Aplicação de Curvas Fractais em Elementos Convolucionados para o Projeto de FSS Miniaturizada e com Estabilidade Angular

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DA COMPUTAÇÃO Aplicação de Curvas Fractais em Elementos Convolucionados para o Projeto de FSS Miniaturizada e com Estabilidade Angular Vitor Fernandes de Barros Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva Co-orientador: Prof. Dr. Antonio Luis Pereira de Siqueira Campos Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e da Computação da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências. Número de ordem PPgEEC: D200 Natal, RN, junho de 2017

2 Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Sistema de Bibliotecas SISBI Catalogação da Publicação na Fonte Biblioteca Central Zila Mamede Barros, Vitor Fernandes de. Aplicação de curvas fractais em elementos convolucionados para o projeto de FSS miniaturizada e com estabilidade angular / Vitor Fernandes de Barros f. : il. Tese (doutorado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, Orientador: Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira de Siqueira Campos. Coorientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva. 1. Superfícies seletivas em frequência - Tese. 2. Fractalização - Tese. 3. Elementos convolucionados - Tese. 4. Técnicas de miniaturização - Tese. I. Campos, Antonio Luiz Pereira de Siqueira. II. Silva, Sandro Gonçalves da. III. Título. RN/UFRN/BCZM CDU

3 Aplicação de Curvas Fractais em Elementos Convolucionados para o Projeto de FSS Miniaturizada e com Estabilidade Angular Vitor Fernandes de Barros Tese de Doutorado aprovada em 28 de junho de 2017 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (orientador) DCO/UFRN Prof. Dr. Antonio Luiz P. S. Campos (co-orientador) DCO/UFRN Prof. Dr. Ronaldo de Andrade Martins DCO/UFRN Prof. Dr. Alfredo Gomes Neto Examinador externo/ifpb Prof. Dr. Erico Cardinelli Braz Examinador externo/ifrn

4 A minha filha, pela alegria e força que logrou despertar em minha alma.

5 Agradecimentos A Deus, agradeço por permitir-me chegar até aqui. Agradeço o professor Sandro Gonçalves da Silva pelo incentivo contínuo no desenvolvimento do trabalho e o professor e coordenador Antonio Luiz pela compreensão e disponibilidade como co-orientador. À minha esposa Geirly agradeço o apoio incondicional e companheirismo em meus momentos de maior fraqueza e adversidades. Aos colegas Leonardo, André e Avelino agradeço as críticas e sugestões. À CAPES agradeço o apoio financeiro.

6 Resumo Superfícies seletivas em frequência (FSS) têm sido utilizadas em Telecomunicações para os mais variados propósitos, que vão desde a fabricação de antenas de hiper-ganho e de sub-refletores a seu uso como bloqueadores de sinais em presídios. A possibilidade de acoplá-las a antenas de microfita e guias de onda, bem como seu enorme potencial para combater o problema crescente da interferência nos sistemas de comunicação, as tornam ainda mais atrativas para esse mercado. O objetivo desse trabalho é propor e analisar uma FSS de comportamento multibanda, independente de polarização e com estabilidade angular, a qual seja resultante da combinação de diferentes técnicas de miniaturização, tais como a fractalização e o uso de elementos convolucionados, de modo a torná-la mais compacta, leve e eficiente. Para tanto, nessa tese, é previamente conduzido um estudo bibliográfico sobre as FSS e a geometria monofractal. Este trabalho também descreve as principais técnicas de miniaturização disponíveis na literatura, detalhando os efeitos e benefícios de cada uma em relação à resposta da estrutura. Cinco modelos de FSS são escolhidos e, em seguida, cada um deles é devidamente analisado. Para os resultados simulados, utiliza-se o software comercial Ansoft Designer, utilizado para a análise do comportamento eletromagnético da FSS por meio do Método dos Momentos (MoM). Os resultados medidos, por sua vez, são obtidos com um analisador vetorial de redes, modelo Agilent N5230A, e demonstram uma boa concordância com os valores simulados. Verifica-se que, com a aplicação de diferentes técnicas de miniaturização combinadas, é possível obter um fator de miniaturização de até 79,3% no tamanho da FSS. Palavras-chave: Superfícies seletivas de frequência, fractalização, elementos convolucionados, técnicas de miniaturização.

7 Abstract Frequency selective surfaces (FSS) have been used in telecommunications for various purposes ranging from the manufacture of hyper-gain antennas and subrefletors to its use as blocking signals in prisons. The possibility of coupling them to microstrip antennas and waveguides, and its enormous potential to cope with the arising problem of interference within communication systems make them even more attractive to the market. The aim of this study is to describe and analyze a FSS multiband behavior, with independent of polarization and angular stability, which is a result of combining different miniaturization techniques, such as fractalization and the use of convoluted elements, so as to make it more compact, lightweight and efficient. To do so, in this thesis it is previously conducted a bibliographic study of the FSS and monofractal geometry. This work also describes the main miniaturization techniques available in the literature, revealing the effects and benefits of each one with respect to the response of the structure. Five FSS models are chosen and each one is properly analyzed. For the simulated results it s used the commercial software Ansoft Designer, which does an analysis of the electromagnetic behavior of the FSS with the Method of Moments (MoM). The measured results, in turn, are obtained with a network vector analyzer, model Agilent N5230A, and they show a good agreement with the simulated values. It is found that with application of combined miniaturization techniques, it is possible to obtain a miniaturization factor of up to 79.3% in the size of the FSS. Keywords: Frequency selective surfaces, fractalization, convoluted elements, miniaturization techniques.

8 Sumário Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Acrônimos, Símbolos e Siglas i iii vii viii 1 Introdução Organização do texto Superfícies Seletivas em Frequência Histórico Superfícies Seletivas em Frequência Padrões de Elementos em FSS N-polos conectados pelo centro Espiras Elementos de interior sólido Combinações de elementos Grating Lobes Técnicas de Análise Aplicações Geometria Fractal Introdução Dimensão Fractal Dimensão de contagem de caixas Dimensão de Hausdorff-Besicovitch Dimensão de informação Dimensão de correlação Dimensão de similaridade i

9 3.3 Auto-similaridade Auto-similaridade exata Quasi-auto-similaridade Auto-similaridade estatística Auto-similaridade qualitativa Fractais Isotrópicos Conjunto de Cantor Curva de Koch Triângulo de Sierpinski Curva de Vicsek Fractais Anisotrópicos Aplicações Técnicas de Miniaturização Introdução Fractalização Padrões Complementares Estruturas Bioinspiradas Guia de Onda Integrado Metamateriais Elementos Convolucionados Simulações e Resultados Experimentais Introdução e Modelos de FSS Analisados Dipolo simples FSS com elemento fractal espiral (FSE) FSS com elementos convolucionados FSS com elementos FSE convolucionados FSE quadrado FSE triangular Conclusões 87 Referências bibliográficas 90 A Fotos das estruturas construídas 96

10 Lista de Figuras 2.1 FSS de comportamento passa-faixa Filtros em FSS. (a) Passa-baixa. (b) Passa-alta. (c) Passa-faixa. (d) Rejeita-faixa Arranjo com alta densidade de dipolos defasados, também chamada de superfície gangbuster Modelos de n-pólos utilizados em FSS Modelos de espiras utilizadas em FSS FSS com elementos hexagonais. (a) Elemento estrutural. (b) Comparativo de tensão e corrente para os dois primeiros harmônicos do sinal. (c) Circuito equivalente Comparativo de tensão e corrente para os dois primeiros harmônicos do sinal em uma FSS com célula em formato de âncora Modelos de elementos de interior sólido utilizados em FSS Exemplos de elementos de FSS combinados Surgimento dos grating lobes FSS utilizada como radome Antena refletora de banda dupla usando FSS como sub-refletor Exemplos de fractais na Natureza Fractais gerados via IFS. (a) Conjunto de Cantor. (b) Tapete de Sierpinski. (c) Curva de Peano. (d) Curva de Koch. (e) Esponja de Menger Fractais recursivos. (a) Conjunto de Mandelbrot. (b) Fractal de Lyapunov Exemplo de fractal aleatório: Voos de Lévy Processo gerador de um fractal com conjunto de regras complexo Caracterização de coordenadas em diferentes elementos espaciais. (a) Reta. (b) Plano cartesiano. (c) Espaço tridimensional Diversas iterações do Conjunto fractal de Cantor Diferentes métodos de contagem de caixa sendo utilizados para calcular o tamanho da linha costeira da Grã-Bretanha. (a) Ball packing. (b) Ball covering. (c) Box covering iii

11 3.9 Gráfico de H d (S) versus d para um conjunto S Fator de escalonamento f s = 1/2 sendo aplicado a um segmento de reta, um quadrado e um cubo Satélite no Conjunto de Mandelbrot Elemento gerador S 0 e diferentes níveis de iteração do Conjunto ternário de Cantor Diferentes iterações da Curva de Kock e seus respectivos tamanhos Diferentes dimensões para conjuntos de cobertura da Curva de Koch Diferentes níveis de iteração para o Triângulo de Sierpinski Diferentes níveis de iteração para a Curva de Vicsek Um fractal auto-afim com d H = (a) Um exemplo de curva de movimento browniano unidimensional para um longo intervalo de tempo. (b) Curva inicial ampliada isotropicamente nas direções horizontal e vertical. (c) Curva inicial ampliada anisotropicamente Geometria do FSE Resposta simulada em frequência para diferentes valores de iteração fractal do FSE Resposta simulada em frequência para diferentes fatores de escalonamento aplicados ao FSE Geometria da célula unitária fractal. (a) Monofractal. (b) Multifractal proposto Coeficiente de transmissão para diferentes taxas de fractalização e polarização vertical Coeficiente de transmissão para diferentes taxas de fractalização e polarização horizontal Representação esquemática de uma estrutura CFSS Comparação da resposta de transmissão da CFSS com as de camadas individuais de elementos condutores e de aberturas Geometria de dipolo CFSS Geometria do anel CFSS Célula unitária da CFSS proposta. (a) Camada superior. (b) Camada inferior. (c) Estrutura completa Circuito equivalente da CFSS com loop quadrado

12 4.13 Elemento em loop quadrado da CFSS com o uso de meandros. (a) Camada superior metálica. (b) Camada inferior Tipos de arranjos de folhas. (a) Alterno espiralado. (b) Alterno dístico. (c) Oposto cruzado. (d) Verticilado. (e) Fasciculado Geometria da FSS biônica proposta Geometria da FSS-SIW proposta. (a) Vista superior. (b) Vista inferior Setup de medição para FSS com guia de onda integrado [52] Formação de elementos capacitivos e indutivos na célula unitária da FSS metamaterial. (a) Capacitância formada entre as bordas adjacentes de dois patches metálicos. (b) Indutância associada a um filamento metálico (a) Célula unitária derivada do circuito paralelo LC resultante. (b) Célula unitária alterada para permitir a operação com polarizações horizontal e vertical Convolução de um loop quadrado Diferentes iterações da Curva de Hilbert. (a) Primeira iteração. (b) Segunda iteração. (c) Terceira iteração. (d) Quarta iteração Dipolo carregado e seu equivalente convolucionado Loop quadrado e seu equivalente convolucionado Entrelaçamento entre duas células unitárias de loop quadrado Representação de uma FSS com elemento dipolo Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com diferentes valores de periodicidade quadrada Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com D y = 20 mm e diferentes valores de D x Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com D x = 10 mm e diferentes valores de D y Célula unitária de uma FSS com elemento FSE quadrado Coeficiente de transmissão de uma FSS com elemento FSE quadrado para f s = 0.7 e n = Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE para diferentes ângulos θ de incidência e polarização vertical Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE para diferentes ângulos θ de incidência e polarização horizontal Célula unitária de uma FSS com elemento dipolo convolucionado

13 5.10 Coeficiente de transmissão da FSS com elemento dipolo convolucionado para diferentes ângulos de incidência e polarização horizontal Célula unitária de uma FSS convolucionada com FSE quadrado Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes números de segmentos fractais Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes fatores de redução Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes larguras de fita metálica Resultados simulado e medido do coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para w = 1.5 mm, n = 5 segmentos e f s = Coeficientes de transmissão de FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para diferentes ângulos de incidência sob polarização horizontal Coeficientes de transmissão de FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para diferentes ângulos de incidência sob polarização vertical Célula unitária de uma FSS convolucionada com FSE triangular Resultados simulado e medido do coeficiente de transmissão da FSS com elemento convolucionado FSE triangular para w = 1 mm e n = 4 segmentos Pequeno curto-circuito localizado em célula unitária da FSS com FSE triangular Coeficientes de transmissão de FSS com elemento convolucionado FSE triangular para diferentes ângulos de incidência sob polarização horizontal Coeficientes de transmissão de FSS com elemento convolucionado FSS triangular para diferentes ângulos de incidência sob polarização vertical Comparativo da frequência de ressonância da FSS para os diferentes casos estudados A.1 FSS com elemento dipolo simples A.2 FSS com elemento dipolo FSE A.3 FSS com elemento dipolo convolucionado A.4 FSS com elemento convolucionado FSE quadrado A.5 FSS com elemento convolucionado FSE triangular

14 Lista de Tabelas 3.1 Comparativo de áreas para diferentes graus de iteração Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade quadrada Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade retangular com D y = 20 mm Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade retangular com D x = 10 mm Tabela de ressonâncias para elemento FSE com n = 4 e f s = Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e n variável Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e f s variável Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e w variável vii

15 Lista de Acrônimos, Símbolos e Siglas ε d B d B d S d B d C d H d I d S d T f s H d (S) in f in f N blc N bl p n k s W dimensão do elemento dos conjuntos de cobertura dimensão de contagem de caixas superior dimensão de contagem de caixas inferior dimensão de similaridade para conjuntos fractais auto-afins dimensão de contagem de caixas dimensão de correlação dimensão de Hausdorff-Besicovith dimensão de informação dimensão de similaridade dimensão topológica fator de escalonamento medida d-dimensional de Hausdorff supremo menor limite superior ínfimo maior limite inferior número de elementos utilizados na técnica de ball covering número de elementos utilizados na técnica de ball packing número de cópias fractais geradas na k-ésima iteração fator de redução de escala fractal subconjunto não-vazio do espaço Euclidiano viii

16 (X,d) λ R n θ ERB FDTD FEM FSS HGA IFS MMM MoM MoM PEC PMM RCS RT SDM TE TM UWB WCIP espaço métrico d-dimensional comprimento de onda espaço Euclidiano n-dimensional ângulo de visada estação rádio base Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo Método dos Elementos Finitos superfícies seletivas de frequência antena de hiper-ganho Sistema de Funções Iteradas Método do Casamento de Modos Método da Expansão de Modos Ressonantes com Contornos Integrais Método dos Momentos condutor elétrico perfeito Método do Momentos Periódico seção cruzada de radar Método do Traçado de Raios Método do Domínio Espectral Modo Transversal Elétrico Modo Transversal Magnético banda ultra-larga Método Iterativo de Conceito de Ondas

17 Capítulo 1 Introdução Por volta da década de 60, deu-se início a uma busca incessante por dispositivos eletroeletrônicos cada vez menores, mais leves e de baixo custo. Esse movimento, dentre outros, contribuiu imensamente para o desenvolvimento de diversas áreas tecnológicas, principalmente no setor de telecomunicações, onde levou, por exemplo, à expansão do campo de pesquisa em estruturas planares, repletas de propriedades inovadoras, as quais poderiam ser usadas para atender as expectativas do mercado industrial. Nesse tempo, começou a ser estabelecida uma linha de pesquisa no desenvolvimento de antenas e filtros passivos em microfita [1]. Esses novos dispositivos, apesar de terem limitações de eficiência e perdas consideráveis, lograram obter uma redução em termos de espaço e peso. Paralelamente a esses trabalhos, no ano de 1974, um matemático chamado Benoit Mandelbrot começou a se interessar pelo estudo de formas geométricas irregulares, normalmente vistas na Natureza, como flocos de neve, galáxias e áreas costeiras. Mas essas estruturas não podiam ser descritas através da geometria Euclidiana tradicional, assim, ele passou a denominá-las fractais, e decidiu desenvolver uma nova teoria matemática que pudesse descrevê-las [2]. Por meio de leis estatísticas de escala e potência, já consolidadas na época de seu trabalho, Mandelbrot foi capaz de observar detalhadamente o comportamento dos fractais. Aspectos dimensionais dessas figuras, tais como comprimento e área, não possuem um valor absoluto - ao invés disso, eles dependem da escala de medição que está sendo utilizada. Trabalhos posteriores viriam a demarcar as outras propriedades básicas dos fractais, como sua complexidade infinita e sua auto-similaridade. Estabelecida a teoria dos fractais, os cientistas decidiram, então, aplicá-los a projetos já existentes de filtros e antenas. Eles perceberam que, devido a um aumento no comprimento elétrico, a frequência de ressonância era reduzida, e que a inserção dos fractais nas antenas, por exemplo, induzia um comportamento multibanda na saída [3 5]. Essas

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 revelações foram fundamentais para a intensificação nas pesquisas, pois permitiram uma redução ainda maior no tamanho das estruturas, além de torná-las viáveis para múltiplas aplicações em frequências diferentes. Mais recentemente, a existência de ambientes cada vez mais tomados por interferências eletromagnéticas fez as atenções se voltarem para dispositivos que pudessem realizar, eficazmente, a filtragem de certas faixas de frequência e responder a diferentes ângulos de incidência das ondas. Nascia, assim, o campo das superfícies seletivas em frequência, ou FSS (Frequency Selective Surfaces). Com vistas à miniaturização, cientistas decidiram aplicar a técnica de fractalização às FSS, utilizando formas geométricas mais simples, as quais utilizavam um mesmo nível de iteração fractal e um único modelo de contorno a toda a estrutura [6 8]. Apesar dos resultados satisfatórios, limitações técnicas como a dificuldade no controle das ressonâncias em estruturas multibanda e sua típica banda estreita tornaram necessário aplicar outras técnicas de miniaturização ao projeto das FSS. Assim, uma abordagem recente, por exemplo, e que permite obter elementos de dimensões ainda mais reduzidas é a multifractalização, cujo uso pioneiro em FSS tem sido desenvolvido por Braz e Campos [9, 10], com a proposta de novos modelos de geometria a partir de conjuntos preexistentes. Seguindo uma linha de pensamento similar, este trabalho visa projetar e analisar modelos de FSS resultantes da combinação de algumas técnicas de miniaturização existentes, tais como elementos convolucionados e elementos fractais espirais (FSE), um modelo relativamente inédito de formas fractais. Para a comprovação dos resultados, diferentes protótipos previamente avaliados computacionalmente foram construídos e medidos em laboratório. A seção a seguir identifica como todo o trabalho está estruturado, além de fornecer um panorama sobre o conteúdo abordado em cada capítulo. 1.1 Organização do texto Esta tese está dividida em 6 capítulos. Inicialmente é feita uma revisão bibliográfica da teoria necessária para a compreensão das superfícies seletivas em frequência e da geometria fractal. A seguir, é introduzido o estudo dos multifractais e é realizada uma análise dos resultados obtidos com diversas configurações de FSS multifractais. O Capítulo 2 apresenta um breve histórico sobre a pesquisa na área de superfícies seletivas em frequência e discorre sobre como os diferentes tipos de filtros passivos podem ser aplicados em FSS utilizando o Princípio de Babinet. Em seguida, são descritos os quatro grupos de elementos de FSS existentes, bem como suas principais aplicações. São

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 discutidos, ainda, o efeito dos grating lobes no desempenho de tais superfícies e quais são as principais técnicas de análise atualmente empregadas nessa área. O Capítulo 3 faz referência à geometria fractal, iniciando com um breve histórico e detalhando suas principais características. Em seguida, ele descreve os diferentes processos de geração fractal e detaçha algumas das principais definições de dimensão fractal, tais como: dimensão de Hausdorff, dimensão de contagem de caixas, dimensão de informação e dimensão de similaridade. O capítulo prossegue com o estudo da auto-similaridade e demonstra que nem todos os fractais possuem um comportamento invariante de escala. A seguir, é feita uma análise de quatro curvas fractais famosas, visando a obtenção de sua dimensão fractal. Por fim, são descritas algumas das mais significativas contribuições da fractalização na Ciência. O Capítulo 4 inicia estabelecendo algumas técnicas de miniaturização disponíveis na literatura, como por exemplo a fractalização, o uso de elementos convolucionados, a combinação de padrões complementares e a integração com guias de onda. Artigos correspondentes a cada um desses campos são discutidos e analisados, e é proposto o uso da combinação de duas dessas técnicas para a potencialização de seus efeitos, maximizando a resposta de filtragem das superfícies seletivas em frequência. O Capítulo 5 introduz os protótipos de FSS simulados e construídos, utilizando-se das técnicas estudadas no capítulo anterior. Ele apresenta os resultados numéricos e experimentais para as características de transmissão e reflexão das FSS propostas, detalhando o processo de construção e medição, bem como as dificuldades encontradas e as soluções aplicadas para contornar esses problemas. Por fim, são feitas comparações, para uma mesma FSS, entre o uso individualizado e a aplicação conjunta das técnicas de miniaturização, de modo a validar a proposta desse trabalho. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões, destacando como diferentes técnicas de miniaturização nesse caso, fractalização e elementos convolucionados podem ser combinadas para aprimorar a resposta em frequência de uma FSS e atingir um nível de compactação ainda maior, de modo a atender à crescente necessidade comercial por dispositivos portáteis. Fornece, também, sugestões para futuros trabalhos relacionados a essa linha de pesquisa, com base na utilização conjunta da convolução com fractais de diferentes ordens e curvas os chamados multifractais.

