0.
MTERIL PROISÓRIO ORREÇÃO NÃO FOI FINLIZ
ÍNIE. INTROUÇÃO. SISTEMS E PROJEÇÃO. GEOMETRI ESRITI. OORENS. SINIS. REPRESENTÇÃO EM ÉPUR. IST E PERFIL (TEREIR PROJEÇÃO) 4. ESTUO RET 4. ETERMINÇÃO E RETS 4. POSIÇÕES RELTIS ENTRE RET E PLNO 4. LSSIFIÇÃO S RETS 4. PRTIULRIES 4.4 PERTINÊNI E PONTO À RET 4.5 PONTOS NOTÁEIS RET 4.5. ETERMINÇÃO O TRÇO HORIZONTL 4.5. ETERMINÇÃO O TRÇO ERTIL 4.5. TRÇOS HORIZONTL E ERTIL N RET E PERFIL 4.5.4 TRÇOS HORIZONTL E ERTIL NS EMIS RETS 4.6 POSIÇÕES RELTIS ENTRE US RETS 4.6. NÁLISE S POSIÇÕES RELTIS EM ÉPUR 4.7 POSIÇÕES RELTIS ENTRE US RETS E PERFIL 4.8 EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO 5. ESTUO OS PLNOS 5. ETERMINÇÃO E PLNOS 5. POSIÇÕES RELTIS ENTRE OIS PLNOS 5. LSSIFIÇÃO OS PLNOS 5.4 RETS PERTENENTES OS PLNOS 5.5 EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO 5.6 PERTINÊNI RET O PLNO EM ÉPUR 5.6. RETS O PLNO HORIZONTL OU E NÍEL 5.6. RETS O PLNO FRONTL OU E FRENTE 0 0 06 07 08 09 0 0 4 5 6 6 9 0 4 5 9 40 4 45 46
5.6. RETS O PLNO E PERFIL 5.6.4 RETS O PLNO ERTIL 5.6.5 RETS O PLNO E TOPO 5.6.6 RETS O PLNO PRLELO LINH E TERR 5.6.7 RETS O PLNO QUE PSS PEL LINH E TERR 5.6.8 RETS O PLNO QULQUER 5.6.9 QURO SÍNTESE E PERTINÊNI E RET PLNOS 5.7 RETS E MÁXIMO ELIE (M) E MÁXIM INLINÇÃO (MI) 5.7. QURO SÍNTESE S RETS E M E MI 6. SÓLIOS GEOMÉTRIOS 6. ÂNGULOS SÓLIOS 6. POLIEROS REGULRES 6. POLIEROS IRREGULRES 6.4 SÓLIOS E REOLUÇÃO 6.5 EXERÍIOS 6.6 UIS 7. SEÇÃO PLN 7. EXEMPLOS 8. MÉTOOS ESRITIOS 8. RETIMENTO 8.. EXEMPLOS 8. MUNÇ E PLNO 8.. MUNÇ E PLNO E PLNO ERTIL 8.. MUNÇ E PLNO HORIZONTL 8.. EXEMPLOS 8. ROTÇÃO 9. PLNIFIÇÃO 9. EXEMPLOS 0. PLNO QULQUER E OS MÉTOOS ESRITIOS 0. EXEMPLOS 48 50 5 54 55 57 60 6 6 65 66 67 7 7 74 79 80 88 0 0 04 5 6 7 0 7 7 8 44 45. ILIOGRFI 46 4
. INTROUÇÃO ive-e em um mundo tridimenional, onde o objeto ão decrito equematicamente, fazendo-e referência à altura,largura e profundidade. urante muito éculo, dede quando o homem pré-hitórico eboçava ua caça na parede da caverna procurou-e a forma de como repreentar objeto de um univero tridimenional em uperfície bidimenionai Ete quetionamento e dá, inicialmente, ao nível da repreentação do objeto já exitente, ma em e tratando de elemento que ainda etão na mente do eu criador, o fato e agrava, e ainda mai quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nee cao, torna-e imprecindível uma maneira de tranmitir a idéia do projetita ao eu realizador. om o advento da Revolução Indutrial, eta neceidade tornou-e ainda mai imperativa, poi o itema produtivo até então, utilizava-e de mão-de-obra arteanal, onde a "comunicação técnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade. partir do momento em que objeto paam a er produzido em quantidade coniderável, fez-e neceário o uo da de uma repreentação projetiva baeada não mai no "olhar humano" que abidamente vê e interpreta o objeto deformando ua medida, ângulo e forma, ma, uma repreentação que contemplae a reai medida do objeto, para que ua confecção foe precia e confiável. Em ua genialidade, Gapar Monge, com uma idéia "ecandaloamente imple", revoluciona a repreentação de objeto tridimenionai, imprimindo-lhe um caráter técnico e de precião. Gapard Monge naceu a 0 de maio de 746, na cidade de eaune e faleceu em Pari, a 8 de julho de 88. om 6 ano já revelava a diveridade de ua aptidõe técnica e intelectuai, motrando ua habilidade como deenhita e inventor. Era pouidor de "dedo capaze de traduzir com fidelidade geométrica eu penamento".. SISTEMS E PROJEÇÃO o olharmo ao noo redor, podemo perceber que etamo envolvido por diferente itema projetivo. Uma eão de cinema,ou a imple ombra de um objeto que varia em função da direção do raio luminoo, ão uficiente para fazermo uma analogia com o diferente itema projetivo. divera ombra ou imagen formada e devem, entre outro fatore, a relação de ditância com a uperfície onde a ombra é projetada, à direção do raio, e ao tipo de fonte luminoa, quer eja olar ou artificial. Em função da grandeza do Sol, quando comparada a Terra, e de ua ditância para com a mema, podemo coniderar eu raio paralelo entre i. Já a iluminação artificial é coniderada puntiforme e ua emião de raio luminoo e dá de forma radial. Tudo ito, determina diferente reultado. onideremo um ponto qualquer no epaço, poicionado no finito ou no infinito, como endo o olho de um obervador. Se foe poível interceptarmo com um plano,o raio viuai que chegam ao olho obervador, teríamo uma imagem correpondente ao objeto obervado. Eta imagem recebe o nome técnico de projeção. 5
Também, ao colocarmo uma tela móvel diante do raio luminoo de um projetor, obteremo ditinta projeçõe (imagen) de acordo com a poição e o tipo de uperfície da tela. naliando o exemplo anteriore, podemo fazer uma analogia com o elemento de um itema de projeção. Um itema de projeção é contituído por cinco elemento báico. São ele: entro de Projeção, Linha Projetante, Objeto, Projeção e Plano de Projeção. (O) FINITO / INFINITO P (r) ( ) P Ângulo de Incidência da linha Projetante o centro de projeção (O) parte uma linha projetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina a projeção P, do ponto (P). im podemo etabelecer a eguinte relação: (O) ( r ) (P) P ( ) entro de Projeção Linha Projetante Ponto Objetivo Projeção do Ponto (P) Plano de Projeção Fonte de Luz / Olho do obervador Raio Luminoo / Raio iual Objeto Sombra / Imagem Tela / nteparo 6
O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem a linha projetante, podendo localizar-e no Finito ou Infinito, denominando-e centro Próprio ou Impróprio, repectivamente. (O) Quando conideramo o centro de projeção PRÓPRIO, a linha projetante partem divergente em direção ao plano de projeção correpondendo aim ao raio de uma lâmpada incandecente. eta forma, temo o Sitema ônico de Projeção. () () () Quando conideramo o centro de projeção IMPRÓPRIO, a linha projetante partem paralela em direção ao plano de projeção, correpondendo aim ao raio do ol. Oberve que no itema ilíndrico o ângulo de incidência de toda a linha projetante ão iguai para uma mema direção, e o centro de projeção não é percebido por e encontrar no infinito. Etudaremo agora cada um do itema, percebendo ua caracterítica e particularidade. Inicialmente, conideraremo o objeto (bidimenional) em uma poição fixa no epaço equiditante (paralelo) ao plano de projeção. () No Sitema ônico a projeção não regitra a reai dimenõe do objeto, ou eja, ele NÃO É repreentado em ua verdadeira grandeza (). Oberve que no exemplo da figura ao lado ocorre uma ampliação do objeto projetado. Nete itema, o centro de projeção pode ocupar vária poiçõe, o que interferirá no reultado da projeção. () No Sitema ilíndrico Oblíquo o objeto é repreentado em EREIR GRNEZ, ma devido ao diferente valore que o ângulo de incidência pode aumir (em função da direção da linha projetante) teremo vária opçõe para a localização da projeção obre o plano. () Já no Sitema ilíndrico Ortogonal, o objeto etá expreo em ua ma, ao contrário do itema anteriore, exite uma única projeção que o repreenta, poi a direção também é única. 7
