (escalar) Ângulo de inclinação Na análise de Confiabilidade Valor esperado da função de falha Função de falha Função densidade de probabilidade (PDF) Função distribuição acumulada CDF Probabilidade de falha Carga de resistência Carga solicitante, Superfície de resposta Variância da função de falha Ponto de projeto z Profundidade do frente de umedecimento,,, Vetor das variáveis aleatórias Índice de confiabilidade Coeficiente de variação Polinômio de Lagrange Coeficiente de correlação,

18 Θ Desvio padrão da função de falha Valor médio da função de falha Função aproximadora do polinômio de Lagrange Ângulo de inclinação do talude

19 1 Introdução A necessidade de conhecer o comportamento de encostas ante a ação de processos de infiltração de água tem levado os engenheiros geotécnicos a realizar simulações numéricas, para determinar a variação do fator de segurança do talude quando submetido a processos de chuva. O processo de infiltração da água proveniente das chuvas no solo não saturado causa modificações nos valores da sucção. A redução da sucção acarreta perda de resistência não saturada. Com o processo de infiltração, taludes tornamse saturados e ocorre o surgimento de poropressões positivas, que causam a redução dos valores de tensão efetiva no solo. Dessa maneira, torna-se fundamental a análise do fluxo, com a finalidade de aplicar os resultados obtidos desta análise na análise de estabilidade de taludes. Um programa numérico é desenvolvido, utilizando o método dos elementos finitos, para solução numérica da equação de Richards, na análise de fluxo saturado-não saturado, visando à aplicação dos resultados na análise da estabilidade de taludes. A avaliação da estabilidade de taludes na prática é realizada utilizando o método de Equilíbrio Limite formulado por Terzaghi (1943). Este consiste em determinar se existe a resistência suficiente no talude para suportar as tensões de cisalhamento. Esta determinação é baseada em tentativas e erros, comparando as forças atuantes e resistentes na superfície de ruptura predeterminada. Nas últimas décadas tem se estudado a Análise Limite aplicada em problemas de estabilidade de talude.a Análise Limite é baseada nos teoremas de limite inferior e superior (Chen, 1975) da plasticidade. A maior parte do trabalho relativo à estabilidade de talude por Análise Limite foi feito utilizando o teorema do limite superior (por exemplo, Chen e Giger, 1971; Chen, 1975; Karal, 1977a, b). Poucas soluções utilizando o teorema de limite inferior parecem ter sido obtidas para estabilidade de taludes. Contudo podemos nos referir a Lysmer (1970), Chen (1975), Basudhar (1976), Singh Basudhar (1993a, b), Farfan (2000) e Carrion (2005 e 2009) para aplicações do teorema de limite inferior.

20 20 A estabilidade de taludes por Análise Limite pelo teorema do limite inferior pode ser definida como um problema de programação matemática que busca maximizar ou minimizar uma função objetivo cujas variáveis, as tensões, estão restritas pelo critério de escoamento e por equações de equilíbrio, definindo um campo estaticamente admissível. Para a obtenção das equações de equilíbrio utiliza-se o Método de Elementos Finitos. Quando se formula o problema de análise limite com o método de elementos finitos o problema recai num problema de programação matemática. Segundo Carrion (2009), na prática existe uma falta de métodos eficientes para resolver o problema matemático de programação matemática. Com o objetivo de tornar eficiente a solução do problema de programação matemática no presente trabalho optou-se por formular o problema de otimização no espaço cônico quadrático. Finalmente a Análise de Confiabilidade é desenvolvida, isto devido a que as propriedades dos solos são variáveis aleatórias. As formulações dos métodos de Monte Carlo e FORM (first order reliability method) são implementadas utilizando uma superfície de resposta para representar a função de falha em função das variáveis aleatórias. O objetivo principal desta tese é a determinação do índice de confiabilidade associado ao deslizamento de taludes. Para esse fim utiliza-se a Análise Limite formulada no espaço cônico quadrático e utilizando o critério de Mohr Coulomb como critério de escoamento. Esta análise é realizada considerando a redução dos valores de sucção devido ao processo de infiltração de água mostrando a evolução da estabilidade do talude ao longo do tempo, com o avanço da frente de infiltração. A estrutura da tese é de sete capítulos: No segundo capítulo são introduzidos conceitos básicos associados aos critérios de resistência da estabilidade de taludes. São citados modelos constitutivos aplicados a solos secos, saturados e não saturados. No terceiro capítulo são introduzidos conceitos básicos associados ao fluxo saturado-não saturado, curva característica, função de condutividade hidráulica e equação de Richards. Também são apresentados brevemente os aspectos relacionados aos detalhes da implementação computacional do fluxo de água em meios saturados e não saturados.

21 21 O quarto capítulo apresenta um resumo de alguns conceitos dos teoremas de Análise Limite e suas formulações pelo Método de Elementos Finitos. Inclui-se a transformação do problema de otimização no espaço cônico quadrático. O quinto capítulo refere-se aos conceitos básicos da estatística e os métodos de Monte Carlo e FORM. Um processo de determinação de função de falha mediante superfície de resposta é apresentado. O sexto capítulo apresenta a aplicação da Análise Limite e Análise de Confiabilidade mediante o estudo de casos históricos de instabilidades de taludes devido à infiltração de água No oitavo capitulo são apresentadas as conclusões e sugestões para futuros trabalhos.

22 3 Fluxo Saturado e não Saturado Parte do objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um programa computacional para análise de fluxo de água através de meios porosos saturados e não saturados em domínios bidimensionais. Neste capitulo é desenvolvido e validado um modelo computacional bidimensional para simulação de fluxo saturado e não saturado do solo. Na etapa saturada do solo, o fluxo é governado pela Lei de Darcy e as equações diferenciais de continuidade. Na etapa não saturada o fluxo é governado pela equação de Richards, esta ultima é uma combinação de da Lei de Darcy Buckingham e as eqquações diferenciais de continuidade. A equação de Richards é resolvida numericamente pelo Método de Elementos Finitos, na aproximação espacial é empregada uma malha de elementos finitos do tipo quadrilateral com quatro nós. Huyakorn e Pinder (1983) apresentam os métodos numéricos utilizados em problemas de fluxo dentre deles o Método de Elementos Finitos. Nielsen et al. (1986) conclui que a utilização do Método de Elementos Finitos para descrever geometrias não regulares e a facilidade da inclusão de propriedades em meios não homogêneos. O presente trabalho utiliza uma solução numérica da equação diferencial parcial não linear de Richards. Para a solução de não linearidade são empregados os métodos de Picard e Picard modificado utilizando para este último a formulação mista, isto é, que a equação de Richards estará em função da carga de pressão e do teor de umidade volumétrico, diminuindo desta forma erros por balanço de massa como apontado antes por Celia et al., (1991). O código numérico é desenvolvido na plataforma de programação computacional Matlab. Para a geração das malhas de elementos finitos trabalhouse com o pre-processador de programa GID v.11.0, desenvolvido pelo centro internacional de Métodos Numéricos em Engenharia (CIMNE) com sede em Barcelona Espanha, para a visualização dos resultados utiliza-se o Matlab.

23 Potencial da Água no Solo O potencial de água presente no solo define o estado de energia em que a água se encontra em relação a um potencial padrão. O potencial padrão é água pura isenta de sais, submetida a condições normais de pressão (pressão relativa igual à zero) e sobre a superfície do solo. A água do solo está sujeita a um certo número de forças que fazem com que seu potencial difira do potencial padrão. Essas forças somadas que alteram o valor do potencial total da água, são representadas pela equação: (3.1) em que ψ p é o potencial de pressão, ψ g é o potencial gravitacional, ψ o é o potencial osmótico e ψ m é o potencial matricial que diz respeito às interações entre a matriz do solo e a solução no solo, incluindo forças associadas com a adsorção e a capilaridade, responsáveis pela retenção da solução no solo (Libardi, 2005). A parcela osmótica é desprezada. O potencial de pressão e mátrico podem ser agrupados numa só componente; expressando-se essa componente em termos de potencial por unidade de peso, pode-se chamá-la de carga de pressão (h). O potencial total ( ) e potencial gravitacional ( ) também expressos em potencial por unidade de peso passam a ser chamados de carga hidráulica total e de carga de elevação. Assim a carga hidráulica total é expressa por: g (3.2) 3.2. Equação Governante Quando o espaço dos poros do solo está completamente cheio de água, o solo é definido como saturado, assim, o fluxo saturado pode ser definido como o fluxo de água através dos solos saturados. A teoria que governa o fluxo de água em solos saturados foi formulada pela primeira vez por Darcy (1856). Esta equação escreve-se como:

24 33 (3.3) onde {q} é a vazão específica nas direções x e z, [K] é o tensor de condutividade hidráulica ou de permeabilidade e é o gradiente da carga hidráulica total. O fluxo de água em meios não saturados é determinado por dois fatores: as forças mobilizantes (principalmente a gravidade e os gradientes de pressão) e as propriedades do meio (Nimmo, 2005). Richads (1931) propõe a equação (3.4) que quantifica o fluxo em meios não saturados em termos da carga de pressão total. (3.4) onde é a umidade volumétrica do solo, é a condutividade hidráulica não saturada em função da umidade volumétrica e é o vetor gradiente da carga de pressão total, também função da umidade volumétrica. O balanço de massa de uma seção elementar (figura 3.1) para a fase liquida do meio não saturado é dada pela equação (3.5). (3.5) onde é a porosidade do meio (V V e V são, respectivamente, o volume de vazios e volume total do elemento), é o grau de saturação (V W é o volume da água), S g C nc ) é o coeficiente de armazenamento s w ( s w específico (C s e C w são respectivamente a compressibilidade do esqueleto de solo e a compressibilidade do fluido) e é a massa especifica da água.

25 34 Figura 3.1- Área elementar de solo. Como, e admitindo-se que não ocorrem variações volumétricas durante o processo de fluxo 0, tem-se: (3.6) substituindo a equação (3.4) na equação (3.6) chega-se a: (3.7) Para i, j variando de 1 a 2 no espaço bidimensional, onde x i representa as coordenadas espaciais. A equação (3.7) é a chamada equação de Richards (Libardi, 2005, Reichardt e Timm, 2004), que pode ser escrita em termos de carga de pressão (h), da umidade volumétrica (θ), ou numa forma mista, utilizando as duas grandezas. Neste trabalho utiliza-se a equação de Richards formulada em termos da carga de pressão (h). Como em meios não saturados a umidade volumétrica e a carga de pressão estão relacionadas entre si, pela regra da cadeia: (3.8)

26 35 onde C(h) é chamado capacidade de retenção especifica, representando a variação da umidade volumétrica em um volume unitário de solo para uma variação unitária na carga de pressão no tempo. O tensor de condutividade hidráulica poder ser encarado tanto como função de, como de h. separando-se a carga hidráulica total em suas componentes de pressão e de elevação tem-se: (3.9) O termo, dentro dos colchetes, aparece pela separação da carga hidráulica total (H), nos seus termos: carga de pressão (h) e carga de elevação ( ). Na formulação apresentada, o efeito da fase ar no movimento da água é desconsiderado, simplificando o problema. O caso mais geral seria o de fluxo bifásico água-ar, onde o movimento de ambas as fases e consequentemente sua interação, devem ser considerados simultaneamente (Nielsen at. al. 1986). Para a resolução das equações acima, é necessário fornecer as condições inicias da carga de pressão em todo o domínio e também as condições de contorno, no presente trabalho considerou-se as seguintes condições de contorno: 1 Tipo Condição de Dirichlet (carga constante ou umidade volumétrica) neste caso utiliza-se a carga de pressão:, em (3.10) 2 Condição de Neumman (fluxo constante) onde o fluxo normal a um determinado segmento do contorno e imposto:, em (3.11) sendo Γ e Γ os domínios dos contornos dos tipos Dirichlet e Neumman, respectivamente, é a vazão no contorno, n i são componentes do vetor normal do contorno.

27 Propriedades Hidráulicas de Solos Não Saturados Segundo Lambe e Whitman (1969), um solo não saturado é considerado como um sistema trifásico, isto é, é constituído de três fases: líquida (água), gasosa (ar) e sólida (partículas de minerais). Fredlund e Morgenstern (1977), com base na definição de fase, postulam que se deve considerar uma quarta fase independente, a interface ar-água, conhecida também como membrana contrátil. A Figura (3.2) mostra um modelo idealizado de solo não saturado. A fase sólida é constituída por partículas minerais e matéria orgânica, variando de forma e tamanho, a fase líquida é composta por água, a fase gasosa é constituída pelo ar livre e está presente no espaço poroso não ocupado pela água. A película contrátil comporta-se como uma membrana elástica sobre tensão (tração) misturada por toda a estrutura do solo. Neste trabalho considerou-se o solo como um sistema trifásico, supondo que o volume da película contrátil é pequeno, esta pode ser considerada como parte da fase água. Figura 3.2- Elemento de solo não saturado (adaptado Fredlund e Rahardjo, 1993) Curva Característica A curva característica representa a variação da sucção (quantidade de água que um solo pode ganhar ou perder) com respeito à umidade ou grau de saturação. A sucção é dada pela diferença entre a pressão do ar e a pressão da água no poro.

