Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff

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1 Rodrigo Simões Atherino Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff Tese de Doutorado Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio como parte dos requisitos parciais para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Co-orientador: Prof. Adrian Heringer Pizzinga Rio de Janeiro Dezembro de 28

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3 Rodrigo Simões Atherino Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Dr. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Orientador Departamento de Engenharia Elétrica PUC-Rio Dr. Adrian Heringer Pizzinga Co-orientador PUC-Rio Dr. Álvaro de Lima Veiga Filho Departamento de Engenharia Elétrica PUC-Rio Dr. Marcelo Cunha Medeiros Economia PUC-Rio Dr. Kaizô Iwakami Beltrão ENCE/IBGE Dr. Nei Carlos dos Santos Rocha UFRJ Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico Rio de Janeiro, 17 de dezembro de 28

4 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Rodrigo Simões Atherino Graduou-se em Engenharia Elétrica com ênfase em Telecomunicações pela PUC-Rio, tendo realizado trabalhos de pesquisa na área de Processamento de Imagens, assim como em Mobilidade de Sistemas Celulares. Especializou-se em Redes de Computadores e obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica com ênfase em Métodos de Apoio à Decisão pela mesma instituição. Trabalhou nas empresas Globalstar do Brasil na área de Sistemas de Comunicações Celulares via Satélite; na empresa Embratel, na área de Planejamento de Rede de Dados e Internet; na empresa Telemar, área de Outsourcing e Projetos Complexos de Telecomunicações; e na gestora de recursos JGP, na área de Pesquisas Quantitativas. Ficha Catalográfica Atherino, Rodrigo Simões Estimação de reservas IBNR por modelos em espaço de estado: empilhamento por linhas do triângulo Runoff / Rodrigo Simões Atherino ; orientador: Cristiano Augusto Coelho Fernandes ; co-orientador: Adrian Heringer Pizzinga f. ; 3 cm Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 28. Inclui bibliografia 1. Engenharia elétrica Teses. 2. Espaço de estado. 2. Filtro de Kalman. 3. IBNR. 4. Valores faltantes. I. Fernandes, Cristiano Augusto Coelho. II. Pizzinga, Adrian Heringer. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. IV. Título. CDD: 621.3

5 Agradecimentos Gostaria de fazer os seguintes agradecimentos: - Ao meu amigo e co-orientador prof. Adrian ``Master'' Pizzinga, não só pela sua orientação e pelo auxílio técnico, mas também pelos agradáveis momentos de convivência; - Ao meu orientador, prof. Cristiano Fernandes, pelo apoio e pela confiança depositada em mim durante todo este longo trajeto; - Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Escola Nacional de Seguros (FUNENSEG) pelo apoio financeiro. Sem eles, este trabalho não seria concretizado; - Aos membros da banca, pelas críticas e sugestões que em muito enriqueceram a versão final desse texto; - Ao meu amigo Giuliano Lorenzoni, pelo apoio e pelos grandes eventos de apreciação dos ``clássicos''; - Ao Marcio Lyra, por ter me proporcionado um ambiente de trabalho propício para a conclusão deste trabalho; - Às funcionárias do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio, Alcina e Márcia, por toda a atenção e paciência. - À Maria do Carmo Rosas e Silva, pelo carinho e pela revisão do texto desta tese, e ao prof. Raul Rosas e Silva, por todas as conversas e momentos de descontração; - Aos meus pais, Yolanda e Cristóvão, que com muito carinho, dedicação e amor, sempre possibilitaram-me realizar sonhos e conquistas; - Ao meu amor Mariana, simplesmente por existir em minha vida.

6 Resumo Atherino, Rodrigo Simões; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Orientador); Pizzinga, Adrian Heringer (Co-orientador). Estimação de Reservas IBNR por Modelos em Espaço de Estado: Empilhamento por Linhas do Triângulo Runoff. Rio de Janeiro, p. Tese de Doutorado Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do rio de Janeiro. Este trabalho versa sobre previsão de reservas do tipo IBNR levando-se em conta uma ordenação diferente do triângulo de runoff incremental. Esta se dá por linhas empilhadas, originando, assim, uma série temporal univariada repleta de valores faltantes, cuja soma desses valores constitui o IBNR a ser estimado. Duas abordagens de estimação, inteiramente baseadas na teoria dos modelos em Espaço de Estado e do filtro de Kalman, são desenvolvidas, implementadas com dados reais de empresas seguradoras, e comparadas entre si e a outros métodos de estimação já consagrados na literatura atuarial. A primeira abordagem pauta-se no cálculo da matriz de covariâncias condicionais das componentes do IBNR, e a segunda é um processo de obtenção do IBNR por acumulação. Os resultados obtidos revelam, para as abordagens propostas, os seguintes pontos sumários: (i) plena eficiência e viabilidade computacional; (ii) sistemático ganho em termos de acurácia do IBNR estimado; e (iii) abrangência no que diz respeito às possibilidades de modelagem estatística dos dados de IBNR. Palavras-chave Espaço de Estado, filtro de Kalman, IBNR, valores faltantes.

7 Abstract Atherino, Rodrigo Simões; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Advisor). Pizzinga, Adrian Heringer (Co-advisor). State Space Models for IBNR Reserves Estimation: Row-Wise Stacking the Runoff Triangle. Rio de Janeiro, p. Doctorate Thesis Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This work deals with prediction of IBNR reserves under a different ordering of the non-cumulative runoff triangle. This is accomplished by stacking the rows, which results in a univariate time series with several missing values, whose corresponding sum is in fact the IBNR. Two estimation approaches, entirely based on state space methods and Kalman filtering, are developed, implemented with real data, and compared with some well established estimation methods for IBNR. The first approach consists in obtaining the conditional covariance matrix of the IBNR components, and the second tackles the IBNR estimation under an accumulation process. Three remarks emerge from the empirical results: (i)computational feasibility and efficiency; (ii)precision improvement for IBNR estimation; and (iii)flexibility in which concerns the IBNR modelling framework. Keywords IBNR, Kalman filter, missing values, State Space.

