DESENVOLVER O SENTIDO DE NÚMERO COM EXPLORAÇÃO DE ÁBACOS HORIZONTAIS,

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1 DESENVOLVER O SENTIDO DE NÚMERO COM EXPLORAÇÃO DE ÁBACOS HORIZONTAIS, MOLDURAS DO 10 E CARTÕES DE NÚMEROS No 1º ano, as molduras do 10 são modelos com potencialidades para estruturar a composição e decomposição do 5 e do 10, trabalhando naturalmente e em inter-relação a adição e subtracção. Este trabalho, que tem de ser feito de forma sistemática e frequente, cria as bases para uma maior flexibilidade e domínio gradual de várias estratégias de cálculo que se deseja serem mobilizadas pelos alunos no cálculo com números superiores a dez. PRIMEIRAS EXPLORAÇÕES COM OS CARTÕES PADRONIZADOS Antes do trabalho com as molduras do 10, a exploração dos cartões padronizados proporciona a percepção rápida de pequenas quantidades incentivando desde cedo a representação dessas quantidades de formas diferentes, tirando partido da posição das pintas. Por exemplo, para o número 5 (figura 1), como as Fig. 1 pintas estão dispostas de maneiras diferentes, facilmente surgirão representações como 4+1; 3+2; 2+2+1; 3+1+1; 1+1+3; 5. Para além de outras explorações com os cartões padronizados, podemos trabalhar contagens para a frente de ou para trás de Por exemplo, podemos mostrar um cartão e desafiar os alunos a dizer logo o número que vem a seguir ou o que vem antes. EXPLORAÇÃO COM MOLDURAS Numa primeira abordagem, as molduras do 5 vazias serão um modelo fácil para explorar em conjunto com os cartões padronizados. Para preencher a moldura poder-se-ão usar tampinhas, ou outros objectos de contagem, colocando apenas uma tampinha Fig. 2 em cada secção, iniciando da esquerda para a direita (fig. 2). Quantos faltam para 5? ou A que distância é que o 3 está do 5? são perguntas que ajudarão os alunos a estabelecer relações numéricas, tendo como estrutura o 5. Alguns alunos poderão não preencher a moldura toda seguida, deixando algumas secções vazias entre as tampinhas, permitindo a representação de números de forma mais variada. No exemplo da figura 3, o aluno poderá visualizar o 3 como sendo1+2, enquanto na figura 2, vê o 3 como Fig. 3 1

2 Quando o cartão representar um número superior a 5, preenche-se a totalidade da moldura e as tampinhas para além do 5 ficam fora da moldura (fig. 4). Assim, os alunos poderão interpretar o cartão do 7 como sendo (leitura do cartão na horizontal) ou (leitura do cartão na vertical) a moldura sugere ainda a representação do 7 como sendo 5+2. Fig. 4 Ao trabalhar quantidades superiores a 5, só com a utilização da moldura do 5, não conseguimos estruturar simultaneamente relações numéricas sustentadas na estrutura do 5 e do 10. Com as molduras do dez podemos fazer dois tipos de exploração. Dispondo de uma colecção de molduras já preenchidas (fig. 5), podemos fazer frequentemente, durante alguns minutos, a sua exploração imprimindo uma dinâmica de jogo em que rapidamente se mostra a moldura e se solicita ao aluno que diga o número de pintas nela contida e a justificação de como as contou. Dizer rapidamente quantos faltam para 10, compor o 10 juntando o número de pintas com o número de espaços vazios e usar a adição e a subtracção para descrever a moldura do 10 são desafios, que lançados diariamente, Fig. 5 estimulam a interiorização dos factos básicos do 10 de forma sustentada. Por exemplo, a moldura com 6 pintas permite compor o 10 através de 6+4; 4+6; 10-4=6 ou 10-6= 4, podendo o enfoque ser na oralidade. Usando duas molduras vazias e tampinhas de duas cores podemos colocar pares de números que somados sejam superiores a 10 e inferiores a 20, por exemplo, 8+6. O preenchimento das molduras (fig. 6) teve como regra completar em primeiro lugar uma das molduras, da esquerda Fig. 6 para a direita, e usar uma cor diferente para representar cada parcela. Alguns alunos poderão, depois do preenchimento das molduras, contar o total das tampinhas uma a uma e saber que 8+6= 14, no entanto, esta é uma estratégia simples. O que este modelo permite facilmente analisar é que 8+6 é equivalente a 10+4, 9+8=17 observando que tem uma moldura completa (10) mais 4 tampinhas na outra. Outra estratégia alternativa será usar tampinhas da 10+7=17 Fig. 7 2