No itema cônico, quando o objeto (bidimenional) não etá paralelo ao plano, a projeção deixa de etar emelhante ao objeto no epaço. Já no itema cilíndrico a projeção deixa de etar congruente ao objeto. () () () () () () () () () claificação oblíquo e ortogonal dentro do itema cilíndrico não etá em função do ângulo que a linha projetante forma com o objeto, e im com o plano de projeção. Eta obervação e faz neceária, poi até agora temo coniderado o objeto paralelo ao plano, onde o ângulo que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção ão iguai, no entanto erão diferente quando não houver tal paralelimo. onhecendo melhor o Sitema ilíndrico Ortogonal (PROJEÇÃO ORTOÉRI) () () Na figura ao lado,o itema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndrico porque a linha projetante ão paralela entre i, e oblíquo porque o ângulo de incidência da linha projetante com o plano não é reto. () () Na figura ao lado, o itema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em amba figura o itema é cilíndrico, claificação eta que etá em função do paralelimo entre a projetante. Quanto à claificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência da projetante com o plano de projeção. Nete cao, endo o referido ângulo, reto, ete recebe a claificação de ortogonal. Oberve que no deenho anteriore o objeto não é projetado em ua dimenõe reai, poi no Sitema ilíndrico o paralelimo é a condição exigida para a obtenção da projeção em verdadeira grandeza. eja a íntee do Sitema ilíndrico Ortogonal de Projeção que é o itema que fundamenta a Geometria ecritiva. a - linha projetante empre erá perpendicular ao plano de projeção. b - O objeto omente erá repreentado em ua quando etiver paralelo ao plano de projeção. () () 90º 8
c - ditância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimenão da projeção, poi a linha projetante ão paralela, pouindo, portanto, um memo ângulo de incidência. () () () () () () () () () () () () d - O que altera a dimenõe da projeção em relação ao objeto é o ângulo do memo em relação ao plano de projeção. () () () () () () eja o exemplo do círculo incrito em um quadrado, poicionado de maneira paralela, oblíqua e perpendicular ao plano de projeção. projeçõe comportam-e de forma diferente. PERSPETI IST ORTOÉRI 9
. GEOMETRI ESRITI (G)promove o etudo do objeto atravé de ua projeçõe ortoédrica obre plano perpendiculare entre i. Inicialmente utiliza-e de um plano horizontal e outro vertical. partir dete doi elemento, Gapar Monge cria um itema projetivo que permite regitrar a tridimenionalidade do objeto. intereção do plano horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha de Terra que o divide em emi-plano e ete, por ua vez, delimitam o epaço em quatro regiõe denominada de "diedro". linha de terra recebe dua barrinha paralela em ua extremidade poicionada obre o. im, a correta interpretação da linha de terra permite identificar a poiçõe do e. oube ao geômetra italiano Gino Lória o recuro de introduzir, no itema mongeano de projeção, o terceiro plano perpendicular ao doi primeiro, plano ete que recebe o nome de plano de perfil,. Embora o etudo da Geometria ecritiva contemple o quatro diedro, ete material didático dará um enfoque quae que excluivo ao primeiro diedro. Ito facilitará a tranição entre o deenho técnico e o deenho arquitetônico. º IERO º IERO º IERO 4º IERO Um ponto ituado no epaço etabelece uma relação de ditância com o plano de projeção. Portanto, cada ponto é definido por coordenada que ão regitrada atravé da projeçõe obre o plano. ale alientar que a Geometria ecritiva faz uo do Sitema ilíndrico Ortogonal de Projeção, fato ete que determina uma única projeção em cada plano de projeção. nte de apreentarmo a coordenada vamo etabelecer uma convenção para ditinguirmo a diferente projeçõe de um memo objeto em cada plano. (P) P' (P) P" (P) P' P" (P) P P projeção do ponto (P) no é denominada projeção horizontal P. projeção do ponto (P) no é denominada projeção vertical P'. projeção do ponto (P) no é denominada projeção de perfil P''. notação do ponto erá feita com letra maiúcula ou número do alfabeto arábico, que deverão etar entre parêntee. expreão "Ponto" deve er empregada omente para o objeto. 0
IMPORTNTE: quando repreentarmo um objeto no diedro, etaremo utilizando omente o plano, Horizontal e ertical de projeção, conequentemente o objeto erá repreentado atravé de dua projeçõe; ma quando a repreentação for feita no triedro, etaremo inerindo o plano de Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano. linha imaginária, que contém a projeçõe P e P', é denominada LINH E HM. P' linha de chamada 0 (P) P" linha de chamada P. OORENS Para que poamo ituar um objeto no epaço, preciamo conhecer a ditância de eu ponto para com o plano de projeção. im, cada ponto é definido por um trio ordenado compoto por x, y e z, denominado abcia, afatamento e cota, repectivamente, onde: P' af 0 ab (P) ct P P" bcia ( ab): é a ditância do ponto ao. fatamento ( af): é a ditância do ponto ao ota ( ct): é a ditância do ponto ao plano Etá implícito que a "ditância" é a menor poível,ou eja, medida obre um alinhamento perpendicular ao plano. IENTIFIQUEMOS LGUMS IGULES ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da Linha de hamada à origem (interecção do trê plano). mba traduzem a abcia. ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da projeção horizontal P à LT. mba traduzem o afatamento. ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da projeção vertical P' à LT. mba traduzem a cota. Logo, podemo ter dua definiçõe para a coordenada: uma ao nível epacial, relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando a projeçõe à Linha de Terra.
