Ana Rita Tiradentes Terra Argoud PROCEDIMENTO PARA PROJETO DE ARRANJO FÍSICO MODULAR EM MANUFATURA ATRAVÉS DE ALGORITMO GENÉTICO DE AGRUPAMENTO

Ana Rita Tiradentes Terra Argoud PROCEDIMENTO PARA PROJETO DE ARRANJO FÍSICO MODULAR EM MANUFATURA ATRAVÉS DE ALGORITMO GENÉTICO DE AGRUPAMENTO São Carlos 007

Ana Rita Tiradentes Terra Argoud PROCEDIMENTO PARA PROJETO DE ARRANJO FÍSICO MODULAR EM MANUFATURA ATRAVÉS DE ALGORITMO GENÉTICO DE AGRUPAMENTO Tese apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Doutora em Engenharia Mecânica, área de concentração Manufatura. Orientador: Prof. Dr. Eduardo Vila Gonçalves Filho São Carlos 007

Ao Daniel, meu marido, com admiração e gratidão por sua compreensão e apoio durante a elaboração deste trabalho. Aos meus pais Evalda e Fábio pelo incentivo constante, e à minha amada filhinha Luana.

AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Eduardo Vila Gonçalves Filho, por sua atenção e dedicação durante o processo de orientação deste trabalho. À Escola de Engenharia de São Carlos, e ao Departamento de Engenharia Mecânica pela oportunidade de realização do curso de doutorado. Em especial ao colega Alexandre José Tiberti pela ajuda e enriquecimento deste trabalho. Aos professores com os quais tive a oportunidade de aprofundar meu conhecimento através das disciplinas cursadas: Eduardo Vila Gonçalves Filho, Arthur José Vieira Porto, Ruth de Gouvêa Duarte, Antônio Freitas Rentes, Antônio Francisco do Prado. Aos funcionários do Departamento de Engenharia Mecânica e da Biblioteca Central e em especial à Elizabeth Maria A. Alexandre e Ana Paula Bueno Bardelotte. A todos os colegas do Laboratório de Simulação com os quais tive a oportunidade de conviver e em especial à Mariella Florenzano Souza, Mamoro José Yamada, José Hamilton Chaves Gorgulho Júnior, Marcos Roberto Fortulan, Edwin Cardoza, Shih Yung Chin, João Gilberto Zalla Filho, Anselmo Ramalho Pitombeira Neto, Anna Cristina Barbosa Dias de Carvalho, Creusa Sayuri Tahara, Felipe Alves Cavani, Hilano José Rocha de Carvalho, e Robson Rogério Dutra Pereira. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq, pela concessão da bolsa de estudo para realização desta pesquisa.

RESUMO ARGOUD, A.R.T.T. (007). Procedimento para projeto de arranjo físico modular em manufatura através de algoritmo genético de agrupamento. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 007. O objetivo desta tese foi desenvolver um procedimento para projeto de arranjo físico modular. O procedimento usa um algoritmo genético de agrupamento para gerar módulos de arranjo físico em manufatura. Um módulo é um grupo de máquinas com um fluxo característico. O algoritmo genético de agrupamento (AGA) permite ao usuário especificar a priori o número desejado de módulos (problema de K-agrupamentos), e também trabalhar de forma que o número e formação dos módulos seja uma otimização do problema (problema de agrupamento automático). Uma característica importante do AGA é sua flexibilidade, pois fornece possibilidade ao usuário de dirigir seu raciocínio através da escolha de diferentes codificações do cromossomo, de funções de aptidão para avaliar a qualidade da solução, de medidas de similaridade para comparação de seqüências de operações e de métodos de geração da nova população. Para tal foram desenvolvidos três operadores de cruzamento e quatro operadores de mutação. Os experimentos permitiram avaliar o comportamento do AGA com diferentes operadores e configurações de parâmetros, através do número de vezes em que a melhor solução foi encontrada. Os módulos de arranjo físico gerados pelo AGA e o arranjo físico final da fábrica foram comparados aqueles da principal referência encontrada na bibliografia em projeto de arranjo físico modular. No arranjo físico final da fábrica, elaborado a partir das soluções do AGA, houve importante redução da distância total percorrida pelo conjunto de peças, demonstrando a eficácia do algoritmo genético de agrupamento. Dessa forma, os resultados apontaram o algoritmo genético de agrupamento como uma alternativa à geração de módulos de arranjo físico em projeto de arranjo físico modular. Palavras-chave: Projeto de arranjo físico. Arranjo físico modular. Algoritmos genéticos. Agrupamento. Manufatura.

ABSTRACT ARGOUD, A.R.T.T. (007). Procedure to the design of modular facility layouts through clustering genetic algorithm. Ph.D. Thesis - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 007. The objective of this thesis was the development of a procedure to the design of modular facility layouts. The procedure uses a clustering genetic algorithm to generate layout modules. A module is a group of machines with a specific patterned flow. The clustering genetic algorithm (CGA) allows the specification of the desired number of modules (Kgrouping problem) and also the optimization of the number of modules (automatic clustering problem). The genetic algorithm is very flexible and the user can guide his reasoning. It supplies different options of chromosome encoding, generation of the initial population, fitness function to evaluate the solution quality, different similarity measures for comparison of operation sequences and methods for generation of the new population. Three crossover operators and four mutation operators have been developed. The experiments have allowed evaluating the behavior of the CGA with different operators and parameters configurations, through the number of times in which the best solution was found. The layout modules generated by the CGA and the block layout were compared with the main reference which was found in literature in the design of modular facility layouts. In the block layout elaborated from the solutions of the CGA there was an important reduction of the total distance traveled by the set of parts, demonstrating the effectiveness of the clustering genetic algorithm. The results indicated that the clustering genetic algorithm is an alternative for generation of layout modules in the design of modular facility layouts. Keywords: Facility layout design. Modular layout. Manufacturing. Genetic algorithms. Clustering.

