Complexidade Computacional, Lógica e Teoria da Prova. Topicos em Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

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1 Complexidade Computacional, Lógica e Teoria da Prova

2 É mais fácil verificar uma solução do que calculá-la??? f(x) = 0 2 x 1 => Para se escrever 0 2 x a partir de x se usa tempo exponencial. 2 => Para, dados <x,y>, verificar-se se f(x) = y usa-se tempo polinomial 1 => Para se encontrar uma valoração que satisfaça uma fórmula booleana parece precisar-se de tempo exponencial. 2 => Dada uma fórmula e uma valoração, verifica-se em tempo polinomial se esta satisfaz a fórmula,.

3 PV p = { f / f(a 1,...,a k )= b é verificável em tempo poli para toda <a 1,...,a k,b> } PC p = { f / f(a 1,...,a k ) é calculável em tempo poli para toda <a 1,...,a k >} Teorema : PV p PC p se e somente se P = NP

4 Qual a relação entre a Lógica e a Computação? - O que é a (Teoria da) Computação? (Tentativa de) conceituação do Computável - O que é Lógica? (Tentativa de) conceituação do Razoável

5 Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Antes de 1879 ====> Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.) Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)

6 Evolução da Lógica como assunto matemático DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas, com a adição do conceito de pertinência ( ) como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente!! ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha, etc

7 Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell - Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica. - Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível. - Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível - Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem - Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: #α é o código de α. - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência. - Gentzen (1936) prova a consistência da aritmética ( Haupsatz para o Cálculo de Sequentes)

8 Computável Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento =? Antes de 1900 d.c ====> Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667) Máquina de Calcular de Pascal. l (Pascal sec.xvii) Máquina de Babbage (Ch. Babbage. sec. XIX)

9 A Computação do ponto de vista das funções recursivas Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/ Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e nested a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler, apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística A. Church Define o λ-calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.

10 Sxyz apple (xy)xz Kxy apple x Ix apple x (I SKK) :0: I :1: P0K :2: P1K... :n: P:n-1:K... P Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador F C 1 C 2... C n tal que para todo n N (F:n: apple :m:) f é recursiva f(n) = m) n existe uma máquina de Turing M, tal que M com na fita de entrada M pára com na saída sss n f(n) = m existe um algoritmo de Markov A, m t.q. A lendo pára e produz o string na saída sss f(n) = m m

11 A Máquina de Turing - Modelo determinístico σ q q Máquina Universal U U(i,a) = T i (a) - Modelo multi-cabeça (determinístico) σ i1 σ i2 σ ik q i1 q i2 q ik

12 M. Turing modelo multi-fita (determinístico) 1 σ i1 2 σ i2 q i1 q i2 k σ ik q ik

13 A partir da década de 50 (sec. XX)... algoritmo Sequência de passos Conjunto de sequência de passos não-determinismo determinismo paralelismo paralelismo c/ sincronia

14 - Modelo não-determinístico A Máquina de Turing (cont.) σ q ε σ η q1 q2 q3 δ γ τ q11 q12 q13 τ τ τ τ τ τ

15 Medindo a eficiência de algoritmos - Escolha do modelo - Recursos: Tempo x Memória - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem - Computação de Funções - Problemas de otimização - Problemas de decisão, - Linguagens - Classes de complexidade: Como defini-las???

16 x Problemas de Decisão x P? sim não x Σ * Prog. 1 0 Problemas de Decisão Linguagens Formais

17 Algumas Definições L DTime(f) sss m TuringDet t.q. (m decide L) e c, x Strings steps(m,x) cf( x ) L DSpace(f) sss m TuringDet t.q. (m decide L) e c, x Strings space(m,x) cf( x ) - Como medir espaço (memória)??? - Qualquer tipo de função serve como parâmetro de medida??

