PROBLEMA DE CORTE UNIDIMENSIONAL COM SOBRAS APROVEITÁVEIS: RESOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO Adriana Cherri Departamento de Matemática, Faculdade de Ciência, UNESP, Bauru adriana@fc.unep.br Karen Rocha Coelho Departamento de Engenharia de Produção, Faculdade de Engenharia, UNESP, Bauru karenrc345@hotmail.com Dougla Nogueira do Nacimento Departamento de Computação, Faculdade de Ciência, UNESP, Bauru douglann@fc.unep.br RESUMO O problema de corte de etoque (PCE) conitem em cortar um conjunto de objeto diponívei em etoque em um conjunto de iten para atender a demanda de cliente ou para compor etoque. Nete trabalho, pretende-e avaliar a vantagen de invetir em técnica que conideram o aproveitamento de obra (poívei retalho para etoque) gerado durante o proceo de corte. Um modelo matemático propoto na literatura erá utilizado com alguma alteraçõe. Ete modelo, que tem o objetivo de minimizar a perda, conidera a geração de retalho e eu uo para atender à demanda futura. O modelo foi reolvido utilizando a técnica de geração de coluna. Tete computacionai foram realizado com intância gerada aleatoriamente e motram um bom deempenho do modelo. PALAVARAS CHAVE. Problema de corte de etoque, Aproveitamento de obra, Otimização Combinatória. ABSTRACT Cutting tock problem (CSP) conit of cutting a et of available object in order to produce item to attend the demand of client or to compoe tock. In thi work, we intend to evaluate the advantage of inveting in cutting technique that conider the uable leftover (poible retail to tock) generated during the cutting proce. A mathematical model propoed in the literature will be ued with ome modification. Thi model, that ha the objective to minimize the wate, conider the generation of retail and their ue to meet future demand. Thi model wa olved uing the column generation technique. Computational tet were performed with randomly generated intance and howed a good performance of the model. KEYWORDS: Cutting tock problem, Uable leftover, Combinatorial optimization. 2417
1. Introdução O problema de corte de etoque (PCE) conite em cortar um conjunto de objeto padronizado (comprado de fornecedore pela emprea) diponívei em etoque em um conjunto de iten com a finalidade de atender demanda de cliente ou compor etoque. A quantidade e tamanho do iten ão epecificado e para olucionar o problema deve-e otimizar uma função objetivo. São exemplo de função objetivo: minimizar o número total de objeto cortado, minimizar o cuto de cortar objeto, maximizar o lucro, minimizar a perda, entre outra. A aplicação dee tipo de problema ocorre em divero proceo indutriai tai como o corte de bobina de aço e de papel, peça de couro, chapa de vidro, peça de madeira, barra de ferro, entre outro objeto. De modo geral, o PCE ão problema importante (devido à vária aplicaçõe indutriai) e intereante (devido à complexidade computacional) da otimização combinatória. Além dio, a importância econômica, operacional e a dificuldade de reolução dete problema têm motivado pequiadore da comunidade de pequia operacional pela buca de boa oluçõe para ete problema. Uma olução para o PCE, frequentemente chamada de plano de corte, é gerada por um conjunto de padrõe de corte e ua repectiva frequência, ou eja, quanta veze cada padrão de corte deve er cortado para produzir iten. Um padrão de corte define um ubconjunto de iten que deve er cortado de um objeto diponível em etoque. O PCE começou a er etudado por volta de 1940, embora a principai pequia obre o aunto tenham urgido na década de 1960 com o trabalho de Gilmore e Gomory (1961, 1963). Em 1961 o autore apreentaram um método para a reolução de PCE, no qual utilizaram o método implex com geração de coluna para um modelo de otimização linear, que reolveu pela primeira vez um problema real de corte de etoque unidimenional. Em Gilmore e Gomory (1963) foi apreentado um novo método para o problema da mochila