20 Capítulo 2 Superfícies Seletivas em Frequência Este capítulo aborda o estudo de superfícies seletivas em frequência, também conhecidas como FSS (Frequency Selective Surfaces). Será apresentado um breve histórico de seu desenvolvimento e como diferentes elementos em uma FSS são responsáveis por definir o comportamento em banda passante de um determinado filtro. O efeito da polarização e a importância da estabilidade angular também serão contemplados, juntamente com as técnicas de análise mais utilizadas e suas mais notáveis aplicações. 2.1 Histórico A descoberta de superfícies seletivas em frequência ocorreu no fim do Século XVIII, no ano de 1786, quando um físico chamado David Rittenhouse se propôs a resolver um problema óptico proposto por outro físico - Francis Hopkinson. Durante um experimento, Rittenhouse percebeu que algumas das cores do espectro de luz visível eram suprimidas ao se observar um candeeiro através de um lenço de seda com fios igualmente espaçados. Após sucessivos testes, ele também descobriu que as dimensões físicas, a geometria da estrutura, a configuração de cada elemento, sua condutividade e o espaçamento entre eles interferiam na resposta em frequência [11]. Essa observação, embora simples, viria a se tornar a primeira evidência de que superfícies não-contínuas eram capazes de exibir diferentes propriedades de transmissão para diferentes frequências da onda incidente, um fenômeno atualmente conhecido como grades difratoras de luz. Nas décadas seguintes, não houve registros de pesquisas nessa área até o ano de 1917, quando outros dois cientistas - Guglielmo Marconi e Charles Samuel Franklin patentearam um refletor baseado em FSS para uso em redes sem fio de telefonia e telegrafia [12]. A possibilidade de utilizar FSS no campo de radiofrequências passou, então, a atrair gradativamente o interesse da comunidade científica, com pesquisas agora voltadas a antenas de feixe de alta potência [13], tecnologia WCDMA [14], polarizadores [15], radomes

21 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 5 [16], absorvedores [17], arranjos refletores [18] e antenas infláveis [19]. Além dessas, uma nova abordagem, conhecida como multifractalização, também vem sendo estudada, de modo a se obter certas propriedades em dispositivos planares, tais como estabilidade angular, independência de polarização e controle individual de múltiplas bandas. 2.2 Superfícies Seletivas em Frequência Uma Superfície Seletiva em Frequência é, basicamente, um filtro espacial, tipicamente bidimensional e de banda estreita, projetado para a região de microondas. Como todo filtro, uma FSS pode ser ativa, semi-ativa ou passiva. Apesar do último caso ser o mais comum, é importante salientar que diodos e estruturas de amplificação podem ser facilmente acoplados. Um outro fator importante na análise dessas superfícies são suas perdas de transmissão. Na maioria dos dispositivos planares, esse é um aspecto indesejável. No entanto, uma FSS pode ser convenientemente projetada para atuar com níveis consideráveis de perdas, caso em que é utilizada como material absorvedor de sinais de radar. A periodicidade de seus elementos também precisa ser levada em conta. Toda a estrutura é composta por diminutos blocos, denominados células unitárias. Além de reforçar o comportamento da estrutura, como ocorre em arranjos de antenas, esse layout facilita imensamente a análise da FSS, ao permitir que propriedades de simetria sejam aplicadas para a posterior obtenção das características de propagação. Quando exposta à radiação eletromagnética, a FSS controla a passagem de determinadas faixas de frequência, de acordo com padrões específicos de transmissão: permissão ou bloqueio. Esse comportamento, por sua vez, pode ser obtido a partir de um arranjo periódico de elementos metálicos normalmente montados sobre uma ou mais camadas de substrato dielétrico, tal como mostrado na Figura 2.1. Na prática, o funcionamento de uma FSS se baseia na corrente elétrica induzida por uma onda eletromagnética. Nesse caso, a amplitude da corrente é determinada pela intensidade do acoplamento energético entre a onda e os elementos da FSS, e ela alcança seu valor máximo na frequência de ressonância, quando o tamanho desses elementos equivale a λ/2 e λ para FSS abertas e fechadas, respectivamente. Por essa razão, eles são modelados de modo que ressoem juntamente com a frequência de operação. Naturalmente, parte da onda incidente é absorvida e parte é refletida. É através do controle dos campos de dispersão, ou seja, da própria distribuição de corrente, que um comportamento específico de filtragem é gerado. Como fatores que influenciam as características de ressonância de uma FSS, tem-se:

22 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 6 Figura 2.1: FSS de comportamento passa-faixa. ângulo de incidência da onda; tamanho de abertura efetiva da FSS; grades de difração; periodicidade das células; substrato utilizado para o suporte da estrutura; espaçamento entre os elementos; arranjo dos elementos. É a modelagem desses dados que determina o comportamento das FSS no domínio da frequência. Grosso modo, elas são manipuladas de modo a se obter dois padrões de transmissão: a passagem ou a rejeição de faixas específicas de frequência. O primeiro tipo envolve o uso de fendas - aberturas -, enquanto que a característica de rejeição pode ser obtida por meio de dipolos. Fisicamente, isso pode ser explicado da seguinte forma: estruturas de fenda perfeitamente condutoras implicam em conexões elétricas perfeitas entre células unitárias adjacentes. Por outro lado, placas com dipolos são modeladas por estruturas sem conexão alguma entre essas mesmas células. Além desses dois modelos principais, outros tipos de comportamento frequencial podem ser obtidos. Da Eletrônica, sabe-se que, em geral, os filtros são divididos em: passa-baixa; passa-alta; passa-faixa; rejeita-faixa. Cada um deles possui uma curva caraterística de transmissão e pode ser representado por meio de circuitos equivalentes, usando associações série e paralelo de componentes

23 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 7 elétricos básicos, tais como capacitores e indutores. A Figura 2.2 representa os diferentes tipos de filtros, bem como seus circuitos equivalentes e seu comportamento frequencial. (a) (b) (c) (d) Figura 2.2: Filtros em FSS. (a) Passa-baixa. (b) Passa-alta. (c) Passa-faixa. (d) Rejeitafaixa. Ultimamente, a busca por dispositivos reconfiguráveis tem aumentado e, nesse aspecto, as superfícies seletivas em frequência são de grande utilidade. Ao se basearem em princípios da Óptica, a conversão entre modelos de filtro normalmente envolve apenas o

24 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 8 uso de um teorema específico, conhecido como Princípio de Babinet [20], o qual afirma que o padrão de difração de um corpo é exatamente o oposto ao de um buraco com mesmo tamanho e formato. A partir dessa idéia, invertendo-se os elementos condutores e não condutores de uma placa, é possível estabelecer transformações bilaterais entre filtros passa-baixa e passaalta, e entre rejeita-faixa e passa-faixa, contanto que eles possuam estruturas simétricas. Assim, o circuito ilustrado na Figura 2.2(a), referente a um filtro passa-baixa, possui o equivalente de Babinet da Figura 2.2(b), que representa um filtro passa-alta. Da mesma forma, o circuito da Figura 2.2(c), um filtro passa-faixa, pode ser submetido ao Teorema de Babinet para obter a Figura 2.2(d), que equivale a um filtro rejeita-faixa. É esse mesmo princípio o responsável, por exemplo, pela dualidade entre os modelos de abertura e dipolos previamente comentados. Para que essa dualidade ocorra, é necessário, no entanto, que haja uma única camada condutora de FSS e que ela esteja montada sobre um material dielétrico, além das restrições sobre as dimensões das células unitárias em relação ao comprimento de onda do sinal transmitido. A escolha do modelo de FSS a ser utilizado depende, portanto e fundamentalmente, da faixa de frequências e da largura de banda desejadas. Outras diversas características de resposta, como polarização do sinal, nível de atenuação mínimo e estabilidade angular podem ser atendidas a partir da configuração dos elementos da superfície em questão. 2.3 Padrões de Elementos em FSS Existem quatro grandes grupos de elementos em FSS, a saber [21]: N-polos conectados pelo centro; Espiras; Elementos de interior sólido; Combinações de elementos dos grupos anteriores. A seguir, cada um desses grupos será detalhadamente descrito, bem como suas principais aplicações N-polos conectados pelo centro Trata-se de elementos que consistem em um ou mais dipolos interligados. Nessa categoria, estão as chamadas superfícies gangbuster (Figura 2.3), tripolos, âncoras e a Cruz de Jerusalém, como mostrado na Figura 2.4.

25 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 9 Figura 2.3: Arranjo com alta densidade de dipolos defasados, também chamada de superfície gangbuster. Figura 2.4: Modelos de n-pólos utilizados em FSS. Os dipolos são os elementos ressonantes mais simples já conhecidos, frequentemente utilizados em antenas. Todos os demais elementos - não apenas os N-pólos, mas também os de outras categorias - podem ser considerados combinações de dipolos, exceto os elementos curvos. Por natureza, os dipolos têm uma largura de banda muito estreita. No entanto, ao dispô-los em arranjos periódicos e com espaçamentos muito inferiores ao comprimento de onda transmitido, a largura de banda da FSS resultante pode ser significativamente ampliada [22]. Uma eventual desvantagem é que as propriedades de transmissão e reflexão dependem fundamentalmente da polarização da onda incidente. Assim sendo, no caso de dipolos condutores, o campo elétrico precisa estar polarizado ao longo do comprimento do dipolo. Dessa forma, arranjos em dipolo são capazes apenas de lidar com um determinado tipo de polarização linear [23]. Os tripolos consistem em três dipolos conectados através de uma de suas extremidades e defasados entre si por 120. Geralmente, uma FSS com tripolos apresenta um nível de polarização cruzada inferior e uma largura de banda superior à do dipolo [24]. O elemento em âncora pode ser obtido a partir do tripolo adicionando-se uma capacitância na extremidade de cada braço. Isso produz uma largura de banda maior e leva a um retardo no surgimento do harmônico de primeira ordem, quando comparado a outros

26 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 10 elementos de conexão central [25]. A cruz de Jerusalém, por sua vez, é um dos elementos mais antigos já considerados na composição de uma FSS. Ela é formada por dois dipolos cruzados com projeções bilaterais nas pontas e é bastante utilizada em aplicações que requerem banda estreita [26] Espiras Espiras são, em geral, a escolha mais adequada para arranjos de FSS com elementos não-radiantes. Tratam-se de elementos tipicamente menores, em termos das direções tangenciais aos campos, do que os elementos com conexão central, para um mesmo comprimento de onda e, portanto, podem ser alocados relativamente próximos entre si. Essa disposição implica em um atraso no surgimento de lóbulos secundários, normalmente indesejáveis, e em uma largura de banda geralmente maior [25]. A Figura 2.5 ilustra algumas das principais espiras utilizadas em superfícies seletivas de frequência. Figura 2.5: Modelos de espiras utilizadas em FSS. Um dos mais utilizados tipos de espira é a hexagonal, a qual não tem apenas um desempenho melhor em termos de largura de banda por elemento, mas também possui um design favorável à aglomeração dos mesmos, aumentando ainda mais sua eficácia de banda [27]. A Figura 2.6 ilustra o funcionamento de uma FSS com células unitárias hexagonais. Na Figura 2.6(a), os quatro fios laterais de cada hexágono contribuem para a indutância da estrutura. De modo similar, os fios superior e inferior dão origem a uma capacitância significativa, fazendo com que a distribuição de corrente nessa região seja nula. Assim sendo, o primeiro harmônico do sinal é formado no ponto em que a curva da corrente constitui uma senóide com meio comprimento de onda entre os capacitores, tal como mostrado na Figura 2.6(b). É, então, possível perceber que surge uma grande variação de tensão entre esses fios, e isso leva uma redução na frequência de ressonância [25]. Por outro lado, o segundo harmônico ocorre no ponto em que a senóide se completa. Nesse caso, é possível ver que não há diferença alguma de tensão através dos capacitores, o que mantém a frequência de ressonância inalterada.

27 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 11 (a) (b) (c) Figura 2.6: FSS com elementos hexagonais. (a) Elemento estrutural. (b) Comparativo de tensão e corrente para os dois primeiros harmônicos do sinal. (c) Circuito equivalente.

28 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 12 Esse arranjo em particular possui um circuito equivalente ao da Figura 2.6(c), e sua resposta frequencial se diferencia das providas por outras topologias de elementos de FSS. Figura 2.7: Comparativo de tensão e corrente para os dois primeiros harmônicos do sinal em uma FSS com célula em formato de âncora. A Figura 2.7, por exemplo, ilustra o uso de uma célula unitária em forma de âncora. Nota-se claramente que, para ambos harmônicos, o efeito capacitivo é elevado, originado por uma grande variação de tensão entre elementos adjacentes da FSS, resultando, consequentemente, em uma redução na frequência de ressonância Elementos de interior sólido Esses elementos geralmente não possuem características atrativas de projeto. Isso porque, em primeiro lugar, cada elemento tem dimensões de comprimento e largura aproximadamente iguais à metade do comprimento de onda, comprometendo o espaçamento mínimo entre os elementos. Além disso, elementos em forma de patch são altamente indutivos e intercalados por pequenas capacitâncias, o que resulta em problemas de adequação a uma determinada ressonância. Esse aspecto, em última instância, compromete a funcionalidade da FSS, dado que, se ela for incapaz de ressoar, limita a obtenção de uma reflexão perfeita de sinal [27]. A razão para isso é que, em seu ponto de ressonância, a FSS torna-se um curto-circuito, desde que seja considerada um meio sem perdas, agindo, portanto, como um plano de terra condutor perfeito (PEC). A Figura 2.8 apresenta alguns desses exemplos.

29 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 13 Figura 2.8: Modelos de elementos de interior sólido utilizados em FSS Combinações de elementos Por fim, cabe a análise das superfícies seletivas em frequência cujas células unitárias são compostas por combinações de elementos dos grupos recém-abordados (Figura 2.9). Devido à total liberdade de projeto, é impossível delinear um perfil específico de aplicação, mas, de modo semelhante ao que ocorre com arranjos de antenas, por exemplo, pode-se considerar que tais combinações visam à obtenção de características de transmissibilidade, absorção, estabilidade angular e polarização não passíveis de se obter com um único grupo de elementos. Nesse sentido, por exemplo, projetos recentes têm buscado atingir níveis de miniaturização cada vez maiores, utilizando contornos fractais e formas convolucionadas [10]. Figura 2.9: Exemplos de elementos de FSS combinados. 2.4 Grating Lobes Superfícies seletivas em frequência são compostas por elementos metálicos, sendo assim passíveis de irradiar sinais eletromagnéticos vindos de outras fontes, como antenas. A propagação em uma FSS também pode ser visualizada por meio de um diagrama de radiação, o qual é formado por regiões onde a intensidade do sinal atinge máximos locais - lóbulos - e zonas onde praticamente não há propagação alguma dos sinais - nulos. Esses lóbulos são normalmente divididos em dois tipos: lóbulo principal e lóbulos secundários. Em antenas diretivas, o lóbulo principal corresponde à direção de propagação que apresenta uma intensidade de energia distintamente maior do que nas outras regiões, ou

30 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 14 seja, a direção para qual o dispositivo planar foi projetado. No entanto, como os equipamentos reais não têm comportamento ideal, parcelas de energia restantes acabam formando outros lóbulos, em direções diferentes do feixe principal, constituindo os chamados lóbulos secundários - laterais e traseiro. No entanto, às vezes, os lóbulos laterais, devido às características do projeto, adquirem amplitudes bastante elevadas, praticamente iguais à intensidade de energia do lóbulo primário. Quando esse fenômeno ocorre, eles passam a ser conhecidos como grating lobes, tal como mostrado na Figura Figura 2.10: Surgimento dos grating lobes. Os grating lobes são mais comuns em arranjos de varredura, mas também podem afetar uma FSS. De fato, quando projetada para atuação em altas frequências, esses lóbulos representam o principal fator limitante. Eles normalmente surgem quando o espaçamento entre os elementos da estrutura é superior a λ/2 ou quando o tamanho de cada um deles é igual ou superior a λ. A equação (2.1) mostra que o espaçamento máximo (d Max ) é determinado pelo comprimento de onda do sinal λ e pelo ângulo vertical θ, também conhecido como ângulo de visada (look angle). Em outras palavras, a frequência de corte depende da periodicidade da FSS e da direção do campo incidente [8]. d max = λ 1 + sen(θ) (2.1) Infelizmente, no entanto, tais lóbulos são, em geral, inevitáveis, pela própria natureza de propagação dos sinais, razão pela qual o máximo que se pode fazer é tentar minimizar seus efeitos no desempenho da estrutura.

