Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Conteúdo Zeros de Função
Métodos iterativos Estes métodos tem a seguinte estrutura x i+1 =Φ ( x i ); dado x 0 Φ(x) é chamada de função de iteração
Métodos iterativos O que desejamos é que lim i x i =R o que significaria formalmente que a sequência {x 0, x 1, x 2,, x n } é uma sequência de Cachy.
Métodos iterativos Mas pensemos isto no contexto de nosso problema. Se então x i+1 =Φ ( x i ); dado x 0 lim i x i =R R=Φ(R) que é uma forma de expressar o teorema do ponto fixo.
Métodos iterativos Podemos entender isto como: se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito. Mas o infinito pode ser pequeno...
Métodos iterativos Convergência Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R Se temos x 0, podemos obter x 1 pela função de iteração x 1 =Φ (x 0 ) Supondo que a sequência é convergente podemos escrever x 1 R=Φ ( x 0 ) Φ ( R )
Métodos iterativos Convergência Métodos Iterativos Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x 1 se encontra em relação a R. Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é Teorema do Valor Médio para Derivadas
Métodos iterativos Convergência Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM) Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que g ' (c)= g(b) g(a) b a Usaremos este teorema como g ' (c)(b a)=g(b) g(a).
Métodos iterativos Convergência Aplicamos este teorema na expressão Teremos x 1 R=Φ ( x 0 ) Φ ( R ) x 1 R=( x 0 R )Φ ' (α 1 );α 1 [x 0, R] e temos um efeito da aplicação da função de iteração Façamos o mesmo com respeito a x 2
Métodos iterativos Convergência Teremos x 2 R=Φ ( x 1 ) Φ (R) Aplicando o TVM x 2 R=( x 1 R ) Φ ' (α 2 ) ;α 2 [ x 1, R] Usando a expressão conseguida anteriormente... x 2 R=( x 0 R )Φ ' (α 1 )Φ ' (α 2 ); α 2 [x 1, R], α 1 [x 0, R]
Métodos iterativos Convergência Se fizermos este procedimento n vezes teremos x n R=( x 0 R ) Φ ' (α 1 ) Φ ' (α 2 ) Φ ' (α n ) Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R É hora de examinarmos se há alguma condição que garanta a convergência
Métodos iterativos Convergência Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de M=max i Φ' (α i ) Vamos agora fazer uma suposição de pior caso possível: Vamos supor que todos os valores de Φ' (α i ) sejam muito próximos de M. Então seria uma boa aproximação escrever
Métodos iterativos Convergência x n R=( x 0 R ) M n Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária. Para que haja a convergência, o lado esquerdo da expressão não pode ser maior que o lado direito
Métodos iterativos Convergência Isto implica que M 1 Φ ' (α) 1 onde α está nas vizinhanças de R. Temos a condição suficiente para um método iterativo convergir, não importa qual método seja este.
Métodos iterativos Convergência Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis. Não saber que poderão haver falhas não é vantagem mas problema...
Zeros de função Procurando um método iterativo
Zeros de função Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x) Sabemos que f (R)=0 Expandido f(x) em torno de x 0 em série de Taylor teremos f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )(R x 0 )+ f ' ' (x 0 ) 2! (R x 0 ) 2 + =0
Zeros de função Façamos h = R x 0. Ficaremos com f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )h+ f ' ' (x 0 ) h 2 + =0 2! Teríamos de determinar onde este polinômio em h se anula. Não vai rolar... Examinaremos o que podemos fazer nesta situação
Zeros de função Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor f (x 0 ) 0 temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x 0 está próximo de R. Vamos adicionar mais um termo para ver o que surge
