Aplicação da Transformada Wavelet para Melhoria de Visualização de Microcalcificações em Mamografias Digitais

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1 Aplicação da Transformada Wavelet para Melhoria de Visualização de Microcalcificações em Mamografias Digitais T.A. Dócusse 1, A.S. Pereira 1, N. Marranghello 1, R.C. Guido, J.R. Furlani 1, P.S. Maturana 1, R.P. Romano 1 1 UNESP Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho São José do Rio Preto SP USP Universidade de São Paulo São Carlos SP tda@webmail.ibilce.unesp.br, tiagodocusse@yahoo.com.br Abstract Mammograms are breast images that can contain microcalcifications objects that can be the only signal of cancer. As they are high frequency components of the image, instead of using operations in the spatial domain, it's possible to use operations in the frequency domain in order to enhance these elements. By using the Wavelet transform one can remove the low frequency subband of the image and then reconstruct it, enhancing only the high frequency sub-bands, and consequently, the microcalcifications. 1. Introdução O câncer de mama é o tipo de câncer que apresenta o maior índice de mortalidade entre mulheres acima de 4 anos no Brasil [8]. Reconhecidamente, as melhores formas de diminuir esse alto número de mortalidade são a detecção e o tratamento precoce dessa doença [11]. Uma das formas de detectar tumores em mamas é através da análise de microcalcificações minúsculas calcificações associadas aos tumores que, dependendo da quantidade e forma que aparecem na mama, podem representar a presença ou ausência de tumor ou até mesmo classificá-lo em maligno ou não maligno [7]. A visualização das microcalcificações, porém, não é uma tarefa simples. Radiologistas treinados e com experiência podem, após a análise de uma grande quantidade de mamografias, perder a eficácia de análise devido ao estresse e ao cansaço visual, o que compromete os diagnósticos dessas imagens [15]. Ferramentas computadorizadas de auxílio ao diagnóstico CAD (Computer-Aided Diagnosis) têm sido desenvolvidas com o objetivo de auxiliar radiologistas na visualização de microcalcificações em mamografias digitais [14]. Neste trabalho é apresentada uma abordagem com essa finalidade.. Mamografias digitais As mamografias digitais são imagens digitalizadas obtidas ao prensar a mama em um aparelho, o qual emite raios-x que atravessam a mama e formam uma imagem digital de acordo com a forma com que os raios passam através da mama. A essa imagem gerada dáse o nome de mamografia digital [7]. Uma das principais dificuldades na visualização de microcalcificações em mamografias digitais é que elas possuem baixo contraste em relação ao tecido da mama que as cercam, o que prejudica a observação visual das mesmas [9],[1]. Uma das características das microcalcificações é que elas são componentes de alta freqüência da imagem [6]. Para realizar o realce desses elementos pode ser aplicado um filtro passa-alta (que permite apenas a passagem de componentes de alta freqüência) no domínio espacial da imagem domínio onde se trabalha com os elementos que formam uma imagem, os pixels fazendo a convolução da imagem com uma matriz que responda apenas a altas freqüências [1]. Um exemplo da utilização desse método pode ser visto na figura (1), onde é feita a convolução da figura (1.a) com a matriz Z= [ 4 ], que resulta na figura (1.b). Figura 1 a) Imagem original, b) Imagem resultante. Apesar de realçar alguns objetos, pode-se