31 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA Técnicas de Análise Atualmente, a modelagem e análise de uma FSS podem ser realizadas a partir de diversos métodos, os quais variam de soluções aproximadas numérico-computacionais ao equacionamento de onda completo utilizado pela teoria clássica do Eletromagnetismo. Historicamente, a primeira técnica usada na obtenção dos campos refletido e transmitido por uma FSS foi o Método do Domínio Espectral (SDM), também conhecido como Método dos Momentos Periódico (PMM) [25]. Apesar de datar do final dos anos 1950, ele é amplamente utilizado atualmente e se baseia em um teorema físico, conhecido como Princípio de Floquet. Segundo esse princípio, se uma estrutura infinita, planar e periódica for irradiada por uma onda plana infinita, então, cada célula unitária desse plano periódico irá conter exatamente os mesmos campos e correntes, exceto por uma variação de fase, correspondente à fase do campo incidente. Em outras palavras, o método permite que todas as correntes, campos e potenciais sejam descritos em termos de uma série de Fourier modificada. Em comparação a outros métodos estritamente numéricos, o PMM possui a vantagem de envolver equações matriciais de dimensionalidade bastante reduzida, tornando-o viável para a maioria dos computadores; no entanto, o cálculo dos elementos da matriz envolve um tempo computacional maior do que, por exemplo, o dos métodos de abordagem volumétrica, como o Método dos Elementos Finitos (FEM), o qual é utilizado no software comercial Ansys HFSS TM. Nas últimas décadas, o Método dos Momentos (MoM), utilizado no Ansoft Designer TM, tem sido combinado com o Método de Expansão de Modos Ressonantes com Contornos Integrais (BI-RME) para a obtenção das funções de base necessárias à solução das equações integrais associadas à FSS, fornecendo resultados satisfatórios [28]. Outras abordagens numéricas de onda completa envolvem o Método das Diferenças Finitas no Tempo (FDTD), o Método do Casamento de Modos (MMM) e algumas combinações entre eles. O FDTD é uma técnica bastante usada atualmente e permite a análise de todo e qualquer tipo de elemento - inclusive de estruturas não-homogêneas - bem como de suas perdas dielétricas e/ou magnéticas. No entanto, é inerentemente lento e possui requisitos computacionais outrora elevados. O MMM, por sua vez, é um método poderoso na análise de estruturas periódicas e de guias de onda com seção transversal variável, sendo ideal para o caso de FSS de grandes espessuras. Ele foi concebido no início dos anos 1970, mas devido à capacidade computacional limitada da época, só foi redescoberto nas últimas décadas. Nele, o perfil real da estrutura é substituído por uma série de camadas uniformes, e o campo é expandido em um conjunto completo de funções vetoriais de onda, chamadas modos. A vantagem

32 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 16 do MMM é que as amplitudes desses modos podem ser expressas como componentes de uma matriz de espalhamento e, por meio de um processo de cascateamento, obtém-se uma matriz global para a FSS [23]. Dentre os métodos aproximados, cabe ressaltar a técnica do Traçado de Raios (RT). Trata-se de um método numérico para o cálculo do percurso de ondas ou partículas através de um sistema de regiões com velocidades de propagação variável, além de características de absorção e superfícies refletoras diferentes. Quando aplicado a problemas de radiação eletromagnética, o RT se baseia nas soluções aproximadas das equações de Maxwell, válidas desde que as dimensões dos objetos atravessados ou contornados pela luz sejam muito maiores do que o comprimento de onda da luz. Em 1995, por exemplo, essa técnica foi utilizada para a análise de uma FSS inserida em um dielétrico curvo [29], obtendo uma resposta bastante similar à de uma solução de onda completa, de natureza mais complexa. Para estruturas mais simples, ou onde não haja a necessidade de uma precisão tão elevada, o Método do Circuito Equivalente pode representar uma escolha mais apropriada, ao fazer uso de uma aproximação quase-estática e permitir um cálculo computacional mais rápido. Em sua análise, os vários trechos metálicos da célula unitária de uma FSS são modelados como componentes indutivos ou capacitivos em uma linha de transmissão, permitindo obter as características de transmissão e reflexão da estrutura como um todo. Em 2011, por exemplo, esse tipo de abordagem foi usado na análise de uma FSS com patch em formato anelar para ângulos de incidência oblíquos [30]. O Método Iterativo de Ondas (WCIP) tem sido preferido em muitas pesquisas devido à sua formulação mais simples e menor esforço computacional, garantindo a convergência da FSS, independentemente de sua complexidade. Para tanto, ele reduz a análise da FSS à de uma célula unitária envolvida por paredes periódicas hipotéticas. A seguir, um procedimento de reflexões múltiplas é iniciado usando condições pré-estabelecidas, finalizado apenas após a convergência dos resultados, levando-se em conta grandezas duais como densidade de corrente e campos [31]. Por fim, técnicas envolvendo algoritmos genéticos e redes neurais estão sendo utilizadas para aperfeiçoar a resposta de transmissão/rejeição nas bandas de frequência desejadas, por meio da reconfiguração da distribuição dos elementos na FSS [32]. 2.6 Aplicações Uma das principais aplicações de FSS envolve o projeto de radomes e sub-refletores para antenas diretivas (Figura 2.11). Embora dispositivos assim sejam comumente vistos em torres de telefonia móvel, por exemplo, trata-se de uma área de pesquisa com poten-

33 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 17 cial militar, como no desenvolvimento de aeronaves furtivas. Normalmente, esses aviões possuem antenas eletricamente grandes, o que, à exceção dos arranjos de varredura - tipicamente caros - implica em um aumento da seção transversal de radar (RCS), facilitando sua detecção por radares inimigos. Assim, com o intuito de reduzir o RCS fora da faixa de frequência operacional do radar, é possível envolver a antena com um radome de FSS, o qual seja transparente na banda operacional, e reflexivo (ou absorsivo) fora dessa faixa. De modo similar, antenas refletoras de bandas múltiplas e alta performance requerem faixas de passagem ao longo de diferentes bandas de frequência. Devido à dificuldade de projetar uma alimentação em banda ultra-larga (UWB) com as larguras de feixe necessárias, sub-refletores podem ser projetados para refletir uma banda e permitir, simultaneamente, a passagem de outra, de modo que diferentes alimentadores cobrindo diferentes frequências podem ser colocados em diferentes locais. Uma aplicação prática dessa idéia é a antena de hiperganho (HGA) da sonda Voyager, a qual foi projetada para atuar sobre as bandas S e X [33]. Uma FSS compõe o sub-refletor, o qual está refletindo na banda X, enquanto transmite na banda S. Nessa antena, a alimentação da banda S é colocada no foco primário do refletor, enquanto que a alimentação da banda X é inserida no ponto focal da Cassegrain (Figura 2.12). Como resultado, um único refletor age como uma antena de banda dupla, reduzindo, portanto, peso, volume e, principalmente, os custos de fabricação. Figura 2.11: FSS utilizada como radome. Nesse tipo de aplicação, como a irradiação do sinal é composta pela superposição dos modos de propagação Transversal Elétrico (TE) e Transversal Magnético (TM), é necessário que a FSS seja projetada com uma banda passante comum para toda uma faixa de ângulos de incidência e que funcione sob ambos os tipos de polarização. Nesse caso, uma abordagem possível é a redução das dimensões da célula unitária da FSS, o

34 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 18 que, dentre outras vantagens, permite retardar o surgimento dos primeiros lóbulos laterais (grating lobes), já discutidos na Seção 2.4. Esse processo de miniaturização, por sua vez, é normalmente obtido com o uso de elementos convolucionados ou componentes reativos aglomerados (lumped elements). Figura 2.12: Antena refletora de banda dupla usando FSS como sub-refletor. A despeito de todas as situações já exemplificadas nessa subseção, talvez a aplicação mais promissora de FSS esteja na área da segurança pública [34]. O uso de celulares dentro de presídios é ilegal e está se tornando uma ocorrência cada vez mais comum no sistema prisional brasileiro, por exemplo. De dentro das cadeias, detentos são capazes de ordenar execuções, gerenciar o tráfico de drogas em comunidades e coordenar ações criminosas em vários estados do país. Diante da dificuldade de monitorar o ingresso ilegal dos aparelhos, a solução evidente consistiria em bloquear os sinais eletromagnéticos utilizados por eles. No entanto, o projeto desse sistema precisa levar em conta diversos aspectos: em primeiro lugar, celulares são dispositivos altamente sensíveis, com receptores capazes de operar em níveis de até -110 dbm a -130 dbm. Outro problema é que em determinadas regiões, o elevado número de Estações de Rádio Base (ERB) acaba oferecendo cobertura de sinal dentro das instalações prisionais. O terceiro ponto é que não se pode simplesmente fabricar um filtro rejeita faixa que bloqueie todas as ondas eletromagnéticas, isso porque existem serviços de emergência e de comunicação policial cujas frequências permeiam as diferentes bandas utilizadas pelas operadoras de telefonia. Por fim, para que se tenha um resultado eficaz, a FSS precisa estar instalada em diversas janelas, dispostas ao longo de todo o perímetro do presídio, o que, obviamente, implicaria em um altíssimo investimento em infraestrutura.

35 Capítulo 3 Geometria Fractal Este capítulo é dedicado ao estudo da geometria fractal, detalhando cada uma de suas propriedades básicas, tais como a dimensão fractal, a auto-similaridade e a complexidade infinita. Além disso, ele traça as diferenças entre dois grandes grupos de estruturas: as mono e as multifractais, e revela algumas das principais aplicações dos monofractais em Superfícies Seletivas de Frequência (FSS). 3.1 Introdução A fractalização é uma técnica essencialmente matemática, embora relativamente recente na comunidade científica - suas raízes foram formalmente estabelecidas pelo matemático francês Benoit Mandelbrot apenas em meados da década de 1980, com o auxílio de ferramentas computacionais [2]. Ele baseou-se em um artigo científico do início do século, escrito por um matemático suiço chamado Helge von Koch. Em 1904, Koch decidira analisar o formato dos flocos de neve, e percebera que, ao adicionar triângulos ao contorno da figura, seu perímetro aproximava-se cada vez mais do infinito, embora sua superfície ainda ocupasse um tamanho finito, o que representava um paradoxo. Décadas depois, Mandelbrot comprovou a consistência dessas afirmações e, aprofundando-se no tema, foi o responsável por descobrir um dos conjuntos mais notórios de fractais, chamado Conjunto de Mandelbrot. Na realidade, o histórico dos fractais é bem mais antigo, pois trata-se, também, de uma característica natural excepcionalmente comum, a qual se manifesta nas mais variadas formas do cotidiano, tais como em flocos de neve, galáxias, conchas e árvores, como ilustrado na Figura 3.1. Todos esses objetos passaram a ser vistos como fractais, cuja designação deriva do termo latino fractus - quebrar, fracionar - e cujas formas fragmentadas e retorcidas não podiam ser descritas por meio da geometria vigente e regular até então, também conhecida como Euclidiana.

36 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 20 Visando melhor compreender esses objetos aparentemente estranhos, nascia, assim, o estudo da Geometria Fractal, o qual culminaria, após décadas de pesquisa, com o desenvolvimento de diversos modelos de antenas e superfícies seletivas em frequência (FSS), para aplicações que vão, atualmente, das Telecomunicações à Medicina. Figura 3.1: Exemplos de fractais na Natureza. Mandelbrot inicialmente propôs descrever os fractais como formas geométricas fragmentadas ou acidentadas que poderiam ser divididas em partes, cada uma delas sendo considerada, pelo menos de modo aproximado, uma cópia em tamanho reduzido do contorno original. No entanto, essa definição era um tanto limitada e, portanto, exigia uma caracterização mais detalhada. Embora não haja um consenso atual, o matemático britânico Kenneth Falconer descreve suas principais características como [35]: Fractais não são diferenciáveis em nenhum de seus pontos; Possuem uma dimensão fractal; Apresentam algum tipo de auto-similaridade; Possuem elevado grau de irregularidade local e global, inviabilizando sua descrição pela geometria Euclidiana. A classificação dos fractais, por sua vez, depende, basicamente, de que tipo de algoritmo é utilizado para sua geração. Com base nessa idéia, existem diversas técnicas disponíveis na literatura, mas é comum dispô-los em quatro categorias principais [36]: Sistemas de Funções Iteradas (IFS); Fractais recursivos (escape-time fractals); Fractais aleatórios; Sistemas-L (L-systems).

37 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 21 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 3.2: Fractais gerados via IFS. (a) Conjunto de Cantor. (b) Tapete de Sierpinski. (c) Curva de Peano. (d) Curva de Koch. (e) Esponja de Menger.

38 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 22 O primeiro grupo é composto por fractais com regras fixas de substituição geométrica e baseia-se em um método implementado pelo matemático inglês Michael Barnsley, usando uma série de transformações afins que envolvem contração, reflexão, rotação e translação. Dessa forma, uma transformação afim t : R 2 R 2 pode ser descrita matricialmente como: ( ) ( ) a 11 a 12 b r t(x,y) = + (3.1) a 21 a 22 b t em que a 11, a 12, a 21 e a 22 são escalares e b r e b t são os parâmetros relativos a rotação e translação, respectivamente. Esse tipo de abordagem permite uma análise relativamente simples da estrutura onde os fractais são aplicados, logo, a maioria dos fractais abordados até recentemente em pesquisas pertenciam a esse grupo, como o Conjunto de Cantor, o Triângulo de Sierpinski, as Curvas de Peano e Koch e a Esponja de Menger (Figura 3.2). (a) (b) Figura 3.3: Fractais recursivos. (a) Conjunto de Mandelbrot. (b) Fractal de Lyapunov. O grupo dos recursivos tem como principais exemplos o Conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov, ambos ilustrados na Figura 3.3. Nesse tipo de abordagem, formulase uma equação recursiva que define uma sequência ou arranjo multidimensional de valores a partir de um ou mais termos iniciais previamente definidos, de modo que cada termo subsequente é definido como uma função dos termos anteriores. A equação (3.2) exemplifica o funcionamento da recursividade pontual para o Conjunto de Mandelbrot. z n+1 = z 2 n + c (3.2) em que c representa um conjunto específico de números complexos. Os fractais aleatórios, por sua vez, são gerados por processos estocásticos, isto é, regidos pelo domínio probabilístico. Um de seus principais membros é o dos Voos de Lévy, representado na Figura 3.4 [2].

39 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 23 Figura 3.4: Exemplo de fractal aleatório: Voos de Lévy. O último grupo a ser discutido é o dos Sistemas-L. Nessa técnica, ocorre uma reescrita de cadeias de instruções, assemelhando-se bastante a padrões de ramificação, como os existentes em plantas ou células biológicas neurônios e células do sistema imunológico. Independentemente do tipo, a geração desses fractais envolve uma sucessão de passos, chamados iterações, e em cada uma deles, suas características já previamente citadas de dimensão fractal, auto-similaridade e complexidade infinita devem ser conservadas. A complexidade infinita indica que o escalonamento pode ser aplicado, teoricamente, infinitas vezes, para a obtenção de estruturas cada vez menores. Obviamente, na prática, essa redução é limitada de acordo com a tecnologia disponível, de modo que, na vasta maioria dos projetos, torna-se impraticável a operação acima de determinados níveis de iteração. O conjunto de regras utilizado é outro fator limitante, uma vez que regras mais complexas implicam em padrões mais intricados, como pode ser visto na Figura 3.5. Figura 3.5: Processo gerador de um fractal com conjunto de regras complexo. A dimensão fractal e a auto-similaridade envolvem conceitos mais complexos e serão, portanto, exploradas nas seções seguintes.

40 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL Dimensão Fractal Tradicionalmente, o termo dimensão possui duas associações: a primeira trata-se de associá-la a uma medida de comprimento, e é bastante utilizada no cotidiano. Já a segunda diz respeito ao número de informações, ou coordenadas, necessárias para se localizar um ponto em determinado espaço, conforme ilustrado na Figura 3.6. (a) (b) (c) Figura 3.6: Caracterização de coordenadas em diferentes elementos espaciais. (a) Reta. (b) Plano cartesiano. (c) Espaço tridimensional. Assim, por exemplo, na Figura 3.6(a), o espaço considerado é o de uma reta infinita. Nesse caso, é necessário conhecer apenas um valor (uma dimensão) para se posicionar corretamente um ponto específico nessa reta. A Figura 3.6(b) ilustra um plano cartesiano,

41 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 25 onde duas coordenadas abscissa e ordenada identificam qualquer ponto pertencente ao plano. No espaço tridimensional (Figura 3.6(c)) passam a ser necessários três valores para obter o posicionamento. Esse mesmo conceito pode ser aplicado indefinidamente para dimensões cada vez maiores. Com o avanço da matemática, essa geometria convencional, também conhecida como Euclidiana, passou a usar outros tipos de sistemas de coordenadas, tais como o polar e o cilíndrico. Dessa forma, quando desejamos obter todos os pontos de uma circunferência de raio R centrada na origem, em coordenadas cartesianas, a equação usada é xi 2 +y2 i = R2, onde dois valores variáveis (x i,y i ) são necessários para o posicionamento adequado. No entanto, essa mesma descrição pode ser feita no sistema polar, adotando-se as seguintes transformações: x i = R cos(θ) e y i = R sen(θ), onde há uma única variável angular θ, com 0 θ 2π, o que proporciona ao objeto um caráter unidimensional. Diante desse conflito, passou-se a adotar uma nova formulação para a definição de dimensão, chamada dimensão topológica (d T ). Ela foi discutida pelo matemático Henri Poincaré ainda no início do Século XX e, basicamente, diz o seguinte: um contínuo tem n dimensões quando é possível dividi-lo por meio de cortes, eles próprios contínuos formados por n 1 dimensões. Partindo desse princípio, um ponto é um elemento indivisível, logo tem dimensão 0; uma reta tem dimensão 1 pois é composta por infinitos pontos de dimensão nula; um plano possui dimensão 2, pois é formado pela junção de diferentes retas de dimensão unitária; e o plano espacial comum tem dimensão 3 devido à sua composição por infinitos planos. Em outras palavras, a dimensão topológica está associada à noção de proximidade entre os pontos de um conjunto - a continuidade. Fractais, por outro lado, são diferentes dos demais objetos geométricos devido à forma com que são escalonados. Por exemplo, se o lado de um polígono quadrado for duplicado, sua área será quadruplicada, ou seja, surgirá como expoente o valor 2, que é a dimensão na qual está inserido o quadrado (plano). Do mesmo modo, se o raio de uma esfera for duplicado, seu volume será multiplicado oito vezes, já que receberá como expoente o valor 3, que é a dimensão na qual está a esfera (espaço). Diferentemente, se as distâncias unidimensionais de um fractal forem duplicadas, o expoente aplicado ao conteúdo espacial do fractal não será um número inteiro, mas sim um valor fracionário. Para explicar esse comportamento diferencial, a caracterização dos fractais baseia-se em outros noções de dimensão, tais como: Dimensão de contagem de caixas; Dimensão de Hausdorff;