18 Por que considerar classes assintóticas de funções?? Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer ε > 0 existe uma M. Turing Mε que decide L em tempo ε.f(n) + n + 2. Prova : Modificar o tamanho da palavra de memória Consequências do seedup: Se L é decidida em tempo f(n) = 165.n k n então L é decidida em tempo f (n) = n k Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)

19 Funções de tempo construtivas Fato: Existe f, tal que, DTime(f) = Dtime(2 f ) Def. f é uma funçao de tempo construtível, sss, existe uma máquina de Turing M tal que para todo n, M(1 n ) = 1 f(n ) e steps(m, 1 n ) cf(n). Propriedades : - Para qualquer função computável g existe uma função de tempo construtível f tal que g < f. - As funçoes polinomiais, exponencial e logaritmos (inteiros) são funções de tempo construtíveis

20 As funções step e space - space deve levar a entrada em consideração? - step deve levar a leitura da entrada em consideração? - O modelo (M.T.) tem alguma robustez com relação as medidas? - O que acontece quando modifica-se o número de cabeças? Fato: Se L é reconhecida em tempo O(f) em uma MT com mais de uma cabeça, então L é reconhecida em tempo O(f 2 ) em uma MT com uma cabeça. - O que acontece quando modifica-se o número de fitas? Fato: Se L é reconhecida em tempo O(f( x )) em uma MT com uma fita, então L é reconhecida em tempo O((1/2 k )f( x )+ x ) em uma MT com k fitas

21 Algumas propriedades e definições: Se f é de tempo construtível então : codtime(f) = { L / m TuringDet t.q. (m decide L c ) e x Strings steps(m,x) O(f( x )) } Fato I: DTime(f) =codtime(f) Fato II: Se n f(n) e L 1 ΔL 2 finito então L 1 DTime(f) sss L 1 DTime(f) Fato III: DTime(f) é construtivamente enumerável, i.e., existe uma MT T tal que T(i,x) = T i (x) e DTime(f) = {L i / T i decide L i }. Def. P = DTime(n i ) i N Def. EXP = DTime(2 n i ) i N

22 Teorema de Cantor {A / A B} ==> Seja B um conjunto, então B < 2 B Prova: Suponha que B = 2 B então existe f: B 2 B S = { x / x f(x) } f -1 (S) S se e somente se f -1 (S) S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.

23 O método da diagonal de Cantor suponha que (0,1) = N a 0 = 0, a oo a o1 a o2 a o3 a o4... a on... a 1 = 0, a 1o a 11 a 12 a 13 a a 1n... a n = 0, a no a n1 a n2 a n3 a n4... a nn... b j = 5 se a jj = 9 9 senão b = 0,b 0 b 1 b 2 b 3 b 4... b n... (0,1) N

24 Hierarquia própria de funções construtivas Para f = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f( x ) passos} FatoI : Para f DTime(f 3 ) FatoII : Para f DTime(f(x/2)) Prova: Diagonalização Corolário I : DTime(f(n)) DTime(f(2n+1) 3 ) Corolário II : P EXP

25 Classes de Complexidade e algumas relações Def. PSpace = DSpace(n i ) i N Def. NP = NTime(n i ) i N Def. NPSpace = NSpace(n i ) i N Def. Log = Space(log) e NLog = NSpace(log) Log NLog P NP NSpace

26 - DSpace(f(n)) NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) NTime(f(n)) - NTime(f(n)) DSpace(f(n)) - NSpace(f(n)) DTime(k log n + f(n) ) (obs; Número de conf. + alcançabilidade) - Alcançabilidade Space(log 2 ) NSpace(f) Space(f 2 ) - número de nós alcançavel Space(log) => NSpace(f) = conspace(f)

27 A Ciência da Computação Hoje : NP = P? (Cook 1971) P : Encontra solução em tempo polinomial NP : Verifica solução em tempo polinomial CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial Sat NP Taut CoNP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se CoNP NP então NP P

28 Def. Seja C uma classe de problemas (linguagens). Diz-se que um problema (ling.) P é C-completo (a) se e somente se todo problema (ling) de C é redutível a P. Isto é resolver P é tão difícil quanto resolver qualquer outro problema em C. Exemplos: - Saber se um programa pára (via outro programa) é Rec-Completo, onde Rec é o conjunto dos problemas (ling) recursivos. - Saber se dado uma solução para um problema esta é verificável em tempo polinomial é tão difícil quanto decidir se uma sentença da lógica proposicional é verdadeira. Sat é NP-completa.

