ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS JI-PARANÁ 2011

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Fundação Universidade Federal de Rondônia UNIR, como requisito parcial para obtenção do título de Licenciatura Plena em Matemática, sob orientação do Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos. JI-PARANÁ 2011

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEFF ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática e teve o parecer final como aprovado, no dia 16 de junho de 2011, pelo Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná. Ji-Paraná, 16 de junho de 2011.

3 AGRADECIMENTOS minha luz neste caminho. Agradeço primeiramente a Deus o nosso protetor que sempre foi Aos meus pais que nunca me desampararam e sempre me deram todo o apoio necessário de todas as formas possíveis para mais esta realização em nossas vidas. À minha noiva Jaqueline, minha maior companheira, que esteve ao meu lado neste último ano, dando-me todo o apoio, carinho e atenção que precisava. jornada. À minha irmã Cedilane que vivenciou diariamente cada passo desta Não posso esquecer também dos amigos que me acompanharam nesta trajetória, pessoas que viveram grande parte desta etapa comigo. Ao orientador Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos pelo incentivo e confiança, sendo que nunca mediu esforços. Sempre atencioso soube elogiar, criticar e sugerir quando necessário, tendo fundamental importância para a realização deste trabalho. prestigiar nossa pesquisa. Aos membros da banca examinadora que se dispuseram a avaliar e

4 A teoria de equações diferenciais é a disciplina mais importante dentre todas as disciplinas matemáticas Marius Sophus Lie (1842-1899)

5 RESUMO Este Trabalho apresenta algumas aplicações com equações diferenciais, faz uma abordagem histórica sobre seu desenvolvimento nos últimos séculos, enumera alguns dos matemáticos que contribuíram para tal evolução e para a construção de suas definições. A pesquisa apresenta algumas das aplicações das equações diferenciais além de apresentar um estudo sobre tendências de crescimento e decrescimento populacional em três cidades do Estado de Rondônia. Palavras-chaves: Equações Diferenciais. História das Equações Diferenciais. Aplicações das Equações Diferenciais.

6 SUMARIO INTRODUÇÃO...7 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...9 1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...9 1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...11 1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial...14 1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)...14 1.2.3 Resolvendo uma EDO separável...15 1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP)...16 2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...17 2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE NEWTON)...17 2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS...21 2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE MALTHUS)...23 2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em algumas Cidades de Rondônia...26 2.3.1.1 Validação do Modelo...26 2.3.1.2 Ji-Paraná...28 2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste...31 2.3.2 Importância da Pesquisa com os municípios...33 CONSIDERAÇÕES FINAIS...34

7 INTRODUÇÃO No século XVII os matemáticos Izaac Newton (1642-1727) 1 e Gettfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 2 descobriram de forma independente, técnicas de derivação e integração, posteriormente utilizadas para resolver problemas que envolvem derivação, denominadas Equações Diferenciais, o que daria a resposta a vários enigmas envolvendo conhecimentos matemáticos e até então não solucionados, tais como a área de uma superfície plana com suas arestas irregulares. Essa nova proposta matemática foi apreciada por inúmeros estudiosos que desenvolveram teorias que produziram grandes avanços na matemática e inúmeras aplicações, principalmente nas ciências físicas. No grande processo de desenvolvimento social e tecnológico mundial, a matemática considerada por muitos, a mãe de todas as ciências, pois pode ser usada em diversas áreas e com suas inúmeras formas de aplicações, sempre foi uma peça chave, e sempre contribuiu no desenvolvimento de estudos em diversas áreas, ela também está presente em quase todos os momentos das nossas vidas e sem dúvida de vital importância, pois é utilizada em atividades que envolvem desde um simples troco na padaria ou no supermercado, a cálculos complexos como, por exemplo, na construção de um prédio ou de um moderno avião. As Equações Diferenciais é um exemplo de conteúdo matemático que pode ser aplicado em diversas áreas das ciências, como; na Mecânica, na Biologia, na Física, na Química, na Economia, nas diversas áreas das engenharias, entre outras. Nesse contexto, mesmo sendo pouco vista no cotidiano humano, isto em cálculos sumários, ainda assim, estão presentes no dia a dia das pessoas, como por exemplo, a própria função velocidade que é uma simples derivada da função espaço, ou no cálculo de juros compostos. Com isso, essas equações se tornaram uma ferramenta poderosa pelas suas inúmeras formas de aplicação, 1 Nasceu em Woolsthorpe, na Inglaterra, foi educado no Trinity College, em Cambridge, e se tornou professor de Matemática, na cadeira Lucasian. É considerado um dos maiores gênios da humanidade, suas contribuições transcendem o campo da Matemática. Dedicou-se a Ciência da Mecânica e da Óptica. Estudou a lei da inércia de Galileu; teoria das colisões; conservação do momento e muitos outros aspectos que preenchem nosso currículo escolar até hoje (CONTADOR, 2006). 2 Nasceu em Leipzig, na Alemanha, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel. Conhecedor das diversas ciências é considerado o último sábio a conseguir conhecimento universal. Sua contribuição matemática mais significativa, além do cálculo, foi em lógica (BOYER, 2009).

8 podendo ser usadas em cálculos simples bem como em atividades mais complexas e elaboradas. O trabalho busca mostrar como as equações diferenciais foram desenvolvidas ao longo destes três últimos séculos, bem como suas maiores contribuições para o progresso tecnológico mundial. Desta forma, ele está assim dividido; No capítulo 1 é feito um estudo histórico das Equações Diferenciais desde a descoberta do cálculo, destacando alguns de seus principais matemáticos e também trás algumas definições deste conteúdo. No capítulo 2 é feita demonstrações de três aplicações com as Equações Diferenciais e apresentado um estudo feito em três cidades do Estado de Rondônia, usando o Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus.

9 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS De acordo com o PCN O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo (BRASIL, 2001). Com base neste fundamento, a presente pesquisa traz parte do relato histórico das Equações Diferenciais. Os primeiros conceitos de Equações Diferenciais tiveram seu início na Europa com a descoberta do cálculo diferencial e integral no século XVII, conceitos de fundamental importância para a solução de diversos problemas da matemática. Algumas idéias do Cálculo podem ser encontrada nos trabalhos de matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A. C.) e em trabalhos do início do século dezesseis por René Descartes (1569-1650). Pierre de Fermat (1601-1665), Jhon Wallis (1616-1703) e Issac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-171), (LEITHOLD, 1994, V. I e II). O desafio para a descoberta do cálculo era solucionar um problema que instigava os matemáticos entre os séculos XVI e XVII. O problema consistia em encontrar uma equação que descrevesse o movimento de um corpo animado de velocidade variável, acelerado ou desacelerado. Em outras palavras, os contemporâneos de Newton e Leibniz eram incapazes de calcular a velocidade exata do corpo em aceleração num dado instante (CAPRI, 2006, p. 101). Assim, perceberam que podiam resolver o problema usando noções do Cálculo Diferencial. Newton desenvolveu suas teorias mais voltadas para mecânica. Segundo Boyce e Diprima (2006, p. 15), Suas descobertas sobre o cálculo e as leis da mecânica datam de 1665. Elas circulavam privadamente entre seus amigos, mas Newton era muito sensível a críticas e só começou a publicar seus resultados a partir de 1687. Nesse ano surgiu sua obra mais famosa, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Seus estudos contribuíram muito para o aprimoramento das equações diferenciais, dentre eles, a construção das fórmulas das equações diferenciais de primeira ordem como dy/dx=f(x), dx/dy=f(y) e dy/dx=f(x,y) (BOYCE e DIPRIMA, 2006), ele usou esse cálculo para descrever todos os movimentos

10 possíveis de corpos sólidos em termos de um conjunto de equações diferenciais, que posteriormente, foram denominadas de equações do movimento de Newton. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), conhecendo os princípios básicos dessas equações, aprimorou e aperfeiçoou os cálculos de Newton em tal medida que foi capaz de explicar cuidadosamente todos os detalhes que caracterizam os movimentos dos planetas e dos cometas, bem como o fluxo das marés e outros fenômenos relacionados com a gravidade (CAPRA, 2006). Leibniz conseguiu resultados, nessa área, um pouco depois de Newton, mas foi o primeiro a fazer publicações sobre esses estudos, em 1684. Entre suas contribuições nessa área, destacam-se o método de separação de variáveis, redução de equações homogêneas a equações separáveis e procedimentos para resolver equações lineares de primeira ordem, a notação usada até hoje dy/dx e o sinal da integral ( ), são invenções desse brilhante matemático. Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos fenômenos naturais (CAPRA, 2006, p. 104). A partir dessas descobertas, vários matemáticos começaram a usar tais fundamentos para desenvolverem seus estudos, o que cada vez mais ampliou as notações e os conceitos das Equações Diferenciais como forma de aplicação em várias ciências. Entre tais matemáticos, estão os irmãos Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748), que viviam em constantes desafios entre si. Jakob contribuiu com o estudo da equação de Bernoulli que ele, Leibniz e Johann resolveram. Tempos depois, na mesma família, apareceu Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, que também teve destaque com a equação de Bernoulli em mecânica dos fluidos. Também no século XVIII, são destacadas as figuras de Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), entre outros.

11 Os maiores avanços vieram por parte de Leonhard Euler no século XVIII. Este foi aluno de Johann Bernoulli e considerado o maior matemático desta época, ele foi o matemático que mais conseguiu resultados concretos em todos os tempos com mais de 870 trabalhos entre artigos e livros. Suas obras podem completar mais de 70 volumes, além de importantes trabalhos na área de mecânica. Segundo, (Boyer, 2009, p. 313) Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas específicos que aparecem em livros texto de hoje remontam aos grandes tratados que Euler escreveu sobre o Cálculo Institutiones calculi differentialis (Petersburgo, 1755) e Institutiones calculi integralis (Petersburgo, 1768-1770), 3 volumes). Euler foi o primeiro a perceber que conhecida uma solução particular então a substituição transforma a equação de Riccati 3 numa equação diferencial linear em, de modo que fica fácil encontrar uma solução geral. Observou-se que a resolução dessa equação por meio de quadraturas só é possível quando se conhece duas soluções particulares. Outras descobertas também atribuídas a ele são: a teoria dos fatores integrantes; os métodos sistemáticos para resolver equações lineares de ordem superior a coeficientes constantes; e a distinção entre equações homogêneas e não-homogêneas, e entre solução particular e geral (BOYCE e DIPRIMA, p. 15, 2006). 1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Não é possível falar de equações diferenciais sem antes fazer uma breve definição de derivadas. Derivada representa a taxa de variação de uma função. Um exemplo é a função ds velocidade v = que representa uma taxa da função espaço. dt 3 Equação de Riccati é aquela do tipo onde, e designam funções de. A resolução de sua equação foi proposta aos geômetras da época e dela se ocuparam entre outros. Goldbach e os Bernoulli (Abunahman, 1982).

12 Mas em geral, essa taxa pode ser melhor observada através dos gráficos da secante e da tangente de uma equação, onde, sabe-se que uma reta que passa por dois pontos dessa equação é chamada de reta secante (Figura 1), e uma reta que corta apenas um ponto dessa curva é denominada reta tangente (Figura 2). A reta tangente pode ser representada por uma equação denominada derivada. Figura 1: Inclinação da secante ao gráfico de f Figura 2. Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

13 Segundo Leithold (1994, p. 140), a reta tangente pode ser definida da seguinte forma: Suponhamos que a função f seja contínua em x 1. A reta Tangente ao gráfico de f no ponto P( x 1, f( x 1 )) é (i) a reta por P tendo inclinação m( x 1 ), dada por se o limite de x existir; m( x ) = lim 1 f x1 + x f x1 x 0 ( ) ( ), (1) x (ii) a reta x= x 1 se lim + x 0 f ( x1 + x) f ( x1 ) x for + ou (2) lim x 0 f ( x1 + x) f ( x1 ) x for + ou (3) Caso nenhuma das duas definições seja verdadeira, não existirá reta tangente ao gráfico no ponto em questão. Segundo Bronson (1977, p. 01) uma equação diferencial é a que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Pode ser classificada como equação diferencial, a equação matemática onde se procura uma função desconhecida que relaciona uma ou várias variáveis independentes a essa função e suas derivadas de várias ordens. Veja os exemplos a seguir: 2 d x 2 a) y = y + 2 2 b)( ) 2 3 2 y '' + ( y ') + 2y = x dy (4)

14 1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial A ordem de uma equação diferencial equivale à derivada mais alta que nesta aparece, enquanto o grau é definido pela potência que está elevada à derivada que define a ordem da equação. ordem e grau. Veja os exemplos abaixo de algumas equações diferenciais com suas respectivas, primeira ordem e primeiro grau (5), segunda ordem e primeiro grau (6), quarta ordem e terceiro grau (7) 1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Equações Diferenciais Ordinárias é a função que depende de uma única variável ( ) independente, essa função pode ser expressa como y k = y( x), onde x é a variável independente, y é a variável dependente e o valor k representa a ordem da derivada da função. Segundo Zill (2003), Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será denominada e Equação Ordinária. Exemplos: dy = 22 x + 4 dx (8) y" + 2y' + 6y = sin(x) (9)

15 As derivadas ordinárias são escritas de duas formas, a primeira criada por Leibniz, escrita assim dy dx, ou pela notação chamada linha, escrita assim, y, desta forma a equação (14) pode ser representada como sendo; y, = 22x + 4 (10) 1.2.3 Resolvendo uma EDO separável Baseado em alguns princípios, pode-se solucionar uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e primeiro grau. Como por exemplo; dy 3x 1 dx = (11) Da seguinte forma: i) Separar (isolar) as variáveis formando a equação vista em (12) dy = (3x 1) dx (12) ii) Aplicar integral nos dois membros tem-se; dy = (3 x 1) dx (13) iii) A solução desta é vista em (14), onde C 1 e C2 são constantes arbitrária; y + C = 3x x + C (14) 2 2 1 iv) Isolando a variável dependente y, tem-se; 2 y 3x x C1 C2 = + (15)

16 Como C 1 e C2são duas constantes arbitrárias, pode-se concluir que C1 C2 = C, assim a solução final desta equação pode ser vista em (16), onde C é uma constante arbitrária; 2 y 3x x C = + (16) 1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP) Quando a função procurada depende de duas ou mais variáveis independes, ela é denominada Equações Diferenciais Parciais, relacionando essas a uma ou mais funções desconhecidas de ordens e graus variados. Exemplo: 2 2 2 u u u + + 2 2 2 x y z = 0 (17)

17 2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A maioria das descobertas matemáticas ocorreu na tentativa de resolver algum problema aplicado, problemas envolvendo cálculos de áreas, de probabilidade de ganhar ou perder nos jogos de azar, cobrança de juros em transações financeiras, entre outros, que sempre contribuíram para essas descobertas. A matemática em si teria pouco valor caso não fosse suas diversas formas de aplicações, com as equações diferenciais essa realidade não muda, elas são utilizadas para resolver vários tipos de problemas matemáticos que em sua maioria tem suas aplicações. Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial [...] (STEWART, 2007, p. 583, II). Essas formas de aplicações estão espalhadas e sevem como base de estudos de muitas ciências, como na física, demonstradas na Lei de Variação de Temperatura de Newton, na queda de corpos com a resistência do ar ou na própria variação da velocidade. Na Química, cita-se a equação com problemas de diluição, na Economia os problemas envolvendo taxas de juros compostos, na Estatística e na Geografia com o modelo de crescimento e decrescimento Populacional (Modelo de Mauthus), na Biologia utilizando-se do Modelo de Mauthus para estudos do crescimento de outras formas de população, com bactérias, por exemplo, entre outras. 2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE NEWTON) Esta forma de aplicação é ligada diretamente a física, mas cálculos voltados para as leis de temperatura são de grande utilidade em várias outras ciências, alguns exemplos são os utilizados nas engenharias, na variação de temperatura de uma simples xícara de café durante o seu resfriamento ou no derretimento de uma bola de sorvete, ou ainda no processo de resfriamento de um bolo, entre outras aplicabilidades deste modelo.

18 Segundo Bronson (1977, p. 49): A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dt/dt, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como dt/dt=-k(t- Tm) ou como dt/dt + kt = KTm, onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. Com base nesta definição pode-se escrever este modelo da seguinte forma: dt ktm kt dt = (18) Problema 1: De acordo com a lei de arrefecimento 4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30 C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC. Solução: Seja T a temperatura da substância. t o tempo. Tm a Temperatura ambiente temos: E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma: dt dt dt = ktm kt = k( T Tm) (19) dt dt dt dt = k( T 30) = kdt T 30 (20) 4 Arrefecimento: Tornar-se frio; esfriar, Perder ou moderar a energia, o fervor. (FERREIRA, 2001).

19 obtém-se: Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC, dt T 30 80 20 80 20 = k dt ln( T 30) k t 120 = (21) 0 120 0 9 ln 50 ln 90 = 20k 20k = ln 20k = 0,5878 5 (22) Integrando entre os limites T variando de 120 C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos, consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50 C. 50 dt t = k dt ln 20 ln 90 = kt T 30 (23) 120 0 Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se; 9 20kt = 20ln 2 (24) Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se; 9 20ln 2 t = (25) 0, 5878 t =51,1765021 ou aproximadamente 51 min e 11 segundos. Problema 2: Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150 C, passado quatro minutos essa temperatura cai para 90 C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de 30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25 C?

20 Solução: Seja T a temperatura do bolo, Tm a temperatura ambiente e t o tempo, tem-se que: Quando t = 0, T = 150 C, usando a lei de variação de temperatura de Newton, tem-se: dt dt dt = ktm kt = k( T Tm) (26) dt Sabendo que a temperatura ambiente é 25ºC, pode-se reescrever esta equação como a equação vista em (23). Integrando de acordo com os limites de variação, tem-se. dt dt dt = k( T 25) = kdt T 25 (27) dt T 25 90 4 90 4 = k dt ln( T 25) k t 150 = (28) 0 150 0 Assim; 25 ln 65 ln125 = 4k 4k = ln 13 (29) Logo; 4k = 0,754454793, isolando a variável tem-se k = 0,163481617. Como o problema pede o exato momento em que o bolo chegará a temperatura de 30ºC, apenas deve se integrar a equação do PVI, agora com a temperatura variando de 150 C para 30 C e o tempo variando de 0 a t. 30 dt t = k dt ln 5 ln125 = 0,163481617t T 25 (30) 150 0

21 Usando a regra da diferença de logaritmos e isolando t, tem-se; ln 25 t = (31) 0,163481617 Assim conclui-se que t = 19,68 minutos ou 19 min e 41 segundos. 2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS Juros estão presentes em quase todas as transações monetárias e comerciais, tanto no uso das taxas de juros simples bem como nas de juros compostos. Dentre as atividades matemáticas que envolvem aplicações, as que envolvem juros estão entre as formas mais utilizadas. Vale ressaltar que juros são cobrados em transações em todas as partes do planeta e com base nestes princípios este trabalho apresenta um modelo envolvendo juros e equações diferenciais. Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros continua r, permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmar que a taxa de variação do valor depositado (ds) em relação á taxa de variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de juros pelo valor do investimento, dado pela seguinte equação: ds dt = rs (32) Separando as diferenciais tem-se: ds rdt S =, (33) Integrado ambos os membros da equação (33), obtêm-se a equação (34), com solução em (35); ds rdt S = (34)

22 ln S + ln C = rt + ln C (35) 2 1 Colocando os dois membros na base e, e considerando C1 e C 2 constantes arbitrárias, e fazendo lnc 1 -lnc 2 = lnc, tem-se: rt S( t) = Ce, (36) onde C é o valor da aplicação no instante inicial, logo C = S 0. Logo, a equação para juros compostos calculado continuamente é: S ( t) rt = S0e (37) Onde S(t) é o valor aplicado, t é o tempo e r a taxa de rendimento. Problema 1: Uma pessoa deposita R$2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro composto de 10 % ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado? Solução: Valor depositado inicialmente R$2.000,00 logo tem-se que S 0 = 2000, a uma taxa de 10% a.a., durante três anos, logo t = 3, colocando tais dados no modelo para calcular juros contínuos, conclui-se que; S(3) 2000 0,1.3 = e (38) Resolvendo esta equação tem-se que o saldo neste tempo será de R$ 2.699,72.

23 S( t) = 2S. Para calcular o instante em que o saldo será o dobro do valor inicial, usa-se 0 Assim pode se conseguir o tempo em que o valor inicial será o dobro e também o intervalo de tempo em que os valores desta conta dobraram seu valor. Aplicando modelo tem-se: 2S rt 0 = S0e (39) Dividindo os dois membros da equação por S 0, tem-se: rt e = 2 (39) Sabendo que r=0,1 e aplicando logaritmos encontra-se (40); 0,1t ln ln 2 e = (40) Assim tem-se que 0,1t = ln2, logo: ln 2 t = ou t = 6,93 anos. (41) 0,1 2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE MALTHUS) O inglês Thomas Robert Malthus 5 (1766-1834) em uma publicação chamada An Essay on the Principle of Population, as It affects the Future Improvement of Society: with 5 Nasceu em Rookery, na Inglaterra, foi demógrafo e economista, famoso sobretudo pelas suas perspectivas pessimistas, mas muito influentes. (HENRIQUES, 2007).

24 Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet and Other Writers, uma espécie de teoria demográfica publicada em 1978 onde enfatizava dois pontos: (HENRIQUES, 2007). a) A população, se não ocorrem guerras, epidemias, desastres naturais, etc., tenderia a duplicar a cada 25 anos. Ela cresceria, portanto, em progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32...) e constituiria um fator variável, ou seja, que cresceria sem parar. b) O crescimento da produção de alimentos ocorreria apenas em progressão aritmética (2, 4, 6, 8,10...) e possuiria um limite de produção, por depender de um fator fixo: o próprio limite territorial dos continentes. Malthus fez a proposição de que as pessoas deveriam ter filhos apenas quando estas tivessem terras cultiváveis para poder sustentá-los. Porém, no mundo de hoje suas teorias não se concretizaram, a população não dobra a cada 50 anos, e a produção de alimentos é mais que suficiente para alimentar essa população. O que leva as pessoas a passarem fome não é o número de pessoas no planeta, mas devido a outros fatores alheios a esta pesquisa. Porém, com base nessas teorias definiu-se o modelo de crescimento e decrescimento populacional ou Modelo de Malthus. Seja P uma população qualquer, t o tempo onde a razão entre a variação da população (P) e a variação do tempo (t) é proporcional à população atual. Pode-se expressar esta proposição pela seguinte equação: dp = kp dt (42) onde k é uma constante. Dessa forma, pode ser observado que se k é positiva a população crescerá e se k for negativa a população diminuirá (ela pode diminuir por um tempo sem ir para zero). Algumas vezes também é chamada de lei do crescimento natural (se ) ou lei do decaimento natural se ( ) (STEWART, 2007). Assim, este modelo matemático pode ser utilizado em vários fenômenos diferentes.

25 Manipulando o modelo de Malthus apresentado na equação (42) tem-se: dp = kpdt (43) Dividindo os dois lados da equação por P e integrando, tem-se: dp kdt P = (44) ln P + ln C = kt + ln C (45) 2 1 Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias; logo: ln P = kt + ln C, onde ln C = ln C1 ln C2 (46) Colocando os dois lados na base e, tem-se: e ln P kt = Ce (47) Finalmente: P kt = Ce (48) Como isso a equação pode ser da seguinte forma kt P( t) = Pe 0, (49) Onde P 0 é a população inicial.

26 2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em algumas Cidades de Rondônia. Com base nesta aplicação com Equações Diferenciais, esta pesquisa buscou contextualizar este tipo de atividade. Para isso, foi feita uma análise com dados populacionais registrados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE, nos anos de 2001 e 2010, em três cidades do Estado de Rondônia: Porto Velho a capital do Estado de Rondônia, Ji-Paraná e Ouro Preto do Oeste. Vale salientar que os dados referentes ao ano de 2001 são apenas pesquisas amostrais, podendo não representar a realidade, enquanto os dados de 2010 foram coletados pelo senso demográfico, que contou todas as pessoas que ali residiam na época e, portanto, bem mais próximo da população real. Também se utilizou dados de 2005 e 2006 para a cidade de Porto Velho, sendo estes, também feitos por amostragem. É importante ser observado que acontecimentos extraordinários como a alocação de uma indústria ou alguns fenômenos naturais, podem fazer com que a população de um determinado local tenha um crescimento (ou decrescimento) maior ou menor que o apresentado pelo modelo. 2.3.1.1 Validação do Modelo Antes de aplicar tal modelo foi feito um teste usando dados da cidade de Porto Velho, localizada às margens do Rio Madeira, também sendo a cidade com maior faixa territorial e a mais populosa do Estado. Foram usados para isso, dois anos subsequentes 2005 e 2006, os cálculos foram feitos inicialmente para verificar se o crescimento neste período seria condizente com a população no final desta década (2010). Em 2005, segundo o IBGE, a população da Capital era de 373.917 habitantes e em 2006 a população foi para 380.974. (BRASIL, 2011). Considerando que em 2005 o tempo t = 0, e a população inicial de 373917 habitantes, pode-se escrever o modelo da seguinte forma:

27 S( t) 373917 k t. = e (50) Considerando 2006, t = 1 e S(1) = 380.974, tem-se: 380974 = 373917e k.1 (51) Isolando o exponencial em (51) encontra-se (52), aplicando logaritmos em ambos os membros tem-se a equação vista em (53); k 380974 e = (52) 373917 k 380974 ln e = ln (53) 373917 Onde a constante de proporcionalidade k = 0,018697284 Conclui-se que a função que representa o crescimento populacional na cidade de Porto Velho é a seguinte: P 0,018697284 t = 373917e (54) Se o ano de 2005 foi considerado o ano 0 e 2006 o ano 1, então o ano de 2010, será considerado o ano 5 ou t = 5, P 0,018697284.5 = 373917e (55) Ou P = 410559 Com isso, concluímos que em 2010 a população de Porto Velho, de acordo com o modelo, deveria ser de 410559 habitantes. Segundo o senso demográfico de 2010, a população da Capital foi de 410520 habitantes, uma diferença de apenas 39 habitantes ou um

28 percentual de 0,0095% com relação ao cálculo apresentado pelo modelo, logo pode ser dito que o modelo é válido. Problema: Com base no modelo apresentado anteriormente que representa o crescimento populacional na cidade de Porto Velho, qual será aproximadamente a população nesta cidade no ano de 2030? Solução: O modelo obtido anteriormente mostra que o crescimento populacional da cidade de Porto Velho é dado pela equação (54). Considerando 2005 como tempo inicial t = 0, então no ano 2030 teremos t = 25, assim: P 0,018697284.25 ( 25) 373917 e = (56) Sendo possível fazer projeções para a população de Porto Velho em 2030, que será, segundo o modelo, de aproximadamente 596.731 habitantes. 2.3.1.2 Ji-Paraná: Ji-Paraná é a segunda maior em número populacional, sendo também a segunda maior do estado de Rondônia, situada na região central do estado, esta cidade fica as margens do Rio Machado, localizada no eixo da BR 364, a 370 km da Capital. Problema 1: Sabendo que em 2001, a população de Ji-Paraná era de 107.869 habitantes e em 2010 a população passou a ser de 115.593 habitantes. De acordo com o modelo de crescimento e decrescimento populacional de Malthus, qual será a população estimada para esta cidade em 2020?

29 Solução: Considerando que em 2001 o tempo t = 0 e S0 = 107869, e aplicando do Modelo de Malthus, tem-se; S( t) 107869 k t. = e (57) Em 2010, S = 115.593 e t = 1 o que indica uma década, colocando tais dados no modelo de Malthus, tem-se; k k 115593 115593 = 107869e e = (58) 107869 Aplicando logaritmos e isolando a constante k, encontra-se seu valor em (59); k 115593 ln e = ln, logo k = 0,069157873 (59) 107869 O crescimento populacional na cidade de Ji-Paraná pode ser expresso pela seguinte equação; P 0,069157873 t = 107869 e (60) Considerando 2020 a segunda década a partir de 2001, logo t = 2 décadas, então; P 0,069157873.2 = 107869e (61) habitantes. Assim, em 2020 a população da cidade de Ji-Paraná será de aproximadamente 123.870 Problema 2: Seguindo o mesmo modelo, em quanto tempo a população no município de Ji-Paraná será o dobro da população que lá existia no final do ano de 2010?

30 Solução 1: Sabendo que a equação que expressa o crescimento populacional deste município é P( t) 107869 0,069157873t = e e também que a população P(t) em 2010 era de 115.593 habitantes, pode-se fazer: 2x115593 107869 0,069157873t = e (62) Logo: e =, (63) 107869 0,069157873t 231186 Agora aplicando logaritmo nos dois lados da equação tem-se: ln e = ln (64) 107869 0,069157873t 231186 0, 069157873t = 0, 7622305053 (65) Isolando t, tem-se que a população desta cidade será o dobro em relação a 2010 em 11,0227 décadas contadas a partir de 2001 já que foi considerado S(0) sendo a população desta cidade em 2001, no ano de 2010 será uma década a mais, logo deve-se tirar uma década desse tempo, assim; 11,0227-1=10,0227 décadas ou aproximadamente 100 anos e três meses. Solução 2: De acordo com o modelo de Malthus, uma população cresce de Progressão Geométrica, seguindo uma taxa, assim pode-se concluir que o tempo que essa população dobra pode ser aplicado a qualquer época, de forma que se a população inicial é S(0), ela dobrará quando S=2XS(0). Colocando tais dados na equação que representa o crescimento populacional nesta cidade, tem-se;

31 2S 0,069157873 t 0 = S0e (66) Dividindo os membros de (67) por S 0, tem-se: 0,069157873t e = 2 (67) Aplicando logaritmos na equação vista em (67) e isolando t, tem-se; 0,069157873t=ln(2), logo t=10,0227 décadas (68) 2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste Uma das maiores cidades do estado, localizada no eixo da BR 364 à aproximadamente 330 km da capital, e ao contrário da maior parte das cidades do estado de Rondônia, a população deste município diminuiu durante esta década, de 40.836 em 2001 para 37.561 habitantes em 2010. Problema 1: Usando estes dados apresentados aplicados ao modelo de crescimento e decrescimento de Malthus, qual será aproximadamente a população de Ouro Preto do Oeste no ano de 2020? Solução: S(o) = 40836, t = 0, tem-se: S( t) = 40836e kt (69) tem-se; Quando S=37561, t=1, substituindo estes dados no modelo e aplicando logaritmos

32 k.1 k 37561 37561 = 40836e e = (70) 40836 k 37561 ln e = ln k = 0, 083597767 (71) 40836 Logo o decrescimento Populacional em Ouro Preto do Oeste, pode ser expresso pela seguinte equação: P 0,083597767t = 40836e (72) Substituindo t por dois, tem-se; P 0,083597767.2 = 40836e (73) Conclui-se que se a população de Ouro Preto do Oeste continuar a decrescer de acordo com essa taxa, no ano de 2020 ela será de aproximadamente 34.549 habitantes. Problema 2: Caso a população de Ouro Preto continue decrescendo de acordo com a equação anterior, de quanto em quantos anos a população desta cidade será a metade? Solução: Sabe-se que a equação que define o decrescimento populacional da cidade é; P 0,083597767 t = Pe 0, e que o problema consiste em saber o instante (tempo) t em que a P0 população P será a metade da população inicial P 0, isto P = : 2 Aplicando o Modelo tem-se; P 2 0 0,083597767t = P0 e (75)

