HIDRODINÂMICA. Um escoamento uniforme é um movimento permanente no qual a velocidade é constante ao longo de cada trajetória.

1 HIDRODINÂMICA CONCEITUAÇÃO Um escoamento uniforme é um movimento permanente no qual a velocidade é constante ao longo de cada trajetória. A trajetória de uma partícula é o lugar geométrico dos pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo. Num escoamento permanente, também chamado de estacionário, a velocidade é função das coordenadas, mas independente do instante considerado, isto é, a velocidade varia de ponto para ponto, mas mantém-se constante ao longo do tempo. paralelas: Num escoamento uniforme, as trajetórias, além de retilíneas, são De acordo com o teorema de Bernoulli, um líquido perfeito em movimento permanente tem a energia mecânica total (H) (por unidade de peso do líquido) constante ao longo da trajetória. Sendo H = p + z + V², onde γ 2g

2 p é a pressão num dado ponto, z é a cota geométrica desse ponto, V é a velocidade de uma partícula do líquido no ponto, γ é o peso específico do líquido e g é a aceleração da gravidade O termo p é chamado de potencial de pressão e o termo V² é γ 2g chamado de altura cinética. A soma p + z é chamada de cota (ou carga) piezométrica. γ Considerando a trajetória de uma partícula do líquido, se nós plotarmos, a partir das cotas geométricas z os valores de p/γ nós obtemos uma linha chamada de linha piezométrica e a partir dessa linha, se nós adicionarmos os valores V²/2g nós teremos a linha de energia (por unidade de peso do líquido): Linha de energia ou de carga V² 2g p γ Linha piezométrica Trajetória z z = 0 No caso de fluidos reais em movimento, a energia total H diminui ao longo da trajetória: Linha de energia ou de carga V² 2g p γ Linha piezométrica Trajetória z Plano de referência z = 0

3 A variação da cota da linha de energia entre dois pontos ( 1 e 2 ) da trajetória da partícula de um líquido real é denominada perda de carga ( hf ): Assim: H₁ - H₂ = hf ou z₁ + p1 + V1² = z₂ + p2 + V2² +h f γ 2g γ 2g A perda de carga por unidade de comprimento da trajetória é denominada Sf (Grandeza adimensional) e é conhecida como perda de carga unitária: hf L = Sf gravidade das seções. Onde L é a distância medida ao longo da linha de centro de Considere agora um tubo de fluxo cujo movimento é uniforme: em uma dada seção, a cota piezométrica é comum para todos os pontos da seção. Como a velocidade não é igual nas diferentes trajetórias, a cada trajetória corresponde uma linha de energia diferente: Linha de energia para o tubo de fluxo Linha de energia Para as trajetórias 1 a 7 4 3 5 α V²/(2g) Linha piezométrica V²3/(2g) 2 6 1 7 V 1 2 3 4 5 7 6

4 É necessário se definir uma linha de energia correspondente ao escoamento na totalidade da seção. A energia ou carga referida a toda a seção é dada por: H = p + z + α V² γ 2g Onde V é a velocidade média na seção: V = Q/A onde Q é a vazão que passa pela seção e A é a área da seção. α = AV³dA é conhecido como coeficiente de Coriolis. V³ A O teorema de Bernoulli pode então ser expresso como: p + z α + V² γ 2g d dl = - Sf Em um escoamento sob regime uniforme, a perda de carga unitária Sf é constante e a linha de energia retílinea. A linha piezométrica é paralela à linha de energia porque α V² é constante ao longo do percurso. A perda de carga unitária pode assim ser determinada pelo quociente entre a diminuição da cota piezométrica entre duas seções transversais e a distância L entre as mesmas: Sf p + z γ = L

5 H₁ Linha de Carga ou Energia Linha Piezométrica α V² 2g β H₂ (p + z) = H₁ - H₂ = hf 1 2 L Numa seção com velocidade uniforme α = 1. Quanto mais uniforme for a distribuição de velocidades, mais próximo da unidade será α. V = V e α = 1. A partir deste ponto, para nossas aplicações, nós vamos admitir que

6 ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULAMENTO Experiência de Reynolds: Deixando a água escorrer pelo cano transparente juntamente com o líquido colorido, forma-se um filete desse líquido. O escoamento da água está em regime laminar. Aumentando a vazão da água abrindo-se a torneira, nota-se que o filete vai se alterando podendo chegar a difundir-se na massa líquida. Nesse caso o escoamento da água ocorre em regime turbulento. Escoamento laminar Escoamento de transição Escoamento turbulento

7 Para se determinar o tipo de escoamento em uma canalização, calcula-se o número de Reynolds dado pela expressão. (adimensional) VD R e = R e = número de Reynolds ν V = velocidade (m/seg) D = diâmetro do conduto (m) ν = viscosidade cinemática (m 2 /seg) limites: Para os tubos comerciais valem aproximadamente os seguintes R e < 2.000 : Escoamento Laminar turbulento. Nas condições práticas, o escoamento da água em canalizações é sempre A viscosidade cinemática da água varia com a temperatura de acordo com os valores da tabela 1.

8 TABELA 1 VISCOSIDADE CINEMÁTICA DA ÁGUA Temperatura o C 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Viscosidade Cinemática ν (m 2 /s) 0,000001792 0,000001673 0,000001567 0,000001473 0,000001386 0,000001308 0,000001237 0,000001172 0,000001112 0,000001059 0,000001007 0,000000963 0,000000917 0,000000876 0,000000839 0,000000804 0,000000772 0,000000741 0,000000713 0,000000687

9 FÓRMULA DA DARCY-WEISBACH PARA PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES h f = f L V 2 D 2g onde f é o chamado fator de atrito Os resultados das experiências de Nikarudse em tubos circulares de diâmetro D, com diferentes rugosidades ( rugosidades artificiais criadas por grãos de areia de diâmetro ε ), conclui-se que a resistência ao escoamento era a mesma para todos os tubos (lisos ou rugosos) até determinados valores do número de Reynolds: COEFICIENTE DE ATRITO, f 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,025 0,02 ɛ/d 0,033 0,016 0,008 0,004 0,002 0,001 10³ 10⁴ 10⁵ Re = VD ν Quando o número de Reynolds é maior que determinados limites, então a resistência ao escoamento é condicionada unicamente pela turbulência, ou: f = φ₂ ( Ɛ ), onde Ɛ é a chamada rugosidade relativa. Nesse caso, o regime D D é denominado turbulento rugoso ou simplesmente turbulento.

10 Para esta região, Karman e Prandtl propuseram: 1 = 2 log 3,7 D f Ɛ Colebrook propôs uma lei única para tubos comerciais, válida em todo o domínio dos escoamentos turbulentos: 1 = - 2 log Ɛ + 2,51 f 3,7D Re f Conhecida como fórmula de Colebrook White. Observe que nessa fórmula nós não podemos obter f separadamente em um lado da equação, portanto, teremos que iterativamente achar f. A rugosidade absoluta equivalente Ɛ pode ser obtida em função do material da tubulação, de acordo com a tabela 2. TABELA 2 MATERIAL NOVO ε (mm) Aço para Rebite 3 Concreto 0,9 Madeira 0,4 Ferro Fundido 0,26 Ferro Galvanizado 0,15 Ferro Fundido para Asfalto 0,12 Aço Comercial 0,045 PVC, PEAD, PRVC 0,0015 A equação de Colebrook White está representada graficamente pelo diagrama de Moody, o qual apresenta eixos coordenados com graduação logarítimica, com valores de f como ordenada e R e como abcissa. Nesse diagrama, figuram curvas f = φ (R e ) para determinados valores da rugosidade relativa ε/d.