8 Sumário 1 Introdução 1 2 Reordenação do triângulo runoff O método Chain-Ladder Modelo em Espaço de Estado proposto 15 3 Metodologia Modelos em Espaço de Estado Lineares Gaussianos Primeira Abordagem: o método dos blocos Segunda Abordagem: o método do acumulador 25 4 Aplicações Série AFG: resultados Série MC1: resultados Série DJZ: resultados 47 5 Conclusões e Extensões 51 A Provas 55 A.1 Prova do Lema 2 55 A.2 Prova do Lema 3 55 A.3 Prova do Lema 4 56 A.4 Prova do Teorema 1 56 A.5 Prova da Proposição 1 56

9 Lista de figuras 2.1 Triângulo de runoff Reparametrização por linhas do triângulo Reparametrização por linhas do triângulo com valores ausentes Triângulo trimestral Séries empilhadas na escala real Séries empilhadas na escala logarítmica Resultados do modelo estrutural nos dados sem transformação (dados AFG) Resultados do modelo estrutural nos dados com transformação (dados AFG) Diagnósticos modelo estrutural nos dados AFG sem transformação Diagnósticos modelo estrutural nos dados AFG com transformação Resultados dados AFG Modelo I-c (8 intervenções) Resultados dados AFG Modelo II-c (1 intervenções) Diagnósticos dados AFG Modelo I-c (8 intervenções) Diagnósticos dados AFG Modelo II-c (1 intervenções) Resultados do modelo estrutural nos dados MC1 com transformação (1 intervenções) Diagnósticos modelo estrutural nos dados MC1 com transformação (1 intervenções) Resultados do modelo estrutural nos dados sem transformação (dados DJZ) Resultados modelo estrutural nos dados com transformação (dados DJZ). 48

10 Lista de tabelas 3.1 Nova dimensão dos vetores e matrizes para o método do acumuldador Dívidas gerais facultativas (excluindo ambiental) do estudo da evolução histórica de perdas ( unidade milhar de dólar) AFG Triângulo de runoff extraído de Mack (1993) Triângulo de runoff para uma seguradora inglesa (unidade milhar de libra) DJZ Parâmetros estimados e relações sinal/ruído para a base de dados AFG Comparação entre os modelos (dados AFG) Comparação entre os modelos (dados AFG) Out of Sample Reservas AFG calculadas e CV em % Intervenções em cada modelo para os dados AFG Parâmetros estimados e relações sinal/ruído para a base de dados AFG - modelos com intervenções Comparação entre os modelos com intervenções (dados AFG) Comparação entre os modelos com intervenções (dados AFG) Fora da Amostra Testes & Diagnósticos para os dados AFG Reservas Estimadas para os modelos com intervenções e seus respectivos CV (%) AFG Intervenções em cada modelo para os dados MC Parâmetros estimados e relações sinal/ruído para a base de dados MC Comparação entre os modelos (dados MC1) Comparação entre os modelos (dados MC1) Fora da Amostra Testes & Diagnósticos para os dados MC Reservas Estimadas para os modelos com intervenções e seus respectivos CV (%) MC Parâmetros estimados e relações sinal/ruído para a base de dados DJZ Comparação entre os modelos (dados DJZ) Comparação entre os modelos (dados DJZ) Fora da Amostra Reservas estimadas e seus respectivos CV (%) DJZ. 5

11 1 Introdução O problema da previsão de Reservas IBNR foi um dos mais explorados na literatura atuarial durante as últimas décadas. Ao longo desse tempo, diversas técnicas matemáticas foram criadas objetivando-se uma maior acurácia para previsão da reserva, pois sua subestimação ou superestimação podem implicar decisões gerenciais equivocadas (cf. Bornhuetter & Ferguson, 1972). IBNR é uma abreviação em inglês para sinistros ocorridos porém não reportados (Incurred But Not Reported). Um sinistro é dito IBNR quando ocorre antes da data de análise da seguradora, e que ainda não foi notificado à mesma. O tempo entre a ocorrência e a notificação à seguradora, chamado tempo de aviso, varia de acordo com o tipo de negócio. Por exemplo, sinistros de propriedade tendem a ter um atraso menor, pois a ocorrência do sinistro é de fácil constatação. Porém, no ramo de seguros de danos a terceiros, em alguns casos, pode-se levar um tempo considerável para que se perceba a ocorrência do sinistro, e mais ainda até que se desembolse o pagamento. O tempo é ainda maior se o sinistro for discutível (cf. Hart et al., 21). Existem ainda os sinistros ditos IBNER (Incurred But not Enough Reported), que são sinistros ocorridos e notificados à seguradora, porém ainda é desconhecido o quanto deverá ser desembolsado para liquidá-lo completamente. Alguns autores desenvolveram modelos estatísticos que separam IBNER do IBNR, como o de Schnieper (1991), porém aqui não haverá esta distinção: tudo será tratado como IBNR. As referências bibliográficas que realizam uma excelente revisão através de análises comparativas de uma grande variedade de modelos para previsão de IBNR são Taylor (2), England & Verrall (22) e Taylor (23). O primeiro é um livro em que a maioria dos métodos são descritos em detalhes e suas expressões deduzidas; o segundo, assim como o primeiro, realiza uma revisão de vários métodos apresentando suas expressões matemáticas (porém, sem deduzi-las) e, aplicando a dados reais, compara seus resultados. Por fim, a terceira referência é um artigo que apresenta uma nova 1 forma de se classificar os métodos de previsão de reservas IBNR que aparecem na literatura, com o 1 Para uma classificação anterior, vide Taylor (1986).

12 Capítulo 1. Introdução 11 objetivo de facilitar o estudo na área. Essa classificação estabelece uma linha evolutiva, que tem origem nos modelos estáticos e determinísticos até atingir os dinâmicos e estocásticos. É na categoria dos modelos dinâmicos e estocásticos que se inserem as metodologias propostas no presente trabalho. Estas envolvem uma ordenação alternativa por linhas dos valores que compõem o triângulo de runoff. Este empilhamento dá origem a uma série temporal univariada com valores faltantes, cuja soma destes últimos é, justamente, a reserva IBNR procurada. Serão propostas duas abordagens distintas baseadas na forma em Espaço de Estado que envolvem o tratamento destes valores faltantes, de maneira que se possibilite, também, o cálculo do erro médio quadrático da estimação desta soma. A primeira abordagem, o método dos blocos, consiste em calcular cada bloco da matriz de covariâncias dos valores faltantes. A estimação desta matriz permite obter os erros médios quadráticos de quaisquer combinações lineares dos valores em questão; em particular, a que gera a reserva IBNR. Já a segunda abordagem, chamada de método do acumulador, acrescenta uma nova componente ao vetor de estado, a qual é responsável pela acumulação das estimações dos valores faltantes. Como a componente acumuladora integra o vetor de estado, seu erro médio quadrático é naturalmente obtido pelas recursões do filtro de Kalman. A seguir, descreve-se a organização do trabalho. No capítulo 2, apresentam-se o triângulo de runoff, os detalhes sobre a nova ordenação proposta e a correspondente justificativa. O capítulo 3 mostra a metodologia consolidada para a estimação de reservas IBNR. Nesse capítulo apresenta-se inicialmente a forma geral de espaço de estado, revisando-se a literatura sobre suas aplicações à estimação de reserva IBNR e desenvolvendo-se resultados que constituirão a base para obtenção do erro médio quadrático da reserva estimada. Em seguida, as duas abordagens são descritas, com suas respectivas especificidades de estimação, tanto para dados do triângulo em escala original (distribuição normal) quanto para dados em escala logarítmica (distribuição log-normal). O capítulo 4 trata dos resultados empíricos obtidos de cada modelo, comparando desempenho com outros modelos já consagrados na literatura, utilizando-se três bases de dados distintas. Conclusões e extensões futuras do trabalho encontram-se no capítulo 5. No apêndice A, expõem-se as provas de lemas, teoremas e proposições do capítulo 3.