Zeros de função Com dois termos teremos f (x 0 )+f ' (x 0 )h 0 que se torna útil pois obtemos h f (x 0) f ' (x 0 )
Zeros de função Como h = R - x 0 Definiremos R x 0 f (x 0) f ' (x 0 ) x 1 =x 0 f (x 0) f ' ( x 0 ) Achemos agora a série de Taylor nas vizinhaças de x 1
Zeros de função Teremos f (R)=f (x 1 )+f ' (x 1 )(R x 1 )+ f ' ' (x 1 ) 2! definindo k = R x 1 teremos f (R)=f (x 1 )+f ' (x 1 )k + f ' ' (x 1 ) 2! (R x 1 ) 2 + =0 k 2 + =0 como anteriormente, usaremos os dois primeiros termos da série de Taylor e obteremos
Zeros de função que resulta em e daí f (x 1 )+f ' (x 1 )k 0 k f (x 1) e daremos a definição R x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) x 2 =x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) f ' (x 1 )
Newton-Raphson Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R x 1 =x 0 f (x 0) f ' ( x 0 ) x 2 =x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) Fazendo o mesmo procedimento sucessivamente obteremos x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) que constitui o método de Newton-Raphson
Newton-Raphson Mas qual é a condição para este método convergir? A condição geral é x i+1 =Φ( x i ); Φ ' (α) 1 Observando a forma do método de Newton-Raphson identificamos x i+1 =x i f (x i) f (x) Φ(x)=x f ' (x i ) f ' (x)
Newton-Raphson Derivemos Φ( X ) Φ ' (x)=[ f (x) ]' x =1 f ' (x) f ' ( x) f ' (x) + f ( x)f ' ' (x) [ f ' ( x)] 2 Supondo que a derivada de f(x) não se anula nas vizinhanças de R teremos Φ ' (x)= f (x)f ' ' ( x) [f ' (x)] 2
Newton-Raphson Então a condição de convergência será f (α)f ' ' (α) [f ' (α)] 1 2 A suposição de que a derivada não se anule nas vizinhanças de R é um alerta para quando temos zeros múltiplos Esta condição será usada somente em sala de aula
Newton-Raphson Método de Newton-Raphson Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja x o nas vizinhanças de R. Então, x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) convergirá se f (α)f ' ' (α) [f ' (α)] 1 2
Newton-Raphson Um Exemplo Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando tol x <10 3 Já que f (x)=e x 3cos x e x 3 cos x a derivada será e Newton-Raphson será f ' (x)=e x +3 sen x
Newton-Raphson Um Exemplo Mas e o valor de x 0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R. Aqui usaremos ½. x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i e x i 3cos xi e x i +3 sen xi
Newton-Raphson Um Exemplo Daí x 1 =x 0 ex 0 3 cos x0 e x 0 +3 sen x0 =0,5 0,984026 3,086997 =0,5+0,318764=0,818764 x 2 =x 1 ex 1 3cos x1 e x 1 +3 sen x1 =0,818764 0,218322 4,458601 =0,818764 0,048966=0,769797 Façamos o teste de parada
Newton-Raphson Um Exemplo x 2 x 1 = 0,818764 0,769797 0,0636 x 1 0,769797 Vamos ao próximo passo
Newton-Raphson Um Exemplo x 3 =x 2 ex 2 3 cos x 2 e x 2 +3 sen x2 =0,769797 0,005171 4,247296 =0,769797 0,001217=0,768680 Verifiquemos a condição de parada x 3 x 2 x 2 Mais um passo? = 0,768680 0,769797 0,001580 0,769797
Newton-Raphson Um Exemplo x 4 =x 3 e x 3 3 cos x3 =0,768680 6,18959 10 6 =0,768680 1,4591 10 6 =0,768578 e x 3 +3 sen x3 4,242046 Verifiquemos a condição de parada x 4 x 3 x 3 = 0,768578 0,768680 1,326 10 6 0,768680
Newton-Raphson Um Exemplo Resumo dos resultados x 2 x 1 0,0636 ; x x 1 2 =0,818764 0,218322 4,458601 =0,769797 x 3 x 2 0,001580 ; x x 2 3 =0,769797 0,005171 4,247296 =0,768680 x 4 x 3 x 3 1,326 10 6 ; x 4 =0,768680 6,18959 10 6 =0,768578 4,242046 Observe que o valor de f(x) tende a zero enquanto o valor de f'(x) vai se estabilizando
Newton-Raphson Um Exemplo Este método se mostrou extremamente rápido neste exemplo. Tal comportamento é típico dele mas lembre-se que ele tem um critério de convergência.