12 Infelizmente a solução da equação de Colebrook White ( o coeficiente de atrito f) só pode ser obtida iterativamente, pois f aparece em ambos os lados da equação. Swamee e Jain 1 desenvolveram uma fórmula explícita para f. f = 0,25 log Ɛ + 5,74 ² (1) 3,7D Re⁰ ⁹ Tal fórmula apresenta um erro de 2% em relação a fórmula de Colebrook White para ⁵ 10 < Ɛ < 2 x ² 10 e 4 x 10³ < Re < 10⁸. D Tal magnitude de erro é perfeitamente aceitável visto que o erro inerente na determinação da rugosidade pode chegar a 10%. Swamee e Jain também desenvolveram fórmulas explícitas para determinação dea vazão Q e do diâmetro D para o caso de um escoamento entre dois reservatórios, conforme a figura: h f Q D L π Q = 2 gd 5 L h f ε log + 3,7D 1,25 ν h f gd 2L 3 (2) e D 4,75 0,04 5,2 2 1,25 L Q 9,4 L = 0,66 ε + ν Q (3) gh f gh f 1 SWAMEE, P.K. e JAIN, A. K. Explicit Equations for pipe-flow problems, Journal of the Hydraulics Division ASCE, v. 102, n.ny5, p. 657-664, 1976

13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Mostrar que na prática o escoamento da água em canalização é sempre turbulento. A velocidade média de escoamento em canalizações de água geralmente varia em torno de 0,90 m/seg. A temperatura admitida de 20 o C e o diâmetro 50 mm. VD 0,90 x 0,05 R e = R e = 45. 000 ν 0,000001007 Este valor é bem superior a 4000 que é o limite que define o escoamento laminar. No caso de líquidos muito viscosos isto não se verifica, como óleo pesado, caldas, etc. 2 Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 757 m 3 /dia de óleo combustível pesado à temperatura de 33 o C. O regime de escoamento é laminar ou turbulento? É dado ν = 0,000077 m 2 /seg. Q = 757 m 3 /dia = 0,0088 m 3 /seg. π D A = 4 2 π x 0,10 = 4 2 = 0,00785 m 2 Q = A V V = A Q = 0,0088 0,00785 = 1,10 m/seg VD 1,10 x 0,10 R e = R e = 1. 400 ν 0,000077 Portanto, o escoamento é laminar.

14 Exemplo 1 - Considere o sistema abaixo: 1 Elevação: 60 m T = 20º C D = 50 cm 2 Elevação: 40 m Obs: considere T = 20ºC 100 m Determine a vazão Q que passa pelo cano, sabendo que a rugosidade da canalização é feita de aço comercial (Ɛ = 4,5 x 10 ⁵ m). sistema acima teremos: Assim aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do p1 + V1² + z1 = p2 + V2² + z2 + hf γ 2g γ 2g Assim: 0 + 0 + 60 = 0 + V2² + 40 + fl V2² 2g D 2g Assim: V2 = V = 2g x 20 ½ = 19,81 1 + 200f 1 + 200 f 1 f, por sua vez, pode ser dado por (Swamee & Jain) : f = 0,25 log Ɛ + 5,74 ² 3,7D Re⁰ ⁹ Assim, como Re = VD, ν

15 f 0,25 = 2 5 5 4,264 x10 log 2,486 x10 + 0,9 V 2 OBS: para T = 20º C ν = ⁶ 10 m²/s iterativamente: As equações 1 e 2 formam um sistema que deve ser resolvido Assim, vamos assumir inicialmente escoamento completamente turbulento ou turbulento rugoso. Neste caso, usando a fórmula de Karman e Prandtl: 1 = 2 log 3,7D f Ɛ f = 0,0117, Assim, de acordo com a equação 1, V = 10,82 m/s para este o valor de V, de acordo com a equação 2, f = 0,0122. Voltando então à equação 1, V = 10,69 m/s e de acordo com a equação 2, f = 0,0122, o que é igual ao valor anterior, portanto, a iteração está encerrada. Finalmente podemos calcular Q = 2,10 m 3 /s.

16 FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA O CÁLCULO DA PERDA DE CARGA Origem De um modo geral as fórmulas empíricas têm sua origem a partir de experiências, sob certas condições e limitadas por condições específicas. O pesquisador analisa os resultados encontrados e conclui por uma expressão que relaciona os valores medidos. Por não terem origem em fundamentos analíticos, seus resultados são limitados e só devem ser utilizadas em condições que se assimilem as de sua origem. Para cálculo de sistemas de abastecimento de água em escoamento são freqüentemente empregadas as expressões de Hazen- Williams (1902) para escoamentos sob pressão e de Chézy (1775) para escoamentos livres. Fórmula de Hazen-Williams (1902) Desenvolvida pelo Engenheiro Civil e Sanitarista Allen Hazen e pelo Professor de Hidráulica Garden Williams, entre 1902 e 1905, é, sem dúvida, a fórmula prática mais empregada pelos calculistas para condutos sob pressão, desde 1920. Com resultados bastante razoáveis para diâmetros de 50 a 3000mm, com velocidades de escoamento inferiores a 3,0 m/s, é equacionada da seguinte forma h f = 10,643.C - 1,85. D - 4,87. Q 1,85 L, onde C é o coeficiente de rugosidade que depende do material (Ver tabela na página seguinte). Esta expressão tem como limitação teórica o fato de assumir o escoamento como sempre completamente turbulento e desconsiderar a influência da temperatura.

17 Tabela de Coeficente C de Hazen-Willians Material Novo C PVC, PEAD e PRVC 140 Aço Comercial 130 Aço Galvanizado 125 Ferro Fundido 110 Refazendo o Exemplo 1, usando a equação de Hazen-Williams: Assim: p1 + V1² + z1 = p2 + V2² + z2 + hf γ 2g γ 2g 2 V2 1,85 4,87 1,85 0 + 0 + 60 = 0 + + 40 + 10,643 C D Q L 2 g mas Q = V2 A e para o Aço Comercial C = 130, assim assim 20 = 0,051V + 2 1,85 2 0,188 V2 Resolvendo a expressão acima, V 2 = 10,45 m/s Note que existe uma diferença entre o resultado obtido usando a Fórmula Universal e a Fórmula de Hazen-Williams.

18 PERDAS DE CARGAS LOCALIZADAS A maioria dos sistemas de canalizações, no entanto, contém componentes adicionais como curvas, tês, válvulas, etc. Os quais contribuem para o aumento da perda de carga total. Tais perdas de carga são denominadas localizadas. Tais perda de carga são calculadas usando dados experimentais. expansão. A perda de carga em tais componentes é determinada através da h L = K L V² 2g Onde K L é o coeficiente de perda de carga localizada o qual depende principalmente da geometria do componente. Perda de carga localizada devido ao alargamento brusco da seção: canalização. Considere o seguinte alargamento brusco de uma seção de V3 V1 d D ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Considerar um volume de controle nós podemos entre as seções (1) e (3) e usar a equação da continuidade A1V1 = A3 V3. Considerando a pressão na seção (2) (p2) igual a p1, nós podemos utilizar a equação do momento entre as seções (2) e (3), resultando em: p1 A3 - p3 A3 = ρ A3V3 (V3 V1) finalmente nós podemos usar a equação de Bernoulli entre as seções (1) e (3) teremos:

19 p 1 + V1² = p 3 + v 3² + hl γ 2g γ 2g Considerando h L = K L V1² 2g nós podemos chegar combinando as equações acima: K L = 1 - A1 (1) A3 se plotarmos essa equação teremos: K L 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A1 A3 O que está de acordo com resultados experimentais, é interessante notar que o caso de uma canalização conectada a um tanque: Corresponde ao caso de expansão no qual a velocidade V3 0 se nós remanejarmos a equação (1), com A1 = A3 V3 teremos K L = 1 V3² = V1 V1 V1 - V3² = portanto, como V3 K L = 1 V1 A tabela 3.b contém valores de K L para diversos valores de D/d. Importante: a velocidade que se usa para o cálculo nesse caso é V1. (A maior velocidade: V1 V3

20 TABELA 3 a) Valores de K L para redução brusca de seção D d V D/d 1,1 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 2,2 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 K L 0,15 0,25 0,34 0,38 0,41 0,44 0,46 0,48 0,48 0,49 0,49 0,49 0,50 K L = 0,5 K L = 1,00 K L = 0,2 K L = 0,05 b) Valores de K L para aumento brusco de seção d V D D/d 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 K L 0,10 0,24 0,37 0,47 0,55 0,66 0,77 0,85 0,89 0,95 1,00

21 PERDAS DE CARGA LOCALIZADA DEVIDO A UM ALARGAMENTO GRADUAL DA SEÇÃO: A perda de carga pode ser grandemente reduzida com a introdução de uma transição gradual, como mostra a figura abaixo: V1 d β D V3 O ângulo β > 35º a expansão gradual é menos eficiente que a expansão brusca (β = 180º) e que existe uma ângulo ótimo ( em torno de 8º ), para o qual a perda de carga é mínima. PERDA DE CARGA LOCALIZADA DEVIDO A UM ESTREITAMENTO BRUSCO DA SEÇÃO: Como no caso de um alargamento brusco, para um estreitamento brusco da seção da canalização: D d V3 V1 O coeficiente de perda de carga localizada K L depende dos diâmetros D e d. A tabela 3.a contém valores de K L em função de valores do quociente D/d: usada neste caso é importante: a velocidade observe que o caso D = corresponde ao caso da saída de água de um reservatório para um conduto:

22 É denominada saída normal aquela em que o conduto faz um ângulo, de 90º com as paredes do reservatório ( ver figura acima) neste caso, K L = 0,5, para outros tipos de saída, consultar tabela 3.a. comuns. A tabela 4 contém valores de K L para as peças hidráulicas mais

23 TABELA 4 PEÇA K L PEÇA K L Ampliação gradual 0,30* Junção 0,40 Bocais 2,75 Medidor venturi 2,50 Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 Cotovelo de 90º 0,90 Registro de ângulo, aberto 5,00 Cotovelo de 45º 0,40 Registro de gaveta, aberto 0,20 Crivo 0,75 Registro de globo, aberto 10,00 Curva de 90º 0,40 Saída de canalização 1,00 Curva de 45º 0,20 Tê, passagem direta 0,60 Entrada normal 0,50 Tê, saída de lado 1,30 Entrada de borda 1,00 Tê, saída bilateral 1,80 Válvula de pé 1,75 Válvula de de pé com crivo 2,75 Válvula de Retenção 2,50

24 Exemplos de peças que causam perda de Carga Localizada Figura 1.1: Registro ou Válvula de Gaveta Figura 1.2: Registro ou Válvula de Pressão ou Globo

25 Figura 1.3 Válvula de Pé com crivo Figura 1.4: Válvula de Retenção

Figura 1.5: Válvula de Descarga 26

27 Exemplo 2: A tubulação abaixo é de ferro galvanizado com diâmetro D = 200mm e rugosidade Ɛ = 0,18 mm. Determine a vazão transportada sabendo que a temperatura é de 20º C. 30,5 m 1 21m 60m 2 60m Considerando as perdas localizadas para os cotovelos: K L = 0,90 cada para a entrada arredondada: K L = 0,2 (tabela 3) aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 : z 1 = V² + hf + h L + z 2 2g mas, hf +h L = f L V² + (Σ K L ) V² D 2g 2g Assim z 1 = z 2 + V² + f L V² + (Σ K L ) V² 2g D 2g 2g Assim V = 1 2g(z 1 - z 2 ) f L + Σ K L + 1 D Com L = 2 x 60 + 21 = 141 m e z 1 - z 2 = 30,5 21 = 9,5 m V = 1 V = 13,649 1

28 705 f + 3 705 f + 3 Por outro lado, f é dado por: f = 0,25 Log ( 2,432 x 10 ⁴ + 9,788 x 10 ⁵) ² 2 V⁰ ⁹ Assim, vamos assumir inicialmente escoamento completamente turbulento ou turbulento rugoso. Neste caso, usando a fórmula de Karman e Prandtl: 1 = 2 log 3,7D f Ɛ f = 0,0191, Assim, de acordo com a equação 1, V = 3,36 m/s para este o valor de V, de acordo com a equação 2, f = 0,0197. Voltando então à equação 1, V = 3,53 m/s e de acordo com a equação 2, f = 0,0197, o que é igual ao valor anterior, portanto, a iteração está encerrada. Finalmente podemos calcular Q = 0,111 m 3 /s.

29 Exemplo 3 Água a 10º C escoa de um reservatório A para um reservatório B através de um tubo de ferro fundido de comprimento L = 20m a uma vazão de Q = 0,0020 m³/s: Determine o diâmetro do tubo: Elevação z₂ = 0m ( 2 ) Cotovelos ( 1 ) Elevação z₁ = 2m A B Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ): p1 + V₁² + z₁ = p2 + V₂² + z₂ + hf + hl γ 2g γ 2g com p1 = p2 = V₁ = V₂ = z₂ = 0 portanto, z₁ = V² f L + Σ K L ( 1 ) 2g D onde V = Q = 4 Q = 2,55 x 10 ³ ( 2 ) A πd² D² K L = Kentrada + 6 Kcotovelo + Ksaída K L = 6 (0,9) + 0,5 + 1 = 6,9, portanto (1) fica: 2 = V² ( 20f + 6,9) 2 (9,81) D usando (2) 6,03 x 10⁶ D⁵ - 6,9 D - 20f = 0 (3)

30 Re = VD = [ (2,55 x 10 ³)/D²] D = 1,95 x 10³ (4) ν 1,308 x 10 ⁶ D Para ferro fundido, e Ɛ = 0,26 mm, assim: D Ɛ = 2,6 x 10 ⁴ (5) D D Para este tipo de problema, é melhor assumir inicialmente o valor de D, por exemplo, assumindo que D = 0,05 m, assim de (3) f = 0,077, mas de (4). Re = 3,90 x 10⁴ e Ɛ/D = 5,2 x 10 ³ portanto f = 0,25 log 5,2 x 10 ³ + 5,74 ² 3,7 (3,9 x 10⁴) 0,9 = 0,031 O qual é muito diferente do valor calculado por (3), portanto D 0,05 m se nós escolhermos agora D = 0,045 m, nesse caso, de (3). f = 0,040 Re = 4,33 x 10⁴ Ɛ/D = 5,8 x 10-3 e usando a equação acima: f = 0.032 Escolhendo D = 0,043 m, da equação (3) f = 0,029 e Re = 4,54 x 10⁴ Ɛ/D = 6,0 x 10-3 e usando a equação de Swamee & Jain: f = 0.032 O erro, portanto, nesse caso é aceitável. Usando a equação 3 da página 25: D 4,75 5,2 0,04 2 1,25 LQ 9,4 L = 0,66 ε + νq = 41 mm, assim, em qualquer dos gh f gh casos, nós adotaríamos um diâmetro comercial de 50 mm. f

31 Exercícios propostos: (1) Dado o sistema abaixo: ( 1 ) T = 15º C Elevação: 30,5m Elevação: 29m L = 22 m D = 300mm 45º Ɛ = 1,22mm L = 8,5m D = 300mm Ɛ = 1,22mm ( ) 45º _ Elevação: 19,5m ( 2 ) _ Elevação: 13,5m (a) calcule a vazão que passa pelo sistema. (b) trace a linha de carga e linha piezométrica. (c) determine o ponto de pressão mínima. (d) determine o ponto de pressão máxima. (e) calcule as pressões mínima e máxima do sistema.

32 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 1 (a) p₁ + z₁ + V₁ 2 = p₂ + z₂ + V₂² + hf + h γ 2g γ 2g como P₁ = P₂ = 0 30,5 = 19,5 + V² 1 + Kentrada + Kcurva 90º + fl 2g D 11 = V² 1 + 0,5 + 0,4 + 30,5 f 2g 0,3 215,8 = V² (1,9 + 101,7f) (1) usando Re = VD = 2,61 x 10⁵V ν e f = 0,25 log (1,10 x 10-3 + 7,65 x 10 ⁵) ² (2) V⁰ ⁹ assumindo regime completamente turbulento: f = 0,029 usando este valor em (1) V = 6,67 m/s de (2) f = 0,029 Portanto, V = 6,67 m/s Assim Q = πd². V = 0,471 m³/s 4 (b) V² = 2,27m 2g (c) e (d)

33 K entrada V² 2g Linha de carga Pressão minima γ Linha Piezométrica Pressão máxima γ K curva V² 2g V² 2g (e) aplicando a equação de Bernoulli antes e depois da entrada: z₁ = z₂ + pmin + V² + Kentrada V² γ 2g 2g assim pmin γ = 1,5-2,27 (1 + 0,5) = - 1,91 m pmin = - 18.688 N/m² Com o objetivo de determinar se esta pressão negativa (relativa) afeta o escoamento, temos que transformá-la em pressão absoluta: assim pmin abs = - 1,91 + p atm γ p atm (Tabela 6 da pág. 123, considerando nível do mar) = 10.33 m, assim pmin abs = 8,42 m γ Considerando que pv = 0,17 m (Tabela 6 da pág. 123), então concluimos que γ esta pressão não afetará o escoamento. pmáx + V² + z1 = z₂ + p₂ + V² + hf + hl γ 2g γ 2g pmáx = 6 + (0,4 + fl ) V² γ D 2g pmáx = 8,77 m pmáx = 86.064 N/m² γ

34 Dado o sistema abaixo: 1 - Elevação =? Trecho A Trecho B 2 - Elevação = 12m DΑ = 30cm DB = 15cm LΑ = 20m LB = 10m f = 0,02 f = 0,02 Calcule a altura da linha d água no reservatório 1 para que a vazão no sistema seja de 0,15 m³/s, trace a linha de carga e a linha piezométrica do sistema:

35 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 2 p₁ + V₁² + z₁ = p₂ + V₂² + z₂ + hf + hl γ 2g γ 2g 0,5 1,33 0,44 1,0 1,33 0 + 0 + z₁ = 0 + 0 + z₂ + VA² (Kentrada + fla) + VB² (Kesreitamento + Ksaída + flb) 2g DA 2g DB Como VA = Q = 2,12 m/s AA VB = Q = 8,49 m/s AB z₁ = 22,6m Kentrada VA² 2g Linha de carga VA² 2g Linha piezométrica Kredução VB² 2g VB² 2g Ksaída VB² 2g VB² 2g z₂ = 12m

36 Exercício 3: Considere o sifão abaixo: Ɛ = 0,20mm D = 50mm L = 1,8m 1 m 2 m ( 1 ) 45º 45º ( 2 ) 0,13m 0,3 m 0,5 m Considerando T = 20º C, calcule a vazão que passa pelo sifão:

37 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 3 p₁ + V₁² + z₁ = p2 + V2² + z2 + fl V² + ΣKL V² γ 2g γ 2g D 2g 2g z1 - z2 = fl + ΣK L V² 0,13 D 2g ΣK L = Kentrada + 2 Kcotovelo + Ksaída 45º 1,0 0,4 1,0 ΣK L = 2,8 2,55 = ( 36f + 2,8) V 2 ( 1 ) Usando agora: Re = VD = 49652 V² e ν f = 0,25 Log Ɛ + 3,41 x 10-4 ² 3,7 D V⁰ ⁹ f = 0,25 Log 1,08 x 10 ³ + 3,41 x 10-4 ² ( 2 ) V⁰ ⁹ Assumindo um regime completamente turbulento 1 = 2 log 3,7D f Ɛ f = 0,028 Usando este f em ( 1 ) V = 0,818 m/s Usando este valor de V em ( 2 )

38 f = 0,031 Para este valor de f ( em ( 1 ) ) V = 0,806 m/s Usando este valor em ( 2 ) f = 0,031 Regime de transição Assim a vazão será Q = AV = π ( 0,05)² ( 0,806) = 1,58 x 10 ³ m³/s 4 Devemos agora verificar se a pressão mínima no sistema pode afetar o escoamento. Primeiramente devemos determinar o ponto de pressão mínima: ( 1 ) 45º 45º p min /γ Assim aplicando a equação de Bernoulli entre o ponto (1) e o ponto de pressão mínima: p₁ + V₁² + z₁ = pmin + V² + zmin + fl V² + ΣKL V² γ 2g γ 2g D 2g 2g z₁ = pmin + V² + zmin + fl V² + ΣKL V² γ 2g D 2g 2g assim, f = 0,031, L = 1,3 m, ΣKL = 1,4 e V = 0,806 m/s pmin = - 2,11 m γ Em termos de pressão absoluta: assim pmin abs = - 2,11 + p atm γ p atm (Tabela 6 da pág. 123, considerando nível do mar) = 10.33 m, assim pmin abs γ = 8,22 m

39 Considerando que pv = 0,24 m (Tabela 6 da pág. 123), então concluimos que γ esta pressão não afetará o escoamento.

40 Exercício 4 Água escoa em tubo novo de ferro fundido galvanizado, se o diâmetro = 50mm, a vazão de 0,010m³/s e a perda de carga de 60m por cada 50m de comprimento horizontal do tubo. Um engenheiro diz que há uma obstrução no tubo. Você concorda ou discorda? ( temperatura = 16º C)

41 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Não havendo obstrução no tubo: hf = f L V² ( 1 ) D 2g V = Q = 5,09m/s A Re = VD = ( 5,09) (0,05) = 2,29 x 10⁵ ν 1,11 x 10-6 é de 0,15mm. Portanto Ɛ para o ferro fundido que causaria a maior perda de carga Portanto f = 0,25 Log Ɛ + 5,74 ² 3,7D Re⁰ ⁹ f = 0,027 Portanto, de ( 1 ) nós temos: hf = 36m por cada 50m de tubo. Como a perda de carga medida é maior que este valor, provavelmente há uma obstrução.

42 Exercício 5 De acordo com as especificações do corpo de bombeiros, a queda de pressão em um tubo de aço comercial não pode exceder 7000N/m² a cada 50m de tubo para uma vazão de 0,032m³/s se a temperatura nunca é inferior a 10ºC, qual o diâmetro necessário.

43 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 5 p₁ + V₁² + z₁ = p2 + V2² + z2 + fl V² γ 2g γ 2g D 2g onde: p1 - p2 = 7000N/m² L = 50m V1 = V2 = V e V = Q = 4Q = 0,041 A πd² D² Assim: p1 - p2 = fl V² D⁵ = f ( 1 ) γ D 2g 166,6 Para T = 10ºC ν = 1,308 x 10 ⁶ m²/s Assim Re = VD = 31345 ν D e para aço comercial: Ɛ = 0,045mm portanto, f = 0,25 Log 1,216 x 10-5 + 5,16 x 10-4 D 0,9 ² ( 2 ) D Assumindo f = 0,02 em ( 1 ) D = 0,164 m De ( 2 ) f = 0,018 Assumindo este valor de f de ( 1 ) D = 0,161, em ( 2 ) f = 0,018 Portanto, D = 0,161m Usando a equação 3 da página 26, com hf = 7.000/γ = 0,713 m e L = 50 m D = 0,66 ε 1,25 L Q g h 2 4,75 + υ Q 9,4 L g f h f casos, nós adotaríamos um diâmetro comercial de 200 mm. 5,2 0,04 = 0,161 m, assim, em qualquer dos

44 REDES DE CONDUTO Usando a fórmula de Darcy Weisbach para perda de carga: hf = fl Q² D 2gA² A qual pode ser reescrita na forma hf = KQ² Onde K = fl é conhecido como coeficiente geométrico de atrito. D ga² A razão de se escrever a fórmula de Darcy Weisbach nesse formato e facilita a solução de problemas que envolvem redes de conduto: tubos em série e em paralelo. OBS: as unidades de K no S.I. são s² m⁵ ESCOAMENTO EM TUBOS PARALELOS Considere o seguinte trecho de um sistema de distribuição: 1 Q 2 Q Em geral, nós vimos que hf = KQ² 2, teremos: Designando hf1 a perda de carga no trecho 1 e hf2 hf1 = K1 Q1² A hf2 = K1 Q2² a perda no trecho

45 mas hf1 = hf2 K1 Q1² = K2 Q2² Q2 = K1 ⁰ ⁵ Q1 B K2 Sabemos também que: Q = Q1 + Q2 C Através de B e C nós podemos achar Q1, Q2 e hf. Exemplo 5 : K1 = 4029 s² e K2 = 23264 s² m⁵ m⁵ Q = 0,142 m³/s De C Q2 = 0,142 - Q1 De B 0,142 - Q1 = 0,416 Q1 Q1 = 0,100m³/s De C Q2 = 0,042 m³/s e de A hf = 40 m

46 PROBLEMAS DOS TRÊS RESERVATÓRIOS Considere o seguinte sistema de reservatórios e tubos: HA = za A Trecho 1 B HB = zb HJ J Trecho 2 HC = zc Trecho 3 C Onde HJ é a energia ou carga total no nó de junção J. No sistema acima, pode haver três possibilidades: Caso 1: HJ > HB, nesse caso, Q1 = Q2 + Q3 A Q1 B C Q3 Q2 Caso 2: HJ = HB, nesse caso Q1 = Q3 e Q2 = 0 Q1 B Q3

47 Caso 3 : HJ < HB Q3 = Q1 + Q2 A Q1 B Q3 Q2 C Vamos estudar agora caso a caso: e C. Caso 1: aplicando a equação da energia para o escoamento entre A HA = HC + Σ hf HA = HC + hf1 + hf3 ou HA - hf1 = HC + hf3 za - K1Q1² = zc + K3Q3² E entre A e B HA - hf1 = HB + hf2 ZA - K1Q1² = ZB + K2Q2² Por continuidade, nós sabemos que: Q1 = Q3 + Q2 (três equações, três incognitas) Caso 2 de maneira similar: za - K1Q1² = zc + K3Q3² Q1 = Q3 (duas equações, duas incognitas)