3 mesma cor, mas representar cada parcela em sua moldura. Posteriormente, arrastar o número de tampinhas suficiente até completar uma moldura, fazendo um registo escrito da compensação que torna as equações equivalentes, por exemplo 9+8 = 10+7 (fig. 7). EXPLORAÇÃO DO ÁBACO HORIZONTAL OU ÁBACO DO 100 O ábaco horizontal é um modelo que se apresenta estruturado com arames (filas) de 10 contas, podendo ter uma fila, duas filas ou dez filas de arames. Na posição inicial, as contas do ábaco encontram-se todas deslocadas para a direita. Para representar um determinado número deslocam-se as contas necessárias para a esquerda (figura 9) começando de cima baixo. Fig. 8 O ábaco do 100 não é um ábaco de posição, na medida em que estão sempre explícitos os grupos de 10 que compõem um número (figura 8). Por exemplo, para representar o número 68 movemos 6 filas completas de 10 contas e 8 contas na sétima fila (figura 9). O aluno pode contar de 10 em 10, fazendo 10, 20, 30, 40, 50, 60 e 8; tem a oportunidade de verificar que em 68 há 6 vezes o 10 mais 8; que para 70 só lhe faltam 2; que 68 são 50 mais 10 mais 8; entre outras possibilidades que este modelo de ábaco facilmente evidencia. Neste material não há a troca de 10 unidades por uma dezena, como acontece no ábaco vertical (figura 10), em que esta troca implica Fig. 9 a substituição de 10 contas, que estão na posição das unidades, por uma conta que será colocada na posição seguinte (dezenas), seguindo sempre o mesmo procedimento ao completar grupos de 10 em cada ordem. Embora o foco do trabalho com os números implique a Fig. 10 interpretação da posição relativa dos algarismos, sustentada com a visualização do posicionamento das contas na ordem respectiva, esta abordagem não assegura que os alunos construam o verdadeiro valor de posição de um número porque, por exemplo, podem escrever bem o número 56 representado no ábaco da figura 10, mas isso não significa que compreende o 5 da ordem das dezenas como sendo equivalente a 50 ou 5 vezes o 10, podendo apenas estar a registar a quantidade de contas existente em cada coluna. Parece-nos que o ábaco vertical tem subjacente a estrutura do algoritmo, partindo o número em unidades, dezenas, centenas, enquanto o ábaco horizontal tem como grande objectivo desenvolver o sentido de número através da interiorização dos grupos de 10 que compõem 3