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 - Fluxograma de desenvolvimento da pesquisa... 11 Figura.1 - Arranjo físico posicional... 15 Figura. - Arranjo físico por produto... 15 Figura.3 - Arranjo físico funcional... 16 Figura.4 - Arranjo físico celular... 17 Figura.5 - Classificação dos arranjos físicos tradicionais segundo volume-variedade.. 0 Figura.6 - Exemplos de arranjo físico distribuído... 4 Figura.7 - Arranjo físico celular com três células... 5 Figura.8 - Arranjo físico celular com reorientação das células... 6 Figura.9 - Arranjo físico celular com reorientação e mudança na forma das células... 6 Figura. - Arranjo físico celular com linhas em forma de S, em paralelo... 7 Figura.11 - Arranjo físico flowshop híbrido... 7 Figura.1 - Arranjo físico celular virtual... 8 Figura.13 - Arranjo físico celular com uma célula remanescente... 9 Figura.14 - Células em cascata... 9 Figura.15 - Exemplo de arranjo físico fractal... 30 Figura.16 - Tipos de módulos 33 Figura.17 - Algoritmo para determinar as subseqüências comuns... 39 Figura.18 - Classificação dos arranjos físicos tradicionais e não tradicionais... 45 Figura 3.1 - Princípio de trabalho de um algoritmo genético... 48 Figura 3. Principais elementos de um algoritmo genético... 49

Figura 3.3 - Ordenação no grid... 5 Figura 3.4 - Ordenação no grid com separadores... 5 Figura 3.5 - Cruzamento de ponto único... 55 Figura 3.6 - Cruzamento de dois pontos... 55 Figura 3.7 - Cruzamento uniforme... 56 Figura 3.8 - Mutação... 56 Figura 3.9 - Roleta... 57 Figura 3. - Arranjo físico de bloco com baias flexíveis... 71 Figura 4.1 - Fluxograma do algoritmo genético de agrupamento (AGA)... 80 Figura 5.1 - Tela de entrada com seqüência de operações... 111 Figura 5. - Confirmação para encontrar subseqüências comuns únicas... 11 Figura 5.3 - Subseqüências comuns únicas... 113 Figura 5.4 - Seleção do coeficiente de similaridade... 114 Figura 5.5 - Matriz de similaridade... 115 Figura 5.6 - Seleção dos parâmetros... 116 Figura 5.7 - Estatísticas: valores de aptidão... 118 Figura 5.8 - Estatísticas: posições selecionadas... 10 Figura 5.9 - População final: grupos formados... 11 Figura 5. - População final: cromossomo codificado... 1 Figura 5.11 - População inicial... 13 Figura 5.1 - Teste 1: subseqüências comuns únicas... 15 Figura 5.13 - Teste 1: matriz de similaridade... 15 Figura 5.14 - Estatísticas: teste 1... 17

Figura 5.15 - População inicial: teste 1, codificação R... 18 Figura 5.16 - População final: teste 1... 19 Figura 5.17 - População inicial: teste 1, codificação R3... 130 Figura 5.18 - População final: teste, largura da silhueta média... 131 Figura 5.19 - Parâmetros para teste : 4 K 17, soma das similaridades médias... 13 Figura 5.0 - Parâmetros para teste : 4 K 17, taxa do critério da variância... 13 Figura 5.1 - População final para teste : 4 K 17... 133 Figura 5. - Matriz de similaridade: teste 3... 135 Figura 5.3 - População final: teste 3, largura da silhueta média... 136 Figura 5.4 - Cromossomo na 45ª posição com S7, S8, S9 e S agrupadas... 137 Figura 5.5 - População final: teste 3, soma das similaridades médias, S5, S e S11 isoladas... 138 Figura 5.6 - População final: teste 3, soma das similaridades médias, S5 e S11 agrupadas... 139 Figura 5.7 - População final: teste 3, soma das similaridades médias, S e S11 agrupadas... 140 Figura 5.8 - Cromossomo com maior aptidão: teste 3, taxa do critério da variância... 141 Figura 5.9 - Cromossomo com maior aptidão e agrupamentos diferentes: teste 3, taxa do critério da variância... 14 Figura 5.30 - Matriz de similaridade: teste 4... 145 Figura 5.31 - População final: teste 4, largura da silhueta média... 146 Figura 5.3 Teste de Validação 1: cromossomo na 00ª posição... 153 Figura 5.33 - Teste de Validação : solução idêntica a de Huang (003)... 155 Figura 6.1 - Valores de aptidão: experimento 1... 161 Figura 6. - Valores de aptidão: experimento... 163 Figura 6.3 - Valores de aptidão: experimento 3... 166 Figura 6.4 - Valores de aptidão: experimento 4... 168 Figura 6.5 - Valores de aptidão: experimento 5... 170

Figura 6.6 - Experimentos combinados, número de grupos fixo, método probabilístico: cruzamento Recombinação com Correção Aleatória e mutação Move Aleatório... 174 Figura 6.7 - Experimentos combinados, número de grupos fixo, método probabilístico: cruzamento Ponto Único de Grupo e mutação Move Aleatório... 176 Figura 6.8 - Experimentos combinados, número de grupos fixo, método faixa percentual: cruzamento Recombinação com Correção Aleatória e mutação Move Aleatório... 179 Figura 6.9 - Experimentos combinados, número de grupos fixo, método faixa percentual: cruzamento Ponto Único de Grupo e mutação Move Aleatório... 180 Figura 6. - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: cruzamento Recombinação com Correção Aleatória e mutação Move Aleatório... 185 Figura 6.11 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: cruzamento Ponto Único de Grupo e mutação Move Aleatório... 187 Figura 6.1 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: 0,85 de cruzamento tipo Recombinação com Correção Aleatória e mutações 1, e 3... 19 Figura 6.13 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: 0,50 de cruzamento tipo Recombinação com Correção Aleatória e mutações 1, e 3... 194 Figura 6.14 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: 0,85 de cruzamento tipo Ponto Único de Grupo e mutações 1, e 3... 196 Figura 6.15 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método probabilístico: 0,50 de cruzamento tipo Ponto Único de Grupo e mutações 1, e 3... 198 Figura 6.16 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método faixa percentual: cruzamento tipo Recombinação com Correção Aleatória e mutações 1, e 3... 0 Figura 6.17 - Experimentos combinados, número de grupos variável, método faixa percentual: cruzamento tipo Ponto Único de Grupo e mutações 1, e 3. 04 Figura 7.1 - Diagrama de fluxo do arranjo físico modular: número de grupos fixo... 15 Figura 7. - Arranjo físico de bloco: número de grupos fixo... 18 Figura 7.3 - Grid de arranjo físico: número de grupos fixo... 0 Figura 7.4 - Arranjo físico de bloco... Figura 7.5 - Grid de arranjo físico para a solução de Huang (003)... 3 Figura 7.6 - Arranjo físico de bloco sem duplicação de máquinas... 7