2 perceber que a imagem resultante apresenta vários artefatos e ruídos, o que não contribui para um auxílio visual de imagens.. Outra forma de realçar apenas os componentes formados por altas freqüências em uma imagem é utilizar transformadas, que como o próprio nome diz, transformam uma imagem do domínio espacial para o domínio da freqüência [1]. No domínio da freqüência, deve-se zerar os componentes da imagem que possuem baixa freqüência e retornar a imagem ao domínio espacial. A transformada de Fourier é uma das transformadas mais utilizadas em processamento de imagens e pode ser utilizada para realizar a filtragem passa-alta desejada. No entanto, ela possui resolução tempo-freqüência fixa, ou seja, uma vez que um sinal é decomposto utilizando uma determinada resolução, não é possível determinar o local onde as freqüências aparecem no sinal original [3]. Essa limitação da transformada de Fourier pode ser contornada utilizando a transformada de Fourier cascateável (Windowed Fourier Transform WFT), onde o sinal é dividido em intervalos menores e a transformada é então aplicada em cada um desses intervalos. Assim, se a freqüência desejada aparecer em um desses intervalos é possível saber em qual parte do sinal acontece aquela freqüência. Apesar de resolver o problema de resolução tempo-freqüência, é necessário decidir o tamanho do intervalo a ser utilizado para decompor o sinal. Essa decisão não é fácil, pois se um intervalo muito pequeno é escolhido a transformada gasta muito tempo para ser computada, e se o intervalo escolhido for relativamente grande, volta-se ao problema da transformada original de Fourier de não saber onde as freqüências ocorrem. Assim, a escolha do tamanho do intervalo varia conforme o sinal e as informações que se deseja obter do mesmo, o que dificulta a utilização da WFT [3]. Outra forma de realizar a filtragem desejada é utilizar outra transformada ao invés da transformada de Fourier. A transformada Wavelet, assim como a transformada de Fourier, opera no domínio da freqüência, porém, ela não possui resolução tempo-freqüência fixa [3], o que pode auxiliar o processo de realce das microcalcificações. 3. Transformada Wavelet O conhecimento atual sobre a transformada Wavelet surgiu através do estudo de várias áreas da ciência, como a matemática, física, engenharia, etc [3]. A transformada Wavelet divide um sinal em componentes de freqüências diferentes, permitindo a análise deles de acordo com a sua escala [3]. Assim como a transformada de Fourier, que decompõe um sinal em termos de senos e cossenos, a transformada Wavelet também um sinal em termos de funções chamadas Wavelets, que são funções obtidas através de dilatações e translações de uma função inicial, denominada Wavelet mãe [3]. Ao contrário da transformada de Fourier, onde as mesmas funções de análise são aplicadas ao longo do sinal a ser analisado, as Wavelets possuem comprimentos que variam de acordo com a freqüência a ser analisada. A análise de componentes de altas freqüências é feita através de Wavelets curtas, que possuem melhores respostas a componentes de altas freqüências, enquanto Wavelets mais longas são utilizadas na detecção de componentes de baixas freqüências. Assim, as Wavelets se adaptam a cada ponto do sinal ao longo da aplicação da transformada [3]. As Wavelets dilatadas e transladadas a partir da Wavelet mãe podem ser escritas como na equação (1) []: a, b t = 1 a t b a, (1) onde t representa a Wavelet mãe e as variáveis a e b correspondem, respectivamente, aos parâmetros de dilatação e translação da Wavelet mãe. Assim, uma fórmula geral para a transformada Wavelet pode ser dada pela equação () []: T a,b = x t a,b t dt, () onde x t é o sinal a ser transformado. Ao restringir os valores de a e b para valores discretos, a=a m e b=nb a m, onde as variáveis n e m são, respectivamente, os parâmetros responsáveis pela dilatação e translação da Wavelet, pode-se reescrever a equação (1) como a equação (3) []: m, n t = 1 a t nb m a, m m (3) a e assim, reescrever a equação () como a equação (4) []: 1 T m,n = x t a t m a nb m dt, (4) Os valores obtidos na aplicação da equação (4) são chamados coeficientes Wavelet, ou coeficientes de detalhes []. A cada Wavelet utilizada na equação (4) estão associadas funções denominadas funções escalares, que são versões dilatadas e transladadas de uma função escalar pai, e podem ser escritas como na equação (5) []: m,n t = 1 t m m n, (5) onde, t = t é a função escalar pai. Pode-se convoluir o sinal original com as funções escalares de acordo com a equação (6) []: S m,n = x t m, n t dt, (6) onde os coeficientes gerados são chamados coeficientes de aproximação [].