42 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 26 Dimensão de informação; Dimensão de correlação; Dimensões de similaridade Dimensão de contagem de caixas Conhecida também como dimensão de Minkowski-Bouligand ou dimensão de capacidade, é uma forma de determinar a dimensão fractal de um subconjunto S em um espaço métrico qualquer, que é basicamente um conjunto para o qual as distâncias entre todos os seus membros estão bem definidas (exemplo: métrica Euclidana). Ela está relacionada à dimensão de Hausdorff e normalmente são equivalentes, embora haja contra-exemplos notáveis. Para calcular essa dimensão, deve-se imaginar o fractal disposto sobre uma grade igualmente espaçada e efetuar a contagem de quantas caixas inteiras são necessárias para cobrir o conjunto, analisando como esse número varia conforme a grade vai sendo diminuída por meio de um algoritmo de contagem de caixas. Em outras palavras, ela mede o quanto um conjunto ou determinado objeto preenche o espaço em que está imerso. Suponha que seja necessário cobrir um segmento de reta dispondo-se apenas de elementos quadrados. Nesse caso, é fácil perceber que, quanto maior o tamanho de cada quadrado, menor será o total de quadrados usados para essa tarefa, ou seja, trata-se de duas grandezas inversamente proporcionais. Essa mesma relação pode ser obtida para qualquer tipo de elemento de cobertura e, matematicamente, é dada por N (ε) k ε d (3.3) onde k é uma constante, d é a dimensão do subconjunto, ε é o tamanho dos elementos de cobertura e N(ε) é o total de elementos usados. No caso de contornos quadrados, por exemplo, d = 2, mas para conjuntos arbitrários ele pode assumir qualquer valor, inclusive números não-inteiros. O valor de d pode ser obtido ao fazer ε 0, de modo que, após uma pequena manipulação matemática, a dimensão de contagem de caixas pode ser calculada como onde d B (S) pode assumir um valor inteiro ou fracionário. d B (S) = lim ε 0 log[n (ε)] log ( 1 ε ) (3.4)

43 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 27 Considere inicialmente que um segmento de reta de comprimento L representa um subconjunto. O total de elementos, ou caixas, de lado ε, necessários para cobrir esse subconjunto é N(ε) = L/ε. Aplicando a equação (3.4), a dimensão do subconjunto será d B (S) = lim ε 0 log L ε log 1 ε = lim ε 0 logl + log 1 ε log 1 ε (3.5) seja, Operando o limite em (3.5), o primeiro termo do numerador pode ser desprezado, ou d B (S) = log 1 ε log 1 ε Note que o valor encontrado, além de representar um número inteiro, é o mesmo = 1 obtido pelo conceito de dimensão topológica, explicado anteriormente. Figura 3.7: Diversas iterações do Conjunto fractal de Cantor. Vejamos, agora, um dos fractais mais famosos: o Conjunto de Cantor. A cada iteração, o terço do meio de cada intervalo do conjunto é removido, conforme Figura 3.7. É possível notar facilmente que na i-ésima iteração, o total de elementos remanescentes no subconjunto é de (2/3) i. Usando um elemento de tamanho ε i = (1/3) i, o número total de cubos necessários para cobrir o conjunto N(i) = 2 i. Aplicando novamente a equação (3.4), tem-se que log2 i log2 i d B (S) = lim ε 0 log 1 = lim ε 0 log1 log1 ε i + log3 i i log2 = lim ε 0 i log3 = lim log2 ε 0 log3 0.63

44 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 28 em que se nota que a dimensão encontrada possui um valor fracionário. Os dois exemplos analisados até agora apresentavam limites bem definidos, mas isso nem sempre acontece. Quando o limite na equação (3.4) não existe, é possível obter os limites superior e inferior, associados às chamadas dimensões de caixa superior e inferior, dadas por d B (S) = lim ε 0 log[n (ε)] log ( 1 ε ) (3.6) d B (S) = lim ε 0 log[n (ε)] log ( 1 ε ) (3.7) Por fim, cabe esclarecer ainda que a definição de caixas usada até agora não é a única existente no cálculo da dimensão de contagem. Na verdade, o total de elementos necessários para cobrir um subconjunto N ε (S) pode empregar várias técnicas diferentes, tais como [35]: o menor número de esferas de raio ε que cobrem S; o menor número de cubos de raio ε que cobrem S; o número de cubos da ε-malha que interceptam S; o menor número de conjuntos de diâmetro no máximo iguais a ε que cobrem S; o maior número de esferas disjuntas de raio ε com centros em S. Dentre elas, é comum empregar-se o ball packing e o ball covering, como ilustrado na Figura 3.8. No ball packing, o número de elementos N bl p (ε) é o total mínimo de esferas de raio ε necessários para cobrir o contorno fractal, ou, em outras palavras, de modo que a união entre eles contenha o fractal. Já no ball covering, o número de elementos N blc (ε) é o máximo de esferas disjuntas de raio ε de modo que seus centros estejam contidos no fractal. A equação (3.8) traça a relação matemática entre elas. N bl p (ε) N blc ( ε 2 ) (3.8) Em última instância, o uso de esferas ou cubos irá depender fundamentalmente do conjunto a ser analisado, embora deva-se ressaltar que elementos esféricos permitem uma generalização do cálculo para todo tipo de espaço métrico, diferentemente da restrição de caixas ao espaço Euclidiano.

45 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 29 Figura 3.8: Diferentes métodos de contagem de caixa sendo utilizados para calcular o tamanho da linha costeira da Grã-Bretanha. (a) Ball packing. (b) Ball covering. (c) Box covering Dimensão de Hausdorff-Besicovitch Trata-se de uma definição matemática introduzida em 1918 por Felix Hausdorff. Ela foi inicialmente voltada para o dimensionamento de superfícies regulares, mas acabou sendo aperfeiçoada, após significativas contribuições técnicas do matemático russo Adam Besicovitch, para lidar também com conjuntos altamente irregulares. Além disso, é possível considerá-la como uma expansão da dimensão topológica, sendo obtida a partir do conjunto dos números reais IR, fazendo-se a inclusão de dois elementos: + e. A expressão da dimensão de Hausdorff envolve uma manipulação matemática complexa, de modo que este trabalho buscará apenas demonstrar seus principais passos. Considere inicialmente que W seja um subconjunto não-vazio do espaço Euclidiano n-dimensional, IR n. O diâmetro de W, ou seja, a maior distância entre quaisquer pares de pontos em W, pode ser dado por W = sup{ x y : x,y W} (3.9) Se {W k } é uma coleção finita de conjuntos contáveis de diâmetro no máximo igual a ε que cobrem um conjunto S, ou seja,

46 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 30 S W i 0 < W i ε (3.10) i=1 é possível dizer que W i é uma ε-cobertura de S. Agora suponha que S é um sub-conjunto de IR n e que d é um número não-negativo. Nesse caso, para todo ε > 0, define-se H d ε (S) = in f { W i d : W i é uma ε-cobertura de S i=1 } (3.11) A seguir, deve-se examinar todas as coberturas de S por conjuntos de diâmetro no máximo iguais a ε e minimizar a soma das d-ésimas potências dos diâmetros. Conforme ε decresce, o número de coberturas permitidas em (3.11) também diminui. Isso faz o valor ínfimo H d ε (S) aumentar, aproximando-se de um limite, conforme ε 0, de modo que H d (S) = lim ε 0 H d ε (S) (3.12) onde H d (S) é a chamada medida d-dimensional de Hausdorff de S. O limite em (3.12) existe para todo subconjunto S do IR n, embora seus valores limites sejam 0 ou. Analisando as equações (3.11) e (3.12), fica claro que, para qualquer conjunto S e ε < 1, H d ε (S) e H d (S) são inversamente proporcionais a d. Mais do que isso, se r > s, é possível afirmar que i W i r ε r d W i d (3.13) i Figura 3.9: Gráfico de H d (S) versus d para um conjunto S.

47 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 31 Assim, aplicando a relação de ínfimo na equação (3.13), H r ε(s) ε r d H d ε (S) (3.14) Ao fazer ε 0 em (3.14), se H d (S) <, então H r (S) = 0, para r > s, o que leva à construção do gráfico ilustrado na Figura 3.9. Nota-se que existe um valor crítico de d para o qual H d (S) salta de para 0 esse valor é a chamada dimensão de Hausdorff de S, formalmente dada como d H (S) = in f { } { } d : H d (S) = 0 = sup d : H d (S) = (3.15) de modo que ; 0 d < d H (S) H d (S) = 0 H d (S) d = d H (S) 0; d > d H (S) (3.16) Anteriormente, foi visto que a equação (3.4) definia a dimensão de contagem de caixas. Grosso modo, ela afirmava que N ε (S) = ε d para pequenos valores de ε, onde d = d B (S). Isso implica que N ε (S) ε d se d < d B (S) (3.17) e N ε (S) ε d 0 se d > d B (S) (3.18) Mas do estudo da dimensão de caixa, tem-se que { } N ε (S) ε d = in f ε d : {U i } é uma ε-cobertura (finita) de S i (3.19) Comparando-se as equações (3.11) e (3.19), nota-se que, ao calcular a dimensão de Hausdorff, pesos diferentes W i d são designados para os conjuntos de cobertura W i, enquanto que para as dimensões de caixa, um mesmo peso ε d é usado para cada conjunto de cobertura. Isso demonstra que a dimensão de caixa é utilizada como indicador da eficiência com que um conjunto pode ser abrangido por pequenos conjuntos de igual

48 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 32 tamanho, enquanto que a dimensão de Hausdorff envolve a cobertura com conjuntos de tamanho pequeno, porém amplamente variáveis. Na literatura, é comum confundir uma com a outra, uma vez que, para diversos conjuntos, ambas chegam a um mesmo resultado. Isto é essencialmente verdadeiro quando o fractal considerado satisfaz à condição de Conjunto Aberto (OSC), ou seja, quando a variação em um ponto desse conjunto mantém-se nele próprio. Mas matematicamente, as duas dimensões estão relacionadas entre si da seguinte forma: d H d B d B (3.20) onde d B é a dimensão de caixa inferior e d B é a dimensão de caixa superior. Embora tenha um equacionamento matemático muito mais complexo do que o sistema de caixas, a dimensão de Hausdorff é a mais conhecida na análise de fractais, já que ela pode ser aplicada a conjuntos extremamente irregulares. Não é supresa, portanto, que ela funcione como base de uma das principais e até esse momento, irrefutáveis definições de fractal, dada por: um objeto deverá ser considerado fractal caso sua dimensão de Hausdorff seja superior a sua dimensão topológica. Computacionalmente, por outro lado, as simplificações de cálculo da dimensão de contagem de caixas torna seu uso mais atrativo para os algoritmos responsáveis pela geração dos fractais Dimensão de informação Em muitas situações de imageamento médico [37], como, por exemplo, em um simples exame de encefalograma (EEG), o objeto de estudo apresenta um comportamento dinâmico, tornando inviável sua análise pela técnica de contagem de caixas, pois não há sensibilidade do fractal ao tempo alocado nas caixas. Nesse tipo de situação, a dimensão de informação é mais indicada, pois como os pontos não estão dispersos com uma densidade uniforme, haverá regiões que são mais visitadas do que outras. Esse fator é levado em conta pela noção de entropia, a qual permite calcular a probabilidade de ocupação de cada caixa de cobertura, conforme o tamanho da caixa é variado, e pode ser calculada como d I (S) = lim ε 0 log p ε log 1 ε (3.21) onde p ε representa a probabilidade de ocupação da caixa.

49 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL Dimensão de correlação A dimensão de correlação é normalmente usada em séries de dados temporais, envolvendo a teoria da dinâmica do caos. Na área médica, ela vem auxiliando na avaliação dos sinais fisiológicos, como os Potenciais Evocados Visuais (PEV) e pode ser usada em conjunto com a série de Fourier como um fator discriminante entre os estágios do sono de uma pessoa e, até mesmo, no auxílio do diagnóstico de doenças do sistema nervoso, como o Mal de Parkinson [38]. Matematicamente, ela baseia-se em um valor M como o número de pontos usados para a representação de um fractal e g ε como o número de pares de pontos que estão mais próximos de ε do que um do outro. A equação (3.22) ilustra como ela pode ser calculada. d C (S) = log(g ε /M 2 ) lim ε 0;M logε (3.22) Dimensão de similaridade Esse conceito somente pode ser aplicado em fractais estritamente auto-similares, e ele se baseia no fato de que os fractais são divididos em pedaços idênticos ao original, mas escalonados por algum fator. Para compreender o relacionamento entre o número de pedaços gerados e o fator de escalonamento f s, é preciso começar pelos objetos geométricos mais simples. Figura 3.10: Fator de escalonamento f s = 1/2 sendo aplicado a um segmento de reta, um quadrado e um cubo.

50 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 34 Suponha, então, um segmento de linha (dimensão 1), um quadrado (dimensão 2) e um cubo (dimensão 3). Caso essas figuras sejam escalonadas por um fator f s = 1/2, o resultado obtido está ilustrado na Figura Como pode ser visto, são necessárias duas cópias para compor a reta original, quatro para gerar o quadrado e oito para montar o cubo. Caso o raciocínio anterior fosse aplicado usando um fator de escala f s = 1/k, onde k é uma constante, seriam necessários k segmentos de reta, k 2 quadrados e k 3 cubos, ou seja, para um objeto d-dimensional, seriam necessárias n = k d (3.23) cópias para reproduzir a figura original. A partir da equação (3.23), é possível obter a dimensão de similaridade d S da seguinte forma: log(n) = log(k d ) = d log(k) d S = log(n) log(k) (3.24) Mas k = 1 f s, portanto, d S = log(n) log( 1 f s ) (3.25) 3.3 Auto-similaridade Um dos conceitos fundamentais em auto-similaridade é a noção de escala de proporção, que tecnicamente é a estimativa entre uma magnitude qualquer e a magnitude unitária de uma determinada grandeza contínua, estabelecendo uma relação de comparação. Em nosso cotidiano, existem diversas grandezas regidas por escalas de proporção, tais como: massa, comprimento, força, temperatura (em Kelvin) e corrente elétrica. Tomando a escala de comprimento, por exemplo, considere um pedaço de barbante com 1 metro de extensão. Ele pode ser dividido em 100 unidades idênticas, chamadas centímetros, os quais, por sua vez, estão divididos em 10 milímetros cada. Uma possível análise decorrente dessa situação é que na transição de metro para centímetro, o valor inicial foi multiplicado por 100, enquanto que na passagem de centímetro para milímetro, houve uma multiplicação por 10.

51 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 35 Embora o exemplo anterior pareça simplório, dele é possível extrair duas informações significativas: as propriedades físicas do objeto são exatamente iguais, independentemente da escala de observação [35] o barbante não foi esticado ou cortado. a adequação do objeto a uma nova escala de comprimento é realizada por meio de uma transformação numérica, uma multiplicação. O valor associado a essa transformação é conhecido como fator de escala, e o processo em si recebe o nome de transformação de similaridade. Geometricamente, dois objetos são ditos similares se ambos possuem o mesmo formato independentemente da escala, ou seja, um pode ser obtido a partir do outro por meio de um processo de escalonamento uniforme (ampliação ou redução), podendo ser acompanhado por processos paralelos translação, rotação e reflexão. Outro exemplo de similaridade é o das fotocópias ampliadas, em que todo o documento é ampliado pelo mesmo fator nas direções horizontal e vertical. No caso dos fractais, é comum a utilização do termo auto-similaridade, sendo inclusive possível indicar o grau de similaridade entre o objeto e um pedaço de si próprio, usando a seguinte classificação [35]: Auto-similaridade exata; Quasi-auto-similaridade; Auto-similaridade estatística; Auto-similaridade qualitativa. Antes de adentrar em cada grupo, no entanto, é importante notar que a auto-similaridade, por si só, é insuficiente para definir um objeto como fractal. Para entender isso, pense em uma linha reta de tamanho finito. Apesar de possuir auto-similaridade em qualquer escala, ela pode ser facilmente descrita pela geometria Euclidiana e, fundamentalmente, sua dimensão de Hausdorff-Besicovitch é exatamente igual a sua dimensão topológica, contrariando claramente outras das características observadas em fractais Auto-similaridade exata Esse é o tipo mais forte de auto-similaridade. Nesse grupo, o fractal é idêntico em todas as escalas, fenômeno conhecido como invariância de escala. Normalmente, fractais gerados por meio de Sistemas de Funções Iteradas apresentam auto-similaridade exata, sendo que um dos exemplos mais conhecidos é o floco de neve de Koch, cujos trechos

52 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 36 podem ser continuamente ampliados sem que haja uma mudança de formato. Devido a sua alta previsibilidade, possuem um formalismo matemático mais simples e demandam menor capacidade computacional Quasi-auto-similaridade Constitui uma forma menos rígida de auto-similaridade. O padrão fractal é apenas aproximadamente mantido para diferentes escalas, comumente contendo pequenas cópias do fractal inteiro em formas distorcidas ou degeneradas. Isso acontece, por exemplo, com os denominados satélites do Conjunto de Mandelbrot (Figura 3.11) e para a ampla maioria dos fractais recursivos (escape-time fractals). Figura 3.11: Satélite no Conjunto de Mandelbrot Auto-similaridade estatística É considerado por muitos o tipo mais frágil de auto-similaridade. Os fractais repetem um padrão estocástico, com medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas ao longo de toda a escala. Fractais gerados por processos aleatórios são representantes conhecidos desse grupo, como os que são vistos em litorais de países e cordilheiras de montanhas Auto-similaridade qualitativa Por fim, tem-se o grupo dos qualitativos, que são normalmente vistos em séries temporais. Eles são usados nas mais diversas áreas, tais como:

53 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 37 Medicina Monitoramento de sinais fisiológicos, como batimentos cardíacos; Economia Previsões em bolsas de Valores; Atividade Sísmica Monitoramento de terremotos e erupções vulcânicas; Sistemas caóticos Previsão do comportamento de multidões. 3.4 Fractais Isotrópicos Ainda com base no critério de auto-similaridade, os fractais podem ser divididos em dois grandes grupos: os isotrópicos auto-similares e os chamados fractais anisotrópicos, também conhecidos como auto-afins. Um fractal é classificado como isotrópico quando o mesmo fator de escala f a é aplicado em todas as direções. Nessa seção, serão apresentados alguns fractais isotrópicos bastante conhecidos, bem como suas regras de geração e o cálculo de sua dimensão Conjunto de Cantor Ele foi proposto pelo matemático Georg Cantor, famoso por seus trabalhos na área de Teoria dos Números. O conjunto de Cantor pode ser compreendido geometricamente, imaginando-se a remoção contínua de partes de um conjunto S com certo formato, de modo que a cada iteração, os pedaços remanescentes apresentam a mesma porcentagem removida de seus centros. Se esse processo prossegue infinitamente, então, os pedaços pequeninos restantes do formato compõem um conjunto de Cantor, cuja dimensão não corresponde a um número inteiro. Na verdade, é comum trabalhar com uma variante específica desse conjunto, chamada Ternário de Cantor. Para obtê-lo, considera-se inicialmente um intervalo fechado unitário S 0 = [0,1], o qual é dividido em terços. Depois, é removido o intervalo central ( 1 3, 2 3) e os intervalos remanescentes compõem o subconjunto S 1, dado por S 1 = [ 0, 1 ] [ ] 2 3 3,1 (3.26) Em seguida, é removido o intervalo aberto que compõe o terço médio de cada um dos intervalos fechados de S 1, resultando no subconjunto S 2 = [ 0, 1 ] [ 2 9 9, 1 ] [ 2 3 3, 7 ] [ ] 8 9 9,1 (3.27)

54 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 38 Figura 3.12: Elemento gerador S 0 e diferentes níveis de iteração do Conjunto ternário de Cantor. Esse processo pode ser repetido para cada iteração k, com k N, removendo-se o intervalo aberto do terço médio de cada um dos intervalos fechados em S k, originando o subconjunto S k+1. Na Figura 3.12, tem-se uma representação do conjunto ternário de Cantor para diferentes níveis de iteração k. Para cada k, S k é a união de 2 k intervalos fechados, cada um de tamanho 3 k. Logo, conclui-se que o comprimento total do subconjunto S k pode ser calculado como S k = ( ) 2 k (3.28) 3 A dimensão de similaridade d S desse conjunto pode ser calculada pela equação (3.25), fazendo n = 2 k e f s = (1/3) k, de modo que d S = log(2k ) log( 1 3 k ) = k log2 log1 log3 k = k log2 k log3 = log2 log3 d S = 0,631 Para encontrar a dimensão de Hausdorff do conjunto de Cantor, note que ele é dividido em dois conjuntos disjuntos: o da esquerda S esq = S [0,1/3] e o da direita S dir = S [2/3,1]. Ambos são geometricamente similares a S, mas escalonados por um fator 1/3, e S = S esq S dir. Assim, H d (S) = H d (S esq ) + H d (S dir ) (3.29)

55 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 39 Mas existe uma propriedade de escalonamento, a qual afirma que [35]: H d (λs) = λ d H d (S) (3.30) onde λ é um escalar qualquer. Portanto, usando a equação (3.30), é possível reescrever (3.29) como H d (S) = ( ) 1 d ( ) 1 d H d (S) + H d (S) (3.31) 3 3 Sabendo que, para o valor crítico d = d H (S), 0 < H d (S) <, pode-se dividir toda a equação (3.31) por H d (S), resultando em Aplicando o logaritmo em (3.32), ( ) 1 d ( ) 1 d 1 = ( ) 1 d 1 = 2 (3.32) 3 log1 = log2 + log3 d d log3 = log2 d = log2 log3 = 0,631 Note que esse resultado já era esperado, afinal, a dimensão topológica (d T ) de um conjunto de pontos é nula, ou seja, d H > d T. Além disso, como o conjunto ternário de Cantor é auto-similar, pode-se afirmar diretamente que o valor de d B = d S = Curva de Koch Também conhecida como floco de neve de Koch, foi um dos primeiros contornos fractais a ser descritos, no início do século XX, pelo matemático sueco Helge von Koch, e está classificado no grupo dos fractais auto-similares exatos, ou seja, suas partes são idênticas ao todo, independentemente da escala aplicada.