29 decidir se uma fórmula da lógica prop é Sat decidir se uma 3CNF fórmula é Sat O(2 n ) P NP NPC? O(n 3 ) O(n 2 ) decidir se uma fórmula da lógica de predicados é Sat decidir primalidade decidir se 2 cláusulas de Horn prop são equiv. decidir se uma 2CNF é Sat O(n) decidir se uma cláusula de Horn prop é Sat Obs: Supondo P NP

30 Alguns Fatos Importantes : Fato 1: Existe um oráculo B tal que P B = NP B Prova: NPSPACE=PSPACE e B um problema NPSPACE completo Fato 2: Existe um oráculo C tal que P C NP C Prova: Diagonalização Discussão : Simulação e Diagonalização para provar P = NP??

31 Fato : Se P NP então NP-NPC. Prova: Diagonalização Uniforme [Ladner 1975]

32 Lema: Sejam C1 e C2 duas classes de Linguagens, tais que : 1- C1 e C2 são construtivamente enumeráveis 2- C1 e C2 são fechadas para variação finita 3-Existe L1 C1 e L2 C2 nestas condições existe L, tal que: L C1 C2 e L L1 L2 Prova: Diagonalização Teorema: Se P NP, então Sat P e NPC então existe L P NPC

33 A representação influencia a complexidade de um problema?? Alfabetos?? Teorema: Se alguma linguagem unária for NP-completa então P=NP. Prova :

34 Hierarquia de Kleene

35 Hierarquia Polinomial

36 Circuitos Booleanos => Dígrafos acíclicos com nós AND, OR, NOT, nós iniciais (sem arco entrante) e um e somente um nó terminal (sem saída) Exemplo: Circuito para computar alcançabilidade em grafos. Entrada = <Grafo, <1,n>> G ij = matriz de adjacências de um dígrafo direto pass. por 1. pass. por 1 ou direto. pass. por 2 (poss. por 1 tb) pass. por 2,1 ou direto. pass. por 5,4,3, 2,1 ou direto.

37 Famílias de Circuitos Booleanos Def. L é decidida por uma família (C i ) i N, sss, para todo string s, com s = n, C n aceita s se e somente se s L. Questão : O tamanho de um circuito tem a ver com a complexidade (em MT) do problema de decisão associado??? Resp. : Prox. Slides Obs: => Alcançabilidade tem circuitos de tamanho O(n 3 ) e profundidade O(n) Conjectura: Todo problema de decisão com famílias de circuitos de tamanho polinomial é um problema que está em P??

38 Resp: NÃO => Problemas indecidíveis tem famílias polinomiais de circuitos booleanos Exemplo: Seja D {1} * uma linguagem indecidível. e seja (A i ) i N a família de circuitos tal que - se 1 k D então A k é o circuito só com portas AND e k fontes - se 1 k D então A k é o circuito com só portas AND e uma NOT ao final.

39 Famílias Uniformes de Circuitos Booleanos Fato: NLSpace P (k log(n) = n) Def. Uma família (C i ) i N de circuitos booleanos é uniforme, sss, existe uma MT (não determinística) que para entrada 1 n gera o circuito C n usando log(n) células da fita. ==> Alcançabilidade possui família uniforme de circuitos booleanos - Dado n, existe uma MT para gerar C n usando somente log(n) de espaço na fita de trabalho. ==> Gerar todos os circuitos de profundidade n com n 2 nós fontes e verificar se a forma é a requerida.

40 Nova Conjectura: P = Linguagens aceitas por famílias uniformes de Circuitos booleanos de tamanho polinomial?? Desta vez SIM. Prova: Construção usada na prova que SAT é NP-completo e definição de família uniforme de Circuitos de tamanho polinomial. ( ) Trivial ( ) Seja L P, então existe uma MT det. M que decide L em tempo n k. Seja w L, tal que w =n. Da tabela de computação de M constrói-se um circuito C n.