13 2 Reordenação do triângulo runoff Para se prever o IBNR total, os dados de sinistros do tipo IBNR são dispostos em um formato particular, chamado triângulo runoff, representado graficamente pela Figura 2.1 (vide Hart et al., 21 e suas diversas referências). Cada linha do triângulo representa um ano de acidente 1 ou ano de origem, isto é, o ano em que o sinistro ocorreu. Já as colunas referem-se aos anos de desenvolvimento, que expressam o atraso entre o pagamento e o ano de origem. Os anos de calendário (ou anos de pagamento ) são as diagonais do triângulo. Ano de Origem Desenvolvimento d w J 1 1 C 1 C 11 C C 1J 1 2 C 2 C C 2J 2 3 C 3... J... C J 11 C J Figura 2.1: Triângulo de runoff. O triângulo possui duas representações básicas: incremental e acumulada. Na forma incremental, cada célula do triângulo é representada por C wd, onde < w J e d < J. O valor C wd é o montante agregado pago pela seguradora referente a sinistros ocorridos no ano de origem w, e atrasados d anos (ou seja, pagos no ano de calendário w + d). Na forma acumulada do triângulo, as células são calculadas da forma D wd = d C wk, k= 1 Conforme Hart et al. (21), qualquer unidade de tempo pode ser utilizada. Para algumas classes de negócios pode ser mais adequado utilizar meses, trimestres ou semestres.

14 Capítulo 2. Reordenação do triângulo runoff 13 isto é, há uma acumulação dos incrementos C wd ao longo das linhas. Em geral, a forma acumulada é utilizada em métodos baseados nas razões ou taxas entre anos de desenvolvimento consecutivos, como os modelos em Hertig (1985) e em de Jong (24), e o próprio método Chain Ladder (cf. Booth et al., 24; England & Verrall, 22; Taylor, 2 entre outros) só para citar alguns. O ponto comum a todos os métodos de previsão de reservas sobretudo aos aplicados em triângulos runoff é a expectativa de que determinados padrões de comportamento dos sinistros ocorridos no passado se repitam no futuro. O padrão em questão é o de atraso entre o período de origem e o de pagamento do sinistro, ou seja, é o padrão apresentado ao longo das colunas. Os métodos estatísticos aplicados ao triângulo tentam modelar esta dependência entre colunas de diversas formas, dentre as quais está a curva de Hoerl (cf. Wright, 199). Em de Jong & Zehnwirth (1983) e Renshaw (1989) a curva é utilizada no contexto de séries temporais, enquanto England & Verrall (22) o faz no contexto de Modelos Lineares Generalizados, através de uma regressão de variáveis dependentes Poisson com sobredispersão. O trabalho de de Jong (26), que é uma extensão do trabalho de Hertig (1985), verifica a existência de correlações entre as colunas do triângulo sobretudo entre as primeiras (atrasos menores) e as tratam explicitamente, levando a melhoras significativas no ajuste do modelo e, conseqüentemente, no seu poder preditivo. Ainda existem outros trabalhos que incorporam como informação adicional o número de sinistros ocorridos em cada célula do triângulo. Vide, por exemplo, Ntzoufras & Dellaportas (22), no qual é realizada uma comparação entre estimações de reserva levando-se em conta ou não o número de sinistros. Os autores mostram que a inclusão dessa informação reduz o intervalo de confiança da previsão. Na representação de índice duplo tanto no contexto de séries temporais quanto no de regressão é comum se parametrizar o triângulo através de fatores comuns às colunas e outros comuns às linhas. Por exemplo, na parametrização mais tradicional, onde C wd = α w β d, todas as observações da linha w compartilham do mesmo parâmetro α w. A grande desvantagem desta abordagem é o grande número de parâmetros a serem estimados com poucas observações. Alguns trabalhos utilizam-se de reparametrizações no intuito de se reduzir o número de parâmetros a ser estimado. Um exemplo disso é a curva de Hoerl, empregada em de Jong & Zehnwirth (1983), que reduz o número de parâmetros que influenciam as colunas para apenas um.

15 Capítulo 2. Reordenação do triângulo runoff O método Chain-Ladder O método determinístico Chain-Ladder para previsão de reservas IBNR é, ainda hoje, um dos mais utilizados pelas empresas seguradoras. A principal razão disto, segundo Mack (1993), é sua simplicidade e por ser livre de distribuição 2. Muitos dos trabalhos citados anteriormente tentaram construir um arcabouço estocástico para este método através da incorporação de premissas básicas, como, por exemplo, assumir uma determinada distribuição para as observações do triângulo. Assim, seria possível obter uma medida de dispersão para a reserva estimada. Porém, a maioria dos trabalhos, na realidade, estava apenas desenvolvendo um novo método diferente do Chain-Ladder pois os valores estimados das reservas não coincidiam. Coube ao trabalho de Mack (1993) desenvolver o arcabouço estocástico do método Chain-Ladder mantendo idêntico o valor estimado da reserva, e dessa forma obter a medida de dispersão para tal reserva sem assumir qualquer distribuição para as observações do triângulo, ou seja, preservou-se a característica principal do método Chain-Ladder: ser livre de distribuição Expressões básicas O método Chain-Ladder básico assume a existência de J 1 fatores ( Development Factors ) f 1,...,f J 1 > tais que E(D w,k D w1,...,d w,k 1 ) = D w,k 1 f wk, 1 w J, 1 k J 1. (2-1) Os estimadores dos fatores f k são dados pela seguinte expressão J k j=1 ˆf k = D j,k J k j=1 D, 1 k J 1. (2-2) j,k 1 Assim, a esperança do valor acumulado na última coluna da linha w é dada por ˆD w,j 1 = D w,j w ˆf J w... ˆf J 1 (2-3) As parcelas da reserva referentes a cada linha w (ano de acidente w) são dadas pelo valor obtido na coluna J 1, subtraído do valor da diagonal da linha correspondente. 2 Segundo a classificação criado por Taylor (23), o método Chain-Ladder é heurístico e determinístico.