Figura 7.7 - Diagrama de fluxo do arranjo físico modular: número de grupos variável 37 Figura 7.8 - Arranjo físico de bloco: número de grupos variável... 40 Figura 7.9 - Grid de arranjo físico: número de grupos variável... 41 Figura 7. - Arranjo físico: número de grupos variável com alternativas à duplicação... 44 Figura 7.11 - Grid de arranjo físico: número de grupos variável com alternativas à duplicação... 45 Figura 8.1 - Matriz de similaridade... 54 Figura 8. - Parâmetros do AGA... 55 Figura 8.3 - Estatísticas: valores de aptidão... 56 Figura 8.4 - População final... 57 Figura 8.5 - Diagrama de fluxo do arranjo físico modular: número de grupos fixo... 63 Figura 8.6 - Solução de Huang (003): cromossomo na 9ª posição... 65 Figura 8.7 - Parâmetros do AGA: número de grupos variável... 67 Figura 8.8 - Estatísticas: valores de aptidão, número de grupos variável... 68 Figura 8.9 - População final, número de grupos variável... 69 Figura 8. - Diagrama de fluxo do arranjo físico modular: número de grupos variável... 76 Figura C.1 - Fluxo de informações... 30 Figura C. - Algoritmo MST aplicado ao conjunto de dados... 303

LISTA DE TABELAS Tabela.1 - Exemplo para identificação de subseqüência comum... 40 Tabela 3.1 - População inicial... 58 Tabela 4.1 - Interpretação da silhueta média s(i)... 89 Tabela 5.1 - Seqüência de operações: teste 1... 14 Tabela 5. - Parâmetros: teste 1... 16 Tabela 5.3 - Seqüência de operações: teste 3... 134 Tabela 5.4 - Subseqüências comuns únicas: teste 3... 134 Tabela 5.5 - Subseqüências comuns únicas: teste 4... 144 Tabela 5.6 - Seqüência de operações: teste de validação 1... 148 Tabela 5.7 - Subseqüências comuns únicas... 149 Tabela 5.8 - Módulos básicos de layout... 150 Tabela 5.9 - Teste de Validação 1: módulos gerados... 151 Tabela 5. - Teste de Validação : módulos gerados... 154 Tabela 6.1 - Experimentos preliminares: método probabilístico... 158 Tabela 6. - Experimentos preliminares: método faixa percentual... 158 Tabela 6.3 - Parâmetros: experimento 1... 160 Tabela 6.4 - Parâmetros: experimento... 16 Tabela 6.5 - Parâmetros: experimento 3... 165 Tabela 6.6 - Parâmetros: experimento 4... 167 Tabela 6.7 - Parâmetros: experimento 5... 169 Tabela 6.8 - Experimentos combinados: método probabilístico, número de grupos fixo... 17

Tabela 6.9 - Experimentos combinados: método faixa percentual, número de grupos fixo... 178 Tabela 6. - Experimentos combinados: número de grupos variável... 183 Tabela 6.11 - Experimentos combinados: número de grupos variável, método probabilístico... 190 Tabela 6.1 - Experimentos combinados: número de grupos variável, método faixa percentual... 00 Tabela 7.1 - Seqüência de operações e tempos de processamento... 08 Tabela 7. - Subseqüências comuns únicas... 09 Tabela 7.3 - Módulos gerados: número de grupos fixo... Tabela 7.4 - Índice de semelhança: número de grupos fixo... Tabela 7.5 - Seqüência de operações designadas aos módulos: número de grupos fixo... 1 Tabela 7.6 - Módulos layout ajustados: número de grupos fixo... 13 Tabela 7.7 - Seqüência de operações ajustadas aos módulos: número de grupos fixo.. 14 Tabela 7.8 - Número necessário de máquinas: número de grupos fixo... 17 Tabela 7.9 - Distância percorrida por cada peça: número de grupos fixo... 1 Tabela 7. - Distância percorrida por cada peça: solução de Huang (003)... 4 Tabela 7.11 - Distância percorrida por cada peça: sem duplicação de máquinas... 8 Tabela 7.1 - Número necessário de máquinas: número de grupos fixo, sem duplicação... 9 Tabela 7.13 - Alteração nos módulos de layout: número de grupos fixo... 30 Tabela 7.14 - Módulos gerados: número de grupos variável... 3 Tabela 7.15 - Índice de semelhança: número de grupos variável... 33 Tabela 7.16 - Módulos básicos de layout agregados... 33 Tabela 7.17 - Seqüência de operações designadas aos módulos: número de grupos variável... 34 Tabela 7.18 - Módulos layout ajustados: número de grupos variável... 35

Tabela 7.19 - Seqüência de operações ajustadas aos módulos: número de grupos variável... 36 Tabela 7.0 - Número necessário de máquinas: número de grupos variável... 38 Tabela 7.1 - Distância percorrida por cada peça: número de grupos variável... 4 Tabela 7. - Distância percorrida: número de grupos variável com alternativa à duplicação... 46 Tabela 7.3 - Número necessário de máquinas: número de grupos variável com alternativas à duplicação... 47 Tabela 7.4 Alteração nos módulos de layout: número de grupos variável... 49 Tabela 8.1 - Seqüência de operações... 5 Tabela 8. - Subseqüências comuns únicas... 53 Tabela 8.3 - Módulos básicos: número de grupos fixo... 58 Tabela 8.4 - Índice de semelhança: número de grupos fixo... 58 Tabela 8.5 - Módulos agregados: número de grupos fixo... 59 Tabela 8.6 - Seqüência de operações designadas aos módulos: número de grupos fixo... 60 Tabela 8.7 - Módulos layout ajustados: número de grupos fixo... 61 Tabela 8.8 - Seqüência de operações ajustadas aos módulos: número de grupos fixo.. 6 Tabela 8.9 - Módulos básicos de arranjo físico... 64 Tabela 8. - Módulos básicos: número de grupos variável... 70 Tabela 8.11 - Índice de semelhança: número de grupos variável... 71 Tabela 8.1 - Módulos agregados: número de grupos variável... 7 Tabela 8.13 - Seqüência de operações designadas aos módulos: número de grupos variável... 73 Tabela 8.14 - Módulos layout ajustados: número de grupos variável... 74 Tabela 8.15 - Seqüência de operações ajustadas aos módulos: número de grupos variável... 75 Tabela C.1 - Seqüência de operações e demanda... 300

LISTA DE QUADROS Quadro.1 - Vantagens e limitações dos tipos tradicionais de arranjo físico... 1 Quadro. - Vantagens e limitações dos tipos não tradicionais de arranjo físico... 44 Quadro 3.1 - Analogia de termos entre algoritmos genéticos e a biologia... 48 Quadro 3. - Principais características dos artigos revisados... 73 Quadro 4.1 - Pseudo-código de um algoritmo genético típico... 77 Quadro 4. - Algoritmo genético de agrupamento (AGA)... 78 Quadro C.1 - Algoritmo MST... 99 Quadro C. - Matriz De-Para... 301 Quadro C.3 - Matriz De-Para diagonalizada... 301

