Comportamento caótico em um circuito RLC não-linear N. Carlin, E.M. Szanto, W.A. Seale, F.O. Jorge, F.A. Souza, I.H. Bechtold e L.R. Gasques Instituto de Física, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 66318, CEP 5315-97, São Paulo, Brazil O fenômeno de caos é investigado em um experimento relacionado com circuitos RLC, com o objetivo de estudar conceitos básicos e possíveis aplicações práticas. A substituição do capacitor por um diodo no circuito resulta em uma capacitância variável necessária para o aparecimento do caos. Programas de apoio são utilizados de maneira que os estudantes possam simular as trajetórias de caos. 1 Introdução Historicamente, o estudo de caos teve início em matemática e física, sendo que mais tarde foi estendido para outras áreas como engenharia, informática, ciências sociais, biologia e medicina. Nos últimos anos, tem aumentado o interesse em aplicações comerciais e industriais. Como exemplo pode-se mencionar o uso do caos em processamento de informações, análises financeiras e predição e controle de atividade cardíaca [1, 2]. O presente experimento é parte de uma série de atividades laboratoriais relacionadas a eletricidade, magnetismo e óptica para estudantes de segundo e terceiro anos do curso de bacharelado no Instituto de Física e Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, ambos situados na Universidade de São Paulo. O desenvolvimento e interpretação de experimentos é a base inicial do curso, juntamente com um estudo formal dos fenômenos em questão e uma introdução de aplicações com abordagem mais quantitativa. A infraestrutura adequada foi preparada, com computadores acoplados a interfaces para aquisição de dados, câmeras CCD para gravação de imagens, bem como softwares para realização de cálculos, simulações e gráficos em grupos de dois a três estudantes. Este experimento é realizado em três aulas, cada uma com quatro horas de duração. A primeira aula é dedicada para um estudo formal básico de ressonância em circuitos RLC e na segunda e terceira aula são introduzidos os conceitos básicos de caos, sendo que neste artigo, iremos nos concentrar na parte relacionada com caos. Ao final do experimento espera-se que os estudantes tenham adquirido algumas habilidades para fazer distinções entre comportamentos caóticos e randômicos, bem como, alguns conhecimentos sobre sistemas não-lineares e suas equações diferenciais. No circuito RLC o capacitor é substituído por um diodo, o que gera uma variação da capacitância em função da voltagem aplicada, resultando no aparecimento do caos. Os estudantes fazem observações experimentais da duplicação de período, que é uma das possíveis trajetórias para o caos, e coletam dados para construção do diagrama de bifurcações, sendo que deste diagrama é possível calcular o número de Feigenbaum [3]. O retrato de fase deste circuito é observado e comparado com o de um circuito RLC normal e simulações computacionais são realizadas para fixar a compreensão. 2 Base teórica Os conceitos básicos e nomenclaturas importantes para o entendimento deste experimento por partedos estudantes são expostos de uma maneira mais qualitativa. O primeiro conceito que os estudantesprecisam entender é que um sistema dinâmico pode ser representado por um conjunto de equações diferenciais. Em geral, é possível descrever um sistema dinâmico através do seguinte tipo de equações: dx = ax + by = f ( x; y) dy = cx + dy = g( x; y) (1)
Então, assume-se que o sistema possui um ponto de equilíbrio em (;). Portanto, uma solução geral do sistema tem a forma: x ( t) = x exp( t) y ( t) y exp( t) = (2) Substituindo-se as equações (2) em (1), obtem-se as equações abaixo: ( a λ ) x + by = ( d ) cx λ (3) + y = para as quais existe uma solução não-trivial se : ( a )( d λ) cb = λ (4) A partir da equação (4), percebe-se que existem duas trajetórias para o sistema encontrar o ponto de equilíbrio (;). Dependendo dos valores de a, b, c e d, existem diferentes trajetórias no espaço de fase (associadas com os valores das rotas µ 1 e µ 2), as quais não atingem o caos se os valores forem constantes. Entretanto, se os valores variam com o tempo, o caos pode ser atingido. Aqui, o comportamento caótico pode ser entendido como um estado intermediário entre um comportamento rígido e regular e um comportamento completamente randômico. A representação de um sistema físico depende de um ou mais parâmetros, denominados de parâmetros de controle (µ). Por exemplo, no caso de um circuito RLC, tanto a freqüência como a voltagem aplicada podem ser consideradas parâmetros de controle. O comportamento dinâmico de um sistema pode ser bastante diferente se os parâmetros de controle forem