Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes WPAN/WLAN

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes WPAN/WLAN Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva Co-orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique da Fonseca Silva Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências. Natal, RN, dezembro de 2008

2 Livros Grátis Milhares de livros grátis para download.

3 Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Oliveira, Elder Eldervitch Carneiro. Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes WPAN/WLAN / Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira - Natal, RN, p. Orientador: Sandro Gonçalves da Silva Co-orientador: Paulo Henrique da Fonseca Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. 1. Antenas de Microfita - Dissertação. 2. Geometria Fractal - Dissertação. 3. Redes Neurais Artificiais - Dissertação. 4. Casamento de Impedância - Dissertação. 5. Miniaturização - Dissertação. I. Silva, Sandro Gonçalves da. II. Silva, Paulo Henrique Silva. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título. RN/UF/BCZM CDU (043.3)

4 Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes WPAN/WLAN Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira Dissertação de Mestrado aprovada em 3 de dezembro de 2008 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (orientador) DEE/UFRN Prof. Dr. Paulo H. da Fonseca Silva (co-orientador) GTEMA/CEFETPB Prof. Dr. Adaildo Gomes D Assunção (Examinador interno).... DEE/UFRN Prof. Dr. Ronaldo de Andrade Martins (Examinador interno)..... DEE/UFRN Prof. Dr. Alfredo Gomes Neto (Examinador externo).... GTEMA/CEFETPB

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6 A meu pai, Elder (in memoriam)

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8 "Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável (...) para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do Espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer". Albert Einstein

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10 Agradecimentos Agradeço aos professores Sandro e Paulo pela amizade consolidada e pela orientação ao longo de todo esse trabalho. Agradeço a todos os professores do programa de PPGEEC, pela ajuda e sugestões para a melhoria desse trabalho. Agradeço ao professor Antônio Luiz, com o qual tive o prazer de estudar e trabalhar um tempo ao longo do curso. Agradeço a todos os funcionários do PPGEEC. À minha família pelo apoio durante esta jornada. À CAPES, pelo apoio financeiro em parte desse curso.

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12 Sumário Sumário Lista de Figuras Lista de Símbolos Lista de Siglas e Acrônimos i iii ix xi 1 Introdução Organização do texto Antenas de Microfita Introdução A Geometria Fractal Introdução Características de um fractal A dimensão fractal Método IFS para geração de Fractais Conjunto de Cantor gerado pelo método IFS Curva de Koch gerada pelo método IFS O triângulo de Sierpinski gerado pelo método IFS A curva de Peano gerada pelo método IFS A curva de Minkowski gerada pelo método IFS O sistema L para geração de fractais Obtenção da curva de Koch a partir do sistema L Obtenção do floco de neve a partir do sistema L Aplicações da geometria fractal Redes Neurais Artificiais Introdução Arquitetura de uma RNA Rede Feedforward (FNN) em camada única Rede Feedforward (FNN) distribuída em múltiplas camadas Redes recorrentes Aprendizado supervisionado Modelo não-linear de um neurônio artificial i

13 4.5 Rede perceptron de múltiplas camadas Treinamento da rede MLP Algoritmo de retropropagação do erro (Backpropagation) Algoritmo Resilient backpropagation - RPROP Resultados e Estrutura das Antenas Propostas Introdução Resultados Simulados e Experimentais Modelagem Utilizando Redes Neurais Artificiais Introdução Modelos Neurais de Antenas Patches Quasi-Fractais Modelagem neural da antena KR Modelagem neural da antena KR Modelagem neural da antena KT Modelagem neural da antena KT Modelagem neural da antena M Modelagem neural da antena M Conclusões 91

14 Lista de Figuras 2.1 Antena de microfita inset-fed patch retangular Formas geométricas assumida pelo patch irradiante Antena patch alimentada por linha de microfita inset-fed Antena de microfita com patch retangular alimentada por ponta de prova coaxial Níveis do triângulo de Sierpinski Fractais aleatórios Diferentes níveis para o conjunto de Cantor Diferentes níveis da curva de: (a) Koch e (b) Minkowski Níveis do floco de neve de Koch Níveis da curva de Peano Foto ilustrativa da samambaia de Barnsley Foto ilustrativa de uma galáxia espiral Floco de neve Koch vista em uma escala maior Regra de formação para obtenção da curva de Koch Curva de Koch com n= Floco de neve de Koch com n= Rede FNN com uma camada de neurônios de saída Rede FNN com três camadas, sendo uma camada de neurônios ocultos Rede recorrente sem neurônios ocultos Metodologia por aprendizado supervisionado Modelo de um neurônio artificial Propagação e retropropagação dos sinais Modelo de uma rede MLP com três camadas sendo uma camada de neurônios ocultos Função de ativação sigmóide com diferentes inclinações Influência da magnitude das derivadas e da taxa de aprendizagem na convergência do algoritmo de treinamento Antenas inset-fed patch com contornos fractais de níveis 0, 1 e 2: Koch retangulares, Koch triangular e Minkowski Protótipos fabricados: antena inset-fed patch geradora (nível 0) e antenas quase-fractais de níveis 1 e 2, com tamanhos de 100, 75 e 50% Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno da antena geradora tipo inset-fed patch retangular (nível 0) iii

15 5.4 Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Koch retangular (níveis 1 e 2) Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Koch triangular (níveis 1 e 2) Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Minkowski (níveis 1 e 2) Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quasefractais de nível Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quasefractais de nível Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 1 redimensionadas Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 2 redimensionadas Gráfico da impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena A Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quasefractal KR1 redimensionado Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quasefractal KR2 redimensionado Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quasefractal KT1 redimensionado Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quasefractal KT2 redimensionado Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quasefractal M1 redimensionado Impedância de entrada traçados na carta de Smith para a antena quasefractal M2 redimensionado Diagramas de radiação 3D das antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas em comparação com a antena A Diagrama de radiação medido em 2,46 GHz para a antena A0, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,44 GHz para a antena KR1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,422 GHz para a antena KR2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,435 GHz para a antena KT1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,448 GHz para a antena KT2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,409 GHz para a antena M1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado Diagrama de radiação medido em 2,443 GHz para a antena M2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 59

16 5.26 Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR1, KT1 e M1, plano H Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR2, KT2 e M2, plano H Distribuição de corrente nas antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 7,84mm) Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 8,71mm) Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro y 0 da antena KR Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y 0 da antena KR Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro BW da antena KR Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro BW da antena KR Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro Q da antena KR Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro Q da antena KR Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 8,085mm) Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 8,105mm) Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro y 0 da antena KT Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y 0 da antena KT Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro BW da antena KT Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro BW da antena KT

17 6.23 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro Q da antena KT Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro Q da antena KT Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 3,4mm) Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y 0 = 3,435mm) Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro y 0 da antena M Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y 0 da antena M Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do parâmetro BW da antena M Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro BW da antena M Evolução da rede durante a fase de treinamento da rede para a modelagem do Q da antena M Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do Q da antena M

18 Lista de Tabelas 3.1 Valores assumidos por e i no processo de geração do conjunto de Cantor pelo método IFS Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Koch pelo método IFS Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração do triângulo de Sierpinski pelo método IFS Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Peano pelo método IFS Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Minkowski pelo método IFS Funções de ativação comumente utilizadas Resultados de simulação para as antenas patches quase-fractais projetadas Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais projetadas Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais de nível 1 redimensionadas Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais de nível 2 redimensionadas Parâmetros das antenas patches quasi-fractais de nível 1 e nível Parâmetros das antenas patches quasi-fractais de nível vii

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20 Lista de Símbolos Letras Gregas α termo de momento γ constante de propagação, i j valores de ajuste L comprimento Fringing ε r permissividade elétrica relativa ε re f f permissividade elétrica relativa efetiva η taxas de aprendizado global η +,η constantes: 1,2 e 0,5 respectivamente λ 0 comprimento de onda π constante: 3, ϕ, j e ϕ, k derivadas de primeira ordem das funções de ativação ϕ função de ativação ix

21 Letras Romanas A conjunto do R 2 A(%) referente ao tamanho das antenas b bias BW largura de banda c velocidade da luz CF fator de compressão d[n] resposta desejada e[n] erro entre a resposta desejada e a saída da rede E[n] energia total do erro F R freqüência de ressonância G 1 condutância da abertura radiante G 12 condutância mútua entre aberturas h espessura do substrato dielétrico i, j indíces K célula matriz L comprimento do patch irradiante L 0 comprimento da linha de alimentação n nível de um fractal N número total de exemplos de treinamento Ni número de entradas da rede net potencial de ativação Nh número de unidades ocultas Ns número de saídas da rede q transformação afim R 2 espaço bidimensional R n espaço n-dimensional R in resistência de entrada s fator de escala de interação S11 perda de retorno t época de treinamento T transformação linear não-singular u, v vetores X 0 espessura do inset-fed x i entrada da rede neural X[n] sinal de entrada da rede y[n] saída da rede neural y j saída da camada oculta y 0 comprimento do inset-fed w k j peso sináptico da camada de saída da rede w ji peso sináptico entre o neurônio i e o neurônio j W largura do patch irradiante W 0 espessura da linha de alimentação impedância Z 0

22 Lista de Siglas e Acrônimos A0 patch retangular inset-fed nível 0 EM-ANN Electromagnetic - Artificial Neural Network FDTD Diferenças Finitas no Domínio do Tempo FEM Método do elemento finito FNN Feedforward Neural Network GPS Sistema de Posicionamento Global GSM Global System for Mobile Communications IFS Sistema Iterativo de Funções KR1 Koch retangular nível 1 KR2 Koch retangular nível 2 KT1 Koch triangular nível 1 KT2 Koch triangular nível 2 M1 Minkowski nível 1 M2 Minkowski nível 2 MLP Multilayer Perceptron MNM Modelo de rede multiporta MoM Método dos momentos MSE Erro médio quadrático RBF Redes de funções de base radial RFID Identificador por radiofrequência RNA Redes Neurais Artificiais RPROP Resilient Backpropagation SFNN Redes de funções sample SMA Referente ao conector utilizado nas medições TLM Modelo da linha de trasmissão WLAN Wireless Local Area Network WPAN Wireless Personal Area Network xi

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24 Resumo As antenas de microfita estão em constante evidência nas pesquisas atuais, isso devido às inúmeras vantagens que apresentam. A geometria fractal aliada ao bom desempenho e comodidade das estruturas planares são uma excelente combinação para projetos e análise de estruturas cada vez menores e com características multi-ressonantes e banda larga. Essa geometria tem sido aplicada em antenas tipo patch em microfita para reduzir o seu tamanho e evidenciar o seu comportamento multi-banda. Em comparação com as antenas em microfita convencionais, as antenas patch quase-fractais apresentam freqüências de ressonância inferiores, possibilitando a fabricação de antenas ainda mais compactas. O objetivo desse trabalho consiste no projeto de antenas patches quase-fractal por meio da utilização de curvas fractais de Koch e Minkowski aplicado às margens radiante e não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha de microfita com reentrâncias, inicialmente projetada para a freqüência de 2, 45 GHz a ser observada. A técnica inset-fed é investigada para o casamento de impedâncias das antenas fractais, que são alimentadas através de linhas de microfita com reentrâncias. A eficiência dessa técnica é investigada experimentalmente e comparada com simulações realizadas pelo software comercial Ansoft Designer, usado para a análise precisa do comportamento eletromagnético das antenas através do método dos momentos e pelo modelo neural proposto. Nessa dissertação um estudo bibliográfico em teoria de antenas de microfita é realizado, o mesmo estudo é realizado a respeito da geometria fractal, dando ênfase a suas mais diversas formas, técnicas de geração desses fractais bem como sua aplicabilidade. Este trabalho ainda apresenta um estudo em redes neurais artificiais, evidenciando os tipos/arquitetura de redes utilizadas e suas características, bem como os algoritmos de treinamento que foram utilizados para sua implementação. As equações dos ajustes dos parâmetros para as redes utilizadas nesse trabalho foram deduzidas a partir do método do gradiente. Também será realizada uma investigação com ênfase na miniaturização dessas novas estruturas propostas, indicando o quanto uma antena projetada com contornos fractais é capaz de miniaturizar uma antena patch retangular convencional. O estudo também consiste de uma modelagem por meio de redes neurais artificiais dos mais diversos parâmetros eletromagnéticos das antenas quase-fractal. Os resultados apresentados demonstram a excelente capacidade das técnicas neurais para modelagem de antenas de microfita, e todos os algoritmos utilizados nesse trabalho na obtenção dos modelos propostos foram implementados no software comercial de simulação Matlab 7. Com a finalidade de validar os resultados obtidos, vários protótipos de antenas foram construídos, medidos em um analisador de rede vetorial e simulados em software para comparação. Palavras-chave: Antenas de Microfita, Geometria Fractal, Redes Neurais Artificiais, Casamento de Impedância, Miniaturização.