É muito importante eta dupla conceituação da coordenada, poi é objetivo da Geometria ecritiva regitrar o objeto atravé de ua projeçõe, e ito exige que deenhemo uando o "conceito projetivo", ma que viualizemo o "conceito epacial", ou eja, e tivermo um objeto no epaço eremo capaze de deenhá-lo, e e no depararmo com o eu deenho eremo capaze de concebê-lo. ONEITO ESPIL bcia (ab): é a ditância do ponto ao. fatamento (af): é a ditância do ponto ao. ota (ct): é a ditância do ponto ao. ONEITO PROJETIO bcia: é a ditância da Linha de hamada à origem. fatamento: é a ditância da projeção horizontal à LT. ota: é a ditância da projeção vertical à linha de terra.. SINIS O plano de projeção, quando obervado lateralmente, reduzem ua uperfície à linha reta, e aemelham-e ao plano carteiano da matemática, aumindo o memo valore (poitivo e negativo), tanto para cota, quanto para o afatamento. Já a abcia terá como referencial a origem marcada obre a linha de terra. Então, o ponto (diferente de projeçõe) ituado: à direita da origem pouem... abcia poitiva; á equerda da origem pouem... abcia negativa; acima do plano horizontal pouem...cota poitiva; abaixo do plano horizontal pouem...cota negativa; anteriore ao plano vertical pouem...afatamento poitivo e poteriore ao plano vertical pouem...afatamento negativo. ito que etaremo priorizando o Primeiro iedro, etaremo excluindo o inai negativo para afatamento e cota.
. REPRESENTÇÃO EM ÉPUR té agora, temo utilizado a perpectiva, que não é baeada no itema cilíndrico ortogonal, para apreentação e compreenão da. partir dete momento, começaremo a caminhar no entido de no valer dela própria, para a análie de figura e objeto no epaço. Tomemo um ponto com coordenada genérica: () ( b ; f ; t ). Entre o centro de projeção e o objeto, poicionaremo um obervador que enxergue com "olho do itema cilíndrico ortogonal". onideremo que, apó o regitro da projeçõe, o objeto eja retirado; com ito, o obervador na poiçõe e, etaria recebendo a eguinte imagen. LINH E TERR Ob.: origem obre a linha de terra regitra a poição a er ocupada oportunamente pelo Plano de Perfil. LINH E TERR POSIÇÃO POSIÇÃO tente para o fato de que o obervador percebe a coordenada abcia e afatamento, e o obervador percebe abcia e cota. Novamente, uma da coordenada não é percebida de acordo com a poição do obervador. Ma e unirmo a dua figura pela Linha de Terra, teremo em um único deenho a coordenada b, f e t, onde a linha de chamada poiciona-e perpendicular à LT.
Outra maneira de obtermo o memo reultado eria ubmeter o Plano Horizontal a um giro de 90º no entido horário. ÚNIO OSEROR Eta operação denomina-e RETIMENTO. eta forma, o obervador faz "leitura" de toda a coordenada em uma única poição. Eta forma de repreentação denomina-e ÉPUR. Oberve que o reultado é exatamente o memo quando da junção da imagen vita eparadamente pelo obervador na poiçõe e na página anterior. ÉPUR - hama-e épura a repreentação e o etudo do problema decritivo da figura e corpo do epaço, dado por ua projeçõe no doi plano ortogonai, depoi da coincidência dee doi plano apó o rebatimento. Ete rebatimento poderia acontecer também com o giro do plano vertical obre o horizontal no entido anti-horário, e teríamo o memo reultado final; ma por quetõe didática adotaremo o giro horário do plano horizontal. eta maneira, a projeçõe horizontai poitiva, na repreentação em épura, apó o rebatimento, paam a er regitrada abaixo da LT, repeitando, aim, o rebatimento. omo o plano vertical permanece fixo no epaço, a projeçõe verticai com cota poitiva continuam a er regitrada acima da LT. e igual maneira, a abcia não ofrem alteraçõe em face ao rebatimento, permanecendo poitiva à direita da origem e negativa à equerda. evido ao fato do plano horizontal e vertical receberem obre i a trê coordenada neceária ao etudo do ólido durante ano procurou-e deenvolver todo o etudo epaciai apena com dua vita ortogonai. No entanto, o uo itemático do Plano de Perfil tornou a G mai fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil etá preente?. IST E PERFIL (TEREIR PROJEÇÃO) Para que tenhamo um único obervador com capacidade de leitura em épura do trê plano imultaneamente, faz-e neceário um egundo rebatimento, agora do Plano de Perfil que ofrerá um giro de 90º para a direita conforme a figura a eguir. ' ct af af " ct ' ct af af " ct ' ct af Eixo af " ct N e t e e x e m p l o, o plano foram rebatido apó o regitro da trê projeçõe, ou eja, a terceira projeção já exite. Ma como eria obter a terceira projeção à partir da p r o j e ç õ e r e p r e e n t a d a apena no diedro? Oberve que a projeção obre o Plano de Perfil é compota apena pela coordenada afatamento e da cota. 4
' ' ' " º PSSO Levar a informaçõe relativa ao afatamento e cota até o eixo. º PSSO lçar a ditância correpondente ao afatamento até a LT. º PSSO ruzar a informaçõe e obter a ita de Perfil (ª projeção). operação alçamento deve er feita de maneira a manter inalterada a medida da informação que etá endo tranportada. Para ito é neceário o uo do compao ou do equadro de 45º, apoiado na régua paralela. entrar o compao ' " ' " ' " OU OU 45º poição primitiva do plano é na abcia "zero", por ito o eixo encontra-e junto à origem. No entanto um objeto pode pouir ponto que podem ficar à direita, à equerda ou memo obre o. ' " ' " " ' 5
Podemo concluir que em relação ao eixo, o reultado ão iguai. No entanto, podemo no deparar com ituaçõe em que utilizar o eixo obre a origem pode dificultar a interpretação da projeçõe, o que não é deejável. ' " " ' ' ' ' ' " " " " " " " " ' ' ' ' O exemplo acima motra o congetionamento cauado pela obrepoição da projeçõe, embora ambo o deenho etejam tecnicamente correto. ito que o objetivo dete material didático é facilitar o enino da G, etaremo, empre que for conveniente, permitindo o delocamento do eixo para uma abcia diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfil auxiliar. Oberve que em todo o cao a terceira projeção etá na mema altura da projeção vertical. Tome ito como regra. eja o exemplo a eguir. IST FRONTL IST LTERL IST LTERL IREIT (SE ONSIERRMOS O OJETO) IST LTERL ESQUER (SE ONSIERRMOS O OSEROR) IST SUPERIOR 6
4. ESTUO RET hama-e projeção de uma reta obre um plano ao lugar geométrico da projeçõe de todo o eu ponto obre ee plano. 4. ETERMINÇÃO S RETS Uma reta pode er determinada por: ( ) r () () () a - doi ponto ditinto; b - um ponto e uma direção; c - doi plano ecante 4. POSIÇÕES RELTIS ENTRE RET E PLNO ( ) r () a- Equiditante: () b- oncorrente: () () () () ( ) ( ) - paralela - pertencente - oblíqua - perpendicular 4. LSSIFIÇÕES S RETS oi ponto ditinto no epaço podem definir ete tipo genérico de reta. Primeiramente etaremo reunindo-a em trê grupo. Grupo - Grupo da reta que etão perpendiculare a um do plano de projeção e conequentemente paralela ao outro doi. im pouem uma projeção pontual e dua projeçõe em verdadeira grandeza. São denominada reta PROJETNTES. ' " ' () " ' () " () RET ERTIL RET E TOPO RET FRONTO-HORIZONTL 7