alterados. A perda de estabilidade geralmente é chamada de bifurcação. Por exemplo, quando o parâmetro de controle µ é variado, o sistema pode mudar de um ponto de equilíbrio estável para um instável ao atingir o valor crítico?. Neste caso, diz-se que houve uma bifurcação e µ c é o ponto de bifurcação, sendo que na bifurcação é possível observar o fenômeno de duplicação de período, o que corresponde a uma trajetória para o caos. Se o parâmetro µ for continuamente variado, o período pode duplicar novamente e isso pode ocorrer várias vezes até se atingir o caos. Continuando-se a variação de µ várias regiões de estabilidade e instabilidade podem ser observadas, o que usualmente são chamadas de janelas de caos. Foi verificado que os valores de µ, para os quais as bifurcações ocorrem, obedece à seguinte lei de universalidade: ( µ c µ c 1 ) ( µ µ ) lim = δ (5) n c+ 1 c A constante d quantifica quanto decresce a diference entre os valores do parâmetro de controle para duas bifurcações sucessivas e dá uma idéia da velocidade de chegada ao caos. Esta constante é conhecida como número de Feigenbaum ( d = 4,66921...), sendo universal para sistemas que apresentam duplicação de período [3]. Experimentalmente, quanto maior o valor de c, mais próximo d estará do valor acima. O circuito a ser estudado consiste de um gerador de função, um resistor R, um indutor L e um diodo D conectados em série. Devido à presença do diodo, o circuito se comporta como um oscilador forçado com uma resposta nãolinear, além disso, o diodo ainda introduz o grau de liberdade necessário para a geração de caos. A relação entre corrente e voltagem em um diodo foi estudada em um experimento anterior dos estudantes. Devido a propriedades da junção p-n, o diodo apresenta uma capacitância (C) não-linear, descrita por [4]: C ev kt D ( V ) = C exp D para V D >
( ) C V C D = para 1 D ev 2 D 1 exp kt V (6) onde V D é a voltagem no diodo, e é a carga do elétron, T é a temperatura em Kelvin e k = 1,38x1-23 J/K é a constante de Boltzmann. Portanto, o diodo pode ser modelado como uma capacitância (dependente da voltagem), em paralelo com um diodo ideal, como esquematizado no lado direito da Figura 1. Considerando a carga q e a corrente i como sendo as variáveis dinâmicas, as equações que descrevem um circuito linear RLC com uma voltagem aplicada V = sen? t, são: dq = di i = V sen R L 1 LC ( t) i q ω (7) Sendo que, para o circuito deste experimento, as equações dinâmicas são: dq = i di ( t) f ( q) i g( q)q = V sen ω (8) onde f (q) e g(q) levam em conta o comportamento não-linear do diodo. D 3 Procedimento experimental Após uma breve explicação por parte do professor dos conceitos básicos necessários, o fenômeno de caos é fixado através do estudo da chamada equação logística, usada, por exemplo, na análise do crescimento de populações: ( x ) x (9) 1 n = rxn 1 n 1 onde x n-1 e x n representam os estados inicial e posterior, sendo n = 1; 2; 3;... o número de interações. A evolução do sistema é dada pelo parâmetro de controle r, através do qual se obtém o regime caótico. O experimento é iniciado com a montagem do circuito esquematizado na Figura 1. Os componentes são um resistor R = 1 O, um indutor L = 1 mh e um diodo 1N47. Na Figura 2(a) é apresentada uma fotografia do circuito montado com as ligações do osciloscópio e da fonte de tensão de freqüência variável. Nota-se que um dos canais do osciloscópio mede a tensão aplicada ao circuito, enquanto que o outro canal mede a queda de tensão apenas no diodo. A capacitância de um diodo típico, em função da voltagem aplicada é mostrada na Figura 2(b). Neste experimento, utilizamos a freqüência como parâmetro de controle, com uma tensão aplicada constante de V = 2 V. Inicialmente, os estudantes utilizaram os dois canais do osciloscópio para acompanhar a voltagem aplicada no circuito e a voltagem no diodo variando-se a freqüência entre 4 e 2 KHz. Na Figura 3(a) é possível observar o sinal dos dois canais do osciloscópio para diferentes freqüências, onde fica clara a evolução do sistema, apresentando duplicação do período e regiões de caos na tensão do diodo (o sinal de entrada do circuito é dado pela