48 Caso 3 - za - K1Q1² = zc + K3Q3² zb - K2Q2² = zc + K3Q3² e Q3 = Q1 + Q2 Normalmente nós assumimos que temos caso 2 e calculamos Q1 e Q3 se Q1 < Q3, a continuidade não está satisfeita e se trata do caso 3, se Q1 > Q3, também a continuidade não está satisfeita e se trata do caso 1. Exemplo 6 : Considere o seguinte problema de três reservatórios: zb = 100m D1 L1 = 30cm = 1000m A za = 120m B 2 D2 L2 = 50cm = 4000m 1 D3 L3 = 40cm = 2000m 3 zc = 80m C Se os tubos são feitos de concreto com Ɛ = 0,6mm e a temperatura é de 20ºC, calcule a vazão em cada tubo: Vamos inicialmente considerar que ocorre em todos os tubos o regime completamente turbulento, (essa hipotése terá de ser checada no final), nós podemos usar a fórmula de Karman & Prandtl. 1 = 2 log 3,7D f Ɛ

49 Com Ɛ = 0,6mm Assim: trecho 1 D1 = 300mm f1 = 0,023 trecho 2 D2 = 500mm f2 = 0,021 trecho 3 D3 = 400mm f3 = 0,022 assim: K1 = f1l1 = 8f1L1 = 782 s² 2gD1A1² π²gd1⁵ m⁵ K2 = 222 s² e K3 = 355 s² m⁵ m⁵ Como vimos, vamos inicialmente assumir o caso 2: A Q1 B Q2 = 0 HJ = ZB Q3 Nesse caso: C hf1 120 100 = 20m Q1 = hf1 ⁰ ⁵ = 0,160m³/s K1 Hf3 100-80 = 20m Q3 = hf3 ⁰ ⁵ = 0,237m³/s K3 Como Q3 > Q1 caso 3

50 za - K1Q1² = zc + K3Q3² zb - K2Q2² = zc + K3Q3² ou Q1 = 0,0512-0,454 Q3² ⁰ ⁵ Q2 = 0,0901-1,599 Q3² ⁰ ⁵ Usando ainda: Q3 = Q1 + Q2 teremos Q3 = (0,0512-0,454Q3² ) ⁰ ⁵ + (0,0901-1.599Q3² ) ⁰ ⁵ Resolvendo iterativamente a equação acima teremos: Q1 Q2 Q3 = 0,164m³/s = 0,067m³/s = 0,231m³/s Verificação do coeficiente de atrito usado: Trecho 1 - V1 = Q1 = 2,32 m/s A1 Re = 696038 Assim: f1 = 0,25 Log Ɛ + 5,74 ² = 0,024 3,7D Re⁰ ⁹ trecho 2 V2 = Q2 = 0,341 m/s A2 Re = 170614

51 f2 = 0,025 Trecho 3 V3 = Q3 = 1,84 m/s A3 Re = 735296 f3 = 0,024 Como para o trecho 2 o erro resultante de se assumir o regime completamente turbulento foi de 16% no coeficiente de atrito é aconselhável se repetir o problema. Exercícios propostos: Exercício Proposto 7: Dado o seguinte sistema, com dois tubos paralelos: Q = 0,26m³/s Da La = 20cm = 4m a Registro de gaveta completamente aberto Ferro galvanizado b Registro de Globo completamente aberto Db = 12cm Lb = 6,4m Levando em consideração as perdas localizadas e sabendo que a temperatura é de 10º C, determine a vazão em cada um dos tubos.

52 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO 7 Aa = 0,0314m² Ab = 0,011m² por continuidade 0,26 = Aa Va + Ab Vb 0,26 = 0,0314Va + 0,0113Vb ha = fa La Va² + (Σ K L ) Va² Da 2g 2g Considerando o regime completamente turbulento: fa = 0,018, e Σ K L = K L + K L = 0,8 Tê Registro de Gaveta passagem direta Portanto ha = 0,0591 Va² hb = fb Lb Vb² + (ΣK L ) Vb 2 D b 2g 2g fb = (regime comp. Turb.) = 0,021 e ΣK L = K L + 2K L + K L = 14,4 Tê Cotovelo Registro Saída de 90º de De lado globo Portanto, hb = 0,791 Vb² Como ha = hb

53 Va = 3.66 Vb Usando a equação da continuidade: Vb = 2,06 m/s e Va = 7,54 m/s Verificando o coeficiente de atrito: Ramo a: ν (T = 10ºC) = 1,31 x ⁶ 10 m/s Re = 1128244 ramo b: Assim: fa = 0,019 o que pode ser considerado aceitável para o Re = 228092 fb = 0,02 o que também é aceitável. EXERCÍCIO PROPOSTO 8: Dado o seguinte sistema de tubos e reservatórios: za = 100m zb = 80m A B Trecho 2 L2 = 4.000m D2 = 1,2m Trecho 1 L1 D1 = 3.000 m = 0,8 m Trecho 3 L3 = 5.000m D3 = 0,6m zc = 70m C Sabendo que Ɛ = 0,05mm e que a temperatura da água é de 20ºC, calcule a vazão em cada um dos trechos:

54 Considerando inicialmente regime completamente turbulento em todos os tubos. Trecho 1: f1 = 0,011 Trecho 2: f2 = 0,010 Trecho 3: f3 = 0,012 Assim K1 = 8,321 s², K2 = 1,328 s² K3 = 63,760 s² m⁵ m⁵ m⁵ Vamos assumir inicialmente o caso 2: 0,5 Q1 = 20 = 1,55m³ 8,321 s 0,5 Q3 = 10 = 0,396 63,76 Como Q3 < Q1 caso 1. za - K1Q1² = zc + K3Q3² za - K1Q1² = zb + K2Q2² Q3 = (0,471-0,131 Q1²) 0,5 Q2 = (15,06-6,266 Q1²) 0,5 Usando ainda Q1 = Q2 + Q3 Teremos: 0,5

55 Q1 = (0,471-0,131 Q1²) 0,5 + (15,06-6,266 Q1²) Resolvendo iterativamente a equação acima teremos: Q1 = 1,49 m³/s Q2 = 1,07 m³/s e Q3 = 0,42 m³/s Verificação do coeficiente de atrito: V1 = Q1 = 2,96 m/s A1 Re = 2,371 x 10⁶ f1 = 0,012 f2 = 0,012 f3 = 0,013

56 REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA ESTIMATIVA DA DURAÇÃO DE PROJETO Tempo de alcance Elemento - Tempo Grandes barragens e túneis 30 a 60 anos Tomadas de água 25 a 50 anos Poços 10 a 25 anos Elevatórias 15 a 25 anos Equipamentos de recalque 10 a 20 anos Adutoras de água e redes de distribuição 20 a 30 anos Equipamentos das ETA s e ETE s (filtros, decantadores,...) 20 a 30 anos Reservatórios de concreto (de aço) 30 a 40 anos (20 a 30 anos)

57 POPULAÇÃO DE PROJETO Talvez o mais importante dado de entrada em um projeto de uma rede de Abastecimento de água ou de uma Rede de Esgotamento Sanitário seja a determinação de população de projeto. Uma determinação errônea desta população para o horizonte de projeto implica não só em gastos desnecessários na construção e operação da rede, mas também, o que é mais grave, em um funcionamento hidraulicamente inadequado da mesma, resultando em pressões reduzidas ou excessivas, vazamentos ou entupimentos nos tubos da rede. Não havendo fatores notáveis de perturbações, como longos períodos de estiagem, guerras, etc, ou pelo contrário, o surgimento de um fator acelerador de crescimento como, por exemplo, a instalação de um polo industrial, pode-se considerar que o crescimento populacional apresenta três fases distintas: 1ª fase - crescimento rápido quando a população é pequena em relação aos recursos regionais; 2ª fase - crescimento linear em virtude de uma relação menos favorável entre os recursos econômicos e a população; 3ª fase - taxa de crescimento decrescente com o núcleo urbano aproximando-se do limite de saturação, tendo em vista a redução dos recursos e da área de expansão. Na primeira fase ocorre o crescimento geométrico que pode ser expresso da seguinte forma P = P o ( 1 + g ) t, onde "P" é a população prevista, "P o " a população inicial do projeto, " t" o intervalo de anos da previsão e "g" a taxa de crescimento geométrico que pode ser obtida através de pares conhecidos (ano T i, população P i ), da seguinte forma Conhecidos dois valores de população em dois intervalos de tempo: P 1 = P o ( 1 + g ) t1 e P 2 = P o ( 1 + g ) t2, Fazendo