e foi realizado um etudo de cao no corte de papel. No PCE, o problema da mochila urge como um ubproblema a er reolvido, fornecendo a nova coluna (padrõe de corte) para o problema. Hinxman (1980) fez uma revião do problema e método de reolução para o PCE e formalizou a heurítica de repetição exautiva, batante utilizada na prática principalmente quando a demanda do iten é baixa. Na década de 1990, Stadtler (1990) realizou um etudo de cao em uma indútria de alumínio com o objetivo de determinar o número mínimo neceário de objeto em etoque para atender a demanda de cliente. O autor propô um novo método baeado no proceo de geração de coluna propoto por Gilmore e Gomory (1961) e (1963), apreentando um procedimento de arredondamento para obtenção de uma olução inteira (heurítica reidual). Poldi e Arenale (2009) etudaram o problema de obtenção de uma olução inteira para o PCE enfatizando baixa demanda e vário tamanho de objeto em etoque. Como conequência do proceo de corte, um problema que vem endo etudado é o aproveitamento de obra de objeto cortado dede que eta ejam uficientemente grande para retornar ao etoque e atender futura demanda. Eta obra que retornam ao etoque ão denominada de retalho e o problema é conhecido na literatura como problema de corte de etoque com obra aproveitávei (PCESA). Brown (1971) foi um do primeiro autore a tratar implicitamente o aproveitamento de obra em eu trabalho. Roodman (1986) decreveu um procedimento heurítico para a geração de padrõe para o PCE no qual o objeto do etoque pouem comprimento diferente e diponibilidade limitada. Seu principal objetivo era a minimização da perda e a concentração da obra em pouco padrõe de corte para que pudeem er utilizada no corte de futuro iten demandado. Scheithauer (1991) modificou o problema propoto por Gilmore e Gomory (1963) e também coniderou o aproveitamento de obra durante o proceo de corte. Gradiar et al. (1997) apreentaram um etudo obre PCE em uma indútria de tecido. Um modelo matemático para minimizar o número de iten cuja demanda não eram atendida durante o proceo de corte e a perda total de material foi propoto, entretanto, ete modelo não 2418
foi utilizado para reolver o problema. O autore propueram um procedimento heurítico (COLA) que também conidera a poibilidade de obra com comprimento uperior a um determinado parâmetro retornarem ao etoque como retalho para atender futura demanda. Abuabara e Morabito (2009) utilizaram o modelo matemático propoto por Gradiar et al. (1997) para reolver o PCESA em uma emprea braileira que corta tubo etruturai metálico para a produção de aeronave agrícola. O problema reolvido coniderou diferente tipo de objeto em etoque em quantidade uficiente para atender a demanda e poívei retalho que foram gerado em corte anteriore. Cherri et al. (2009) realizaram alteraçõe em heurítica (contrutiva e reiduai) cláica da literatura para olucionar o PCESA. Nete trabalho, obra com dimenõe uperiore a um determinado comprimento retornavam ao etoque para atender futura demanda e não eram computada como perda. Embora a oluçõe obtida tenham ido boa em termo de perda, nenhuma prioridade de uo do retalho foi impota, permitindo que muito permaneceem em etoque durante longo período de tempo. Em Cherri et al. (2013) foram modificada alguma heurítica deenvolvida em Cherri et al. (2009) e, além de minimizar a perda, aume-e que retalho em etoque devem ter prioridade de uo durante o proceo de corte. Cherri et al. (2014) reuniram trabalho da literatura que conideram o PCESA para o cao unidimenional. Nete urvey, o autore apreentam a aplicaçõe do PCESA, o modelo matemático (quando propoto), comentário do reultado obtido em cada trabalho e propota para continuidade de etudo relacionado ao PCESA. Coniderando que o objetivo central de uma emprea é a geração de lucro e a matéria prima não convertida em produto pode ignificar prejuízo, tecnologia e proceo que viam o máximo