Considere um gás dentro de um recipiente. Se passamos corrente pelo gás ele emite luz. Você vê este fenômeno todos os dias...

2 Aula 7.nb Considere um gás dentro de um recipiente. Se passamos corrente pelo gás ele emite luz. Você vê este fenômeno todos os dias... A faísca tem cor. A lâmpada de rua funciona desta maneira. Os avisos em Neon também. A surpresa surge quando analizamos as frequências da luz emitida. Para cada gás, apenas algumas frequências são emitidas. Por exemplo, quando o gás é o H 2 obtemos o seguinte resultado () Isso é muito estranho! Na física clássica tudo é contínuo. Algo discreto é novidade! Esses valores obtidos de são chamados o espectro do hidrogênio. Cada átomo tem seu espectro. Ou seja,

Aula 7.nb 3 Cada átomo tem um conjunto de frequências características em que ele emite. Essas frequências funcionam como uma assinatura do elemento em questão. É assim que sabemos que o sol é composto de Hidrogênio. Note que temos também a radiação de corpo negro do sol (lembra da radiação de corpo negro?).

4 Aula 7.nb As lâmpadas de rua são feitas de sódio. O sódio possui duas linhas intensas na região do amarelo. O que popularmente é chamado de avisos de Neon na verdade contém uma mistura de diversos gases. O Ne tem uma cor vermelho forte. O roxo vem do Ar. O Azul vem do Hg. O verde do Kr. O dourado do He. E o cinza-azulado do Xe. Se incidimos luz branca em um gás de hidrogênio, o efeito inverso é observado. Se decompomos a luz que atravessou o gás em um prisma, veremos um espectro contínuo com faixas nas posições onde a luz foi absorvida: Como essas linhas funcionam como uma assinatura dos elementos, podemos inferir os elementos presentes no sol. Grande parte da luz produzida pelo sol vem de seu núcleo, que é mais quente.

Aula 7.nb 5 Essa luz, para chegar na terra, passa pela parte externa do sol e é absorvida pelos elementos que a compõem. Este misterioso fato sobre o espectro de emissão de gases foi muito estudado por diversas décadas a partir de 850. Inclusive criou-se uma nova profissão: os espectroscopistas, pessoas que se dedicavam exclusivamente a mapear o espectro de diferentes compostos. Um destes espectroscopistas foi Anders Jonas Angstrom. Daí o nome da unidade. No entanto, apesar de todo o esforço em mapear o espectro dos elementos, não se conhecia o motivo por trás deste comportamento. O primeiro avanço mais substancial neste sentido veio com Johann Balmer. Balmer era um professor do ensino médio na suiça que tinha um apreço grande por padrões. Em 885 ele foi capaz de encontrar o padrão por trás do espectro do Hidrogênio O padrão estava no inverso de = número de onda Balmer foi capaz de inferir que / satisfaz a seguinte fórmula = R H 4 -, n = 3, 4, 5, 6,... 2 n onde R H é uma constante, hoje chamada de constante de Rydberg: R H = 0.00974 nm - = 9.268 nm (não confunda com a constante R dos gases ideais!!) Esta série ficou conhecida como Série de Balmer. Vejamos como isso funciona: n = 3: n = 4: n = 5: n = 6: = 0.00974 4-9 = 0.00974 4-6 = 0.00974 4-25 = 0.00974 4-36 = 0.005243 = 656. nm = 0.00205757 = 486.0 nm = 0.00230448 = 433.9 nm = 0.0024386 = 40. nm Podemos comparar estes resultados com os valores anteriores. () Note como a série de Balmer prevê outras linhas com n = 7, 8, 9, etc.