4 um número e do desenvolvimento gradual de estratégias de cálculo, passando da contagem de 10 em 10 para a multiplicação, por exemplo, quando um aluno representa 68 no ábaco horizontal, movendo de uma só vez 6 linhas de 10 contas para representar 60, mais uma linha de 8 para completar 68, poderá significar que já percepciona o 68 como sendo 6 vezes o 10 mais 8. Tal como no fio de contas organizado de 5 em 5, no ábaco horizontal é possível focar o trabalho com os números estruturando os agrupamentos de 5 e 10 que neles estão contidos. Está organizado em 10 filas de 10 contas estruturadas de 5 em 5 onde também é fácil identificar o número 50 uma vez que da 5ª para a 6ª linha há alteração do padrão de cores (fig. 11). Fig. 11 No primeiro ano, o ábaco do cem poderá começar por ser explorado fazendo com que apenas seja visível uma ou duas filas (fig. 12), para trabalhar os números até 20. Este trabalho deverá ser feito paralelamente à exploração do fio de contas dinamizado em conjunto com cartões de números e molduras do 10 e dados. Fig. 12 A título de sugestão apresentamos algumas tarefas que poderão ser realizadas. REPRESENTAR UM NÚMERO DE DIFERENTES MANEIRAS Esta actividade tem como objectivo proporcionar aos alunos do 1º ano a decomposição de um número de diferentes maneiras, explorando em simultâneo o ábaco horizontal (só com uma fila de contas descoberta) e cartões de números. Retirar um cartão de números de 1 a 10 e representar no ábaco essa quantidade de diferentes maneiras, tendo como referência a cor das contas (figura 13). Nas primeiras abordagens devemos dar ênfase à explicitação oral das crianças do modo como representaram o número que lhes foi pedido e a pouco e pouco incentivar também o registo das representações simbólicas envolvidas. Fig. 13 Com um ábaco com dois arames visíveis e cartões de 11 a 20, podemos incentivar a decomposição de um número de maneiras diferentes, limitando a dois movimentos essa representação. 4

5 Por exemplo, para o cartão do 14, entre várias possibilidades, podemos mover 10 contas de uma vez no primeiro arame e 4 no segundo arame ou 7 no primeiro arame e 7 no segundo. Uma outra variante desta tarefa poderá ser dinamizada com um dos elementos do par, ou do grupo, a retirar um cartão e representar no primeiro arame uma parte do número, só com um movimento, e o segundo elemento representa a restante parte do número, com o máximo de dois movimentos. O DOBRO DE Esta actividade tem como objectivo trabalhar a soma de dois números iguais (o dobro). Numa primeira fase usar cartões de números até ao 5 e o ábaco só com um arame descoberto. Para realizar a actividade cada grupo deve ter um conjunto de cartões até ao 5, em duplicado. Um dos alunos retira 2 cartões iguais, representa-os no ábaco, deixando espaço entre a representação dos dois cartões, e calcula a soma dos dois números iguais explicando como o fez. Por exemplo, para o caso do 3 (figura 14), o facto de se Fig. 14 representar o total apenas num arame, facilita a visualização de 3+3 como sendo equivalente a 5+1, tendo mais uma vez como referência as cores das contas do ábaco e a estrutura do 5. É importante proporcionar a realização deste tipo de actividades até que o dobro dos números até 5 esteja automatizado. Posteriormente, podemos trabalhar os dobros de números superiores a 5 ao utilizar cartões até ao 10 e dois arames no ábaco, mantendo o mesmo procedimento. No exemplo da figura 15, o aluno representa o dobro de 7 em dois arames e tem a possibilidade de rapidamente verificar que o dobro de Fig é 14, que é equivalente a ou então Par além desta representação no ábaco e da sua explicitação oral, é importante que gradualmente a representação simbólica acompanhe também este registo. OS QUASE IGUAIS Esta actividade tem como objectivo trabalhar a soma de dois números quase iguais. Para realizar a actividade cada par ou grupo de alunos deve ter um conjunto de cartões até ao 10 e um ábaco horizontal só com dois arames visíveis. 5