3 Uma característica importante da transformada Wavelet é a análise multiresolução. Ao aplicar a transformada, gera-se um novo sinal contendo duas subbandas, uma de baixa freqüência (contendo os coeficientes de aproximação) e uma de alta freqüência (contendo os coeficientes de detalhes). A sub-banda de baixa freqüência representa uma versão suavizada do sinal original, enquanto a sub-banda de alta-freqüência representa os detalhes do sinal original. Pode-se aplicar a transformada novamente no sinal suavizado enquanto ele for divisível por dois, e assim, obtêm-se as sub-bandas de baixas e altas freqüências nas escalas desejadas []. Um exemplo da decomposição utilizando a transformada Wavelet pode ser visto na figura (). Sm LP S m + 1 LP S m + T m + 1 Figura Análise multiresolução. T m + onde LP representa um filtro passa baixa (low pass), representa um filtro passa alta (high pass), S m é o sinal original à escala m, S m x o sinal suavizado à escala m+x e T m x o sinal de detalhes à escala m+x, onde 1 x. O sinal representa o downsampling do sinal por dois, ou seja, representa que o sinal teve sua taxa de amostragem reduzida pela metade [1]. Para aplicar a transformada Wavelet é necessária a escolha da Wavelet mãe da qual as Wavelets serão dilatadas e transladadas ao longo da transformação. Diversas Wavelets mães foram propostas na literatura e a sua escolha deve ser realizada de acordo com a natureza do sinal ao qual a transformada será aplicada. Dentre as Wavelets mães mais conhecidas, pode-se destacar as Wavelets de Daubechies e as Symmlets. A escolha da Wavelet mãe deve ser feita de acordo com a aplicação, pois ao reconstruir o sinal original escreve-se o sinal resultante como uma combinação linear da Wavelet mãe e da função escalar pai [13]. A figura (3) mostra alguns exemplos de Wavelets mãe e funções escalares pai. Através dela é possível perceber que Daubechies4 possui a Wavelet mãe e função escalar pai com formas menos suavizadas que Daubechies. Assim, ao reconstruir o sinal como combinação linear dessas funções, as altas freqüências são mais realçadas utilizando Daubechies4 que Daubechies. (c) Figura 3 a) Wavelet mãe de Daubechies4, b) Função escalar pai de Daubechies4, c) Wavelet mãe de Daubechies, d) Função escalar pai de Daubechies - [], p. 15. Para aplicar a transformada Wavelet em uma imagem basta aplicá-la primeiramente em suas linhas e depois em suas colunas, obtendo assim a imagem no domínio da freqüência [4]. Nesse processo são geradas quatro novas imagens: uma contendo uma versão suavizada da imagem, uma contendo os detalhes horizontais, uma contendo os detalhes verticais e uma contendo os detalhes diagonais, conforme esquematizado na figura (4). Sm LP S LP m + 1 S m + T h m + 1 T v m + 1 T d m+ 1 T d m+ Figura 4 Análise multiresolução de uma imagem. onde S m representa a imagem original à escala m, S m x a imagem suavizada à escala m+x, h T m x a imagem com detalhes horizontais à escala m+x, v T m x a imagem com detalhes verticais à escala m+x e d T m x a imagem com detalhes diagonais à escala m+x, e 1 x. A decomposição Wavelet de uma imagem pode também ser representada conforme a figura (5). T h m + T v m +