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26 Abstract The microstrip antennas are in constant evidence in current searches, that due to several advantages it s present. The Fractal geometry together with good performance and convenience of planar structures are an excellent combination for design and analysis of structures with ever smaller features and multi-resonant and broadband. This geometry has been applied in microstrip antennas type patch to reduce its size and highlight its behavior multi-band. Compared with the conventional microstrip antennas, the antenna patch quase-fractals have lower resonance frequencies, enabling the construction of more compact antennas. The technique inset-fed is investigated to the marriage of impedance of fractal antennas, which are fed through microstrip lines with splits. The efficiency of this technique is investigated experimentally and compared with simulations carried out by commercial software Ansoft Designer, used for detailed analysis of the behavior of electromagnetic antennas through the method of moments and the proposed neural model. In this dissertation a study of literature in theory of microstrip antennas is performed, the same study is done about the fractal geometry, giving more emphasis to its various forms, techniques for generation of fractals as well as its applicability. This work also presents a study on artificial neural networks, showing the type/architecture of networks used and their characteristics as well as the algorithms of training for its implementation that were used. The equations of setting the parameters for networks used in this study were derived from the gradient method. The aim of this work is a project of quase-fractal patches antennas through the use of fractal curves of Koch and Minkowski applied to radiating and non-radiating contour from an antenna conventional rectangular patch inset-fed fed by microstrip line with split, Originally designed for the frequency of 2.45 GHz to be observed. It will also be accomplish a research with emphasis on miniaturization of these new structures proposed, showing how an antenna designed with contours fractals is able to miniaturize a conventional rectangular patch antenna. The study also consists of a modeling through artificial neural networks in many different electromagnetic parameters of quase-fractals antennas. The results presented demonstrate the excellent ability of neural techniques for modeling of microstrip antennas, and all algorithms used in this work in achieving the proposed models were implemented in commercial software simulation Matlab 7. In order to validate the results, several prototypes of antennas were built, measured in a vector network analyzer and simulated in software for comparison. Keywords: Microstrip Antennas, Fractal Geometry, Artificial Neural Networks, Impedance Matching, Miniaturization.

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28 Capítulo 1 Introdução Os sistemas de comunicação sem fio (wireless) experimentaram um crescimento considerável nos últimos anos, exercendo um papel cada vez mais importante na vida das pessoas ao redor do mundo. Com o desenvolvimento das tecnologias de terceira (3G) geração, busca-se soluções técnicas que atendam os requisitos de novos e melhores serviços, tais como: Serviços comerciais e os serviços voltado para área militar [1] [5]. Paralelamente, surge um crescente mercado para equipamentos que potencializam a qualidade e a capacidade dos serviços necessários para sustentar tal demanda. O constante interesse nos últimos anos por dispositivos leves, compactos e com custo reduzido, tem chamado a atenção de técnicos, engenheiros e pesquisadores da área de engenharia de Telecomunicações. Essas características tornam as estruturas planares multi-banda atrativas para aplicações em sistemas de comunicações móveis, comunicações por satélite e comunicações por radar [1] [3], [5]. Não resta dúvida que a miniaturização e a operação em várias faixas de freqüências (multi-banda) são requisitos desejáveis aos aparelhos de comunicação modernos. Neste mercado competitivo, o surgimento de novas tecnologias sem fio resulta em demandas crescentes por antenas compactas/multi-banda, que permitam, por exemplo, a união de diferentes tecnologias sem fio num único dispositivo portátil. De fato, para a fabricação de um dispositivo sem fio de baixo perfil, baixo custo, ainda menor e mais leve que os atuais, o tamanho da antena ainda é crítico. Várias técnicas de miniaturização têm sido propostas e aplicadas a antenas patch em microfita, tais como: a utilização de substratos dielétricos de alta permissividade elétrica [6]; a aplicação de cargas resistivas ou reativas [7]; e o aumento do comprimento elétrico da antena por meio de otimização de sua geometria [8]. Nesse contexto, as antenas de microfita representam um papel fundamental, dada a sua aplicabilidade e versatilidade, fortalecendo assim essa área de pesquisa, pois até a segunda geração dos sistemas de comunicação móveis (2G), a atenção estava voltada ao desenvolvimento dos mais diversos protocolos e técnicas de modulação mais eficientes [2] [5]. Antenas de microfita tornaram-se muito populares na década de 70 [5]. Essas antenas consistem de um patch metálico, um dielétrico e um plano terra. Além de apresentar custo de fabricação, volume e dimensões reduzidas, antenas planares são compatíveis com sistemas embarcados, tais como os existentes nos dispositivos celulares, pagers, entre outros. Antenas de microfita são ajustáveis a superfícies onduladas, o que torna possível

29 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO aplicação em fuselagens de aviões e mísseis. A faixa de frequência de operação das antenas de microfita se estende aproximadamente de 100 MHz a 50 GHz e apresentam ganho entre 5 e 6 db, além de apresentarem largura de feixe 3 db entre 70 e 90 graus. Algumas outras vantagens dessas antenas patches em relação as antenas de microondas convencionais são [2] [5]: Perfil planar baixo e conformidade a vários tipos de estruturas; Suporte a polarização circular e linear; Facilidade de conecção a circuitos integrados de microondas; Capacidade de operar em múltiplas freqüências; Antenas dessa natureza também apresentam algumas desvantagens se comparadas a antenas convencionais [2] [5], tais como: Largura de banda estreita; Baixa eficiência; Baixo ganho; Irradiação externa nas linhas e junções; Baixa capacidade de manejo de potência; Excitação de ondas de superfície; São suscetíveis a alterações climáticas. Em comunicações móveis, mais precisamente em relação aos sistemas celulares, as estações necessitam de antenas com diagramas de radiação setoriais, visando um melhor aumento de capacidade e da utilização dos canais. Estas características podem ser obtidas a partir da construção de arranjos de antenas de microfita. As estruturas fractais, são alternativas interessantes para projetos de estruturas planares de tamanho reduzido e que apresentam ressonância multi-banda (dual band, tri band, quad band). Essas estruturas apresentam duas características principais, que são responsáveis pelo tamanho reduzido, o baixo perfil, o comportamento multi-banda e banda larga envolvendo estruturas com geometria fractal, são elas: A propriedade de preenchimento do espaço e a propriedade de auto-similaridade [9] [13]. O telefone celular modo dual band é um bom exemplo de dispositivo sem fio multi-freqüência. Essa operação dual band para o caso do GSM, envolve transmissão e recepção em 850 MHz e 1850 MHz. Antenas tradicionais são incapazes de conseguir tal comportamento multi-banda, sendo assim técnicas alternativas são necessárias. Recentes pesquisas em teoria de antenas têm aplicado a geometria fractal em projetos de antenas, resultando em novas antenas fractais com múltiplas ressonâncias. A aplicação da geometria fractal em estruturas de antenas convencionais optimiza a forma da antena com a finalidade de aumentar seu comprimento elétrico, conseqüêntimente reduzindo todo o seu tamanho [10] [17]. As ferramentas computacionais têm recebido grande destaque nos últimos anos principalmente no que diz respeito a projetos e análise dos mais diversos dispositivos, sejam eles passivos ou ativos em sistemas de comunicação. A exemplo os softwares que simulam técnicas de inteligência artificial e os softwares que simulam dispositivos de microondas baseados no método dos momentos. Diante de tal fato e constatada a eficiência dessas ferramentas, a utilização de redes neurais artificiais para a criação de modelos capazes

30 1.1. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO 3 de generalizar os diversos parâmetros eletromagnéticos de antenas planares servem como motivação para a realização desse trabalho. O objetivo desse trabalho consiste no projeto de antenas patches quasi-fractais por meio da utilização de contornos fractais de Koch e Minkowski aplicados às margens radiante e não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha de microfita com reentrâncias, inicialmente projetada para a freqüência de 2,45 GHz. Também será realizada uma investigação com ênfase na miniaturização dessas novas estruturas propostas, indicando o quanto uma antena projetada com contorno fractal é capaz de miniaturizar uma antena patch retangular convencional. O estudo também consiste de uma modelagem por meio de redes neurais artificiais dos mais diversos parâmetros eletromagnéticos das antenas quasi-fractais. Os resultados apresentados demonstram uma boa capacidade das técnicas neurais para modelagem de antenas de microfita, e todos os algoritmos utilizados nesse trabalho na obtenção dos modelos propostos foram implementados no software comercial de simulação Matlab 7. Com a finalidade de validar os resultados obtidos, vários protótipos de antenas foram construídos, medidos em um analisador de rede vetorial e simulados em software para comparação e validação desses modelos. 1.1 Organização do texto Este trabalho encontra-se distribuído em 7 capítulos, buscando-se evidenciar todo o referencial teórico e bibliográfico para o estudo das estruturas em questão, em seguida, apresenta-se uma análise dos resultados obtidos na caracterização das novas antenas com contorno fractal proposto. O Capítulo 2 apresenta um estudo bibliográfico a respeito de teoria de antenas de microfita, situando-a no contexto histórico de evolução, evidenciando suas características, vantagens e desvantagens em relação às antenas de microodas convencionais, além das técnicas de alimentação e os métodos gerais de análise. O Capítulo 3 faz referência ao estudo da geometria fractal, situando-a no contexto histórico de evolução, evidenciando as mais diversas formas fractais existentes, suas características, bem como os métodos de construção e geração dessas formas, além de exemplificar sua mais diversa aplicabilidade. O Capítulo 4 trata de redes neurais artificiais, utilizadas como a principal técnica de modelagem desse trabalho. Será dada ênfase às redes de alimentação direta (FNN), citando suas vantagens, propriedades e principais características bem como os algoritmos de treinamento a serem utilizados, a exemplo do backpropagation e o resilient backpropagation. Também será mostradas as equações de ajuste dos parâmetros livres das redes baseada no método do gradiente. No Capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos das antenas quase-fractais após a fase de projeto, simulação em software, construção e medição das estruturas no analisador de rede. Parâmetros como, freqüência de ressonância, perda de retorno, impedância de entrada e o diagrama de radiação dessas antenas são investigados. No Capítulo 6 são apresentados os resultados referente aos modelos neurais obtidos para essas estruturas de antenas com elementos fractais. A evolução do erro na fase de

31 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO aprendizado da rede e a capacidade de generalização da rede neural dentro de uma região de interesse também são investigados. O Capítulo 7 apresenta as conclusões desse trabalho, fornecendo sugestões para futuros trabalhos relacionados a essa linha de pesquisa envolvendo estruturas planares.