Grupo - Grupo da reta que etão paralela a omente um do plano de projeção, conequentemente oblíqua ao outro doi. im pouem apena uma projeção em verdadeira grandeza. ' () " ' () " ' " () RET HORIZONTL RET FRONTL RET E PERFIL Grupo - Grupo da reta oblíqua ao trê plano de projeção. Sua projeçõe não pouem verdadeira grandeza. ' " RET QULQUER () gora etudaremo, uma a uma, a reta. ocê deverá utilizar a maquete do triedro para analiar a reta que erá apreentada por ua perpectiva e épura. a - RET ERTIL ' " () ' " RTERÍSTIS NO ESPÇO a reta é: - perpendicular ao ; - paralela ao ; e - paralela ao. OS PONTOS da reta pouem: - abcia iguai; - afatamento iguai; e - cota diferente. EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é pontual; e a - vertical é perpendicular à LT. Poui no e. 8
b - RET E TOPO ' () " ' " RTERÍSTIS NO ESPÇO a reta é: - paralela ao ; - perpendicular ao ; e - paralela ao. OS PONTOS da reta pouem: - abcia iguai; - afatamento diferente; e - cota iguai. EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é perpendicular à LT; e a - vertical é pontual. Poui no e. c - RET FRONTO-HORIZONTL RTERÍSTIS ' () " ' " NO ESPÇO a reta é: - paralela ao ; - paralela ao ; e - perpendicular ao. OS PONTOS da reta pouem: - abcia diferente; - afatamento iguai; e - cota iguai. EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é paralela à LT; - vertical é paralela à LT; e a - projeção de perfil é pontual no. Poui no e d - RET HORIZONTL ou de NÍEL RTERÍSTIS ' " ' " NO ESPÇO a reta é: - paralela ao ; - oblíqua ao ; e - oblíqua ao. () OS PONTOS da reta pouem: - abcia diferente; - afatamento diferente; e - cota iguai. EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é oblíqua à LT; e a - vertical é paralela à LT. Poui no. 9
e - RET FRONTL ou de FRENTE RTERÍSTIS ' ' " NO ESPÇO a reta é: - oblíqua ao ; - paralela ao ; e - oblíqua ao. () " OS PONTOS da reta pouem: - abcia diferente; - afatamento iguai; e - cota diferente. f - RET E PERFIL EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é paralela à LT; e a - vertical é oblíqua à LT. Poui no. ' " ' " RTERÍSTIS () RET E PERFIL ORTOGONL À LT. ' " NO ESPÇO a reta é: - oblíqua ao ; - oblíqua ao ; - paralela ao. OS PONTOS da reta pouem: - abcia iguai; - afatamento diferente; e - cota diferente. EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é perpendicular à LT; e a - vertical é perpendicular à LT. Poui no. ' () " RET E PERFIL PERPENIULR À LT. Eta é a única reta que poui verdadeira grandeza omente na vita de perfil (terceira projeção), daí algun autore enfatizarem o aunto "vita de perfil", quae que excluivamente para a reta de perfil. reta de perfil pode epacialmente tocar ou não a Linha de Terra, ito e reflete em épura atravé de ua projeçõe. Oberve a terceira projeçõe deta reta de perfil, e compare-a. última dela poui afatamento nulo no memo ponto em que a cota também é nula, portanto é uma reta de perfil perpendicular à LT. outra é ortogonal à LT. 0
g - RET QULQUER RTERÍSTIS NO ESPÇO a reta é: - oblíqua ao ; - oblíqua ao ; e - oblíqua ao. " ' " OS PONTOS da reta pouem: - abcia diferente; - afatamento diferente; - cota diferente. ' () EM ÉPUR (Triedro) a projeção: - horizontal é oblíqua à LT; e - vertical é oblíqua à LT. NÃO POSSUI PROJEÇÃO EM EREIR GRNEZ RET QULQUER REERS À LT. ' " ' () " RET QULQUER ONORRENTE À LT. a mema forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT endo claificada de concorrente ou revera à LT repectivamente. Faça com ela a mema comparação que foi feita entre a reta de perfil. ica: para memorizar o nome da reta utilize um cubo "aramado" com a face paralela ao plano de projeção. - areta do cubo erão a reta do º Grupo. - diagonai da face erão a reta do º Grupo. - diagonai do cubo erão a reta do º Grupo. (t) (fh) (v) (p) (h) (f) (q) RETS O º GRUPO RETS O º GRUPO RETS O º GRUPO Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência )
EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO nalie pirâmide repreentada no triedro e preencha o epaço com o nome da reta e do grupo correpondente. ada reta (egmento de reta) é determinada por doi ponto ditinto. ' " ' ' ' ' " " " " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada dupla de ponto na épura reduzida repota correta é deejável, porém o raciocínio epacial é o principal objetivo. Por io ue a maquete. EXEMPLO: Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência e ) ' " I II III ' " ' " ' ' ' ' " " "" ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' " I I ' " ' " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " I II III I I Quando neceário, corte o inal de igual (=) para tranformá-lo em diferente (=) O ponto () e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta qualquer (º Grupo) ab = ab = ab = ab = af = af = af = af = ct = ct = ct = ct = O ponto () e () determinam uma reta ab = af = ct = O ponto () e (G), eixo da pirâmide, determinam uma reta ab = af = ct = IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE Solicite outra lita complementare com exercício de identificação da reta no ólido.
EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO nalie o hexaedro repreentado no triedro e preencha o epaço com o nome da reta e do grupo correpondente. ada reta (egmento de reta) é determinada por doi ponto ditinto. 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada dupla de ponto na épura reduzida repota correta é deejável, porém o raciocínio epacial é o principal objetivo. Por io ue a maquete. 4 Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência e ) I II III 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I I 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I II III I I O ponto (4) e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta O ponto () e () determinam uma reta O ponto (4) e () determinam uma reta O ponto (G) e (4) determinam uma reta IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE INFERIOR Quando neceário, corte o inal de igual (=) para tranformá-lo em diferente (=) ab = af = ct = ab = ab = ab = ab = ab = af = af = af = af = af = ct = ct = ct = ct = ct = Solicite outra lita complementare com exercício de identificação da reta no ólido.