58 P P 2 1 = P P 0 0 t2 ( 1 + g) ( 1 + g) t1 ou P P 1 t2 t1 ( 1 + ) 2 = g assim, podemos determinar g P g = P 1 1 t 2 t1 2 Na segunda fase o acréscimo de população deverá ter características lineares ao longo do tempo e será expresso assim P = P o + a. t, onde P, P o e " t" tem o mesmo significado e "a" é a taxa de crescimento aritmético obtida pela razão entre o crescimento da população em um intervalo de tempo conhecido e este intervalo de tempo, ou seja, a = ( P 2 - P 1 ) / ( t 2 - t 1 ) Por volta de 1840, o matemático e biólogo P. F. Verhulst propôs a chamada equação logística, a qual englobaria todas as três fases de crescimento populacional humano anteriormente descritas. Esta relação é expressa da seguinte maneira: 1 P P = 1 + e S a+ b t a é conhecida como equação da curva logística e cuja representação gráfica é a chamada Curva Logística e encontra-se representada na figura seguinte:

59 Curva logística de crescimento de população Deve-se observar, no entanto, que o progresso técnico pode alterar a população máxima prevista para um determinado conglomerado urbano, sendo um complicador a mais a ser avaliado em um estudo para determinação do crescimento da população. Para aplicação da equação da curva logística deve-se dispor de três dados de populações correspondentes a três censos anteriores recentes e eqüidistantes, ou seja, três pares (T 1,P 1 ), (T 2,P 2 ) e (T 3,P 3 ) de modo que (T 3 - T 1 ) = 2 (T 2 - T 1 ), P 1 < P 2 < P 3 e P 2 2 > P 3. P 1. Feitas essas verificações calculam-se Ps = [ P 2 2. (P 1 + P 3 ) - 2.P 2. P 1. P 3 ]/ [ P 2 2 - P 1. P 3 ], a = ln[ (P s - P 1 ) / P 1 ] b = [ 1 / (T 2 - T 1 )]. ln{[ P 1 (P s - P 2 )] / [ P 2 (P s - P 1 )]} e = 2,718281828, base neperiana.

60 Ano do censo População ( hab ) 1970 274 403 1980 375 766 1990 491 199 então, T 3 - T 1 = 2 ( T 2 - T 1 ), ou seja, 1990-1970 = 2 ( 1980-1970 ) e P 2 2 > P 1.P 3, isto é, 375 766 2 = 1,412. 10 11 > 274 403 x 491 199 = 1,348. 10 11, o que permite a aplicação do método da curva logística. Sendo assim, pode-se calcular a população de saturação P s habitantes, e ainda De acordo com os parâmetros encontrados pode-se verificar, por exemplo, a população para a) t = 0 (Observar que neste método t é igual a T n - T 1 ) 274 433 habitantes equivale a P 1 (mostrando que o estudo de projeção indica a população inicial); b) t = 20 anos 490 612 habitantes equivale, pois, a população P 3 ; c) t = 50 anos (30 anos após o último censo) 817 249 habitantes é resultado previsto pelo método após os próximos 30 anos, além do último censo; d) t = futuro infinito 065 625 habitantes., correspondendo a população de saturação calculada de 1

71 Variações Diárias (k1) Estimativas no consumo Coeficiente do dia de maior consumo no ano EUA: 1,20 a 2,40 França: 1,50 Variações Horárias (k2) Coeficiente da hora de maior consumo no dia EUA: 1,20 a 2,00 França: 1,50 PREVISÃO DE CONSUMO NO BRASIL O consumo per capita mínimo adotado é de 150 l/hab.dia Coeficientes de variação diária k1= 1,2 Coeficientes de variação diária k2= 1,5 Selecionar regiões com demandas especiais de consumo

72 RESERVATÓRIOS Definição e Finalidades Os reservatórios são unidades hidráulicas de acumulação e passagem de água situados em pontos estratégicos do sistema de modo a atenderem as seguintes situações: garantia da quantidade de água (demandas de equilíbrio, de emergência e de antiincêndio); garantia de adução com vazão e altura manométrica constantes; menores diâmetros no sistema; melhores condições de pressão. Classificação a) de acordo com a localização no terreno: enterrado (quando completamente embutido no terreno); semi-enterrado ou semi-apoiado(altura líquida com uma parte abaixo do nível do terreno; apoiado (laje de fundo apoiada no terreno); elevado (reservatório apoiado em estruturas de elevação); stand pipe (reservatório elevado com a estrutura de elevação embutida de modo a manter contínua o perímetro da secção transversal da edificação).

73 Os tipos mais comuns são os semi-enterrados e os elevados. Os elevados são projetados para quando há necessidade de garantia de uma pressão mínima na rede e as cotas do terreno disponíveis não oferecem condições para que o mesmo seja apoiado ou semi-enterrado, isto é, necessita-se de uma cota piezométrica de montante superior a cota de apoio do reservatório no terreno local. Desde que as cotas do terreno sejam favoráveis, sempre a preferência será pela construção de reservatórios semi-enterrados, dependendo dos custos de escavação e de elevação, bem como da estabilidade permanente da construção, principalmente quando a reserva de água for superior a 500m 3. Reservatórios elevados com volumes superiores implicam em custos significativamente mais altos, notadamente os de construção, e preocupações adicionais com a estabilidade estrutural. Portanto a preferência é pelo semi-apoiado, considerando-se problemas construtivos, de escavação, de empuxos e de elevação. Quando os volumes a armazenar forem grandes, principalmente acima dos 800m 3, e houver necessidade de cotas piezométricas superiores a do terreno, na saída do

74 reservatório, a opção mais comum é a construção de um reservatório elevado conjugado com um semi-enterrado. Neste caso toda a água distribuída pela rede a jusante será bombeada do reservatório inferior para o superior a medida que a demanda for solicitando, mantendo-se sempre um volume mínimo no reservatório superior de modo a manter a continuidade do abastecimento em caso de interrupção neste bombeamento. b) de acordo com a localização no sistema: montante (antes da rede de distribuição); jusante ou de sobras (após a rede). Os reservatórios de montante caracterizam-se pelas seguintes particularidades: por ele passa toda a água distribuída a jusante; têm entrada por sobre o nível máximo da água e saída no nível mínimo são dimensionados para manterem a vazão e a altura manométrica do sistema de adução constantes. Os reservatórios de jusante caracterizam-se pelas seguintes particularidades: armazenam água nos períodos em que a capacidade da rede for superior a demanda simultânea para complementar o abastecimento quando a situação for inversa;

75 reduzem a altura física e os diâmetros iniciais de montante da rede; têm uma só tubulação servindo como entrada e saída das vazões Entradas e saídas dos reservatórios Volume a armazenar Vazão de trabalho Vazão de consumo (saída do reservatório) É a mesma vazão distribuída ao longo do dia (24h) Função da demanda flutuante, de emergência e de incêndio Vazão de recalque (entrada no reservatório) É a mesma vazão que a ETA produz para ser armazenada conduzida após recalque na EE (6h, 8h, 12h, 18h, 24h, dependendo do número de horas de trabalho das bombas hidráulicas de recalque) Q reservado = Q consumo - Q recalque

76 Capacidade do reservatório Analisar o balanço de massas em relação ao que entra e ao que sai do reservatório Reserva total máxima Reserva flutuante Reserva de emergência Reserva de incêndio Capacidade do reservatório Reserva flutuante Advém da vazão distribuída ao longo do dia ( t = 24h) V flutuante = Q consumo. t Reserva de emergência Normalmente considerada de 1/3 da reserva flutuante (fixa) V emergência = 1/3 V flutuante Reserva de incêndio Alguns autores consideram de 1/3 da reserva flutuante (fixa) V incêndio = 1/3 V flutuante A National Board of Fire Underwriters dada pela companhia de seguros norte americana População até 200.000 habitantes V incêndio = 1,02.P 1/2.(1-0,01P 1/2 ), onde P é dado em milhares de habitantes

77 Reserva total do reservatório Soma das parcelas Flutuante Emergência Incêndio V total = V flutuante + V emergência +V incêndio Exercício Dimensione o volume e dê formas a um reservatório que demande População de 12.500 habitantes Consumo de 200 l/hab/dia K 1 =1,25

78 Dimensionamento de Reservatórios População = 12.500hab Per Capita = 200l/hab/dia Coeficiente de majoração horária = 1,25 Adução feita por recalque t recalque = 8horas t funcionamento = 24horas Q consumo = 36,17l/s Cálculo do Volume Flutuante V flutuante = 3.125,0m 3 Cálculo do Volume de Incêndio 1/3 do Volume flutuante V incêndio = 1.041,7m 3 Cálculo do Volume de Emergência V emergência = 1.041,7m 3 Cálculo do Volume Total do Reservatório V total = 5.208,3m 3