41 Tabela de computação de M para a entrada w w =n q 0 σ 1 σ 2 σ n-1 σ s 11 s s 1m s 21 s s 2m s (n-1)1 s (n-1)2... s (n-1)m s n1 s n s nm ν x-1 ν x ν x+1 ν x tempo t tempo t+1 n k a 11 a a 1m a 21 a a 2m a d1 a d2... a dm a (p-1)1 a (p-1)2... a (p-1)m a t1 a a pm σ 1 σ 2 q σ p-1 σ p... j σ 2 b 11 b b 1m b 21 b b 2m A C E I T A...

42 Observações: 1- O tamanho do circuito Pad só depende de M. Se Γ = Est(M) Alfa(M) {, } e c = Γ então Pad = 3.c 2- w L, se e somente se, o circuito tem valor true quando alimentado com cod(w). 3- O construção de um circuito C w é feita a partir de M e w usando espaço de ordem log( w ) na fita. Algoritmo imprime na fita de saída as diversas cópias de Pad (tamanho independente da entrada), com as respectivas junções de e/s que usam espaço de ordem log( w ).

43 Proposição: Toda linguagem em P possui família uniforme de circuitos booleanos de tamanho polinomial. Corolário: SE existe L NP é tal que toda família uniforme de circuitos que decide L não tem tamanho limitada por nenhum polinômio ENTÃO P NP Um caminho para provar P NP : ==> Provar que algum problema NP-completo possui cota inferior superpolinomial

44 Circuitos x Circuitos monotônicos - Circuitos monotônicos são aqueles construídos sem o uso da porta NOT. Def. Uma função booleana f é monotônica, se e somente se, se a b então f(x 1,...,a,...,x n ) f(x 1,...,b,...,x n ). Obs I: Todo circuito monotônico computa uma função monotônica Obs II: O circuito utilizado na demonstração da conjectura é monotônico, ou seja, o problema (P-completo) de avaliar um circuito é redutível via circuitos monotônicos. (Expressividade!!!!!) Exemplos: - Alcançabilidade, circuito hamiltoniano e clique são monotônicos, - Mochila e cobertura euleriana não são monotônicos

45 Circuitos ingênuos monotônicos para computar CLIQUE n,k 1 2 n-1 n 1 n 1 n 1 n 1 n i 1 1 i k i n 1 1 i k i n 1 1 i k n v i v i v j i k S = { v i 1,..., v i k }

46 Circuitos ingênuos monotônicos para computar CLIQUE n,k 1 2 n-1 n 1 n 1 n 1 n 1 n S 1 S j S n ( k ) Def. CC(S 1,..., S m ) é o circuito ingênuo construído a partir dos conjuntos S 1,..., S m de vértices OR Tamanho = k 2 n ( k ) Obs: 2 n 2n < ( ) n

47 Teorema do Razborov Teorema: Circuitos monotônicos para CLIQUE n,k, quando k = 4 n, tem cota inferior :

48 Esquema: 1 - Considerar um circuito monotônico qualquer C => Considerar tipos particulares de exemplos negativos e positivos para teste de clique (exemplos em quantidade exponencial) 2- Aproximar C via um circuito ingênuo CC(S 1,..., S m ) introduzindo um número pequeno (poli) de falsos positivos e de falsos negativos. 3- Cada aproximação é executada sobre uma porta (gate) do circuito. 4- Demonstra-se que o circuito ingênuo resultante da aplicação de 3 a todas as portas de C tem uma quantidade exponencial de falsos positivos e de falsos negativos. 5- Concluí-se que C só pode ter uma quantidade exponencial de portas.