32 Capítulo 2 Antenas de Microfita Este capítulo apresenta um estudo bibliográfico a respeito de teoria de antenas em microfita. O conceito de uma estrutura planar, as diversas geometrias utilizadas, suas vantagens e desvantagens em relação às antenas de microondas convencionais também serão abordados, bem como as técnicas de alimentação e o método de análise utilizado. Essas estruturas planares em microfita são a base para esse trabalho, em que todo o entendimento, bem como todos os resultados e simulações serão obtidos por construção dos mesmos. 2.1 Introdução Devido ao avanço das tecnologias, aliada a construção cada vez mais sofisticada de circuitos integrados de microodas, resulta-se em um maior estudo envolvendo antenas planares. As primeiras publicações a respeito de antenas patch ocorreram na década de 50 com Deschamps [1] nos Estados Unidos e com Gutton e Baissinot na França [2] [5]. No entanto, pesquisas envolvendo antenas planares ganharam força a partir da década de 70, com o trabalho de Byron [3]. As antenas de microfita são constituídas basicamente por um condutor irradiante ou patch, impresso sobre uma camada metálica em uma de suas faces e um plano de terra na outra extremidade, separado por um material dielétrico, conforme iustra a Figura 2.1. O elemento irradiante patch a priori, pode assumir qualquer forma geométrica. Contudo, em termos de análise e previsão do desempenho, normalmente são utilizadas as formas geométricas convencionais, tais como: As retangulares, circulares e mais recentemente as formas fractais. A Figura 2.2 mostra algumas dessas formas geométricas utilizadas. Quando o patch é excitado por uma alimentação, uma distribuição de carga é estabelecida na parte inferior do patch metalizado, como também no plano terra. Em um instante de tempo, a parte de baixo do patch é positivamente carregada e o plano terra é negativamente carregado. A força de atração entre esse conjunto de cargas tende a manter uma grande quantidade de cargas entre as duas superfícies. Contudo a força repulsiva entre cargas positivas no patch puxa algumas dessas cargas em direção a margem, resultando em uma grande densidade de carga na margem do patch irradiante. Essas cargas são responsáveis pelo efeito Fringing e a respectiva radiação associada ao mesmo. 5

33 6 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA Z X Y W ayo awo Lo Xo L Patch retangular Substrato dielétrico Plano terra Figura 2.1: Antena de microfita inset-fed patch retangular. Figura 2.2: Formas geométricas assumida pelo patch irradiante.

34 2.1. INTRODUÇÃO 7 Há inúmeros substratos que podem ser utilizados em projetos de antenas de microfita e suas constantes dielétricas estão normalmente entre 2.2 ε r 12. Para um bom desempenho da antena é desejável substratos finos, cuja constante dielétrica se encontra na parte inferior do intervalo 2.2 ε r 12, dessa forma pode-se garantir uma melhor eficiência, maior largura de banda, dimunição de campo no contorno para irradiação, porém requerem um elemento de patch maior. Por sua vez, substratos com alta constante dielétrica são desejáveis para circuitos de microondas, uma vez que eles requerem menores campos no contorno para minimizar radiações indesejáveis e acoplamento, e também requerem um patch menor. O efeito de uma antena de tamanho finito é menos severo no comportamento da impedância, uma vez que antenas de microfita são inerentes à estrutura ressonante e sua característica de impedância é principalmente determinada pelo patch [1] [5]. Diversas são as formas de alimentação do patch, destacando-se a alimentação por meio de ponta de prova coaxial, linhas de microfita, proximidade eletromagnética, acoplamento por abertura, dentre outras. A forma de alimentação por linha de microfita será a utilizada nesse trabalho em virtude de se conseguir um casamento de impedância mais facilmente. A alimentação por linha de microfita, conforme ilustra a Figura 2.3, foi a primeira técnica empregada, inicialmente por Munson em 1974, para análise de antenas patch em microfita [2] [4]. Neste modelo, a região interior da antena patch é modelada como uma seção de linha de transmissão, ou seja, é também uma fita condutora, normalmente de comprimento menor comparado ao patch. A alimentação por linha de microfita é de fácil fabricação, de simples casamento de impedância, bastando para isso controlar a posição do inset, também é de fácil modelamento. Contudo à medida que a espessura do substrato aumenta, ondas de superfície e um aumento da radiação espúria se fazem presente, o que para projetos práticos limita a largura de banda em torno de 2 a 5% [3] [5]. Neste modelo a impedância característica (Z 0 ) e a constante de propagação (γ) para a linha são determinados pelo tamanho do patch e pelo substrato utilizado. Com relação a radiação, o efeito do substrato e a impedância de entrada não são considerados [5]. Uma outra técnica de alimentação bastante utilizada é a por linha coaxial também chamada ponta de prova coaxial (Figura 2.4) na qual, o condutor interno do cabo esta conectado diretamente ao patch e o condutor externo conectado ao plano terra. A alimentação por ponta de prova coaxial é também de fácil fabricação e casamento de impedância, apresentando baixa radiação espúria. A principal vantagem dessa alimentação é que ela pode ser colocada em uma posição desejada dentro do patch para casar com a impedância de entrada. Contudo, também apresenta baixa largura de banda e é mais complicada de modelar, especialmente para substratos finos em que h > 0,02λ 0 [2] [5]. As antenas de microfita apresentam particularidades geométricas e propriedades elétricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens, dependendo das aplicações a que se destinam. O modelamento da antena de microfita está relacionado às características da estrutura, tais como o tipo de substrato, dimensões e geometria do patch. Diversos são os métodos de análise relatados na literatura para a caracterização das antenas de microfita. Esses métodos podem ser divididos em dois grupos [4]. No primeiro grupo, os métodos são baseados na distribuição de corrente elétrica no patch condutor e o plano terra (similar a antenas dipolo, usado em conjunto com métodos de análise de

35 8 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA Plano terra εr Substrato Figura 2.3: Antena patch alimentada por linha de microfita inset-fed. Vista superior Vista lateral Patch Plano terra Alimentação coaxial Figura 2.4: Antena de microfita com patch retangular alimentada por ponta de prova coaxial.

36 2.1. INTRODUÇÃO 9 onda completa/numérica). Alguns desses métodos numéricos para análise de antenas de microfita são: Método dos momentos (MoM); Método dos elementos finitos (FEM); Diferenças finitas no dominío do tempo (FDTD); No segundo grupo, os métodos são baseados na distribuição de corrente magnética equivalente ao redor das margens do patch (similar a antenas slot), também fenômenos como a propagação de ondas de superfície e a dispersão não são relevantes ao estudo, podendo assim ser desconsiderado [2] [5]. Dentre os diversos modelos aproximados, destacam-se: O modelo da linha de transmissão (TLM); O modelo da cavidade; Modelo de rede multiporta (MNM); O modelo da linha de transmissão possibilita a determinação de diversos parâmetros da antena, tais como a freqüência de ressonância, o diagrama de radiação e impedância de entrada. Embora seja um dos métodos mais simples e menos exato, esse método produz resultados satisfatórios e uma facilidade em estabelecer o casamento de impedância da estrutura, bastando para isso controlar o comprimento do inset-fed associado ao projeto da antena. Esse modelo é adequado para análise de antenas de microfita com patch retangular ou quadrado. Comparado ao modelo da linha de transmissão o modelo da cavidade é mais exato e ao mesmo tempo mais complexo [4] [6] Para outras geometrias do patch, torna-se inviável a análise através deste modelo. Nessa análise, o elemento radiante pode ser modelado por duas aberturas paralelas, representando dipolos magnéticos. O modelo da cavidade, a princípio, pode ser empregado para o estudo de antenas com patches de qualquer geometria. Entretanto, o modelamento matemático para patches retangulares é bastante simplificado em relação à análise de patches com outros formatos. O modelo da cavidade basicamente trata a antena como uma cavidade, circundada por paredes elétricas, no topo e na base, e por paredes magnéticas nos contornos laterais. Os campos nas antenas são considerados como os campos da cavidade, sendo expandidos em termos de modos ressonantes na cavidade, cada um com sua freqüência de ressonância. Os modelos aproximados são satisfatoriamente precisos até determinados valores de freqüência. À medida que a freqüência aumenta, a precisão desses modelos é reduzida, tornando-se inaceitável para a faixa de freqüências correspondente às ondas milimétricas. A princípio, as técnicas empíricas podem ser utilizadas para a obtenção da solução inicial para um problema de projeto, fornecendo uma idéia qualitativa do comportamento da antena [3] [5]. Levando-se em conta as características do substrato dielétrico, a freqüência de operação e a impedância do sistema de comunicação, o projeto de uma antena patch pode ser dividido em duas partes: (i) projeto da linha de alimentação; (ii) projeto do patch retangular radiante. Neste trabalho, a linha de alimentação em microfita foi projetada com 1/8 do comprimento onda, enquanto a sua largura foi calculada conforme o modelo empírico

37 10 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA descrito em [18], obtendo-se um valor de w 0 = 2,87 mm para um sistema de 50 Ω e um substrato de fibra de vidro [21]. As dimensões iniciais (L, W) de uma antena inset-fed patch retangular foram calculadas através das expressões analíticas, equações 2.1 e 2.4. W = c 2 (2.1) 2F r ε r + 1 ε re f f = ε r ε [ r h ] W (2.2) ( L h = 0,412(ε re f f + 0,300) Wh + 0,264 ) (ε re f f 0,258) ( W h + 0,813 ) (2.3) L = c 2F r εr 2 L (2.4) A largura da reentrância (inset) foi considerada igual à largura da linha de microfita, x 0 = w 0, enquanto o valor inicial de seu comprimento foi calculado através de fórmulas aproximadas [4], equações ( ). ( ) y 0 = L π acos 50 (2.5) R in (0) R in (0) = 1 2(G 1 ± G 12 ) (2.6) Em que, R in (0) é a resistência de entrada na freqüência de ressonância, G 1 é a condutância da abertura radiante e G 12 é a condutância que leva em conta os efeitos mútuos entre as duas aberturas radiantes da antena patch retangular. Dessa forma, G 1 e G 12 são dados respectivamente por: G 1 = W [1 124 ] 120λ (k 0h) 2 (2.7) 0 G 12 = 1 120π 2 π 0 ( ) sin k0 W 2 cosθ 2 J 0 (k 0 Lsinθ)sin 3 θdθ (2.8) cosθ Em que, k 0 e J 0 são respectivamente o número de onda e a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.

38 Capítulo 3 A Geometria Fractal Este capítulo apresenta um estudo a respeito da geometria fractal, situando-a no contexto histórico, evidenciando as mais diversas formas fractais existentes, suas características, além dos métodos de geração de fractais e sua mais diversa aplicabilidade no cotidiano. Os fractais são figuras de uma beleza diferente e aliadas às estruturas planares comporão os dispositivos de microondas (antenas) a serem analisadas nesse trabalho no capítulo posterior. 3.1 Introdução O termo fractal foi introduzido em 1975 pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot [19], [20]. O termo vem do latim, do adjetivo fractus, derivado do verbo frangere, que significa quebrar, fracionar. Fractais são estruturas diferentes das que se costuma observar na natureza, em que governa a geometria euclidiana [19], [20]. Um fractal é uma forma geométrica áspera, rúde ou fragmentada, que pode ser subdivida em partes, em que cada pedaço dessa subdivisão é uma cópia exata do todo. Ele é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes. Existem duas categorias de fractais: os geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão (Figura 3.1) e os aleatórios (Figura 3.2), que são construídos por meio de computação [10], [11], [19], [20]. Os Fractais são formas geométricas abstratas de uma forma diferente, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área infinita. Representam funções reais ou complexas. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões possuíam algumas características comuns (auto-semelhança, dimensão e complexidade infinita) e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza. Ele mostrou que existem muitos fractais na natureza e estes por sua vez, são capazes de modelar com exatidão certos fenômenos. Há ainda muitas outras estruturas matemáticas que são consideradas fractais, algumas das estruturas mais conhecidas são mostradas nas respectivas Figuras A galáxia da Figura 3.8 é uma das mais belas formas fractais conhecidas. 11

39 12 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL Figura 3.1: Níveis do triângulo de Sierpinski. Nível 0 Figura 3.2: Fractais aleatórios. Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Figura 3.3: Diferentes níveis para o conjunto de Cantor.