4. PRTIULRIES O etudo da reta envolve alguma particularidade que detacaremo a eguir. Toda a reta paralela a um plano de projeção poderá pertencer a ele, batando que a coordenada correpondente eja nula. Ito implica que, epacialmente, a reta e torne pertencente ao plano e coincidente com a própria projeção. () () ( ) ( ) ' () " única reta que não pode pertencer a nenhum do plano de projeção é a reta qualquer, poi a mema e encontra oblíqua ao trê plano de projeção. pertencente paralela im endo, a reta do egundo grupo, horizontal, frontal e de perfil podem pertencer a omente um plano de projeção. ' () " ' () " ' " () RET HORIZONTL RET FRONTL RET E PERFIL () ' " ' " () ' " () RET HORIZONTL do RET FRONTL do RET E PERFIL do Para evidenciarmo eta condição particular da reta vamo acrecentar por "obrenome, tal caracterítica. 4
reta do primeiro grupo, vertical, de topo e fronto-horizontal podem pertencer a até doi plano de projeção. ' " ' () " ' () " () RET ERTIL RET E TOPO RET FRONTO-HORIZONTL ' () " ' () " ' () " RET ERTIL do RET de TOPO do RET FRONTO-HORIZONTL do ' ' " () () " " ' () RET ERTIL do RET de TOPO do RET FRONTO-HORIZONTL do " () ' ' () " ' () " RET ERTIL do e do RET de TOPO do e RET FRONTO-HORIZONTL do e do (Linha de Terra) 5
4.4 PERTINÊNI E PONTO À RET Um ponto pertence a uma reta quando ua projeçõe pertencem à projeçõe de memo nome da reta, ou eja: - a projeção horizontal do ponto obre a projeção horizontal da reta - a projeção vertical do ponto obre a projeção vertical da reta - a terceira projeção do ponto obre a terceira projeção da reta P P P (P) P " ' " ' () P P Qualquer que eja a reta e um ponto pertencente a ela, eta trê condiçõe deverão er atifeita; ma, excetuando-e a reta de perfil, a demai reta podem er analiada apena no diedro ( e ), ou eja, um ponto pertencerá a reta e a projeçõe do ponto pertencerem a repectiva projeçõe horizontal e vertical da reta. P' ' (P) () P" " P' ' P" " P P RET E PERFIL IST E PERFIL Portanto, a reta de perfil deverá neceariamente er analiada na trê projeçõe, o que implica na obtenção da terceira projeção. 6
4.5 PONTOS NOTÁEIS RET São ponto onde a reta atravea plano notávei. Etaremo enfocando a intereção da reta com o plano horizontal e vertical de projeção. Ete ponto onde a reta "fura" o plano ão denominado de traço de reta. (Na G traço = intereção) () (H) Uma reta omente poui traço obre um plano quando for concorrente a ele; etando equiditante (paralela ou pertencente) não pouirá o traço. oniderando o ambiente iédrico e a poição da reta, ela poderá ter de um a doi traço. exceção fica para a reta frontohorizontal, que é a única reta não concorrente ao e. TRÇOS RET NOS PLNOS HORIZONTL E ERTIL E PROJEÇÃO O traço de uma reta obre um plano é empre um ponto único. Em relação ao plano horizontal e vertical no ambiente do primeiro diedro a reta pode concorrer com ele em trê poiçõe genérica: no, no e obre a Linha de Terra. Então o que temo a fazer é a identificação da exitência dete ponto na reta. PONTO NO PONTO NO PONTO N LT 4.5. ETERMINÇÃO O TRÇO HORIZONTL ' H H ' O traço horizontal (H) empre pertencerá ao plano horizontal poi, empre terá cota nula. Portanto, em épura prolongae a projeção vertical até a LT (onde a cota e torna nula) e determina-e a linha de chamada do ponto (H) procurado. projeção H pertencerá a projeção e a projeção H' pertencerá a projeção '. H' ' (H) H () " H" ' 4.5. ETERMINÇÃO O TRÇO ERTIL ' O traço vertical () empre pertencerá ao plano vertical poi, empre terá afatamento nulo. Portanto, em épura prolonga-e a projeção horizontal até a LT (onde o afatamento e torna nulo) e determina-e a linha de chamada do ponto () procurado. projeção pertencerá a projeção e a projeção ' pertencerá a projeção '. () ' ' " () " 7
EM RESUMO TEMOS: Para determinarmo um traço prolonga-e inicialmente a projeção de nome contrário até que a mema concorra com a LT, onde erá determinada a linha de chamada correpondente ao traço procurado. tenção: eta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de eu ponto na vita de perfil. ejamo outro exemplo em épura. ' r' r' ' ' r' ' H r H r H H r ' H" " " () Se a reta é concorrente à LT, ma poui doi traço (reta de perfil e qualquer), ele etarão coincidente na própria LT, ou eja, o ponto de afatamento nulo, também é o ponto de cota nula. tente para o fato de que doi ponto coincidente não definem uma reta. () (H) ' H H' Oberve no exemplo anteriore que dua projeçõe encontram-e obrigatoriamente obre a LT. São ela: - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afatamento nulo); H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula). Ou eja, H' na LT. Tome ito como regra. 4.5. TRÇOS HORIZONTL E ERTIL N RET E PERFIL obtenção do traço horizontal e vertical na reta de perfil é realizada atravé da utilização da terceira projeção (vita lateral), poi nete tipo de reta a imple análie no diedro não é uficiente para a identificação da pertinência do ponto à reta. eta maneira, temo que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará a projeçõe H" e " e retornar com a informaçõe para a abcia correpondente determinando aim a projeçõe do traço horizontal e vertical repectivamente. 8
4.5.4 TRÇOS HORIZONTL E ERTIL NS EMIS RETS " ' " ( ) ' ' () " ' () " H' () H" ( H) H RET ERTIL RET E TOPO RET FRONTO-HORIZONTL () ' " ' " " () ' () ' () " ' " H' H" H' () H" (H) H (H) H RET HORIZONTL RET FRONTL RET E PERFIL ORTOGONL À LT () ' " ' () " H" ' H" " " () ' () H" " " H' (H) H () ' (H) H H' () (H) ' H H' RET QULQUER RET QULQUER RET E PERFIL REERS À LT ONORRENTE À LT PERPENIULR À LT 9