49 Exemplos positivos e exemplos negativos Exemplo positivo: - Um grafo simples com n vértices contendo um subgrafo completo de tamanho k n => Existem ( ) exemplos positivos. k Exemplo negativo: - Um grafo com n? vértices e (k-1) colorável => Existem (k-1) n exemplos negativos

50 Resultado de combinatória importante para o teorema Lema de Erdös-Rado: Seja F uma família de com mais que M=(p-1) L.L! conjuntos, todos não vazios e todos com cardinalidade máxima L. Então F contêm um girassol. Z >M Z 1 Z 2 Z i Z j = Z k Z v = Núcleo Z 3 Z j Prova: Por indução em L

51 Construção Indutiva do circuito aproximante para C. Caso Base: C =g ij, porta de entrada g ij Aprox(C)= CC({g ij }) Casos Indutivos: 1- C = C1 OR C2 Aprox(C1)=CC(F1) e Aprox(C2)=CC(F2) Aprox(C) = CC(F1 F2) Obs: Manter a cardinalidade dos geradores do circuito ingênuo. - Se F1 F2 > M substituir os elementos do girassol pelo seu núcleo Aprox(C) = CC(Nu(F1 F2)) se usamos M=(p-1) L.L! => forçamos a existência de girassois com pétalas de tamanho L

52 2- C = C1 AND C2 Aprox(C1) = CC(F1), Aprox(C2) = CC(F2) Aprox(C) = CC(Nu({X Y: X F1, Y F2 e X Y L}))

53 Lema I : Em cada aproximação são introduzidos no máximo M 2 2 -p (k-1) n falsos positivos Lema II: Cada aproximação introduz no máximo M 2 ( negativos n-l-1 k-l-1 ) falsos Lema III: Todo circuito aproximante ou é idêntico ao circuito falso ou resulta em verdadeiro em pelo menos metade dos exemplos negativos.

54 O que é introduzir falsos positivos ou falsos negativos?? Obs: No caso base da construção do circuito aproximante (Aprox({g ij }) = CC({g ij }), a aproximação é exata!!!!! - Se C = C1 OR C2, Aprox(Ci)=CC(Fi), CC(Fi) retorna verd para algum i quando alimentado com um exemplo positivo G, e, Aprox(C) retorna falso quando alimentado com G. => Aprox(C) introduziu um falso negativo - Se C = C1 OR C2, Aprox(Ci)=CC(Fi), CC(Fi) retorna falso para algum i quando alimentado com um exemplo negativo G, e, Aprox(C) retorna verd quando alimentado com G. => Aprox(C) introduziu um falso positivo - Similar para C=C1 AND C2

55 Lema I : Em cada aproximação são introduzidos no máximo M 2 2 -p (k-1) n falsos positivos - C = C1 OR C2 com Aprox(Ci)=CC(Fi) e Aprox(C) = CC(Nu(F1 F2)) A introdução de falsos positivos é culpa do operador Nu. => Substituir (Z 1,...,Z p ), um girassol, por Z, seu núcleo, em F1 F2. Z p Z 1 - G é falso positivo, então... Z 2 Z j F1 Z 2 Z 1 Z 3 Z p F2 Z j Z 3 Quantas cores diferentes pode haver no Núcleo??? => Qual a probabilidade de se colorir todos os vértices em G com repetição e o núcleo não????

56 Rep(X) = Há cores repetidas em X. = prob(rep(z 1 ) &... & Rep(Z p ) & Rep(Z)) prob((rep(z 1 ) &... & Rep(Z p )) Rep(Z)) prob( Rep(Z)) p p = prob(rep(z i ) Rep(Z)) prob(rep(z i )) i=1 i=1 Rep(Z i ) = Z i 2 k-1 L 2 k-1 L! (L-2)! 2! k-1 = 2 -p 8 ( n)! 8 ( n -2)! 2! 4 n -1 1/2 Estimativa de falsos positivos na por OR operação aproximação Nu 2 -p. (k-1) n 2M/(p-1) colorações possíveis operações Nu

57 2- C = C1 AND C2 Aprox(C1) = CC(F1), Aprox(C2) = CC(F2) Aprox(C) = CC(Nu({X Y: X F1, Y F2 e X Y L})) não introduz falsos positivos pode retirar positivos mas nunca incluir falsos positivos Pode incluir no máximo 2 -p falsos positivos por operação de Nu Estimativa de falsos positivos para a aproximação AND 2 -p (k-1) n M 2