40 3.1. INTRODUÇÃO 13 Nível 3 Nível 3 Nível 2 Nível 2 Nível 1 Nível 1 (a) A Nível 0 (b) A Nível 0 Figura 3.4: Diferentes níveis da curva de: (a) Koch e (b) Minkowski. Figura 3.5: Níveis do floco de neve de Koch.

41 14 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL Figura 3.6: Níveis da curva de Peano. Figura 3.7: Foto ilustrativa da samambaia de Barnsley.

42 3.2. CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL 15 Figura 3.8: Foto ilustrativa de uma galáxia espiral. 3.2 Características de um fractal A principal característica de um fractal é a auto-similaridade ou auto-semelhança, com as quais se pode obter réplicas menores da figura através de sua divisão (no caso da geometria fractal, de sua ampliação). A exemplo, todas as formas geométricas ortodoxas, perdem as suas estruturas quando são ampliadas ou diminuídas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que um segmento de reta [12] [14], [21] [23]. Existem dois tipos de auto-semelhança: auto-semelhança exata e auto-semelhança estatística. Os Fractais que possuem auto-semelhança exata ou determinísticos são gerados a partir de reproduções exatas de si mesmo em menor escala, conforme ilustra a Figura 3.9. Apesar das suas características especiais, estes objetos fractais não permitem escrever inteira ou adequadamente as formas existentes na natureza [9], [10], [19], [20], [24]. Os elementos encontrados na natureza raramente exibem auto-semelhança exata, contudo quase sempre apresentem a chamada auto-semelhança estatística, em relação à qual se aplicam totalmente os mesmos conceitos e definições. Esta classe recebe a denominação de fractais não-determinísticos e diferem dos anteriores por incluir um certo grau de aleatoriedade no cálculo de novos pontos A dimensão fractal Um dado conjunto é fractal se, e somente se, sua dimensão fractal, definida em termos da dimensão Hausdorff-Besicovitch, excede estritamente a sua dimensão topológica [10], [11], [15], [16]. A Dimensão da geometria fractal pode ser definida de várias maneiras. Alguns exemplos são: a dimensão topológica, dimensão Euclidiana, dimensão auto-similar e a própria dimensão de Hausdoff. A dimensão auto-similar é um caso especial da definição de Mandelbrot de dimensão fractal [19], [25], [26]. No espaço euclidiano, um ponto tem dimensão 0, uma curva dimensão 1, uma superfície dimensão 2 e uma região do espaço dimensão 3. Para determinar a dimensão topológica de um objeto, recorre-se ao estabelecimento de uma correspondência unívoca desse objeto com

43 16 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL Figura 3.9: Floco de neve Koch vista em uma escala maior. um desses entes geométricos fundamentais, ou seja, à medida em que vão se formando objetos decorrentes de várias iterações, o objeto geométrico criado sempre é semelhante aquele que lhe deu origem. Ao se utilizar esses métodos para o cálculo da dimensão, estará sendo expresso algo diferente da dimensão topológica. Os métodos que envolvem o conceito de dimensão espacial referem-se ao espaço ocupado ou preenchido por uma figura. No cálculo efetivo da dimensão de alguns objetos, tais métodos permitem que o resultado seja um número fracionário. Nem sempre a dimensão espacial dos fractais é fracionária, porém a dimensão fracionária é uma característica dos fractais e que, por sua vez, as figuras tradicionais não possuem [10]. Considere n cópias da escala geométrica original reduzida de um fator s, então a dimensão auto-similar é dado por: D = logn log 1 s (3.1) No limite quando n tende a infinito, obtém-se um fractal ideal. 3.3 Método IFS para geração de Fractais Inicialmente desenvolvido em 1986 pelo matemático inglês Michael Barnsley, o método Sistema Iterativo de Funções (Iterative Function System - IFS) é um processo de geração de fractais baseado em uma série de transformações afins. A geração de fractais, devido à auto similaridade e independente da escala que esteja, sua geração começa com uma forma geradora, que é a entrada de uma função de mapeamento, e sua saída torna-se a

44 3.3. MÉTODO IFS PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 17 entrada da próxima iteração, essa característica aliada às respectivas transformações afins caracterizam o método IFS para geração de fractais. O método IFS é baseado em transformações matemáticas, tais como: contração, reflexão, rotação e translação. Desta forma, os fractais são definidos como o limite do processo iterativo de um conjunto finito de transformações afins, q(u), que são inicialmente aplicadas em uma figura arbitrária [14], [19]. Considere q : R n R n da forma q(u) = T(u)+v, em que T é uma transformação linear não-singular, u e v são vetores do R n, dessa maneira q é chamada de transformação afim. Pode-se constatar que uma transformação afim é a soma de uma transformação linear com uma translação, sendo portanto, não-linear. Considere o caso de uma transformação afim q : R 2 R 2, a mesma pode ser escrita na forma matricial como mostra a equação 3.2. ( a b q(x,y) = c d )( x y ) ( e + f ) (3.2) Em que, a, b, c e d são escalares, e e f são parâmetros relacionados a rotação e translação respectivamente. As seções seguintes exemplificarão alguns fractais gerados por esse método. Considere A R 2 um conjunto inicial e N contrações q(i):r 2 R 2 com fator de contração 0 < i < 1 (i = 1,...N). Definimos q:r 2 R 2 como sendo q(a) = N q i (A) (3.3) i=1 Em que, q i (A) = q i (x) x A é a imagem da transformação q i, quando aplicada aos vetores de A Conjunto de Cantor gerado pelo método IFS O conjunto de Cantor é gerado pelo método IFS a partir de duas transformações, dado pelas equações 3.4 e 3.5. q 1 (x) = 1 3 x (3.4) q 2 (x) = 1 3 x+ 2 3 (3.5) A transformação q 1, realiza uma contração de fator 1/3 e q 2, por sua vez, além da contração de 1/3, realiza uma translação de 2/3 unidades para a direita. Esquematicamente essas transformações podem ser dadas pela equação 3.6. Em que, e i assume os valores dados na Tabela 3.1 q i (x) = 1 3 x+e i, i = 1,2 (3.6)

45 18 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL i e i /3 Tabela 3.1: Valores assumidos por e i no processo de geração do conjunto de Cantor pelo método IFS Dado A R, considere q(a) = q 1 (A) q 2 (A). O conjunto de Cantor é definido por: lim q n(a) (3.7) n Curva de Koch gerada pelo método IFS A curva de Koch, como visto da Figura 3.4(a), é gerado a partir de quatro transformações q i : R 2 R 2, i = 1,2, 3, 4 da forma: q i (x,y) = 1 ( )( ) ( ) cos(θi ) sen(θ i ) x ei + (3.8) 3 sen(θ i ) cos(θ i ) y f i Em que, θ i, e i e f i assumem os valores da Tabela 3.2. As quatro transformações fazem a contração de 1/3, q 2 faz uma rotação de π/3 rad e uma translação de uma unidade para a direita, q 3 faz uma rotação de π/3 rad, uma translação de 3/2 unidades para a direita e (3)/2 unidades para cima, por fim, q 4 executa uma traslação de 2 unidades para a direita. i θ i e i f i π/ π/3 3/2 (3)/ Tabela 3.2: Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Koch pelo método IFS Dado A R 2, então tem-se que: q(a) = Dessa forma a curva de Koch é dada por: 4 q i (A) (3.9) i=1 lim q n(a) (3.10) n

46 3.3. MÉTODO IFS PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS O triângulo de Sierpinski gerado pelo método IFS O triângulo de Sierpinski, Figura 3.1, é obtido diretamente de um triângulo equilátero mediante três transfomações q i : R 2 R 2, da forma da equação q i (x,y) = 1 ( )( ) ( ) 1 0 x ei + (3.11) y f i Em que, θ i, e i e f i assumem os valores da Tabela 3.3. i e i f i / /4 1/2 Tabela 3.3: Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração do triângulo de Sierpinski pelo método IFS As três transformações fazem a contração de 1/2, q 2 faz uma translação de 1/2 unidades para a direita, q 3 faz uma translação de 1/4 unidades para a direita e 1/2 unidades para cima. Dado A R 2, considere a equação 3.12 q(a) = 3 q i (A) (3.12) i=1 Dessa forma, o triângulo de Sierpinski é dado por: A curva de Peano gerada pelo método IFS lim q n(a) (3.13) n A curva de Peano, Figura 3.6, é construída pelo método IFS a partir de nove transformações q i : R 2 R 2 dado pela equação q i (x,y) = 1 ( )( ) ( ) cos(θi ) sen(θ i ) x ei + (3.14) 3 sen(θ i ) cos(θ i ) y f i Em que, θ i, e i e f i assumem os valores da Tabela 3.4. As nove transformações fazem a contração de 1/3; q 2 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 1 unidade para a direita; q 3 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima; q 4 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 2 unidade para a direita; q 5 faz uma translação de 1 unidade para a direita; q 6 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 1 unidade para a direita; q 7 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo; q 8 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 2 unidade para a direita; q 9 faz uma translação de 2 unidade para a direita.

47 20 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL i θ i e i f i π/ π/ π/ π/ Tabela 3.4: Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Peano pelo método IFS Dado A R 2, considere a equação 3.15 Dessa forma, a curva de Peano é dado por: 9 q(a) = q i (A) (3.15) i=1 lim q n(a) (3.16) n A curva de Minkowski gerada pelo método IFS A curva de Minkowski, Figura 3.4(b), é construída pelo método IFS a partir de oito transformações q i : R 2 R 2 dado pela equação q i (x,y) = 1 ( )( ) ( ) cos(θi ) sen(θ i ) x ei + (3.17) 4 sen(θ i ) cos(θ i ) y f i Em que, θ i, e i e f i assumem os valores da Tabela 3.5. As oito transformações fazem a contração de 1/4; q 2 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 1 unidade para a direita; q 3 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima; q 4 faz uma rotação de π/2 rad e uma translações de 2 unidade para a direita; q 5 faz uma rotação de π/2 e uma translação de 2 unidade para a direita; q 6 faz uma translação de 2 unidade para a direita e um deslocamento de 1 unidade para baixo ; q 7 faz uma rotação de π/2 e uma translação de 3 unidade para a direita; q 8 realiza uma translação de 3 unidade para a direita. Dado A R 2, considere a equação q(a) = q i (A) (3.18) i=1