16 Capítulo 2. Reordenação do triângulo runoff 15 ˆR w = ˆD w,j 1 D w,j i = D w,j w ( ˆfJ w... ˆf J 1 ) A reserva total é dada pela soma de cada uma destas parcelas ˆR = J R i. (2-4) i= Expressões do erro médio quadrático obtidas por Mack A grande contribuição do trabalho de Mack foi a obtenção de uma expressão para o erro médio quadrático da reserva, sem assumir qualquer distribuição subjacente. Para tal, alguns pressupostos tiveram que ser assumidos, como, por exemplo, a independência entre linhas do triângulo. Desta maneira, a expressão para o erro médio quadrático da parcela da reserva correspondente à linha w é dada por EQM( ˆR w ) = ˆD w,j 1 2 J 2 k=j w ˆσ 2 k ˆf 2 k ( ) ˆD J k w,k j=1 D j,k com ˆσ 2 k definido como o seguinte estimador não-viesado: ˆσ 2 k = 1 J k ( ) 2 Dik D ik J k 1 D ˆf k, 1 k J 2. i,k 1 i=1 A expressão para o erro médio quadrático da reserva total encontra-se a seguir. Ela será utilizada no capítulo 4 para efeito de comparação com o modelo proposto no capítulo 3. EQM( ˆR) = { ( J J (e.p.( ˆR i )) 2 + ˆD i,j 1 i=2 j=i+1 ) J 2 ˆD j,j 1 k=j i 2ˆσ 2 k / ˆf 2 k J k n=1 D nk } (2-5) 2.2 Modelo em Espaço de Estado proposto Este trabalho fará uso da forma incremental do triângulo, porém, como já citado, adotando-se uma nova ordenação: os índices w e d cedem lugar para um único índice t, o qual define uma série temporal univariada, cuja

17 Capítulo 2. Reordenação do triângulo runoff 16 ordenação está exemplificada na Figura 2.2. Com esta ordenação, e utilizandose a formulação em Espaço de Estado (a ser discutida na seção 3.1), as estruturas de dependência entre os valores do triângulo podem ser modeladas de forma natural. Cabe, aqui, ressaltar que este índice t não representa a ordem cronológica dos pagamentos, mas sim uma nova maneira de possibilitar a análise do triângulo através de modelos que admitam componentes periódicas, como será visto no próximo capítulo. Ano de Origem Desenvolvimento d w J 1 1 y 1 y 2 y 3... y J 2 y J+1 y J+2... y 2J 1 y 2J 3 y 2J+1 y 2J+2... y 3J 1 y 3J... J y (J 1)J+1 y (J 1)J+2... y J 2 1 y J 2 Figura 2.2: Reparametrização por linhas do triângulo. Ano de Origem Desenvolvimento d w J 1 1 y 1 y 2 y 3... y J 2 y J+1 y J+2... y 2J 1. J. y (J 1)J+1 Figura 2.3: Reparametrização por linhas do triângulo com valores ausentes. Perseguindo a mesma lógica apresentada na Figura 2.1, alguns elementos da Figura 2.2, na prática, são faltantes, pois correspondem às parcelas do IBNR (vide definição mais adiante). Logo, a figura 2.3 será o verdadeiro objeto de estudo. Prever a Reserva IBNR significa, em termos práticos, completar os valores faltantes do triângulo inferior da figura 2.3. Na abordagem univariada em discussão, a Reserva IBNR propriamente dita consiste na soma não observada desses valores faltantes, ou seja, IBNR R = y t. (2-6) t: y t é ausente É no tratamento destes valores ausentes que a formulação em Espaço de Estado apresenta um de seus diferenciais: a estimação se torna natural mediante a utilização do filtro de Kalman. Não só se obtém a previsão pontual de tais

18 Capítulo 2. Reordenação do triângulo runoff 17 valores, mas também sua medida de dispersão (cf. Harvey, 1989; Durbin & Koopman, 21; e Brockwell & Davis, 22). No entanto, enuncia-se um problema: Supondo que os valores faltantes são variáveis aleatórias de 2 a ordem e adotando-se como estimador pontual de R a sua esperança condicional dados todos os outros valores conhecidos do triângulo, calcular seu erro médio quadrático associado, o qual, sabe-se, é mínimo dentre todos os outros estimadores que são funções dos valores conhecidos. Neste trabalho, o problema delimitado acima é atacado mediante duas abordagens diferentes, mas que possuem como base a teoria dos modelos em Espaço de Estado e a mesma ordenação por linhas já proposta. Tais temas são explorados plenamente no próximo capítulo.

19 3 Metodologia 3.1 Modelos em Espaço de Estado Lineares Gaussianos Estrutura Básica A forma em Espaço de Estado Linear Gaussiana (forma em EE daqui por diante) consiste em duas equações. A primeira delas é chamada equação das observações, que descreve a evolução de um processo estocástico p- variado e observável y t, t = 1, 2,... e a outra é chamada equação do estado. Especificamente: y t = Z t α t + d t + ε t, ε t N(,H t ) α t+1 = T t α t + R t η t, η t N(,Q t ) (3-1) α 1 N(a 1,P 1 ). O processo m-variado α t é chamado de estado e é considerado não-observável. Os erros ε t e η t são independentes no tempo, entre si e de α 1. As matrizes do sistema Z t, d t, T t, R t, H t e Q t são determinísticas. Dada uma série temporal de tamanho n do processo y t, definam-se Y j ( y 1,...,y j), at j E(α t Y j ) e P t j Var(α t Y j ). As equações de predição e de suavização do filtro de Kalman fornecem fórmulas recursivas para o cálculo dos momentos condicionais acima quando j = t 1 e para j = n, respectivamente. Suas expressões analíticas encontram-se em (3-2) e (3-3). Suas derivações, sob os pressupostos da forma em EE aqui adotada, podem ser obtidas em Durbin & Koopman (21) e em Harvey (1989). υ t = y t Z t a t t 1 d t, F t = Z t P t t 1 Z t + H t, K t = T t P t t 1 Z tf 1 t, L t = T t K t Z t, t = 1,...,n, a t+1 t = T t a t t 1 + K t υ t, P t+1 t = T t P t t 1 L t + R t Q t R t, (3-2)