6 Aula 7.nb n = 7: n = 8: etc. = 0.00974 4-49 = 0.00974 4-64 = 0.0025948 = 396.9 nm = 0.0025796 = 388.8 nm Essas novas linhas estão no ultra-violeta e por isso não tinham sido observadas antes. Mas, em seguida à descoberta de Balmer, os espectroscopistas buscaram e lá estavam elas. O físico Johannes Rydberd generalizou a fórmula de Balmer notando que /4 = 2 2. Portanto, de acordo com Rydberg, deveriam existir também outras linhas descritas pela fórmula = R H n f 2 - n i 2 Diferentes séries dizem respeito a diferentes valores de n f A série de Balmer corresponde ao caso particular n f = 2 De fato, após a proposta de Rydberg estas novas séries foram descobertas. n f = Em homenagem a Theodore Lyman n i = 2: = 0.00974-2 2 = 0.0082305 = 2.5 nm n i = 3: = 0.00974-3 2 = 0.00975467 = 02.5 nm n i = 4: = 0.00974-4 2 = 0.00288 = 97.2 nm n i = 5: = 0.00974-5 2 = 0.00535 = 94.9 nm Os elementos desta série se encontram na região do ultra-violeta. n f = Como vimos, ela possui alguns elementos no visível e outros no ultra-violeta n f = Em homenagem Friedrich Paschen

Aula 7.nb 7 Exercício: complete as lacunas n i = 4: =? =? n i = 5: =? =? n i = 6: =? =? n i = 7: =? =? Em qual parte do espectro se encontram estas linhas? Resposta: n i = 4: = 0.00974 3-2 4 2 = 0.000533458 = 874.6 nm n i = 5: = 0.00974 3-2 5 2 = 0.000780373 = 28.4 nm n i = 6: = 0.00974 3-2 6 2 = 0.000945 = 093.5 nm n i = 7: = 0.00974 3-2 7 2 = 0.000995374 = 004.7 nm

8 Aula 7.nb A série de Balmer e a fórmula de Rydberg representaram um grande avanço no entendimento das linhas espectrais. No entanto, ainda não havia uma explicação física para o que de fato estava ocorrendo. Isso só veio em 92 com Neils Bohr. Bohr foi talvez o cientísta mais importante no desenvolvimento da mecânica quântica, por diversas razões. Já falamos sobre o Bohr antes: George de Hevesy (o cara que usou chumbo radioativo para descobrir as tramóias de sua governanta) trabalho junto com Bohr na descoberta do Háfnio. Vocês vão ouvir muito sobre o Bohr nessa e nas próximas aulas. Em 92 Bohr publicou um modelo para explicar o átomo. Este modelo teve consequências profundas no desenvolvimento da física quântica. Mas antes de vermos o modelo de Bohr, precismos nos contextualizar historicamente. Antes de 92 já se sabia que a matéria era composta de átomos e que estes tinham uma parte negativa e outra positiva. Sabia-se também que a eletricidade era conduzida pela parte negativa do átomo, aquilo que hoje chamamos de elétrons. Além disso, como já vimos, J. J. Thomson e Robert Millikan já haviam determinado a massa e a carga do elétron. Assim, as pessoas sabiam que a massa do elétron era muito menor que a massa do átomo. Consequentemente, quase toda a massa do átomo deveria estar concentrada na parte positiva (já que o átomo é neutro). A grande questão era: Como as cargas positivas e negativas estão distribuídas dentro do átomo? Essa é uma das questões centrais para se entender a estrutura da matéria. J. J. Thomson, a mesma pessoa que anos antes havia medida a razão carga/massa do elétron, propos em 904 um modelo para o átomo. O modelo dele se assemelhava a um Panetone. Os elétrons faziam o papel das uvas passas, encrustradas em uma massa esférica carregada positivamente.

Aula 7.nb 9 - - - - - - - - - Se for um chocotone, então o elétron seria representado pelas gotas de chocolate. Neste caso estaríamos falando do modelo do chocotone. Thomson, por questões de simetria, assumiu que o panetone era esférico. Na verdade, Thomson chamava seu modelo de um Pudim de passas, mas não temos pudim de passas no Brasil. Nos EUA as pessoas chamam de Blueberry Muffin... mas não temos muitos blueberry muffisn no Brasil. Resumo da idéia: os elétrons eram corpúsculos (essa era a palavra usada pelo Thomson) a parte positiva era nebulosa, esparramada, ocupando todo o tamanho do átomo. J. J. Thomson foi agraciado pelo prêmio Nobel em 906 pelo seu trabalho anterior na descoberta do elétron. Contestar um laureado não é tarefa fácil. Para isso foi necessário outro laureado! Ernest Rutherford. Em 909 Hans Geiger e Ernest Marsden, que trabalhavam no laboratório de Ernest Rutherford em Manchester, publicaram um experimento que era claramente incompatível com o modelo do Panetone. Rutherford já havia sido laureado com o prêmio Nobel em química em 908 pela sua contribuição na descoberta das partículas Partículas = núcleos de He (naquela época não se conheciam núcleos). O experimento de Geiger e Marsden consistia em irradiar uma fina folha de ouro com partículas, e examinar a direção para onde elas eram espalhadas.