48 3.4. O SISTEMA L PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 21 i θ i e i f i π/ π/ π/ π/ Tabela 3.5: Valores assumidos por θ i, e i, f i no processo de geração da curva de Minkowski pelo método IFS Dessa forma, a curva de Minkowski é dado por: lim q n(a) (3.19) n 3.4 O sistema L para geração de fractais Inicialmente apresentado em 1968 pelo então biológo alemão Aristid Lindenmayer, o sistema L também conhecido como um sistema gerador de fractais por cadeia de caracteres, consistia inicialmente como uma teoria capaz de atuar no desenvolvimento de plantas bem como prover uma descrição de desenvolvimento de organismos multicelulares e ilustrar a reação de vida entre células. Em si tratando de fractais, o sistema L é utilizado em conjunto com elementos gráficos representados por letras do alfabeto. As respectivas regras formativas podem ser representadas por cadeias de caracteres, em que essas cadeias irão armazenar toda a informação gráfica necessária para a construção do fractal [9] [11], [19], [20]. Como se sabe o processo de construção de fractais são processos infinitos e normalmente se faz sua construção até um certo limite para fins práticos e científico [22]. Uma vez que toda a informação para construir o fractal se encontra armazenada em uma cadeia de caractere, o passo seguinte é fazer a leitura desta cadeia, transformando os caracteres em comandos gráficos capazes de desenhar os mais diversos fractais a serem construídos. Nessa seção adota-se a seguinte conversão para representação dos comandos gráficos nas cadeias de caracteres: Segmentos serão adotados por letras maiúsculas do alfabeto; Um incremento positivo no ângulo, denotado por (+) significa uma mudança de direção no sentido horário; Um incremento negativo no ângulo, denotado por (-) significa uma mudança de direção no sentido anti-horário. L. A seção seguinte mostrará dois exemplos de geração de fractais partindo do sistema

49 22 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL Obtenção da curva de Koch a partir do sistema L Para a construção da curva de Koch a partir do sistema L, deve-se, inicialmete definir a célula matriz e em seguida definir a regra de formação que determinará como a cadeia de caracteres irá se proliferar. O passo seguinte é estabelecer um limite n para esta proliferação, a qual se deseja construir o fractal. O passo inicial para construção da curva de Koch é estabelecer um segmento de reta de comprimento unitário que representa a célula matriz, denotada pela letra K. O segundo passo é dividir o segmento de reta em três partes iguais, em que se substitui o segmento do meio por um triângulo eqüilátero sem a base, originando-se assim uma poligonal. Na Figura 3.10 observam-se os detalhes de como a regra de formação é definida para o sistema L com o intuito de obter a poligonal do passo anterior. K K K K Figura 3.10: Regra de formação para obtenção da curva de Koch. Uma análise para um melhor entendimento desse processo de construção dar-se-á da esquerda para a direita. Primeiramente têm-se um segmento de reta representado por K, em seguida faz-se um incremento no ângulo no sentido anti-horário (-), depois tem-se um segmento K seguido de dois incrementos de ângulo no sentido horário (++), novamente têm-se um segmento K seguido de um incremento no ângulo no sentido anti-horário (-) e finalmente um segmento K final. Então uma regra geral para obtenção dessa poligonal é: K-K++K-K. Como o último passo da construção da curva de Koch é repetir o passo imediatamente anterior, com todos os segmentos da etapa anterior, conclui-se que a regra de formação dar-se-á da seguinte forma: a cada etapa substitua cada célula K da etapa anterior pelo conjunto K-K++K-K, conservando os demais caracteres (-) ou (+). Dessa forma tem-se a proliferação da cadeia de caracteres: Etapa 1: K; Etapa 2: K-K++K-K; Etapa 3: K-K++K-K - K-K++K-K ++ K-K++K-K - K-K++K-K;..

50 3.4. O SISTEMA L PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 23. Etapa n: K-K++K-K-... -K-K++K-K Obtenção do floco de neve a partir do sistema L Basicamente o que diferencia o fractal floco de neve da curva de Koch é a figura geradora inicial, que deixa de ser um segmento de reta para a curva de Koch e passa a ser um triângulo equiátero para o caso do fractal floco de neve. Sendo assim, para construir esse fractal basta substituir a matriz inicial no algoritimo do sistema L por um triângulo equilátero, dessa forma têm-se a matriz: K++K++K. As Figuras 3.11 e 3.12 mostram respectivamente a curva de Koch para n = 3 e o floco de neve construído com o sistema L para também n = 3. Figura 3.11: Curva de Koch com n=3. Figura 3.12: Floco de neve de Koch com n=3.

51 24 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL 3.5 Aplicações da geometria fractal Os fractais têm apresentado aplicações em diferentes áreas da ciência, a exemplo da geografia, biologia, artes, ciências humanas, medicina, ciências exatas dentre outras [19], [23] [29]. Na matemática, a análise de dados caoticamente dispersos impulsionou a evolução do tratamento estatístico e da noção de probabilidade. Por outro lado, a geometria fractal aprofundou a idéia intuitiva de infinito. Na física, o conceito de caos traz uma nova idéia a respeito de entropia, que estuda também a complexidade de um sistema, e sobre os fundamentos da mecânica quântica, nomeadamente o princípio da incerteza de Heisenberg. Na biologia, o caos está a ser usado para identificar processos evolutivos que permitam um novo entendimento do algoritmo genético, simulações realistas de formas de vida artificiais e uma nova abordagem da atividade cerebral. Na ecologia e biologia a geometria fractal é usada para tentar resolver problemas de dinâmica do transporte de energia em meios fluidos (hidrodinâmica). Na Medicina, reconhecem-se características fractais em fenômenos cardíacos e pulmonares. Em que o floco de neve de Koch e a curva de Peano assemelham-se ao movimento dos pulmões. Descobertas recentes indicam que o coração bate a um ritmo fractal e que um batimento quase periódico é sintoma de insuficiência cardíaca. Na Economia, a análise das bolsas tem indicado que os valores das ações se comportam de forma aparentemente aleatória em curto prazo, mas que apresentam um certo padrão a médio e longo prazo. Deve-se notar que a evolução da bolsa no período de um mês, uma semana, um dia ou algumas horas, o gráfico não perde o seu detalhe, tal como um fractal. No ano de 1997 dois americanos ganharam o Prêmio Nobel da economia, após terem encontrado uma fórmula que permite prever aplicações financeiras. Na computação gráfica, os fractais são utilizados para representar elementos da natureza como crateras, planetas, costas, superfícies lunares, plantas, ondulações em águas e representação de nuvens. Também são de grande importância para a criação de efeitos especiais em filmes. Em fotografia, a geometria fractal permite criar imagens independentes da resolução, que podem ser ampliadas à dimensão pretendida, sem perda evidente de qualidade, para que possam ser usadas para imprimir fotografias em papel, em dimensões impensáveis. Na engenharia as aplicações são as mais diversas possíveis, seja em projeto de antenas ou em superfícies seletivas de freqüências. Aplicações em filtros de linha acoplada são bastante atrativas, uma vez que se deseja um dispositivo que possua uma largura de faixa pequena em virtude de seu acoplamento relativamente pequeno. Jaggard et al. tem investigado os fractais em superfícies seletivas de freqüências, bem como seu efeito de espalhamento. Puente et al. e Romeu et al. tem estudado o comportamento em freqüência de antenas com forma fractal. Werner et al. tem investigado as propriedades de radiação de arranjos fractais. Com relação à teoria de antenas, antenas com formato fractal é uma área de pesquisa relativamente nova. Essas antenas apresentam comportamento multi-banda interessantes, com isso deve-se esperar uma antena alto-similar (a qual contém uma cópia de si mesma em várias escalas) para operar de maneira similar em

52 3.5. APLICAÇÕES DA GEOMETRIA FRACTAL 25 vários comprimentos de onda, assim, a antena deverá manter características de radiação através de várias bandas correspondentes. Várias geometrias de antenas fractais têm sido apresentada e analisada. A exemplo a curva de Koch e a curva de Minkowski, as quais serão utilizadas nesse trabalho em projetos de antenas patch de microfita com o intuito de evidenciar o comportamento multi-banda e sua capacidade de miniaturização quando comparado a um patch retangular convencional. Contudo antenas quase-fractais e fractais relacionados à eletrodinâmica são itens em evidência relacionado à pesquisa. Outros exemplos de aplicações envolvendo a geometria fractal: Antenas para redes wireless WPAN/WLAN; Medidor de leitura automatizado, para conta de água, luz, etc. Antenas multi-banda para aplicações em celulares, laptops, navegação, serviços de televisão entre outros; GPS em aplicações comerciais, por exemplo, rastreamento de automovéis e monitoramento em sistemas de segurança; GPS em aplicações militares, por exemplo, sistemas de radar, captação de dispositivos eletrônicos por parte do inimigo, espionagem etc. RFID (identificador por radiofrequência) para uso em supermercados, drogarias, lojas de departamento;

53 26 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

54 Capítulo 4 Redes Neurais Artificiais Este capítulo apresenta os principais tópicos relacionados às redes neurais artificiais (RNA), tais como: modelo do neurônio artificial, arquitetura multicamada de rede (MLP), que serão importantes no desenvolvimento deste trabalho, bem como os algoritmos de treinamento associado a essa arquitetura de rede. Em especial, dar-se-á uma maior atenção ao algoritmo de retropropagação do erro (backpropagation) e uma de suas variantes, o resilient backpropagation, também muito utilizado no treinamento de redes neurais artificiais do tipo MLP. Este algoritmo foi um dos principais responsáveis pelo ressurgimento do interesse da comunidade científica em redes neurais, após um período de grande ceticismo em relação às suas potencialidades. Apresentar-se-á também as redes multicamadas como modelos para modelagens dos dispositivos de microondas investigados nesse trabalho, além de uma discussão a respeito da importante propriedade de aproximação e generalização dos modelos propostos apresentados por esta arquitetura utilizada. 4.1 Introdução Uma das áreas de pesquisa mais interessante no atual momento é a simulação de capacidades cognitivas de um ser humano. Projetam-se máquinas capazes de exibir um comportamento inteligente, como se fossem reações humanas. A inteligência do ser humano é a mais avançada dentro do universo das criaturas e a região de localização dessa inteligência é o cérebro. As entidades básicas são os neurônios, interconectados em redes o que permite a troca de informação entre eles, criando a inteligência biológica [30] [31]. Uma ambição óbvia que surge desses fatos é a tentativa de copiar a estrutura e o funcionamento do cérebro em um ambiente técnico, isso significa que a pesquisa tenta entender o funcionamento da inteligência residente nos neurônios e mapeá-la para uma estrutura artificial, por exemplo, uma combinação de hardware e software, assim transformando as redes neurais biológicas em redes neurais artificiais. Redes neurais artificiais têm sido aplicadas com sucesso nos mais diversos problemas. Dentre as áreas de aplicação mais comumente utilizadas pode-se citar: sistemas de controle, reconhecimento de padrões, aproximação de funções, além de se mostrar muito eficiente em relação aos modelos eletromagnéticos e os modelos empíricos para projeto de dispositivos de microondas. Embora existam inúmeras arquiteturas de redes neurais, a arquitetura multicamadas é,