33 Dividindo os dois membros da equação (75) por P 0, tem-se; 1 2 Aplicando logaritmos obtém-se; 0,083597767 t = e (76) ln 1 2 ln 0,083597767t = e (77) Isolado t, conclui-se que: 1 ln 2 t = (78) 0, 083597767 Ou t = 8,29 décadas ou aproximadamente 80 anos. 2.3.2 Importância da Pesquisa com os Municípios do Estado de Rondônia: Parte da pesquisa foi muito importante para demonstrar ao menos uma praticidade deste conteúdo. Por meio dela conseguiu-se relatar fatos de nossa realidade, que com certeza dará aos leitores deste trabalho, um motivo a mais para se interessarem pelo cálculo diferencial e integral. Com base em um simples modelo, conseguiu-se definir o crescimento ou decrescimento populacional destes municípios em períodos distintos e de forma lógica, um estudo que com certeza tem um valor imprescindível para a sociedade, de maneira que essa possa planejar suas políticas públicas, tendo em mãos dados concretos do comportamento populacional de tais localidades.

34 CONSIDERAÇÕES FINAIS O presente trabalho teve como objetivo, não apenas mostrar o que são as Equações Diferenciais, apresentando uma parte de sua história, desde a descoberta do cálculo diferencial no século XVII, mas apresenta parte dos acontecimentos nos séculos subseqüentes. Nele é definido de forma simples e objetiva o que são estas equações e seus valores, além de apresentar algumas das possíveis aplicações e onde podem ser usadas em nossa realidade. Os resultados alcançados mostraram que como toda a matemática, as Equações Diferenciais nunca perderão seu valor perante a sociedade, visto que sua descoberta foi um dos maiores avanços, tanto para a matemática quanto para o mundo. Seus estudos continuam em pleno desenvolvimento e suas aplicações, sem dúvida, sempre será de grande valor. Uma das formas mais simples das aplicações com Equações Diferenciais é o modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus. Graças a ele, pode-se prever a população das cidades dentro de certo período, o que possibilita aos membros do poder público, traçar metas e políticas que beneficiam toda a população. A pesquisa em questão poderá servir de base para pesquisas em vários campos das ciências. As aplicações das Equações Diferencias poderão ser estudadas e desenvolvidas em qualquer área do conhecimento. O mundo é o que vemos hoje, graças aos grandes matemáticos que dedicaram suas vidas a estudos e pesquisas, tal determinação sempre gerou grandes descobertas e devem ser reconhecidas e apreciadas, pois desde a antiguidade o homem fez e continua fazendo várias descobertas de aplicações de conteúdos matemáticos nas mais variadas áreas, as Equações Diferenciais alavancaram o desenvolvimento humano com suas importantes aplicações.

35 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: LTC, 1982. BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei n. 9394 de 20 de dezembro de 1996. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC/SEF, 1997. BRONSON, Richard. Moderna Introdução as Equações Diferenciais. 3 ed. São Paulo: Makron Books, 1977. BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. BOYCE, Willian E; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Tradução: Váleria de Magalhães Iorio. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. CAPRI, Fritjof. A teia da vida: uma nova compreensão científica dos sistemas vivos. São Paulo: Cultrix, 2006. CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve historia. Vol. II. 2 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini Aurélio Século XXI, Escolar: o minidicionário da língua portuguesa. 4ª ed. rev. e ampliada. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira, 2001. HENRIQUES, Abel. Thomas Robert Malthus: A Teoria Malthusiana. Coimbra, Portugal. Instituto Politécnico de Coimbra, 2007. Disponível em <http://www.miniweb.com.br/ ciencias/artigos/thomas_robert_malthus.pdf>, aceeso em 20 de abril 2010. IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Rio de Janeiro, 2011. Disponível em <www.ibge.br>. Acesso em 05 de março de 2011. LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. Vol. I. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. Vol. II. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. STEWART, James. Cálculo. Tradução: Antonio Carlos Moretti; Antonio Carlos Gilli Martins. Vol. II, 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007. ZILL, Dennis G. Equacões Diferenciais com Aplicações em Modelagem. São Paulo: Thomson Learning, 2003.

36 REFERÊNCIAS CONSULTADAS ANTON, H.; BIVENS, I.C.; DAVIS, S. Cálculo. Vol II. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2005. AYRES, Frank. Equações Deferências: Resumo da teoria, 560 problemas resolvidos, 509 problemas propostos. Tradução: José Rodrigues de Carvalho. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1994. CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Tradução: Lázaro Coutinho. 2 ed. Rio de Janeiro: Ciências Moderna, 2007.