GRAFOS E ALGORITMOS ALGORITMOS E APLICAÇÕES

GRAFOS E ALGORITMOS ALGORITMOS E APLICAÇÕES 1a. PARTE Prof. Ronaldo R. Goldschmidt rribeiro@univercidade.br ronaldo_goldschmidt@yahoo.com.br

ROTEIRO 1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS 2. IMPLEMENTAÇÕES DE GRAFOS 3. PERCURSOS EM GRAFOS

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex1: Considere o jogo da velha e que cada jogada resulte em um estado do jogo. Que tipo de grafo você poderia utilizar para representar os possíveis estados deste jogo? 1 1... 1 1 1 1 1 2 1 2 2... 2 Uma árvore, por exemplo (seqüência de jogadas identificada).

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex2: Considere o jogo da velha do exemplo anterior. Que estratégia de busca poderia ser utilizada na estrutura indicada caso o objetivo fosse vencer o jogo com o menor número de jogadas possível? 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 5 4 1 5 5 5 5 Busca/Percurso em Largura.

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex3: Considere um conjunto de cidades e seus acessos indicados por um grafo. Pergunta-se: é possível passar por todas as cidades sem repetição, a menos da última cidade, que deve corresponder à cidade de partida? Obs: a cidade de partida pode ser qq uma. Em outras palavras: o grafo é hamiltoniano?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex4: Considere uma rede de computadores cuja topologia é representada por um grafo. De forma a minimizar o tempo de comunicação entre o servidor e as demais máquinas, deseja-se saber qual ou quais computadores seriam candidatos a servidores desta rede. Considere que a comunicação entre máquinas adjacentes corresponda a uma unidade de tempo. a b c d Em outras palavras: qual é o centro do grafo?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex5: Considere o problema anterior (uma rede de computadores cuja topologia é representada por um grafo e que a comunicação entre máquinas adjacentes corresponda a uma unidade de tempo). Qual o maior tempo de comunicação entre duas máquinas quaisquer desta rede? a b c d Em outras palavras: qual é o diâmetro do grafo?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex6: Considere uma rede de computadores cuja topologia é representada por um grafo. É possível fazer um único teste a partir de uma determinada máquina que verifique o funcionamento de todas as conexões, sem analisar a mesma conexão mais de uma vez? a b c d Em outras palavras: o grafo é euleriano?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex7: Considere dois tipos de elementos A e B. Para montar uma placa de circuito, deseja-se conectar cada elemento do tipo A a cada elemento do tipo B, sem o cruzamento de conexões de forma a evitar possíveis interferências de comunicação que possam ocorrer. Analise o problema e emita seu parecer a respeito. Em outras palavras: o grafo bipartido completo é planar?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex8: Considere a modelagem de casos de uso de um sistema. Pergunta-se: como fazer para evitar cruzamento de associações entre atores e casos de uso? Considere o modelo como um grafo e procure identificar os centros. Estes deverão ficar na parte central do diagrama... UC 1 Ator 1 Ator 2 UC 2 Ator 4 UC 3 Ator 3

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex9: Em Banco de Dados, um grafo de espera indica as dependências entre transações. Como verificar, a partir de um grafo deste tipo, sehá ocorrência de deadlocks entre as transações? Verificar a existência de ciclos no digrafo.

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex10: A topologia de um modelo de Rede Neural chamada Back- Propagation pode ser representada como a união de grafos bipartidos completos entre camadas sucessivas de neurônios. K n,p K p,m... K r,s. Represente graficamente uma rede neural deste tipo com topologia n-m-z. Dados Externos Processamento Interno Estimativa 1 2... n n+1... n+m n+m+1... n+m+z Camada de Entrada Camada Escondida Camada de Saída

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex11: Suponha que você foi contratado para elaborar um jogo de computador. Uma de suas preocupações deve ser o arranjo de cores para que não haja objetos de mesma cor que se interceptem (pois prejudicaria a compreensão dos cenários). Qual seria o número mínimo de cores a ser utilizado de forma a evitar este problema? Ex: fundo árvore Resp: 4 cores casa avatar

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex12: Considere um composto químico representado pelo diagrama de sua estrutura atômica (em outras palavras, um grafo simples). Suponha que exista uma base de dados com diversos compostos químicos. Deseja-se recuperar os compostos que contenham o composto apresentado para busca. Problema de busca de subestruturas. Verificação da existência de isomorfismo entre o composto e os subgrafos dos compostos armazenados. Pode ser estendido para o problema de busca de imagens contidas em outras imagens.