56 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 40 Figura 3.13: Diferentes iterações da Curva de Kock e seus respectivos tamanhos. Figura 3.14: Diferentes dimensões para conjuntos de cobertura da Curva de Koch.

57 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 41 Ele possui um processo gerador bastante simples, o qual começa com a divisão de um segmento de linha de tamanho l em três partes iguais. Depois, o segmento central é substituído por um triângulo equilateral sem a base, gerando uma linha poligonal com quatro segmentos idênticos. A partir desse ponto, o mesmo processo é repetido, iterativamente, para cada um dos segmentos obtidos, conforme ilustrado na Figura Com as diferentes iterações na Figura 3.13, é possível acompanhar como o comprimento total da Curva de Koch parece crescer sem limites. De fato, ela tem um perímetro infinito, mas, interessantemente, é possível contê-la em uma superfície fechada, como essa folha de papel. Essa última observação nos permite descartá-la como um objeto unidimensional. Tabela 3.1: Comparativo de áreas para diferentes graus de iteração. Iteração Área de cada quadrado (u 2 ) Área total da curva (u 2 ) /9 4/9 2 1/81 12/81 3 1/729 48/729 Considere, agora, o exemplo mostrado na Figura 3.14, cujo quadrado inicial tem lado unitário. Ela mostra que, independentemente do tamanho dos quadrados de cobertura, eles sempre extrapolam os limites do contorno, de modo que não é possível dimensionálos para cobrir apenas a curva. Na verdade, como representado na Tabela 3.1, fica evidente que a área total da curva depende da área dos quadrados que estão sendo usados para mensurá-la. Isso, por sua vez, permite concluir que, quanto menor os quadrados, menor a área, ou seja, a área total da curva tende a 0, de modo que o objeto tampouco pode ser considerado bidimensional. Com base nessas informações, conclui-se que a Curva de Koch não possui uma dimensão inteira, mas fracionária, a qual pode ser calculada usando as dimensões previamente estudadas nesse capítulo. Retornando à Figura 3.13 e supondo l = 1, após k N iterações, serão obtidos 4 k segmentos de reta de comprimento ( 1 3 )k, de modo que o comprimento total l k pode ser calculado como l k = ( ) 4 k (3.33) 3

58 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 42 Dessa forma, pode-se inferir que o número de cópias para a k-ésima iteração n = 4 k e que o fator de escala f s = ( 1 3 ) k, logo, a dimensão de similaridade (ds ) da curva de Kock pode ser calculada como d S = log4k k log4 log 1 = k log3 d S = 1,262 ( 1 3) k Como a curva de Koch é um fractal auto-similar, o cálculo da dimensão de caixas é dispensável. Já a dimensão de Hausdorff da Curva de Koch pode ser obtida considerando os 4 segmentos similares e disjuntos S i, com i = 1,...,4, gerados a cada iteração, e o fator de escalonamento 3 k, de forma que H d (S) = H d (S 1 ) + H d (S 2 ) + H d (S 3 ) + H d (S 4 ) (3.34) Usando a propriedade de escalonamento da equação 3.30, H d (S) = 4 3 d H d (S) (3.35) Dividindo-se, a seguir, a equação (3.35) por H d (S) e aplicando a definição de logaritmo, tem-se que log1 = log4 d log3 d log3 = log4 d = d H = log4 log3 = 1,262 notando-se, uma vez mais, a igualdade de valores entre as três principais dimensões utilizadas em fractais: similaridade, contagem de caixas e de Hausdorff Triângulo de Sierpinski Ele foi primeiramente descrito em 1915 pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski e é um dos mais conhecidos fractais de auto-similaridade exata, utilizando um padrão matemático que pode ser reproduzido em qualquer escala de ampliação ou redução. O triângulo de Sierpinksi pode ser gerado, ou às vezes visualizado, de diferentes formas, tais como: Remoção de triângulos; Encolhimento e duplicação;

59 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 43 Teoria do Caos; Automatismo celular; Triângulo de Pascal. Figura 3.15: Diferentes níveis de iteração para o Triângulo de Sierpinski. A primeira abordagem da lista é a mais utilizada. Nela, considera-se um triângulo equilátero sólido, o qual é dividido em quatro triângulos equiláteros iguais. Em seguida, o triângulo central é removido, e cada um dos elementos sólidos restantes passa pelo mesmo processo de divisão, o qual é repetido sucessivamente, conforme representado na Figura Generalizando, após k-iterações, com k N, serão criados 3 k triângulos equiláteros, totalizando uma área A = 3 k A 0 ( 1 4) k (3.36) onde A 0 corresponde à área do triângulo original. A equação (3.36) nos leva a afirmar que o fator de escala é (1/4) k mas, na verdade, isso está errado, porque o que está sendo considerado na fórmula é a área de cada triângulo. Assim, ao examinar, por exemplo, a transição entre a primeira e a segunda iteração, nota-se que o tamanho dos triângulos foi reduzido pela metade, portanto, f s = (1/2) k. Logo, a dimensão de similaridade do triângulo de Sierpinski pode ser calculada como d S = log( log3k ) 1 2 k = log3 log2 = 1,585

60 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 44 O cálculo da dimensão de Hausdorff é similar ao dos casos anteriores, de modo que H d (S) = 3 2 d H d (S) (3.37) Dividindo-se (3.37) por H d (S) e aplicando o logaritmo, Curva de Vicsek log1 = log3 d log2 d log2 = log3 d = d H = log3 log2 = 1,585 Também conhecida como floco de neve de Vicsek ou fractal de caixa, é uma variante auto-similar da curva de Koch, esse fractal é resultado de uma construção semelhante à do carpete de Sierpinski, e foi proposto pelo matemático Tamás Vicsek. Uma de suas principais aplicações é em antenas compactas, principalmente no ramo da telefonia celular. Seu processo de construção se inicia com um quadrado básico, o qual é dividido em nove quadrados menores, compondo um arranjo de 3x3 elementos. A seguir, preservamse os quatro quadrados nas extremidades e o elemento central, enquanto os demais elementos são removidos. Finalmente, esse mesmo processo é repetido recursivamente para cada um dos elementos remanescentes, conforme representado na Figura Figura 3.16: Diferentes níveis de iteração para a Curva de Vicsek. Logo, após k N iterações, o número total de elementos é 5 k, e o fator de escalonamento utilizado é (1/3) k. Dessa forma, a dimensão de similaridade d S do fractal de Vicsek é calculada como

61 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 45 d S = log5k log1 log3 k = log5 log3 = 1,465 (3.38) A dimensão de Hausdorff pode ser calculada de modo similar, sabendo que a medida d-dimensional será a soma dos cinco elementos que compõem a primeira iteração, escalonados por um fator 1/3. Assim, usando as equações 3.12 e 3.30 e aplicando o logaritmo, obtém-se que log1 = log5 d log3 3.5 Fractais Anisotrópicos d log3 = log5 d = d H = log5 log3 = 1,465 (3.39) Conforme visto na seção 3.3, nem todos os objetos fractais sejam eles naturais ou artificalmente projetados possuem partes exatamente similares ao todo. Na verdade, é bastante comum encontrar exemplos onde diferentes fatores de escalonamento podem ser aplicados. Quando isso acontece, diz-se que esses fractais são auto-afins ou anisotrópicos, de modo que suas partes são escalonadas por diferentes valores nas direções horizontal e vertical (Figura 3.17). Figura 3.17: Um fractal auto-afim com d H = Pode-se, então, considerar a auto-similaridade um caso particular de auto-afinidade, a qual pode ser encontrada mediante um processo de escalonamento usando uma transformação denominada anisotrópica afim [39].

62 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL 46 (a) (b) (c) Figura 3.18: (a) Um exemplo de curva de movimento browniano unidimensional para um longo intervalo de tempo. (b) Curva inicial ampliada isotropicamente nas direções horizontal e vertical. (c) Curva inicial ampliada anisotropicamente. Considere, por exemplo, uma curva de movimento Browniano unidimensional para um longo intervalo de tempo ilustrada na Figura 3.18(a). Quando a curva é isotropicamente ampliada por um fator 1/32 em ambas as direções horizontal e vertical (Figura 3.18(b)), nota-se claramente que a curva resultante é bastante diferente da original. Por outro lado, quando a curva é anisotropicamente ampliada usando um fator 32 na horizontal e 32 na vertical (Figura 3.18(c)) o resultado é bem similar ao da curva inicial. Essa mudança de padrões implica em um sério problema pela seguinte razão. As formas tradicionais de se determinar a dimensão fractal, tais como o método da contagem de caixas, pressupõem um escalonamento isotrópico dos padrões sob análise, logo, elas não podem ser aplicadas a fractais auto-afins, pois sua aplicação implicaria à conclusão totalmente infundamentada de que a dimensão fractal varia de acordo com a escala utilizada. Portanto, normalmente são definidas dimensões especiais, tais como a local e a global, as quais, no entanto, são determinadas pelas propriedades restritas a uma determinada curva [40]. Alguns pesquisadores, ainda assim, tem argumentado que, dependendo do grau de auto-afinidade, ainda sim é possível analisar esse tipo de fractais usando, por exemplo, a dimensão de Hausdorff ou, até mesmo, a dimensão de similaridade [10]. Para essa última, em particular, a expressão resultante é uma ligeira modificação da equação 3.25, dada por: d S = logn ( ) i (3.40) 1 log f s1 f s2... f si onde i N é o total de fatores de escala aplicados e n é o número de cópias geradas.

63 CAPÍTULO 3. GEOMETRIA FRACTAL Aplicações Modelos de estrutura fractal são utilizados para descrever ou representar diversos processos naturais em vários domínios da Ciência. Na Geologia, por exemplo, fenômenos potencialmente perigosos, tais como falhas geológicas e terremotos apresentam distribuições de frequências baseadas em uma simetria de escala; no ramo da Astrofísica e da Cosmologia, busca-se aplicar a lógica fractal para a compreensão da distribuição das galáxias; na área da Medicina e da Biologia, fractais estão sendo utilizados no monitoramento de sinais fisiológicos, na estimativa de crescimento de colônias de fungos e bactérias, no dimensionamento de órgãos do corpo humano, como o cérebro e, inclusive, no diagnóstico individual de células cancerígenas. Eles inclusive têm sido usados por militares no reconhecimento de imagens, partindo da premissa de que os contornos fractais encontrados em objetos artificialmente projetados têm um formato mais regular, em comparação aos encontrados na Natureza, o que poderia auxiliar na detecção de itens camuflados em campos inimigos [41]. Para esse trabalho, no entanto, o maior potencial de estudo dos fractais está na área das Telecomunicações. A possibilidade de combiná-los a antenas de microfita e a superfícies seletivas de frequência (FSS) não apenas viabilizou a miniaturização de diversos equipamentos de comunicação, tais como celulares e radares, como também está permitindo uma maior e mais eficaz cobertura do espectro de frequências por parte desses dispositivos, algo cada vez mais cobiçado no cenário tecnológico atual. Assim, no capítulo seguinte, serão discutidos os benefícios desse processo de fractalização e como ela pode ser associada a diversas outras técnicas elementos convolucionados, por exemplo para o aprimoramento na filtragem em resposta de dispositivos eletrônicos e na obtenção de um fator de miniaturização ainda maior.

64 Capítulo 4 Técnicas de Miniaturização Este capítulo se destina a apresentar algumas das principais técnicas de miniaturização utilizadas em superfícies seletivas de frequência (FSS). Ele inicia discutindo a importância da miniaturização nas Telecomunicações como um todo, onde ela é impulsionada pela demanda crescente de portabilidade e de mobilidade. A seguir, ele detalha como a própria modelagem de uma FSS exige esse escalonamento, de tal modo que a eficácia do dispositivo depende das dimensões dos elementos contidos em suas células unitárias. Por fim, difentes modelos de FSS miniaturizadas são apresentados e analisados, detalhando-se as técnicas empregadas em cada um deles. 4.1 Introdução Em Telecomunicações, os trabalhos envolvendo miniaturização têm sido normalmente abordados a partir de duas perspectivas. Uma delas diz respeito aos componentes eletrônicos resistores, diodos, capacitores e transistores envolvidos na construção de um determinado aparelho, e que não será abordada nesse trabalho. Já a outra abordagem, base para a compreensão desse capítulo, faz referência ao comportamento eletromagnético dos dispositivos de comunicação. No caso de satélites, por exemplo, eles precisam ser transportados em foguetes, sujeitos a restrições de peso e tamanho. O problema é que algumas das bandas regulamentadas que eles utilizam para operação, como a X (8 12 GHz) e a Ku (12 18 GHz), são relativamente baixas, o que implicaria em antenas com tamanhos inapropriados, não fosse a aplicação de técnicas específicas. Para as superfícies seletivas em frequência, o objetivo dessa miniaturização é permitir o próprio funcionamento adequado da estrutura. No Capítulo 2, foi visto que, usando o princípio de Babinet, a FSS é, essencialmente, um conjunto de associações série-paralelo de indutâncias e capacitâncias, dispostas nas chamadas células unitárias. Logo, ao afinar e

65 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 49 miniaturizar essas células, ou seja, ao tornar suas dimensões inferiores ao comprimento de onda de operação (λ), pode-se ampliar o efeito desses elementos, estabelecendo junções capacitivas na forma de shunts ou de capacitâncias em série e linhas indutivas, reforçadas pela proximidade umas das outras [25]. Recentemente tem havido um grande interesse no projeto de FSS com dimensões nessa escala. No geral, as propriedades seletivas em frequência resultam de iterações mútuas entre os elementos. Portanto, para observar um determinado comportamento seletivo em frequência é necessário um grande número de células unitárias. Consequentemente, o tamanho total da superfície é eletricamente longo. Por outro lado, para aplicações onde é necessária baixa sensibilidade ao ângulo de incidência da onda excitante, ou onde é difícil estabelecer uma frente de onda de fase uniforme, o anteparo precisa ser pequeno. Para miniaturizar os elementos da FSS, diversas técnicas podem ser usadas, tais como: Fractalização; Padrões complementares; Estruturas bioinspiradas; Guia de onda integrado; FSS Metamateriais; Elementos convolucionados. 4.2 Fractalização Para compreender a importância da fractalização como técnica de miniaturização em uma FSS, é preciso associar alguns conceitos já previamente abordados nesse trabalho. Anteriormente, vimos que as superfícies seletivas em frequência são normalmente construídas a partir de um arranjo de patches metálicos de formato arbitrário, ou de sua geometria complementar, usando elementos de abertura similares, envoltos por uma tela metálica [21]. Independentemente do modelo adotado, o campo eletromagnético resultante é determinado pelo percurso da corrente elétrica através dessas estruturas. Além disso, no Eletromagnetismo clássico, existe uma equação que relaciona a frequência de operação ( f ) de um determinado dispositivo de comunicação com o comprimento de onda (λ) do sinal a ser transmitido, calculada como: υ = λ f (4.1) onde υ é a velocidade de propagação da onda em um determinado meio. A equação (4.1) demonstra que λ e f são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, grandes

66 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 50 extensões condutivas implicam em frequências mais baixas, e vice-versa. Por fim, no capítulo anterior, foi demonstrado também que, conforme aumenta o número de iterações fractais, o percurso elétrico na estrutura torna-se cada vez maior. Assim, a fractalização é uma técnica que auxilia dispositivos planares, por exemplo, a se adequarem às faixas de frequência regulamentadas para transmissão, normalmente baixas, preservando um tamanho físico relativamente compacto. No caso da FSS, o objetivo principal é miniaturizar as dimensões das células unitárias, de modo que as interações a nível de circuito possam ser fortalecidas, influenciando a resposta em frequência. Mas o problema é que a FSS é utilizada como filtro para as mesmas bandas citadas anteriormente. Assim, para contornar esse problema, a fractalização surge como alternativa, permitindo um alto nível de compactação mesmo para valores baixos de frequência. Além da miniaturização, o uso de fractais também permite obter estruturas multibanda ou de banda ultra larga (UWB), devido a sua própria auto-similaridade. Nesse caso, dá-se origem a diferentes ressonâncias, as quais podem ser diferenciadas e tratadas independentemente, com o uso de multifractais [9,10]; ou podem ser agrupadas para aumentar a largura de banda da estrutura [27, 42, 43]. Figura 4.1: Geometria do FSE. Diversos trabalhos têm sido recentemente publicados nessa área. Em 2012, por exemplo, foi desenvolvida uma FSS miniaturizada e de comportamento multibanda baseada em um elemento fractal espiral (Fractal Spiral Element - FSE) [44], ilustrado na Figura 4.1. O processo se inicia com um dipolo de tamanho L e, a cada iteração k N, é aplicado um fator de escalonamento f s, com 0 < f s < 1. Oservando a Figura 4.1, pode-se concluir

67 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 51 que o comprimento do k-ésimo da espira (L k ) pode ser calculado como L k = f k 1 s L (4.2) Figura 4.2: Resposta simulada em frequência para diferentes valores de iteração fractal do FSE. Figura 4.3: Resposta simulada em frequência para diferentes fatores de escalonamento aplicados ao FSE. Por meio de um estudo paramétrico da célula unitária da FSS, envolvendo diferentes níveis de iteração e fatores de escalonamento, algumas observações importantes foram feitas: quanto maior o número de iterações fractais, maior é a quantidade de bandas de rejeição (Figura 4.2). Esse mesmo fenômeno é observado com o aumento no fator de

68 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 52 escalonamento (Figura 4.3). Ambas observações já eram esperadas, visto que implicam em um aumento no comprimento elétrico da estrutura. Essa abordagem tem um grande potencial, pois ela permite projetar uma FSS de elevado nível de fractalização, com um comprimento elétrico total bem superior ao obtido com outros tipos de elementos, reduzindo, portanto, drasticamente seu tamanho para aplicações em frequências mais baixas. Isso é possível graças ao próprio processo de geração da estrutura, uma vez que a geometria FSE tem um layout significativamente mais simples do que as demais curvas fractais, principalmente para níveis de iteração superiores a três. (a) (b) Figura 4.4: Geometria da célula unitária fractal. (a) Monofractal. (b) Multifractal proposto. Outra pesquisa interessante é a associação entre FSS e geometrias multifractais. Em um trabalho pioneiro realizado por pesquisadores brasileiros, foi proposto um novo tipo de geometria, chamada Ericampos [45], de modo a obter uma FSS com resposta em banda dupla. A Figura 4.4(b) mostra a célula unitária da FSS proposta, em comparação com o modelo monofractal (Figura 4.4(a)).