79 Tempo (h) Fração do Consumo Diário (%) Simulação do Volume Flutuante (Considerando Adução Contínua) Fração da Adução Diária (%) Diferença Percentual Acumulada Reservatório (%) Diferença Percentual no Reservatório (%) 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 3,35 8,33 4,98 0,00 4,98 4 3,35 8,33 4,98 0,00 4,98 6 5,00 8,33 3,33 0,00 3,33 8 9,20 8,33 0,00-0,87-0,87 10 12,05 8,33 0,00-3,72-3,72 12 11,70 8,33 0,00-3,37-3,37 14 12,05 8,33 0,00-3,72-3,72 16 10,80 8,33 0,00-2,47-2,47 18 11,70 8,33 0,00-3,37-3,37 20 9,60 8,33 0,00-1,27-1,27 22 6,20 8,33 2,13 0,00 2,13 24 5,00 8,33 3,33 0,00 3,33 100,00 100 18,77-18,77 0,00 V flutuante = 586,5m 3 Cálculo do Volume de Combate a Incêncio V incêndio = 250m 3 Cálculo do Volume de Emergência V emergência = 195,5m 3 Cálculo do Volume Total V total = 1.031,9m 3

80 Diagrama de Rippl para o Reservatório de Distribuição Elevado - 24h Percentual Acumulado da Diferença de Fração (%) 15,00 10,00 5,00 0,00-5,00-10,00 y = -0,5204x + 9,5181 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Tempo (h)

81 Simulação do Volume Flutuante (Considerando Adução Intermitente com o Tempo - 8h de Recalque) Diferença Percentual Tempo (h) Fração do Consumo Diário (%) Fração da Adução Diária (%) Diferença Percentual no Reservatório (%) Acumulada Reservatório (%) 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 3,35 0,00 0,00-3,35-3,35-3,35 4 3,35 0,00 0,00-3,35-3,35-6,70 6 5,00 0,00 0,00-5,00-5,00 8 9,20 0,00 0,00-9,20-9,20-20,90 10 12,05 25,00 12,95 0,00 12,95-7,95 12 11,70 25,00 13,30 0,00 13,30 5,35 14 12,05 25,00 12,95 0,00 12,95 18,30 16 10,80 25,00 14,20 0,00 14,20 32,50 18 11,70 0,00 0,00-11,70-11,70 20,80 20 9,60 0,00 0,00-9,60-9,60 11,20 22 6,20 0,00 0,00-6,20-6,20 5,00 24 5,00 0,00 0,00-5,00-5,00 0,00 100,00 100,00 53,40-53,40 0,00 V flutuante = 1668,8m 3 Cálculo do Volume de Combate a Incêncio V incêndio = 250,0m 3 Cálculo do Volume de Emergência V emergência = 556,3m 3 Cálculo do Volume Total V total = 2475,0m 3

82 Diagrama de Rippl para o Reservatório de Distribuição Elevado - 08h Percentual Acumulado da Diferença de Fração (%) 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00-10,00-20,00-30,00 y = 0,9448x - 8,0643 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Tempo (h)

83 Cálculo do Volume Flutuante Considerando apenas a Vazão de Consumo da População V flutuante = 3125m 3 Cálculo do Volume de Combate a Incêncio V incêndio = 1041,7m 3 Cálculo do Volume de Emergência V emergência = 1041,7m 3 Cálculo do Volume Total V total = 5208,3m 3 Dimensionamento da Forma do Reservatório Adotando um reservatório tipo Stand pipes (apoiado sobre o solo) Forma cilíndrica h D D=2.h Abase = πd 2 /4 V = Abase. H V = πd 2 /4. D/2 V = πd 3 /8 Para o volume de 24h Volume = 1031,9m 3 D = 13,8m h = 6,9m Para o volume de 8h Volume = 2475,0m 3 D = 18,5m h = 9,2m Para o volume devido à vazão de consumo Volume = 5208,3m 3 D = 23,7m h = 11,8m

84 TÉCNICAS PARA MODELAGEM DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA. Metodologia de Hardy Cross: É um dos processos mais usadas para cálculo de redes de distribuição, os quais podem se compor de uma sucessão de circuitos fechados ou anéis: Qıv Q Q Reservatório Q O método se baseia no seguinte: (a) Em cada nó da rede (convergência de duas ou mais tubulações), a soma algébrica das vazões é nula. Exemplo: Q2 Q4 Q3 Q1 Qd Onde Qd é a vazão de demanda Q1 + Q4 - Q2 - Q3 - Qd = 0 ΣQ = 0

85 As vazões que afluem ao nó tem sinal positivo e os que dele derivam tem sinal negativo. (b) Considerando um determinado circuito fechado (anel). A Q1 B Q3 D Q4 C Q2 Aplicando a equação de Bernoulli do ponto A de volta ao ponto A: HA = HA + Σhf ou Σhf = 0 nula. Ou seja, em um determinado anel, a soma das perdas de carga é A Q1 hf1 B hf5 Q5 E Q4 hf4 Q2 hf2 hf6 Q6 D hf3 Q3 C hf7 Q7 F Anel I: Σhf = hf1 + hf2 - hf3 - hf4 = 0 Anel II: Σhf = hf5 - hf2 - hf6 - hf7 = 0 Nesse caso foi arbitrado que o sentido horário das vazões em um anel correspondem a um sinal positivo das perdas de carga. A base da metodologia é a seguinte, em um determinado anel (anel I acima) a soma das perdas de carga no sentido horário é dada por: ΣhfH = ΣKHQ²H E no sentido anti-horário:

86 ΣhAHf = ΣKAHQ²AH Como as vazões são desconhecidas, inicialmente assume-se vazões aleatórias. A diferença: ΣKHQ²H - ΣKAHQ²AH é o erro inicial. Se Q é uma correção a ser aplicada às vazões, assumidas inicialmente, ele é dado por: ΣKH (QH - Q)² = ΣKAH (QAH + Q)² ou ΣKH (QH² - 2 QH Q + Q²) = ΣKAH (QAH² + 2QAH Q + Q²) Considerando Q pequeno em relação a QH e QAH ΣKH (QH² - 2 QH Q) = ΣKAH (QAH² + 2QAH Q) Q = ΣKHQH² - ΣKAHQAH² 2(ΣKHQH + ΣKAHQAH) Como KQ = hf Q Q = Σhf - Σhf H AH 2(Σhf + Σhf) = H AH QH QAH Σhf H 2Σhf Q - Σhf AH Esta correção é aplicada a estimativa inicial das vazões no anel e o procedimento é repetido até se chegar a um erro para Q aceitável.

87 Exemplo 7 : Dado o sistema: 15,8l/s 5l/s A B C 1 2 Ι 4 ΙΙ 3 5 Tubos de ferro fundido (Ɛ = 0,26mm) T = 20ºC 7,6l/s D 6 E 7 F 3,2l/s NÓ ELEVAÇÃO (m) A 9,1 B 11,3 C 12,5 D 9,8 E 12,2 F 14.6 TUBO COMPRIMENTO (m) DIÂMETRO (mm) 1 30 150 2 12 100 3 43 150 4 12 100 5 12 150 6 30 100 7 43 100 Determine as vazões em cada trecho do sistema.

88 Considerando as seguintes vazões iniciais: 15,8 3,2 5,0l/s A B C 1 2 Ι 12,6 5,7 1,9 4 ΙΙ 3 5 5,7 7,6l/s 4,4 D 6 E 2,5 7 F 3,2l/s Exemplo7, anel I Ɛ = 0.00026 m ν = 1.007E-06 m²/s Trecho L (m) D (mm) 1 30 150 4 12 100 6 30 100 2 12 100 Q = 0 L/s Trecho Qinicial (l/s) Q - Q (l/s) V (m/s) Re f hf (m) 2 h f Q (s/m²) 1 12.6 12.6 0.713 106209 0.025 0.13 20.2 4 1.9 1.9 0.108 16016 0.031 0.00 1.5 6 4.4 4.4 0.560 55633 0.028 0.13 60.8 2-3.2-3.2-0.407 40460 0.029-0.03 18.2 Σ 0.23 100.7

89 Q = Σhf = 2.32 l/s, Erro = Q/Qmínimo = 121.9 % 2Σ hf Q Vazões corrigidas do anel I TUBO VAZÃO (l/s) 1 10,3 4-0,4 6 2,1 2-5,5 15,8 5,0 10,3 5,7 A B C 1 3 5,5 2 Ι 0,4 4 ΙΙ 5 5,7 7,6 D 6 2,1 E 7 2,5 F 3,2 Exemplo 7 anel II Ɛ = 0.00026 m ν = 1.007E-06 m²/s Trecho L (m) D (mm) 3 43 150 5 12 150 7 43 100 4 12 100