28 37 A Figura (3.3) apresenta uma curva característica típica, onde alguns valores merecem destaque como: o teor de umidade volumétrica saturada ( s ), que teoricamente representa a porosidade do solo, mas na prática tende a ser 10-25% menor (Rassam et al, 2004); o teor de umidade volumétrica residual ( r ) que é valor do teor de umidade volumétrica além do qual um aumento adicional na carga de pressão resultará somente em mudanças pequenas no teor de umidade volumétrica; o valor de pressão de entrada de ar que é o valor da carga de pressão no qual ocorre à entrada de ar nos poros do solo em um processo de secagem. Figura 3.3- Curva Característica. A relação entre o valor da carga de pressão (h) e o teor de umidade volumétrico (θ), em geral não é unívoca, e essa relação pode ser obtida de duas maneiras distintas: por secagem ou por molhamento, (Figura 3.4). Cada uma fornece uma curva contínua, mas as duas, na maioria dos casos são distintas. Esse fenômeno é denominado histerese, e é atribuída a não uniformidade dos poros individuais com relação a fenômenos capilares, bolhas de ar que permanecem fixas nos macroporos e as mudanças estruturais (Reichardt e Timm, 2004; Lu e Likos, 2004).

29 38 Figura 3.4- Histerese (adaptado, Reichardt e Timm, 2004). A curva característica tem sido exaustivamente analisada seja quanto às técnicas de ensaios, seja para avaliar a validade dos diversos modelos já existentes, para o ajuste da relação entre teor de umidade volumétrica () e a carga de pressão (h) (Mateus, 2007). Diversas expressões para modelagem da curva característica são propostas por vários autores, tais como: Gardner (1958), Brooks e Corey (1964), Visser (1966), Farrel e Larson (1972), Roger e Hornberger (1978), van Genuchten (1980), William (1983) e Fredlund e Xing (1994). O modelo proposto por van Genuchten (1980) vem sendo frequentemente utilizado em vários trabalhos, pois propicia um bom ajuste para uma grande variedade de solos. Esta equação é expressa da seguinte forma: h r s 1 h r n m (3.12) onde r é o teor de umidade volumétrica residual, s é o teor de umidade volumétrica saturada, e n são parâmetros empíricos e m é dado por: 1 m 1 (3.13) n Segundo van Genuchten (1980) o valor de está aproximadamente relacionado com a inversa do valor de pressão de entrada de ar.

30 Curva de Condutividade Hidráulica A condutividade hidráulica é definida como a capacidade de um meio poroso transmitir determinado fluido. Em um meio saturado, a condutividade hidráulica é função das propriedades do fluido e do meio poroso, mas no meio não saturado ele depende ainda do grau de saturação (Freeze e Cherry, 1979). Quando o solo é saturado, todos os poros estão preenchidos e são condutores, então a condutividade hidráulica é máxima. Quando o solo se torna não saturado, alguns poros são preenchidos de ar e a porção condutora da área transversal do solo decresce proporcionalmente. O valor da condutividade hidráulica decresce rapidamente com o decréscimo do teor de umidade volumétrica () ou da carga de pressão (h), devido à diminuição da área útil para a condução da água, (Reichardt e Timm, 2004). A Figura (3.5) ilustra a função de condutividade hidráulica não saturada. O formato da curva de condutividade hidráulica é similar ao formato da curva característica, inclusive apresentando a histerese para etapas de drenagem e secagem. Figura 3.5- Função da condutividade hidráulica.

31 40 De acordo com Fredlund (1994) existem basicamente dois tipos de abordagem para a determinação da função de condutividade hidráulica, a primeira baseada em estudos empíricos e a segunda em modelos estatísticos. Dentro dos modelos estatísticos encontra-se o modelo de van Genuchten que é apresentado na seguinte equação: k m 2 e h 1 1 (3.14) k s e onde k s é a condutividade hidráulica saturada e e é dado por: r e (3.15) s r 3.4. Solução Numérica da Equação de Fluxo A equação de Richards (equação 3.9) apresenta uma forte não linearidade, tanto na condutividade hidráulica como na capacidade de retenção especifica. Huyakorn e Pinder (1983) apresentam os métodos numéricos mais utilizados em problemas de fluxo. Dentre os métodos descritos, os mais populares são os Métodos das Diferenças finitas (MDF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). Segundo Nielsen et al. (1986), na modelagem de fluxo em meios não saturado, o MEF apresenta maior flexibilidade em descrever geometrias multidimensionais com contornos irregulares e maiores propriedades em meios não homogêneos. Dividindo-se o domínio total () em subdomínios ( ) e considerando-se uma solução aproximada de h no domínio do elemento ( ), admite-se que possa ser aproximada da seguinte forma:,, (3.16) onde é o número de nós do elemento, são as cargas de pressão nestes nós e N l são as funções de interpolação.

32 41 A equação (3.9) pode ser escrita na sua forma residual como: Ω Ω (3.17) em que representa o resíduo da solução aproximada. Aplicando-se o método dos resíduos ponderados (Huyakorn e Pinder, 1983), a minimização do resíduo é obtida através da introdução de funções de ponderação que, no método de Galerkin, são as próprias funções de interpolação. Ω Ω 0 (3.18) para m=1,2,...,n e onde W m são funções de ponderação. Integrando-se por partes os dois primeiros termos de equação (3.18) vem: Γ Ω Ω (3.19) onde representa o contorno do elemento, representa a normal a esse contorno. A equação (3.19) pode ser escrita matricialmente da seguinte forma:

33 42 (3.20) Ω é a matriz de condutividade (3.21) Ω é a matriz de massa (3.22) Γ é o vetor de vazões nodais (3.23) Ω é o vetor associado aos gradientes de carga de elevação (3.24) A integração das equações acima e a respectiva montagem das matrizes elementares, resulta nas matrizes globais que resolvidas fornecem os valores de carga de pressão nodais. Celia et al. (1990) observaram que os resultados do MEF apresentam oscilações na previsão de carga de pressão, concluindo que a diagonalização da matriz [S] (equação 3.22) é condição necessária e suficiente para a eliminação desse problema. Fisicamente, a diagonalização representa que a propriedade relativa à acumulação de massa não está mais distribuída nos elementos mas, concentrada nos nós, resultando em uma matriz diagonal (Wendland et al., 2005; Desai e Abel, 1972). Neste trabalho adotou-se o seguinte esquema de diagonalização da matriz [S] proposto por Milly (1985), expresso pela equação:

34 43 Ω (3.25) onde é o delta de Kroenecker, é a capacidade especifica e são as funções de interpolação Discretização Espacial A região de fluxo é dividida em uma malha de elementos quadrilaterais de quatro nós; os cantos desses elementos são os chamados pontos nodais. De acordo com a equação (3.16) a função aproximada da carga de pressão está em função das funções de interpolação, que para o elemento isoparamétrico bilinear de quatro nós são:, , , (3.26), As matrizes [H] e [S] e o vetores {G} podem ser reescritos da seguinte forma: (3.27) (3.28) (3.29)

35 44 onde: é a segunda coluna do tensor de permeabilidade; A matriz nas coordenadas globais x e z pode ser escrita como: 0 0 (3.30) Fazendo a transformação para coordenadas locais, com aplicação da regra da cadeia e rearranjando-se os termos, tem-se: (3.31) Aplicando o conceito da matriz Jacobiana que é a responsável pela transformação das derivadas espaciais em relação ao sistema de coordenadas globais para as coordenadas locais (r,s). que pode ser interpretado como um fator de escala entre o sistema global de coordenadas e o sistema local: (3.32) onde, representam as coordenadas globais dos nós do elemento quadrilateral. A inversa da matriz Jacobiana é dada pela equação: (3.33)

36 45 Desta forma, a matriz [B] pode ser definida como: (3.34) Para integração das matrizes apresentadas adotou-se a quadratura de Gauss para sua avaliação numérica Discretização no Tempo No presente trabalho o tempo total de análise é subdividido em incrementos de tempo ( ). Sendo a condição inicial do problema a carga de pressão, conhecida e assumindo que esta varia linearmente dentro do passo de tempo, temse: 1 (3.35) admitindo-se que: (3.36) onde representa o passo de tempo anterior (resultados conhecidos) e 1 o passo de tempo decorrente (variável desconhecida). Substituindo as equações (3.36) e (3.35) na equação (3.20) e expandindo-se, tem-se: (3.37) O coeficiente é aquele que define o tipo de algoritmo no tempo, podendo variar entre os valores 0 a 1. Para = 0 (esquema explicito), para = 0.5 (esquema de Crank-Nicolson) e =1 (esquema puramente implícito).

37 Método Picard Modificado A solução da não linearidade da equação de fluxo não saturado é tratada através de métodos iterativos dentre os quais os mais conhecidos são os métodos de Newton-Rapshson e o de Picard. As matrizes e vetores da equação (3.37) [S], [H], {Q} e {G} são funções de e são avaliadas em, então a equação (3.37), torna-se: (3.38) O método de Picard, também chamado de método de aproximações sucessivas, possui uma formulação simples que pode ser obtida diretamente da equação (3.38). Segundo Neuman (1973), o esquema puramente implícito ( 1) é o que melhor se aplica à problemas que possuem no seu domínio fluxo em condições não-saturadas e saturada. Adotando esse critério na equação (3.38): Chega-se a seguinte equação:, 1,,, 1, (3.39) onde k denota a iteração anterior e k 1 a iteração corrente. Celia et al. (1990) introduziram o método de Picard Modificado, escrito de forma mista (equação de fluxo não saturado escrita em termos de carga de pressão e umidade volumétrica). O método de Picard modificado é apresentado na equação (3.40), nesta equação é acrescentado um termo dependente do teor de umidade volumétrico no lado direito.

38 47, 1,,, 1,, (3.40) A solução numérica baseada na forma da equação (3.40) fornece excelentes resultados, pois minimiza o erro do balanço de massa. Entretanto uma boa conservação de massa não garante uma boa solução numérica (Celia et al., 1990). Neuman (1973) sugere que o cálculo dos coeficientes [S], [H], {Q} e {G} seja efetuado no ponto médio do intervalo de tempo, resultado em:, 1,,, 1,, (3.41) Definindo-se:,,, (3.42) Δ,,,,,, (3.43) Substituindo as equações (3.42) e (3.43) na equação (3.41), obtêm-se:,,, (3.44) Que constitui o sistema de equações a ser resolvido em cada iteração até que seja atingido o critério de convergência.

39 Critério de Convergência O processo de solução da não linearidade exige um critério de parada. Neste trabalho é adotado como critério de convergência o algoritmo proposto por Gerscovich (1994). Neste algoritmo, uma primeira aproximação para a carga de pressão é calculada a partir da condição inicial ( ):,, (3.45) Em seguida, uma segunda aproximação de, é calculada através de uma extrapolação linear:,, (3.46) Com o vetor de carga de pressão da equação (3.46) entra-se na equação (3.44) e calcula-se um novo vetor de cargas de pressão representado por,, que em seguida é verificado pelo critério de convergência definido por:,,, (3.47) na qual: (3.48) e que denota a norma Euclidiana do vetor. Se o critério de convergência não for satisfeito, então o valor de, é atualizado através de:

40 49,, 2, 2 (3.49) Com este valor de, reavaliam-se os coeficientes da equação (3.44), obtem-se uma nova aproximação para,, e mais uma vez o critério de convergência na equação (3.47) é verificado. Esse processo é repetido até que o criterio de convergência seja satisfeito, quando então o valor de, é finalmente calculado como:,,, 2 (3.50) Concluído o ciclo iterativo, atualiza-se o valor de., (3.51) Um código numérico é desenvolvido no programa Matlab, utilizando a metodologia descrita no presente capítulo. Este programa é denominado Matlab Flux2D. A criação da malha de elementos fintos é feita utilizando o programa de pré-processamento GID, onde são inseridas as informações relativas a coordenadas nodais, condutividade dos elementos, propriedades dos materiais e condições de contorno Exemplos de Validação A validação do cálculo de fluxo não saturado é apresentado a seguir. A discretização da geometria é mostrada na figura (3.6) em elementos quadrilaterais. Foram definidos 1000 elementos e 1100 nós. A condição de contorno foi assumida no topo do modelo como carga de pressão igual a zero, e na base foi considerado fluxo constante igual a zero. A condição inicial no dominio foi de carga de pressão igual a -100 cm.

41 50 Figura 3.6- Geometria e discretização para a validação de fluxo não saturado. As curvas característica e de condutividade hidráulica referente ao solo limoso, e adotando o modelo de van Genuchten (1980) estão apresentadas na figura (3.7). As propriedades hidráulicas consideradas esta apresentadas na sequência: k sat 7, ,35 s 0,02 r 0,041cm n 1, cm / s Figura 3.7- Curva caracteristica.