aproveitamento da peça de etoque e utilização eficiente de matéria prima, como é o cao do PCESA, ão de extrema importância no proceo indutrial, poi, uma vez que a obra não ão decartada, ocorre menor deperdício de material, o que pode gerar aumento de lucro para a emprea e minimização do prejuízo ao meio ambiente, que recebe menor quantidade de reíduo. Nete trabalho, para reolver o PCESA, realizamo uma pequena alteração no modelo matemático propoto por Silva et al. (2013), que é baeado no modelo de Gilmore e Gomory (1963). No modelo utilizado, o padrõe de corte com ou em retalho ão coniderado para um memo tipo de objeto e a quantidade total de retalho gerado é limitada. Para verificar o deempenho do modelo, tete computacionai foram realizado com exemplare gerado aleatoriamente. No trabalho de Silva et al. (2013) o autore apreentam o modelo matemático, entretanto, nem toda a retriçõe do modelo ão coniderada para a implementação. Deta forma, implementamo toda a retriçõe do modelo utilizando a ferramenta OPL (Optimization Programming Language) do oftware CPLEX. A Seção 2 dete trabalho apreenta uma breve apreentação obre PCESA. Na Seção 3 é apreentado o modelo matemático utilizado. Na Seção 4 algun tete computacionai ão realizado. A Seção 5 refere-e à concluõe e trabalho futuro. 2. Problema de corte de etoque com obra aproveitávei No problema de corte de etoque com obra aproveitávei (PCESA) um conjunto de iten demandado deve er cortado a partir de objeto maiore com tamanho padronizado (objeto comprado de fornecedore) ou objeto não padronizado (retalho obtido a partir de corte anteriore) de modo a minimizar o deperdício. Novo retalho podem er gerado e não ão computado como perda, entretanto, ua quantidade deve er limitada. A Figura 1 (retirada de Cherri (2009)) ilutra um PCESA em que ão demandado iten de 3, 4 e 5 metro e, portanto, conidera-e que a obra com tamanho igual ou uperior a 5 metro é um retalho. O objeto com comprimento 11, 10 e 7 ão retalho em etoque. 2419
Figura 1: Exemplo de um problema de corte com oluçõe alternativa Nete exemplo, a Solução 1 e a Solução 3 cortam todo o retalho do etoque e geram um novo que deve retornar ao etoque. Aim, como a perda total na Solução 3 é menor, ela é uperior em relação à Solução 1. A Solução 2 tem perda nula, ma fica com doi retalho em etoque. Em noa abordagem, a Solução 3 e a Solução 2 ão intereante para o problema, a ecolha entre ela eria de acordo com a diponibilidade de armazenamento de novo retalho em etoque (nete cao, a Solução 2 eria uperior). São pouco o trabalho da literatura que apreentam um modelo matemático para reolver o PCESA. Deta forma, nete trabalho utilizamo um modelo matemático (Silva et al. (2013)) que pode er reolvido utilizando a técnica de geração de coluna (Gilmore e Gomory (1963)). Com ete modelo, corte parciai no objeto diponívei em etoque ão avaliado implicitamente, permitindo que retalho ejam gerado para atender demanda futura. Pretendee concluir qual a melhor maneira de cortar objeto do etoque de modo a evitar ao máximo o deperdício de material e poibilitando a geração de retalho. 3. Modelo matemático Para a modelagem matemática do PCESA, conideram-e o eguinte dado: S: número de tipo de objeto padronizado. Denotamo objeto tipo {1,, S}; L : comprimento do objeto tipo, = 1,, S; e : número de objeto tipo em etoque, = 1,, S+R; m: número de tipo de iten demandado; R: número de tipo de retalho em etoque. Denotamo retalho {S + 1,, R}; i : comprimento do item tipo i, i = 1,, m; d i: demanda do item tipo i, i = 1,, m; J : conjunto de padrõe de corte para o objeto tipo, = 1,..., S + R; J (k): conjunto de padrõe de corte para o objeto padronizado tipo com obra do tipo k, k = 1,, R, = 1,, S; a ij: número de iten tipo i cortado no padrão j para o objeto, i = 1,..., m; c j: cuto de cortar o objeto de acordo com o padrão de corte j, j {J, = 1,, S + R} {J (k), k = 1,, R, = 1,, S}; U: número máximo permitido de retalho. 2420
