Animação Digital Luis Retondaro CEFET/RJ Campus Petrópolis www.retondaro.pro.br 1 / 21 CC BY-SA 2018
Matemática da Animação Introdução Média ponderada Interpolação Linear Splines www.retondaro.pro.br 2 / 21 CC BY-SA 2018
Matemática da Animação Modelagem Geométrica Disciplina que visa obter representações algébricas para curvas e superfícies com determinado aspecto e/ou propriedades Até agora temos considerado quase que exclusivamente objetos geométricos compostos de segmentos de reta ou polígonos (curvas/superfícies lineares por parte) Na maioria dos casos, são aproximações de curvas e superfícies algébricas Mesmo quando só podemos desenhar segmentos de reta e polígonos, conhecer o objeto que estamos aproximando é fundamental www.retondaro.pro.br 3 / 21 CC BY-SA 2018
Matemática da Animação Curvas e superfícies paramétricas Normalmente, o resultado da modelagem é dado em forma paramétrica Permite que a curva/superfície seja desenhada (aproximada) facilmente Permite indicar que trechos da curva/superfície serão usados Manipulação algébrica mais simples Curva em 3D é dada por C(t) = [Cx(t) Cy(t) Cz(t)]T Superfície em 3D é dada por S(u, v) = [Sx(u, v) Sy(u, v) Sz(u, v)]t www.retondaro.pro.br 4 / 21 CC BY-SA 2018
Continuidade Normalmente queremos curvas e superfícies suaves Critério de suavidade associado com critério de continuidade algébrica Continuidade C0 funções paramétricas são contínuas, isto é, sem pulos Continuidade C1 funções paramétricas têm primeiras derivadas contínuas, isto é, tangentes variam suavemente Continuidade Ck funções paramétricas têm k ésimas derivadas contínuas Alternativamente, Gk : continuidade geométrica Independente de parametrização Assumir curva parametrizada por comprimento de arco C0 C1 C2
Interpolação x Aproximação É natural querermos modelar uma curva suave que passa por um conjunto de pontos dados Se a curva desejada é polinomial, chamamos tal curva de interpolação polinomial lagrangeana Entretanto, o resultado nem sempre é o esperado (oscilações) É mais comum querermos curvas que passem perto dos pontos dados, isto é, aproximações
Algoritmo de De Casteljau Suponha que queiramos aproximar uma curva polinomial entre dois pontos p0 e p1 dados A solução natural é um segmento de reta que passa por p0 e p1 cuja parametrização mais comum é p (u) = (1 u) p0 + u p1 Podemos pensar em p (u) como uma média ponderada entre p0 e p1 Observe que os polinômios (1 u) e u somam 1 para qualquer valor de u São chamadas de funções de mistura (blending functions) p1 p0 u
Algoritmo de De Casteljau Para generalizar a idéia para três pontos p0, p1 e p2 consideramos primeiramente os segmentos de reta p0-p1 e p1p2 p01(u) = (1 u) p0 + u p1 p11(u) = (1 u) p1 + u p2 Podemos agora realizar uma interpolação entre p01(u) e p12(u) p02(u) = (1 u) p01 (u) + u p11 (u) = (1 u) 2 p0 + 2 u (1 u) p1 + u2 p2
Algoritmo de De Casteljau p 1 p1 u = 0.25 1 p0 1 p0 p0 2 p 2
Algoritmo de De Casteljau p 1 p0 1 p0 p0 2 u = 0.5 p1 1 p 2
Algoritmo de De Casteljau p 1 u = 0.75 p0 1 p0 2 p0 p1 1 p 2
Algoritmo de De Casteljau p 1 p02(u) p0 p 2
Algoritmo de De Casteljau A curva obtida pode ser entendida como a mistura dos pontos p0, p1 e p2 por intermédio de três funções quadráticas: b02(u) = (1 u) 2 b12(u) = 2 u (1 u) b22(u) = u2 Aplicando mais uma vez a idéia podemos definir uma cúbica por 4 pontos p02(u) = (1 u) 2 p0 + 2 u (1 u) p1 + u2 p2 p12(u) = (1 u) 2 p1 + 2 u (1 u) p2 + u2 p3 p03(u) = (1 u) p02 (u) + u p12 (u) = (1 u) 3 p0 + 3 u (1 u)2 p1 + 3 u2 (1 u) p2 + u 3 p3
Algoritmo de De Casteljau p p 3 1 p02(u) p03 p0 u = 0.25 p12(u) p 2
Algoritmo de De Casteljau p p 3 1 p02(u) p03 p12(u) p0 u = 0.5 p 2
Algoritmo de De Casteljau p p 3 1 p03 p02(u) p12(u) p0 u = 0.75 p 2
Algoritmo de De Casteljau p p 3 1 p02(u) p03(u ) p12(u) p0 p 2
Algoritmo de De Casteljau Novamente temos uma curva dada pela soma de 4 funções de mistura (agora cúbicas), cada uma multiplicada por um dos 4 pontos b03(u) = (1 u) 3 b13(u) = 3 u (1 u)2 b23(u) = 3 u2 (1 u) b33(u) = u3 Em geral, uma curva de grau n pode ser construída desta forma e será expressa por n p 0 n (u ) b j n (u ) p j j 0
Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidas como curvas de Bézier e as funções de mistura são chamadas de base Bézier ou polinômios de Bernstein Observamos que os polinômios de Bernstein de grau n têm como forma geral bi n(u) = ci ui (1 u)n i Se escrevermos as constantes ci para os diversos polinômios, teremos 1o grau: 1 1 2o grau: 1 2 1 3o grau: 1 3 3 1 4o grau: 1 4 6 4 1 Vemos que o padrão de formação corresponde ao Triângulo de Pascal e portanto, podemos escrever
Polinômios de Bernstein
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Unidade 1: Criação de Personagens Análise e leitura de roteiro Decupagem de texto História e caracterśticas das personagens Tipos de personagens Planejamento das personagens Etapa de pré-produção: Model-sheets, story-boards, pesquisas de referência, etc
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro O que o roteiro deve ter: Cabeçalho da cena INT ou EXT - (Localidade e Tempo) EX.: INT. SALA DE ESTAR NOITE após o jantar Descrição visual ou ação Somente o que se vê e ouve é descrito EX.: José, através da vidraça, observa a queda do ciclista Diálogos As falas ou narrações das personagens EX.: - Não estou preocupado com isso agora...
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro O que o roteiro NÃO deve ter: Descreva as cenas com simplicidade de escrita. Não é literatura, então não utilize metáforas Só indique o que deverá visualmente ser mostrado na cena. Seja conciso e claro
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro Documente bem o seu trabalho Utilize as técnicas de escrita aprendidas anteriormente Formate o seu texto e as fichas, de acordo com os padrões estabelecidos Se possível, utilize um software de apoio à documentação do roteiro. EX.: Celtx
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro Exemplo se uso do software Celtx no apoio à construção do roteiro:
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro Exemplo se uso do software Celtx no apoio à construção do roteiro:
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro Estudando a narrativa Paradigma da divisão em 3 atos: Apresentação, conflito e resolução A visão de Syd Field: Protagonista e antagonista Textos não-lineares Mitos
1. Criação de Personagens 1.1 Análise e leitura de roteiro Conheça bem os arquétipos mitológicos Herói Sacrifica-se pelo bem comum. É complexo, pode assumir outros arquétipos. Mentor ou Sábio Guia o herói em sua jornada Guardião do limiar Representa os desafios. Serve como preparação Arauto Fornece meios para possibilitar a mudança Camaleão Tem a função de eliminar a previsibilidade Sombra Reflexo negativo do herói. Inimigo ou vilão Pícaro É cômico. Aponta a realidade e denuncia a hipocrisia
1. Criação de Personagens 1.2 Decupagem de texto Mapeamento. Planifica o trabalho do jogo ou da animação Inclui: as cenas as posições de cada câmera enquadramento movimentação das personagens diálogos e narrativas desafios e conflitos duração de cada conflito
1. Criação de Personagens 1.2 Decupagem de texto Na observação específica da personagem, Inclui: as suas reações os seus hábitos ou cacoetes sua voz sua aparência como se movimenta com quem se relaciona seus arquétipos seu objetivo
1. Criação de Personagens 1.2 Decupagem de texto Exercício: Texto parcial de O sobrinho do mago - As crônicas de Nárcia de C.S.Lewis Era um leão. Enorme, peludo e luminoso, ele estava de frente para o sol que nascia. Com a boca aberta em pleno canto, ali estava ele, a menos de 300 metros de distância... O leão andava de um lado para outro na terra nua, cantando uma nova canção... À medida que caminhava e cantava, o vale ia ficando verde de capim. O capim se espalhava desde onde estava o leão, com uma força, e subia pelas encostas dos pequenos montes como uma onda... O leão, cujos olhos jamais piscavam, olhava para os animais com dureza, como se fosse incendiá-los com o olhar.
