Medindo a eficiência de algoritmos. - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem

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1 Medindo a eficiência de algoritmos - Escolha do modelo computacional - Recursos: Tempo, Memória - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem - Computação de Funções - Problemas de otimização - Problemas de decisão, - Linguagens - Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade do algoritmo mais eficiente que o resolve.

2 Satisfação na Lógica Proposicional Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos,, e, deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça Problema SAT Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível.

3 Dada uma fórmula com k variáveis existem 2 k valorações k 2 k Cálculo total 5 32 insignificante seg seg x seg x hora 12 min Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo.

4 Por outro lado - Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz. - Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula.

5 O problema do Caixeiro Viajante Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms). Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo.

6 Bsb BH 789 Rio 400 S.P.

7 O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória. (a) Podemos transforma-lo num problema de enumeração? (b) Podemos determinar todas as rotas do caixeiro? (c) Podemos saber qual delas é a menor? SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina?

8 ( k - 1 )! cresce muito rápido k (k - 1)! Cálculo total 5 24 insignificante seg bilhões 24 hs e 6 min x milhões de anos x x anos Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo.

9 Por outro lado... - Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo??? Ciclo min = vert 1??? - Para qualquer fórmula proposicional α existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se, α é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de α.

10 w SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas t Si,j Ee t = Símbolo j na posição i no tempo t = Máquina está no Estado e no tempo t t Ci = Cabeça está no na posição i no tempo t Se SAT puder ser resolvido Fórmulas para em descrever: tempo polinomial por uma M.T. deter então -A qualquer cabeça em problema qualquer tempo NP t está também em uma e somente P( w ) pode ser resolvido uma em posição tempo polinomial - Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito. - A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado Fórmulas para descrever o comportamento da máquina: Et e C t i S t t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 i,j (E g C i+1 S i,k ) (E h C i-1 S i,n ) Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita: S 0,3 S 1,7 S 2,1... S w,8

11 (1) Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis). (2) Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática. (3) Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.

12 x Problemas de Decisão x P? sim não x Σ * Prog. 1 0 Problemas de Decisão Linguagens Formais

13 Problemas, Soluções e Linguagens P = < Ent, Saída, Relação> Sol = f:ent Saída f Relação P Comp = < Σ Ent *, Σ Saída *, R > f:σ* Ent Σ* Saída SolComp = f computável f R L P = { w ent <sep>w sai / (w ent, w sai ) R Σ Ent * Σ Saída * }

14 Complexidade de uma Linguagem L DTime(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x Σ * steps(m,x) cf( x ) L DSpace(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x Σ * space(m,x) cf( x )

15 Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ. L Σ * M L reconhece L sss w L então M L (w) = aceita w L então M L (w) = rejeita f : Σ * 1 Σ* 2 M f computa f sss f(w 1 )=w 2 então M L (w 1 ) = w 2 steps(m,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar. space(m,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada.

16 Por que considerar classes assintóticas de funções?? Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer ε > 0 existe uma M. Turing Mε que decide L em tempo ε.f(n) + n + 2. Prova : Modificar o tamanho da palavra de memória Consequências do seedup: Se L é decidida em tempo f(n) = 165.n k n então L é decidida em tempo f (n) = n k Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)

17 Complexidade Computacional I - Não existência de limite na complexidade de Linguagens DTime(f) Dtime(f log(f)) DSpace(f) DSpace(f log(f)) - Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade DTime(n) Dtime(n 2 )... Dtime(n k )... Dtime(2 n )... Dspace(log(n)) Dspace(n) DSpace(n k )... Dtime(2 n )...

18 Teorema de Cantor {A / A B} ==> Seja B um conjunto, então B < 2 B Prova: Suponha que B = 2 B então existe f: B 2 B S = { x / x f(x) } f -1 (S) S se e somente se f -1 (S) S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.

19 O método da diagonal de Cantor suponha que (0,1) = N a 0 = 0, a oo a o1 a o2 a o3 a o4... a on... a 1 = 0, a 1o a 11 a 12 a 13 a a 1n... a n = 0, a no a n1 a n2 a n3 a n4... a nn... b j = 5 se a jj = 9 9 senão b = 0,b 0 b 1 b 2 b 3 b 4... b n... (0,1) N

20 Hierarquia própria de funções construtivas Para f = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f( x ) passos} FatoI : Para f DTime(f 3 ) FatoII : Para f DTime(f(x/2)) Prova: Diagonalização Corolário I : DTime(f(n)) DTime(f(2n+1) 3 ) Corolário II : P EXP

21 Classes de Complexidade e algumas relações Def. PSpace = DSpace(n i ) i N Def. NPSpace = NSpace(n i ) i N Def. NP = NTime(n i ) i N Def. Log = Space(log(n)) NLog = NSpace(log(n))

22 - DSpace(f(n)) NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) NTime(f(n)) - NTime(f(n)) DSpace(f(n)) - NSpace(f(n)) DTime(k log n + f(n) ) (obs; Número de conf. + alcançabilidade) - Alcançabilidade Space(log 2 ) NSpace(f) Space(f 2 ) - número de nós alcançavel Space(log) => NSpace(f) = conspace(f)

23 (parte) do que se sabe atualmente (desde 60 s) Log NLog P NP PSPACE = NPSPACE EXP NEXP Sabe-se que Log PSPACE se P = NP então EXP = NEXP se Log = P então EXP = PSPACE

24 P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD Sat NP Taut CoNP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se CoNP NP então NP P

25 Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP NP e portanto NP P. ===> P =? NP é um problema genuinamente matemático.? ===> P = NP é um problema da ciência da computação.? ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via forcing (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P.

26 O Maior problema atual em Teoria da Computação é :? P = NP O que isto tem a ver com jogos?????? - Jogos e quebra-cabeças : PSPACE, EXP e NP-completos - Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias puras) e EXP? (estratégias mistas para jogos em geral)

27 Damas é EXP-completo Xadrez é EXP-completo Em Geral (versões infinitas) Sokoban é PSPACE-completo Clickomania é NP-completo 15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.) A adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov

28 O jogo de Geografia é PSPACE-completo Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977) Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004)

29 Conclusão Teoria dos Jogos Matemática Economia Complexidade Computacional Engenharia Fundamentação e Lógica Muito Obrigado pela audiência!!!!

30 Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez 1 Zermelo 1913 Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge). König 1927 Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math. Kalmár 1928 Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math. Utiliza indução transfinita Caracterizam o conceito de posição ganhadora Von Neumann 1928 Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores 1- Jogo de Informação Perfeita