4.6 POSIÇÕES RELTIS ENTRE US RETS a - Quando coplanare podem er: RETS QUE MITEM POSSIILIE E PERTENEREM UM MESMO PLNO (b) (a) (b) (a) OINIENTES PRLELS (a) (b) (a) (b) ONORRENTES PERPENIULRES Quando concorrente, e formarem um ângulo reto, ão denominada de reta perpendiculare. Tanto a reta paralela, quanto a concorrente, podem pertencer a plano d i t i n t o, m a a i n d a a i m ã o coniderada coplanare, poi empre exitirá um plano que a contenham b - Quando não coplanare podem er: RETS QUE NÃO MITEM POSSIILIE E PERTENEREM UM MESMO PLNO (r) (r) (a) (b) (c) (a) (b) (c) REERSS Toda a reta de um plano que não concorrem com uma reta oblíqua a ele ão denominada revera, ou ainda revea em relação à referida reta. ORTOGONIS Toda a reta de um plano que não concorrem com uma reta perpendicular a ele ão denominada ortogonai em relação à referida reta. ua reta podem: - não pouir ponto comum (paralela e revera); - pouir um único ponto comum (concorrente ou incidente); - pouir mai de um ponto comum (coincidente). 4.6. NÁLISE S POSIÇÕES RELTIS EM ÉPUR om exceção da reta de perfil, poderemo, atravé da análie da projeçõe no diedro ( e ), conhecer qual é a poição relativa entre amba, ito porque a reta de perfil neceita de er analiada no triedro. a- Reta oncorrente: dua reta coplanare que pouem um único ponto comum ão denominada concorrente ou incidente. Teorema: dua reta concorrente projetam-e em geral, egundo projeçõe concorrente. 0
PRIMEIRO SO SEGUNO SO TEREIRO SO a b a b a b b a a b a b S PROJEÇÕES E MESMO NOME, S US RETS, ONORREM EM UM MESM LINH E HM. US PROJEÇÕES E MESMO NOME, SE ONFUNEM, E S OUTRS US SÃO ONORRENTES. UM PROJEÇÃO PONTUL PERTENE PROJEÇÃO E MESMO NOME OUTR RET. ua reta concorrente podem er perpendiculare. eja o teorema de Monge na página eguinte b- Reta Paralela: dua reta coplanare, que não pouem ponto comum ão denominada, reta paralela. Teorema: dua reta paralela projetam-e em geral, egundo projeçõe paralela. PRIMEIRO SO SEGUNO SO TEREIRO SO a b b a a b a a b a b b S PROJEÇÕES E MESMO NOME SÃO PRLELS ENTRE SI. US PROJEÇÕES E MESMO NOME SE ONFUNEM E S OUTRS US SÃO PRLELS. US PROJEÇÕES PONTUIS E MESMO NOME SÃO ISTINTS. c- Reta Revera: dua reta ão revera quando não pouírem ponto comum e não forem paralela; portanto, poderemo identificá-la por excluão, ou obervando o doi cao abaixo. PRIMEIRO SO SEGUNO SO a b a b ua reta revera podem er ortogonai. a a b b S PROJEÇÕES E MESMO NOME, S US RETS, NÃO ONORREM EM UM MESM LINH E HM. UM PROJEÇÃO PONTUL NÃO PERTENE À PROJEÇÃO E MESMO NOME OUTR RET.
d- Reta oincidente: dua reta ão coincidente quando ua projeçõe de memo nome e confundem. Na prática, é uma única reta com doi nome. tenção: podemo ter egmento não coincidente obre reta coincidente. a b a b R S a b a b R S e- Perpendicularimo Teorema de Monge: "Quando dua reta ão perpendiculare entre i no epaço, endo uma dela paralela a um plano dado, em que a outra eja perpendicular ao plano, a projeçõe deta dua reta obre o plano ão perpendiculare entre i. () Em épura, ito ignifica que, e uma projeção de uma reta forma um ângulo reto com a projeção em de uma outra, a reta erão perpendiculare e concorrente... (r) r PERPENIULRES ()... e ortogonai e forem revera. (r) r PERPENIULRES () (r) Ma quando uma for paralela e a outra perpendicular ao plano, bata a projeção pontual pertencer à outra projeção e erão perpendiculare entre i no epaço... r PERPENIULRES () (r)... contudo, e a projeção pontual etiver fora, erão ortogonai. r ORTOGONIS Obervação: quando dua reta perpendiculare ou ortogonai no epaço (cao particulare de reta concorrente e reta revera repectivamente) etiverem oblíqua a um plano dado, omente erão identificada, com o uo de método decritivo,ma por hora poderemo identificála como concorrente ou revera.
4.7 POSIÇÕES RELTIS ENTRE US RETS E PERFIL No etudo da poiçõe relativa entre dua reta de perfil, iremo recorrer ao uo da terceira projeção, também conhecida por vita lateral. Podemo encontrá-la em dua ituaçõe genérica: quando pouírem a mema abcia e quando a abcia forem ditinta. a - ua Reta de Perfil em uma mema abcia. POSSUINO MESM ISS JMIS SERÃO REERSS OU ORTOGONIS. b" a" b" a" a" (a) (b) (a) (b) (a) (b) b" (a) (b) a" b" PRLELS OIIENTES ONORRENTES PERPENIULRES projeçõe de perfil projeçõe de perfil projeçõe de perfil projeçõe de perfil paralela coincidente concorrente perpendiculare b - ua Reta de Perfil em abcia diferente POSSUINO ISSS IFERENTES, JMIS SERÃO ONORRENTES OU PERPENIULRES. (a) a" b" (b) (a) a" b" b" (b) a" (b) (b) a" (a) (b) (a) b" PRLELS projeçõe de perfil paralela PRLELS projeçõe de perfil coincidente REERSS projeçõe de perfil concorrente ORTOGONIS projeçõe de perfil perpendiculare
4.8 EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO nalie a pirâmide repreentada no triedro e preencha o epaço com o nome da poição relativa entre cada dupla de reta. poiçõe relativa entre dua reta ditinta podem er: paralela, concorrente, perpendiculare, revera, ortogonai. Lembre-e que reta perpendiculare e reta ortogonai ão cao particulare da reta concorrente e reta revera repectivamente. ' " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada dupla de reta (egmento) na épura reduzida. ' ' ' ' " " " " EXEMPLOS: Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência ) ' " I II III ' " ' " ' ' ' ' " " "" ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' " I I ' " ' " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " I reta dada pelo ponto ()() e ()() ão concorrente (º cao) II reta dada pelo ponto ()() e ()() ão paralela (º cao) III reta dada pelo ponto ()() e ()() ão I reta dada pelo ponto ()() e ()() ão reta dada pelo ponto ()() e ()() ão I reta dada pelo ponto ()(G) e ()() ão IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE Solicite outra lita complementare com exercício de identificação da poiçõe relativa da reta no ólido. 4
nalie o hexaedro repreentado no triedro e preencha o epaço com o nome da poição relativa entre cada dupla de reta. poiçõe relativa entre dua reta ditinta podem er: paralela, concorrente, perpendiculare, revera, ortogonai. Lembre-e que reta perpendiculare e reta ortogonai ão cao particulare da reta concorrente e reta revera repectivamente. 4' ' ' ' " " 4" " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada dupla de reta (egmento) na épura reduzida. ' ' ' ' " " " " 4 Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência ) I II III 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I I 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I II III I I reta dada pelo ponto ()() e (4)() ão reta dada pelo ponto ()() e ()() ão reta dada pelo ponto ()(4) e ()() ão reta dada pelo ponto ()() e ()() ão reta dada pelo ponto (4)() e ()() ão reta dada pelo ponto (G)() e ()(4) ão IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE INFERIOR Solicite outra lita complementare com exercício de identificação da poiçõe relativa da reta no ólido. 5