69 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 53 Figura 4.5: Coeficiente de transmissão para diferentes taxas de fractalização e polarização vertical. Figura 4.6: Coeficiente de transmissão para diferentes taxas de fractalização e polarização horizontal. A construção se inicia com um elemento quadrado e um gerador, o qual é uma combinação de elementos quadrados com diferentes razões de probabilidade de massa ρ. As Figuras 4.5 e 4.6 apresentam os resultados de transmissibilidade encontrados com algumas taxas de fractalização para polarizações vertical e horizontal, respectivamente. Embora os resultados ainda sejam iniciais, eles apontam para conclusões promissoras, uma vez que permitem estimar que há uma relação de proporcionalidade direta entre a multifractalização e a largura de banda da FSS, o que simplesmente não ocorre com geometrias monofractais [45]. Além disso, características fundamentais de desempe-

70 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 54 nho, como independência de polarização e estabilidade angular, são preservadas durante o processo. 4.3 Padrões Complementares As FSS tradicionais, embora possam ser facilmente produzidas, têm eficiência limitada no que concerne a mudanças de polarização e ângulos de incidência. O uso de FSS acopladas ou reconfiguráveis proporciona uma melhor estabilidade angular, mas também é frágil em termos de polarização. Por outro lado, arranjos de elementos de abertura acoplados, formados a partir de três camadas de elementos, têm sido estudados de modo a obter uma FSS passa-faixa com boa estabilidade angular, porém acarretam um aumento no tamanho total da FSS. Figura 4.7: Representação esquemática de uma estrutura CFSS. Na tentativa de miniaturizar essas superfícies, preservando a eficiência da estrutura, pesquisadores britânicos aplicaram uma técnica pioneira conhecida como FSS complementar (CFSS - Complementary FSS) [46]. Trata-se de um híbrido de duas FSS acopladas, onde uma camada de elementos condutores e uma de elementos de abertura são impressas em lados opostos de um mesmo substrato dielétrico, conforme ilustrado na Figura 4.7. A Figura 4.7 ilustra dois arranjos de dipolos um de abertura e um de elementos condutores. Isolados e irradiados por uma onda plana incidente, ambos são capazes de

71 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 55 ressoar, devido aos campos e correntes induzidos. Mais do que isso, se os elementos tiverem dimensões idênticas, ou seja, A P = A A, suas ressonâncias são iguais. Figura 4.8: Comparação da resposta de transmissão da CFSS com as de camadas individuais de elementos condutores e de aberturas. A Figura 4.8, por sua vez, mostra o que acontece quando as duas camadas contendo os arranjos estão muito próximas. Para compreendê-la melhor, considere inicialmente o princípio de Babinet, o qual resumidamente afirma que a soma dos campos de uma FSS de abertura e de sua complementar é igual ao campo total da estrutura sem a FSS. Em outras palavras, as respostas individuais de transmissão geradas se somam para definir o comportamento da estrutura ao longo de toda a faixa de frequências. Mas existe um limitante na aplicação desse princípio: as duas camadas não são diretamente complementares, pois há um meio dielétrico separando-as. Assim, a resposta da estrutura não é uma mera soma das duas ondas propagantes (onda estacionária). Na realidade, nas duas frequências marcadas na Figura 4.8 f i e f s, as quais delimitam as estreitas bandas de passagem da CFSS, isoladas por um nulo bem distinto em f nulo, o acoplamento entre os arranjos torna-se tão forte que campos evanescentes intensos são gerados na região do dielétrico, permitindo, assim, que a CFSS ressoe [46]. Por fim, embora o dielétrico não invalide o princípio de Babinet, o acoplamento adequado exige um defasamento entre os dois arranjos. No caso dos dipolos lineares e de outras estruturas simétricas não-rotativas, o defasamento aplicado aos elementos de abertura é de 90 (Figura 4.9). Dessa forma, eles

72 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 56 Figura 4.9: Geometria de dipolo CFSS. são perpendiculares ao campo elétrico incidente e assegura-se a ressonância de todos os elementos. Além disso, os elementos correspondentes aos dois arranjos precisam ser concêntricos, uma vez que o máximo das funções de base dominantes está localizado nesse ponto. Figura 4.10: Geometria do anel CFSS. Para espiras quadradas e anéis circulares (Figura 4.10), por exemplo, pode-se iterativamente defasar os arranjos até que um acoplamento máximo possa ser encontrado. Esse tipo de elemento é um dos mais promissores nessa técnica, pois apresenta níveis baixos de polarização cruzada e permite um elevado fator de miniaturização da FSS.

73 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 57 De um modo geral, com o uso da CFSS, a banda primária ressoa em uma frequência bastante inferior à de um arranjo único de elementos, distanciando-se da região de formação dos grating lobes e permitindo resultados satisfatórios de estabilidade angular e de independência de polarização. Já em 2009, um trabalho desenvolvido por pesquisadores chineses, baseado em uma FSS voltada inicialmente para a faixa de infravermelho, também adotou a técnica dos padrões complementares, utilizando um modelo de circuito equivalente como ferramenta de análise [47]. (a) (b) (c) Figura 4.11: Célula unitária da CFSS proposta. (a) Camada superior. (b) Camada inferior. (c) Estrutura completa. Conforme visto na Figura 4.11(a), a camada superior da CFSS consiste em um loop quadrado. O perímetro do elemento reforça a indutância da estrutura e o gap entre os lados opostos do loop contribui para sua capacitância. Dessa forma, ela pode ser considerada um ressonador LC serial, em cuja frequência de ressonância a impedância característica Z C = 0 e o coeficiente de transmissão é nulo. Na Figura 4.11(b), temos a camada inferior o elemento complementar, o qual pode ser interpretado como um ressoador paralelo LC, proporcionando um pólo de transmissão.

74 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 58 A Figura 4.11(c) demonstra a CFSS completa. Entre as duas camadas anteriores, é inserido um substrato, o qual se comporta como uma linha de transmissão, cujo comprimento é a própria espessura do dielétrico, t. Além disso, surge no modelo uma indutância mútua M, resultante do acoplamento entre os dois arranjos de elementos, de modo que o circuito equivalente obtido é o exibido na Figura Figura 4.12: Circuito equivalente da CFSS com loop quadrado. Como o substrato tem espessura relativamente pequena, pode-se considerar que a impedância de linha Z L é nula. Assim, a impedância resultante da CFSS pode ser calculada como um paralelo de uma associação série-paralela LC, de tal modo que: como: Z = (( jωl 1 jωm + 1 ) ) //( jωl 2 jωm) // 1 (4.3) jωc 1 jωc 2 Considerando que M é relativamente pequeno, a equação (4.3) pode ser reescrita Z = jωl 1 + 1/( jωc 1 ) ω 2 L 1 L 2 1/(ω 2 C 1 C 2 ) + L 1 /C 2 + L 2 /C 1 (4.4) Na equação (4.4), é fácil perceber que existem dois pólos e um zero. Quando Z 0 (zero), a superfície age como uma parede elétrica, e a onda incidente é totalmente refletida. Por outro lado, quando Z (pólos), a impedância se eleva, permitindo a transmissão da onda. Portanto, no geral, a FSS pode ser considerada como uma parede elétrica ou magnética artificial dependente da frequência.

75 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 59 Figura 4.13: Elemento em loop quadrado da CFSS com o uso de meandros. (a) Camada superior metálica. (b) Camada inferior. O fator de miniaturização dessa CFSS pode ser ainda maior, quando combinada, por exemplo, ao uso de meandros (Figura 4.13). Nesse caso, devido às alterações resultantes de indutância e capacitância na estrutura L 1 aumenta e C 2 diminui, é fundamental que a nova banda de passagem parasita esteja afastada da faixa de frequências original, de modo que a resposta da estrutura não seja afetada [47]. Assim, com base na equação (4.4), pode-se concluir que níveis mais elevados de meandrização acarretam a redução de ambas as ressonâncias, particularmente a segunda. 4.4 Estruturas Bioinspiradas Dentre as técnicas de miniaturização citadas até agora, talvez a mais promissora de todas esteja na área dos sistemas biônicos. A Biônica é a aplicação de métodos e sistemas biológicos naturais no estudo e projeto de sistemas de Engenharia e de tecnologias modernas [48]. Muitos argumentam que a transferência de tecnologia entre formas de vida e produtos manufaturados é extremamente desejável, pois a pressão evolutiva normalmente força os organismos vivos, como a flora e a fauna, a se tornarem altamente optimizados e eficientes. Nesse contexto, as cópias conscientes de exemplos e mecanismos dos organismos naturais e da Ecologia constituem um estudo de caso, tratando a própria natureza como um banco de dados de soluções que já funcionam cotidianamente. Grosso modo, existem três níveis biológicos na fauna ou flora, de acordo com a tecnologia que pode ser modelada: A cópia de métodos naturais de manufaturação;

76 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 60 A réplica de mecanismos encontrados na natureza, como o velcro; O estudo de princípios organizacionais a partir do comportamento social dos organismos, como a Inteligência de Enxames (Swarm Intelligence - SI), a qual se baseia nas formações de bandos de pássaros e nos hábitos forrageiros de formigas e abelhas. Figura 4.14: Tipos de arranjos de folhas. (a) Alterno espiralado. (b) Alterno dístico. (c) Oposto cruzado. (d) Verticilado. (e) Fasciculado. Dentro do grupo de mecanismos naturais, um dos mais conhecidos é o Arranjo de Folhas (Leaf Arrangement), o qual descreve as posições com que as folhas crescem nos galhos, conforme mostra a Figura A escolha de um arranjo apropriado é vital para a sobrevivência da planta, uma vez que as folhas precisam otimizar o espaço limitado de que dispõem para realizar o processo de fotossíntese. Figura 4.15: Geometria da FSS biônica proposta. Sob certos aspectos, uma FSS irradiada por ondas eletromagnéticas é similar às folhas

77 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 61 iluminadas pela luz do Sol, já que ambas possuem necessidades e restrições similares. Diante disso, em 2014, um grupo de pesquisadores chineses decidiu se basear em um arranjo de folhas muito comum na natureza o alterno dístico para desenvolver o projeto pioneiro de uma FSS biônica miniaturizada, cuja célula unitária é mostrada na Figura 4.15 [49]. A FSS proposta consiste em uma transformação da Cruz de Jerusalém tradicional, possuindo três ramificações: externa, intermediária e interna, de tal modo que as folhas são geradas a partir do braço de uma árvore. A seguir, esse braço é rotacionado em múltiplos de 90 até retornar ao ângulo inicial, levando ao surgimento de três outros braços, os quais são todos agrupados como um único elemento. Os galhos arqueados aumentam o comprimento elétrico da estrutura, e o padrão de folhas opostas traz dois benefícios: evita o acoplamento entre os galhos adjacentes, e expande não apenas a distância entre os ramos interno e externo, bem como entre os próprios braços, implicando, assim, em uma redução drástica na frequência de ressonância, se comparada a um elemento da Cruz de Jerusalém de mesmas dimensões. 4.5 Guia de Onda Integrado O uso de múltiplas bandas de frequência é um requisito cada vez mais comum nos sistemas de comunicações de dados, e diversas publicações têm buscado formas de viabilizálo por meio de superfícies seletivas em frequência, como visto nas seções anteriores. Em projetos de FSS multibanda, o espaçamento entre as bandas e a variação máxima na frequência de ressonância para diferentes ângulos de incidência são fatores determinantes. No entanto, em FSS mais convencionais, como as que usam anéis concêntricos [50] ou espiras duplas quadradas [51] primeira geração de elementos miniaturizados o espaçamento das faixas é proporcional à distância entre esses elementos. Isso constitui um problema pois, na prática, existem limitações de fabricação. Nesse contexto, o uso de guias de onda integrado (Substrate Integrated Waveguide - SIW) é uma alternativa que não apenas contorna essas limitações, mas também reduz a interferência entre as células unitárias da FSS. A figura 4.16 mostra um exemplo de projeto de FSS miniaturizada com a tecnologia SIW aplicada [52]. Pode-se observar que o elemento é baseado no projeto com espiras duplas quadradas, interligadas por meio de capacitores cerâmicos, isto é, fazendo uso de cargas capacitivas.

78 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 62 Figura 4.16: Geometria da FSS-SIW proposta. (a) Vista superior. (b) Vista inferior. Para operação em baixas frequências, a cavidade SIW pode ser considerada equivalente a uma cavidade metálica fechada, e sua resposta em frequência é pouco afetada por variações nas dimensões e no espaçamento das vias. Já frequências de ressonância de ordens mais elevadas podem ser eliminadas com o uso de capacitores concentrados. A Figura 4.17 ilustra um setup de medição para uma FSS com guia de onda integrado. Figura 4.17: Setup de medição para FSS com guia de onda integrado [52]. 4.6 Metamateriais Outra técnica de miniaturização promissora é a baseada no uso dos chamados metamateriais. Estes materiais são compósitos artificiais, normalmente formados por um arranjo periódico uni, bi ou tridimensional de elementos metálicos, que apresentam propriedades eletromagnéticas normalmente não encontradas na natureza, tais como índice de refração negativo e propagação reversa.

79 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 63 De modo similar aos átomos ou moléculas de um material comum, os componentes metálicos nos metamateriais só exibem suas particularidades em altas frequências; para faixas mais baixas, com grandes comprimentos de onda, a estrutura se comporta de modo homogêneo e passa a ser descrita pelas propriedades macroscópicas de permissividade, permeabilidade e índice de refração [53]. Em se tratando disso, metamateriais são caracterizados por valores complexos de permissividade elétrica (ε r ) e permeabilidade magnética (µ r ), cujas tangentes de perdas são calculadas a partir da relação entre os valores imaginário e real de cada um desses parâmetros. De fato, uma das principais aplicações desses meios, às vezes também chamados esquerdinos, consiste em fortalecer os valores imaginários de ε e µ, de modo a reforçar o comportamento absorvedor de uma determinada estrutura. Em FSS metamateriais, as dimensões das células unitárias estão na ordem dos subcomprimentos de onda (< λ/10) e elas agem como elementos indutivos e capacitivos concentrados, dispostos de modo que eles se acoplem, respectivamente, aos campos elétrico e magnético da onda incidente [54]. Essa abordagem é completamente diferente, por exemplo, das FSS passa-faixa tradicionais, e ela permite que as dimensões da célula unitária sejam drasticamente reduzidas. Desde 2007, diversas publicações vêm propondo FSS metamateriais miniaturizadas. Em um desses trabalhos, a FSS é formada por um arranjo periódico de pequenos patches metálicos e uma malha condutiva de mesmo período, impressos em lados opostos de um substrato dielétrico [55]. Mas para que a FSS possa ser miniaturizada, é necessário primeiro desenvolver uma forma de implementar indutores e capacitores com design compacto. (a) (b) Figura 4.18: Formação de elementos capacitivos e indutivos na célula unitária da FSS metamaterial. (a) Capacitância formada entre as bordas adjacentes de dois patches metálicos. (b) Indutância associada a um filamento metálico.

80 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 64 A Figura 4.18(a) mostra um capacitor formado entre duas placas metálicas condutivas, separadas por uma distância s, onde s << lambda. Quando uma onda TEM verticalmente polarizada incide sobre a célula unitária, cargas positivas e negativas se acumulam nas faixas superior e inferior, respectivamente. Isso dá origem a um capacitor, cuja capacitância é proporcional ao comprimento L, e inversamente proporcional à distância de separação das placas. Por outro lado, o filamento metálico de largura w mostrado na figura 4.18(b) atua localmente como um indutor para a mesma onda TEM, cujo campo magnético seja perpendicular ao filamento. (a) (b) Figura 4.19: (a) Célula unitária derivada do circuito paralelo LC resultante. (b) Célula unitária alterada para permitir a operação com polarizações horizontal e vertical. Aplicando essas idéias ao projeto, na célula unitária, existem duas metades de dois

81 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 65 patches adjacentes, os quais agem como o capacitor anterior, opostos através do substrato por um filamento metálico, de natureza indutiva (ver Figura 4.19(a)). Ao cascatear essas superfícies, obtém-se, então, um circuito LC paralelo, de resposta passa-faixa. Esse projeto inicial, no entanto, embora seja compacto, possui uma séria desvantagem: a FSS criada é sensível à polarização, funcionando apenas para ondas polarizadas verticalmente. Assim, para tornar a FSS operável em ambos os principais modos de polarização horizontal e vertical, algumas modificações podem ser feitas, como exemplificado na Figura 4.19(b). A estrutura obtida é simétrica e apresenta o mesmo circuito equivalente para ondas polarizadas vertical e horizontalmente. Além disso, alterando-se o número de camadas e controlando-se o coeficiente de acoplamento entre elas, é possível também escolher entre uma resposta multibanda ou de banda larga. 4.7 Elementos Convolucionados Matematicamente, a convolução é um operador linear, onde, a partir de duas funções dadas, obtém-se uma terceira, a qual mede a área subentendida pela superposição das funções originais com base no deslocamento existente entre elas. Equacionalmente, ( f g)(x) = h(x) = f (u) g(x u)du (4.5) onde f (x), g(x) e h(x) representam funções quaisquer. Para o propósito desse trabalho, o termo convolucionado pode ser usado genericamente para descrever geometrias de células unitárias em arranjos de superfícies seletivas de frequência onde estruturas complexas de elementos condutores ou aberturas são contorcidas, rotacionadas e, em alguns casos, interseccionadas. O principal objetivo da técnica de convolução é otimizar as propriedades de preenchimento de curvas para reduzir as dimensões dos elementos necessários para uma determinada frequência de ressonância na FSS. Além disso, ela também aprimora a estabilidade angular dessas superfícies, afastando as bandas de operação da região dos grating lobes, a qual é determinada pela periodicidade do arranjo [56]. Considere, por exemplo, um elemento patch de dois loops quadrados, o qual possui dois nulos de reflexão em frequências f r1 e f r2, correspondendo às ressonâncias dos anéis interno e externo.