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex13: Considere uma base de textos onde cada texto seja representado por uma rede semântica. Deseja-se recuperar textos similares ao informado. fruta ISA manga maçã camisa PART manga gola Ex: Manga é uma expressão polissêmica. Depende do contexto para sua caracterização. As relações entre as expressões pode eliminar ambiguidades.

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex14: Considere uma relação que associa a cada transação, os produtos vendidos na transação. Deseja-se descobrir quais os produtos vendidos simultaneamente de forma frequente. Nº Transação Item Café 1 1 1 2 2 2 2 Café Pão Manteiga Leite Cerveja Pão Manteiga Pão Manteiga Leite Cerveja Ou seja: quais os subgrafos bipartidos mais frequentes?

1. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE GRAFOS Ex14: A hierarquia entre conceitos pode ser representada por grafos, na definição de taxonomias e busca por conceitos relacionados. peça vestuário roupa calçado Ex: camisa sapato roupa sapato camisa calçado roupa calçado calça camisa sapato tênis Descoberta de associações envolvendo níveis de abstração.

2. IMPLEMENTAÇÕES DE GRAFOS Obs: É muito comum a utilização de listas de adjacências para representar grafos esparsos ( E(G) = O( V(G) ).

2. IMPLEMENTAÇÕES DE GRAFOS Obs: A representação de grafos esparsos por listas de adjacências é mais econômica (espaço) do que por matrizes de adjacências. Justificativa: Na representação por lista de adjacência: E(G) = O( V(G) ) Na representação por matriz de adjacência: E(G) = O( V(G) 2 ) O( V(G) ) O( V(G) 2 ) Listas de Adjacência utilizam menos espaço que as Matrizes de Adjacência quando: E(G) < ( V(G) 2 2 V(G) )/2 Ex: Seja G com 10 vértices. A representação por lista de adjacência utiliza menos espaço quando existirem menos de 40 arestas.

2. IMPLEMENTAÇÕES DE GRAFOS Obs: Comparação entre as representações de grafos por listas de adjacências e por matrizes de adjacências.

3. PERCURSOS EM GRAFOS Observações: São muitas as aplicações distintas de grafos. Existem muitos algoritmos para manipulação de grafos. Muitos destes algoritmos envolvem a visita sistemática de todos os vértices do grafos. Este processo de caminhar pelos vértices do grafo é chamado de percurso no grafo. Alguns métodos de percurso possuem nomes específicos: Ex: Percurso em Profundidade e Percurso em Largura

3. PERCURSOS EM GRAFOS Percurso em Profundidade - Características: Deve-se escolher o vértice de partida (raiz no caso de árvore). Consiste em visitar um vértice v e depois visitar recursivamente todos os vértices adjacentes a v. Problema: O grafo pode conter ciclos (quando não for árvore). O percurso deve visitar cada vértice uma única vez. O método deve manter um registro dos vértices já visitados, para que o percurso não entre em recorrência infinita. Assim, um percurso em profundidade segue somente arestas que levam a vértices não visitados.

3. PERCURSOS EM GRAFOS Percurso em Profundidade - Exemplo: Vértice de partida: c

3. PERCURSOS EM GRAFOS Percurso em Largura - Características: Deve-se escolher o vértice de partida (raiz no caso de árvore). Mantém uma fila com os vértices seguintes a serem visitados. Esta fila recebe inicialmente o vértice de partida. O vértice no início da fila é retirado e visitado. Os vértices adjacentes a ele são colocados na fila. O método deve manter um controle dos vértices já visitados e dos vértices que já se encontram na fila. Assim, o processo se repete até que não restem vértices na fila.

3. PERCURSOS EM GRAFOS Percurso em Largura - Exemplo: Vértice de partida: a

EXERCÍCIOS ALGORITMOS E APLICAÇÕES 1a. PARTE 1) Identifique, especifique e exemplifique cinco aplicações de Teoria de Grafos na área da Computação. A especificação deverá seguir o modelo utilizado em sala. Não poderão ser utilizados os mesmos exemplos apresentados em sala.

EXERCÍCIOS ALGORITMOS E APLICAÇÕES 1a. PARTE 2) Selecione dois dos conceitos indicados abaixo e faça uma pesquisa sobre algoritmos que identifiquem estes conceitos em grafos. O trabalho deverá conter a especificação e a exemplificação do funcionamento de cada algoritmo. A linguagem de especificação é livre. a) Árvore geradora b) Ciclo c) Ponte d) Planaridade e) Isomorfismo entre dois grafos f) Passeio euleriano