6 Um dos elementos do grupo retira um cartão e representa no primeiro arame a quantidade indicada no cartão. O outro elemento retira o cartão cujo valor seja mais um ou menos um do que o cartão do colega e representa esse número no segundo arame. Exemplo: Primeiro cartão 7 Fig. 16 Segundo cartão 8 Representar em cada um dos arames os valores dos cartões e fazer a leitura do total como sendo o dobro do valor do cartão menor mais um ou o dobro do valor do cartão maior menos um, mobilizando o conhecimento do dobro. É importante que a representação simbólica seja registada para os dois casos, ou seja, 7+8=7+7+1 ou 7+8= REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO COMO SENDO DOBRO DE OUTRO Para esta tarefa são utilizadas molduras e o ábaco horizontal até ao 20. Apresenta-se uma moldura do dez com um número par representado, como a da figura 17 e desafiam-se os alunos a representá-lo no ábaco e Fig. 17 comparar a sua representação com a dos colegas. À representação 4+4 deve ser dada uma especial ênfase pelo facto do 8 poder ser representado como o dobro de 4. Apresentando uma moldura com um número ímpar o desafio é saber se é possível representar esse número como sendo o dobro de outro. Como as crianças ainda não dominam os números fraccionários, a forma de representar um número ímpar adicionando dois números iguais implica juntar sempre mais um. Por exemplo, ou são formas de representar o número 7, mobilizando a estrutura do dobro. Após trabalhar os números pares e ímpares com um dígito, mobilizando o conceito de dobro, desafiar a representação de números de 10 a 20 explorando em simultâneo molduras e ábacos. NÚMERO DE PARTIDA E CHEGADA Com o objectivo de explorar a adição e a subtracção, uma tarefa que pode ser realizada o ábaco do 20 e cartões de números é a seguinte: Separar os cartões em dois montes: de 0 a 9 e de 10 a 20. Organizar os alunos em grupos de dois, um dos alunos retira um cartão do monte de 0 a 9 (número de partida) e o outro tira um do monte do 10 a 20 (número de chegada). Representar no ábaco o número de partida e prever quantos faltam para o número de chegada. Mostrar no ábaco como pensaram e 6

7 registar. Por exemplo, se o número de partida for o 6 e o de chegada o 13, após a resolução dos alunos e a explicitação de como resolveram, é importante trabalhar a representação simbólica (6+? = 13). Nesta situação o incentivo à mobilização do dobro mais um também pode ser explorada. Como o 13 é o dobro de 6 mais 1, então 6+7=13. Se o número de partida for retirado do monte de 10 a 20 e o número de chegada do outro, é representado no ábaco o número maior e a previsão centrar-se-á em quantas contas devemos retirar para chegar ao número menor. Depois de ouvidos os alunos, a representação através de uma subtracção também deve ser apresentada. Por exemplo, se o número de partida for o 18 e o de chegada o 5, a representação (18 -? = 5). O ÁBACO HORIZONTAL DO 100 Numa primeira fase a exploração do ábaco do 100 pode passar pela representação de números, explorando a forma como cada criança fez essa representação. As contagens de 10 em 10 e 5 em 5 devem ser incentivadas, explorando a forma como este ábaco está organizado. Por exemplo, para representar o número 46, fazemos deslizar para a esquerda 4 filas de 10 contas, uma de 5 e mais 1 conta ou ainda 9 grupos de 5 contas mais 1 conta (fig. 18). Como neste ábaco é perceptível o 100 organizado em grupos de 50, é natural que Fig. 18 algum aluno visualize o 46 como Na resolução de adições, no início devemos privilegiar que o primeiro termo seja um múltiplo de 10 e o segundo um número de um só dígito, para que as crianças flexibilizem as contagens a partir de 10, 20, 30, por exemplo, para calcular 20+7 é importante que compreendam automaticamente que o total é vinte e sete. Após este trabalho é importante prosseguir para números no segundo termo com dois dígitos, mantendo o primeiro termo um múltiplo de dez. A figura 19 mostra o registo no papel do exemplo do cálculo de 10+14, decompondo a segunda parcela em No ábaco movem-se para a esquerda duas filas de 10 contas e 4 contas do terceiro arame. Como no papel este Fig. 19 procedimento é fastidioso e moroso, porque implica desenhar as contas que se moveram, podemos optar por apresentar uma folha de registo com imagens do ábaco e o aluno só tem de representar os movimentos circundando as contas. 7