82 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 66 Figura 4.20: Convolução de um loop quadrado. A variação no tamanho dos anéis é uma forma eficaz de alterar o espaçamento entre as duas bandas de reflexão, e ela representa uma forma bastante usada na literatura para casos em que se deseja um comportamento multibanda com faixas bem isoladas uma da outra, tipicamente com f r2 / f r1 2. No entanto, existem aplicações em que as bandas de operação estão relativamente bem próximas uma da outra. Nesse caso, as dimensões do anel interno tendem a assumir valores idênticos às do externo, o que torna o processo de fabricação da FSS praticamente inviável. Diante disso, uma solução de implementação simples é o uso de um formato convolucionado para o anel interno, tal como mostrado na Figura Figura 4.21: Diferentes iterações da Curva de Hilbert. (a) Primeira iteração. (b) Segunda iteração. (c) Terceira iteração. (d) Quarta iteração. Na Figura 4.20, constata-se claramente um aumento no comprimento elétrico do anel interno; na verdade, há um reforço no comportamento indutivo da estrutura, permitindo que as dimensões das células unitárias sejam drasticamente reduzidas. Essa abordagem se

83 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 67 assemelha bastante à utilizada na fractalização, e, de fato, diversas curvas convolucionadas, embora não todas, podem ser consideradas fractais. Assim, é comum deparar-se, por exemplo, com projetos de elementos convolucionados utilizando curvas fractais clássicas, como a de Hilbert, cujas iterações estão ilustradas na Figura Esse tipo de curva quadrada é gerado pelo sistema de Lindenmayer, e cada geração é composta por segmentos de tamanho d n e 2d n, onde a n-ésima iteração, a distância d n e o lado L do quadrado estão relacionados entre si por (2n 1)d n = L (4.6) Embora permita atingir um fator de compressão de frequência abaixo de 10% do comprimento de onda, uma FSS baseada nessa curva apresenta uma séria desvantagem: como o contorno sempre começa e termina em cantos adjacentes, a estrutura é assimétrica; portanto, ela não é independente de polarização. Figura 4.22: Dipolo carregado e seu equivalente convolucionado. Figura 4.23: Loop quadrado e seu equivalente convolucionado. Para situações em que é necessário obter polarização dupla, duas alternativas satisfatórias são o uso de dipolos carregados ou loops, ilustrados nas Figuras 4.22 e 4.23, respectivamente [57], e que derivam da primeira geração de elementos convolucionados [58].

84 CAPÍTULO 4. TÉCNICAS DE MINIATURIZAÇÃO 68 Nos últimos anos, a técnica de convolução vem sendo modificada, de tal modo que os elementos do arranjo possam se estender para além de suas células unitárias, interceptando elementos vizinhos. Essa técnica, em tradução livre, é chamada de entrelaçamento, e foi inicialmente aplicada a superfícies de alta impedância (High Impedance Surfaces - HIP) utilizando dipolos cruzados [59]. Figura 4.24: Entrelaçamento entre duas células unitárias de loop quadrado. O entrelaçamento na FSS funciona basicamente da seguinte forma: metade do ciclo normal de convolução é estendido para fora da célula unitária, enquanto que a outra metade é encurtada para permitir o ciclo estendido das células vizinhas, como mostra a Figura Por meio dessa técnica, é possível não apenas atingir um fator de redução bem superior ao de elementos tradicionais convolucionados, como também se é capaz de aprimorar a largura de banda da FSS [60]. Independentemente do uso do entrelaçamento, a convolução de elementos é uma área bastante promissora no estudo de superfícies seletivas em frequência, e há, inclusive, um trabalho em desenvolvimento deste autor visando ao projeto de uma FSS única convolucionada capaz de bloquear todas as bandas de comunicação ISM (Industrial, Scientific and Medical) e UNII (Unlicensed National Information Infrastructure), algo até então obtido apenas com múltiplas camadas.

85 Capítulo 5 Simulações e Resultados Experimentais Neste capítulo, é feita uma análise de algumas superfícies seletivas de frequência (FSS) com elementos miniaturizados. As geometrias apresentadas partem de uma FSS com dipolo simples e combinam diferentes técnicas de miniaturização, tais como elementos convolucionados e espirais fractais (FSE), permitindo a obtenção de um fator de miniaturização bastante significativo para baixas frequências, quando comparadas aos modelos tradicionais de FSS. Os resultados simulados foram obtidos por meio do software comercial Ansoft Designer. Além disso, para fins de validação, cinco diferentes protótipos de FSS foram construídos, e seus principais resultados são discutidos. 5.1 Introdução e Modelos de FSS Analisados Atualmente, superfícies seletivas em frequência representam um dos tópicos mais populares na área de dispositivos planares, sendo responsáveis por um elevado número de publicações científicas. Normalmente, esse estudo se divide em três grandes linhas de pesquisa: a descoberta de novas geometrias, o desenvolvimento de métodos de análise inéditos, e a proposta de futuras aplicações. Independentemente da abordagem, um objetivo em comum vem se tornando cada vez mais recorrente: a obtenção de FSS a partir de elementos de dimensões reduzidas nitidamente inferiores ao comprimento de onda de operação utilizando diferentes técnicas de miniaturização; no entanto, quase sempre a análise realizada é superficial ou usando métodos individuais, cedendo espaço para o desenvolvimento de trabalhos mais completos e aprofundados. Diante disso, este capítulo propõe diferentes modelos de FSS com elementos miniaturizados, obtidos a partir da aplicação das técnicas previamente estudadas, analisando o fator redutivo gerado nos casos individual e combinacional, como também seus efeitos em termos de largura e número de bandas de rejeição, estabilidade angular e regimes de

86 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 70 polarização. De modo complementar, um estudo paramétrico é realizado para algumas das FSS selecionadas, e seus resultados corroboram observações amplamente utilizadas em demais estruturas planares, como antenas e filtros de microfita, no que diz respeito a um controle dos pontos de ressonância a partir de valores equivalentes de indutância e capacitância. Por último, cinco protótipos diferentes são construídos em laboratório e, em seguida, medidos, de modo a validar os resultados simulados. As FSS analisadas podem ser divididas em 4 grupos e uma variante. O primeiro projeto utiliza um elemento clássico na teoria eletromagnética: um dipolo simples e serve como ponto de partida para as demais geometrias. O segundo modelo investiga o uso de elementos fractais espirais na composição da célula unitária, e a terceira FSS opera com elementos dipolos convolucionados. A seguir, essas duas técnicas são combinadas, gerando uma superfície pioneira e com elevado fator de miniaturização. Por fim, uma variante triangular de FSS convolucionada é abordada, com características de polarização dupla e uma melhor estabilidade angular. Para a obtenção dos resultados simulados, foi utilizado o software comercial Ansoft Designer T M, cuja análise matemática se baseia no Método dos Momentos. As FSS foram dispostas sobre um substrato de fibra de vidro, com permissividade elétrica ε r = 4.4, tanδ = 0.02 e espessura t = 1.57 mm, e é importante observar que, diferentemente do que ocorre com antenas e filtros de microfita, por exemplo, nenhum plano-terra pode ser incorporado à estrutura Dipolo simples Dipolos foram bastante utilizados no desenvolvimento dos primeiros filtros rejeitafaixa, mas devido à sua natureza assimétrica e a seu regime único de polarização, foram, aos poucos, substituídos por outras geometrias mais complexas, as quais permitiram uma maior flexibilidade de operação. No Capítulo 2, foi visto que uma FSS assemelha-se a um arranjo planar, cuja resposta em frequência é determinada por diversos fatores, dentre eles, o formato e a disposição dos elementos. Logo, a própria periodicidade da célula unitária poderia ser utilizada no controle da ressonância. Assim sendo, considere a Figura 5.1, a qual representa a célula unitária de uma FSS constituída por um dipolo de tamanho L = 13.5 mm e largura w = 1 mm, com periodicidade variável. O elemento metálico está impresso sobre um substrato de fibra de vidro, cujos parâmetros foram previamente especificados neste capítulo.

87 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 71 Figura 5.1: Representação de uma FSS com elemento dipolo. Para a análise desse projeto, serão considerados dois modelos de periodicidade: o quadrado (D x = D y ) e o retangular (D x D y ), sendo que esse último será subdividido em dois outros, com base na escolha da dimensão variável (horizontal/vertical). A Figura 5.2 apresenta as curvas de transmissão obtidas para três valores de periodicidade: 15 mm, 20 mm e 25 mm. É possível notar que não há uma variação significativa na ressonância da estrutura, que permanece em torno de 6.8 GHz. As Figuras 5.3 e 5.4 ilustram o que acontece quando as periodicidades aplicadas nas direções horizontal e vertical são diferentes. Os resultados de cada situação estão sumarizados nas Tabelas 5.1, 5.2 e 5.3 Figura 5.2: Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com diferentes valores de periodicidade quadrada.

88 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 72 Figura 5.3: Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com D y = 20 mm e diferentes valores de D x. Figura 5.4: Coeficiente de transmissão para FSS de elemento dipolo com D x = 10 mm e diferentes valores de D y. Ao fixar D y e fazer D x variável, nota-se claramente uma redução na frequência de ressonância, conforme aumenta a periodicidade horizontal. Diferentemente, uma maior

89 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 73 separação entre os elementos metálicos na direção vertical corresponde a um aumento, embora não tão significativo como no caso anterior, do ponto de ressonância da FSS, para um mesmo valor D x. Tabela 5.1: Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade quadrada. D x,y (mm) f r (GHz) Banda rejeitada (GHz) Tabela 5.2: Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade retangular com D y = 20 mm. D x (mm) f r (GHz) Banda rejeitada (GHz) Tabela 5.3: Tabela de ressonâncias para elemento dipolo com L = 13.5 mm, w = 1 mm e periodicidade retangular com D x = 10 mm. D y (mm) f r (GHz) Banda rejeitada (GHz) A partir dessas figuras e tabelas, é possível perceber também o efeito da periodicidade sobre a largura de banda da FSS. Essas variações nas dimensões da célula unitária podem levar a uma redução na largura de banda de 50-85%, constituindo, assim, um fator crítico de projeto.

90 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS FSS com elemento fractal espiral (FSE) O segundo modelo de FSS analisado trata-se de uma superfície com elementos fractais espirais. Esse tipo de contorno, além do design simplificado, permite atingir um número maior de iterações, no que diz respeito à implementação prática, facilitando o processo construtivo da estrutura. Na Figura 5.5, é ilustrada a técnica FSE de contorno quadrado aplicada ao dipolo introduzido na seção anterior, usando-se a seguinte regra de formação: L k = f k s L (5.1) onde L k é o comprimento do k-ésimo segmento, com k N, f s é o fator de redução e L é o comprimento do dipolo inicial, mantido igual ao do projeto anterior. A periodicidade considerada é D x,y = 15mm. É importante ressaltar que a FSS aqui analisada é diferente da discutida no Capítulo 4, uma vez que as regras de formação dos segmentos são diferentes. Inicialmente, decidiu-se analisar a influência da largura de fita w na resposta em frequência da FSS. Ora, em dispositivos planares envolvendo microfita, a frequência de ressonância de uma estrutura pode ser geralmente obtida como função da indutância e capacitância equivalentes do circuito da seguinte forma: 1 f r = 2π LC (5.2) Figura 5.5: Célula unitária de uma FSS com elemento FSE quadrado. Também sabe-se que fitas metálicas mais largas possuem uma indutância equivalente

91 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 75 menor, logo, de acordo com a equação (5.2), isso resulta em uma frequência ressonante maior. De fato, essa afirmação pode ser comprovada ao analisar o resultado obtido para um elemento FSE com f s = 0.7 e n = 4 e largura de fita w variável, conforme ilustrado na Figura 5.6. A Tabela 5.4 sumariza as ressonâncias obtidas em cada caso. Figura 5.6: Coeficiente de transmissão de uma FSS com elemento FSE quadrado para f s = 0.7 e n = 4. Tabela 5.4: Tabela de ressonâncias para elemento FSE com n = 4 e f s = 0.7. w (mm) f r (GHz) Banda rejeitada (GHz) Um aspecto prático fundamental na análise de uma FSS é sua estabilidade angular, ou seja, sua capacidade de operar eficazmente com raios eletromagnéticos incidentes oriundos das mais diversas direções. Nesse sentido, é comum avaliar a resposta da FSS para os dois tipos principais de polarização: horizontal e vertical. Os resultados simulados de estabilidade angular para a FSS com elemento FSE sob polarização vertical estão dispostos na Figura 5.7. Percebe-se que o desvio em frequência para as bandas de rejeição é relativamente limitado. De fato, para um ângulo de incidência

92 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 76 θ = 45, a variação na banda de rejeição permanece abaixo de 270 MHz, em comparação com o de uma incidência normal, o que atesta a estabilidade angular da estrutura para essa configuração. Figura 5.7: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE para diferentes ângulos θ de incidência e polarização vertical. Figura 5.8: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE para diferentes ângulos θ de incidência e polarização horizontal.

93 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 77 Por outro lado, no caso da polarização horizontal, mostrada na Figura 5.8, a ressonância simplesmente desaparece para ângulos de incidência superiores a 30. Além disso, a banda rejeitada varia radicalmente de posição, o que nos permite inferir que a estrutura em si é inapropriada para esse regime de polarização. Essa conclusão, na verdade, já era esperada, devido à natureza assimétrica da própria célula unitária. 5.3 FSS com elementos convolucionados O uso de elementos convolucionados é uma técnica bastante utilizada na miniaturização dos elementos de uma FSS, permitindo, ao mesmo tempo, uma redução significativa da frequência de ressonância, bem como um melhor desempenho em termos de polarização dupla e estabilidade angular. Nessa seção, é apresentado um novo modelo de célula unitária, baseado no dipolo inicial, o qual possui 4 hastes, correspondentes ao processo de convolução do elemento original. Todos os braços possuem o mesmo tamanho e estão interligados com um defasamento angular de 90 o entre eles, conforme ilustrado na Figura 5.9. Dada a configuração atual, a periodicidade da célula unitária precisou ser alterada, de modo que, agora, D x = D y = 30 mm. Além disso, para permitir uma comparação apropriada com os modelos anteriores, os valores de w e L foram mantidos em 1 mm e 13.5 mm, respectivamente. Figura 5.9: Célula unitária de uma FSS com elemento dipolo convolucionado. A estabilidade angular do dipolo convolucionado para diferentes ângulos de incidência e polarização horizontal pode ser aferida na Figura A atenuação do sinal mantém

94 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 78 um nível satisfatório na região de interesse, mantendo-se permanentemente acima de -20 db. Comportamento similar será observado no regime vertical, cuja demonstração é aqui dispensável por razões de simetria estrutural. Além disso, a frequência de ressonância, se comparada aos casos anteriores dipolo comum e FSE foi reduzida drasticamente, fato atribuído ao aumento do comprimento elétrico efetivo gerado pela inserção das hastes. Figura 5.10: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento dipolo convolucionado para diferentes ângulos de incidência e polarização horizontal. 5.4 FSS com elementos FSE convolucionados Nessa seção, as técnicas de fractalização e elementos convolucionados, cujos resultados foram exibidos anteriormente, são combinadas no projeto da célula unitária da FSS, de modo a obter um fator de miniaturização significativamente maior. Para tanto, dois modelos diferentes de convolução são utilizados: um FSE de contorno quadrado e um triangular, ambos utilizando como base a estrutura já vista na seção FSE quadrado A célula unitária com FSE convolucionado quadrado está ilustrada na Figura 5.11, em que D x = D y = 30 mm e L = 13.5 mm. Inicialmente, um estudo paramétrico é realizado na FSS, envolvendo variações nos seguintes aspectos de projeto:

95 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 79 Número de iterações fractais; Largura da fita condutora; Fator de escalonamento. Figura 5.11: Célula unitária de uma FSS convolucionada com FSE quadrado. Figura 5.12: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes números de segmentos fractais.

96 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 80 A Figura 5.12 ilustra o efeito da variação do número de cópias na resposta da FSS, considerando f s = 0.8 e w = 1.5 mm. Embora haja um comportamento inicial similar em torno de 1.5 GHz radiação do próprio dipolo, é possível perceber, para modos superiores, que valores elevados de n ou seja, células com um número maior de segmentos acarretam na redução das frequências de ressonância (vide Tabela 5.5). Isso ocorre porque o caminho percorrido pela corrente elétrica induzida passa a ser maior no circuito. Tabela 5.5: Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e n variável. n (segmentos) Ressonâncias (GHz) f r1 f r2 f r Para o fator de escalonamento, raciocínio similar é aplicado: segmentos com f s pequeno implicam em um corte no percurso da corrente elétrica, reduzindo a indutância equivalente e, portanto, levando a um aumento da frequência de ressonância, como mostram a Figura 5.13 e a Tabela 5.6, obtidas para w = 1.5 mm e n = 5 segmentos. Figura 5.13: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes fatores de redução.

97 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 81 Tabela 5.6: variável. Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e f s f s Ressonâncias (GHz) f r1 f r2 f r Figura 5.14: Coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado para diferentes larguras de fita metálica. Tabela 5.7: variável. Tabela de ressonâncias de FSS convolucionada com FSE quadrado e w w(mm) Ressonâncias (GHz) f r1 f r2 f r

98 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 82 Por fim, no caso da largura da fita metálica (Figura 5.14, com f s = 0.7 e n = 4 segmentos), tem-se uma grandeza inversamente proporcional à frequência, pois do Eletromagnetismo sabe-se que fitas mais grossas acarretam em uma redução da indutância equivalente do circuito, o que, por sua vez, gera um aumento da ressonância, de acordo com a equação 5.2. A Tabela 5.7 sumariza esses resultados. Após essa análise inicial, como meio de validação dos resultados foi construído em laboratório um protótipo de FSS convolucionada com elemento FSE quadrado, com as seguintes dimensões de projeto: tamanho do dipolo iniciador L = 13.5 mm, largura da fita metálica w = 1.5 mm, n = 5 segmentos e fator de escalonamento f s = 0.9. A FSS foi montada sobre um dielétrico de fibra de vidro com permissividade dielétrica ε r = 4.4, de dimensões 25x25 cm e espessura de 1.57 mm. As medições foram realizadas utilizando um analisador vetorial de redes modelo Agilent N5230A e um par de antenas cornetas Vivaldi. A Figura 5.15 traça um comparativo entre os coeficientes de transmissão simulado e medido para a faixa de 2 9 GHz. Nota-se, em geral, uma boa concordância entre os resultados, com picos ressonantes em torno de GHz, GHz e Ghz. Figura 5.15: Resultados simulado e medido do coeficiente de transmissão da FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para w = 1.5 mm, n = 5 segmentos e f s = 0.9. A estabilidade angular da FSS sob regimes de polarização horizontal e vertical também foi avaliada, com ângulos de incidência (θ) variando de 0 a 30, conforme mostram as Figuras 5.16 e 5.17.

99 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 83 Figura 5.16: Coeficientes de transmissão de FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para diferentes ângulos de incidência sob polarização horizontal. Figura 5.17: Coeficientes de transmissão de FSS com elemento FSE convolucionado quadrado para diferentes ângulos de incidência sob polarização vertical.