0 Aula 7.nb Folha de Au Feixe de partículas Abaixo segue o artigo original do Geiger e Marsden.

Aula 7.nb A vasta maioria das partículas sofria pouca deflexão. O ângulo médio de deflexão era de 0.87 graus (quase nada!). No entanto, uma em 20 000 sofria uma deflexão completa, sendo refletida na direção oposta à incidente. Isso hoje é conhecido como retro-espalhamento. Note você: partículas são carregadas positivamente. O espalhamento (= colisão) deve ocorrer entre as partículas e outras partículas positivas. Um evento com tamanha deflexão e tão raro não pode ser explicado pelo modelo do Panetone. Se a carga positiva está esparramada, o retro-espalhamento deveria ser frequente. Os resultados de Geiger e Marsden levaram seu supervisor, Ernest Rutherford, a propor um novo modelo para o átomo.

2 Aula 7.nb Vejamos alguns trechos do artigo

Aula 7.nb 3 De acordo com Rutherford, para descrever o retroespalhamento, era necessário que o diâmetro da carga positiva fosse diminuto comparado com o diâmetro do átomo. Inclusive, Rutherford estimou que este diâmetro deveria ser em torno de 3 0-4 m (algo não muito distante do valor verdadeiro). Portanto, no modelo de Rutherford os elétrons se comportavam como planetas, orbitado em torno de um centro positivamente carregado. Thomson = Panetone. Rutherford = elétrons orbitando. Você imaginaria que, por já ser um prêmio Nobel, a comunidade científica aceitaria as cegas qualquer afirmação que viesse de Rutherford. Nana-nina-não: o trabalho de Rutherford foi extremamente criticado. O principal movito é o seguinte: Se o elétron está orbitando, ele deve possuir uma aceleração centrípeta. De acordo com o eletromagnetismo, cargas aceleradas devem emitir radiação e perder energia. (É assim que funciona uma antena: chacoalhamos os elétrons e eles emitem radiação). Portanto, os elétrons no átomo de Rutherford não seriam estáveis. Ao orbitarem, eles deveria perder energia e eventualmente colidir com o núcleo. Ou seja, a matéria não seria estável. Certamente, sabemos que isso não acontece.

4 Aula 7.nb O ano era 92. Thomson dizia que átomos eram como panetones. Rutherford, baseado em evidências de que a carga positiva estava concentrada em um núcleo, havia proposto que os elétrons estavam em órbita. Então surgiu Neils Bohr. Neils Bohr, dinamarquês, era na época um recém doutor em um país com pouquíssima tradição em ciência (Seu orientador de doutorado se chamava Christian Christianssen... imagine alguém chamado João Joâncio) No entanto, o rei da Dinamarca tinha um apreço grande por ciência e estava investindo na pesquisa. Bohr, após concluir seu doutorado, recebeu uma bolsa para passar um ano em qualquer laboratório da Europa que desejasse. Muito inteligente, Bohr percebeu a importância científica do imbróglio entre Thomson e Rutherford. Ele decidiu passar 6 meses em cada laboratório. Primeiro ele passou 6 meses no laboratório de Thomson em Cambridge. E depois 3 meses no laboratório de Rutherford em Manchester (ele não ficou os 6 meses pois recebeu uma oferta de emprego na Dinamarca). Analisando as evidências a favor de cada modelo, Bohr então propos um modelo para o átomo. De acordo com esse modelo, a hipótese de Rutherford estava correta. O modelo de Bohr foi feito especificamente para o hidrogênio. E ele foi capaz de explicar a série de Balmer! O fato dele conseguir explicar a série de Balmer foi peso grande para mostrar que ele estava correto. estável De acordo com Bohr o átomo de hidrogênio é composto por um elétron orbitando em torno de um próton. No entanto, o elétron não pode ocupar qualquer órbita, mas apenas algumas órbitas específicas.