LISTA DE ABREVIATURAS ACCA AG AGA Adjacent Cluster Checking Algorithm (Algoritmo para verificação de agrupamentos adjacentes) Algoritmo Genético Algoritmo Genético de Agrupamento CDA Cluster Decomposition Algorithm (Algoritmo para decomposição de agrupamentos) DOM Dominant common subsequence (Subseqüência comum dominante) FA FMS Função de Aptidão Flexible Manufacturing System (Sistema Flexível de Manufatura) HCMA Hierarchical Cluster Merging Algorithm (Algoritmo para fusão de agrupamentos hierárquicos) HCL Hybrid Cellular Layout (Arranjo Físico Celular Híbrido) LCS MST VRC USA WIP Longest Common Subsequence (Mais longa subseqüência comum) Maximum Spanning Tree (Árvore de Medida Máxima) Variance Ratio Criterion (Taxa do Critério da Variância) United States of América (Estados Unidos da América) Working In Process (Estoque em Processo)

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 1.1 Considerações iniciais... 1 1. Motivação e justificativa... 1.3 Objetivo... 7 1.4 Contribuições... 7 1.5 Metodologia de pesquisa... 9 1.5.1 Metodologia de pesquisa adotada... 1.6 Estrutura... 1 ARRANJO FÍSICO DA FÁBRICA 14.1 Considerações iniciais... 14. Tipos tradicionais de arranjo físico... 14..1 Arranjo físico posicional ou de posições fixas... 14.. Arranjo físico por produto... 15..3 Arranjo físico funcional ou por processo... 16..4 Arranjo físico celular... 16..4.1 Medidas de similaridade... 17..5 Comparação entre os tipos tradicionais de arranjo físico... 0.3 Tipos não tradicionais de arranjos físicos....3.1 Arranjo físico ágil....3. Arranjo físico distribuído... 3.3.3 Arranjo físico celular híbrido... 5

.3.4 Arranjo físico fractal... 30.3.5 Arranjo físico modular... 31.3.5.1 Similaridade entre seqüências de operações... 34.3.5. Procedimento para projeto de arranjo físico modular... 39.3.6 Comparação entre os tipos não tradicionais de arranjo físico... 44.4 Considerações finais... 45 3 ALGORITMOS GENÉTICOS 47 3.1 Considerações iniciais... 47 3. Codificação do cromossomo... 50 3.3 Geração da população inicial... 5 3.4 Função de aptidão... 53 3.5 Operadores genéticos... 54 3.5.1 Operador de cruzamento... 54 3.5. Operador de mutação... 56 3.6 Processo de seleção... 56 3.7 Geração da nova população... 59 3.8 Critérios de parada... 60 3.9 Parâmetros... 60 3. Algoritmos genéticos aplicados ao projeto de arranjo físico... 61 3.11 Considerações finais... 76 4 O MODELO DESENVOLVIDO 77 4.1 Considerações iniciais... 77

4. O algoritmo genético de agrupamento (AGA) desenvolvido... 78 4.3 Codificação do cromossomo... 81 4.4 Geração da população inicial... 8 4.5 Função de aptidão... 85 4.5.1 Soma das similaridades médias... 85 4.5. Largura da silhueta média... 87 4.5.3 Taxa do critério da variância... 89 4.6 Operadores dos cromossomos... 91 4.6.1 Operadores de cruzamento... 9 4.6.1.1 Recombinação... 9 4.6.1. Recombinação com correção aleatória... 96 4.6.1.3 Ponto único de grupo... 97 4.6. Operadores de mutação... 1 4.7 Processo de seleção e geração da nova população... 3 4.8 Critério de parada... 8 4.9 Considerações finais... 9 5 IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO GENÉTICO DE AGRUPAMENTO 1 5.1 Considerações iniciais... 1 5. Dados de entrada... 1 5.3 Geração das subseqüências comuns únicas... 11 5.4 Geração da matriz de similaridade... 113 5.5 Definição dos parâmetros... 115 5.6 Estatísticas geradas... 117 5.7 Visualização das populações final e inicial... 10

5.8 Verificação do algoritmo genético de agrupamento... 13 5.9 Validação do algoritmo genético de agrupamento... 147 5. Considerações finais... 155 6 EXPERIMENTAÇÃO 156 6.1 Considerações iniciais... 156 6. Experimentos preliminares... 157 6.3 Novos operadores de cruzamento e mutação 3... 163 6.4 Experimentos combinados: número de grupos fixo... 170 6.4.1 Método probabilístico... 171 6.4. Método faixa percentual... 178 6.4.3 Comentários: número de grupos fixo... 181 6.5 Experimentos combinados: número de grupos variável... 18 6.5.1 Número de grupos variável: sem operadores de mutação 1 e... 183 6.5. Número de grupos variável: todos os operadores... 189 6.5..1 Método probabilístico... 189 6.5.. Método faixa percentual... 199 6.5.3 Comentários: número de grupos variável... 05 7 ARRANJO FÍSICO FINAL 07 7.1 Considerações iniciais... 07 7. Arranjo físico final: número de grupos fixo... 09 7..1 Análise da distância percorrida: número de grupos fixo... 19 7.. Caminhos para reduzir a duplicação de máquinas... 5 7.3 Arranjo físico final: número de grupos variável... 3

7.3.1 Análise da distância percorrida: número de grupos variável... 40 7.3. Caminhos para reduzir a duplicação de máquinas: número de grupos variável 43 8 ESTUDO DE CASO 51 8.1 Considerações iniciais... 51 8. Número de grupos fixo... 54 8..1 Comparação dos módulos de arranjo físico... 64 8.3 Número de grupos variável... 66 8.3.1 Comentários: número de grupos variável... 77 9 CONCLUSÃO 78 9.1 Sugestões para trabalhos futuros... 85 REFERÊNCIAS 88 APÊNDICE A Exemplo de arquivo de entrada do AGA 96 APÊNDICE B Exemplo de arquivo de saída do AGA 97 APÊNDICE C Maximum spanning tree 99