58 Lema II: Cada aproximação introduz no máximo M 2 ( negativos n-l-1 k-l-1 ) falsos 1 - A operação Nu não introduz falsos negativos. => A aproximação para OR não introduz falsos neg. G + 2- C = C1 AND C2 n-l-1 C1 M 2 ( ) k-l-1 C2 true true CC({X Y/X F2, Y F1 X Y L}) Y 1... Y... Y k pares poss. falsos neg. Aprox por retirada Obs: L < X Y G + X X X j false

59 G + Aprox(C1) = CC(F1) Y Y Y k true Aprox G + X 1... X... X j true Aprox(C2) = CC(F2) Aprox(C1 AND C2) CC({X Y/X F2, Y F1}) CC({X Y/X F2, Y F1 X Y L}) Y 1... Y... Y k Y 1... Y... Y k G + true G + false X X X j X X X j

60 Lema III: Todo circuito aproximante ou é idêntico ao circuito falso ou resulta em verdadeiro em pelo menos metade dos exemplos negativos. ObsI: A operação de aproximação de um AND pode deletar todos os pares. ObsII: Se o circuito aproximante (ingênuo CC(X1,...,Xp)) aceita algum circuito Algum Xi aceita os exemplos negativos (têm cliques) Existem Z i 2 k-1 L 2 k-1 L! (L-2)! 2! k-1 = 8 ( n)! 8 ( n -2)! 2! 4 n -1 1/2 exemplos de circuitos k-1 colorações em um circuito de L vértices

61 Colapso da hierarquia polinomial de complexidade Definição: P/Poly é a classe de linguagens aceita por circuitos booleanos de tamanho polinomial.

62 Exemplo positivo de tamanho n k - Um grafo com ( 2 ) arestas conectando k vértices de todas as formas possíveis Obs: Existem ( ) exemplos positivos n k

63 Exemplo negativo de tamanho n - Colorir os vértices com (k-1) cores diferentes e unir por uma aresta todos os pares de nós que são coloridos com cores diferentes. Obs: Existem (k-1) n exemplos negativos (contando isomorfismo)

64 A(P A = NP A ) A = { <T,w,1 k > / w é aceita por T usando no máximo k células } P A NP A (fácil) T L NP A P A L w L T w A: T w 1 p ( w ) p( w ) A w 0 T w n,1 k A w 0 T w n,1 k w n 1 k w n w n sim p( w ) p ( w ) sim w sk

65 NP C P C C( P C NP C ) - X um oráculo qualquer - enumeração construtiva de P X : {T 0, T 1,..., T n,...}, tal que, - Para qualquer x e k, T k (x) pára no máximo em x k + k L X = {0 n / x(x X e x =n} Obs: L X NP X - Vamos definir C (um oráculo do tipo X) de forma a L C P C - Obs: x k + k < 2 x O quantidade de strings de tamanho x é maior que qualquer poli em x - Qualquer T k P C, calculando T k (w) pode submeter no máximo x k + k strings de tamanho x ao oráculo C.

66 Diagonalização em partes para definir C: C(i) = {w / w C e w = i} C(0) = {} Objetivo. - Se T i C(i-1) (0 i ) = aceita então C(i) = {}. - Se T i C(i-1) (0 i ) = rejeita então C(i) = {min{w / w > C(i-1) i-1 + i-1 e 2 w > w i + i }} L C P C ==> existe T i tal que L C é aceita por T i ==> Se T ic (0 i ) = aceita então 0 i C(i) = {} Se T ic (0 i ) = rejeita então 0 i C(i) 0 i W = max{ w / w W } L C P C

67 Pred(i,k) =true j 0 j i, w( w = i steps(t j,w) k) N(i) = Σ alfabeto j i j=0,i f(i) = s-vezes onde s N(i) e Pred(i, s-vezes ) 2

68 Suponha Para f DTime(f(x/2)) Diag f (T) = se T Paraf (T,T) = sim então não senão sim es Diag f roda em tempo f(2n+1/2) = f(n) Diag f (Diag f ) = sim T Paraf (Diag f,diag f ) = não Diag f não aceita sua descriçao em tempo f(n) Diag f (Diag f ) = não T Paraf (Diag f,diag f ) = sim Diag f aceita sua descriçao em tempo f(n)