5. ESTUO OS PLNOS 5. ETERMINÇÃO E PLNOS Na geometria elementar temo plano definido por: () () () () TRÊS PONTOS ISTINTOS NÃO OLINERES UM RET E UM PONTO EXTERIOR EL US RETS ONORRENTES US RETS PRLELS UM RET E UM IREÇÃO im como a reta, o plano podem ocupar vária poiçõe em relação ao plano de projeção, recebendo por io nome diferente. G repreenta o plano, além do modo fornecido pela geometria elementar, pelo eu traço. Traço de plano é a reta reultante da intereção dete em outro plano. 6
O traço de um plano obre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, endo denominada de TRÇO HORIZONTL. O traço de um plano obre o plano vertical de projeção é uma reta de afatamento nulo, endo denominada de TRÇO ERTIL. enominaremo de TRÇO E PERFIL ou TEREIRO TRÇO, a intereção do plano com o plano de perfil. Ete traço erá uma reta de abcia contante. TRÇO HORIZONTL TRÇO ERTIL TRÇO E PERFIL Etaremo adotando a iniciai do nome genérico dado ao plano na língua portuguea. Utilizando por exemplo o plano (Q) temo: poiçõe do traço de um plano em relação à LT ão variávei, ito é, podem o traço ocupar poiçõe diferente, conforme a ituação do plano, ma quando um plano for oblíquo à LT, determinará obre ela um único ponto de concorrência. ete ponto nacem o traço horizontal e vertical. Qo Q Q' O valor da abcia dete ponto, permite determinar o traço do plano à partir do conhecimento da angulação dete com a LT. Ete ponto recebe a notação em épura de Qo para um plano (Q), To para um plano (T) e aim por diante. Lembre-e que ele poui afatamento e cota nulo, ma, ua abcia pode aumir diferente valore. 7
5. POSIÇÕES RELTIS ENTRE OIS PLNOS Um plano em relação a outro plano poderá etar oblíquo ou equiditante. a) - quando equiditante: PRLELOS OINIENTES b) - quando oblíquo: ONORRENTES PERPENIULRES Na G quando um plano etá perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado de plano projetante. Eta particularidade, e bem entendida, facilitará em muito o etudo do plano. nte de claificarmo o plano egundo ua poiçõe no triedro, detalharemo melhor a caracterítica do plano projetante. enominaremo o traço (intereção) reultante do perpendicularimo entre doi plano de traço projetante. (Um do doi é plano de projeção). Oberve que a linha projetante, ao incidirem perpendicularmente obre o plano de projeção, têm ua trajetória obre o plano ( ), o que implica na localização da projeçõe do elemento pertencente a ete plano, obre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, eu traço repreenta, não omente a i próprio, ma, toda infinita uperfície plana. Quando um plano não é projetante, eu traço traduz tão omente ua intereção com o plano de projeção, portanto todo o demai elemento do plano projetam-e fora dele. Então podemo concluir que: O traço projetante recebe obre i toda a projeçõe de memo nome, do elemento pertencente ao plano. Tome ito como regra. Ito ignifica que: - o traço horizontal, quando projetante, recebe a projeçõe horizontai do elemento pertencente ao plano; - o traço vertical, quando projetante, recebe a projeçõe verticai do elemento pertencente ao plano; e - o traço de perfil, quando projetante, recebe a projeçõe de perfil do elemento pertencente ao plano. 8
O entendimento do conceito de plano projetante é etendido a figura plana no epaço. Sempre que uma figura plana etiver perpendicular a um plano ua projeção obre ele, erá um egmento de linha reta. 5. LSSIFIÇÃO OS PLNOS O plano ão ilimitado, o que permite que o memo alcancem mai de um diedro. ontudo, priorizaremo o etudo do plano à ua porçõe útei no primeiro diedro, ou eja, todo o ponto que pouam afatamento e cota iguai ou uperiore a zero. PORÇÃO ÚTIL O PLNO NO º IERO naliado em relação ao trê plano de projeção, o plano podem er claificado em trê grupo. Grupo - Grupo do plano que ão paralelo a um do plano de projeção, e conequentemente, perpendiculare (projetante) ao outro doi. PLNO HORIZONTL PLNO FRONTL PLNO E PERFIL Grupo - Grupo do plano que ão perpendiculare a omente um do plano de projeção, e conequentemente, oblíquo ao outro doi. PLNO ERTIL PLNO E TOPO PLNO PRLELO À LT PLNO QUE PSS PEL LT Grupo - Grupo do plano que ão oblíquo ao trê plano de projeção, conequentemente, jamai erá paralelo ou perpendicular a qualquer um do plano de projeção. PLNO QULQUER 9
a - PLNO HORIZONTL ou E NÍEL (PLNO PROJETNTE NO E NO ) L' L'' L' L'' (L) RTERÍSTIS NO ESPÇO: - paralelo ao ; - perpendicular ao ; e - perpendicular ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - poui apena o traço vertical paralelo à LT. b - PLNO FRONTL ou E FRENTE (PLNO PROJETNTE NO E NO ) F'' (F) F" F F RTERÍSTIS NO ESPÇO: - perpendicular ao ; - paralelo ao ; e - perpendicular ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO): poui apena o traço horizontal paralelo à LT c - PLNO E PERFIL (PLNO PROJETNTE NO E NO ) P' P' (P) Po P Po P RTERÍSTIS NO ESPÇO: - perpendicular ao ; - perpendicular ao ; e - paralelo ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - o t r a ç o h o r i z o n t a l e v e r t i c a l ã o perpendiculare à LT. 40
d - PLNO E TOPO (PLNO PROJETNTE NO ) T' T'' To T' T" To T (T) T RTERÍSTIS NO ESPÇO: - oblíquo ao ; - perpendicular ao ; e - oblíquo ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO): - traço vertical oblíquo à LT; e - traço horizontal perpendicular à LT. e - PLNO ERTIL (PLNO PROJETNTE NO ) (Z) Z' Z'' Z' Z" Zo Zo Z RTERÍSTIS NO ESPÇO: - perpendicular ao ; - oblíquo ao ; e - oblíquo ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - traço horizontal oblíquo à LT; e - traço vertical perpendicular à LT. f - PLNO PRLELO LT (PLNO PROJETNTE NO ) K' K' (K) K'' K" K K RTERÍSTIS NO ESPÇO: - oblíquo ao ; - oblíquo ao ; e - perpendicular ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - traço horizontal e vertical paralelo à LT. 4