Variávei: x j: número de objeto tipo cortado egundo o padrão de corte j, j {J, = 1,, S + R} {J (k), k = 1,, R, = 1,, S}; O parâmetro e podem er utilizado, repectivamente, para etimular a geração de novo retalho e o uo de objeto retalho diponívei em etoque. Para o modelo, um objeto padronizado pode er completamente cortado ou parcialmente cortado. No egundo cao, doi objeto ão gerado: um objeto reduzido que erá cortado em iten e um retalho que retornará ao etoque para atender futura demanda. Além dio, novo retalho podem apena er gerado para reduzir a perda. O tamanho do retalho obtido de um objeto padronizado ão L, em que min max min max [, ], ou eja, o intervalo [, ] etabelece o comprimento do novo retalho. O retalho gerado não ão computado como perda. Modelo Matemático Minimize f(x) = Sujeito a: S S R R c x c x c x (1) j j j j j j 1 j J 1 k 1 j J ( k ) S 1 j J S S R R a x a x a x d, i = 1,, m (2) ij j ij j ij j i 1 j J 1 k 1 j J ( k) S 1 j J R x x e, = 1,, S (3) j j j J k 1 j J ( k ) xj e, = S + 1,, S + R (4) j J S R R x j x j U (5) 1 k 1 j J ( k ) S 1 j J x 0 inteiro, j {J, =1,,S+R} {J (k), k=1,,r, =1,,S} (6) j No modelo (1)-(6), a função objetivo (1) conite em minimizar o cuto de cortar objeto, ejam ele padronizado ou retalho (não padronizado). O fatore e na função objetivo ão uado para incentivar a geração de um novo retalho ou cortar um retalho diponível em etoque, repectivamente. A retrição (2) aegura que a quantidade de iten cortado, eja ela de objeto padronizado ou retalho, atenda à demanda. A retriçõe (3) e (4) garantem que a quantidade de objeto padronizado ou retalho utilizado durante o proceo de corte não eja uperior à quantidade diponível em etoque. A quantidade de novo retalho para etoque, que e diferencia do modelo apreentado por Silva et al. (2013), é controlada pela retrição (5). Oberve que no modelo (1)-(6) a principal decião a er tomada conite em determinar a frequência que cada padrão de corte deve er cortado (modelo matemático orientado ao padrão). Devido à condiçõe de integralidade da variávei (retrição (6)), é muito difícil reolver o modelo (1)-(6) na otimalidade. Nete cao, a condiçõe de integralidade (6) ão relaxada e a técnica de geração de coluna (Gilmore e Gomory (1963)) é utilizada. 2421
Além da alteração na retrição (5), outra diferença dete trabalho com relação ao trabalho apreentado por Silva et al. (2013) etá no fato de coniderarmo retalho diponívei em etoque. No trabalho apreentado por Silva (2013), o autore não apreentaram reultado para problema com retalho diponívei para o corte. Quando ete objeto ão omitido, parte da função objetivo (1) e da retriçõe (2) e (5) não ão utilizada. A retrição (4) também não e faz neceária. Deta forma, não é poível analiar o deempenho geral do modelo. Deenvolvemo toda a implementação do modelo (1)-(6) utilizando a interface OPL do oftware CPLEX. No tete computacionai apreentado na próxima eção, conideramo objeto padronizado e retalho diponívei em etoque. Valore diferenciado ão atribuído ao parâmetro α e para etimular a geração ou o corte de retalho. 4. Tete Computacionai Para avaliar o deempenho do modelo (1)-(6), tete computacionai foram realizado com problema gerado aleatoriamente. O tete realizado conideram um etoque com 4 tipo de objeto, endo 1 objeto padronizado e 3 objeto não padronizado (retalho). A dimenão do objeto padronizado variou entre 1200 e 1500, com etoque uficiente para atender toda a demanda. Para o objeto não padronizado, a dimenão variou entre 400 e 700, com diponibilidade gerada no intervalo [10, 15]. Na Tabela 1, além do dado referente ao etoque de objeto, ão apreentado o dado referente à demanda de cada problema. Neta tabela, (Obj. Pad.) refere-e ao comprimento do objeto padronizado utilizado, (tipo/tamanho) refere-e à quantidade de tipo de iten demandado e o intervalo no qual o memo foram gerado. Em (Demanda) apreenta-e o intervalo