100 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 84 A partir dos resultados medidos, percebe-se que a largura de banda praticamente não sofreu degradação, em ambos os casos, para as duas primeiras zonas de ressonância. Já na região entre GHz, a Figura 5.16, correspondente à polarização horizontal, evidencia uma redução na banda de passagem, o que, por si só, não compromete o desempenho da FSS como um todo, incidindo apenas sobre seu range de atuação FSE triangular O projeto do FSE triangular é baseado em um triângulo equilátero, cujo lado iniciador (dipolo) tem comprimento médio L = 13.5 mm e os segmentos conseguintes são formados pela regra f sn L, onde f s = 0.8. A largura da fita w = 1 mm e ele possui n = 4 segmentos. Nesse caso, torna-se inviável utilizar um número maior de iterações fractais, pois o elemento FSE seria atravessado por seu próprio processo de convolução. A célula unitária dessa estrutura está representada na Figura Figura 5.18: Célula unitária de uma FSS convolucionada com FSE triangular. Esse modelo de FSS, tal como o FSE quadrado, também foi construído em laboratório para fins de validação experimental, utilizando o mesmo setup descrito na seção Sua resposta em frequência é exibida na Figura 5.19, havendo uma boa concordância entre os resultados simulado e medido para a primeira e terceira bandas ressonantes. No caso da segunda faixa, existe uma divergência de cerca de 200 MHz entre os valores obtidos, a qual pode ser atribuída à presença de curtos-circuitos em células unitárias da placa, como por exemplo o da Figura 5.20). Essas falhas foram ocasionadas pela ineficácia do processo de corrosão em determinados trechos do FSE onde havia uma distância ínfima

101 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 85 de separação entre as trilhas metálicas, e algumas delas não puderam ser identificadas previamente às medições. Retomando os resultados da Figura 5.19, as três bandas resultantes estão aproximadamente centradas em GHz, GHz e GHz, as quais, se comparadas às obtidas no projeto do FSE quadrado, representam reduções percentuais de frequência de 44.4%, 37.3% e 33.4%, respectivamente. Portanto, o uso da convolução associada a um FSE triangular permite ampliar ainda mais o fator de miniaturização da FSS. Figura 5.19: Resultados simulado e medido do coeficiente de transmissão da FSS com elemento convolucionado FSE triangular para w = 1 mm e n = 4 segmentos. Figura 5.20: Pequeno curto-circuito localizado em célula unitária da FSS com FSE triangular. As Figuras 5.21 e 5.22, por sua vez, correspondem, respectivamente, à análise de estabilidade angular para as polarizações horizontal e vertical, usando ângulos de incidência

102 CAPÍTULO 5. SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 86 variando entre 0 a 30. Uma vez mais, nota-se que a largura de banda é preservada em ambos os casos, de modo que a estrutura obtida tem estabilidade angular e independência de polarização. Figura 5.21: Coeficientes de transmissão de FSS com elemento convolucionado FSE triangular para diferentes ângulos de incidência sob polarização horizontal. Figura 5.22: Coeficientes de transmissão de FSS com elemento convolucionado FSS triangular para diferentes ângulos de incidência sob polarização vertical.

103 Capítulo 6 Conclusões Neste trabalho, foi discutido o uso de diferentes técnicas de miniaturização aplicadas a superfícies seletivas de frequência, tais como a fractalização, os padrões complementares e as estruturas biônicas. Diferenciando-se das demais pesquisas recentes na área, esse trabalho é pioneiro ao propor e analisar a combinação de um processo de fractalização relativamente recente, chamado Elemento Fractal Espiral (FSE), com a técnica matemática da convolução, potencializando suas propriedades individuais e resultando em uma FSS com elementos de dimensões bastante reduzidas, mesmo para faixas de frequência mais baixas. Além disso, também é investigado seu impacto sobre a largura de banda dessas estruturas e suas características de estabilidade angular e independência de polarização. Uma revisão sobre os fundamentos de operação das superfícies seletivas em frequência foi apresentada no Capítulo 2, contemplando não apenas o princípio eletromagnético por trás de seu funcionamento comportamento como filtros em frequências, mas também aspectos históricos e práticos, como a própria descoberta das grades difratoras de luz pelo físico David Rittenhouse e o atual potencial das FSS em áreas que se estendem do desenvolvimento de HGAs (Antenas de Hiper-Ganho) e sub-refletores ao aprimoramento da segurança pública em presídios regionais. Foi visto, ainda, o papel dos grating lobes no desempenho de tais superfícies e como a geometria disposta em suas células unitárias influencia sua resposta. A seguir, discorreu-se acerca de geometrias fractais, um dos pilares desta tese. Propriedades importantes, como os diferentes graus de auto-similaridade e tipos de dimensão foram devidamente explorados, envolvendo, inclusive, a análise de alguns modelos conhecidos de fractais isotrópicos e anisotrópicos. O uso da fractalização não apenas permite a redução da frequência de ressonância da FSS, mas também incorpora em sua resposta um comportamento em banda múltipla, o qual pode, se devidamente projetada a FSS, ter, inclusive, suas bandas de passagem individualmente controladas. Fundamentado pelos capítulos anteriores, o trabalho se debruçou, então, no estudo

104 CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 88 de algumas das principais técnicas de miniaturização aplicadas a FSS: padrões complementares, estruturas biônicas, guias de onda integrado e elementos convolucionados. Foi visto, por exemplo, que CFSS compostas por espiras quadradas e anéis circulares permitem a redução dos níveis de polarização cruzada, além de permitirem, junto à utilização de meandros, taxas de miniaturização bastante significativas. Outra técnica interessante estudada foi o desenvolvimento de estruturas biônicas, as quais são baseadas na observação e emulação de fenômenos e processos naturais, e que têm servido de base para diversas pesquisas recentes na área de FSS. Com base nas técnicas abordadas no Capítulo 4, foram, posteriormente, apresentados cinco projetos distintos de FSS, contemplando casos desde a completa ausência de processos de miniaturização a modelos onde há uma combinação de dois deles. Como forma de validação dos resultados simulados, obtidos por meio do software comercial Ansoft Designer T M, procedeu-se à criação e medição, em laboratório, de protótipos de FSS correspondentes a cada um desses casos, utilizando um setup de medição composto por duas antenas cornetas e um analisador vetorial de redes. O primeiro caso analisado foi o dipolo simples, para o qual foi realizada uma avaliação do efeito da periodicidade na FSS correspondente. Apesar de ser um projeto simples e servir de referência para os demais modelos, esse tipo de dipolo possui bandas de ressonância relativamente elevadas e atua apenas em regime de polarização único. Os dois casos seguintes foram derivados diretamente dele: uma FSS com elemento FSE, obtido mediante um processo de fractalização, e uma FSS com dipolo convolucionado, resultante de uma manipulação geométrica. Embora para ambos tenha sido constatatada uma redução na frequência de ressonância, é importante destacar que ela foi mais acentuada no processo de convolução, visto que ele implica em elementos com o dobro do tamanho do projeto original. Os dois últimos modelos correspondem às variantes convolutivas triangular e quadrada de um dipolo com elemento FSE, ou seja, sua estrutura abrange a combinação de duas das principais técnicas de miniaturização conhecidas. Para a versão quadrada, foi realizado um estudo paramétrico envolvendo as principais características de projeto do dipolo a largura da fita, o fator de escalonamento fractal e o número de iterações fractais, ou segmentos cujos resultados obtidos estão de acordo com a teoria clássica do Eletromagnetismo e podem ser consistentemente utilizados no controle de ressonância da FSS. O uso de um elemento FSE triangular, por sua vez, não apenas permite reduzir ainda mais as dimensões das células unitárias da FSS, mas também reforçar seu comportamento de estabilidade angular e independência de polarização, como visto nos resultados medidos.

105 CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 89 A Figura 6.1 traça um comparativo de evolução das ressonâncias para cada um dos projetos analisados nesse trabalho, sendo possível constatar uma redução de até 79.3% na frequência de ressonância entre os projetos de FSE convolucionada triangular e o dipolo simples iniciador. Fundamentalmente, mais do que em números, a importância dessa tese está em estender as fronteiras de aplicabilidade das FSS, utilizando a combinação de diferentes técnicas já conhecidas no Eletromagnetismo para atender à demanda contínua e renovável de dispositivos tecnológicos cada vez mais integrados e portáteis. Figura 6.1: Comparativo da frequência de ressonância da FSS para os diferentes casos estudados. Assim, para futuros trabalhos nessa linha de pesquisa, sugere-se, dentre tantas outras possibilidades, o uso de geometrias multifractais convolucionadas, o que permitiria obter um controle individual das diferentes bandas de ressonância da FSS. A integração com meios metamateriais também tem um potencial promissor, uma vez que as propriedades dos chamados materiais LH (Left-handed) permitiriam aprimorar a resposta passa-faixa da FSS para aplicações que requerem um comportamento mais preciso, como o desenvolvimento de radomes para aplicações aeroespaciais.

106 Referências Bibliográficas [1] G. A. Deschamps. Microstrip microwave antennas". 3rd USAF Symposium on Antennas, [2] B. B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, [3] N. Cohen. Fractal antenna applications in wireless telecommunications". Professional Program Proceedings at Electronics Industries Forum of New England, 1997, pages 43 49, pp , Boston, [4] N. Cohen. Fractal coding in genetic algorithm (ga) antenna optimization". IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 3: , vol.3., pp , Montreal, [5] R. V. Hara Prasad, Y. Purushottam, V. C. Misra, and N. Ashok. Microstrip fractal patch antenna for multiband communication". Electronic Letters, 36: , vol. 36, pp , [6] S. E. Melais and T. M. Weller. A multilayer jerusalem cross frequency selective surface". IEEE 10th Annual Wireless Microwave Technology Conference (WAMICON 2009)., pages 1 5, pp. 1 5, Clearwater, Florida, [7] A. L. P. S. Campos, R. H. C. Manicoba, L. M. Araujo, and A. G. d Assuncao. Analysis of simple fss cascading with dual band response". IEEE Transactions on Magnetics, 46(8): , vol. 46, No. 8, pp , [8] J. Romeu and Y. Rahmat-Samii. Fractal fss: a novel dual-band frequency selective surface". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 48(7): , vol. 48, No. 7, pp , [9] E. C. Braz and A. L. P. S. Campos. Multiband frequency selective surfaces with a modified multifractal cantor geometry". Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, 13(2): , vol. 13, No. 2, pp ,

107 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 91 [10] E. C. Braz. Análise de superfícies seletivas em frequência com geometrias multifractais". Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, [11] F. Hopkinson and D. Hittenhouse. An optical problem, proposed by mr. hopkinson, and solved by mr. hittenhouse". Transactions of the American Philosophical Society, pages , vol. 2, pp , [12] G. Marconi and C. S. Franklin. Us patent. Reflector for use in wireless telegraphy and telephony", No , [13] Meng Li and N. Behdad. Frequency selective surfaces for pulsed high-power microwave applications". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 61: , vol. 61, pp , [14] Y. J. Kim, S. S. Nam, and H. M. Lee. Frequency selective surface superstrate for wideband code division multiple access system". European Wireless Technology Conference (EuWIT 2009)., pages 33 36, pp , Roma, [15] L. Martinez-Lopez, J. Rodriguez-Cuevas, J. I. Martinez-Lopez, and A. E. Martynyuk. A multilayer circular polarizer based on bisected split-ring frequency selective surfaces". IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 13: , vol. 13, pp , [16] H. Zhou, S. Qu, B. Lin, J. Wang, H. Ma, Z. Xu, W. Peng, and P. Bai. Filter-antenna consisting of conical fss radome and monopole antenna". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 60: , vol. 60, No. 6, pp , [17] N. Zabri, R. Cahill, and A. Schuchinsky. Polarisation independent resistively loaded frequency selective surface absorber with optimum oblique incidence performance". IET Microwaves, Antennas & Propagation, 8: , vol. 8, No. 14, pp , [18] M. R. Chaharmir and J. Shaker. Design of a multilayer x-/ka-band frequencyselective surface-backed reflectarray for satellite applications. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 63: , vol. 63, pp , [19] F. Bayatpur and K. Sarabandi. Tuning performance of metamaterial-based frequency selective surfaces". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 57: , vol. 57, No. 2, pp , 2009.

108 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 92 [20] M. Born and E. Wolf. Principles of Optics. Cambridge University Press, [21] A. L. P. S. Campos. Superfícies Seletivas em Frequência: Análise e Projeto. Editora IFRN, [22] Ben A. Munk. Finite Antenna Arrays and FSS. John Wiley & Sons, Inc., 1st edition, [23] S. Cellozzi, R. Araneo, and G. Lovat. Electromagnetic Shielding. A John Wiles & Sons, Inc., 1st edition, [24] J. C. Vardaxoglou and E. A. Parker. Performance of two tripole arrays as frequency selective surfaces". Electronic Letters, 19(18): , vol. 19, No. 18, pp , [25] B. A. Munk. Frequency Selective Surfaces: Theory and Design. John Wiley & Sons, Inc., [26] C. H. Tsao and R. Mittra. Spectral-domain analysis of frequency selective surfaces comprised of periodic arrays of cross dipoles and jerusalem crosses". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 32(5): , vol. 32, No. 5, pp , [27] D. C. Kohlgraf. Design and testing of a frequency selective surface (fss) based wide-band multiple antenna system". Dissertação de Mestrado, The Ohio State University, [28] M. Bozzi and L. Perregrini. Analysis of multilayered printed frequency selective surfaces by the mom/bi-rme method". IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 51: , oct vol. 51, No. 10, pp , [29] E. Parker, B. Philips, and R. Langley. Ray tracing analysis of the transmission performance on curved fss". IEEE Proceedings on Microwaves, Antennas and Propagation, 142: , [30] X. Yao, M. Bai, and J. Miao. Equivalent circuit method for analyzing frequency selective surface with ring patch in oblique angles of incidence". IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 10: , vol. 10, pp , [31] I. Adoui, M. Titaouine, H. Choutri, and H. Boudrand. Wcip method as applied to rectangular patch multiplayer periodic structure iteration". International Journal

109 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 93 of Computer Science and Electronics Engineering, 2: , vol. 2, No. 4, pp , [32] C. H. Chan, K. F. Man, and R. Mittra. A genetic algorithm approach to fss filter design". IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 4: , vol. 4, pp , [33] G. H Schennum. Frequency selective surfaces for multiple frequency antennas". Microwave Journal, 16:55 57, vol. 16, No. 5, pp , [34] M. Cerveny and J. M. Rigelsford. An inductive frequency selective surface for use in secure facilities". Antennas & Propagation Conference (LAPC 2015), pages , pp. 1 4, Loughborough, [35] K. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1st edition, 2 edition, [36] Disponível em: < Acesso em: 03/09/2016. [37] Y. Zhang, J. Jiang, L. Lin, F. Shi, Y. Zhou, C. Yu, K. Li, and T. Jiang. A surfacebased fractal information dimension method for cortical complexity analysis". Medical Imaging and Augmented Reality, vol. 5128, pp , Tokyo, [38] M. Boon, B. Henry, C. Suttle, and S. Dain. The correlation dimension: A useful objective measure of the transient visual evoked potential?". Journal of Vision, 8:1 21, vol. 8, No. 1, [39] A. L. Barabási and H. E. Stanley. Fractal Concepts in Surface Growth. Cambridge University Press, [40] P. M. Iannaccone and M. Khokha. Fractal Geometry in Biological Systems: An Analytical Approach. CRC Press, [41] H. M. Nussenzveig. Complexidade e Caos. UFRJ, [42] F. Huang, J. C. Batchelor, and E. A. Parker. Interwoven convoluted element frequency selective surfaces with wide bandwidths. Electronics Letters, vol. 42, No. 14, pp , 2006.

110 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 94 [43] S. Barbagallo, A. Monorchio, and G. Manara. Small periodicity fss screens with enhanced bandwidth performance. Electronics Letters, vol. 42, No. 7, pp , [44] A. L. P. S. Campos, F. C. G. Segundo, R. H. C. Maniçoba, A. G. Neto, and A. G. D Assunção. A simple fractal geometry to design multiband frequency selective surfaces". Microwave and Optical Technology Letters, vol. 54, No. 10, pp , [45] E. C. Braz and A. L. P. S. Campos. A new multifractal geometry for design of frequency selective surfaces with dual band response. Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 13, No. 2, pp , São Caetano do Sul, [46] D S. Lockyer, J. C. Vardaxoglou, and R. A. Simpkin. Complementary frequency selective surfaces. IEEE Proceedings on Microwaves, Antennas and Propagation, vol. 147, No. 6, pp , [47] X. D. Hu, X. L. Zhou, L. S. Wu, L. Zhou, and W. Y. Yin. A miniaturized dual-band frequency selective surface (fss) with closed loop and its complementary pattern. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, vol. 8, pp , [48] Disponível em: < Acesso em: 12/09/2016. Titulo desconhecido, [49] W. Jiang, T. Hong, and S. X. Gong. Miniaturized frequency selective surface with a bionical structure. Microwave and Optical Technology Letters, vol. 55, No. 2, pp , [50] T. K. Wu. Four-band frequency selective surface with double square loop patch elements. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 42, No. 12, pp , [51] J. Huang, T. K. Wu, and S. W. Lee. Tri-band frequency selective surface with circular ring elements. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 42, No. 2, pp , [52] R. R. Xu, Z. Y. Zong, and W. Wu. Low-frequency miniaturized dual-band frequency selective surfaces with close band spacing. Microwave and Optical Technology Letters, vol. 51, No. 5, pp , 2009.

111 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 95 [53] V. F. Barros. Estudo do efeito de substratos metamateriais em parâmetros de antenas de microfita. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, [54] F. Bayatpur. Metamaterial-inspired frequency-selective surfaces. Tese de Doutorado, University of Michigan, [55] K. Sarabandi and N. Behdad. A frequency selective with miniaturized elements. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 55, No. 5, pp , [56] V. F. Barros, A. L. P. S. Campos F. C. G. S. Segundo, and S. G. Silva. A novel simple convoluted geometry to design frequency selective surfaces for applications at ism and unii bands. Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 16, No. 2, [57] B. S. Izquierdo, E. A. Parker, J. B. Robertson, and J. C. Batchelor. Singly and dual polarized convoluted frequency selective surfaces. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 58, No. 3, pp , [58] E. A. Parker. Convoluted frequency selective array elements derived from linear and crossed dipoles. IEE Proceedings H - Microwaves, Antennas and Propagation, vol. 140, No. 5, pp , [59] S. Tse, B. S. Izquierdo, and R. J. Langley. Reduced sized cells for high-impedance ground planes. Twelfth International Conference on Antennas and Propagation (ICAP 2003), vol. 2, pp , [60] F. Huang, J. C. Batchelor, and E. A. Parker. Interwoven convoluted element frequency selective surfaces with wide bandwidths. Electronics Letters, vol. 42, No. 14, pp , 2006.

112 Apêndice A Fotos das estruturas construídas Figura A.1: FSS com elemento dipolo simples. Figura A.2: FSS com elemento dipolo FSE.

113 APÊNDICE A. FOTOS DAS ESTRUTURAS CONSTRUÍDAS 97 Figura A.3: FSS com elemento dipolo convolucionado. Figura A.4: FSS com elemento convolucionado FSE quadrado.

114 APÊNDICE A. FOTOS DAS ESTRUTURAS CONSTRUÍDAS 98 Figura A.5: FSS com elemento convolucionado FSE triangular.