Decaimento α Wednesday 12 May 2010 at 3:46 pm Versão para impressão Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor. O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. O decaimento mais comum por partículas pesadas é o decaimento α. Sendo um núcleo qualquer de massa A e número atômico Z, podemos representar esse decaimento através da reação: Como vimos, esse decaimento pode ocorrer quando o valor-q da reação é positivo. Em termos de massa isso significa: Um fator importante que torna o decaimento α extremamente significativo é a elevada energia de ligação dessa partícula. Essa elevada energia de ligação faz com que a massa da partícula α seja bem menor que a soma das massas dos seus constituintes, favorecendo os valores-q positivos. Por exemplo, na figura 1 mostramos um quadro no qual calcula-se o valor-q para vários decaimentos possíveis do 239 Pu. Note que, exceto para partículas α, todos os canais de decaimento (próton, nêutron, dêuteron, etc.) possuem valores-q negativos. (1) (2) Figura 1 - Valores-Q de possíveis decaimento do 239 Pu. O decaimento α é comum em núcleos pesados, como vimos no início dessa disciplina. Apesar disso, a massa da partícula α pode ser significativa comparada à massa do núcleo mãe e, assim, devemos considerar o provável recuo do resíduo após a emissão da partícula α. Supondo que o núcleo X em (1) esteja inicialmente em repouso, o valor-q da reação é dado pela soma das energias cinéticas finais das partículas, ou seja: http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 1/7
(3) Através da conservação de momento linear: Podemos chegar facilmente que a energia cinética dos núcleos filhos são: (4) (5) e (6) A partir de (5) e (6) podemos concluir que a energia de uma partícula α emitida por um núcleo é única, dependendo apenas do valor-q da reação e das massas envolvidas. Contudo, medidas muito cuidadosas mostram que, em alguns casos, observa-se a emissão de partículas α com mais de uma energia (ver exercício), confirmando, mais uma vez, a presença de estrutura de níveis de energia nucleares. Nesse caso, o decaimento ocorre para um nível excitado do núcleo filho. Como o núcleo filho encontra-se excitado, normalmente esses decaimentos são acompanhados pela emissão de um fóton de baixa energia, conduzindo o núcleo filho ao seu estado fundamental. Há um número enorme de emissores α na natureza. Medidas de meias-vidas desses núcleos mostram uma forte relação com a energia da partícula α emitida, como mostra a figura 2. Como podemos ver nessa figura, essa dependência é extrema e faz a meia-vida mudar de 20 ordens de grandeza alterando a energia da partícula α de um fator 2 apenas. Como essas são as duas grandezas principais na caracterização de um emissor α, qualquer formulação teórica que tente descrever esse decaimento deve ser capaz de explicar, mesmo que qualitativamente, essa forte dependência entre essas grandezas. Figura 2 - Meia vida de decaimentos α em função da energia do valor-q do decaimento. Em 1928 Gamow e, de forma independente, Condon e Gurney, formularam uma teoria para explicar a http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 2/7
emissão de partículas α pelo núcleo. Essa teoria, surpreendentemente simples, é capaz de descrever razoavelmente essas observações experimentais. A teoria baseia-se na hipótese de que o decaimento α consiste simplesmente em um problema de tunelamento quântico de uma partícula em uma barreira de potencial. Nesse caso, faz-se a hipótese de que a partícula α encontra-se pré-formada no interior do núcleo e que o potencial de interação é aquele resultante da interação entre essa partícula e o restante dos nucleons. Apesar do sucesso dessa teoria, não podemos utilizá-la como evidência de que partículas α estão realmente pré-formadas no interior do núcleo. Contudo, essa hipótese é tão forte que modelos atuais para estrutura interna de muitos núcleos "multiplo-α", tais como 12 C, 24 Mg, etc., supõem que os mesmos podem ser tratados como estados moleculares de partículas α. Assim, explicar o decaimento α consiste em: 1. Encontrar o potencial de interação entre a partícula α e o núcleo residual; 2. Calcular a probabilidade de tunelamento dessa partícula