69 C1 e C2 são construtivamente enumeráveis T j i (i=1,2) (j N) tal que T j i decide L j i Ci Li Ci Define-se G j z Σ * tal que G P e : z L i Δ L j i e z G Fazendo L = (L1 G) (L2 G c ) j z Σ * z L i Δ L j i e z G j z Σ * z LΔ L j i e z G

70 Z i,n 1 = menor palavra z com z >= n e z L 1 ΔL 1 i Z i,n 2 = menor palavra z com z >= n e z L 2 ΔL 2 i Rk(n) = max{ } + 1 i n Z k i,n L 1 C1 ===> L 1 ΔL i 1 para todo i C1 fechada por var. finita ====> para todo j e n j existe z L 1 ΔL j 1 R1 é total e computável R é uma função de tempo construtível tal que R(n) max(r1(n), R2(n)). G = { x / R 2n (0) x R 2n+1 (0) e n 0}

71 G P T = Máquina de Turing que conta o tempo de R. T(x) pára em exatamente R( x ) passos Algoritmo - Executar x passos de T(1 0 ) verificando se R(0) > x ==> R(0) > x > 0 Executar x passos de T(1 R(0) ) verificando se R(R(0)) > x ==> R(R(0)) > x > R(0) Executar x passos de T(1 R(0) n ) verificando se R n (0) > x ==> R n (0) > x > R n-1 (0) até achar o intervalo e verificar se n é par ou impar

72 Teorema: Se existe uma linguagem unária (L {1} * ) NP-completa então NP = P Suponha L unária e NP-completa Existe uma redução R polinomial, tal que, x SAT, sss R(x) L Notação: t {0,1} * => A[t] = fórmula A avaliada parcialmente por t (ordem nas letras) Árvore de avaliação do valor verdade de A A A[0] A[1] A[00] A[01] A[10] A[11] n = A t... f t t.. f f... t t... t

73 Construção de um algoritmo poli para SAT Algoritmo I Verifica(A[t]) = Se t = n então Se A[t] {} então falso senão verdadeiro (A[t] verd) senão Verifica(A[t0]) or Verifica(A[t1]) Algoritmo II Verifica(A[t]) = Se t = n então Se A[t] {} então falso senão verdadeiro (A[t] verd) senão Se Tabela(hash(t))=DEF então Tabela(hash(t)) senão Verifica(A[t0]) or Verifica(A[t1]); Insere_Resultado_emTabela; Propriedades desejáveis do hashing: 1- Ter domínio pequeno (poli) 2- Se hash(t)=hash(t ) então A[t] Sat sse A[t ] Sat hash(t) = R(A[t])

74 Estimativa de complexidade do Algoritmo II 1- Sendo C o número de chamadas recursivas então a complexidade é O(C.p(n)). 2- Existe uma sequência de avaliações parciais : {t1,..., tk} tal que - k C/2n - todas as chamadas associadas são recursivas - nenhum ti e préfixo de nenhum tj (i distinto de j) Conclusão: O valor máximo de k é p(n), então p(n) C/2n O(np 2 (n)) é uma cota para Algoritmo II

75 Máquina M original a b c b Speedup Linear Σ símbolos Q estados => Seja m um inteiro (dependendo de ε e de M) m Máquina Mε a b c b c a a c m Σ + Σ m símbolos muito mais que Q estados abcb..ca ac...

76 Passos na simulação de M por Mε: 1- Copiar o string da fita de entrada nas n/m primeiras células da segunda fita 2- Simular cada m passos de M em 6 passos de Mε. - 4 (E,D,D,E) para ler símbolos relevantes, armazena nos estados - 2 (E,D ou D,E) para fazer as m substuições m a b c b c a a c c m b c bc... bcaacc......abc 3 - (1) gasta n+2 passos e 2 gasta 6.f(n)/m, total = 6.f(n)/m + n Fazendo m = 6/ε obtem-se o resultado