42 51 Na simulação do fluxo saturado - não saturado também é avaliado o erro do balanço de massa, que é a diferença entre a quantidade de volume de água que entra e o volume de água que sai do modelo avaliado. No exemplo o máximo erro no balanço de massa foi de 0.32% quando utilizado o programa HYDRUS 2D/3D e de 4,2% quando utilizado o código implementado Matlab-Flux2D. Os passos de tempo se mantiveram fixos em 1s em ambos os programas a fim de evitar diferenças advindas da variação do mesmo. O tempo total de simulação foi de 6000s, suficiente para que ocorresse a saturação completa do perfil. O número máximo de iterações, permitido em um mesmo passo de tempo, foi de 100 iterações. O tempo necesario para a simulação foi de 800 segundos, já o programa comercial HYDRUS termino a simulação em 5 segundos. Na figura (3.8) está apresentada a curva de variação de carga de pressão em função do tempo para as profundidades e sinaladas na figura HYDRUS 1D - profundidade 4 cm Matlab Flux2D - profundidade 4 cm HYDRUS 1D - profundidade 6 cm Matlab Flux2D - profundidade 6 cm HYDRUS 1D - profundidade 8 cm Matlab Flux2D - profundidade 8 cm HYDRUS 1D - profundidade 10 cm Matlab Flux2D - profundidade 10 cm Tempo [s] Figura 3.8- Evolução da carga de pressão no tempo. Em seguida apresenta-se um segundo exemplo que simula o fluxo saturado e não saturado num bloco bidimensional retangular de dimensões de 1,2 m x 1,5 m. Neste caso, a condição de contorno é de carga de pressão constante em alguns nós no topo do modelo, ver figura (3.9) enquanto todos os outros nós do perímetro

43 52 são mantidos com fluxo nulo. O bloco é discretizado em quadriláteros, com 180 elementos e 208 nós. Figura 3.9- Geometria do exemplo de validação, malha de elementos finitos e condições iniciais. As propriedades hidráulicas são as mesmas apresentadas no primeiro exemplo e na figura (3.7). Como no caso anterior os passos de tempo se mantiveram fixos em 1s em ambos os programas a fim de evitar diferenças advindas da variação do mesmo. O tempo total de simulação foi de 30 horas, para que ocorresse a saturação completa do perfil. O tempo total da análise foi de 6 horas, o programa numerico HYDRUS 2D/3D realizou a análise em 9 minutos. A figura (3.10) apresenta a evolução da carga de pressão no tempo para os três nós mostrados na figura (3.8).

44 53 Figura 3.10 Evolução da carga de pressão no tempo para os nós 1, 2 e 3. A partir dos resultados anteriores conclui-se que o programa desenvolvido calcula de maneira satisfatória o fluxo transiente com saturação variável para problemas unidimensionais e bidimensionais.

45 2 Critérios de Resistência O critério de resistência de solos sempre foi um foco de interesse na engenharia geotécnica, porque ele é responsável pela determinação do fator de segurança ao colapso. Como também do comportamento elasto plástico. Pinto (2000) afirma que critérios de resistência são formulações que procuram refletir as condições em termos de tensões em que ocorre a ruptura dos materiais. Existem critérios que estabelecem máximas tensões de compressão, de tração ou de cisalhamento. Outros que se referem a máximas deformações. Outros, ainda consideram valores limites de energia de deformação. Um critério é satisfatório na medida em que reflete o comportamento do material em consideração Modelos Constitutivos A exigência básica para análises de estabilidade de talude é a utilização de uma relação constitutiva (modelos constitutivos), esta deve ser capaz de modelar o comportamento da relação tensão-deformação. Na análise limite o material é suposto se comportar como rígido plástico. A expressão que relaciona a deformação e tensão é a lei de fluxo. O comportamento rígido-plástico perfeito no espaço tensão-deformação unidimensional é apresentado na figura (2.1). Figura 2.1- Relação tensão deformação para modelo rígido-plástico perfeito (Chen e Han, 1988).

46 23 O colapso (falha) de um material é usualmente definido em termos de sua capacidade de sustentar um carregamento. Entretanto, para materiais rígidos plásticos o escoamento em si implica em falha, logo o estado de tensões no escoamento é também o limite de resistência do material (Chen e Han, 1988). O limite de resistência chamado também limite da falha, será definido por um critério de resistência matematicamente expresso por uma função, a chamada função de resistência, dependente do estado de tensões σ ij e pode ser interpretada como apresentada a seguir: 0, as tensões estão no interior da superfície de resistência (comportamento elástico). 0, as tensões estão sobre a superfície de resistência (fluxo plástico). 0, as tensões estão fora da superfície de resistência (comportamento não viável). Os estados de tensões para o qual 0 são excluídos para comportamento rígido plástico, assim como, em modelos com que consideram processo de endurecimento. A representação da função de resistência no espaço das tensões σ ij, conduz à superfície, que é um lugar geométrico dos pontos que representam estados de tensões correspondentes ao início das deformações plásticas e constitui a fronteira do domínio que limita internamente estados de tensões correspondentes às deformações elásticas (Figura 2.2), ou da existência de deformações no caso de materiais rígido-plásticos. Figura 2.2- Superfície de resistência no espaço das tensões principais.

47 24 Entre os critérios de resistência de solos mais usados estão o critério de Drucker-Prager e o critério de Mohr-Coulomb Critério de Resistência de Mohr-Coulomb No critério de Mohr-Coulomb a o colapso se dá quando a tensão cisalhante atuante no plano de resistência alcança o valor da tensão cisalhante de resistência do material. A envoltória é comumente curva, embora possa ser satisfatoriamente ajustada por uma reta no intervalo de tensões normais de interesse. A equação de uma reta ao critério de resistência foi proposta por Coulomb cuja equação é: tan (2.1) A equação (2.1) proposta por Coulomb (1773) é definida em termos das tensões normais (σ) e cisalhantes (τ) atuando em um plano, os parâmetros c e ϕ são a coesão e o ângulo de atrito do material, respetivamente. A figura (2.3) a seguir indica o comportamento das tensões atuantes na superfície de resistência de Mohr-Coulomb de acordo com a equação (2.1): Figura 2.3- Critério de escoamento de Mohr-Coulomb no plano (, ).

48 25 O conceito do círculo de Mohr pode ser utilizado para expressar a função de resistência em termos das tensões principais e, sendo a tensão principal maior e a tensão principal menor, respectivamente. Assim temos que: ou 2 sen cos (2.2) 2 sen cos (2.3) 2 2 onde é a função de resistência para o critério de Mohr-Coulomb em termo das tensões principais (, ). De acordo com o critério de Mohr-Coulomb, a tensão de falha sob compressão é maior do que sob tração. A equação (2.2) representa uma pirâmide de base hexagonal irregular no espaço de tensões principais, sendo a seção transversal apresentada um polígono octógono como mostra a figura (2.4). Figura 2.4- Critério de resistência de Mohr-Coulomb com secção em forma de octógono. A função de resistência 0 em termos do critério de Mohr- Coulomb representa um cone hexagonal quando plotada no espaço das tensões principais como é mostrado na figura (2.5):

49 26 Figura 2.5- Superfície de escoamento de Mohr-Coulomb: no espaço das tensões principais (c=0) Criterio de Resistência de Drucker-Prager No modelo de Mohr-Coulomb (Potts e Zdravkovic, 1999) observam-se cantos agudos quando se traça a função no espaço octaédrico das tensões principais. Esses cantos implicam singularidades nas funções de fluência. Essas singularidades podem ser tratadas, adotando uma função que envolva a superfície de plastificação de Mohr Coulomb como apresentado na Figura (2.4). Figura 2.6- Superfície de plastificação de Drucker-Prager. Drucker e Prager (1952) propuseram a seguinte revisão da função que determina a superfície de escoamento:

50 (2.4) onde e que são funções da coesão e do ângulo de atrito e, e as tensões principais no espaço 3D. No caso bidimensional, para os problemas em estado plano de deformação, os parâmetros A e B são dados pelas seguintes equações (Chen e Liu, 1990): tg 912tg (2.5) 3 912tg (2.6) O modelo mais utilizado na estabilidade de taludes via análise limite é o modelo rígido plástico com base no critério de resistência de Mohr-Coulomb, principalmente em problemas bidimensionais Critério de Resistência em Solos não Saturados O colapso dos solos, em particular de taludes, pode ser conceituado como uma deformação provocada pelo umedecimento de um solo sem que haja variação de sobrecargas externa, este umedecimento atinge os mecanismos de suporte do solo, originando um desequilíbrio estrutural. Na literatura existem diversos modelos teóricos e empíricos que relacionam a precipitação pluviométrica, o grau de saturação e a resistência de taludes (deslizamento) em solos. O estado de tensões em solos não saturados difere daquele para solos saturados ou secos. Para solos saturados o sistema de tensões é bifásico (solo-ar ou solo-água), a pressão da água é positiva e age no sentido de reduzir a tensão atuante no esqueleto solido. Neste sistema é válido o princípio de tensões efetivas de Terzaghi (e.g. Lambe e Withman, 1969), equação (2.7):

51 28 (2.7) em que é a tensão normal efetiva, é a tensão normal total e é a poro-pressão. O sistema do estado de tensões em solos não saturados é trifásico (solo-arágua), neste sistema a pressão de ar é maior que a pressão de água; devido a isso surge o efeito conhecido como coesão aparente que acontece devido à pressão negativa, logo a tensão superficial nos meniscos da água formados entre as partículas sólidas tendem a uni-las, através de forças de tração, que determina o incremento da resistência em solos não saturados. Como o acressimo da pressão de água esta relacionada com o grau de saturação pode-se dizer que: quanto maior o grau de saturação do solo, menor a componente dessas forças, logo sua resistência será menor, isto sempre desconsiderando a histerese devido aos processos de secagem e humecimento. O critério de resistência em solos não saturados poder ser retratado com base no equacionamento de tensões efetivas. Bishop (1959) propõe a equação (2.8), na qual considera um certo parâmetro χ, cujo valor varia entre zero (solo seco) e um (solo saturado). O parâmetro depende do grau de saturação, tipo de solo e de efeitos de histerese decorrentes da secagem ou umedecimento dos solos (de Campos, 1997). χ também representa o efeito da coesão aparente para o acréscimo da resistência. (2.8) Na equação anterior a parcela é chamada de tensão normal líquida, u a é a poro pressão de ar e é a poro pressão da água. Adotando-se o critério de resistência de Mohr-Coulomb e incorporando-se a equação (2.8), tem-se: tan (2.9) onde c é a coesão efetiva e é o ângulo de atrito interno efetivo.

52 29 Quando utilizadas as variáveis de estado de tensão, Fredlund et al. (1978) demostraram que as seguintes combinações: e e e, podem ser utilizadas para definir o estado de tensões de um solo não saturado. Fredlund et al. (1978) notaram que o par e, é a mais pratica e a mais aplicada na engenharia, já que uma variação na pressão intersticial da água afeta somente a sucção mátrica e o princípio das tensões efetivas de Terzaghi é restabelecido na saturação. Fredlund et al. (1978) propõem a equação (2.10) onde se considera o parâmetro que quantifica o acréscimo da resistência com o aumento da sucção, esse acréscimo é expresso em termos de aumento da coesão como apresentado a seguir: tan (2.10) em que é a coesão aparente. Então a equação de resistência de acordo com o critério de Mohr-Coulomb para solos não saturados pode ser escrita como a seguir: tan tan (2.11) Quando se comparam as equações (2.8) e (2.10) percebe-se que as proposições de Bishop (1959) e Fredlund et al. (1978), apesar de serem essencialmente diferentes em suas conceituações teóricas, resultam em equações de resistência equivalentes (de Campos, 1997). Destas equações pode-se demostrar que: tan tan (2.12) Fredlund et al. (1978) consideraram constante, mas diversos autores observaram a não linearidade do (de Campos e Carrillo, 1995; Texeira e Vilar, 1997).

53 30 Segundo de Campos (1997), na prática, a determinação de é mais complexa que a de, por isso a equação (2.10) é a mais empregada atualmente para a avaliação da resistência ao cisalhamento de solos não saturados. A figura (2.7) mostra a envoltoria de resistência num plano tridimensional. Fredlum et al. (1978) conclui que a envoltoria é um plano que intercepta o eixo de tensão cisalhante interceptando a coesão, o plano tem ângulo de atrito e com relação aos eixos. Figura 2.7- Envoltória tridimensional de resistência para solos não saturados (adaptado de Lu e Likos, 2004).