55 28 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS sem dúvida, a mais freqüentemente encontrada na literatura. Entre as razões para a sua popularidade podemos citar sua capacidade de aproximação universal e sua flexibilidade para formar soluções de qualidade para uma ampla classe de problemas, a partir de um mesmo algoritmo de aprendizado [30] [37]. Uma rede neural artificial é uma máquina que é projetada para modelar a maneira como o cérebro realiza uma tarefa particular ou função de interesse. A rede é normalmente implementada utilizando-se componentes eletrônicos ou é simulada por programação em um computador. Para alcançarem bom desempenho, as redes neurais empregam uma interligação maciça de células computacionais simples denominadas "neurônios"ou "unidades de processamento"[30]. Em geral, os modelos neurais associam a precisão dos simuladores eletromagnéticos (modelos físicos/métodos númericos de onda completa) e a eficiência computacional, que é uma característica dos modelos empíricos [38]. Uma vez treinados com um conjunto de dados apropriados os modelos neurais são computacionalmente eficientes em relação aos métodos eletromagnéticos e precisos em relação aos métodos empíricos. A principal função de uma rede neural é armazenar conhecimento experimental e torná-lo disponível para o uso. Ela se assemelha ao cérebro humano em dois aspectos: O conhecimento é adquirido pela rede a partir de seu ambiente através de um processo de aprendizagem; Forças de conexão entre neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são utilizadas para armazenar o conhecimento adquirido. Basicamente uma RNA é constituída por neurônios, que são a unidades de processamento, e pelas sinapses que fazem a interligação entre esses neurônios. Cada interligação dessas apresenta um peso ou parâmetro livre associado. Este peso é usado para amplificar ou atenuar o sinal que chega a conexão. Os neurônios recebem estímulos a partir dos outros neurônios conectados a eles. Os que recebem sinais de fora da rede são chamados de neurônios de entrada, os que fornecem sinais para fora da rede são chamados neurônios de saída e os que recebem estímulos de outros neurônios são conhecidos como neurônios ocultos [30]. A utilização de redes neurais oferece as seguintes propriedades [30]: 1. Não-linearidade. Uma rede neural constituída por conexões de neurônios nãolineares é dita não-linear; 2. Mapeamento de entrada-saída. Baseada diretamente na aprendizagem supervisionada; 3. Adaptabilidade. As redes adaptam seus pesos sinápticos de acordo com modificações no ambiente; 4. Informação contextual. Cada neurônio da rede é afetado pela atividade de todos os outros neurônios da rede; 5. Tolerância à falhas. Falha em um neurônio da rede é cosiderada uma falha suave em virtude de não prejudicar seriamente a resposta final da rede; 6. Uniformidade de análise e projeto. Por apresentarem neurônios em comum, aplicações diversas tornam-se possíveis em redes neurais;

56 4.2. ARQUITETURA DE UMA RNA Analogia neurobiológica. A analogia com o cérebro comprova a capacidade do processamento paralelo e distribuído. Todo o procedimento de aprendizagem segue etapas (algoritmo), cuja função é modificar os pesos sinápticos da rede, de forma conveniente para alcançar um objetivo de projeto desejado. Existem várias arquiteturas e algoritmos de aprendizagem para o projeto de uma RNA. Nessa dissertação dar-se-á ênfase às redes sem realimentação, com algoritmos de treinamento supervisionado e com estratégia de aprendizado por correção de erro. Dentre as mais diversas configurações de redes alimentadas diretamente com aprendizado supervisionado, as mais conhecidas são: Redes perceptrons de múltiplas camadas (MLP); Redes de funções de base radial (RBF); Redes de funções sample (SFNN); Redes de Fourier; Redes wavelet; 4.2 Arquitetura de uma RNA Geralmente um único neurônio com muitas entradas, não é suficiente para realizar uma tarefa, precisa-se portanto de mais de um neurônio operando em paralelo. Grande parte das arquiteturas de redes neurais é formada pela organização dos neurônios em camadas [36] [37]. Uma camada deve agrupar neurônios com funções ou propriedades semelhantes. As características das arquiteturas incluem os tipos de conexões, bem como os seus esquemas, e as configurações das camadas. Dessa forma, a maneira como uma RNA organiza seus elementos de processamento está intimamente ligada ao algoritmo de treinamento associado. Três estruturas são mais comumente usadas, porém nesse trabalho dar-se-á ênfase as redes alimentadas diretamente (Feedforward). Esse tipo de rede são atualmente as mais populares, principalmente por existirem métodos de aprendizado bastante difundidos e relativamente fácil de usar Rede Feedforward (FNN) em camada única Nessa configurarão de rede mostrado na Figura 4.1, têm-se uma rede com duas camadas, sendo uma camada de entrada (nós de fonte) e uma camada de saída, que fornecerá a resposta da final da rede Rede Feedforward (FNN) distribuída em múltiplas camadas O que caracteriza a rede da Figura 4.2 é a presença de uma ou mais camadas ocultas participando na computação no sentido direto, nesse exemplo têm-se uma rede com três camadas alimentada diretamente, sendo uma camada de entrada (nós de fonte), uma camada de neurônios ocultos, que recebem o estímulo da camada de entrada, e por fim uma camada de saída.

57 30 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS Figura 4.1: Rede FNN com uma camada de neurônios de saída Figura 4.2: Rede FNN com três camadas, sendo uma camada de neurônios ocultos

58 4.3. APRENDIZADO SUPERVISIONADO Redes recorrentes A característica principal de uma rede recorrente, Figura 4.3, é a a presença de pelo menos um laço de realimentação. (.) (.) (.) (.) Operadores de atraso unitário Figura 4.3: Rede recorrente sem neurônios ocultos Uma propriedade importante das redes neurais é a sua habilidade de aprender a partir de um ambiente a qual está inserida, também conhecido como ambiente de aprendizado, e a partir daí, melhorar seu desempenho por meio da aprendizagem. Aprendizagem é um processo pelo qual os parâmetros livres de uma rede neural são adaptados através de um processo de estimulação pelo ambiente no qual a rede está inserida. O tipo de aprendizagem é determinado pela maneira pela qual a modificação dos parâmetros ocorre [30]. Com isso a rede é capaz de a partir de exemplos aprender a esse conjunto de dados fornecido e principalmente, ser capaz de generalizar o conhecimento adquirido quando ativada com novos exemplos de treinamento, uma vez que esta é uma propriedade muito difícil de se obter a partir dos mais diversos sistemas de computação convencional [30] [34], [39]. 4.3 Aprendizado supervisionado A mais importante propriedade de uma rede neural artificial é sua capacidade de aprendizado. Uma rede neural aprende através de um processo iterativo de ajustes aplicados aos seus pesos sinápticos e limiares, o qual pode ser expresso na forma de um algoritmo computacional. Uma definição interessante de aprendizado é dado por [30], da seguinte forma: "O aprendizado é um processo pelo qual os parâmetros livres de uma

59 32 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS rede neural são adaptados através de um processo de estímulo pelo ambiente no qual a rede está inserida". A metodologia de projeto de redes neurais utilizadas nesse trabalho é relacionado à aprendizagem supervisionada (na presença de um "professor"), em que o conhecimento do ambiente é transmitido a rede por meio de exemplos entrada/saída. A função do "professor"durante o processo de aprendizado é suprir a rede neural com uma resposta desejada a um determinado estímulo apresentado pelo ambiente. A adaptação dos pesos de uma rede neural é realizada por um algoritmo de treinamento baseado no método do gradiente conforme será mostrado em seções posteriores. A Figura 4.4 ilustra o método convencional (EM-ANN) para o desenvolvimento de um modelo neural, em que a rede é treinada com o intuito de minimizar o erro médio quadrático, sendo o sinal erro a diferença entre a resposta desejada e a saída da rede neural. X[n] Simulação ou medidas ad[n] Rede Neural Ay[n] Algoritmo de treinamento Ae[n] Figura 4.4: Metodologia por aprendizado supervisionado 4.4 Modelo não-linear de um neurônio artificial O modelo do neurônio artificial utilizado é o de McCulloch e Pitts. Um neurônio é uma unidade de processamento de informação de uma rede neural [30]. A Figura 4.5 mostra o diagrama em blocos de um neurônio artificial. Ele é constituído por um conjunto de pesos sinápticos, um somador que faz uma combinação linear dos sinais de entrada ponderados pelas sinapses do neurônio e por fim uma função de ativação que restringe a amplitude de saída de um neurônio. A atividade interna do neurônio depende diretamente da saída do combinador acrescido de um valor de limiar

60 4.4. MODELO NÃO-LINEAR DE UM NEURÔNIO ARTIFICIAL 33 Ax1 Abias Axi.. Awj1 Awji AwjNi Anetj Função de ativação Ayj AxNi Figura 4.5: Modelo de um neurônio artificial (bias) que pode ser positivo ou negativo, utilizado para determinar o limiar de atuação do modelo. Matematicamente um neurônio j de uma RNA com Ni entradas é expresso por: net j = Ni i=1 x i w ji + b (4.1) y j = ϕ(net j ) (4.2) Em que, x 1, x 2,..., x Ni são os sinais de entrada; w 1, w 2,..., w ji são os pesos sináptico entre o neurônio i e o neurônio j; b é um valor de polarização; net j é o potencial de ativação; ϕ(.) é a função de ativação, e y j é o sinal de saída do neurônio. Várias são as funções de ativação a serem empregadas na formulação de um neurônio, de uma maneira geral as mais comumentes usadas são listadas na Tabela 4.1. Função de ativação Modelo matemático Sigmóide ϕ(x) = sig(x) = 1 1+exp( x) Tangente hiperbólica Linear Arcotangente ϕ(x) = (exp(x) exp( x)) (exp(x)+exp( x)) ϕ(x) = ax+b ϕ(x) = 2 π arctan(x) Tabela 4.1: Funções de ativação comumente utilizadas

61 34 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS 4.5 Rede perceptron de múltiplas camadas Uma rede perceptron de múltiplas camadas (multilayer perceptron - MLP), como mostrado anteriormente na Figura 4.2 é constituída basicamente por neurônios distribuídos em distintas camadas em que cada neurônio dessas camadas está diretamente ligado aos neurônios das camadas anteriores. A propagação dos sinais ocorre no sentido direto, ou seja, da camada de entrada para a camada de saída passando através das camadas ocultas da RNA. Nessa configuração de rede, os neurônios da primeira camada realizarão o produto interno das entradas aplicadas (x i ), com os seus respectivos pesos (w ji ), sendo adicionado uma polarização (b). O efeito dessa polarização é de fundamental importância quando a soma ponderada dos neurônios da camada anterior for igual a zero [30], [38]. O resultado dessa soma é o potencial de ativação, net j, que por sua vez é aplicado a uma função de ativação, ϕ(net j ), que normalmente é a saída final da rede ou passa a ser a entrada de uma camada posterior. As seções seguintes descreveram os métodos de treinamento de uma rede MLP, a exemplo do algoritmo backpropagation e o resilient backpropagation que é um algoritmo derivado do backpropagation [35] Treinamento da rede MLP A rede perceptron de múltiplas camadas têm sido amplamente aplicado em soluções de diversos problemas complicados, através de um treinamento supervisionado baseado no algoritmo de retropropagação do erro (backpropagation) e suas derivações, em que esse algoritmo é baseado na regra de aprendizagem por correção de erro. Neste tipo de rede neural existem dois tipos de sinais: os sinais funcionais e os sinais de erro. Em linhas gerais, a aprendizagem por retropropagação do erro consiste de dois passos através das diferentes camadas da rede: um passo para frente, a propagação, seguida de um passo para trás, a retropropagação [30]. No passo para frente um vetor de entradas (sinal funcional) é aplicado aos nós sensoriais de entrada da rede e seu efeito se propaga através da rede, camada por camada. Finalmente um conjunto de saídas é produzido como resposta real da rede. Durante a propagação, os pesos sinápticos da rede estão fixos. Durante o passo para trás, os pesos sinápticos são todos ajustados de acordo com uma regra de correção de erro. Especificamente, a resposta desejada imposta pelo "professor"é subtraída da resposta real da rede, produzindo assim um sinal de erro. Este sinal de erro é então propagado para trás através da rede, contra a direção das conexões sinápticas. Os pesos sinápticos são ajustados de forma que a resposta real da rede se aproxime ao máximo da resposta desejada. A Figura 4.6 mostra uma parte de uma RNA com uma configuração alimentada diretamente e com os dois tipos de sinais, ou seja, a propagação para frente dos sinais funcionais e a retropropagação dos sinais de erro. Considere uma rede constituída por três camadas, sendo uma camada de neurônios ocultos, conforme ilustra a Figura 4.7. Matematicamente o processamento do sinal real-