no qual a demanda do iten foi gerada. Tete Obj. Pad. Tabela 1: Dado do etoque e demanda Retalho Iten Tamanho Etoque (tipo/tamanho) Demanda 1 1500 400/500/600 10 11/[50,750] [15,350] 2 1500 400/500/600 10 11/[200,500] [1,3] 3 1500 400/500/600 10 11/[200,500] [1,10] 4 1400 580/640/695 15 15/[200,700] [5,250] 5 1200 580/640/695 15 15/[200,500] [15,300] 6 1400 580/640/695 15 20/[200,500] [1,5] 7 1200 400/500/600 15 20/[300,600] [15,300] 8 1200 580/640 695 15 20/[200,500] [1,100] 9 1400 580/640/695 15 20/[300,600] [1,5] 10 1200 580/640/695 15 40/[200,500] [1,3] O tete computacionai foram realizado em um microcomputador Intel Core i5 (2.67 GHz, com 4 GB de memória RAM). Embora o tempo computacional não eja apreentado, ele foi aceitável para todo o problema executado. Na Tabela 2 ão apreentado o reultado obtido para α = = 1, α = 0,9 e = 1,1, α = 1,1 e = 0,9, α = 0,9 e = 1 e, α = 1 e = 0,9. Neta tabela, ( ) refere-e à quantidade 2422
de retalho gerado durante o proceo de corte e ( Uad.) refere-e à quantidade de retalho uado durante o proceo de corte. Para todo o problema, o número de novo retalho é U = 5 com dimenõe definida no intervalo [400, 700]. Para cada problema foi permitido gerar apena 3 novo tipo de retalho. Tabela 2: Reultado de perda para diferente valore de α e. α = = 1 α = 0,9 / = 1,1 α = 1,1 / = 0,9 Tete Uad. Uad. Uad. 1 0,01249 5 0 0,01248 5 0 0,01254 0 0 2 0,21 1,5 0 0,18 4,58 0 1,23 0 2,5 3 0,13 2,94 0 0,12 4,88 0 0,54 0 3 4 0,1183 15 10 0,1295 5 0 0,1282 0 10 5 0,202 4,5 2,17 0,269 5 0 0,518 0 1,44 6 0,1734 4,02 0 0,1730 4,13 0 0,81 0 4,77 7 6,48 15 10 6,53 5 0 6,77 0 10 8 0,401 7,32 10 0,405 5 0 0,407 0 10 9 0,488 0 3,53 0,463 3,5 0 0,488 0 3,53 10 0,04 0 3 0,21 3,56 0 0,11 0 8,32 α = 0,9 / = 1 α = 1 / = 0,9 Tete Uad. Uad. 1 0,01248 5 0 0,01240 13 8 2 0,18 4,58 0 0,20 1,83 0,5 3 0,12 4,88 0 0,13 2,94 0,87 4 0,1183 15 10 0,1177 20 15 5 0,177 6,64 1,64 0,177 6,64 1,64 6 0,1730 4,13 0 0,1735 4 0,05 7 6,48 15 10 6,48 15 10 8 0,401 7,32 10 0,401 7,32 10 9 0,448 5 1,5 0,488 0 3,53 10 0,15 2,06 1,46 0,11 0 8,32 Analiando o dado da Tabela 2, obervamo que, de modo geral, o modelo (1)-(6) fornece boa oluçõe para o problema, com perda baixa (a única exceção foi o tete 7, em que o iten ão grande e a demanda ão alta). Oberve que o diferente valore de α e (α = 0,9/ = 1,1, α = 1,1/ = 0,9, α = 0,9/ = 1, α = 1/ = 0,9) influenciam na função objetivo do modelo, alterando a olução ótima e a perda total. Quando e atribui um valor menor ou maior que 1 a um do parâmetro α e, há etímulo ou penalidade para gerar ou cortar retalho. Oberve também que alguma oluçõe geram uma quantidade de retalho uperior a 5. Io ocorre pelo fato de retalho do etoque erem utilizado, porém, a diferença entre retalho gerado e cortado é empre 5, ou eja, o etoque de retalho pode er acrecentado de no máximo 5 unidade. Quando α = 0,9 e = 1,1 o modelo prioriza a geração de retalho e penaliza cortar retalho do etoque. Deta forma, o etoque de retalho apena aumentou com a geração de novo retalho. A quantidade de retalho gerado foi igual ou maior que na ituação quando α = = 1 em 8 do 10 tete. Quando α = 1,1 e = 0,9 o modelo prioriza o corte de retalho do etoque. Em todo o tete, ea impoição gerou um aumento na perda, o que era eperado, vito que o retalho do etoque não pouem grande comprimento e, deta forma, a combinação de iten nee objeto é limitada. Em algun problema, a quantidade de retalho cortado foi inferior à ituação α = = 1 e a perda gerada foi maior (problema 5, por exemplo). Io ocorre pela 2423