4 S S1 T1 v S T h T v T d T1 v possuem alta freqüência na imagem (7.d). T1 h T1 d T1 h T1 d Figura 5 Decomposição Wavelet de uma imagem. Ao observar a figura (5) deve-se notar que os componentes de baixa freqüência ficam localizados no canto superior esquerdo da imagem (submatriz S), e o restante da imagem é formada por componentes de alta freqüência (submatrizes T). Um exemplo da aplicação da transformada Wavelet pode ser visto na figura (6). (c) Figura 7 a) Imagem original, disponível em [5], b) Decomposição Wavelet nível, c) Decomposição Wavelet nível com sub-banda de baixas freqüências zerada, d) Reconstrução Wavelet da figura 7.c. 4. Aplicação (c) Figura 6 a) Lenna, disponível em [5], b) Decomposição Wavelet nível 1, c) Decomposição Wavelet nível, d) Decomposição Wavelet nível 4. Pode-se ver pela figura (6) que quanto maior o nível de decomposição da imagem, maior é a quantidade de componentes de alta freqüência encontrados na imagem. Para eliminar as baixas freqüências, basta zerar a imagem do canto superior esquerdo e reconstruir a imagem resultante. A figura (7) mostra um exemplo da decomposição Wavelet de uma imagem até o nível (7.b). No domínio Wavelet a sub-banda de baixa freqüência é eliminada ao zerar a matriz do canto superior esquerdo (7.c). Após a eliminação dos componentes de baixa freqüência a imagem é reconstruída, obtendo-se uma imagem composta apenas pelos elementos que Para realizar o trabalho de realçar as microcalcificações em mamografias digitais, o princípio da abordagem proposta é baseado no fato de que as microcalcificações são objetos que possuem alta freqüência na imagem. Um esquema de como funciona a abordagem é mostrado na figura (8) e explicado a seguir: Figura 8 Esquema de aplicação Inicialmente, a imagem é lida e decomposta em quatro níveis utilizando a transformada Wavelet. São utilizadas duas Wavelets mãe separadamente: Daubechies4 e Symmlets4, pois elas apresentam melhores respostas para pixels de alta freqüência quando comparadas a outras Wavelets [16]. Decompondo até o nível quatro separa-se 99,61% dos componentes de alta

5 freqüência da imagem, já que ao final da decomposição o único componente de baixa freqüência possui 16 vezes menos linhas e 16 vezes menos colunas se comparado à imagem original, ou seja, ele possui área equivalente a 1 = 1 da área da imagem original. Como todo o restante da imagem é formado por componentes de alta 55 freqüência, ele possui área equivalente a = da área da imagem original, o que equivale a 99,61% dos componentes da imagem. Após a decomposição, a sub-banda de baixa freqüência é zerada de forma a suprimir as baixas freqüências da imagem, e a imagem então é reconstruída e visualizada. Ambas Wavelets utilizadas (D4 e S4) são aplicadas separadamente em imagens de cortes de mamografias com resolução 1x1 pixels, para verificar se alguma delas apresenta vantagem em relação à outra. Após a reconstrução da imagem, uma nova imagem é gerada somando a imagem original com a imagem reconstruída. Como a imagem reconstruída é formada pelo resultado da reconstrução dos componentes de alta freqüência da imagem, a soma dela com a imagem original tende a possuir os componentes formados por altas freqüências realçados. A abordagem foi implementada utilizando o software Scilab e posteriormente convertida para a linguagem Java. 5. Resultados As figuras (9) a (1) mostram o resultado da aplicação da implementação desenvolvida. Em todas as figuras mencionadas, a imagem a é a imagem original, a imagem b é a imagem original com as sub-bandas de alta freqüência reconstruídas por Daubechies4, a imagem c é resultante da soma das imagens a e b, a imagem d é a imagem original com as sub-bandas de alta freqüência reconstruídas por Symmlets4, e a imagem e é resultante da soma das imagens a e d. Percebe-se na figura (9) que a aplicação tanto de Daubechies4 quanto de Symmlets4 consegue separar os componentes de alta freqüência da imagem. Ao somar a imagem original com a imagem resultante, obtem-se uma imagem onde as microcalcificações estão mais nítidas em relação à imagem original. Figura 1 Resultado A figura (1) também mostra que ambas as aplicações de Daubechies4 e Symmlets4 separam as microcalcificações do tecido da mama, e ao somá-las com a imagem original, apresentam as microcalcificações realçadas se comparadas à imagem original, o que também pode ser visto nas figuras (11) e (1). Figura 11 Resultado 3 Figura 9 Resultado 1