1 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações iniciais O ambiente de manufatura tem se transformado constantemente nas últimas décadas principalmente em relação às constantes alterações no mix de produtos e na demanda. Alguns fatores foram determinantes nessa transformação, como o aumento da competição global, consumidores mais conscientes e exigentes em relação a custos, qualidade, prazos, lançamentos de novos produtos, e a rápida mudança tecnológica (KOCHHAR; HERAGU, 1999). Dessa forma, a manufatura precisou se tornar mais dinâmica e fornecer respostas rápidas a tais transformações. O projeto do arranjo físico em manufatura trata da disposição física das máquinas, equipamentos, áreas de suporte à produção e áreas para pessoal (TOMPKINS et al., 003). O correto projeto do arranjo físico tem papel decisivo para a sobrevivência e sucesso de uma empresa nesse ambiente dinâmico, pois permite a racionalização do espaço, minimização da movimentação de materiais e de pessoas, levando à redução de custos e aumento da eficiência do sistema produtivo. Segundo Benjaafar, Heragu e Irani (00), alguns setores da indústria têm demonstrado que as configurações de arranjos físicos tradicionais como funcional, celular e em linha, não atendem às necessidades de empresas que trabalham com vários tipos de produtos com demanda variável e curto ciclo de vida. As empresas precisam de arranjos flexíveis, modulares e de fácil configuração. Como conseqüência desta necessidade surgiram novos tipos de arranjos físicos como o ágil, distribuído, fractal e modular. Esses novos tipos de arranjo físico têm despertado grande interesse entre os pesquisadores, seja em metodologia de projeto, em formas de avaliação de desempenho ou em

comparações com arranjos físicos tradicionais, entretanto ainda é uma área recente e um campo vasto para pesquisa. 1. Motivação e justificativa Dentre os novos tipos de arranjos físicos, o arranjo modular despertou especial interesse, pois surge como uma nova forma de se pensar o projeto de arranjo físico. A prática tradicional da indústria tem sido usar uma amostra de produtos para projetar o tipo de arranjo físico da fábrica. Por exemplo, para produtos padronizados e com grande volume de demanda usa-se arranjo físico em linha, para produtos com características similares de projeto e processo constrói-se o arranjo físico celular, e produtos com baixo volume de demanda e sem similaridade aparente são processados em arranjo físico funcional. Entretanto, uma amostra de peças não é suficiente para representar uma fábrica que possua mix variável de produção. O arranjo físico modular não assume a priori padrões de fluxo e critérios para agrupamento de máquinas, como nos arranjos celular, funcional e em linha. Os padrões de fluxo e agrupamentos de máquinas são conseqüências dos fluxos implícitos nas seqüências de operações. Assim, o arranjo físico modular identifica os padrões de fluxo existentes na fábrica e gera um arranjo, chamado módulo de layout, para cada fluxo de materiais. Uma das vantagens do arranjo físico modular é possibilitar o encadeamento de operações e com isso diminuir a movimentação de peças na fábrica. O primeiro trabalho encontrado sobre arranjo físico modular foi o de Shahrukh A. Irani e Heng Huang apresentado em 1998 (IRANI; HUANG, 1998). O grupo liderado por estes dois pesquisadores foi o único encontrado na bibliografia que trabalha com projeto de arranjo físico modular. Em continuidade ao primeiro trabalho, diversos artigos foram

3 publicados, dentre eles, Irani e Huang (000a e 000b), Huang (003) e Irani e Huang (006). A tese de doutoramento de Huang (003), na qual o tema é bem detalhado, recebeu especial atenção desta autora e foi fonte de motivação para o presente trabalho. Huang (003) propôs um procedimento para projeto de arranjo físico modular baseado em análise de agrupamento (cluster analysis) e comparação de seqüências de operações. Para tal usou um método de agrupamento hierárquico aglomerativo com método da média das distâncias para regra de ligação (unweighted pair-group average linkage). Métodos de agrupamento hierárquico consistem em uma série de sucessivas fusões ou divisões do conjunto de dados. Os métodos hierárquicos aglomerativos iniciam com cada elemento em um grupo, separadamente. Baseado em uma medida de similaridade, os elementos são agrupados, de forma que os grupos mais similares são agrupados a cada estágio, até que se forme apenas um grupo. Os métodos hierárquicos divisivos trabalham de modo inverso. Iniciam com todos os elementos em um único grupo, e a cada passo são formados subgrupos, baseado na dissimilaridade entre os elementos, até que cada objeto tenha seu próprio grupo. O resultado dos métodos hierárquicos é mostrado em um dendrograma (KAUFMAN; ROUSSEEUW, 1990; COLE, 1998). O dendrograma é um gráfico em forma de árvore que mostra o agrupamento de objetos em níveis conforme o grau de semelhança entre eles. Bussab, Miazaki e Andrade (1990) explicam detalhadamente como construir um dendrograma. Os métodos de agrupamento hierárquico aglomerativos mais conhecidos são: singlelinkage, complete-linkage, average-linkage e método da variância mínima de Ward. Esses métodos são detalhados em Everitt, Landau e Leese (001). O método aglomerativo average linkage, usado por Huang (003), define a distância entre dois grupos como a distância média de todos os elementos de um grupo para com todos os elementos do outro grupo. Esta abordagem tende a combinar grupos com pequena

4 variância, e favorece a produção de grupos com variância aproximadamente igual, ou seja, agrupamentos esféricos (COLE, 1998; EVERITT; LANDAU; LEESE, 001). Segundo Cole (1998), métodos de agrupamento hierárquico possuem algumas desvantagens: Eles são indicados para pequenos conjuntos de dados, devido à necessidade de armazenar e atualizar constantemente matrizes de similaridade; Se um elemento for alocado incorretamente a um grupo em um estágio inicial, ele permanecerá no mesmo grupo até o término do processo. Não há chance para que o elemento procure pelo grupo correto; Os resultados refletem o grau com que os dados se ajustam à estrutura formal do algoritmo. De acordo com Everitt, Landau e Leese (001), o mesmo conjunto de dados pode produzir resultados muito diferentes, conforme o método de agrupamento hierárquico usado. Para aplicação do método proposto por Huang (003), o usuário deve especificar o número desejado de módulos, ou seja, o número de grupos (K) é conhecido, e é usado como parâmetro para se encontrar a solução. Entretanto, quando se define o número de grupos, podem ser gerados agrupamentos artificiais. Geralmente, o algoritmo é rodado várias vezes, para depois escolher a solução que pareça melhor, ou que tenha a interpretação mais significativa. Para isso deve-se ter conhecimento do domínio do problema. Dessa forma, esses algoritmos realizam busca pela solução em um espaço relativamente pequeno, e, portanto, suas possibilidades de sucesso são reduzidas (HRUSCHKA, 001).