8 O ÁBACO HORIZONTAL DO 100 EM SIMULTÂNEO COM CARTÕES NUMÉRICOS Para desenvolver o valor de posição utilizamos em simultâneo o ábaco e cartões numéricos. Estes cartões estão organizados em três grupos (figura 20): um conjunto de cartões de 1 a 9; um conjunto com múltiplos de 10 até 90; um conjunto de dois cartões, o 100 e o 200. Os quadrados dos cartões têm de ser todos do mesmo tamanho para que se possam sobrepor. Com os alunos organizados a pares, dispondo de um ábaco horizontal, um conjunto de cartões de 1 a 9 e outro com Fig. 20 múltiplos de 10, um dos elementos retira um cartão do conjunto de múltiplos de 10 e representa-o no ábaco, o outro retira um cartão do outro conjunto e adiciona esse valor no ábaco, imediatamente a seguir à representação anterior, e fazem o registo da adição efectuada. Desafiar os alunos a descobrir a relação existente entre a escrita dos números representados nos cartões e a escrita simbólica do seu total, incentivando a sobreposição dos cartões. Por exemplo, ao representar simultaneamente o número 37 no ábaco e nos cartões numéricos, é possível fazer compreender que o 3 do 37 corresponde a 3 grupos de 10, visíveis no ábaco, e tem valor 30, também visível no cartão. Depois de sobrepor o cartão do 7 sobre o 30, obtemos a representação do 37. Este pode ser novamente levantado para demonstrar que o 3 do 37 não tem valor 3, mas 30 (figura 21). Ao circular pelos grupos, o professor deve incentivar a visualização desta relação, de modo a trabalhar com compreensão o valor de posição. Fig. 21 Para trabalhar números iguais ou superiores a 100 a tarefa é realizada da mesma forma mas utilizando dois ábacos colocados como mostra a figura 22. 8

9 Fig. 22 No exemplo da figura 22, ao analisar a escrita do número 137 é possível mostrar nos ábacos e nos cartões o valor de cada um dos dígitos. O 1 tem valor 100 mas poderá ser visto como 10 grupos de 10. Ao sobrepor o cartão do 30 sobre o do 100, o 130 pode ser visto como ou 13 grupos de 10. Este ábaco tem potencialidades para trabalhar estratégias de compensação em cálculos de adição. Depois de se ter trabalhado várias situações em que a primeira parcela era um múltiplo de 10, dos alunos terem flexibilidade nas contagens de 10 em 10 e ganho consciência dos grupos de 10 que estão contidos num número (competência que é possível ser adquirida com a manipulação do ábaco horizontal, molduras do 10 e fios de contas estruturados de 10 em 10), podemos propor adições que envolvam números interessantes para trabalhar a estratégia da compensação em cálculos que envolvam a adição. A figura 23 e 24 são um exemplo da aplicação desta estratégia para facilitar o cálculo. A representação do 27 no ábaco horizontal permite simultaneamente verificar que é composto por 2 grupos de 10 ou que para 30 faltam 3. A aproximação à dezena seguinte facilita o cálculo pelo facto de mobilizar as contagens de 10 em 10, mas implica que o valor que se adicionou para chegar à dezena seguinte seja subtraído na outra parcela = Estratégia de Compensação 27+16= (27+3)+ (16-3) = =30+13= 43 Fig. 23 Fig. 24 9

10 Com este conjunto de tarefas, mobilizando o ábaco horizontal em simultâneo com outros materiais, como molduras do 10, fios de contas, cartões padronizados, dados e cartões com números, pretendemos mostrar a importância de nos primeiros anos proporcionar abordagens que permitam a flexibilidade no cálculo com números pequenos, tendo como referência a estrutura do 10, que mais tarde será mobilizada no cálculo com números grandes. O desenvolvimento do valor de posição esteve sempre presente, não se limitando à identificação de unidades, dezenas e centenas, mas a uma apropriação gradual dos grupos de 10 existentes num número para que a compreensão do valor de cada dígito seja um facto e não algo que se memoriza. Bibliografia consultada Blanke, Barbara (2008). Using the Rekenrek as a Visual Model for Strategic Reasoning in Mathematics. Math Learning Center - U S Cotter, Joan A. (2000). Using Language and Visualization to Teach Place Value. In Teaching Children Mathematics - The National Council of Teachers of Mathematics, October 2000, pp Van de Walle, John A. (2007). Elementary And Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, Sixth Edition. Pearson Education, Inc. USA 10