20 Capítulo 3. Metodologia 19 r t 1 = Z tf 1 t υ t + L tr t, N t 1 = Z tf 1 t Z t + L tn t L t, a t n = a t t 1 + P t t 1 r t 1, P t n = P t t 1 P t t 1 N t 1 P t t 1, (3-3) r n =, N n =, t = 1,...,n. Há diversos artigos publicados na área de estimação de IBNR mediante o arcabouço da forma em EE. O primeiro deles, que pode ser destacado, é o trabalho de de Jong & Zehnwirth (1983), um precursor do uso do filtro de Kalman na literatura atuarial. Nele, o triângulo é organizado de tal forma que as diagonais formam os vetores das observações. Uma variante deste método também é apresentada em Atherino & Fernandes (27). Em de Jong (26) ainda se propõe a forma em EE para se estimar correlações entre valores do triângulo. Também cumpre citar o artigo Verrall (1989), que oferece uma metodologia de estimação dentro do enfoque Bayesiano. Outro trabalho de importância é devido a Wright (199). Greg Taylor também se utiliza da forma em EE para estimar seu modelo em Taylor (23), ao qual se emprega o filtro EDF (Exponential Distribution Filter). Além de artigos, cita-se também o livro de autoria do próprio Taylor (cf. Taylor, 2), no qual, em adição a um apanhado de técnicas previamente desenvolvidas na literatura, é oferecida uma abordagem em que cada linha do triângulo runoff é vista como um vetor aleatório Modelos Estruturais Um modelo estrutural para séries temporais é aquele no qual as componentes não observáveis de nível, inclinação, sazonalidade e ruído são modeladas explicitamente, cf. Harvey (1989). O modelo em (3-4) é o modelo estrutural com as componentes periódica e de nível estocásticas que será considerado nas aplicações do presente trabalho. y t = µ t + γ t + x tβ t + ε t, ε t N(,σε), 2 µ t+1 = µ t + ζ t, ζ t N(,σζ), 2 (3-4) J 1 γ t+1 = γ t+1 j + ω t, ω t N(,σω). 2 j=1 O termo de regressão x tβ t é principalmente motivado pela necessidade de intervenções de outliers e de quebras (vide seção 3.1.3). A idéia de se estimar tal modelo estrutural em particular é a de que suas componentes não observáveis

21 Capítulo 3. Metodologia 2 terem capacidade de explicar o comportamento dos sinistros IBNR de forma intuitiva. A componente de nível µ t explica as informações referentes ao volume de sinistros ocorridos em cada ano de acidente. Cabe à componente periódica γ t captar o padrão da série em cada linha do triângulo, isto é, será responsável por explicar o comportamento do atraso na liquidação dos sinistros. O modelo estrutural tem a seguinte forma em Espaço de Estado: µ t+1 γ t+1 γ t. γ t J ( ) y t = 1 1 µ t γ t γ t 1. γ t J = x tβ t + ε t, t = 1, 2,...,n µ t γ t γ t 1. γ t J ( +.. Nas subseções seguintes, serão apresentadas duas propostas que visam resolver o problema da estimação de IBNR sob a ordenação por linhas do triângulo de runoff proposta na seção 2, e do cálculo do erro médio quadrático associado. Muito essencialmente e, em palavras, o primeiro deles parte para a dedução, bloco a bloco, de uma expressão analítica fechada da matriz de covariância condicional das parcelas do IBNR (cf. expressão (2-6)) empilhados; o segundo, por sua vez, é baseado no aumento do vetor de estado com um acumulador das parcelas do IBNR. Ou seja, um método tenta solucionar o problema construindo blocos de covariâncias ; e o outro, acumulando a reserva. ξ t ω t ) Incorporação de sazonalidade entre o período de origem dos sinistros (linhas do triângulo) A metodologia descrita neste trabalho independe da unidade de tempo utilizada no triângulo, seja ela mensal, trimestral, semestral etc. Abarca, ainda, naturalmente, a possível existência de comportamentos periódicos entre as colunas do triângulo, após a introdução do modelo (3-4) como previamente comprovado. Entretanto, em determinadas unidades de tempo, pode haver, ao menos teoricamente, certa periodicidade entre as linhas, refletindo, assim, a

22 Capítulo 3. Metodologia 21 possibilidade de existência de um padrão sazonal nas ocorrências de sinistros IBNR. Na Figura 3.1 está representado um triângulo trimestral. Caso existam indícios empíricos de que sinistros originados em um determinado trimestre de um ano em particular tenham aspectos em comum com os originados no mesmo trimestre de outros anos, esta sazonalidade pode estar incorporada diretamente no modelo. Uma forma de se acrescentar essa componente sazonal seria através de variáveis dummies, como no modelo abaixo: no qual d (i) t = y t = µ t + γ t + J i=2 β (i) t d (i) t + ε t, (3-5) 1 y t {i-ésimo período,...,s-ésimo período }, i = 2, 3,...,J caso contrário. Origem Desenvolvimento d w Q1 C 1, C 1,1 C 1,2 C 1,11 26Q2 C 2, C 2,1 C 2, Q3 C 3, C 3,1 C 3, Q4 C 4, C 4,1 C 4, Q1 C 5, C 5,1 C 5,2 27Q2 C 6, C 6,1 C 6,2 27Q3 C 7, C 7,1 C 7,2 27Q4 C 8, C 8,1 C 8,2 28Q1 C 9, C 9,1 C 9,2 28Q2 C 1, C 1,1 C 1,2 28Q3 C 11, C 11,1 28Q4 C 12, Figura 3.1: Triângulo trimestral. A inclusão dos referidos parâmetros adicionais pode agravar ainda mais a questão da maximização da verossimilhança, já que a quantidade de valores faltantes sempre será cerca de 5% do número de observações do triângulo. 3.2 Primeira Abordagem: o método dos blocos Considere a forma em EE e toda a notação correspondente a esta e ao filtro de Kalman da subseção Adicionalmente, defina

23 Capítulo 3. Metodologia 22 I {t : y t é não-ausente}, Ỹ {y i j : i j I, j} 1, Y {y t : t = 1,...,n} e L L t, se t I t T t, caso contrário Observe que N t n k=t+1 L t+1...l k 1Z k F 1 k Z kl k 1...L t+1. Ỹ, no contexto de cálculo de IBNR, consiste na informação proveniente do triângulo (cf. Figura 2.3). O ponto de partida para tudo o que se desenvolverá nesta subseção são expressões recursivas, deduzidas em Durbin & Koopman (21, seção 4.5), para algumas matrizes de covariâncias condicionais provenientes de manipulações com as equações de suavização do filtro de Kalman. Estas são sumarizadas no seguinte Lema: Lema 1 Sejam t, j = 1,...,n quaisquer. Então, 1. Cov(α t,α j Y) = P t t 1 L tl t+1...l j 1(I m N j 1 P j j 1 ), j t sendo que L tl t+1...l j 1 = I m quando j = t. 2. Cov(ε t,ε j Y) = H t K tl t+1...l j 1W j, j > t sendo que W j = H j (F 1 j Z j K jn j L j ). 3. Cov(ε t,α j Y) = H t K tl t+1...l j 1(I m N j 1 P j j 1 ), j > t. 4. Cov(α t,ε j Y) = P t t 1 L tl t+1...l j 1W j, j t sendo que W j = H j (F 1 j Z j K jn j L j ) e L tl t+1...l j 1 = I m quando j = t. Outro resultado importante é o Lema 2 dado na sequência, o qual se relaciona com distribuições Gaussianas condicionais e, diferentemente de todos os resultados desta seção, não se restringe necessariamente ao contexto de modelos em Espaço de Estado. A prova deste Lema encontra-se no apêndice A.1. Lema 2 Sejam x, y e z vetores aleatórios com distribuição conjunta Gaussiana. Se Cov(y, z) = e se Cov(x, z) =, então E(x y, z) = E(x y) (3-6) Var(x y, z) = Var(x y). (3-7) 1 Observe que Ỹ está sendo definido como um conjunto de vetores aleatórios e não como um vetor aleatório empilhado. Mas, para o que segue, o mesmo pode ser visto como tal.