No projeto do arranjo físico modular são inúmeras as possibilidades de realizar o agrupamento de máquinas em módulos a partir das seqüências de operações. Este é um problema de agrupamento de natureza combinatorial. Resolver um problema de agrupamento consiste em agrupar elementos de um conjunto de dados de maneira tal que cada elemento de um grupo possua maior similaridade com qualquer elemento de seu grupo do que com elementos de outros grupos. O objetivo é encontrar estruturas naturais dentro do conjunto de dados. O problema de agrupamento, de modo formal, é definido como (COLE, 1998): Seja um conjunto de n elementos X = { X 1, X,..., X n }. Os elementos devem ser agrupados em grupos não sobrepostos G = {G 1, G,..., G k }, onde K é o número de grupos, tal que G1 G... Gk = X, Gi, e Gi Gj = para i j. O número de grupos, K, pode ser conhecido ou não. Quando o valor de K é conhecido, ou seja, é fornecido pelo usuário como parâmetro para se encontrar a solução, o problema é chamado de problema de K-agrupamentos. Quando o número de grupos é desconhecido, e a obtenção do valor de K faz parte da solução do problema, o mesmo é chamado de problema de agrupamento automático. No primeiro caso, o número de possibilidades de se classificar n elementos em K grupos é dado por (LIU apud HRUSCKHA, 001): 5 k 1 i k n N( n, k) = ( 1) ( k i) (1.1) k! i = 0 i Considerando a equação 1.1, para agrupar 5 elementos em 5 grupos existem N(5,5) =.436.684.974.1.751 maneiras. A partir deste número pode-se ver a complexidade em se agrupar, por exemplo, 5 máquinas em 5 grupos, ou módulos, problema considerado relativamente pequeno para projeto de arranjo físico.

6 O tamanho do problema cresce consideravelmente quando o número de grupos, K, é desconhecido. Determinar o melhor número de grupos, é uma das tarefas mais difíceis em problemas de agrupamento. O número de combinações possíveis para se classificar n elementos é dado por (LIU apud HRUSCKHA, 001): n k 1 i k N( n) = ( 1) ( k i) i= 1 k! i= 0 i n (1.) Portanto, existem 4x 18 possibilidades de se agrupar 5 máquinas com número de módulos variante, entre 1 e 5. Este problema pertence à classe NP-completo e é inviável do ponto de vista computacional para um algoritmo realizar busca exaustiva visando encontrar solução ótima global (COLE, 1998). Vários algoritmos e técnicas têm sido propostos como ferramentas de auxílio ao projeto de arranjo físico, visto que é um problema de otimização combinatória (SINGH; RAJAMANI, 1996). Dentre eles destacam-se aplicações com algoritmos genéticos, simulated annealing, redes neurais artificiais e busca tabu. Algoritmos genéticos apresentam algumas vantagens para este tipo de problema, pois (KOCHHAR; FOSTER; HERAGU, 1998): Trabalham com várias possíveis soluções em paralelo, o que permite explorar vasto campo de soluções; Fornecem a possibilidade de escapar de ótimos locais devido à atuação do operador de mutação; Permitem a redução rápida do espaço de busca em virtude do mecanismo de evolução a partir das melhores soluções. Além dessas vantagens, algoritmos genéticos fornecem flexibilidade à criação de codificações de cromossomos e operadores genéticos sensíveis ao contexto do problema.

7 1.3 Objetivo O objetivo deste trabalho foi desenvolver um procedimento para projeto de arranjo físico modular. O procedimento usa um algoritmo genético de agrupamento (AGA) para gerar os módulos de arranjo físico. O termo arranjo físico refere-se à disposição das máquinas no chão-de-fábrica. O algoritmo genético de agrupamento (AGA) é altamente flexível pois possibilita ao usuário dirigir seu próprio raciocínio através da escolha de diferentes codificações do cromossomo, de funções de aptidão, de medidas de similaridade e de métodos de geração da nova população. 1.4 Contribuições Na literatura pesquisada não foi encontrado nenhum trabalho em que se fez a aplicação de algoritmos genéticos ao projeto de arranjo físico modular. A seguir são apresentadas, por ordem de relevância, conforme o entendimento desta autora, as principais contribuições desta tese. Em seguida à contribuição está indicado entre colchetes a seção em que o leitor poderá ler a respeito. 1. Flexibilidade do algoritmo genético de agrupamento (AGA) pois permite a seleção de uma entre três medidas de similaridade para comparação de seqüências de operações [seções.3.5.1 e 5.4], e possibilita a escolha da forma da geração da população inicial, conforme três diferentes tipos de codificações do cromossomo [seções 4.3 e 5.5]. O usuário também deve escolher uma entre três funções de aptidão para avaliar a qualidade da solução [seções 4.5 e 5.5] e um entre dois métodos de geração da nova população [seções 4.7 e 5.5].

8. O AGA resolve problemas tanto de K-agrupamentos como de agrupamento automático. No primeiro, o usuário especifica a priori o número desejado de módulos [seções 6.4, 7. e 8.]. No segundo, o número e formação dos módulos é uma otimização do problema [seções 6.5, 7.3 e 8.3]. 3. Modelagem do algoritmo genético através de subseqüência de operações comuns a duas ou mais peças [seção 4.3]. 4. Desenvolvimento do operador de cruzamento Ponto Único de Grupo [seção 4.6.1.3]. 5. Criação do operador de mutação Move Direcionado [seção 4.6.]. 6. Aplicação e validação da função largura da silhueta média para agrupamento de máquinas em projeto de arranjo físico modular [seções 4.5., 5.8 e 5.9]. 7. A introdução no operador Recombinação do mecanismo de correção dos descendentes para evitar cromossomos inválidos [seção 4.6.1.1]. 8. Desenvolvimento do operador de cruzamento Recombinação com Correção Aleatória [seção 4.6.1.]. 9. Modificação do operador de cruzamento Recombinação proposto por Hruschka (001) para adaptação ao problema de agrupamento de subseqüências de operações de peças [seção 4.6.1.1].. Modificação dos operadores de mutação Merge e Break propostos por Hruschka (001) através de diferente forma de inserção dos objetos e de escolha das sementes, respectivamente [seção 4.6.]. 11. Modificação do operador de mutação Move proposto por Cole (1998) [seção 4.6.].

9 1.5 Metodologia de pesquisa Segundo Marconi e Lakatos (1985), a pesquisa é um procedimento formal que requer tratamento científico e é o caminho para se conhecer a realidade ou descobrir verdades parciais. Para Trujillo apud Marconi e Lakatos (1985), a pesquisa tem duas finalidades, pura ou prática. A pesquisa pura gera novos conhecimentos através do desenvolvimento da metodologia, obtenção de diagnósticos e estudos aprimorados dos fenômenos. Cita como exemplo a teoria da relatividade. A pesquisa prática é aplicada com determinado objetivo prático, como a aplicação da energia nuclear. Esta mesma classificação de pesquisa é apresentada por Ander-Egg apud Marconi e Lakatos (1985). A pesquisa pura ou fundamental visa ampliar o conhecimento teórico sem preocupação de utilização prática. Procura formular princípios, leis e generalizações. Na pesquisa aplicada os resultados são usados imediatamente na solução de problemas que ocorrem na realidade. Além das classificações em pura e aplicada, Best apud Marconi e Lakatos (1985) acrescentam: pesquisa história, descritiva e experimental. A pesquisa histórica procura a investigação, registro, análise e interpretação de fatos ocorridos no passado para, através de generalizações, compreender o presente e prever o futuro. A pesquisa descritiva aborda a descrição, registro, análise e interpretação de fenômenos atuais, visando o seu funcionamento no presente. Na pesquisa experimental há controle sobre determinados fatores e sua importância está nas relações de causa e efeito. De acordo com Cervo e Bervian (1996), as pesquisas podem ser classificadas em bibliográfica, experimental e descritiva. A pesquisa bibliográfica procura conhecer e analisar as contribuições culturais ou científicas já existentes sobre determinado assunto ou problema.

Pode ser realizada independentemente ou como parte da pesquisa descritiva ou experimental. A pesquisa experimental manipula diretamente as variáveis relacionadas ao objeto de estudo. A partir dessa manipulação possibilita o estudo das relações entre causas e efeitos de determinado fenômeno. A pesquisa descritiva observa, registra, analisa e correlaciona fenômenos sem manipulá-los. Segundo aquele autor, a pesquisa descritiva, muito usada em Ciências Humanas e Sociais pode assumir várias formas, entre elas: estudos exploratórios, descritivos, pesquisa de opinião, pesquisa de motivação, estudo de caso e pesquisa documental. 1.5.1 Metodologia de pesquisa adotada Segundo a classificação dos tipos de pesquisa apresentada no item anterior, esta tese é de natureza aplicada com caráter experimental. Para seu desenvolvimento faz uso de pesquisa bibliográfica. A figura 1.1 a seguir apresenta um fluxograma com as etapas do desenvolvimento desta pesquisa.

11 Pesquisa bibliográfica exploratória sobre projeto de arranjo físico em manufatura Tipos Tradicionais: posicional, produto, celular, processo Ferramentas computacionais de apoio ao projeto e para validação do mesmo Pesquisa bibliográfica sobre algoritmos genéticos Pesquisa bibliográfica sobre novas tendências de arranjos físicos em manufatura: celular híbrido, fractal, distribuído, ágil, modular Pesquisa bibliográfica sobre algoritmos genéticos aplicados ao projeto de arranjo físico Pesquisa bibliográfica sobre arranjo físico modular Definição da lacuna Estudar forma alternativa para geração de arranjo físico modular Desenvolver procedimento para gerar módulos de arranjo físico através de algoritmos genéticos Implementação computacional do algoritmo genético (AG) Verificação e validação (AG) Experimentação (AG) Geração do arranjo físico modular final Análises e conclusões Redação final Figura 1.1 Fluxograma de desenvolvimento da pesquisa

1 A etapa de implementação computacional do algoritmo genético ocorreu à medida que houve o refinamento do procedimento para geração dos módulos de arranjo físico com a incorporação de novas funcionalidades no software, como o desenvolvimento de novos operadores genéticos e funções para avaliação da solução. A redação foi realizada durante todo o desenvolvimento do trabalho. A etapa de redação final refere-se à verificação e fechamento do texto. 1.6 Estrutura Esta tese está estruturada em nove capítulos, da seguinte maneira: Capítulo Arranjo físico da fábrica. Este capítulo apresenta os principais tipos de arranjos físicos presentes no ambiente de manufatura. São abordados os tipos tradicionais de arranjos e novas tendências, conhecidas como arranjos físicos não tradicionais. Este capítulo também detalha os principais conceitos sobre projeto de arranjo físico modular. Capítulo 3 Algoritmos genéticos. Este capítulo faz uma introdução à teoria sobre algoritmos genéticos e apresenta a revisão bibliográfica sobre aplicação dos mesmos ao projeto de arranjo físico em manufatura. Capítulo 4 O modelo desenvolvido. Este capítulo apresenta o modelo de algoritmo genético desenvolvido para geração de módulos de layout em projeto de arranjo físico modular. Os principais elementos do algoritmo genético são detalhados como a codificação do cromossomo, função de aptidão, população inicial, processo de seleção, operadores genéticos e critério de parada.

13 Capítulo 5 Implementação do algoritmo genético de agrupamento. Este capítulo aborda os detalhes da implementação do algoritmo genético, a interface com o usuário e os testes de verificação e de validação do mesmo. Capítulo 6 Experimentação. Este capítulo apresenta as várias rodadas de simulação realizadas sobre determinado conjunto de dados com o objetivo de avaliar o comportamento do algoritmo genético de agrupamento. Também é analisado o desempenho dos operadores genéticos de cruzamento e mutação desenvolvidos. Capítulo 7 Arranjo físico final. Este capítulo apresenta o arranjo físico final da fábrica, elaborado a partir dos módulos de layout gerados pelo algoritmo genético de agrupamento. Também é feita a análise do resultado obtido e comparação com uma referência da literatura. Capítulo 8 Estudo de caso. Este capítulo apresenta a aplicação do procedimento para geração de módulos através do algoritmo genético de agrupamento em um segundo conjunto de dados. Capítulo 9 Conclusões. Este capítulo apresenta as conclusões relativas ao objetivo inicialmente traçado, sumariza as principais contribuições e sugere futuros trabalhos sobre o assunto.

14 ARRANJO FÍSICO DA FÁBRICA.1 Considerações iniciais Um arranjo físico de manufatura trata da disposição das máquinas e equipamentos no chão de fábrica (TOMPKINS et al., 003). Este capítulo apresenta os tipos tradicionais de arranjos físicos e novas tendências de arranjos que têm surgido no ambiente industrial. Dentro dos novos tipos de arranjos físicos, conhecidos como não tradicionais, será tratado o arranjo físico modular, tema deste trabalho.. Tipos tradicionais de arranjo físico A literatura apresenta diversos tipos de arranjos físicos, entretanto, quatro deles estão consolidados no ambiente industrial. São eles: arranjo físico posicional, por produto, funcional e celular (TOMPKINS et al., 003; SINGH; RAJAMANI, 1996). Todos apresentam vantagens e limitações...1 Arranjo físico posicional ou de posições fixas O produto permanece fixo, enquanto os recursos como mão-de-obra, máquinas, e ferramentas se movem até ele para realizar o processamento (figura.1). O arranjo físico é flexível, pois pode acomodar mudanças no projeto. As habilidades requeridas são altas e o trabalho é feito em times, o que fornece oportunidade de enriquecimento do trabalho. A demanda é baixa ou esporádica e o produto é difícil de ser movimentado. Este é o caso da construção de edifícios, navios, aviões e equipamentos de grande porte.