Newton-Raphson Outro Exemplo Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [1,2]. Use tol x <10 3 x 4 + x 10 Se daí... então a derivada será f (x)=x 4 +x 10 f ' (x)=4 x 3 +1
Newton-Raphson Outro Exemplo Usaremos 1,5 como valor inicial e x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 4 i + x i 10 4 x 3 i +1 x 1 =x 0 x 4 0+ x 0 10 4 x 3 0 +1 = 3 2 3,4375 =1,5+0,237068=1,737068 14,5 x 2 =x 1 x 4 1+ x 1 10 0,841802 =1,737068 4 x 3 1 +1 21,965752 =1,737068 0,038323=1,698744
Newton-Raphson Outro Exemplo x 2 x 1 x 1 Vamos ao próximo passo e ao teste = 1,698744 1,737068 0,022062 1,737068 x 3 =x 2 x 4 2+ x 2 10 0,026188 =1,698744 4 x 3 2 +1 20,608474 =1,698744 0,001270=1,697473 x 3 x 2 x 2 = 1,697473 1,698744 7,4819 10 4 1,698744
Newton-Raphson E outro exemplo Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático?
Newton-Raphson E outro exemplo Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático? Use o que você sabe... x 2 =a x 2 a=0 f (x)=x 2 a
Newton-Raphson E outro exemplo Assim teremos e a fórmula de Newton-Raphson terá a forma que pode ser simplificada f (x)=x 2 a f ' (x)=2 x x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 2 i a 2 x i
Newton-Raphson E outro exemplo x i+1 =x i x 2 i a = 2 x 2 i x 2 i +a = x 2 i +a 2 x i 2 x i 2 x i = 1 2 ( x i+ a x i ) que tem um custo computacional baixo por passo. Mas qual a condição de convergência?
Newton-Raphson E outro exemplo Observe que x i+1 =Φ( x i ); x i+1 = 1 2 ( x i + a x i ) Φ( x)=1 2 ( x+ a x ) derivando... Φ ' (x)= 1 2 ( 1 a x 2 ) o que resulta na condição 1 ( 1 2 aα ) 1 1 aα 2 2 2
Newton-Raphson E outro exemplo 1 aα 2 2 Observe que tanto a quanto α são positivos. Assim, esta condição (lembre-se, apenas suficiente) se dará quando a 3 a 3 α2 2 α
Newton-Raphson E outro exemplo Como supomos estarmos próximos do valor de a logo α 2 está próximo de a. Assim podemos ler a condição como subavalie o chute inicial. Assim... a 3 α2
Zeros de função Algoritmo de determinação de raizes quadradas x i+1 = 1 2 ( x i+ a x i ) com a condição suficiente a 3 α2 Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular. O que difere são os algoritmos para o chute inicial...
Zeros de função Mais um exercício Faça quatro passos da iteração de Newton-Raphson para determinar a raiz quadrada de 7. calculemos... x i+1 = 1 2 ( x i+ 7 x i ) ; x 0=2
Zeros de função x 1 = 1 ( 2 x 0+ 7 ) x = 1 ( 0 2 2+ 7 ) 2 = 11 4 =2,75 ; x 2= 1 ( 2 x 1+ 7 ) x 1 x 3 = 1 ( 2 x 2+ 7 ) x =2,645752 x 4 = 1 ( 2 2 x 3+ 7 ) x 3 = 1 2 ( 11 4 + 7 11/ 4 ) =2,647727 =2,645751 Mesmo chutando muito mal, temos seis algarismos significativos coincidentes
Newton-Raphson A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando seja fácil de determinar, exige um maior custo computacional Em algumas situações pode ser de interesse calcular a derivada um passo sim, um passo não, já que o valor numérico do cálculo da derivada tende a estabilizar
Zeros de função Outra possibilidade está em calcular a derivada aproximadamente usando o
Zeros de função Teorema do Valor Médio para Derivadas Seja f(x) diferenciável no intervalo [A,B]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo para o qual é válido f ' (c)= f (B) f ( A) B A ;c [ A, B]
Zeros de função Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton-Raphson como abaixo Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e x i. Façamos x i =A x i+1 =x i f (x i ) f ' ( x i ) X=A f (x i ) B A f (B) f ( A)
Zeros de função x i+1 =x i f (x ) i B X=A f ( A) f ' ( x i ) A Af (B) Bf ( A) = f (B) f ( A) f (B) f ( A) que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi. Observe que com isto descobrimos que Regula-Falsi: pode funcionar mesmo que R inicialmente não esteja em [A,B]; poderá ter problemas de convergência com zeros múltiplos