1. Criação de Personagens 1.3 História e características das personagens Características X Caracterização Caracterização e história são independentes, a não ser pelo objetivo Caracterização = Objetivo da personagem Atitudes, linguagem, comportamento Características = Justifica algumas atitudes Careca, magro, narigudo, 50 anos
1. Criação de Personagens 1.3 História e características das personagens Na conceitualização do jogo ou da animação, já se pode perceber algumas características das personagens Definições dos arquétipos A história pode ou não, ser contemporânea à história do jogo Era uma vez... Após 10 séculos de perseguição... Em uma galáxia distante... Características podem ou não ser pertinentes, mas são marcas fortes. Personalidade Sugere ações
1. Criação de Personagens 1.4 Tipos de personagens Humanos EX.: Jetsons, Bruce Wayne, Flintstones Animais EX.: Stuart little, Tom & Jerry Estilizados EX.: Robôs, Monstros, Objetos falantes, Pinóquio
1. Criação de Personagens 1.5 Planejamento Expressões faciais Movimentos possíveis Como se comunica? Voz, gestos, códigos Como se alimenta? O que come. O que bebe. Quando. Vestuário Adequado à época Totalmente original Acessórios Armas, escudos, carros, ferramentas
1. Criação de Personagens 1.6 Etapas de pré-produção Model-sheets (esboços) Story-boards (sequência de quadros) Pesquisas de referência Análise de personagens Tipos existentes
Unidade 2: Design de Personagens Categorias de design Concepção estética e representação gráfica Analisando as proporções e o movimento Definindo a geometria correta Segmentação e hierarquia das partes Cinemática direta e inversa Técnicas de Modelagem 3D
2. Design de Personagens Introdução Design encarado como arte As pessoas são criativas A tecnologia é apenas uma ferramenta Os fundamentos são os mesmos para: Lápis ou Pixels Quaisquer ferramentas (softwares)
2. Design de Personagens Introdução Softwares para Modelagem 3D Anim8r - www.anim8r.com Blender - www.blender.org Melhor modelador OpenSource. Modelos 3D e animações complexas. Game Engine. Win. Linux. Mac. Solaris. 3D Studio Max - www.autodesk.com/3dsmax Freeware. Versátil, fácil interação. Animação e textura pobre Um dos melhores e mais completos! É comercial. Só Win. ~$4.000 Zbrush - www.pixologic.com/zbrush Excelente modelagem orgânica e texturas. Melhor em escultura digital. Não Tem dinâmica nem animação ~490 dólares
2. Design de Personagens Introdução + Softwares para Modelagem 3D Maya - www.autodesk.com/maya Cinema 4D -maxon.net/pages/products/c4d/cinema4d_e.html Junto com 3DsMax é um dos melhores. Recursos avançados para animação. É comercial. Linux e Win. ~ $7.000 Nível profissional. Também permite Texture Paint (como o Blender). Mac e Win ~ $700 LightWave - www.newtek.com/lightwave/index.php Excelente modelador e renderizador. Muito usado em animação para efeitos especiais de filmes. Fácil de usar. ~ $900
2. Design de Personagens Introdução Outros softwares para Modelagem 3D SoftImage XSI, 3D World Studio, MilkShape 3D, Terragen (Gerador de Terrenos), Wings 3D, 3D Home Design, GameSpace, 4D Blue, Art of illusion, AYAM, K3d, Kpovmodeler, Strata 3D Consulte também os tutoriais e os sites específicos para cada software neste link: http://www.unidev.com.br/forum/topic.asp?topic_id=31368
2. Design de Personagens Introdução O Design aqui significa: Um mapa Um plano de ação para criação da personagem São altas? Baixas? Que tipos de roupas usam? Qual textura para a pele? etc... O Design pode ser: Tão simples como um esboço Tão complexo como uma escultura
2. Design de Personagens Introdução Uma personagem com um bom Design: É mais fácil de animar Exige conhecimento da anatomia É preciso compreender as fraquezas e os pontos fortes da sua ferramenta de software
2. Design de Personagens 2.1 Categorias de Design O design de personagens pode ser: Realísticos Estilizados
2. Design de Personagens 2.1 Categorias de Design Design realísticos Aprenda a anatomia Observe o movimento Observe as reações Design estilizados Geralmente surrealista Considere as pré-concepções do público Animação antropomórfica
2. Design de Personagens 2.2 Concepção estética e representação gráfica Utilize o Design para definir os elementos básicos Ombros largos e olhos amendoados parece uma personagem grande e má Olhos grandes e abdômen saliente parece uma personagem humilde