62 4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 35 Asinais funcionais Asinais de erro Figura 4.6: Propagação e retropropagação dos sinais izado em uma rede MLP como a da Figura 4.7 é dado por: net j (n) = N i i=0 w ji (n)x i (n), j = 1,2,...,N h (4.3) y j (n) = ϕ j (net j (n)) (4.4) net k (n) = N h w k j (n)y j (n), k = 1,2,...,N s (4.5) j=0 y k (n) = ϕ k (net k (n)) (4.6) Em que, w ji é o peso entre os neurônios i e j; w k j é peso entre os neurônios j e k; x i, y j e y k são os sinais de saída dos neurônios das camadas de entrada, oculta e de saída respectivamente; ϕ j e ϕ k são as funções de ativação das camadas oculta e de saída. Os neurônios não lineares da rede MLP são definidos por uma função de ativação sigmóide (ver Figura 4.8). Particularmente utiliza-se a função logística, dada por: ϕ(net) = 1 1+exp( net) (4.7) Quanto à generalização de uma rede neural para um vetor de dados de entrada qualquer, diz-se que ela é capaz de generalizar bem, quando o mapeamento de entrada/saída computado pela rede for correto ou aproximadamente correto [30], [32] 33]. Uma rede neural é projetada para generalizar bem, produzindo um mapeamento de entrada/saída correto, mesmo quando a entrada for um pouco diferente dos exemplos utilizados no

63 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS Ay 0=+1 Ax 0=+1 Ay1 Ax1 Ay2 Ay1 Axi Awji Ayj Awkj Ayk AyNs AxNi aynh Figura 4.7: Modelo de uma rede MLP com três camadas sendo uma camada de neurônios ocultos Figura 4.8: Função de ativação sigmóide com diferentes inclinações

64 4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 37 treinamento. Esta capacidade de generalização que as redes neurais apresentam, estão diretamente ligado as condições de treinamento da rede que podem ser classificadas em overlearning e underlearning. No processo de overlearning a rede memoriza os dados de treinamento, mas não generaliza corretamente. Neste caso o erro de treinamento é pequeno, mas o erro de validação é maior em relação ao erro de treinamento. O razão para tal acontecimento está diretamente ligado ao excesso de neurônios ocultos na rede ou dados de treinamento insuficientes. Para o caso de underlearning, a rede encontra dificuldade de aprendizado logo no treinamento. Tal fenômeno ocorre provavelmente devido a um número de neurônios insuficientes nas camadas ocultas, poucos dados de treinamento ou ainda a aprendizagem ficou retida em um mínimo local. Três possíveis soluções para esse fenômeno seriam: adicionar mais neurônios ocultos ao projeto da rede, treinar a rede por um período de tempo maior e modificar a matriz de pesos com o intuito de "escapar"de algum mínimo local Algoritmo de retropropagação do erro (Backpropagation) A rede neural mais simples e mais utilizada é a rede MLP treinada com o algoritmo backpropagation [34]. Surgiu pela primeira vez por Werbos em 1974 e durante um tempo ficou esquecida da comunidade científica. O seu auge aconteceu durante a década de 80 com várias publicações importantes, uma delas foi a de Rumelhart et al (1986). Devido à natureza não-linear dos neurônios da rede MLP é necessário um conhecimento prévio das relações de entrada/saída para um treinamento adequado da rede. Considere uma arquitetura de rede conforme ilustrado pela Figura 4.7, um vetor de dados de entrada dado por x = [x 0,x 1,...,x Ni ], o vetor de reposta desejada é d = [d 1,d 2,d 3,...,d k ]. O objetivo a ser alcançado no treinamento é que a resposta da rede y = [y 1,y 2,y 3,...,y k ], seja o mais próximo possível do vetor de resposta desejada. Na iteração n, onde o n-ésimo padrão de treinamento é apresentado rede, o sinal de erro na saída da rede é dado por: e[n] = d[n] y[n] (4.8) O valor instantâneo do erro quadrático para o neurônio k é definido por 1 2 e2 k [n]. A soma de todos os valores instantâneo da energia do erro de todos os neurônios da camada de saída resulta no valor E[n] da energia total do erro, dado por: E[n] = 1 2N s N s k=1 [e k (n)] 2 (4.9) Em que, N s é o número total de saídas da rede. A energia média quadrática do erro, MSE, é obtida somando-se os E[n] para todas as iterações no final de todas as épocas (t) de treinamento e então normalizando em relação ao número total de exemplos, sendo dado por MSE = 1 N N E[n] (4.10) n=1

65 38 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS Em que, N é o numero total de exemplos de treinamento. A energia média do erro MSE, é uma função de todos os parâmetros livres da rede, em que os pesos sinápticos da rede são ajustados a cada processo de otimização. Uma época de treinamento corresponde ao tempo necessário para a apresentação de todos os exemplos de treinamento à rede neural. Como dito anteriormente, o método de otimização dos pesos de uma rede MLP utilizado nesse trabalho é o método do gradiente. O ajuste a ser feito no peso é no sentido oposto ao do vetor gradiente. O gradiente em relação a um peso qualquer da rede é dado por: E[n] = E[n] w w[n] = E w n (4.11) Os pesos da rede são adaptados interativamente e em sentido oposto ao do vetor gradiente. Essa expressão é baseada na seguinte relação recursiva w[n] = w[n 1] η E(w[n 1]) (4.12) Em que, η é o parâmetro taxa de aprendizado. O η se encontra no intervalo 0 < η < 1 e normalmente é um parâmetro difícil de se estabelecer para um perfeito funcionamento da rede. Uma escolha de η muito baixo faz o treinamento cair em mínimos locais, por sua vez, uma escolha de η muito alto impossibilita a convergência. Jacobs identificou duas causas para tais comportamento [38], [40]: 1. Quando a superfície de erro (E) apresentar uma variação pequena (região flat) com relação a um dado peso, sua derivada terá uma magnitude pequena e conseqüentemente o ajuste será pequeno requerendo muitas iterações para a convergência. Se a variação for elevada (região Sharp), o gradiente e o ajuste também serão elevados acarretando numa ultrapassagem pelo mínimo da superfície de erro. 2. O vetor oposto ao vetor gradiente pode apontar para longe do mínimo da superfície de erro, fazendo com que os ajustes ocorram numa direção ruim. A Figura 4.9 exemplifica os possíveis problemas devido a uma má escolha da taxa de aprendizagem e a influência direta da magnitude das derivadas na convergência do algoritmo. Diante de tal dificuldade em garantir a estabilidade do aprendizado, uma idéia alternativa para reduzir as oscilações dos pesos durante o treinamento da rede MLP, é a inclusão do termo momento, dado por w[n] = w[n 1] η E(w[n 1])+α w[n 1] (4.13) Em que, o termo momento α, controla a influência do ajuste anterior sobre o ajuste atual dos pesos. Observa-se que apesar de ser bem aplicada em muitas tarefas de aprendizado, esta não é uma técnica geral para ganhos de estabilidade e aceleração da convergência. É muito comum o uso conjunto do método do gradiente e o termo momento com o intuito de reduzir a taxa de aprendizagem para evitar possíveis instabilidade no treinamento [38]. A solução da equação 4.12 aplicada a uma rede MLP resulta nas seguintes relações para ajuste dos pesos, equações (4.14) e (4.15).

66 4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 39 Figura 4.9: Influência da magnitude das derivadas e da taxa de aprendizagem na convergência do algoritmo de treinamento w k j [n+1] = w k j [n]+ηe k [n]ϕ, k y j[n] (4.14) w ji [n+1] = w ji [n]+ηe k [n]ϕ, k w k jϕ, j y i[n] (4.15) Em que, ϕ, j e ϕ, k são as derivadas de primeira ordem das funções de ativação da rede MLP Algoritmo Resilient backpropagation - RPROP Criado visando suprir as limitações do algoritmo backpropagation, o algoritmo Rprop é uma das inúmeras variações do backpropagation e caracteriza-se por uma taxa de aprendizagem adaptativa e individual para cada peso da rede, uma vez que ele elimina a influência prejudicial das derivadas parciais do vetor gradiente na otimização dos pesos em uma rede MLP diretamente da informação do gradiente local [35]. O resultado desse efeito é que o esforço de adaptação não é influênciado pelo comportamento imprevisível do gradiente. Portanto, apenas o sinal do gradiente é considerado no ajuste dos parâmetros livres. A atualização no Rprop é realizada por época de treinamento, cada peso da rede é atualizado de forma individual, equações (4.16)-(4.18). w (t+1) ji = w (t) ji + w (t) ji (4.16) w (t) ji = (t) ji, se + (t) ji, se 0, c.c E w ji (t) > 0 E w ji (t) < 0 (4.17)

67 40 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS (t) ji = η + (t 1) ji, se E w ji (t) E w ji (t 1) > 0 η (t 1) ji, se E w ji (t) E w ji (t 1) < 0 (4.18) (t 1) ji, c.c Em que, E é o erro médio quadrático; t representa uma época de treinamento; η + = 1.2 e η = 0.5 são constantes obtidas empiricamente [35]. Inicialmente pode-se considerar os valores de ajuste iguais a 0, que é um dos parâmetros do Rprop. Uma vez que 0 determina diretamente a amplitude do primeiro ajuste dos pesos, ele pode ser escolhido de acordo com a magnitude dos pesos iniciais, a exemplo 0 = 0.1. A escolha deste valor de parâmetro não é considerada crítica, uma vez que seu valor é adaptado enquanto o treinamento se realiza [35], [38]. Segundo essa regra de aprendizagem, quando a derivada parcial do erro em relação ao peso w ji muda de sinal, significa que a última atualização foi alta demais e portanto o algoritmo saltou o mínimo local, dessa forma o valor de adaptação ou de atualização ( ji ) é decrescido por um fator de η. Para a situação em que o sinal da derivada permaneça o mesmo, o valor de atualização é incrementado com a finalidade de elevar a convergência [35]. Depois de realizada a atualização, cada peso é atualizado da seguinte forma: Se a derivada do erro for positiva, o peso será reduzido pelo seu valor de atualização, por sua vez, caso a derivada do erro seja negativa, o valor de atualização é negativo. Em treinamento de redes do tipo MLP com o algoritmo Rprop, deve-se evitar uma variação excessiva dos pesos, para isso estabeleceu-se um valor máximo de ajuste em max = 50, uma vez que a dependência do algoritmo com relação a esse parâmetro é mínima [35], [38]. Em relação ao algoritmo backpropagation, o Rprop apresenta um pequeno aumento no custo computacional.