15 Torno Prensa Retífica a Matériaprima Produto Produto Acabado Solda Pintura Montagem Figura.1 Arranjo físico posicional.. Arranjo físico por produto As máquinas são arranjadas de acordo com a seqüência de operações do produto (figura.). Isto facilita o controle do processo e o manuseio de materiais. O arranjo físico por produto requer equipamentos específicos de alto investimento. Alterações no produto implicam em mudança na disposição das máquinas. Esta é uma das razões da sua baixa flexibilidade. Este arranjo não necessita de mão-de-obra altamente qualificada e a maioria das tarefas é simples e repetitiva. A movimentação de materiais é reduzida, os leadtimes são curtos e o inventário baixo. Entretanto, os equipamentos requerem alta confiabilidade, pois a falha em uma estação pode causar parada de toda a linha. A linha de montagem é o exemplo mais típico deste tipo de arranjo físico. Matéria-prima Torno Furadeira Retífica Furadeira Montagem Estoque Figura. Arranjo físico por produto

16..3 Arranjo físico funcional ou por processo As máquinas são arranjadas de acordo com a sua função (figura.3). Por exemplo, em uma usinagem há o setor de tornos, o de fresas, o de furadeiras, entre outros. A maioria dos equipamentos é de propósito geral. Requer grande habilidade da mão-de-obra devido à variedade de tarefas a serem desempenhadas. A flexibilidade é alta, mas a eficiência baixa. Os investimentos são menores e a utilização é maior. Uma peça visita diversos setores da fábrica. O fluxo de materiais não é suave, como no arranjo físico por produto. Tipicamente há muito fluxo entre os setores e pouco fluxo dentro de cada setor. O sistema de produção é mais complicado e decisões operacionais como programação e carga são importantes e difíceis. Os níveis de estoque e os leadtimes são maiores. Dept A A Torno Dept B Retífica Dept C Montagem Torno Retífica Montagem Figura.3 Arranjo físico funcional..4 Arranjo físico celular Baseia-se no agrupamento de peças em famílias. Uma família possui peças com características de projeto e/ou processo similares como forma, composição do material, ferramental, controles. No arranjo físico celular as máquinas agrupadas são capazes de realizar um conjunto de operações diferentes (figura.4), mas suficiente para produzir uma gama de peças completas na saída. Tipicamente há muito fluxo dentro da célula e pouco fluxo entre as células.

17 Célula 1 Célula Célula 3 Torno Fresa Prensa Fresa Montagem Furadeira Mandril Retífica Solda Pintura Figura.4 Arranjo físico celular Para realizar um agrupamento, seja de peças em famílias, de máquinas, ou mesmo de outros conjuntos de dados, alguns algoritmos definem uma medida de similaridade para gerar a matriz de similaridade/dissimilaridade. A partir da matriz é que se torna evidente a existência ou não dos grupos. A seguir são apresentadas algumas medidas de similaridade usadas em problemas de agrupamento e mais especificamente em projeto de arranjo físico...4.1 Medidas de similaridade A medida de similaridade avalia quão perto ou longe está um elemento de outro em um conjunto de dados. A literatura (KAUFMAN; ROUSSEEUW, 1990; COLE, 1998; EVERITT; LANDAU; LEESE, 001; HUANG, 003) apresenta diversas medidas de similaridade e de distância (dissimilaridade), definidas a partir da natureza dos dados e do objetivo do problema. Quando se trabalha com similaridade, quanto maior o índice, mais próximos estão os elementos, já com a distância ocorre o inverso. Para dados contínuos, as medidas mais usadas são a distância Euclidiana, a distância city-block e a distância Minkowski (KAUFMAN; ROUSSEEUW, 1990; COLE, 1998). A distância Euclidiana é dada por: d( i, j) ( x x ) ( x x )... ( x x ) = i1 j1 + i j + + in jn (.1)

18 ou seja, a distância entre dois objetos é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo. A distância city-block, ou distância Manhattan, é bastante usada em projeto de arranjo físico, pois considera a distância possível de ser percorrida entre dois objetos, por exemplo, através de corredores perpendiculares. Esta distância é definida por: d i j x x x x x x (, ) = i1 j1 + i j +... + in jn (.) dada por: A distância Minkowski é uma generalização das distâncias Euclidiana e city-block, e é q q q q (, ) i1 j1 i j... in jn d i j = x x + x x + + x x (.3) onde q 1. Entretanto, em alguns problemas de agrupamento, a distância não pode ser usada como medida de dissimilaridade, dado que os valores dos elementos não são escalares. Por exemplo, em um problema que envolve atributos como endereço e nível de escolaridade são necessárias outras medidas que mostrem o grau de proximidade entre os elementos do conjunto de dados. Para problemas relacionados à célula de fabricação, que envolvem a formação de famílias de peças e agrupamento de máquinas a partir de matriz binária peça-máquina, o coeficiente de Jaccard é um dos mais adotados (GONÇALVES FILHO, 004a). O coeficiente de Jaccard para similaridade de peças é definido como: S P ij M = N ij N + N N, onde (.4) M ii M jj M ij P S ij = Similaridade entre as peças i e j; M N ij = Número de máquinas requeridas por ambas as peças;

19 M N ii M N jj = Número de máquinas requeridas pela peça i somente; = Número de máquinas requeridas pela peça j somente. O coeficiente de Jaccard para similaridade de máquinas é definido como: S M ij P = N ij N + N N, onde (.5) P ii P jj P ij M S ij = Similaridade entre as máquinas i e j; P N ij = Número de peças processadas por ambas as máquinas; P N ii = Número de peças processadas pela máquina i somente; P N jj = Número de peças processadas pela máquina j somente. GONÇALVES FILHO (1988) propôs um coeficiente de similaridade usado para projeto de células de fabricação que indica como dois conjuntos de máquinas, representando duas peças, se interceptam. Considere uma peça representada por um conjunto de máquinas requeridas para seu processamento. O coeficiente de similaridade S entre duas peças X e Y é definido por: ( X Y ) ( X Y ) n S( X, Y ) = onde, (.6) n n(x Y) representa o número de máquinas requeridas pela peça X e não requeridas pela peça Y e n(x Y), o número de máquinas comuns requeridas pelas duas peças. Outra classe de medida de similaridade usada em projeto de arranjo físico é a que trabalha com comparação de seqüência de operações das peças. Essas medidas identificam diferenças e relações entre duas rotas. Em geral trabalham com operações de substituição, inserção e remoção de operações. Entre as medidas baseadas em seqüência de operações estão a distância de Levenshtein (TAM, 1990), coeficiente LCS (mais longa subseqüência comum)