24 Capítulo 3. Metodologia 23 O próximo resultado, de prova bem direta e apresentada no apêndice A.2, revela uma espécie de ortogonalidade entre a parte observada do triângulo e as parcelas não observadas do IBNR. Lema 3 Para todo t / I, ε t é não-correlacionado com Ỹ. A linha condutora do desenvolvimento do método dos blocos é a obtenção de uma matriz de covariância condicional de todos os y t, tais que t / I, empilhados dado Ỹ. O caminho para isso é estudar, para os mesmos índices t, as covariâncias condicionais dos vetores aleatórios não-observáveis α t, ε t e η t e explorar convenientemente a linearidade da relação entre estes e os y t. O próximo resultado materializa esta ideia e tem como base de construção os Lemas 1, 2 e 3. Sua prova encontra-se no apêndice A.3. Lema 4 Para t, j / I arbitrários, tem-se que: 1. Cov(ε t,ε j Ỹ) = H t, para t = j, caso contrário. 2. Cov(ε t,α j Ỹ) = ( ) 3. Cov(α t,α j Ỹ) = P t t 1 L t L t+1...l j 1 I N j 1 P j j 1, se t < j P t t 1 P t t 1 Nt 1P t t 1, se t = j. Estabelecidos os resultados de suporte, agora já existem plenas condições para que se deduzam as expressões computacionais do método dos blocos. Essas se encontram no próximo Teorema, cuja prova está no apêndice A.4. Teorema 1 Para t,j arbitrários, tem-se que se t I ou j I Cov(y t,y j Ỹ) = Z t (P t t 1 P t t 1 Nt 1P t t 1 )Z t + H t se t = j e t,j / I ( ) Z t P t t 1 L t L t+1...l j 1 I N j 1 P j j 1 Z j se t < j e t,j / I. Após ter-se chegado ao objetivo desejado, cabem aqui alguns comentários de ordem prática. A implementação computacional da expressão matricial, enunciada no Teorema 1, envolve o armazenamento de algumas matrizes advindas das recursões do filtro de Kalman: P t t 1 e Nt 1 para todo t / I,

25 Capítulo 3. Metodologia 24 e ainda as matrizes L τ,l τ+1,...,l τ 1, 1 τ < τ n nas quais τ e τ são o primeiro e o último instantes, respectivamente, em que existem valores faltantes. Também, é a mesma fórmula que, quando calculada para todas as combinações possíveis de índices i e j, conduz ao insumo básico - que é a matriz de covariâncias condicionais completa de Y n dado Ỹ - para que se calcule uma medida de precisão associada à estimação de qualquer combinação linear dos valores faltantes Erro médio quadrático da Reserva IBNR estimada: casos total e por ano Para um vetor a = (a 1, a 2,...,a n ) qualquer, tem-se que E(a Y Ỹ) = a E(Y Ỹ) e Cov(a Y Ỹ) = a Cov(Y Ỹ)a. A reserva IBNR é calculada escolhendo-se um vetor a, aqui definido por a (T), de forma que a (T) i = 1 se i / I e a (T) i = caso contrário. Para as parcelas do IBNR relativas a um específico ano de acidente (linhas), utilize o mesmo vetor a com coordenadas nulas nos lugares apropriados - os que não correspondem ao ano. Esta análise por ano de acidente é interessante porque permite a identificação de fontes de incertezas nas parcelas do IBNR. Assim, as expressões do método dos blocos para a Reserva IBNR e seu correspondente erro padrão são: ÎBNR ˆR = a E(Y Ỹ) (3-8) ep(ibnr) a êp(r) = Cov(Y Ỹ)a (3-9) Uso da distribuição log-normal para y t Uma alternativa à hipótese de normalidade para y t do triângulo é a distribuição log-normal, que induz, por primeiros princípios, à modelagem de z t log y t. Essa distribuição foi extensamente explorada na literatura atuarial (cf. Taylor, 2, capítulo 9), tanto na área de Modelos Lineares Generalizados (MLG) quanto na área de Séries Temporais. Em MLG, podemse citar os trabalhos de Kremer (1982), Renshaw (1989), Christofides (199), Verrall (1991) e Doray (1996); na área de Séries Temporais, têm-se de Jong & Zehnwirth (1983), Verrall (1989), de Jong (24) e de Jong (26). Apesar de desenvolver seu modelo sem precisar admitir qualquer distribuição (cf. Mack, 1994a), Mack faz um exemplo utilizando log-normalidade para a construção gráfica da reserva (cf. Mack, 1994b).

26 Capítulo 3. Metodologia 25 Sob a adoção do método dos blocos, este pressuposto distribucional alternativo dá origem ao seguinte algoritmo para o cálculo da reserva IBNR estimada e seu correspondente erro médio quadrático: 1. Aplique o filtro de Kalman ao triângulo formado pelos z t, armazenando todas as matrizes devidas (vide comentários finais da seção 3.2). 2. Utilize o método dos blocos para obter ẑ t E(z t Z) = E(log y t Ỹ), σẑ 2 t Var(z t Z) e σẑt,ẑ j Cov(z t,z j Z). 3. Calcule 2 : { } ŷ t = exp ẑ t + σ2 ẑ t 2 σŷ 2 t = exp { } ( ) 2ẑ t + σẑ 2 t e σ2 ẑ t 1 { } σŷt,ŷ j = exp ẑ t + ẑ j + σ2 ẑ t 2 + σ2 ẑ j 2 (3-1) (3-11) (e σ ẑ t,ẑ j 1) (3-12) 4. Proceda com os cálculos da subseção anterior. Essa é uma clara vantagem deste método sobre o do acumulador, que não permite, por construção, a modelagem do logaritmo dos valores do triângulo, como será visto na sequência. 3.3 Segunda Abordagem: o método do acumulador Este método consiste em adicionar uma componente ao vetor de estado, denotada por δ t, a qual será responsável pela acumulação das previsões dos valores faltantes: [ α t+1 δ t+1 [ ] [ ] α t y t = Z t + d t + ε t δ t ] [ ][ T t = I X t α t δ t ] + [ R t ] η t, (3-13) na qual X t = quando t I e X t = Z t quando t / I (observação faltante). Denote por ψ e ψ os vetores de parâmetros dos modelos (3-1) e (3-13) respectivamente e denote por L e L as correspondentes verossimilhanças. Apesar de ψ = ψ com efeito, o modelo em (3-13) é um simples aumento na 2 Estas expressões decorrem de direta aplicação de função geradora de momentos e/ou função característica.

27 Capítulo 3. Metodologia 26 equação do estado do modelo em (3-1) cujas matrizes do sistema adicionais não compreendem novos parâmetros, não é muito direto afirmar o mesmo, ou algo diferente, para os estimadores de máxima verossimilhança provenientes de L e de L. O próximo resultado, cuja prova encontra-se no apêndice A.5, esclarece essa dúvida e, mais à frente, mostrar-se-á fundamental para a implementação computacional do método do acumulador. Proposição 1 ˆψ arg max L(ψ) = arg max L (ψ ) ˆψ. Interpretação: Apesar de o modelo aumentado possuir uma componente a mais de acumulação, não há acréscimo de informação à função de verossimilhança, pois, mesmo que a componente adicional seja, recursivamente, função de α t, este último depende, recursivamente, apenas de si mesmo. A importância prática da Proposição 1 advém de as implementações se simplificarem muito sobretudo com a extensão adicional do vetor de estado a ser mostrado na próxima subseção, pois o vetor de parâmetros poderá ser estimado através do modelo original (com matrizes menores) e, assim, as estimativas obtidas serão utilizadas no filtro de Kalman do modelo aumentado Extensão adicional do acumulador: acumuladores parciais por ano de origem Como já visto na seção 3.3, o método do acumulador consiste no acréscimo do acumulador δ t ao vetor de estado, e no redimensionamento das matrizes do sistema. Entretanto, é conveniente incorporar não só o acumulador da reserva IBNR total, mas também acumuladores parciais para cada ano de origem w = 2,...,J, pela mesma motivação apresentada no método dos blocos. Para tanto, seja δ t um vetor de dimensão J 1 tal que δ t = (δ (2),...,δ (J), δ (T) ), cujo sobrescrito (i) representa a parcela referente a t,δ (3) t t t linha i, com 2 i J, e o total i = T. O modelo em (3-13), então, é expandido no modelo em (3-14)

28 Capítulo 3. Metodologia 27 α t+1 δ (2) t+1. δ (J) t+1 δ (T) t+1 y t = [ ] Z t... [ T t = X t (m pj) I (pj pj) ] α t δ (2) t. δ (J) t δ (T) t α t δ (2) t. δ (J) t δ (T) t + ε t, R t +. η t, (3-14) com X t = (X (1) t,x (2) t,...,x (J) t,x (T) t ). As novas dimensões dos vetores e matrizes deste modelo estão expostas na tabela 3.1. Como visto na seção 3.3, a matriz de transição em (3-14) é formada por três blocos constantes e um variante no tempo, X t, cujos elementos seguem a regra a seguir. Para i = 1,...,J E também X (i) t = [ ] Z t... t / I e t linha i, caso contrário. X (T) t = [ ] Z t... t / I, caso contrário. Por fim, existe uma extensão direta da Proposição 1 aplicável ao modelo (3-14), a qual, como anteriormente discutido na seção 3.3, facilita a estimação dos parâmetros do modelo em situações práticas Erro médio quadrático da Reserva IBNR estimada: casos total e por ano Como já mencionado na seção anterior, uma das vantagens do método do acumulador é obter-se o valor estimado da reserva IBNR e seu erro médio quadrático diretamente do vetor de estado suavizado e sua matriz de variânciacovariância, respectivamente.

29 Capítulo 3. Metodologia 28 Vetor ou Matriz Dimensão α t (m + pj) 1 Z t p (m + pj) T t (m + pj) (m + pj) (m + pj) r R t Tabela 3.1: Nova dimensão dos vetores e matrizes para o método do acumuldador. A reserva estimada será dada por ˆR = E(δ (T) n+1 Ỹ) + t/ I d t, exatamente como na equação (2-6). Seu erro médio quadrático será dado pelo último elemento da diagonal principal da matriz Var(α n+1 Ỹ) = P n+1 n. Assim, a reserva e seu respectivo erro padrão são dados por: ÎBNR ˆR = E(δ n+1 Ỹ) (T) + d t, (3-15) t/ I ep(ibnr) êp(r) = Var(δ n+1 Ỹ) (T) + H t. (3-16) t/ I

30 4 Aplicações A fim de se comparar o desempenho e a aderência dos modelos apresentados no capítulo 3, três bases de dados serão utilizadas. A primeira base, apresentada na tabela 4.1, foi amplamente estudada na literatura de Reservas IBNR (cf. Mack, 1993; England & Verrall, 22; de Jong, 26; entre outros), e, aqui, será denotada pela forma abreviada AFG. A segunda, mostrada na tabela 4.2, também foi estudada em Taylor & Ashe (1983), Verrall (1991) e Mack (1993), e que será chamada de MC1. Por fim, a terceira base, apresentada na tabela 4.3, foi utilizada no trabalho de de Jong & Zehwirth (1983). Esta base, aqui chamada por DJZ, refere-se aos montantes pagos, em milhar de libra, por um seguradora inglesa não identificada. Tabela 4.1: Dívidas gerais facultativas (excluindo ambiental) do estudo da evolução histórica de perdas ( unidade milhar de dólar) AFG. Ano de Origem Desenvolvimento d w As séries univariadas criadas a partir do empilhamento dos anos de acidente das bases AFG, MC1 e DJZ estão representadas nas figuras 4.1(a), 4.1(b) e 4.1(c), respectivamente, em suas escalas originais, e nas figuras 4.2(a), 4.2(b) e 4.2(c) em escala logarítmica. Em uma primeira análise gráfica da série DJZ, notam-se claros indícios de periodicidade: o padrão de decaimento dos valores da série parece repetir-se a cada ano de acidente. Já nas séries AFG e

31 Capítulo 4. Aplicações 3 Tabela 4.2: Triângulo de runoff extraído de Mack (1993). Ano de Origem Desenvolvimento d w Tabela 4.3: Triângulo de runoff para uma seguradora inglesa (unidade milhar de libra) DJZ. Ano de Desenvolvimento d Origem w MC1 esse comportamento não fica tão evidente: cada ano de acidente aparenta ter padrões distintos um dos outros. O número significativo de valores faltantes do triângulo pode dificultar a estimação da função de verossimilhança, pois a informação de Fisher correspondente, que é diretamente ligada à curvatura (cf. Migon & Gamerman, 21, cap.2), perde contribuições. Com o intuito de contornar parcialmente este problema, decidiu-se pela combinação entre o algoritmo Expectation-Maximization (EM) adaptado ao modelo em EE (cf. Durbin & Koopman, 21; e Shumway & Stoffer, 26) com o otimizador do tipo quasi-newton BFGS para a maximização da verossimilhança. O algoritmo EM é um procedimento iterativo composto por dois passos: o primeiro passo envolve a avaliação da esperança da densidade p(y, α Ψ) condicionada a p(α Y, Ψ), com Ψ = (σε,σ 2 µ, 2 σγ) 2 e Ψ sendo os hiperparâmetros da iteração corrente; e a segunda etapa consiste na maximização desta esperança com relação aos elementos de Ψ. As expressões dos valores de Ψ para cada iteração, no caso particular de um modelo estrutural de nível local com peri-

32 Capítulo 4. Aplicações 31 odicidade (sazonalidade), são dadas por: σ 2 ε = 1 n n 2 {ˆε t Var(ε t Y) } t=1 σ 2 µ = 1 n 1 σ 2 γ = 1 n 1 n 2 {ˆµ t 1 Var(µ t 1 Y) } t=2 n 2 {ˆγ t 1 Var(γ t 1 Y) } t=2 Na sequência, serão apresentados os resultados das implementações dos métodos aplicados nas três bases de dados. A estimação dos modelos foi realizada utilizando-se a linguagem Ox com o pacote de Espaço de Estado SsfPack (cf. Doornik, 21 e Koopman et al., 1999).

33 Capítulo 4. Aplicações 32 8 AFG (a): Dados AFG 1.5e6 MC1 1.25e6 1e (b): Dados MC1 9 DJZ (c): Dados DJZ Figura 4.1: Séries empilhadas na escala real.

34 Capítulo 4. Aplicações 33 9 Data (a): Dados AFG 14. MC (b): Dados MC1 Data (c): Dados DJZ Figura 4.2: Séries empilhadas na escala logarítmica.

35 Capítulo 4. Aplicações Série AFG: resultados A estimação dos parâmetros do modelo para os dados AFG, na escala original, revelou nível e periodicidade estocásticos, enquanto que para a escala logarítmica estas mesmas componentes mostraram-se determinísticas, de acordo com as desprezíveis relações sinal/ruído mostradas na Tabela 4.4. Tal mudança de comportamento, no que diz respeito às componentes de nível das escalas analisadas, pode ser justificado por causa de a razão sinal/ruído do dado AFG em escala original ter se mostrado não muito alta, facilitando assim a eliminação de variabilidade pela tranformação logarítimica, compressora natural de escala. Vale ainda dizer que este fenômeno não compromete e tampouco torna conflitantes as análises particulares para cada escala, pois o comportamento estocástico do nível da série em escala original, no máximo, indicou um fraquíssimo movimento não-constante entre os 1 o e 5 o anos de acidente (cf. Figura 4.3). Quanto à periodicidade, apenas confirma-se o mesmo padrão de decaimento já esperado, assim, como antes, obtido em Atherino & Fernandes (27), para cada ano de origem. Tabela 4.4: Parâmetros estimados e relações sinal/ruído para a base de dados AFG. Escala Parâmetro (original) (log) Log-ver σε σξ σω σξ 2/σ2 ε σω/σ 2 ε As reservas IBNR estimadas estão expostas na Tabela 4.7. Tabela 4.5: Comparação entre os modelos (dados AFG). Escala (original) (log) Chain Ladder MAPE (%) EQM Pseudo R2 (%) AIC BIC Quanto aos diagnósticos, constata-se bom comportamento das inovações para o modelo na escala original, sem indícios de correlação serial, como está

36 Capítulo 4. Aplicações Série AFG Nível suavizado Série AFG Série suavizada Periodicidade suavizada Figura 4.3: Resultados do modelo estrutural nos dados sem transformação (dados AFG) Série AFG (log) Nível suavizado 1 Periodicidade suavizada Série AFG (log) Série suavizada (log) Série AFG Série suavizada Figura 4.4: Resultados do modelo estrutural nos dados com transformação (dados AFG).

37 Capítulo 4. Aplicações 36 Tabela 4.6: Comparação entre os modelos (dados AFG) Out of Sample. Escala (original) (log) Chain Ladder MAPE (%) EQM Pseudo R2 (%) Tabela 4.7: Reservas AFG calculadas e CV em %. Ano de Origem Chain Ladder Mod. Est. (original) Mod. Est. (log) (134.%) 733 (29.6%) 1966 (12.4%) (11.%) 211 (171.6%) 611 (11.6%) (45.7%) 3584 (125.3%) 1579 (8.3%) (53.5%) 4378 (125.%) 3213 (68.1%) (54.9%) 521 (124.2%) 5565 (58.5%) (4.6%) 7867 (95.3%) 9433 (54.3%) (49.1%) 9961 (86.7%) 1393 (47.7%) (59.5%) (64.2%) 1976 (45.4%) (15.4%) (58.5%) (42.1%) Total (51.6%) (48.9%) 8159 (24.2%) retratado em suas FAC e FACP (cf. Figura 4.5). O modelo em log também apresentou o mesmo comportamento (cf. Figura 4.6). Segundo a própria Tabela 4.5, ambos os modelos superaram o método Chain-Ladder tanto em erro médio quadrático quanto em pseudo-r2. Entretanto, o comportamento dos resíduos auxiliares 1 um instrumento para detecção de observações aberrantes apontou a presença de observações outliers, tornando-se necessária uma nova análise introduzindo intervenções ao modelo. Essa análise será discutida em detalhes na próxima subseção Análise de intervenções nos dados AFG Para cada uma das escalas, original e em log, foram estimados dois modelos com intervenções (totalizando assim, com os modelos previamente estimados, seis modelos): um com menos intervenções ; e o outro com mais intervenções. Com o intuito de facilitar a análise, deste ponto em diante, cada modelo será referenciado seguindo a nomenclatura abaixo: Modelo I-a modelo em escala original sem intervenções; Modelo I-b modelo em escala original com 5 intervenções; 1 Foram considerados outliers todas as observações cujos resíduos auxiliares superaram três unidades em valor absoluto.