68 Capítulo 5 Resultados e Estrutura das Antenas Propostas 5.1 Introdução Este capítulo traz os resultados experimentais referente a este trabalho. Baseado nos conceitos discutidos em capítulos anteriores, inicialmente foi realizada uma série de simulações referente aos dispositivos de microondas proposto, em que foi utilizado o software Ansoft Designer que implementa o método dos momentos para resolução dos campos eletromagnéticos associados. Com o intuito de validar os resultados obtidos, alguns protótipos foram construídos e medidos. O equipamento utilizado nas medições foi o analisador de rede vetorial modelo N5230A. 5.2 Resultados Simulados e Experimentais As antenas em microfita abordadas consistem de um elemento radiante tipo patch, montado sobre uma camada dielétrica isotrópica e sobre o plano terra. O substrato dielétrico usado é a fibra de vidro (FR-4), com 1,5 mm de espessura e uma permissividade relativa de 4,4. Para a alimentação da antena, um cabo coaxial de 50 Ω é conectado a linha de microfita via um conector SMA. As antenas com contornos fractais foram construídas a partir de um retângulo com a curva de Koch e a curva de Minkowski aplicada a cada contorno não-radiante e ao contorno radiante, oposto à porta de entrada da antena inset-fed patch. Portanto, os contornos fractais são aplicados a três lados da antena, ao quarto lado fica reservado à alimentação e a aplicação dos insets, cuja finalidade é o casamento de impedâncias. O projeto tem início com um patch retangular de comprimento L, largura W, e dois insets idênticos de comprimento yo e largura xo, que corresponde à antena fractal de nível 0. Estes parâmetros geométricos estão indicados na Figura 2.1. Três foram os tipos de contorno fractal aplicados às antenas patch, são eles: As curvas de Koch retangular, Koch triangular e a curva de Minkowski. As respectivas antenas propostas com contornos fractais estão ilustradas na Figura 5.1 sendo designadas como: A0 (patch retangular inset-fed nível 0), KR1 e KR2 (antena patch Koch retangular nível 1 e 2 respectivamente), KT1 e KT2 (antena patch Koch triangular nível 1 e 2 respectivamente), M1 e M2 (antena patch Minkowski nível 1 e 2 respectivamente). As suas respectivas

69 42 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS dimensões estão em milímetros. Para maximizar o efeito de miniaturização das antenas propostas, os seguintes fatores de iteração foram aplicados à antena patch retangular para geração das antenas patches quase-fractais propostas: (i) 1/3 em L e 1/4 em W para geração da antena patch fractal Koch retangular; (ii) 1/3 em L e 1/3 em W para geração da antena patch fractal Koch triangular; (iii) 1/4 em L e 1/4 em W para geração da antena patch fractal Minkowski. Contudo, devido às limitações impostas na etapa de fabricação, apenas duas iterações fractais são consideradas nesta abordagem. Os efeitos dos diferentes elementos radiantes fractais sobre o desempenho das antenas são caracterizados. Para efetuar este estudo, a ferramenta de análise de onda completa Ansoft Designer foi utilizada. Além de uma antena inset-fed patch retangular projetada para 2,45 GHz, seis elementos fractais diferentes foram considerados. Os resultados são usados para reduzir as dimensões das antenas. Os resultados obtidos para a perda de retorno (S11) fornecem a freqüência de ressonância (Fr) e a largura de banda (BW) de cada antena fractal, permitindo o cálculo do fator de compressão de freqüência (CF), que é um parâmetro relacionado a capacidade de miniaturização da antena, podendo ser calculado pela equação 5.1. CF = (Fr(GHz)/2, 45(GHz)) 100% (5.1) A partir destes resultados, pode-se observar que a antena quase-fractal de Minkowski nível 2 (M2) apresentou maior fator de compressão, quando comparada às antenas quasefractais retangulares e triangulares. Contudo, em relação à antena de nível 0, com uma largura de banda de 60 MHz, a análise feita indicou que a aplicação dos contornos fractais provoca uma redução da largura de banda. Após uma série de simulações, alguns protótipos foram construídos e medidos com a finalidade de validar os resultados simulados. O equipamento utilizado nas medições foi o analisador de rede vetorial modelo N5230A. A Figura 5.2 apresenta uma foto ilustrativa de alguns protótipos fabricados com 100, 75 e 50% de suas dimensões físicas. As Figuras apresentam uma comparação entre os resultados obtidos por simulação e medição para a perda de retorno das antenas projetadas, cujas dimensões encontram-se ilustradas na Figura 5.1. Em geral, obteve-se boa concordância entre os resultados simulados e medidos. Também se pode constatar que houve um bom casamento de impedância para essas estruturas em virtude das baixas perdas de retorno obtidas. As pequenas diferenças entre os valores medidos e simulados podem ser atribuídas ao processo de fabricação das antenas. Estes resultados são resumidos na Tabela 5.1 e 5.2 respectivamente. As Figuras 5.7 e 5.8 apresentam respectivamente as curvas referente aos valores simulados da freqüência de ressonância em função das dimensões de cada antena e do nível fractal utilizado para as antenas de Koch retangular, Koch triangular e Minkowski, respectivamente. Os resultados medidos também são sobrepostos a estas curvas. A boa concordância entre os resultados simulados e medidos apontam para a validação da metodologia de projeto/otimização utilizada, bem como, dos procedimentos experimentais realizados durante a medição das antenas. Com base nestes resultados preliminares, as dimensões das antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 foram reduzidas usando os fatores de compressão de freqüência obtidos. Os resultados medidos pelo analisador de rede vetorial para a perda de retorno das estruturas

70 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 43 A KR KT M KR KT M Figura 5.1: Antenas inset-fed patch com contornos fractais de níveis 0, 1 e 2: Koch retangulares, Koch triangular e Minkowski.

71 44 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Figura 5.2: Protótipos fabricados: antena inset-fed patch geradora (nível 0) e antenas quase-fractais de níveis 1 e 2, com tamanhos de 100, 75 e 50%.

72 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS Perda de Retorno, (db) A0 medido A0 simulado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.3: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno da antena geradora tipo inset-fed patch retangular (nível 0). 0 5 Perda de Retorno, (db) KR1 medido KR1 simulado KR2 medido KR2 simulado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.4: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Koch retangular (níveis 1 e 2).

73 46 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Perda de Retorno, (db) KT1 medido KT1 simulado KT2 medido KT2 simulado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.5: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Koch triangular (níveis 1 e 2) Perda de Retorno, (db) M1 medido M1 simulado M2 medido M2 simulado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.6: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno das antenas tipo patch de Minkowski (níveis 1 e 2).

74 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 47 Antenas Fr, (GHz) BW, (MHz) S11, (db) CF, (%) A0 2, KR1 1, , 7 27, 3 KR2 1, , 5 40, 8 KT1 1, , 5 26, 1 KT2 1, , 8 28, 6 M1 1, , 05 33, 9 M2 1, , Tabela 5.1: Resultados de simulação para as antenas patches quase-fractais projetadas. Antenas Fr, (GHz) BW, (MHz) S11, (db) CF, (%) A0 2, KR1 1, , 4 26, 9 KR2 1, , 4 40, 8 KT1 1, , 9 KT2 1, , 7 27, 3 M1 1, , 6 33, 9 M2 1, Tabela 5.2: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais projetadas. 5 Freqüência Ressonante, (GHz) MoM A0 KT1 KR1 M1 Medido Tamanho da Antena (%) Figura 5.7: Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quasefractais de nível 1.

75 48 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS 5 Freqüência Ressonante, (GHz) MoM A0 KT2 KR2 M2 Medido Tamanho da Antena (%) Figura 5.8: Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quasefractais de nível 2. quase-fractais de nível 1 redimensionadas para a freqüência de 2,45 GHz, são mostrados na Figura 5.9. Observa-se uma boa concordância entre os resultados obtidos para a freqüência de 2,45 GHz Também se observa um bom casamento de impedâncias para essas estruturas, onde as perdas de retorno se mostraram < 30 db. Os resultados se encontram resumidos na Tabela 5.3. Antenas Fr,(GHz) BW,(MHz) S11,(dB) A0 2, , 0 KR1 2, , 78 KT1 2, , 08 M1 2, , 43 Tabela 5.3: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais de nível 1 redimensionadas. A Figura 5.10 apresenta os resultados medidos para a perda de retorno das estruturas quase-fractais de nível 2 redimensionadas para a freqüência de 2,45 GHz. Novamente se observa uma boa concordância entre os resultados obtidos e um bom casamento de impedância para essas estruturas. Esses resultados encontram-se resumidos na Tabela 5.4. Para ilustrar o bom casamento de impedâncias obtido com o uso da técnica insetfed para os resultados mostrados nas Figuras 5.9 e 5.10 anteriores, as cartas de Smith das Figuras apresentam os valores das impedâncias de entrada medidas das antenas

76 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS Perda de Retorno, (db) A0 redimensionado KR1 redimensionado KT1 redimensionado M1 redimensionado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.9: Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 1 redimensionadas. 0 5 Perda de Retorno, (db) A0 redimensionado KR2 redimensionado KT2 redimensionado M2 redimensionado Freqüência Ressonante, (GHz) Figura 5.10: Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 2 redimensionadas.

77 50 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Antenas Fr,(GHz BW,(MHz) S11,(dB) A0 2, , 0 KR2 2, , 19 KT2 2, , 29 M2 2, , 58 Tabela 5.4: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais de nível 2 redimensionadas. patches quase-fractais de nível 1 e 2 com contornos de Koch retangular, Koch triangular e Minkowski, respectivamente, numa faixa de freqüência que varia de 2,30 2,601 GHz. 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start 2.40 GHz h stop 2.52 GHz h Figura 5.11: Gráfico da impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena A0. A Figura 5.18 mostra os resultados obtidos por simulação dos diagramas de radiação 3D das antenas patch quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas. Observa-se que esses diagramas mostraram-se similares ao de uma antena patch retangular convencional, em que o máximo da concentração de energia no campo distante ilustrada no diagrama ocorre na direção perpendicular ao elemento irradiante (broadside). As Figuras ilustram respectivamente os resultados medidos para os diagramas de radiação referente ao plano H para antenas A0, KR1, KR2, KT1, KT2, M1 e M2 redimensionadas em comparação com os seus respectivos resultados simulados para o diagrama de radiação. O campo elétrico total para o resultado medido é plotado normalizado com relação ao maior valor do campo para cada antena em questão. Quando comparado ao patch retangular convencional (antena A0), as antenas quase-fractais apresentaram características

78 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 51 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.12: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KR1 redimensionado. 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.13: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KR2 redimensionado.

79 52 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.14: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KT1 redimensionado. 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.15: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KT2 redimensionado.

80 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 53 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.16: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal M1 redimensionado. 1: GHz Ω ph mω 1 Ch1: start GHz h stop GHz h Figura 5.17: Impedância de entrada traçados na carta de Smith para a antena quase-fractal M2 redimensionado.

81 54 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS de radiação bastante semelhantes, observando-se pouca degradação em seu diagrama de radiação medido, ver Figuras 5.26, Esses resultados comprovam que as antenas projetadas com elementos fractais podem muito bem substituir um patch retangular para a freqüência investigada sem degradar sua performa-se, além de se conseguir dimensões menores. A Figura 5.28 apresenta os resultados de simulação das distribuições de corrente nos elementos irradiantes das antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas.

82 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 55 Figura 5.18: Diagramas de radiação 3D das antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas em comparação com a antena A0.

83 56 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Figura 5.19: Diagrama de radiação medido em 2,46 GHz para a antena A0, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. Figura 5.20: Diagrama de radiação medido em 2,44 GHz para a antena KR1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

84 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 57 Figura 5.21: Diagrama de radiação medido em 2,422 GHz para a antena KR2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. Figura 5.22: Diagrama de radiação medido em 2,435 GHz para a antena KT1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

85 58 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Figura 5.23: Diagrama de radiação medido em 2,448 GHz para a antena KT2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. Figura 5.24: Diagrama de radiação medido em 2,409 GHz para a antena M1 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

86 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 59 Figura 5.25: Diagrama de radiação medido em 2,443 GHz para a antena M2 redimensionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. Figura 5.26: Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR1, KT1 e M1, plano H.

87 60 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS Figura 5.27: Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR2, KT2 e M2, plano H.

88 5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 61 Figura 5.28: Distribuição de corrente nas antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas.