Análise de Registros Escritos de Professores da Educação Básica em Questões Não-rotineiras de Matemática. Pamela Emanueli Alves Ferreira 1 Profª Drª Regina Luzia Corio de Buriasco 2 INTRODUÇÃO Embora pareça antiquado o discurso de que a avaliação tem servido como meio de exclusão, é preciso reconhecer que, lamentavelmente, a prática avaliativa ainda tem servido em muitos casos para este fim. A prática de exclusão suscita uma série de questões sobre os papéis da avaliação na aprendizagem escolar que, felizmente, já estão bem discutidos na literatura (HADJI, 1994; LUCKESI, 1996; CURY, 1996, 2006; HEUVEL, 1996; GIMENEZ, 1997; SACRISTÁN, 1998; BURIASCO 1999, 2000, 2002; ESTEBAN 2002, 2003; BARLOW, 2006). Entretanto, como os estudos sobre avaliação têm avançado, novas questões surgem e servem de motivo para investigação. Neste trabalho, procuramos oferecer algum subsídio para uma diminuição dos caracteres classificatório, simplista e reducionista que têm sido comumente atribuídos à avaliação escolar. Por este motivo, é que assumimos a perspectiva da avaliação enquanto prática de investigação. Tendo em vista que a prova escrita é um dos instrumentos mais utilizados como meio de avaliação é que o GEPEMA 3 tem se dedicado à análise da produção escrita de estudantes e professores, porque considera que a análise dos registros escritos é uma importante ferramenta de investigação por meio da qual se pode obter informações sobre os processos de ensino e aprendizagem. Os estudos desse grupo de pesquisa têm abordado como estudantes e professores lidam com questões de matemática em situação de 1 Estudante do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina, bolsista da CAPES. 2 Docente do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina. 3 GEPEMA - Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação - Universidade Estadual de Londrina.
2 avaliação, quais são os erros e acertos mais freqüentes, que conteúdos matemáticos escolares mostram saber, quais estratégias e procedimentos mais utilizam, que interpretação fazem do enunciado. Uma vez que, é possível inferir de que modo estudantes e professores lidam com questões rotineiras 4 de matemática (NAGY-SILVA, 2005; PEREGO, 2005, OLIVEIRA, 2005, PEREGO, 2006; NEGRÃO DE LIMA, 2006; ALVES, 2006; DALTO, 2007; VIOLA DOS SANTOS, 2007), buscamos agora, no GEPEMA, inferir sobre como lidam com questões consideradas não-rotineiras 2. Recentemente duas participantes do GEPEMA (SANTOS, 2008 e CELESTE, 2008) estudaram a produção escrita de estudantes da Educação Básica de uma escola pública, na resolução de questões não-rotineiras de matemática. Neste trabalho nos propusemos a estudar como professores da Educação Básica lidam com as mesmas questões. Essas questões fizeram parte de provas de aferição do PISA 5 (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes) e foram escolhidas para esses estudos unicamente pelo fato de serem consideradas não-rotineiras, já validadas, pois fazem parte de uma avaliação já realizada. Vale ressaltar que este estudo não tem a finalidade de utilizar os documentos do PISA como embasamento teórico e, nem mesmo, criticar o trabalho feito por esse programa. Neste trabalho temos como objetivo geral investigar de que modo professores que ensinam matemática na Educação Básica lidam com questões não-rotineiras de matemática em situação de avaliação, bem como oferecer subsídios para uma avaliação enquanto prática de investigação. Os objetivos específicos são: identificar e inventariar as estratégias e procedimentos utilizados nas resoluções apresentadas pelos professores participantes; estabelecer relações entre as resoluções apresentadas e as informações do enunciado; buscar alguma relação entre as estratégias/procedimentos utilizados por professores e estudantes da Educação Básica. Pressupostos Preliminares - Avaliação enquanto prática de investigação 4 Entendemos como rotineiras as questões que são freqüentes nas salas de aula e nos livros didáticos e nãorotineiras, aquelas que são muito pouco ou quase nunca freqüentes nas salas de aula e nos livros didáticos (BURIASCO, 1999). 5 Maiores informações sobre o PISA podem ser encontradas nos sites http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/novo/ ; http://www.oecd.org ; http://www.pisa.oecd.org/
3 A avaliação enquanto prática de investigação se mostra como uma alternativa por meio da qual se pode buscar informações sobre como o sujeito mobiliza seu repertório na produção de outros conhecimentos. Nesta perspectiva de avaliação, a investigação tende a fornecer informações sobre os processos de produção de conhecimento tanto do professor, quanto do estudante. De acordo com Esteban (2003), o professor ao avaliar é avaliado, coloca-se em contato com um movimento de permanente produção de conhecimento e desconhecimento, ao investigar percursos peculiares de seus alunos e, sabe que confronta também os seus próprios conhecimentos e desconhecimentos. A avaliação, que acreditamos necessária, deve contribuir com a formação dos estudantes, de modo a ser tomada como uma orientação para a sua aprendizagem, e não como uma meta, um fim a ser alcançado. Os problemas propostos, em qualquer situação, seja avaliativa ou não, devem estimulá-los a pensar, a refletir, a criticar, a levantar hipóteses, a compreender e a correlacionar conteúdos. Assim, a avaliação da aprendizagem escolar deve interpor os processos de ensino e aprendizagem e por isso não pode ser feita de modo que apenas classifique estudantes. Por conseguinte, diferente [...]da avaliação na perspectiva da classificação, a avaliação como prática de investigação se configura pelo reconhecimento dos múltiplos saberes, lógicas e valores que permeiam a tessitura do conhecimento. Neste sentido, a avaliação vai sendo constituída como um processo que indaga os resultados apresentados, os trajetos percorridos, os percursos previstos, as relações estabelecidas entre pessoas, saberes, informações, fatos, contextos. (ESTEBAN, 2002, pg. 11). Assumir a avaliação da aprendizagem escolar enquanto prática de investigação implica em colocar-se numa postura investigativa, não limitar-se às dicotomizações, questionar-se sobre os modos de pensar dos estudantes. Segundo Buriasco (2004) ao analisar uma produção escrita, mantém-se um diálogo com as respostas dadas, indaga-se sobre sua configuração, procura-se encontrar quais relações que as constituem. A produção escrita não deixa de ser uma forma de comunicação, e como tal, deve receber atenção especial por parte dos professores uma vez que, muitas vezes, este é o único meio de diálogo existente entre eles. Além da análise da produção escrita contribuir para um pensar sobre a produção individual do estudante, ela pode servir também para um olhar mais amplo a respeito de um conjunto de produções que apresentam características comuns. Alguns trabalhos têm sido feitos nesta perspectiva (BURIASCO, 1999, 2004; NAGY-SILVA, 2005; PEREGO, 2005; SEGURA, 2005; PEREGO, 2006; NEGRÃO DE LIMA, 2006; ALVES, 2006; DALTO, 2007; VIOLA DOS SANTOS, 2007; CELESTE, 2008; SANTOS, 2008).
4 Uma alternativa para que a produção escrita do estudante sirva como uma rica fonte de investigação é proporcionar problemas com os quais os estudantes sintam-se intimamente atraídos, motivados a resolvê-los. De acordo com Heuvel-Panhuizen (2005), os problemas devem ser acessíveis, convidativos, que valham a pena resolver. Questões abertas podem oferecer possibilidades para que a análise da produção escrita enquanto prática de investigação possa ser mais bem realizada, e ainda de acordo com Heuvel- Panhuizen (2005) se a intenção for ter uma visão mais detalhada da atividade matemática dos estudantes os problemas devem ser tão visíveis quanto possíveis de resolver (p.3). Apesar de a alternativa apresentada ser válida, reconhecemos que uma das maiores dificuldades na sala de aula é fazer com que os estudantes se envolvam com os problemas e situações proporcionadas pelos professores. Acreditamos que a falta de envolvimento possa ocorrer porque muitas das tarefas propostas pelos professores advêm dos livros didáticos que, muitas vezes, apresentam situações artificiais que envolvem matemática e quase sempre ficam restritas a um único conteúdo. Com isso, dificilmente os estudantes conseguem estabelecer relações entre o que aprendem na escola com o que podem fazer fora dela, uma vez que o conteúdo matemático parece ser aplicado somente às situações propostas nos livros didáticos. De acordo com Heuvel-Panhuizen (1996) assim como a matemática surgiu a partir da matematização da realidade, do mesmo modo, aprender matemática deve ter origem em matematizar a realidade. A matematização é um processo no qual os estudantes se envolvem ao re-produzir/construir conceitos matemáticos formais por meio de estratégias e procedimentos, advindos de suas experiências, conhecimentos (ZULKARDI, 1999). O conceito de matematização foi inicialmente introduzido por Freudenthal (1968) e mais tarde reformulado por Treffers (1978) que o apresenta como matematização horizontal e matematização vertical na matematização horizontal, os alunos são confrontados com ferramentas matemática que podem ajudar a organizar e resolver um problema localizado em uma situação da vida real. Matematização vertical é o processo de reorganização dentro do próprio sistema matemático, como, por exemplo, encontrar atalhos e descobrir as ligações entre os conceitos e estratégias, e depois aplicar essas descobertas (TREFFERS, 1978, apud HEUVEL-PANHUIZEN, 1998, p. 3, tradução nossa). Segundo Freudenthal (1991) os dois conceitos não são totalmente distintos, embora a matematização horizontal envolva a ida do mundo real ao mundo dos símbolos e a
5 matematização vertical envolva o movimento no mundo dos símbolos, não significa que há um ponto de corte claro que promova a distinção entre os dois mundos. Ele ainda salienta ainda que as duas formas de matematização são de igual valor. Os resultados das pesquisas do GEPEMA têm mostrado que estudantes e professores mostram saber lidar com a matemática envolvida em questões rotineiras, entretanto, revelam também que a maior dificuldade que estudantes e professores apresentam parece estar atrelada à interpretação que fazem questão. Uma hipótese para esta ocorrência é a de que a matemática trabalhada nas escolas possibilita aos estudantes muito mais sucesso nos processos de matematização vertical do que na matematização horizontal. Sobre a trajetória Tendo em conta que o presente estudo tem como objetivo investigar de que forma professores que ensinam matemática na Educação Básica lidam com questões nãorotineiras de matemática por meio de seus registros escritos, optou-se por fazer uma pesquisa predominantemente qualitativa de cunho interpretativo, com base numa análise textual discursiva. Segundo Moraes e Galiazzi (2006) a análise textual discursiva é uma abordagem de análise de dados que transita entre duas formas consagradas de análise na pesquisa qualitativa que são a análise de conteúdo e a análise de discurso (p.118). Como o objetivo é analisar a produção escrita de professores da Educação Básica, utilizamos uma prova composta por questões não-rotineiras de matemática como instrumento de recolha de dados. Esta prova foi constituída por 25 itens distribuídos em 14 questões. Na primeira etapa do estudo resolvemos todas as questões da prova e fizemos um levantamento das impressões que tivemos de cada item, dos argumentos matemáticos que moveram nossa resolução, de possíveis erros, de possibilidades de estratégia de resolução. Com isso, criamos para cada item os critérios de correção, descrição e classificação das resoluções. Com base nestes critérios fizemos uma correção horizontal das provas, ou seja, corrigimos o primeiro item de todas as provas, depois corrigimos o segundo item de todas as provas, o terceiro e assim por diante. Na medida em que fazíamos a leitura e a correção das questões registrávamos a descrição das diferentes resoluções de cada item. Na segunda etapa, estamos na busca de classificar as resoluções presentes na produção escrita dos participantes quanto às estratégias e procedimentos utilizados. A
6 partir dessa etapa, buscar-se-á investigar com que freqüência essas estratégias utilizadas ocorrem e com isso poderão ser construídas categorias para enquadrar os diversos tipos de resoluções com as quais pretendemos inferir sobre as estratégias que os participantes da pesquisa utilizaram na resolução das questões, estabelecer relações entre as resoluções apresentadas e as informações do enunciado, identificar a estrutura matemática presente nas resoluções. Alguma análise preliminar Para exposição do trabalho que tem sido realizado até agora apresentaremos uma parte da análise de uma das questões da prova aplicada. Questão - Apoio ao Presidente Na Zedelândia, foram realizadas pesquisas de opinião para se avaliar a popularidade do Presidente, tendo em vista as próximas eleições. Quatro editores de jornais realizaram pesquisas independentes, em âmbito nacional. Os resultados das quatro pesquisas estão apresentados abaixo: Jornal 1: 36,5% (pesquisa realizada em 6 de janeiro, com uma amostra de 500 cidadãos com direito a voto, selecionados ao acaso); Jornal 2: 41,0% (pesquisa realizada em 20 de janeiro, com uma amostra de 500 cidadãos com direito a voto, selecionados ao acaso); Jornal 3: 39,0% (pesquisa realizada em 20 de janeiro com uma amostra de 1000 cidadãos com direito a voto, selecionados ao acaso); Jornal 4: 44,5% (pesquisa realizada em 20 de janeiro, com 1000 leitores do jornal que telefonaram para a redação a fim de votar). Que jornal forneceria o resultado mais provável, para se prever o nível de apoio ao presidente se a eleição fosse realizada em 25 de janeiro? Dê duas explicações que justifiquem a sua resposta. Primeiramente constatamos que a questão faz duas exigências. A primeira apontar qual dos quatro jornais forneceria o resultado mais provável, neste caso supostamente existem quatro possibilidades de resposta. A segunda exigência da questão é que o sujeito apresente duas explicações que justifiquem as resposta dada. Da leitura e estudo do enunciado levantamos algumas explicações que poderiam justificar o fato de um dos jornais fornecer o resultado mais provável (seleção da amostra ser ao acaso, entrevista ser feitas com cidadãos com direito a voto, a amostra ser maior e a pesquisa ser mais próxima à eleição). No caso desta questão, chamaremos de argumento a justificativa pedida pela questão que deve ser formada por duas explicações, seguida da conclusão que é o
7 apontamento de um dos quatro jornais. A seguir, temos 4 explicações que chamaremos de premissas, que podem servir para a produção de um argumento válido na resolução da questão: P1 Seleção da amostra é ao acaso (se aplica aos jornais 1, 2 e 3); P2 foram entrevistados somente cidadãos com direito a voto (se aplica aos jornais 1, 2 e 3); P3 a amostra é maior (se aplica aos jornais 3 e 4); P4 a pesquisa é mais próxima à eleição (se aplica aos jornais 2, 3 e 4). É preciso considerar que no caso de uma pesquisa eleitoral nacional as premissas P1 e P3 são consideradas como explicações válidas na produção de um argumento. Em outros tipos de pesquisa pode ser que elas não sejam. Para a correção da produção escrita dos professores atribuímos crédito completo à produção que apresenta um argumento válido, ou seja, que aponta o Jornal 3 como sendo o fornecedor do resultado mais provável seguido de duas ou mais premissas que fundamentem o fato dele ser o único. Atribuímos crédito parcial à produção que aponta o Jornal 3, mas que, entretanto: se fundamenta em apenas umas das premissas; se fundamenta em duas premissas que não excluem a possibilidade de outro jornal ser considerado como fornecedor de um resultado provável; se fundamenta em outras explicações 6. Atribuímos nenhum crédito à produção escrita que aponta os Jornais 1, 2 ou 4, como sendo os fornecedores do resultado mais provável, seguido de premissas ou explicações. A partir desta correção compusemos a seguinte tabela. Tabela 1: Distribuição dos créditos atribuídos às resoluções dos professores por grupo na questão APOIO AO PRESIDENTE Créditos atribuídos Crédito Crédito Total da Nenhum Crédito Grupo Completo Parcial Amostra Código 2 Código 1 Código 0 Código 9 N % N % N % N % N % G1 7 10 47,62 5 23,81 6 28,57 0 0 21 56,76 G2 9 56,25 3 18,75 3 18,75 1 6,25 16 43,24 Total da Amostra 19 51,35 8 21,62 9 24,32 1 2,70 37 100,00 6 Chamamos de outras explicações as justificativas que não dizem respeito às premissas levantadas. 7 A prova foi aplicada em dois grupos de professores no ano de 2007. O primeiro grupo (G1) foi formado por 21 professores matriculados no curso de Especialização em Educação Matemática da UEL na turma do ano de 2007 e o segundo grupo (G2) formado por 16 professores participantes do projeto de extensão Pró-Mat.
8 Por meio da análise da produção escrita dos professores foi possível identificar que a maioria deles utilizou-se das premissas que levantamos anteriormente. Com isso conseguimos compor um agrupamento, dos diferentes argumentos que os professores utilizaram, apresentado a seguir. Quadro 1 Agrupamento por estratégia. Grupo Premissas utilizadas Conclusão E1 P1 e P3 Jornal 3 E2 P1, P3 e P4 Jornal 3 E3 P2 e P3 Jornal 3 E4 P1, P2 e P3 Jornal 3 E5 P2, P3 e P4 Jornal 3 E6 P3 e P4 Jornal 3 E7 P3 e P4 Jornal 4 E8 P1 Jornal 3 E9 P3 Jornal 3 E10 P3 Jornal 4 E11 P4 Jornal 2 E12 Não utiliza nenhuma das premissas. Jornal 1 Estratégia mais provável. Justifica que a seleção da amostra é ao acaso e que a amostra é maior. mais provável. Justifica que a seleção da amostra é ao acaso, que a amostra é maior e que a pesquisa é mais próxima à eleição. mais provável. Justifica que os eleitores participantes da pesquisa possuem direito a voto e que a amostra é maior. mais provável. Justifica que a seleção da amostra é ao acaso, que os eleitores participantes da pesquisa possuem direito a voto e que a amostra selecionada é maior. mais provável. Justifica que participantes da pesquisa possuem direito a voto, que a amostra é maior e que a pesquisa é mais próxima à eleição. mais provável. Justifica que a amostra é maior e que a pesquisa é mais próxima à eleição. Responde que o Jornal 4 forneceria o resultado mais provável. Justifica que a pesquisa é mais próxima à eleição e que a amostra é maior. mais provável. Justifica que a seleção da amostra é ao acaso e que o percentual de pessoas é maior do que nos jornais 1 e 2. mais provável. Justifica que a amostra é maior e que 39% dos votos já seriam 390 pessoas votantes. Responde que o Jornal 4 forneceria o resultado mais provável. Justifica que a amostra é maior e que os eleitores telefonaram por vontade de própria. Responde que o Jornal 2 forneceria o resultado mais provável. Justifica que a pesquisa é mais próxima à eleição e que é possível comparar o Jornal 2 ao Jornal 1, pois a quantidade de eleitores é a mesma. Responde que o Jornal 1 forneceria o resultado mais provável. Faz algumas considerações não fundamentadas nas premissas. Quantidade. de Produções 07 06 02 04 04
9 E13 E14 E15 Não utiliza nenhuma das premissas. Não utiliza nenhuma das premissas. Não utiliza nenhuma das premissas. Jornal 2 Jornal 4 Jornal 2 e 4 Responde que o Jornal 2 forneceria o resultado mais provável. Faz algumas considerações não fundamentadas nas premissas. Responde que o Jornal 2 forneceria o resultado mais provável. Faz algumas considerações não fundamentadas nas premissas. Responde que tanto o Jornal 2 quanto o Jornal 4 forneceriam o resultado mais provável. Faz algumas considerações não fundamentadas nas premissas. 03 O argumento utilizado pelos professores reflete a estratégia utilizada por eles para responder à questão, porém são vários os modos como encaminharam suas resoluções. A partir das produções escritas presentes em cada grupo pretendemos discutir quais foram as premissas utilizadas em suas justificativas e conclusão, de que forma os professores encaminharam seus argumentos, o que pode revelar as explicações dadas por eles, sobre as relações existentes entre a produção escrita apresentada e as informações do enunciado. Esta é a etapa em que nos encontramos atualmente.