2. Design de Personagens 2.3 Proporções e movimento Ao decidir o peso da personagem utilize a cabeça como guia Homem adulto => Cartoon altura = 7 a 8 cabeças => altura = 2 a 3 cabeças Olhos Cartoon = Externos à cabeça, podem ser flexionados Dica: Se os olhos serão maiores que o normal, modele-os primeiro.
2. Design de Personagens 2.3 Proporções e movimento Pés Humanos = são pequenos em relação ao corpo: Medem o mesmo tamanho do antebraço. Cartoons = são exagerados em tamanho Se a personagem usa sapatos sempre, não precisa modelá-los
2. Design de Personagens 2.3 Proporções e movimento Mãos Problema da emenda Colocar luvas em Cartoons, pode resolver o problema das emendas Vestimenta Contornam limitações do design Relação direta com o público Seja original, evite esteriótipos
2. Design de Personagens 2.3 Proporções e movimento Movimento terrestre Efeito natural x Padronização particular Subir em árvores, rolar, arrastar-se,... Movimento aéreo Movimento de asas Planando Movimento aquático Nado Mergulho
2. Design de Personagens Exercício Rascunhe alguns designs de personagens para modelarmos nas próximas aulas. Faça pelo menos um de cada categoria. Estes designs devem se concentrar apenas na aparência externa da personagem, suas proporções e se a personagem é pequena, grande, magricela, gorda e assim por diante.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Já podemos começar a construir uma personagem! Há incontáveis maneiras de construir e animar personagens digitais Muitas das alternativas que adotamos, são ditadas pelas capacidades do software Construir e configurar a personagem adequadamente, pode evitar muitas dores de cabeça a longo prazo...
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Devemos decidir como a personagem será construída Polígonos? Splines?
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Polígonos Definem uma pequena superfície plana Ao se integrarem aresta com aresta, podemos criar superfícies de forma complexa Para se obter uma superfície com forma suave, precisamos uma grande quantidade de polígonos. Exigem grande detalhamento Vantagem importante: não há limitação de superfícies topologicamente diferentes muitas primitivas Ideal para objetos não deformáveis, devido ao desajuste da forma ao mover um vértice. Entretanto, há ferramentas de deformação que atenuam este problema permitindo manipular com suavidade modelos complexos.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Modelo de uma cabeça, a partir de polígonos Malha com 382 polígonos de controle Superfície suavizada, gerando 16.384 polígonos
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Splines Uma Spline é uma curva Várias Splines podem ser integradas para formar um fragmento suave (patches), que é uma superfície curva. Ideal para modelagem orgânica, como personagens Definem superfícies complexas com poucos pontos No momento da renderização se reduzem aos polígonos O cálculo matemático das curvas é maios complexo, o que aumenta o tempo de renderização. P/ interações em tempo real (games), polígono é + eficiente P/ animações não renderizadas em tempo real spĺine é + eficiente
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Tipos de Splines Linear Cardeal Bézier B-Spline NURBS
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Cada tipos de Spline é diferente no modo em que trata seus pontos de controle Linear Têm a aparência de uma série de linhas conectando os pontos de controle. As superfícies geradas são planas.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Cardeal A curva passa pelos pontos de controle. Cada ponto possui também um controle da tangente.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Bézier A curva passa pelos pontos de controle. Cada ponto possui dois controles da tangenciais para ajustar o peso da curva em cada lado do vértice.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta B-Spline A curva raramente passa pelos seus pontos de controle. Ter os pontos de controle um pouco distantes pode fazer a manipulação da curva um pouco confusa. Nesta curva os pontos são denominados nós.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) ou BSpline não racional e não-uniforme Parecida com a B-Spline, mas cada nó pode ter seu próprio peso. Desta forma, podemos afetar a intensidade da curvatura no vértice. Uma superfície NURBS pode definir qualquer um dos outro 4 tipos de curvas. Por isso, é a spline mais versátil.