90 Trecho Qinicial (l/s) Q - Q (l/s) V (m/s) Re f hf (m) 2 h f Q (s/m²) 3 5.7 5.7 0.323 48047 0.026 0.04 14.0 5 5.7 5.7 0.323 48047 0.026 0.01 3.9 7 2.5 2.5 0.318 31610 0.029 0.07 52.3 4 0.4 0.4 0.051 5058 0.041 0.00 3.2 Σ 0.12 73.4 Q = Σhf = 1.59 l/s, Erro = Q/Qmínimo = 398.5 % 2Σ hf Q Vazões corrigidas do anel II: TUBO VAZÃO (l/s) 3 4,1 5 4,1 7 0,9 4-1,2 Assim:

91 10,3 5,0 4,1 15,8 5,5 Ι 1,2 ΙΙ 4,1 7,6 2,1 0,9 3,2 e assim sucessivamente até se obtiver uma razão Q/Q mín aceitável. DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES: No nó A: a carga total HA é 65,5m No nó B: HB = HA - hf = 65,4 m Tubo 1 zb = 11,3m Com HB = zb + pb + VB² geralmente desprezível γ 2g pb γ = 54,1 m

92 METODOLOGIA LINEAR Nós vimos que usando o princípio da energia, em um determinado anel: j Σhf = 0 ou Σ (sinal Qt) Kat Qt² = 0 (0) t=1 Onde j é o número de trechos de tubulações que compõe o anel a, t é o número de cada trecho de tubulação do anel a. O (sinal Qt ) assume o valor de +1 para Qt no sentido horário, -1 no sentido anti-horário e 0 quando o trecho t não faz parte do anel. Exemplo 8 Trecho 2 Q2 Trecho 9 Q9 Anel 3 Q4 Trecho 4 Q7 Trecho 7 Nesse caso j = 4 e a = 3 Portanto, K32 Q2² + K34 Q4² - K37 Q7² - K39 Q9² = 0 nós podemos então formar um sistema com A equações, sendo A o número total de anéis. Para formamos esse sistema, temos que conhecer então o número total de anéis e o número total de nós do sistema: Se: A = número total de anéis; T = número total de trechos de tubulações; N = número total de nós;

93 F = número de pontos onde a carga ou potencial total é constante e fixada. Então: A = T - N - F + 1 Por exemplo, no caso do problema dos três reservatórios: A = 3-1 -3 + 1 = 0 No exemplo anterior: T = 7 N = 6 A = 2 F = 0 As equações (0) são não lineares em relação às variáveis, Qt, as quais são incógnitas. Para tornar o sistema linear em relação a Qt, usa-se o artifício de que hf = KQ² = KQQ. Portanto, a equação (0) pode ser escrita como: j Σ (sinal Qt) Kat Qt Qt = 0 t=1

94 se fizermos Cat = (sinal Qt) Kat Qt teremos: j Σ Cat Qt = 0 t=1 o qual é um sistema no qual os coeficientes Cat dependem de Qt, que são as variáveis incógnitas, portanto, é um sistema que deve ser resolvido iterativamente, assumindo-se valores para Qt, calculando-se Cat e determinandose Qt, o qual é assim comparado com o valor inicial. Portanto, a equação acima pode ser escrita como: j Σ Cat Qt = 0 (1) t=1 As equações dadas por (1) formam um sistema com A equação e T incógnitas como A < T temos que achar equações extras para resolver esse sistema. Essas equações são dadas usando o princípio da continuidade das vazões em um determinado nó: Dado o nó n: Q1 nó n Q2 Un Q3 Se considerarmos a vazão de demanda de um determinado nó n como Un e a vazão dos j tubos que conectam ao nó n como Qt onde t é um número de trechos de tubulação que se concectam ao nó n. j Σ bnt Qt = Un ( 2) t=1 onde bnt é um multiplicador que assume o valor:

95 bnt = +1 para um trecho de tubulação cuja vazão entra no nó n. bnt = -1 para um trecho de tubulação cuja vazão sai do nó n. bnt = 0 para uma tubulação que não se conecta ao nó n. Exemplo : Q1 Trecho 1 Trecho 2 Nó 4 U4 b41 Q1 + b42 Q2 = U4 +1-1 Q1 - Q2 = U4 Q2 O sistema de equações dado por (2) nós fornece as equações extras para formar um sistema do A + N - 1 equações: A equações de energia: Anel 1 C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 + C1T QT = 0 M M M Anel A CA1 Q1 + CA2 Q2 + CAT QT = 0 e N - 1 equações de continuidade: Nó 1 : b11 Q1 + b12 Q2 + b1t QT = U1 M M M Nó N 1: bn - 1 Q1 + bn 1 2 Q2 + bn - 1 T QT = UN - 1 Ou, em forma matricial: C Q = 0 B U

96 Exemplo 9 : UA = 3,5m³/s A 3 1 C 2 U C B UB = 2 m³/s = 1,5m³/s Trecho de Canalizaçao K (s²/m⁵) 1 1,0 2 0,1 3 1,5 Número de anéis: A = T - N - F + 1 A = 3-3 - 0 + 1 = 1 equações. São necessárias: A + N - 1 equações ou 1 + 3-1 = 3 Equação da energia para o anel 1: C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 = 0 Equações de continuidade: Nó B: bb1 Q1 + bb2 Q2 + bb3 Q3 = UB Nó C: bc1 Q1 + bc2 Q2 + bc3 Q3 = UC

97 C11 = (sinal Q1) K1 Q1 C11 = (+ 1) (1,0) Q1 C12 = (1,0) (0,1) Q2 C13 = (1,0) (1,5) Q3 = Q1 = 0,1 Q2 = 1,5 Q3 Nó B: Q1 UB bb1 = 1 bb2 = -1 bb3 = 0 Q2 Nó C: bc1 = 0 bc2 = 1 bc3 = -1 Portanto, o sistema fica: C11 Q1 + C12 Q2 + C13 Q3 = 0 (1) Q1 - Q2 = 2 (2) Q2 - Q3 = 1,5 (3)

98 A maneira de se resolver este sistema é: assumem-se valores para Q s; determinam-se Cat s com base nos últimos valores de Q s. calculam-se Q s calcula-se erro e compara-se com a tolerância estabelecida (tol): T erro = Σ Qt - Qt t=1 anterior atual < Tol. T Σ Qt t=1 atual NÃO erro < Tol SIM FIM No exemplo dado, vamos assumir Q1 = Q2 = Q3 = 1m³/s. Assim: C11 = 1 C12 = 0,1 C13 = 1,5 Trecho Qt Cat Qt Qt - Qt Qt anterior atual anterior atual atual 1 1 1,0 2,10 1,1 2,10 2 1 0,1 0,1 0,9 0,1 3 1 1,5-1,4 2,4 1,4 Σ 4,4 3,6 Erro = 4,4 x 100 = 122% 3,6

99 Segunda tentativa: Qt = 2 Qatual + Qanterior 3 Qt = 1,73 0,4-0,6 Trecho Qt Cat Qt Qt - Qt Qt anterior atual anterior atual atual 1 1,73 1,59 1,34 0,39 1,34 2 0,40 0,05-0,66 1,06 0,66 3-0,60-0,97-2,16 1,56 2,16 3,01 4,16 Erro = 3,01 x 100 = 72% 4,16 e assim a sucessivamente. A vantagem de se usar as equações da energia e da continuidade na forma apresentada é que facilita a implantação computacional do cálculo hidráulico de redes de condutos.

100 PROJETO: Dado o sistema de distribuição de água abaixo: Elevação = 30m Reservatório 0 1 1 2 3 3 D = 20cm L = 100m L = 12m D = 10cm 7,6 L/s 4 2 L = 30m D = 15cm L = 30m D = 10cm 6 T = 20ºC 5 4 Nó Elevação (m) 1 9,1 2 11,3 3 12,5 4 9,8 5 12,2 6 14,6 5 L/s L = 43m D = 15cm L = 12m D = 10cm L = 43m D = 10cm 6 5 L = 12m D = 15cm 3,2 L/s Material: ferro fundido usando o programa EPANET http://www.epa.gov/ord/nrmrl/wswrd/epanet.html 1- Determine as vazões em cada trecho de canalização e as pressões nos nós, sem levar em conta as perdas de carga localizadas. 2- Repita o item 1 com as vazões de demanda multiplicada por 10. Compare os resultados e conclua.

101 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL Simulação Hidráulica em Redes de Condutos Forçados com o Software Epanet Prof. Marco Aurélio Holanda de Castro, Ph.D.