54 4 Análise Limite A estabilidade de taludes convencional utiliza frequentemente os métodos de Equilíbrio Limite para determinar o fator de segurança. Esses métodos geralmente assumem uma superfície de ruptura pré-predeterminada e estabelecem seu equilíbrio estático dividindo a geometria em fatias. Estes métodos quando aplicados em problemas de geometria simples são eficazes, mas, quando confrontados a problemas mais complexos podem encontrar dificuldades. Outra abordagem para estabilidade de taludes pode ser realizada através da Análise Limite. Com este método pode-se encontrar resultados aceitáveis sem antes assumir uma superfície de ruptura pré-determinada, permitindo a captura dos resultados mesmo para os perfis de solo complexos. Além disso, a utilização de análise limite pode facilitar o processo, dado que exige menos iterações em comparação com os métodos de equilíbrio limite, reduzindo assim o tempo de cálculo. Muitos pesquisadores (Lysmer 1970; Bottero et al, 1980;. Sloan 1988, 1989, Sloan e Kleeman 1995) tem utilizado a análise limite baseada no método dos elementos finitos e da teoria de programação matemática linear. Este método foi utilizado com sucesso para predizer a estabilidade de uma grande variedade de problemas bidimensionais, incluindo túneis (Assadi & Sloan, 1991; Sloan & Assadi, 1991, 1992), fundações (Ukritchon et al., 1998; Merifield et al., 1999), âncoras (Merifield et al., 2001, 2006a). O trabalho da Zouain et al. (1993), e Lyamin & Sloan (2002) propuseram um método numérico não linear para realizar a análise de limite superior e limite inferior com base em elementos finitos e de programação linear e não linear. O Método de Lyamin & Sloan (2002a), foi utilizado para prever a estabilidade de uma grande variedade de problemas geotécnicos, incluindo túneis (Lyamin & Sloan, 2001), fundações em argila e/ou areia (Shiau et al., 2003; Hjiaj et al., 2004, 2005; Salgado et al, 2004), taludes de solo ou rocha (Li et al., 2008, 2009, 2010). Um resumo da maioria destes trabalhos ainda pode ser encontrado em Sloan

55 55 (2013), que inclui aplicação da análise limite em solos não drenados. No entanto, o esforço computacional para a solução do problema de programação matemática não é eficiente. Um método alternativo para a solução de problemas de análise limite é a utilização de programação cônica quadrática (Ciria, 2004; Makrodimopoulos & Martin, 2006). Este método de solução pode ser aplicado a uma variedade de critérios de resistência em duas dimensões, incluindo o modelo de Mohr- Coulomb, e tem-se revelado robusto e eficiente para a solução de problemas geotécnicos de grande escala (Krabbenhoft et al., 2007). Algumas aplicações em fundações tem sido realizadas por Krabbenhøft, K., Lyamin, A.V., e Sloan, S.W. (2008) e Chong et al. (2013). A solução de qualquer problema de estabilidade de taludes com a utilização da análise limite requer: atingir o colapso do solo e a aplicabilidade da regra de fluxo associada no solo. O método da análise limite considera a relação tensãodeformação dos solos de forma idealizada (comportamento do material como rígido plástico), pressupondo um fluxo plástico associado (Finn, 1967 e Chen e Lui, 1990) Teoremas de Análise Limite As formulações existentes na análise limite tiram proveito dos teoremas do limite inferior e limite superior da teoria da plasticidade para fornecer limites rigorosos sobre a verdadeira solução de um problema de estabilidade. Os teoremas fundamentais da análise limite foram apresentados pela primeira vez por Gvozdev (1938). Drucker e Prager (1952) apresentaram as primeiras provas dos teoremas de limite inferior e superior, estudando o comportamento de materiais plásticos que obedecem ao critério de ruptura de Mohr-Coulomb. Chen (1975) apresentou os teoremas de análise limite para materiais com comportamento plástico perfeito. Desde então houve um progresso na aplicação de análise limite na engenharia geotécnica e no estudo de estabilidade de taludes. Em casos bidimensionais tem sido publicados os trabalhos de Bottero et al. (1980), Sloan

56 56 (1987), Chuang (1992), Yu et al. (1998), Kim et al. (1999), Kim et al. (2002) e Sloan (2013) entre outros. Os teoremas de análise limite são formulados considerando a admissibilidade dos campos de tensões e de velocidades. Um campo de tensões em um corpo é estaticamente admissível quando satisfaz as seguintes condições: equilíbrio no corpo, condições de contorno em termo de tensões e o critério de escoamento. O campo de velocidades é cinematicamente admissível quando são satisfeitas as condições de contorno em termos de velocidade, as condições de compatibilidade de deformações e a igualdade entre o trabalho externo e a dissipação de energia. Na análise limite o teorema de unicidade indica que, se existir pelo menos uma distribuição de tensões estaticamente admissíveis e essas tensões plastificarem um número suficiente de seções para a formação de um mecanismo, de colapso plástico, devem ser satisfeitas simultaneamente as condições de equilíbrio e escoamento (distribuição estaticamente admissível) bem como a compatibilidade de mecanismo e fluxo plástico (distribuição cinematicamente admissível) Teorema de Análise Limite Inferior O teorema de análise de limite inferior estabelece que um determinado carregamento esta dentro da região dos carregamentos admissíveis se houver um campo de tensões que equilibre o carregamento e que não viole o critério de escoamento em todo o domínio do meio continuo. Este teorema permite ignorar a condição de compatibilidade, possibilita obter limites inferiores da carga de colapso ao se maximizar o fator de carga Teorema de Limite Superior A análise limite pelo teorema de limite superior postula que um determinado carregamento não está dentro da região dos carregamentos admissíveis se for possível definir um campo de velocidades cinematicamente admissível, para a qual o trabalho das forças exteriores aplicadas seja superior ou igual ao trabalho

57 57 total dissipado. Este teorema resulta de ignorar a condição de equilíbrio e permite obter limites superiores da carga de colapso ao se minimizar o fator de carga Conceitos Relacionados à Plasticidade Se um corpo é submetido a um carregamento, a geometria deste geralmente sofre alterações quando descarregado, isto se deve à mudança do estado elástico ao plástico. Uma deformação elástica é reversível já a deformação plástica é permanente. Durante a deformação elástica, a magnitude das velocidades de deformação é governada pelos parâmetros de rigidez elástica. No caso da deformação plástica, a lei de fluxo define a velocidade de deformação plástica. Para caracterizar o comportamento plástico de um material, recorre-se a abordagem clássica, o controle da plasticidade através do estado de tensões ( ), introduzindo com este objetivo a definição de critério de escoamento Critério de Resistência A forma como se define o ponto a partir do qual um material experimenta deformações não recuperáveis é chamado de critério de resistência ou de plastificação. Esse critério é expresso matematicamente por uma equação que é função das tensões. O estado de tensões situados no interior da superfície de resistência ( 0) representa um comportamento elástico, enquanto os situados na superfície ( 0) um comportamento rígido-plástico. Para um material perfeitamente plástico a função de resistência ( ) depende somente do conjunto de componentes de deformação ( ), portanto, a função de resistência é fixa no espaço das tensões e o fluxo plástico acontece quando a função de resistência é igual à zero (equação (4.1)):,, 0 (4.1)

58 Lei de Fluxo Para um material com comportamento elasto-plástico perfeito as velocidades de deformações totais ( ) são decompostas nas parcelas elástica ( ) e plástica ( ) (Chen, 1975): (4.2) Na análise limite, porém, o material é suposto ter comportamento rígidoplástico, desprezando-se a componente elástica. As velocidades de deformação plásticas ( ) dependem do estado de tensões (Chen e Liu, 1990). Num estado de tensões admissível a regra da normalidade afirma que o vetor representando a velocidade de deformação plástica tem direção normal a superfície de escoamento (Figura 4.1). Por tanto a velocidade de deformação plástica pode ser expressa por: (Lancellota, 1995): (4.3) onde é um fator de proporcionalidade escalar positivo. A equação (4.3) é chamada de lei de fluxo associada, pois está associada à superfície de escoamento. Figura 4.1 Superfície de resistência e vetor de deformação plástica (Carrion, 2009).

59 Principio do Trabalho Virtual O principio dos trabalhos de deslocamentos virtuais estabelece que o trabalho das tensões reais nas deformações virtuais correspondentes no volume do corpo é igual ao trabalho das forças aplicadas reais nos deslocamentos virtuais correspondentes. As tensões reais e as forças aplicadas reais devem estar em equilíbrio e as deformações virtuais devem ser compatíveis com os deslocamentos virtuais. A equação (4.4) esclarece: (4.4) onde: é o vetor das velocidades de deformações virtuais. é o vetor dos deslocamentos virtuais. é o vetor das tensões reais. é o vetor das forças reais. em que e são as grandezas cinemáticas virtuais compatíveis. e são as grandezas estáticas reais em equilíbrio. No caso de forças de superfície a expressão à direita deve ser integrada na superfície Formulação da Análise Limite pelo Método dos Elementos Finitos Com o objetivo de obter resultados mais precisos, a análise limite deve ser feita com uma boa discretização da geometria em elementos finitos de modo a poder representar melhor o campo de tensões no momento de colapso. O método de elementos finitos para análise limite pode utilizar os teoremas de Limite Superior ou Inferior, para produzir um problema de otimização. A utilização deste método requer uma aproximação numérica, assim como a satisfação de algumas condições para cada um dos teoremas. Considerando o teorema do limite inferior (Estático), deverão ser satisfeitas as equações de equilíbrio, o critério de escoamento e as condições de contorno em

60 60 termo das tensões; quando utilizado o teorema de limite superior (Cinemático) deve se satisfazer as equações de compatibilidade, o critério de escoamento e as condições de contorno em termos de velocidades. O modelo de formulação mista procura atender de forma conjunta as condições necessárias para as aplicações dos teoremas de limite inferior e limite superior; sendo que as condições de escoamento são satisfeitas exatamente e as condições de equilíbrio e de contorno em tensão são satisfeitas aproximadamente pela interpolação dos campos de tensão e velocidade do elemento. Nesta formulação, a resposta de um dado problema não pode ser considerada como um limite superior ou inferior da verdadeira carga de colapso. Estas formulações, além de estática, cinemática ou mista, podem ser classificadas como fortes ou fracas Formulação da Equação de Equilíbrio Formulação Forte Nesta formulação são satisfeitas explicitamente as condições dos teoremas de limite superior e limite inferior. A vantagem da formulação forte está no fato de a mesma utilizar uma abordagem puramente estática ou puramente cinemática, chegando a um limite inferior ou superior verdadeiro. A desvantagem da abordagem em questão é a falta de estimativa para erros nos valores dos limites calculados, não se estabelecendo se o limite encontrado é ou não, uma boa aproximação Formulação Fraca Na formulação fraca as condições da análise limite são satisfeitas através do principio de trabalhos virtuais, que fornecem as equações de equilíbrio do sistema, via discretização por elementos finitos.

61 61 Nesse caso o equilíbrio é satisfeito apenas globalmente com as forças internas iguais as forças externas nos graus de liberdade. As equações diferenciais de equilíbrio não são satisfeitos num dado ponto. Nesse enfoque o fator de colapso converge para um dado valor à proporção que se aumenta a discretização da malha. No presente trabalho adota-se a formulação mista fraca para representar as equações de equilíbrio estático Condição de Equilíbrio e Compatibilidade As equações de equilíbrio e de compatibilidade são obtidas a partir de uma formulação de elementos finitos com interpolação dos campos das velocidades, de tensões, e da utilização do principio dos trabalhos virtuais. Considerando-se um corpo submetido a um estado de deformação plana, o campo de deslocamentos pode ser escrito em um sistema de eixos (x,z), através do vetor ; tendo em vista que o trabalho trata de análise limite, a cinemática do problema será descrita em termo de velocidades. Assim, o campo de velocidades pode ser escrito como. Pela teoria de elementos finitos o campo de velocidades no interior de um elemento pode ser escrito em função das velocidades nodais, assim: (4.5) onde: é o campo de velocidades nodais, é a matriz de interpolação das velocidades. A relação de compatibilidade entre as velocidades de deformação e as velocidades nodais pode ser escrita como: (4.6) onde é a matriz de compatibilidade cinemática do elemento.

62 62 Interpolando-se também o campo de tensões em função dos pontos nodais chega-se a: (4.7) onde é o campo de tensões nodais e é a matriz de interpolação das tensões. Considerando-se um elemento de velocidades de deformação plana no qual atuam cargas distribuídas nos lados do elemento, nos nós do elemento e um como o fator (escalar) que multiplica as forças iniciais, pode-se escrever o principio dos trabalhos virtuais como: (4.8) Substituindo-se as equações (4.5) e (4.6) em (4.7): (4.9) agrupando: (4.10) 0 como 0, deslocamentos virtuais arbitrários, a equação (4.9) fica: 0 (4.11) definindo:

63 63 e (4.12) (4.13) finalmente a equação (4.11) se torna: (4.14) Considerando-se todo o domínio discretizado, as condições de equilíbrio e compatibilidade, para toda a malha de elementos finitos, são obtidas a partir de informações sobre conectividade entre elementos Condições de Contorno As condições de contorno têm que ser fornecidas para a solução do problema. Estas condições de contorno na estabilidade de taludes geralmente são dadas por velocidades prescritas. Então, para os nós com campos de velocidades prescritos 0, devem-se eliminar da matriz de equilíbrio e de vetor das forças equivalentes nodais iniciais da equação (4.14) as linhas correspondentes às velocidades prescritas Condição de Resistência O problema de análise limite é formulado via o teorema do limite inferior de modo que a condição de escoamento seja satisfeita (equação 4.15) quer dizer que o campo de tensões seja estaticamente admissível (requisito do teorema inferior). 0 (4.15)

64 Formulação Convencional do Problema de Análise Limite Inferior Os problemas formulados por análise limite inferior via elementos finitos, podem, ser colocados sob a forma de um problema de otimização, das equações (4.16) e (4.17): Maximizar (4.16) Sujeito a: 0 (4.17) O sistema das equações (4.16) e (4.17) tem a forma de um problema de otimização, no qual as condições de equilíbrio, as condições de contorno e as condições de escoamento são expressas como um conjunto de restrições Formulação no Espaço Cônico Quadrático da Análise Limite Nesta seção é apresentada a aplicação de programação cônica quadrática para o problema de optimização proposto no item 4.5. Para a utilização desta formulação o problema de otimização é reformulado para o espaço cônico quadrático (figura 4.3), o qual permite a utilização de métodos de pontos interiores e primal-dual para obter uma melhor utilização da convexidade e das propriedades da dualidade do modelo de análise limite e garantir a convergência e eficiência computacional. Figura 4.3 Cone quadrático.