penalidade impota na geração de novo retalho. Quando α = 1,1 o modelo evita gerar novo retalho, ituação que não ocorre quando α = 1,0. Em uma análie mai geral, com a oluçõe obtida é poível verificar que a perda total quando α = 0,9 pode aumentar, diminuir ou até memo e manter comparada com a perda gerada quando α = = 1,0. Ea variação na oluçõe ocorre devido ao valor atribuído ao parâmetro, que pode penalizar ou não o uo de retalho do etoque. O memo acontece quando = 0,9 o valor de α incentiva ou não gerar novo retalho para etoque. Memo gerando boa oluçõe para o problema, a mema ainda não ão intereante pelo fato de erem contínua. Deta forma, um procedimento heurítico para tornar a oluçõe inteira etá endo etudado. 5. Concluõe e trabalho futuro Nete trabalho, abordamo o problema de corte de etoque unidimenional com obra aproveitávei (PCESA). Para reolver ete problema, realizamo uma pequena alteração em um modelo matemático propoto recentemente na literatura. Ete modelo foi implementado utilizando a interface OPL do oftware CPLEX. Para coniderar o aproveitamento de obra, corte parciai foram realizado no objeto diponívei em etoque de modo a gerar retalho. Para avaliar o deempenho do modelo, algun exemplo foram gerado aleatoriamente. O reultado obtido motraram um bom comportamento e deempenho do modelo matemático que penaliza ou incentiva a geração ou o uo de retalho do etoque e, eta impoiçõe influenciam diretamente a perda gerada. Como a oluçõe obtida até o momento ão contínua, um procedimento que também deve coniderar o aproveitamento de obra etá endo etudado. Novo tete computacionai erão gerado e devem imular uma ituação por período, em que o retalho gerado em um período devem er utilizado no período eguinte. Agradecimento O autore agradecem o apoio financeiro do Conelho Nacional de Deenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Fundação de Amparo à Pequia do Etado de São Paulo (FAPESP Proc.: 2013/18607-9). Referência Abuabara, A.; Morabito R. (2009), Cutting optimization of tructural tube to build agricultural light aircraft, Annal of Operation Reearch, 149: 149-165. Brown, A. R. (1971), Optimum packing and depletion: the computer in pace and reource uage proble. New York: Macdonald - London and American Elevier Inc, 1971.107p. Cherri, A. C. (2009), Alguma extenõe do problema de corte de etoque com obra de material aproveitávei. Tee de doutorado. ICMC UPS São Carlo. Cherri, A. C.; Arenale, M. N.; Yanae, H. H. (2009), The one dimenional cutting tock problem with uable leftover: A heuritic approach, European Journal of Operational Reearch, 196: 897-908. Cherri, A. C.; Arenale, M. N.; Yanae, H. H. (2013), The uable leftover one dimenional cutting tock problem a priority in ue heuritic, International Tranaction in Operational Reearch, 20: 189-199. Cherri, A. C.; Arenale, M. N.; Yanae, H. H.; Pold, K. C.; Vianna, A. C. G. (2014), The one-dimenional cutting tock problem with uable leftover - A Survey, European Journal of Operational Reearch, 236: 395-402. 2424
Gilmore, P. C.; Gomory, R. E. (1961), A linear programming approach to the cutting tock problem, Operation Reearch, 9: 848-859. Gilmore, P. C.; Gomory, R. E. (1963), A linear programming approach to the cutting tock problem - Part II, Operation Reearch, 11: 863-888. Gradiar, M.; Jeenko, J.; Reinovic, C. (1997), Optimization of roll cutting in clothing indutry, Computer & Operational Reearch, 10: 945-953. Hinxman, A. (1980), The trim-lo and aortment problem: a urvey, European Journal of Operational Reearch, 5: 8-18. Poldi, K. C.; Arenale, M. N. (2009), Heuritic for the one-dimenional cutting tock problem with limited multiple tock length, Computer and Operation Reearch, 36: 2074-2081. Roodman, G. M. (1986), Near-optimal olution to one-dimenional cutting tock problem, Computer and Operation Reearch, 13: 713-719. Scheithauer, G. (1991), A note on handling reidual length, Optimization, 22: 461 466. Silva E. F.; Vianna, A.; Cherri, A.; Silva, C. T. L.; Arenale, M. (2013), Modelo matemático para o problema de corte com obra aproveitávei. Anai do Congreo de Matemática Aplicada e Computacional, CMAC Sudete 2013 p. 793-798, Stadtler, H. (1990), A one-dimenional cutting tock problem in the Aluminium Indutry and it olution, European Journal of Operational Reearch, 44: 209-223. 2425