por esse potencial. Vamos inicialmente recordar a probabilidade de tunelamento (coeficiente de transmissão) de uma partícula por uma barreira de potencial, como a mostrada na figura 3. Figura 3 - Esquema de penetração em uma barreira de potencial. Tomemos uma partícula de massa e energia incidindo sobre uma barreira de potencial, uniforme, de largura. Esse é um problema simples de condições de contorno unidimensionais cujo coeficiente de transmissão pode ser calculado como: (7) com: (8) Caso o comprimento de onda da partícula barreira, ou seja, no limite em que, no interior da barreira, seja muito menor que a largura da, podemos simplificar (7) para: http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 3/7 (9)
Sendo, constante. O resultado em (9) será utilizado para calcular a probabilidade de decaimento por emissão α em um potencial mais realista. O modelo proposto por Gamow e Gurney e Condon supunham uma forma bastante simples para esse potencial. Nesse modelo, o potencial nuclear é tratado como um poço quadrado finito de profundidade enquanto o potencial coulombiano não é considerado no interior do núcleo. Um esquema desse potencial é mostrado na figura 4. A energia liberada no decaimento é o valor-q da reação correspondente. No interior do núcleo a partícula α pode se mover com energia cinética. A barreira de potencial, nesse caso, segue uma função, coulombiana. Figura 4 - Modelo de potencial utilizado para estudo de decaimento α. A largura total da barreira a ser penetrada pela partícula α depende do valor-q e pode ser facilmente calculada. Define-se dois pontos nessa barreira. O ponto ( no gráfico mostrado na figura 4) corresponde à superfície do núcleo, no qual o potencial nuclear deixa de atuar sobre a partícula e o potencial coulombiano inicia sua atuação. O ponto é aquele no qual a partícula α escapa do núcleo e pode ser calculado igualando o valor-q ao potencial coulombiano. Os valores de e são, portanto: e (10) Sabemos que a probabilidade de decaimento de um núcleo em um intervalo de tempo é dado pelo produto da constante de decaimento e esse intervalo, ou seja,. Essa probabilidade, segundo o modelo de emissão α, pode ser dada pelo produto da probabilidade de tunelamento pela barreira de potencial e a probabilidade da partícula α incidir nessa barreira. Essa última pode ser estimada classicamente como sendo o produto entre a frequência na qual a partícula incide na barreira e o intervalo de tempo considerado, ou seja: (11) A frequência na qual a partícula α incide na barreira pode ser estimada como sendo velocidade da partícula. Assim, temos:, sendo a (12) http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 4/7
O cálculo do coeficiente de transmissão pelo potencial da figura 4 pode ser feito de forma muito simples. Podemos tratar o potencial como sendo composto de sucessivas barreiras retangulares de largura muito pequena,, e amplitude dada por uma função, como esquematizado na figura 5. Figura 5 - Divisão de uma barreira arbitrária em múltiplas barreiras retangulares. Nesse caso, o coeficiente de transmissão total é dado pelo produto dos coeficientes de transmissão individuais, ou seja: (13) Onde é dado a partir de (9), ou seja: (14) O produtório de exponenciais em (13) torna-se uma exponencial de uma soma. Pode-se mostrar, utilizando o formalismo WKB (ver leitura recomendada) que a constante resultante da multiplicação de todos é da ordem de 1. No limite em que torna-se pequeno, essa soma é substituida por uma integral. Nesse caso, o coeficiente de transmissão é dado por: (15) onde (16) Esse fator é chamado de fator de Gamow e pode ser facilmente calculado se o potencial é puramente coulombiano. Tomando que a energia da partícula é o valor-q da reação: (17) sendo: (18) http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 5/7