65 65 Da figura 4.3, o cone К é um conjunto não vazio de К tal que para qualquer К, temos К, 0. Além disso, se К é convexo, então К é chamado de cone convexo (Bazaraa et al., 2006). Considere uma norma. arbritaria em, um cone normado associado a norma ǁ.ǁ é o conjunto К,,, (Vandeberghe et al., 2004). Um cone quadrático é um cone normado, na norma Euclidiana (Vandeberghe et al., 2004), isto é К,,,. Muitos trabalhos que utilizam a programação cônica quadrática foram desenvolvidos para resolver o problema de programação matemática, como, por exemplo, Sturm (1999); Andersen et al. (2003);. Tutuncu et al. (2003) e Chahua (2013). Neste item será mostrado que o critério de resistência proposto neste trabalho pode ser representado num sistema de cone de segunda ordem dando origem a problemas de otimização respectivos (Bisbos e Pardalos, 2007) Problema Cônico Quadrático O problema de otimização cônica quadrática tem a seguinte forma: Maximizar ou minimizar (4.18) Sujeito a К (4.19) onde: К é o vetor das incógnitas no espaço cônico quadrático; К é o vetor dos coeficientes da função objetivo; é a matriz das restrições e é o vetor independente das restrições de igualdade. O espaço cônico К pode ser descrito como a multiplicação de um grupo arbitrário de subespaços cônicos da forma: КК К (4.20) onde К К são os subespaços cônicos quadráticos.

66 66 Então um problema cônico quadrático é um problema de otimização com uma função objetiva linear, num conjunto de restrições lineares de igualdade e um número finito de restrições cônicas quadráticas. O problema de programação matemática apresentado nas equações (4.16) e (4.17) podem ser formuladas no espaço cônico quadrático. Krabbenhøft et al. (2006) sugere a seguinte forma para escrever o problema no espaço cônico quadrático: Maximizar (4.21) Sujeito a (4.22) К onde é o carregamento; as tensões pertencem ao espaço cônico quadrático ( К) Critério de Resistência de Mohr-Coulomb no Espaço Cônico Quadrático No estado plano de deformações o critério de escoamento de Mohr- Coulomb associado à lei de fluxo é dado pela equação (4.21),, sin 2 cos 4 0 (4.23) em que x e z se referem às direções do plano. A equação (4.23) pode ser colocada em termos de uma restrição cônica quadrática na forma: (4.24) A transformação entre e é definida pela equação (4.25): (4.25) onde:

67 67 e sin sin (4.26) cos 0 0 (4.27) Finalmente o problema de análise limite no espaço cônico quadrático, desenvolvido por Chaua (2013) é escrito como a seguir: Maximizar (4.28) Sujeito a К 4.7. Elemento Finito Implementado (4.29) No presente trabalho foi utilizado somente o elemento finito bidimensional isoparamétrico de quatro nós: Figura 4.4 Elemento quadrilateral isoparamétrico. As funções de interpolação usadas para interpolar as velocidades nodais são as mesmas funções de interpolação utilizadas para interpolar deslocamentos na formulação convencional do Método de Elementos Finitos em deslocamentos; estas funções são:

68 68, , , (4.30), onde,, e são as funções de interpolação de velocidades, e são as coordenadas paramétricas, que variam de -1 a +1. A interpolação das tensões no domínio do elemento,, definida pela equação (4.7), em que, para cada elemento a tensão é constante, para isto adota-se: (4.31) onde é a matriz identidade. Nesse caso o campo de tensões é constante dentro do elemento. A escolha desses campos de tensões foi baseada nos trabalhos anteriores (Gonzaga, 1997; Farfan, 2000; Carrion, 2009). As equações de equilíbrio obtidas formam um conjunto de restrições lineares de igualdade. No problema de otimização final esta característica permite o desenvolvimento de algoritmos para os quais a solução é mantida dentro do domínio viável durante cada iteração. Manter a viabilidade durante o processo de iteração é altamente desejável uma vez que limita o acúmulo de erro. (Lyamin, 2002). Utilizando a plataforma de programação Matlab, é implementada a condição de equilíbrio (equação 4.29), seguido da aplicação das condições de contorno. Também é implementado o critério de resistência no espaço cônico quadrático, segundo a equação (4.24). A partir destes é possível à utilização do programa MOSEK, para a solução do problema de análise limite (Equaçoes 4.28 e 4.29) no espaço cônico quadrático.

69 Exemplos de Validação Talude Infinito Homogêneo É considerado um talude infinito de 4m de profundidade e 120m de comprimento, a figura (4.5) apresenta a geometria utilizada. O ângulo de inclinação do talude ) é igual a 30. Para realizar a análise limite o problema foi discretizado em 900 elementos e 1001 nós. As propriedades de resistência do problema estão apresentadas na tabela (4.1). Tabela 4.1 Propriedades do material do talude infinito. Coesão () Ângulo de atrito () Peso específico () 5 kn/m 2 23,5 18,0 kn/m 3 Figura 4.5 Geometria e malha de elementos finitos do talude infinito. A equação (4.32) foi utilizada para o cálculo do fator de segurança (FS): cos tan sin cos (4.32) em que é a coesão, é o peso especifico e é ângulo de atrito.

70 70 O resultado da equação (4.32) para os parâmetros da tabela (4.1) do problema do talude infinito apresentado é Para estabelecer o fator de segurança (FS) partindo da análise limite utilizase a técnica de redução progressiva dos parâmetros de resistência, esta técnica foi proposta por primeira vez por Zienkiewicz (1975). Esta técnica consiste em reduzir os parâmetros de resistência e, utilizando um fator de redução (), para obter diversos valores de da análise limite. O fator de segurança () é determinado quando 1. tan tan (4.33) em que e são os parâmetros de resistência coesão e ângulo de atrito respetivamente reduzidos pelo fator de redução (). Na tabela 4.2 é apresentada a utilização da técnica do fator de redução no exemplo de talude infinito. Tabela 4.2 Redução de parâmetros de resistência do talude infinito. [kpa] [ ] [kpa] [ ] 5 23,5 0,900 5,556 26,111 1, ,5 0,925 5,405 25,405 1, ,5 0,950 5,263 24,737 1, ,5 0,975 5,128 24,103 0, ,5 1,000 5,000 23,500 0,806

71 71 Figura 4.6 Estimativa do fator de segurança ao colapso mediante redução dos parâmetros de resistência. Utilizando a análise limite no espaço cônico quadrático o resultado do fator de segurança ao colapso do problema de talude infinito é de 0.954; obtido da figura (4.6). Como pode se observar o resultado utilizando análise limite no espaço cônico quadrático tem uma boa aproximação quando comparado com o resultado obtido com a equação (4.32) Exemplo de Talude 2D Procuro-se consagrar os resultados obtidos por Carrion (2005), obtido através da análise limite convencional com aqueles obtidos utilizando a formulação no espaço cônico quadrático. A figura (4.7) apresenta a geometria do talude bidimensional a ser avaliado.

72 72 Figura Geometria do talude 2D. Para a análise limite é utilizada um malha de elementos finitos de 225 elementos e 256 nós. Figura Malha de elementos finitos. As propriedades utilizadas na análise são mostradas na tabela 4.3. Tabela 4.3 Propriedades do material do exemplo. Coesão () Ângulo de atrito () Peso específico () 5,10 kn/m 2 20,0 17,0 kn/m 3 A seguir é apresentada a tabela da redução de parâmetros de resistência, obtida para a análise de limite do talude 2D.

73 73 Tabela 4.4 Redução de parâmetros de resistência do talude infinito. [kpa] [ ] [kpa] [ ] 5,0 20,0 1,00 5,0 20,0 3,66 5,0 20,0 1,25 4,0 16,0 1,44 5,0 20,0 1, ,3 0,84 5,0 20,0 2,00 2,5 10,0 0,44 Figura 4.9 Estimativa do fator de segurança ao colapso mediante redução dos parâmetros de resistência para o talude 2D. A figura (4.9) mostra que para o fator de colapso 1 o fator de redução é de 1,40. Então pode-se deduzir que o fator de segurança ao colapso é de 1,40 obtido com a Análise Limite no Espaço Cônico Quadrático. Carrion (2005) obteve o valor de 1,40 utilizando a análise limite convencional. Ainda Carrion (2005) indica que este modelo foi avaliado previamente utilizando o programa computacional PLAXIS, o qual forneceu o fator de segurança igual a 1,38. O resultado do exemplo de validação apresenta uma boa aproximação quando confrontado com o resultado apresentado no trabalho de Carrion (2005). Este resultado indica a viabilidade de utilizar a análise limite no espaço cônico quadrático para problemas de estabilidade de taludes.

74 5 Análise de Confiabilidade Nas últimas décadas houve uma aceitação da análise de confiabilidade como uma ferramenta complementar para avaliar a segurança e a confiabilidade de problemas geotécnicos. A análise de confiabilidade é uma ferramenta de verificação que possibilita a determinação da probabilidade de falha de talude quando considerando a variação aleatória das variáveis do problema. Devido às incertezas dos parâmetros dos solos é muito importante realizar análises de confiabilidade. Análises de confiabilidade baseadas nos métodos de Monte Carlo, FORM (first order reliability method) ou SORM (second order reliability method) vem sendo utilizadas, desde o início da década de 1970, para realizar a análise probabilística em taludes, por exemplo, Wu e Kraft (1970), Alonso (1976), Vanmarcke (1977). Estes continuaram ao longo dos anos e são ainda bastante utilizados, por exemplo, Griffiths e Fenton (2004), Xue e K. Gavin (2007), Ching et al. (2009), Zhang et al.(2011). As análises probabilísticas utilizadas em todos estes trabalhos exigem uma análise determinística prévia que avalie o fator de segurança. As análises determinísticas que são utilizadas nos trabalhos são os métodos de Equilíbrio limite e de redução de parâmetros na análise elasto-plástica pelo Método de Elementos Finitos. Os trabalhos de Carrion (2005 e 2009) utilizam o método de Análise Limite com análise determinística prévia para a determinação da Análise de Confiabilidade de taludes. O objetivo deste capítulo é presentar os conceitos básicos para a análise de confiabilidade da estabilidade de taludes; conceitos sobre probabilidade e estatística das variáveis aleatórias (parâmetros de resistência do solo); diversos métodos para as análises de confiabilidade como o método FORM (first order reliability method) e o método de simulação de Monte-Carlo. A superfície de resposta é implementada e utilizada como função de falha. Finalmente valores de índice de confiabilidade são associados à probabilidade de falha ( ) do talude.

75 Fundamentos Os métodos determinísticos admitem como conhecidos os valores dos parâmetros de resistência da estabilidade de taludes. Tais parâmetros são influenciados pelas variações do solo alterando suas previsões. Tendo como finalidade quantificar a variabilidade inerente a estas previsões, introduziu-se no meio geotécnico o conceito de Análise de confiabilidade. A estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos parâmetros de resistência. A resposta da análise de confiabilidade é a probabilidade de falha ou índice de confiabilidade associado a uma função de falha que depende das variáveis aleatórias do problema. Quando aplicada ao problema da estabilidade de taludes, a análise de confiabilidade fornece a probabilidade de o talude deslizar. Tendo como objetivo a aplicabilidade prática da análise de confiabilidade em estabilidade de talude neste capitulo são apresentados alguns conceitos de interesse para a determinação das funções de falha em que é o vetor das variáveis aleatórias,,, que para o presente estudo são os parâmetros de resistência no estudo da estabilidade de taludes. Outros conceitos básicos da estatística podem ser revisados na seção A Função de Falha A probabilidade de falha em problemas de engenharia civil é calculada com base na função do estado limite ou função de falha. Uma função de estado limite último descreve a diferença entre a carga de resistência () e a carga solicitante (). Uma função de falha é definida ao se definir as variáveis solicitante () e de resistência (), para o estado limite de interesse. Em seguida, a equação de estado limite é apresentada como:,,, (5.1)

76 76 onde,,, é o vetor de entrada das variáveis aleatórias, a função de falha define as regiões seguras e não seguras,,,, são as variáveis aleatórias. Deve-se observar que é uma variável aleatória por ser uma função de variáveis aleatorias. A função g 0 indica que pertece a região segura, 0 define a região insegura e g 0 significa a iminência de falha. As condições citadas, podem se visualizadas na figura (5.1) a seguir: Figura Função de falha Probabilidade de Falha A probabilidade de falha pode ser obtida por: (5.2) ou seja, pela integração da função densidade de probabilidade multivariável,,,, no domínio da falha Índice de Confiabilidade A incerteza da estabilidade do talude pode ser quantificada aproximadamente através da avaliação do índice de confiabilidade (). Este

77 77 baseia-se na relação do valor esperado e o desvio padrão como apresenta a equação a seguir: (5.3) Onde, é o valor esperado e é a variância da função de falha. A relação apresentada na equação (5.3) é válida apenas para variáveis com distribuição normal e funções de falha lineares. Mas na prática, a função de falha pode não ser linear e as variáveis aleatórias podem não ter uma distribuição normal como mostrado por Baecher e Christian (2003). No caso das variáveis aleatórias apresentarem outros tipos de distribuição e serem correlacionadas é necessário transformá-las em variáveis normais padrão equivalentes não correlacionadas para a análise pelo método FORM. Segundo Melchers (2002), as variáveis aleatórias do problema de estabilidade de taludes possuem distribuição normal. Essa hipótese de distribuição gaussiana é atendida porque estudos laboratoriais mostrara que a curva de distribuição de frequência de Gauss é adequada à representação do comportamento estatístico das principais variáveis envolvidas no cálculo da estabilidade de taludes: coesão e ângulo de atrito. O JCSS (Joint Committe on Structural Safety), 2006; indica que a distribuição de probabilidade normal é a hipótese mais usual para as propriedades do solo em análise de confiabilidade. A interpretação gráfica do índice de confiabilidade pode ser ilustrada na figura 5.2.