Aula 7.nb 5 3 2 p + Ou o elétron está na órbita ou na órbita 2 ou na órbita 3 ou na órbita 4, &c (é assim que livros antigos escreviam etc.) No modelo de Bohr as órbitas permitidas para o elétron são quântizadas. Isso é muito diferente da física clássica! Na física clássica tudo pode variar continuamente. O que caracteriza cada órbita é a sua energia. Cada órbita tem uma energia: E, E 2, E 3, E 4,... Essa energia está relacionada com a interação eletrostática entre o próton e o elétron. U =- ke2, k = 9 0 9 Nm 2 C 2 r As energias são em ordem crescente E < E 2 < E 3 < E 4 <... O estado de menor energia é chamado de estado fundamental E = estado de menor energia = estado fundamental. Outros estados = estados excitados. Confusão: as energias devem ser negativas. Já vimos isso antes: estados ligados tem energias negativas. Então E < E 2 mas E > E 2. O estado fundamental tem a menor energia, mas a maior energia em módulo. Isso é fácil: o estado fundamental corresponde à órbita menor. Portanto a energia eletrostática será a maior, em módulo.

6 Aula 7.nb De acordo com Bohr, transições entre órbitas são permitidas. Mas o elétron não passa continuamente de uma órbita para a outra. Ele da um pulo abrupto: num momento ele está em uma órbita, no seguinte ele está em outra. As transições entre órbitas, no entanto, envolvem a absorção ou emissão de fótons. Para subir nível o elétron absorve fóton. Para descer nível o elétron emite fóton. Absorção E f E f E i E i Emissão E f E f E i E i Um pulo da órbita 5 para a órbita 4 (que denotaremos por 5 4) envolve a emissão de um fóton. A energia do fóton emitido é h = E = E 4 - E 5 Em geral, a energia do fóton emitido será h = E = E f - E i Essa relação representa simplesmente um balanço energético: energia que entra = energia que sai. Para pular um nível o elétron deve absorver um fóton. A energia do fóton deve ser pelo menos E. Se a energia do fóton for menor do que E, nada acontece.

Aula 7.nb 7 Se ela for maior, uma parcela E é absorvida e o restante é emitido como outro fóton (com outro comprimento de onda). Se o átomo de hidrogênio estiver isolado no espaço, ele vai emitir fótons seguidos até chegar ao estado fundamental E. Ou seja, o elétron de um átomo de H isolado estaria no estado fundamental. A natureza sempre tende ao estado fundamental. Na presença de temperatura, a agitação térmica vez e outra chuta o elétron para um nível superior. Estes chutes são pouco frequentes à temperatura ambiente. Se olharmos para um gás em um recipiente, a enorme maioria dos átomos estará no estado fundamental. Alguns, no entanto, estarão em um dos estados excitados. Quando passamos corrente pelo gás excitamos os elétrons. Ou seja, a corrente elétrica promove os elétrons para estados excitados. Uma vez excitados, os elétrons tem a tendência de retornar para o estado fundamental. Para fazer isso eles emitem fótons. É por essa razão que observamos uma luz em uma faísca. Em uma carta ao seu irmão, Bohr disse: Quando eu fiquei sabendo da série de Balmer, tudo ficou claro na minha cabeça. Vímos que em um processo de emissão h = E = E i - E f Lembremos da fórmula de Rydberg = R H n - 2 2 f n i Multiplicando por hc: E fóton = hc = hcr H n - 2 2 f n i E fóton =- hcr H n i 2 - - hcr H n f 2 Ou seja, a energia de cada nível deve ser E n = E, n =, 2, 3, 4,... 2 n

8 Aula 7.nb onde E =-hcr H =-3.6 ev = energia do estado fundamental As energias de cada nível são, portanto: () - - - - - - - - Note: o estado fundamental tem a menor energia, mas a maior energia em valor absoluto. O estado fundamental é o mais ligado. Note como os níveis de energia variam com n 2. Em geral desenhamos isso como diagramas de energia: E 4 E 3 E 2 E Qual a energia e o comprimento de onda do fóton emitido na transição 2? A energia do fóton é igual a diferença de energia entre os estados: E fóton = E = (-3.6) - (-3.4) = 0.2 ev