2. Design de Personagens 2.4 Definindo a geometria correta Splines = Problema do papel de embrulho Fragmentos normalmente são superfícies de 4 lados.
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes A forma + fácil de criar uma personagem é uma junta por vez. As técnicas para criar personagem segmentada aplicam-se a modeladores poligonais e por splines, porque podem criar cada parte facilmente
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes Segmentos individuais não mudam de forma na animação. Bom para personagens de video-games em 3D A manioulação é rápida porque o computador não precisa calcular as alterações da forma Desvantagem: cria emendas aparentes
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes Pivôs e rotação: Ao criar a personagem precisamos informar ao software como se articulam as juntas do corpo Este ponto é arbitrado inicialmente pelo software e chama-se pivô. A perna, por exemplo, gira pelo joelho. É preciso reposicionar corretamente o pivô Geralmente o pivô é o centro físico do objeto.
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes Hierarquia: Os segmentos precisam se mover com unidade. As pernas movem-se com os quadris A mão se move com o braço, etc. Os segmentos precisam ser montados de forma a permitir estes movimentos. Termo hierarquia não é usado literalmente, mas tecnicamente, tem a semelhança de uma árvore. O tronco é pai dos galhos, que são pais dos ramos Se movermos um objeto filho não se move um pai Se movermos, entretanto, o pai, os filhos se moverão também
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes Hierarquia: Como em uma árvore, uma hierarquia precisa de um tronco, ou seja: uma única parte geradora. Em um esqueleto humano, o tronco é geralmente atribuído aos quadris, ou à pelve. A pelve é mais próxima do centro de gravidade do corpo. É onde a espinha e as pernas estão apoiadas Como na árvore, cada segmento da hierarquia possui um elemento pai, ou filho, ou ambos
2. Design de Personagens 2.5 Segmentação e Hierarquia das partes Hierarquia do esqueleto humano:
2. Design de Personagens 2.6 Cinemática direta e inversa Cinemática direta (FK - Forward Kinematics) Manipulação do topo da hierarquia p/ baixo Se girarmos o cotovelo o pulso se move Se movermos a pelve todo o corpo se move A única forma de deslocar as partes é girar as juntas Para mover o braço sobre o bloco:
2. Design de Personagens 2.6 Cinemática direta e inversa Cinemática inversa (IK - Inverse Kinematics) É o oposto exato da FK, em que mover os filhos faz mover os pais Se movermos a mão em direção a um objeto o restante do braço acmpanha o movimento É preciso determinar restrições ou limitações de movimentos das juntas para tratar os casos degenerados Formas diferentes de mover o braço sobre o bloco:
2. Design de Personagens 2.6 Cinemática direta e inversa Cinemática inversa (IK - Inverse Kinematics) Tabela de restrições e limites rotacionais das juntas humanas Segmento Pé Perna Coxa Espinha Ombro Biceps Antebraço Mão Junta Tornozelo Joelho Quadril Quadril/Espinha Espinha Ombro Cotovelo Pulso Xo Yo Zo 65 30 0 135 0 0 120 20 10 15 10 0 20 20 0 180 105 10 150 0 0 180 30 120