curva superior e o do diodo pela curva inferior nas imagens da Figura 3(a)). O diagrama de bifurcações pode ser construído acompanhando-se a variação nas amplitudes dos picos presentes na resposta do diodo em função da freqüência. Na Figura 4(b) apresentamos o diagrama de bifurcações obtido, no qual observa-se as janelas de caos. Com as freqüências correspondentes às bifurcações, o número de Feigenbaum pode ser calculado e comparado com o valor esperado. No caso desta experiência foi obtido d = (µ4 µ2)/(µ8 µ4) = 4,75. As trajetórias para o caos também podem ser visualizadas no modo x-y do osciloscópio, como apresentado na Figura 4, o que permite a observação da duplicação do período de maneira mais nítida, em que o número de períodos é dado pelo número de picos. Nesta figura, estão identificadas as freqüências aplicadas e observa-se que a primeira janela de caos ocorre para f = 57, KHz. No estudo dos retratos de fase, a observação experimental das variáveis de interesse q e i é acompanhada no modo x-y do osciloscópio pela tensão no diodo (que é proporcional a q) e no resistor (que é proporcional a i). Como forma de comparação, os estudantes inicialmente observaram o retrato de fase de um circuito RLC linear, pela troca do diodo por um capacitor de 1 uf. Pelo conhecimento anterior de fasores, os estudantes facilmente entenderam que o padrão correspondente devia ser uma elipse cuja forma varia com a variação da freqüência aplicada, ver Figura 5(a). Então, o capacitor foi novamente substituído pelo diodo e um novo padrão era observado em função da freqüência, como mostrado na Figura 5(b). Para complementar este estudo, os estudantes utilizaram o programa Maple [5] para simular os retratos de fase para os casos linear e não-linear considerados acima, utilizando as equações (7) e (8) respectivamente. Os parâmetros das equações foram variados para melhor compreensão de sua infl uência no comportamento das rotas que levam para o caos. Na Figura 6 estão apresentados algumas simulações que coincidem com os resultados experimentais apresentados na Figura 5. 4 Comentários finais O objetivo do experimento apresentado é o estudo de circuitos RLC lineares e não-lineares. A não linearidade introduzida por um diodo, gerando uma capacitância variável, possibilita a observação de caos. O experimento é realizado em três períodos de quatro horas cada, iniciando com uma descrição mais formal do fenômeno de ressonância em um circuito RLC linear, seguido por um estudo mais qualitativo da duplicação de períodos, bifurcação, caos e os retratos de fase correspondentes. A parte experimental é acompanhada por simulações computacionais que auxiliam a compreensão por parte dos estudantes, onde vale destacar a utilização da equação logística (equação (9)) que simula perfeitamente os parâmetros importantes na rota para o caos. A partir do diagrama de bifurcações obtido experimentalmente foi calculado número de Feigenbaum d = 4,75, que considerando-se o experimento em questão, está bem próximo do valor conhecido d = 4,66921... Com este estudo, é possível os estudantes observarem e entenderem na prática o fenômeno de caos a partir de um circuito RLC. A filosofia descrita é aplicada em experimentos para estudantes de segundo e terceiro anos do Instituto de Física e Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo. Os experimentos são relacionados à eletricidade, magnetismo e óptica. O contato dos estudantes com equipamentos e técnicas experimentais modernas e o aprendizado de variáveis e fenômenos das atividades do cotidiano aumenta significativamente seu conhecimento, motivação e criatividade. Referências [1] T. Hogg and B.A. Huberman, Proceedings of the National Academy of Sciences, 81 (1984). [2] A.T. Winfree, The Geometry of Biological Time, Springer-Verlag (198). [3] J. Gleick, Chaos-Making a New Science, Viking Penguin editors (1987). [4] R.V. Buskirk and C. Je ries, Phys. Rev. A 31, 3332 (1985). [5] Programa Maple 8, Maplesoft Inc., USA. Figuras e legendas:
Figura 1: Esquema do circuito utilizado para o estudo de caos. Do lado direito é apresentado o circuito equivalente que pode ser usado para representar o funcionamento de um diodo ideal. Figura 2(a): Fotografia do arranjo experimental com o circuito RLC não-linear. 2(b): Diagrama com variação da capacitância de um diodo típico em função da tensão aplicada [4].
Figura 3 (a): Figuras dos dois canais do osciloscópio indicando a tensão aplicada ao circuito (sinal superior) e tensão no diodo (sinal inferior) para diferentes freqüências. 3(b): Diagrama experimental de bifurcação para o circuito não-linear RLC, indicando uma janela de caos.
Figura 4: Trajetórias de caos visualizadas no modo x-y do osciloscópio, o que facilita a observação da duplicação de períodos e caos. O número de períodos é identificado pelo número de picos. O estado de caos é observado para a freqüência f = 57, Khz. Figura 5: Retratos de fase típicos observados experimentalmente no osciloscópio. 5(a): Para um circuito RLC linear e 5(b): RLC não-linear.
Figura 6: Simulação dos retratos de fase com o programa Maple, utilizando as equações (7) e (8). 6(a): para um circuito RLC linear e 6(b): para circuito RLC não-linear.