78 78 Figura Função densidade de probabilidade de g. onde é o função densidade de probabilidade (PDF) normal de função de e. Sendo a média e o desvio padrão de g. Da figura 5.2 o índice de confiabilidade () pode ser entendido como sendo o afastamento da média ( ) em relação ao estado limite 0, em unidades de desvio padrão ( ) da função probabilidade. A transformação de em uma variável reduzida g r (X) é feita como a seguir: Φ 0 Φ (5.4) sendo (5.5) onde Φ é a função de distribuição acumulada normal padrão. A figura 5.3 apresenta a relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de falha.

79 79 Figura Função distribuição acumulada da probabilidade de falha g(x). O valor resultante da probabilidade de falha ( ) geralmente é muito pequeno. Como alternativa utiliza-se o índice de confiabilidade que é um estimador adequado para as probabilidades de falha, devido ao seu caráter adimensional, que permite comparar níveis de segurança de sistemas totalmente diferentes. Em uma formulação de confiabilidade considera-se que o critério de aceitação de falha do talude, corresponde à exigência de nível mínimo de confiabilidade; definindo este como índice de confiabilidade alvo. Assim o nível de segurança de um talude é expresso em termos de um índice de confiabilidade mínimo ou de uma probabilidade de falha aceitável. Os requisitos para a estabilidade de taludes são expressos em termos do índice mínimo de confiabilidade aceito ou da máxima probabilidade de falha aceita. Valores do índice de confiabilidade de referência propostos para estabilidade de taludes pela United States Army Corps Engineers (USACE, 1999) são apresentados na tabela 5.1

80 80 Tabela 5.1 Relação do índice de confiabilidade e a probabilidade de falha (USACE, 1999). Índice de Confiabilidade, β Probabilidade de falha P f Nível de desempenho esperado Perigoso Insatisfatório Pobre Abaixo da média Acima da média Boa Alta 5.3. Métodos de Análise de Confiabilidade Na literatura existem diversos tipos de métodos para se realizar a análise de confiabilidade. Citam-se o método de simulação de Monte Carlo e o método FORM (First Order Realiability Method). Esses métodos são descritos a seguir Método de Simulação de Monte Carlo O método de Monte Carlo é um dos mais utilizados e pode ser descrito como um método estatístico que envolve a geração de um grande número de valores randômicos para cada variável aleatória de entrada. No caso de se ter um problema com mais de uma variável, são geradas amostras destas variáveis. Partindo da geração dos N conjuntos de números aleatórios para os n valores aleatórios utilizados para determinar a probabilidade de falha da estrutura geotécnica, a função de falha desta é avaliada para cada um dos conjuntos aleatórios gerados e a função de falha será testada diversas vezes, sendo a probabilidade de falha expressa pela seguinte expressão: 0 (5.6) onde 0 representa a quantidade de vezes que a função de falha cai na região de falha para uma quantidade N de avaliações.

81 81 A precisão do método de Monte Carlo depende da quantidade dos números aleatórios gerados, para tanto, estes devem ser gerados considerando-se que cada variável é uma distribuição e parâmetros estatísticos pre-definidos tal como a média e desvio padrão. Se duas variáveis tem um coeficiente de correlação predefinido esse coeficiente deve ser gerado pelo método. Monte Carlo é, portanto, um procedimento no qual um problema determinístico é resolvido num grande número de vezes para acumular uma distribuição estatística. É simples e pode ser aplicado para quase todos os problemas e praticamente não há restrição quanto ao tipo de distribuição. Embora o método de simulação de Monte Carlo possa fornecer resultados precisos, sempre requer um grande esforço computacional, pois pode exigir uma amostra muito grande o que o torna muitas vezes inviável, principalmente se a função de falha não for explicita. Figura 5.4 Pontos na simulação de Monte Carlo (Adaptado de Pereira, 2007) Método FORM (First Order Reliability Method) Para reduzir o tempo computacional total, têm sido propostos vários métodos alternativos. Estes incluem o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM).

82 82 O método de primeira ordem (FORM) para a determinação do índice de confiabilidade tem sido amplamente aceito devido a sua eficiência, sendo recomendado pela JCSS (Yang et al., 2006). O método FORM, calcula o índice de confiabilidade como a distância de função de falha à origem no espaço das variáveis normais padrão equivalente não correlacionado. Assim, a função de falha é escrita em termos das variáveis como. A seguir, procurasse o ponto, denominado ponto de projeto, cuja distância até a origem é a mínima e determina-se o valor do índice de confiabilidade que é igual a distancia de até a origem, assim: (5.7) A figura 5.5 apresenta graficamente a determinação do índice de confiabilidade utilizando o método analítico FORM. Figura Representação gráfica do método FORM (a) espaço original e (b) espaço normal padrão. Na utilização do método FORM é necessário um processo de transformação do espaço normal para o espaço padrão. Essa transformação é feita utilizando-se as distribuições normais equivalentes. O ponto de projeto é obtido na forma de um problema de otimização.

83 Transformação de Variáveis para o Espaço Reduzido Para a transformação das variáveis aleatórias do espaço original para o espaço das variáveis normais padrão equivalentes não correlacionadas ver Melchers (2002) Busca do Ponto de Projeto O ponto de projeto ou ponto mais provável (Most Probable Point - MPP) é o ponto cuja distância à origem no espaço reduzido é a menor possível. A determinação do ponto de projeto pode ser formulada como um problema de otimização com restrição da igualdade na forma: Minimizar: (5.8) Sujeito a: g 0 (5.9) Na literatura encontram-se diversos algoritmos para a resolução do problema de otimização acima mostrado. O mais utilizado deles é aquele desenvolvido por Hasofer e Lind (1974) e aprimorado por Rackwitz e Fiessler (1978). Este algoritmo é identificado como HLRF Fator de Importância das Variáveis Uma vantagem bastante interessante na análise de confiabilidade é com relação à identificação e quantificação da importância dos parâmetros envolvidos no estudo da estabilidade de taludes. Parâmetros como a coesão (), ângulo de atrito () ou peso especifico dos solos () poderão ser avaliados para determinar a importância de cada um deles no processo de determinação de fator de segurança ao colapso (). Segundo Sagrilo (2003), o fator de importância de cada variável aleatória envolvida na análise de confiabilidade é definido por:

84 84 (5.10) onde é o cosseno diretor com relação a variável do vetor normal unitario a superfície de falha no ponto de projeto do espaço das variáveis reduzidas. (5.11) onde é a componente do gradiente da função de falha no espaço das variáveis reduzidas avaliado no ponto do projeto. A equação 5.10 é uma propriedade do fator de importância das variáveis: 1 (5.12) As variáveis com fator de importância baixo podem ser consideradas como determinísticas na análise. Somente variáveis com fatores de importância altos contribuem efetivamente para a probabilidade falha Geração da Superfície de Resposta A análise de confiabilidade utiliza á função de falha () para determinar o índice de confiabilidade. No entanto, a análise de confiabilidade pode ser muito cara do ponto de vista computacional. Essa dificuldade pode ocorrer com qualquer método de utilizado. Para isto, a técnica de superfície de resposta é implementada. A superfície de resposta gera uma função de falha aproximadora, que representa a função de falha original e cuja avaliação de segurança seja mais simples, já que se obtém uma função explicita. A superfície de resposta de um modelo complexo é aproximada por uma relação simplificada, a qual relaciona os resultados determinísticos de um determinado problema com as variáveis aleatórias. Estas relações são representadas por superfícies lineares, quadráticas ou cúbicas e para obtenção das

85 85 mesmas é empregado o método dos mínimos quadrados ou uma expansão em série de Taylor. Mais recentemente, surgiram alguns procedimentos de interpolação que empregam funções do tipo spline. O método da superfície de resposta trabalha com uma aproximação polinomial da função de falha, assim a probabilidade de falha é calculada usando-se métodos de confiabilidade de primeira ordem (FORM) ou o método de Monte Carlo. A implementação da superfície de resposta é realizada por meio dos seguintes passos (Haldar e Mahadevan, 2000): Das variáveis aleatórias, seleciona-se um número de pontos para a avaliação da função de falha. A função de falha é deterministicamente avaliada para todos os pontos selecionados na etapa anterior, com o uso de modelos de elementos finitos. Constrói-se um modelo estatístico (polinômio) de primeira ou segunda ordem utilizando-se uma análise de regressão com os pontos coletados na etapa anterior. O modelo estimado é então, a superfície aproximadora em termos das variáveis aleatórias ; Usando as abordagens FORM, ou simulação de Monte Carlo, com a expressão obtida na etapa anterior, estima-se enfim a probabilidade de falha 0. Dois aspectos devem ser observados: o número de pontos para a formação da superfície de resposta deve ser maior ou igual ao número de constantes relativas ao polinômio aproximador (Beck, 2010). A aproximação obtida pelo modelo da superfície de resposta pode ser inadequada, principalmente para funções de desempenho altamente não lineares. O modelo estatístico aproximado para a obtenção da superfície de resposta, no presente trabalho, baseia-se em polinômios de Lagrange constituídos a partir de um processo de interpolação.

86 Superfície de Colocação Estocástica A ideia do método de colocação estocástica consiste em construir uma interpolação das variáveis de interesse a partir de pontos pré-determinados. Uma opção bastante interessante, e muito empregada no método dos elementos finitos, são os polinômios interpoladores de Lagrange (Vaz, 2011). A formulação desse método pode ser descrita, sucintamente, como se segue: Dada uma função contínua, sua função aproximadora em um intervalo é denominada Θ. Considerando (1) pontos para o intervalo, é possível criar (1) polinômios de Lagrange ( ) de grau, de modo que: (5.13) sendo que: (5.14) onde é delta de Kronecher. Para a função considerada vale a seguinte regra: valor unitário em i = j e valor nulo em i j. A Equação 5.14 pode ser utilizada no polinômio de Lagrange para a geração de funções aproximadoras de fazendo: Θ (5.15) onde é o valor de em. A equação 5.15 é valida em qualquer dos (1) pontos resultando em: Θ (5.16) A Figura 5.6 mostra o processo de interpolação entre a função original e a função aproximadora Θ:

87 87 Figura 5.6- Interpolação com uso dos polinômios de Lagrange (adaptado de Da Costa Pantoja, 2012). Para a geração da superfície de resposta para duas variáveis se procede de forma análoga ao processo do polinômio de Lagrange no caso de uma variável. Assim, funções de interpolações bidimensionais poderão ser geradas por meio de produtos de polinômios Lagrangeanos, isto é, N, (5.17) onde, são as funções de interpolação para a superfície de resposta, e são os polinômios Lagrangeanos para as variáveis de interesse e. Com a Equação (5.17), pode-se montar a superfície de resposta aproximadora, nos pontos e denominados e usando a interpolação dada em (5.28) Assim: Θ,, (5.18) onde são os valores da resposta, obtidos da análise determinística, para os pontos das variáveis tomados em consideração. A Figura (5.7) mostra a superfície de resposta para um par de variáveis ( e ).

88 88 Figura Gráfica da superfície de resposta Exemplos de Validação Para a validação da metologia apresentada é utilizado o trabalho de Gavin e Xue (2009). Em que uma metodologia probabilística é proposta para análisar a estabilidade de taludes de solo não saturado, a geometria do talude é assumido como infinito unidimensional. Gavin e Xue (2009) assumem que a superfície de deslizamento é paralela à inclinação da superfície e com uma profundidade igual à profundidade da frente de umedecimento. A probabilidade de falha é determinada através do índice de confiabilidade utilizando um método computacional baseado em vários algoritmos como FORM, Monte Carlo e algoritmo genético. A aplicação de um caso histórico foi realizado no trabalho de Gavin e Xue (2009) com dados tomados de Springman et al. (2003), no qual pesquisaram o efeito da infiltração de agua na estabilidade de dois taludes. No trabalho de Sprigman et al. (2003), dois encostas foram submetidos a uma chuva artificial durante dois dias. A intensidade da precipitação foi de 16 mm/h durante as primeiras 24 horas, diminuindo para 12 mm/h depois. Dos resultados do experimento a grande escala, enquanto o talude com ângulo de inclinação média de 31, manteve-se estável durante todo o ensaio, o segundo talude de 42 desenvolveu deslizamento translacional em 0,5 m. A instrumentação sugere que o grau de saturação (), era de 85-95% na falha.

89 89 Figura 5.8- Modelo do talude infinito. Na tabela a seguir são apresentadas as variáveis utilizadas na análise de confiabilidade: Tabela 5.2 Variáveis utilizadas na análise de confiabilidade. Variável Média Coeficiente de variação 40 0,035 2,93 kpa 0,39 20,2 kn/m 3 0,05 0,2 1,0 m 0,05 onde é o ângulo de atrito, é o parâmetro que combina a coesão () e a contribuição da pororessão; z é a profundidade do frente de umedecimento, é o peso especifico Verificação da Importância das Variáveis Uma primeira análise foi realizada para determinar o fator de importância das variáveis. Aplicando a metodologia sugerida no item e considerando como função de falha a equação (5.19) utilizada em Gavin e Xue (2009).