Aula 7.nb 9 O comprimento de onda pode ser calculado lembrando da fórmula Portanto E fóton (ev) = 240 = 240 0.2 (nm) = 2.6 nm Qual a energia do fóton necessária para promover a transição 4? Qual o comprimento de onda resultante? A qual série pertence esta transição? A energia necessário do fóton corresponde à diferença de energia entre os estados: E fóton = (-3.6) -(0.85) = 2.75 ev O comprimento de onda correspondente será = 240 2.75 = 97.25 nm Considere as seguintes transições: 3 4 2 3 5 9 2 (a) Quais transições envolvem a emissão de fótons? E quais envolvem a absorção? (b) Qual processo envolve a emissão de um fóton com o maior comprimento de onda? (c) Qual processo envolve a emissão com a maior frequência? (d) Qual processo envolve a absorção de um fóton com o maior comprimento de onda? (e) Qual processo envolve a absorção com a maior frequência? Resposta (a) Emissão: 4 2 e 9 2 Absorção: 3 e 3 5 Para responder as outras, use o diagrama de energia acima. (b) Maior significa menor energia. Portanto: 4 2 (c) Maior significa maior energia. Portanto: 9 2 (d) Maior significa menor energia. Portanto: 3 5 (e) Maior significa maior energia. Portanto: 3

20 Aula 7.nb Lembremos até agora que, no modelo de Bohr E =-hcr H A constante de Rydberg R H fora determinada experimentalmente. O mais interessante do trabalho do Bohr, foi que ele conseguiu obter uma fórmula para E ou R H baseada somente em constantes fundamentais. É isso que torna o modelo importante: Ele deixa de ser mera especulação para se tornar uma ciência exata. Vejamos agora como Bohr conseguiu isso. No modelo de Bohr consideramos o elétron como orbitando em torno do núcleo. A energia total do elétron corresnde à energia cinética mais a energia potencial

Aula 7.nb 2 E = 2 m e v 2 - ke2 r onde v é a velocidade do elétron na órbita e r é o raio da órbita. Esse elétron obedece a lei de Newton. Portanto F = ke2 r 2 = m e a Agora precisamos de uma fórmula da mecânica: a aceleração centrípeta. De acordo com a mecânica clássica, a aceleração centrípeta de um corpo em órbita é a = v 2 r Se você não lembra dessa fórmula, não se preocupe: basta acreditar em mim! Com isso a lei de Newton se torna m e v 2 = ke2 m e v 2 = ke 2 r r 2 r Substituindo na fórmula da energia: E = 2 ke 2 r - ke2 r E =- 2 Nós vimos que E n = E n 2 ke 2 r Agora: olhando para a nossa fórmula de E, a única grandeza variável é o raio da órbita. Portanto, é necessário que r n = a 0 n 2 onde a 0 é uma constante, conhecida como raio de Bohr. Este resultado mostra que o raio de cada órbita varia com n 2

22 Aula 7.nb Obtemos então uma fórmula para E ke 2 E =- 2 a 0 O que falta agora é descobrir quem é a 0. Existem duas maneiras de se fazer isso. Uma delas é fácil, mas vai soar como roubalheira pois eu vou tirar uma fórmula da cartola. A outra é mais difícil e corresponde ao que de fato Bohr fez no artigo original. Eu vou fazer aqui o jeito fácil/roubado. Para descobrir quem é a 0 podemos usar uma fórmula chamada Regra da quantização de Sommerfeld : m e vr = nh 2 onde h é a constante de Planck (eu disse pra você que era roubalheira). Elevando os dois lados ao quadrado: m e 2 v 2 r 2 = n2 h 2 (2 ) 2 Vimos anteriormente que m e v 2 = ke2 r Usando isso na fórmula anterior:

Aula 7.nb 23 Ou seja m e ke 2 r r = n2 h 2 r 2 = n2 h 2 (2 ) 2 (2 ) 2 m e ke 2 Mas r = a 0 n 2. Portanto a 0 = h 2 (2 ) 2 m e ke 2 Substituindo os valores obtemos a 0 = Portanto 6.62 0-34 2 (2 ) 2 9. 0-3 9 0 9.602 0-9 2 5.3 0- m a 0 = h 2 0.053 nm (2 ) 2 2 m e ke Com o raio de Bohr em mãos podemos calcular a energia do estado fundamental: E =- 2 ke 2 a 0 =-0.5 Convertendo para ev: 2.8 0-8 E =- -3.6 ev -9.602 0 Que concorda com o resultado experimental. 9 0 9.602 0-9 2-2.8 0-8 J 0.053 0-9 Uma vez que temos E, podemos calcular também a constante de Rydberg pois E =-hcr H Como h c = 240 ev nm então R H = 3.6 240 = 0.0096 nm- Este resultado também concorda com o valor experimental. O modelo de Bohr introduziu a idéia de que o elétron pode ocupar apenas algumas órbitas. Ou seja, o movimento do elétron é quantizado. Essa idéia é completamente maluca do ponto de vista da física clássica. Suponha que você quer dar um peteleco no elétron. Classicamente esperamos poder dar um peteleco de qualquer intensidade.

24 Aula 7.nb E esperamos que a energia do sistema aumente continuamente com os nossos petelecos. Mas não é isso que o modelo de Bohr prevê. De acordo com esse modelo, se você der um peteleco fraco demais, nada acontece. O modelo de Bohr foi capaz de obter uma fórmula exata para a constante de Rydberg, que até então era medida experimentalmente. Essa constante depende apenas de constantes fundamentais da natureza: h, m e, k, e. Construir um modelo capaz de prever uma constante tão importante quanto R H é um feito e tanto. Além disso, o modelo de Bohr também foi capaz de descrever a série de Balmer e dar uma interpretação física a ela. O modelo de Bohr era incompatível com a física clássica (pois na física clássica tudo é contínuo)...... e com o eletromagnetismo (pois de acordo com o EM, cargas em órbitas deveriam emitir radiação e desacelerar). Além disso, o modelo de Bohr descobriu que E n = E n 2, mas isso só deu certo por que Bohr conhecia a série de Balmer. Por que não n 3 ou n 42? A teoria do Bohr era incapaz de explicar este fato. Outro problema: como descrever outros átomos além do hidrogênio? Assim como o modelo de Rutherford, o trabalho de Bohr recebeu opiniões mistas. Muitas pessoas importantes (por exemplo Einstein) acharam o trabalho de Bohr uma bobagem. Ou talvez uma heresia? Em alguns aspectos a ciência é muito parecida com a religião É difícil fazer com que os cientístas deixem de acreditar em certas crenças.

Aula 7.nb 25. Encontro os 5 primeiros comprimentos de onda da série de Brackett (n f = 4). Em que região do espectro estão estas linhas? 2. Sobre os modelos de Thomson e Rutherford: 2.. Quais outros doces poderiam ser usados para descrever o modelo de Thomson? 2.2. Qual foi o principal motivo que levou Rutherford a contestar o modelo de Thomson? 2.3. Qual era a principal crítica ao modelo de Rutherford? 3. Considere um elétron no átomo de H excitado do nível para o nível 3: 3.. Qual a diferença de energia envolvida? 3.2. Isso corresponde a uma absorção ou emissão? 3.3. Qual a frequência do fóton envolvido? 3.4. E o comprimento de onda? 3.5. Em qual região do espectro eletromagnético ele se encontra? 4. Qual a cor do fóton emitido numa transição e n = 3 para n = 2 no átomo de H? 5. Considere apenas as transições entre os níveis a 5. Em todos os casos abaixo, calcule a energia, a frequência e o comprimento de onda do fóton em questão. 5.. Qual transição envolve a emissão de um fóton com maior comprimento de onda? 5.2. Qual transição envolve a emissão de um fóton com maior frequência? 5.3. Qual transição envolve a absorção de um fóton com maior comprimento de onda? 5.4. Qual transição envolve a absorção de um fóton com maior frequência?