6 3. DAUBECHIES I., Ten Lectures on Wavelets, Editora SIAM, WALKER, J.S., A primer on Wavelets and their Scientific Applications, Editora CHAPMAN & HALL/CRC, Wikimedia Foundation, Standart test image Wikipedia, the free encyclopledia Disponível em: < Acesso em 14/1/6. 6. AKAY Metin, Time Frequency and Wavelets in Biomedical Signal Processing, Editora IEEE PRESS, Figura 1 Resultado 4 Os resultados mostram que a tarefa de realçar as microcalcificações em mamografias digitais é possível de ser alcançada utilizando a transformada Wavelet. Apesar da aplicação de duas Wavelets mães diferentes, não foram percebidas diferenças visuais na aplicação de ambas. As microcalcificações foram realçadas, o que pode ser visto pelas figuras de (9) a (1), porém, pode-se observar visualmente que alguns falso-positivos também foram realçados. 6. Conclusão Foi apresentada uma abordagem para o realce de microcalcificações em mamografias digitais. Ao realçar as microcalcificações é possível auxiliar um radiologista a perceber de modo mais claro a presença desses elementos nas imagens. A implementação da abordagem conseguiu alcançar seu objetivo, porém, algumas características da mesma podem ser melhoradas. Uma possível melhoria é adicionar alguma forma de fazer a redução de falsopositivos, para que a imagem realce apenas, na sua maioria, as microcalcificações, e trabalhar dentro do domínio Wavelet com algum operador para que seja feito o realce das microcalcificações. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer à CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo auxílio financeiro recebido. Referências Bibliográficas 1. GONZALEZ R.C., WOODS R.E., Processamento de Imagens Digitais, Editora Edgard Blücher Ltda., ADDISON P., The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Editora IoP Publishing,. 7. PEREIRA, Aledir S., Processamento de imagens médicas utilizando transformada de Hough Tese (Doutorado em Física computacional) Unicamp, Campinas SP, FERREIRA C.B., BORGES C.L., Automated Mammogram Classification using a Multiresolution Pattern Recognition Approach, Computer Graphics and Image Processing, 1 Proceedings of XIV Brazilian Symposium on, p , out STRICKLAND R.N., HAHN H.I., Wavelet Transform Matched Filters for the Detection and Classification of Microcalcification in Mammography, Image Processing, Proceedings., International Conference on, p. 4-45, out LADO M.J, TAHOCES P.G. et all, A Wavelet-based algorithm for detecting clustered microcalcifications in digital mammograms, Medical Physics, v. 6. n. 7, p , jul HEINLEIN P., DREXL J., SCHNEIDER W., Integrated Wavelet for Enhancement of Microcalcifications in Digital Mammography, IEEE Transactions on medical imaging, v., n. 3, p , mar HAYKIN S., VEEN B. V., Sinais e Sistemas, Editora BOOKMAN, BOLZAN, M.J.A., Análise da transformada em ondeletas aplicada em sinal geofísico, Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 6, n. 1, p , KALLERGI M., Computer-aided diagnosis of mammographic microcalcification cluster, Medical Physics, v. 31, n., p , fev REZAI-RAD, G., JAMARANI, S., Detecting Microcalcification Clusters in Digital Mammograms Using Combination of Wavelet and Neural Network, Proceedings of the Intenational Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, v., p , WANG, T.C., KARAYIANNIS, N.B., Detection of Microcalcifications in Digital Mammograms Using Wavelets, IEEE Transactions on Medical Imaging, v. 17, n. 4, p , ago-1998.