90 90 cos tan cos sin (5.19) onde e é o ângulo de inclinação do talude. Os valores dos índices de importância encontrados estão apresentados na tabela 5.3 a seguir. Tabela 5.3 Fator de importância dos parâmetros. Parâmetro Fator de importância 95,99 % 3,97 % 0,02 % 0,02 % Como pode se observar na tabela 5.3 o parâmetro possui a maior porcentagem do fator de importância seguido do ângulo de atrito Validação do Uso da Superfície de Resposta Neste item são utilizados os métodos de Monte Carlo e FORM, na determinação do Índice de Confiabilidade (). A função de falha, utilizada nos dois métodos é dada pela equação a seguir:, Θ, 10 (5.20) em que Θ, é a superfície de resposta em função das variáveis aleatórias e. A equação de Θ, foi largamente explicada no item Para a geração da superfície de resposta são empregados 25 Fatores de Segurança, cada Fator de Segurança é um ponto resultante de uma combinação das variáveis aleatórias e. As combinações de e são estabelecidos nos intervalos 3 3 e 3 3.

91 91 A figura a seguir apresenta os 25 pontos em função de e para a profundidade de 0,1 m; a seguir pode-se observar a superfície de resposta gerada com os 25 pontos. Figura 5.9- (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada. Uma vez estabelecidas as superficies de resposta estes foram utilizados nos metodos de FORM e Monte Carlo como funções de falha para os índices de confiabilidade. Os resultados obtidos utilizando as Superficies de Resposta são apresentados na figura Também é apresentado o resultado da análise de confiabilidade utilizando o método de Monte Carlo, onde é calculado de forma convencional e a função de falha é descrita pela equação A figura 5.10 demostra que a utilização de superfície de resposta como função de falha e incorporada às metodologias de Monte Carlo e analítico FORM fornecem índices de confiabilidade semelhantes aos resultados quando utilizados os métodos de Monte Carlo e FORM de maneira convencional.

92 92 Figura Índice de confiabilidade, talude infinito unidimensional. A figura 5.11 mostra o diagrama de fluxo utilizado para na validação da utilização da superfície de resposta. Este diagrama de fluxo será utilizado no decorrer do trabalho para a determinação do índice de confiabilidade.

93 93 Dados de entrada: coordenadas da geometria, tipo de materiais, propriedades dos materiais, condições de contorno. Geração da malha GID Análise de fluxo Saturado Não Saturado MatlabFlux2D Geração dos 25 pontos de Fatores de Segurança via análise limite utilizando Matlab - Mosek Geração da Superfície de Resposta Geração da função de falha g(x) = Θ 1 Análise de Confiabilidade relativa à g(x) Determinação do Índice de Confiabilidade associado à g(x) Matlab - FORM Determinação do Índice de Confiabilidade associado à g(x) Matlab - Monte Carlo Figura Diagrama de fluxo da metodologia aplicada para a determinação do índice de confiabilidade via superfície de resposta.

94 Análise de Sensibilidade dos Parâmetros de Resistência Foi realizada uma análise de sensibilidade para verificar os resultados dos fatores de importância e a sua influência na determinação do índice de confiabilidade quando utilizada a superfície de resposta como função de falha. Para esta análise são geradas superfícies de resposta para três combinações das variáveis aleatórias (,,). Estas combinações são: -, - e. As combinações de e são estabelecidos nos intervalos apresentados a seguir: 3 3 e e e 3 3. (5.21) As figuras 5.12 a 5.14 apresentam gráficas dos pontos estimados para a geração da superfície de resposta e a gráfica da superfície de resposta gerada, para cada uma das três combinações propostas. Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias e.

95 95 Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias e. Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias e. Partindo das superfícies de resposta geradas são estabelecidas as funções de falha segundo a equação 5.22, como a seguir:, Θ, 10, Θ, 10, Θ, 10 (5.22)

96 96 A figura 5.15 mostra a variação do índice de confiabilidade utilizada o método de Monte Carlo via superfície de resposta. Observa-se na figura 5.15 que à geração de superfície de resposta utilizando a combinação de - é a que fornece resultados mais críticos de, já a combinação de - desenvolve resultados altamente conservadores, pois os valores de se distanciam do valor critico de 2.0. Figura Índice de confiabilidade, para diversas combinações na geração da superfície de resposta de duas variáveis aleatórias Análise de Confiabilidade Via Uso do Método de Elementos Finitos e Superfície de Resposta Neste item é realizada a análise de confiabilidade do talude infinito considerando uma geometria bidimensional e o Método de Elementos Finitos para sua discretização. A figura 5.16 apresenta o modelo de elementos finitos utilizado

97 97 na análise do talude infinito 2D. É gerada uma malha de elementos finitos com 880 elementos e 972 nós. Um processo de infiltração de chuva é simulado para 16 mm/h durante 24 e mais 12 mm/h por outras 24 horas. Figura Talude infinito modelo bidimensional. Seguindo o diagrama de fluxo (figura 5.11) é realizada a análise limite, para a determinação dos fatores de segurança ao colapso. Na análise limite é utilizado como critério de resistência o proposto por Fredlund et al. (1978) formulado como uma extensão do critério de Mohr Coulomb (equação 2.11). Neste exemplo são considerados como variáveis aleatórias os parâmetros de resistência coesão efetiva ( ) e o ângulo de atrito efetiva (. A análise é realizada controlando a frente de umedecimento, são realizados cálculos de análise limite e análise de confiabilidade a cada 0,10 m de solo saturado. As propriedades das variáveis aleatórias estão dadas na tabela 5.4.

98 98 Tabela 5.4 Propriedades das variáveis aleatórias. Variável Média Coeficiente de variação 40 0,035 2,93 kpa 0,39 A função de falha é estabelecida para as variáveis aleatórias e. Assim:, Θ, 10 (5.23) A superfície de resposta (Θ, ) é gerada utilizando 25 combinações de e, os intervalos destas cominações são: e São geradas superfícies de resposta a cada frente de umedecimento estudado na análise de confiabilidade. Em cada superfície de resposta e para cada profundidade do frente de umedecimento é utilizada os métodos de Monte Carlo e FORM para estabelecer o a variação do índice de confiabilidade. A figura 5.17 mostra os 25 pontos calculados pela análise limite e desenha da superfície de resposta, estas figuras são para uma profundidade de 0,4 m da frente de umedecimento. Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; do talude bidimensional na profundidade de 0,4 m da frente de umedecimento.

99 99 A figura 5.18 mostra os resultados obtidos na determinação do índice de confiabilidade ; são utilizados os métodos de Monte Carlo e FORM via superfície de resposta e comparados com os resultados obtidos em Gavin e Xue (2009). Como se pode observar na figura 5.18 quando a frente de umedecimento atinge os 0,5 m, o índice de confiabilidade previsto pelo método de Monte Carlo diminui a 2, assim, o desempenho do talude pode ser descrito como pobre de acordo com a United States Army Corps Engineers (USACE, 1999). A profundidade na qual a falha aconteceu no campo é de 0,5 m, como mostrado em, Springman et al. (2003). Figura Índice de confiabilidade, talude infinito bidimensional.

100 6 Exemplos de Aplicação Neste capítulo são apresentados exemplos elaborados para que todas as propostas teóricas descritas nos capítulos 2, 3 e 4 sejam validadas. Programas em linguagem MATLAB foram desenvolvidos para o estudo da estabilidade de taludes. Um programa foi gerado para a determinação da variação da sução em solos não saturado; outro código numérico foi desenvolvido para a solução do problema de Análise Limite no espaço cônico quadrático, e finalmente um último programa foi também escrito em MATLAB para a determinação do índice de confiabilidade. Para a geração de malhas de elementos finitos utilizados nos exemplos de aplicação é utilizado o programa de pré-processamento GID. Para visualização dos resultados foram utilizados diversos comandos do programa MATLAB Encosta de Coos Bay O primeiro exemplo de aplicação é a encosta de Coss Bay, este problema é apresentado no trabalho de Borja et al. (2010 e 2012). O exemplo consiste no estudo do deslizamento acontecido no campo experimental instrumentado, Coos Bay (CB), que era um laboratório em grande escala utilizado para a realização de experimentos hidrológicos. O talude CB sofreu deslizamentos, devido a uma forte chuva acontecida em novembro de O solo superficial da encosta é um colúvio, derivada do intemperismo da rocha localizado a apenas 1,5 2 m de profundidade. A figura 6.1 apresenta à geometria da encosta CB. A região em verde corresponde a solo coluvionar e a cinza corresponde à rocha.

101 101 Altura [m] Figura 6.1 Geometria da encosta Coos Bay. A malha de elementos finitos utilizada é apresentada na figura 6.2, com 3624 elementos e 4086 nós. Figura 6.2 Seção da malha de elementos finitos da encosta Coos Bay.

102 102 O solo não saturado é submetido a uma frente de umedecimento devido à chuva. É assumido fluxo nas regiões saturadas e não saturadas, estas são regidas pela curva de característica que utiliza o modelo de van Genuchten para definir a relação entre sucção e umidade volumétrica assim como a relação sucção e a condutividade hidráulica. As condições de contorno da encosta Coss Bay são: a borda inferior no contato solo-rocha é considerada como impermeável (fluxo de água igual a zero), na borda lateral na parte superior a condição de borda assumida é impermeável, no pé do talude a condição de contorno é de fluxo zero quando a borda está não saturada e de carga de pressão zero quando saturada (seepage face) e na borda superior a condição de contorno é de precipitação prescrita. A condição inicial da encosta é considerada constante em toda a geometria, o valor da carga de pressão inicial é de -1,5 kpa, a condutividade hidraulica saturada foi assumida de 1.3 m/h. As curvas característica e a de condutividade hidráulica do solo no talude estão apresentadas na figura 6.3. Umidade Volumétrica [-] Carga de Pressão [m] Condutividade Hidráulica [m/h] 1E+001 1E+000 1E-001 1E-002 1E-003 1E-004 1E-005 1E-006 1E-007 1E-008 1E-009 1E-010 1E-011 1E-012 1E-013 1E Carga de Pressão [m] Figura 6.3 Curvas característica e de condutividade hidráulica. A Figura 6.4 mostra o histograma de precipitações da encosta CB e a do o aeroporto de Oregon que se localiza nas proximidades, durante a semana de chuvas intensas.

103 103 Figura 6.4 Histograma da precipitação acontecida na encosta CB em 1996 (Adaptado de Borja et al., 2012). O histograma de precipitações mostrado na Figura 6.4 indica uma taxa de precipitação máxima de 40 mm/h. Considerando que ignoramos os efeitos da geometria tridimensional nas simulações, Borja et al. (2012) considerou três cenários simplificados de precipitações que correspondem ao histograma apresentado na Figura 6.4. Também foram investigadas diversas condições de contorno na análise de fluxo saturado não saturado, isto é, a possibilidade de utilizar a condição de borda do tipo seepage face ao longo de um segmento no contato solo-rocha para verificar seu efeito sobre a estabilidade do talude. Os três cenarios de precipitações propostos por Borja et al. (2012) são apresentados a seguir: o primeiro cenário é uma sequência de chuvas uniformes de 6 mm/h durante as primeiras 24h, seguido de uma chuva de 40 mm/h por mais 1,7 h; o segundo cenário considera uma precipitação em 14 mm/h para 13,6 h seguido de outra precipitação de 50mm/h para 2,5 h; o terceiro cenário estabelece uma precipitação de 100 mm/h durante 2,5 h. Borja et al. (2012) investigaram o efeito que produz a presença de rocha fraturada na estabilidade de taludes. Para este fim utilizou-se a condição de contorno que permite o passo da água após saturar o solo (seepage face), esta condição de borda é localizada entre as elevações 265 e 275m. Esta condição de borda foi utilizada somente no terceiro cenário de precipitação. Os resultados da análise de fluxo saturado e não saturado são apresentados a seguir:

104 104 Cenário 1 precipitação de 6 mm/h durante 24 h e mais 40 mm/h por mais 1,7 h. Figura 6.5 Variação da carga de pressão no tempo 24 horas do cenário de precipitações 1. Figura 6.6 Variação da carga de pressão no tempo 25.7 horas do cenário de precipitações 1.

105 105 Cenário 2: precipitação de 14 mm/h durante 13,6 h e 50 mm/h por mais 2,5 h. Figura 6.7 Variação da carga de pressão no tempo 13.6 horas do do cenário de precipitações 2.. Figura 6.8 Variação da carga de pressão no tempo 16.1 horas do cenário de precipitações 2.