e (19) com, chamada de barreira coulombiana, dada pelo potencial coulombiano no ponto, ou seja: (20) Substituindo (15) em (12) e calculando a velocidade da partícula α utilizando (3), porém desprezando o recuo do núcleo filho, podemos chegar a: (21) A figura 6 mostra dados de meia vida de vários isótopos do Tório em função do valor-q do decaimento α. Comparamos os dados com cálculos obtidos a partir de (21) para três valores de. Note que uma pequena alteração em pode alterar o cálculo da vida média por uma ordem de grandeza. Por conta disso, medidas de meias vidas de decaimentos α são utilizadas para medidas de tamanhos nucleares, como comentado no início dessa disciplina. Figura 5 - Vidas médias de vários isótopos do tório e cálculos teóricos dados por (21). Nesse modelo fizemos uma série de aproximações que precisamos ter em mente no momento de fazer um julgamento crítico sobre a qualidade dos resultados obtidos, apesar deles qualitativamente explicarem constantes de decaimento α e a sua forte dependência com a energia da partícula emitida: 1. Não consideramos o recuo do núcleo. Assumimos que o valor-q é a própria energia da partícula α. Isso é uma aproximação razoável apenas para núcleos muito pesados. 2. Não consideramos as funções de onda inicial e final do sistema, de acordo com a regra de ouro de Fermi. Fizemos um modelo semi-clássico para o decaimento quando negligenciamos essas funções de http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 6/7
onda. 3. O cálculo de penetração de barreira unidimensional realizado considera, implicitamente, que o momento angular relativo no decaimento é nulo. Somente nesse caso a equação radial equivale a um decaimento unidimensional. Deve-se considerar, em muitas situações, o momento angular relativo não nulo no decaimento, principalemte quando o estado final do núcleo filho não possui o mesmo momento angular que o núcleo pai. Sabendo que a partícula α possui spin nulo, essa diferença de momentos angulares deve ser conservada com um momento angular orbital relativo não nulo. 4. A escolha de e é arbitrária e pode ser utilizada para melhorar o ajuste aos dados. Nesse sentido, o modelo proposto não é livre de parâmetros. 5. Temos implícito que o potencial de interação é esféricamente simétrico. Isso não ocorre em vários núcleos pesados, que possuem deformação significativa. Os efeitos devido à deformação podem ser observados em decaimentos com núcleos polarizados. Em um núcleo deformado, há preferência para emissão de partículas α ao longo do eixo maior do núcleo. Isso ocorre por conta da barreira coulombiana ser menor nesse sentido, aumentando o coeficiente de transmissão nesse eixo. Exercícios 1. O 240 Pu decai por emissão α no núcleo 236 U. Experimentalmente são observadas partículas α de energias 5.17 MeV e 5.12 MeV, sugerindo que o decaimento resulte em núcleos de U em dois níveis de energia distintos. Determine os valores-q para os dois decaimentos. 2. Deduza (7). 3. Suponha um decaimento α típico de energia de 10 MeV. Qual é o comprimento de onda típico dessa partícula dentro do núcleo. Discuta o confinamento dessa partícula no interior de um núcleo de 12 C e 238 U. 4. Mostre que a emissão de 14 C pelo 222 Ra é energeticamente possível. Usando o mesmo modelo construído para emissão de partículas α obtenha a vida-média para esse decaimento. Compare com o valor experimental anos. Discuta eventuais discrepâncias. 5. Faça um gráfico similar ao da figura 5, variando a profundidade do poço de potencial nuclear. Discuta a sensibilidade desse modelo em relação a esse parâmetro. Os dados foram retirados da tabela 8.2 do livro "Introductory Nuclear Physics", K. S. Krane. 6. O modelo discutido acima pode ser utilizado para núcleos deformados, bastando alterar a altura e raio da barreira coulombiana de acordo com a forma do núcleo. Suponha o núcleo de 252 Fm, que possui deformação (ver modelo de Nilsson). Faça um gráfico da probabilidade de emissão de partículas α em função do ângulo polar de emissão. Qual é a direção mais provável de emissão? 7. Mostre (17) a partir de (16). Leitura recomendada 1. Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, capítulo 8. 2. Introdução à Física Nuclear, H. Schechter e C. A. Bertulani, capítulo 6. 3. Introduction to nuclear and particle physics, A. Das & T. Ferbel, capítulo IV. 4. WKB approximation, Quantum Mechanics, J. L. Powell e B. Crasemann, capítulos 5-13 e 5-14. 5. Artigo de Gurney e Condon sobre decaimento α http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/? 7/7
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