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALVES, R. M. F. Estudo da produção escrita de alunos do Ensino Médio em questões de matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina. 2006. BARLOW, M.. Avaliação escolar: mitos e realidades. Porto Alegre: Artmed, 2006. BURIASCO, R. L. C. de. Avaliação em Matemática: um estudo das respostas de alunos e professores. Tese. (Doutorado em Educação). Marília. Universidade Estadual Paulista, 1999.. Algumas considerações sobre avaliação educacional. Estudos em Avaliação Educacional. Fundação Carlos Chagas, São Paulo, n.22, p.155-177, jul/dez. 2000.. Sobre Avaliação em Matemática: uma reflexão. Educação em Revista. Belo Horizonte, n.36, Dezembro, p. 255-263, 2002.. Análise da Produção Escrita: a busca do conhecimento escondido. In: ROMANOWSKI, J. P. et all (orgs.). Conhecimento Local e Conhecimento Universal: a aula e os campos do conhecimento. Curitiba: Champagnat, 2004. CELESTE, L. B.. A Produção Escrita de alunos do Ensino Fundamental em questões de matemática do PISA. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2008. CURY, H. N..Concepções sobre matemática e práticas avaliativas: as possíveis relações. Estudos em Avaliação Educacional, São Paulo, n. 14, p. 65-82, 1996.. A análise de erros na construção do saber matemático. In: Jornada Regional de Educação Matemática, 14., 2006, Passo Fundo, Anais... Passo Fundo: UPF, 2006. 1 CD-ROM. DALTO, J. O.. A produção escrita em matemática: análise interpretativa da questão discursiva de matemática comum à 8ª série do ensino fundamental e a 3ª série do ensino médio da AVA/2002 Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2007. ESTEBAN, M. T. O que sabe quem erra? Reflexões sobre avaliação e fracasso escolar. 3ª ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2002.. (Org.). Escola, currículo e avaliação. 1. ed. São Paulo: Cortez, v. 1, 2003. FREUDENTAL, H. Revisiting Mathematics Education. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 1991. GIMÉNEZ, J. La evaluación en matemáticas: una integración de perspectivas. Madrid: Sínteses, 1997. HADJI, C. A Avaliação, Regras do jogo. Das intenções aos Instrumentos. 4. ed. Portugal: Porto, 1994.
11 HEUVEL-PANHUIZEN, M. V. D. Assessment and Realistic Mathematics Education. Utrecht: CD-ß Press/Freudenthal Institute, Utrecht University. 1996.. Realistic Mathematics Education: work in progress. In T. Breiteig and G. Brekke (Eds.), Theory into practice in mathematics education. Kristiansand, Norway: Faculty of Mathematics and Sciences / Hogskolen I Agder, 1998.. The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the Learning Mathematics, v 25, n 2, p.2-9, 2005. LUCKESI, C. C.. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e posições. 3.ed. São Paulo: Cortez, 1996. MORAES, R.; GALIAZZI, M. do C.. Análise textual discursiva: processo construído de múltiplas faces. Ciência & Educação, v.12, n.1, p.117-128, 2006. NAGY-SILVA, M. C. Do Observável ao Oculto: um estudo da produção escrita de alunos da 4ª série em questões de matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2005. NEGRÃO de LIMA. R. C. Avaliação em Matemática: análise da produção escrita de alunos da 4ª série do Ensino Fundamental em questões discursivas. Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade Estadual de Londrina, 2006. PEREGO, F. O que a produção escrita pode revelar? Uma análise de questões de matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2006. PEREGO, S. C. Questões Abertas de Matemática: um estudo de registros escritos. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2005. SACRISTÁN, J. G. A avaliação no ensino. In: Sacristán, J. G; A.I.P. Compreender e transformar o ensino. 4. ed. Porto Alegre-RS: Artmed, 1998. cap.10, p.295-351. SANTOS, E. R. dos. Estudo da Produção Escrita de Estudantes do Ensino Médio em Questões Discursivas Não Rotineiras de Matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2008. SEGURA, R. O. Estudo da Produção Escrita de Professores em Questões discursivas de Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade Estadual de Londrina, 2005. VIOLA DOS SANTOS, J. R. O que alunos da escola básica mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, 2007. ZULKARDI, Z.. How to design lessons based on the realistic approach. University of Twente, 1999. Disponível em: <http://www.geocities.com/ratuilma/rme.htmltuilma/rme.html>.