106 106 Cenário 3, precipitação de 100 mm/h durante 2,5 h, e considerando ainda a condição de contorno de seepage face na região indicada na figura 6.9. Figura 6.9 Variação da carga de pressão no tempo 2.5 horas do caso 3. A partir dos resultados obtidos na análise de fluxo e conjuntamente com os parâmetros de resistência do solo é realizada a análise determinística utilizando a análise limite no espaço cônico quadrático. Os parâmetros de resistência utilizados foram obtidos em ensaios de laboratório descritos em Borja et al. (2010 e 2012). A coesão tem o valor de 4 kpa e o ângulo de atrito igual a 40, ainda um ângulo igual a 15 é sugerido em Borja et al. (2012). Borja et al. (2012) empregam dois métodos de análise de estabilidade de taludes: O método de Spencer e o método de Bishop modificado. Borja et al. (2012) utilizaram o programa comercial SLOPE / W para procurar a superfície de ruptura mais crítica e calcular o fator de segurança correspondente. Neste trabalho são determinados os fatores de segurança ao colapso (FS) utilizando o método de análise limite no espaço cônico quadrático. Na análise limite a condição de resistência considerada é o critério de resistência em solos

107 107 não saturados formulado por Fredlund et al. (1978) (equação 2.11). Também é utilizada a técnica de redução de progressiva (ver o item 4.8.1) proposto por Zienkievicz (1975) para os parâmetros de resistência e. A seguir são apresentados os resultados dos FS obtidos utilizando a Análise Limite no espaço cônico quadrático. Esses resultados são então comparados com os encontrados em Borja et al. (2012). Tabela 6.1 Resultados da Análise Limite para o cenário de precipitação 1. Cenário de precipitação 1 Tempo = 24 h Tempo = 1.7 h 6 mm/h 40 mm/h Método de Equilíbrio Limite (Borja, 2012) Método de Análise Limite no espaço cónico quadrárico Tabela 6.2 Resultados do Análise Limite para o cenário de precipitação 2. Cenário de precipitação 2 Tempo = 13.6 h Tempo = 2.5 h 14 mm/h 50 mm/h Metodo de Equilibrio Limite (Borja, 2012) Método de Análise Limite no espaço cónico quadrárico Tabela 6.3 Resultados do Análise Limite para o cenário de precipitação 3. Cenário de precipitação 3 Tempo = 2.5 h 100 mm/h Método de Equilibrio Limite (Borja, 2012) Método de Análise Limite no espaço conico quadrarico. 1.06

108 108 A seguir é realizada a análise de confiabilidade com o objetivo de determinar o índice de confiabilidade β nos três casos propostos. A função de falha é estabelecida para as variáveis aleatórias e. Assim:, Θ, 10. As propriedades do desvio padrão das variáveis aleatórias são adotadas pelo que é sugerido pela JCSS (2006), apresentadas na tabela 6.4 a seguir: Tabela Desvios padrões indicativos das propriedades do solo (Adaptado de JCSS, 2006). Propriedade do solo Desvio padrão [% do valor médio esperado] Peso específico [kn/m 3 ] 5 10 % Ângulo de atrito ( ) [ ] % Coesão ( ) [kn/m 2 ] % Então, as propriedades das variáveis aleatórias e são: Tabela Propriedades das variáveis aleatórias da encosta Coos Bay. Variável Média Desvio padrão 40 10% 4,0 kpa 20% Utilizando as propriedades da Tabela 6.5 são geradas 25 combinações de e, nos intervalos 2 2 e 2 2. Para cada uma das combinações de e é calculado o fator de segurança ao colapso. Com os 25 fatores de segurança é gerada a superfície de resposta, estabeleciendo a superfície de resposta como função de falha é calculado os íindices de confiabilidade os métodos de Monte Carlo e FORM ( first order reliability method ). O procedimento descrito acima é repetido para cada um dos cenários de precipitações.

109 109 A figura 6.10a apresenta o gráfico dos pontos de fatores de segurança estimados que são necessários para a geração da superfície de resposta 6.10b ilustra o gráfico da superfície de resposta gerada. Figura 6.10 (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias e. As tabelas a seguir apresentam os resultados da análise de confiabilidade via superfície de resposta para os três cenários de precipitações analisados na encosta Coos Bay. Tabela Resultado da análise de confiabilidade do caso 1. Método Tempo Índice de Confiabilidade () Monte Carlo 24 h 2,43 Monte Carlo 25,7 h 2,21 FORM 24 h 2,50 FORM 25,7 h 2,22

110 110 Tabela Resultado da análise de confiabilidade do caso 2. Método Tempo Índice de Confiabilidade () Monte Carlo 13,6 h 2,05 Monte Carlo 16,1 h 0,00 FORM 13,6 h 2,11 FORM 16,1 h 0,00 Tabela Resultado da análise de confiabilidade do caso 3. Método Tempo Índice de Confiabilidade () Monte Carlo 2,5 h 2.03 FORM 2,5 h 1, Encosta da Vista Chinesa Posicionado entre o mar e as montanhas, a cidade do Rio de Janeiro tem sofrido no seu passado, uma série deslizamentos e escorregamentos, nos períodos mais intensos de chuvas, em especial no período de chuva de verão. Um dos incidentes mais significativos ocorreu nos anos de maior índice pluviométrico, no mês de fevereiro do ano de O escorregamento da Vista Chinesa. A Vista Chinesa situa-se dentro do atual Parque Nacional da Tijuca, na vertente marítima da Serra da Carioca, que juntamente com a Serra da Tijuca, compõem o maciço da Tijuca, localizado a sudoeste do município do Rio de Janeiro. A geologia local é formada basicamente por biotita-gnaisse, gnaisse facoidal, quartizitos. As camadas superficiais são formadas predominantemente por depósitos de solos coluvionais e residuais. A figura 6.11 apresenta a geometria da encosta da vista Chinesa. A região em verde corresponde ao solo coluvio, a amarela corresponde ao solo residual e a cinza corresponde à rocha.

111 Distância [m] Figura 6.11 Perfil geotécnico e geométrico da encosta da vista Chinesa. A malha de elementos finitos utilizada é apresentada na figura Foram gerados 5060 elementos e 5334 nós. Figura 6.12 Seção da malha de elementos finitos da encosta da vista Chinesa.

112 112 Do ponto de vista climático, a área se caracteriza como sendo de clima tropical quente e úmido, com elevada pluviosidade. O semestre mais chuvoso, representado pelos meses de novembro, dezembro, janeiro, fevereiro, março e abril, concentram cerca de 70% a 80% da pluviometria anual. No verão de 1988 entre os dias 18 e 22 do mês de fevereiro ocorreram inúmeros escorregamentos na Floresta da Tijuca devido as fortes chuvas que castigaram a Cidade de Rio de Janeiro (Soares, 1999). A figura 6.13 apresenta o comportamento diário acumulado das chuvas em fevereiro de No período ocorreram alturas pluviométricas diárias superiores a 60 mm nos dias e 22, chegando-se a registrar no dia 20 de fevereiro um valor de 178 mm de chuvas. Precipitação [mm/d] Tempo [d] Figura 6.13 Histograma da precipitação acontecida na encosta da vista Chinesa em 1988 (Adaptado de Velloso, 2007). Para estabelecer os parâmetros necessários para a determinação da curva característica foram utilizadas as relações sucção-umidade obtidas por Delgado (1993). Estas relações foram obtidas com o equipamento de placa de pressão desenvolvido na PUC-Rio, os materiais coluvio amarelo e coluvio vermelho foram considerados de coluvio e os solos residual vermelho e residual amarelo, considerados apenas de um unico solo residual.

113 113 Tabela Propriedades hidráulicas dos solos da vista Chinesa (Velloso, 2007). Materiais [ ] [ ] [m 1 ] n [ ] Coluvio 0,20 0,53 7,00 1,68 Residual 0,10 0,49 3,50 1,40 Rocha (1993) determinou a condutividade hidráulica saturada dos materiais em laboratório, a partir de amostras cilíndricas e indeformadas, e em ensaios "in situ". Os valores de condutividade hidráulica saturada utilizados nas análises de fluxo foram: colúvio: k s = 1.0 x 10-3 cm/s residual: k s = 4.4 x 10-3 cm/s As curvas características utilizadas são apresentadas nas figuras a seguir: Figura 6.14 Curvas características (a) solo coluvionar e (b) solo residual (Adaptado de Velloso, 2007). A encosta é submetida à chuva durante 22 dias. As precipitações estão indicadas na figura A condição de contorno na borda superior é de fluxo prescrito, ou seja, a precipitação.. No contato solo-rocha a condição de contorno é considerada como impermeável. No talude é considerado uma sucção inicial, de 48 kpa no coluvio e uma sucção de 60 kpa no solo residual. Os resultados da análise de fluxo saturado e não saturado são apresentados a seguir:

114 114 Figura 6.15 Variação da carga de pressão no dia 3 de precipitação. Figura 6.16 Variação da carga de pressão no dia 5 de precipitação.

115 115 Figura 6.17 Variação da carga de pressão no dia 12 de precipitação. Figura 6.18 Variação da carga de pressão no dia 18 de precipitação.

116 116 Figura 6.19 Variação da carga de pressão no dia 22 de precipitação. Delgado (1993) determinou os parâmetros de resistência para solos saturados e não saturados, todos os ensaios foram realizados sobre amostras submersas, os resultados destes ensaios estão apresentados na tabela a seguir: Tabela Propriedades de resistência da encosta da Vista Chinesa. Materiais Coesão [kpa] Ângulo de atrito [ ] Coluvio 5,50 26 Residual 11,00 29 Velloso (2007) considerou como sendo 26 graus o ângulo b para o coluvio, pois o intervalo de sucção nas análises é de 0 a 50 kpa. Para o solo residual o ângulo adotado é 29 graus. Como no exemplo 6.1 a condição de resistência da análise limite é o critério de resistência em solos não saturados formulado por Fredlund et al. (1978) (equação 2.11). Também é utilizada a técnica de redução de progressiva (ver o item 4.8.1) para os parâmetros de resistência e.

117 117 Os resultados da variação do fator de segurança ao colapso (FS) determinado utilizando análise limite no espaço cônico quadrático, durante os 22 dias de precipitação é apresentado na figura Velloso (2007) realizou a mesma análise utilizando o programa numérico SLOPE-W, na figura (6.20) são incluídos os fatores de segurança obtidos por Velloso (2007) que utiliza o método de equilíbrio limite. As diferenças observadas entre os resultados de Velloso (2007) e os fatores de segurança ao colapso (FS) obtidos utilizando a análise limite entre os dias 8, 9, 10, 11 e 12; podem ser devido a comparação entre dois métodos diferentes (Equilíbrio Limite e Análise Limite). Vale lembrar também que o resultado de Velloso (2007) corresponde a uma superfície de ruptura geometricamente limitada; já o resultado da análise limite considera a geometria total da encosta. Outros aspectos a serem considerados são as malhas de elementos finitos utilizadas na análise de fluxo, pois a malha de elementos finitos da análise de fluxo de Velloso (2007) é inferior em numero comparada com a utilizada no presente trabalho. Também se devem verificar alguns parâmetros da análise de fluxo, sobretudo os parâmetros empíricos da curva característica do modelo de Van Genutchen ( e n). Finalmente outro parâmetro a ser revisado deve ser o grau de saturação dos solos, pois este limita a presença do solo saturado no modelo.

118 118 Figura 6.20 (a) Resultados do fator de segurança oa colapso (FS) da encosta da Vista Chinesa e (b) variação da carga de pressão no tempo. A seguir é realizada a análise de confiabilidade da encosta da Vista Chinesa. As variáveis consideradas como aleatórias são a coesão no solo coluvionar ( ) e a coesão no solo residual ( ). Isto porque na metodologia apresentada são consideradas somente duas variáveis aleatórias. Como pode ser observado no item o parâmetro de maior importância dentre todos os parâmetros de resistência é a coesão. As propriedades estatísticas das variáveis aleatórias são apresentadas na tabela Tabela Propriedades das variáveis aleatórias da encosta da Vista Chinesa. Variável Média Desvio padrão coluvio 5,5 kpa 15% residual 11,0 kpa 10%

119 119 As funções de falha necessárias para a utilização dos métodos de Monte Carlo e FORM são geradas mediante a técnica de superfície de resposta. As funções de falha para as variáveis aleatórias e têm a forma:, Θ, 10. Foram geradas superficies de resposta para cada um dos 22 dias de infiltração de chuva, cada uma das superficie de resposta possui 25 pontos que correspondem a fatores de segurança ao colapso (FS). Cada um dos 25 fatores de segurança ao colapso (FS) corresponde ao resultado da análise limite para uma combinação das variáveis aleatórias e. Os intervalos de e considerados são: e A figura 6.21 mostra os 25 pontos estimados para a geração da superfície em função de e e o gráfico da superfície de resposta gerada. A superfície de resposta apresentada corresponde ao dia de simulação 18. Figura (a) Pontos da superfície de resposta, (b) superfície de resposta aproximada; para as variáveis aleatórias e. Cada uma das superfícies de resposta são avaliadas utilizando métodos de Monte Carlo e FORM ( first order reliability method ) para estabelecer os índices de confiabilidade. A figura a 6.23 apresenta os resultados da análise de confiabilidade via superfície de resposta da encosta da Vista Chinesa, quando utilizados os métodos de Monte Carlo e FORM.

120 120 Figura 6.22 (a) Resultados do da encosta da Vista Chinesa comparado com os (b) Fatores de segurança aso colapso (FS) via análise limite e (c) variação da carga de pressão no tempo. Para os dias 19, 20, 21 e 22 os valores do índice de confiabilidade foram muito menores que dois e próximos à zero. Pressupõe-se, que isso aconteça porque os valores de FS nestes dias são menores que 1. Produzindo superfícies de resposta