g - PLNO QUE PSS PEL LT (PLNO PROJETNTE NO ) Ete plano não conegue er definido por eu traço no diedro, poi para o memo traço pode o plano aumir diferente angulaçõe com o e o, neceitando portanto, de um ponto que o fixe no epaço. No exemplo abaixo o ponto () é o ponto auxiliar. X X' ' X" () (X) X X' X" RTERÍSTIS NO ESPÇO: - oblíquo ao ; - oblíquo ao ; e - perpendicular ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - traço horizontal e vertical coincidente na LT. h - PLNO QULQUER (ÚNIO PLNO NÃO PROJETNTE) Qo Q' (Q) Q Q" Qo Q' Q Q'' RTERÍSTIS NO ESPÇO - oblíquo ao ; - oblíquo ao ; e - oblíquo ao. RTERÍSTIS EM ÉPUR (IERO) - traço horizontal e vertical oblíquo à LT. 4
5.4 RETS PERTENENTES OS PLNOS nte de analiarmo em épura, a pertinência da reta ao plano, apreentaremo o tipo de reta genérica que cada plano pode conter. tente para o fato de que o plano qualquer é o único plano que contém quatro tipo diferente de reta, enquanto o demai, apena trê. Lembre-e que o traço do plano (que ão reta), já revelam tipo de reta pertencente ao plano. breviaçõe do nome da reta: h- horizontal f - frontal v - vertical t - de topo fh - fronto-horizontal p - de perfil q - qualquer (fh) (h) (t) ( ) f (v) (v) (p) (fh) ( ) t PLNO HORIZONTL PLNO FRONTL PLNO E PERFIL (f) (q) (v) (h) (q) (fh) (q) (p) (t) PLNO E TOPO PLNO ERTIL PLNO PRLELO À LT (q) (p) (q) (fh) (f) (h) (p) PLNO QUE PSS PEL LT PLNO QULQUER 4
Exemplo: 5.5 EXERÍIOS E FIXÇÃO O ONTEÚO nalie a pirâmide repreentada no triedro e preencha o epaço com o nome do plano definido pelo trê ponto indicado. Lembre-e de que trê ponto ditinto não colineare no epaço determinam um Plano. ' " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada triângulo formado pela reta (egmento) na épura reduzida. ' ' ' ' " " " " Figura Plana do Grupo QURO SÍNTESE PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR (EM ) - LINH - LINH Figura Plana do Grupo PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR - FIGUR - LINH Figura Plana do Grupo PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR - FIGUR - FIGUR EXEMPLOS: Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência e ) ' " I II III ' " ' " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " "" ' " I I ' " ' " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " I II III I I de TOPO O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),() e () determinam um plano ERTIL O ponto (),() e () determinam um plano PRLELO a LT O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),(G) e () determinam um plano IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE FIGUR - FIGUR - LINH FIGUR - FIGUR - LINH FIGUR - FIGUR - LINH Solicite outra lita complementare com exercício de identificação de figura plana no ólido. 44
nalie o hexaedro (cubo) repreentado no triedro e preencha o epaço com o nome do plano definido pelo trê ponto indicado. Lembre-e de que trê ponto ditinto não colineare no epaço determinam um Plano. 4' ' ' ' " " 4" " Evidencie com caneta ou lápi colorido cada triângulo formado pela reta (egmento) na épura reduzida. QURO SÍNTESE ' ' ' ' " " " " Figura Plana do Grupo PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR (EM ) - LINH - LINH Figura Plana do Grupo PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR - FIGUR - LINH 4 Figura Plana do Grupo PROJEÇÕES EM FORM E: FIGUR - FIGUR - FIGUR Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência e ) I II III 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I I 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " 4' ' ' ' " " 4" " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " 4 4 4 I II III I I O ponto (),() e (4) determinam um plano O ponto (4),() e () determinam um plano O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),() e () determinam um plano O ponto (),() e (G) determinam um plano IENTIFIQUE O PONTO (G) NO ENTRO SE INFERIOR Solicite outra lita complementare com exercício de identificação de figura plana no ólido. 45
5.6 PERTINÊNI RET O PLNO EM ÉPUR e maneira prática uma reta pertence a um plano quando poui doi ponto ditinto obre ele. preentaremo cinco condiçõe para uma reta pertencer a um plano para analie em épura. condiçõe a e b não requerem a utilização do traço do plano. a - Toda reta concorrente com dua reta de um plano, em ponto ditinto, pertence ao plano () (x) (r) ' ' r r x r r x b - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do memo plano etá contida no plano. () ' ' r r x (r) (x) r r x 46
condiçõe c e d utilizam-e do traço do plano c - Toda reta que tem eu traço () e (H) ditinto, obre o traço de memo nome do plano, etá contida no plano. ' Q' ' Q () ' ' Qo (H) () Q Qo H' H Q Qo () (H) Q' ( ) () Q Quando uma reta (qualquer ou perfil) pouir o doi traço, e ete forem coincidente (ito ó acontece na LT), embora ejam nominalmente doi ponto e contituem geometricamente em um único ponto, o que não é uficiente para determinar a pertinência da reta obre o plano. Nete cao, faz-e neceário a utilização de um ponto auxiliar obre o plano. d - Toda reta que e apóia em um do traço do plano e é paralela ao outro, etá contida no plano. Q' Q' ' ' () Qo H' Qo H (H) Q Q 47
e - SOS IMEITOS (PLNOS PROJETNTES) - Toda reta (nete cao válido para qualquer ente geométrico poível de pertencer a um plano) que poui ua projeção obre o traço projetante de memo nome, pertence ao plano. (er página 4) O único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ele etá fora deta análie. O demai plano poderão er analiado no diedro, exceto o plano paralelo à LT e o plano que paam pela LT, que deverão er analiado no triedro (uo da terceira projeção). É importante alientar que neta condição de análie, não e neceita do traço da reta, ma quando determinado obedecerão à condiçõe repectiva expota anteriormente. T' T' ' T' a' (a) To ' a' To ' ' r' To T a T a T r PLNO E TOPO PROJETNTE NO K H' (K) K' ( ) ' K K" ' " () " H" ' " ' K" ' H H ( ) H H PLNO PRLELO À LT H K PROJETNTE NO eguir apreentaremo atravé da perpectiva e da épura a reta pertencente a cada plano, oberve que o traço da reta pertencem ao traço de memo nome do plano. Utilize a maquete relacionada a ete aunto. (Maquete - Sequência E) 48
5.6. RETS O PLNO HORIZONTL OU E NÍEL PLNO HORIZONTL reta de topo PLNO HORIZONTL / reta de topo () ' ' L' " (L) " L" L' ' ' ' ' " " " " L" () PLNO HORIZONTL / reta fronto-horizontal PLNO HORIZONTL reta fronto-horizontal ' L' L" " L' ' ' ' " " " L" () (L) 49