Instrumentação e Medidas para Instrumentação 1
para Instrumentação 2
para Instrumentação Aquisição 3
Aquisição Obtenção dos valores de uma ou mais grandezas físicas para processamento ou representação digital em determinados instantes Selector de Vias Amplificador de Ganho Programável Retentor de Amostras Sample & Hold Conversor AD Unidade de Controlo Armazenamento Tx / Rx 4
Aquisição Exemplos genéricos: Placas de para PCs Interfaces: USB, PCI, Firewire Fabricantes: National Instruments, Keithley, Acquitek Osciloscópios digitais Interfaces: USB, GPIB, Ethernet, Compact Flash Fabricantes: Agilent, Tektronix, Hitachi, Yokogawa Existem ainda instrumentos específicos para algumas situações que são, na sua essência, sistemas de 5
Aquisição Parâmetros mais relevantes: Ritmo máximo da amostragem Largura de banda Alcances Nº de bits de resolução Impedância de entrada Nº de canais de entrada Canais diferenciais / referenciados à massa Interface de saída Capacidade de transmissão / armazenamento Saídas analógicas Entradas/saídas digitais 6
Aquisição Selector de Vias Amplificador de Ganho Programável Retentor de Amostras Sample & Hold Conversor AD Unidade de Controlo Armazenamento Tx / Rx 7
Selector de Vias Multiplexer V 1 V 2 V 3 V 4 V 0 CONTROL Implementação com MOSFET À saída pode conter um AMPOP em montagem seguidora como buffer 8
Amplificador de ganho programável PGA programmable gain amplifier Expande o alcance do conversor AD Recebe informação da unidade de controlo para modificar o ganho para cada canal Por exemplo, os PGA202 e PGA203 da Burr-Brown: PGA202, G = 1; 10; 100; 1000 PGA203, G = 1; 2; 4; 8 9
Retentor de Amostras S/H sample & hold Circuito elementar Hold V i V 0 Sample V i V 0 10
Retentor de Amostras S/H sample & hold Circuito sem ganho, não inversor V i Hold Sample V 0 11
NI-PCI 6013 Custo aproximado 400 Placa PCI National Intruments, 6013, 16-bit (f s ) MAX = 200 ks/s Alcances: 10 V; 5 V; 0,5 V; 50 mv 8 canais diferenciais ou 16 canais referenciados 8 linhas digitais I/O 12
NI-PCI 6013 13
G / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Largura de Banda 0-6 -12-18 -24-30 -36-42 10 100 1000 10000 (f s ) MAX = 200 ks/s LB = 400 khz f / khz 14
Resolução Alcance 10 V 5 V 500 mv 50 mv 1 LSB 305,2 mv 152,6 mv 15,3 mv 1,53 mv 1LSB Alcance Máximo-Alcance Mínimo n 2 1 15
Resolução Mas será que se consegue sempre uma resolução de 1,53 mv na escala mais baixa? Esta questão é equivalente a saber qual o número de bits efectivos da placa Como se testa uma placa de? Qual o componente mais crucial do canal de? O amplificador? O AD? Como o AD é o último componente, usam-se técnicas de teste de ADs Os resultados referem-se a todo o canal de 16
Amostragem 17
Amostragem Transforma um sinal contínuo no tempo e na amplitude, num sinal discreto no tempo e na amplitude A discretização no tempo decorre do tempo de conversão do AD e do funcionamento do sample & hold A discretização na amplitude é uma consequência do AD 18
Amostragem Discretização no tempo s t sk k sk s tk s kt s f S Discretização na amplitude s s k s s k e k k k k t fs 0,1,... tempo de amostragem freq. de amostragem e k representa erro de quantificação do AD 19
Teorema da Amostragem Formulado por Nyquist em 1928 Demonstrado por Shannon em 1949 Nyquist Sampling Theorem Shannon Sampling Theorem Se um sinal de banda limitada for amostrado a pelo menos 2 a sua frequência máxima, então pode ser recuperado Caso contrário ocorre aliasing 20
Teorema da Amostragem Define-se f max f s f N =2f max frequência máxima do sinal a amostrar frequência de amostragem frequência de Nyquist Se f s f N = 2f max Se f s < f N = 2f max não existe aliasing existe aliasing 21
Aliasing 22
Aliasing 23
1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 1 khz 0-0,5 200 f / Hz -1-1,5 0 5 10 15 20 t / ms 1,3cos 2 200 t / 4 u t 24
1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 1 khz 0-0,5-1 200 f / Hz -1,5 0 5 10 15 20 fs 2000 S/s t / ms fs / f 10 nº de pontos por periodo 25
1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0,5-1 200 f / Hz -1,5 0 5 10 15 20 fs 300 S/s t / ms fs / f 1,5 nº de pontos por periodo 26
1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0,5-1 200 f / Hz -1,5 0 5 10 15 20 fs 300 S/s t / ms fs / f 1,5 nº de pontos por periodo 27
Amostragem O aliasing, transforma a frequência de entrada real, numa frequência aparente O espectro do sinal é reduzido ao intervalo de frequências de 0 a f s /2 Pode existir sobreposição! O espectro de entrada na banda f s /2 a f s aparece espelhado para 0 a f s /2 f s /2 f / Hz E para frequências ainda superiores? 28
Amostragem Frequência Aparente f s /2 f apar. f 1 f 1 f s /2 f 2 f s 3f s /2 f 3 2f s Frequência Real f f f 3 2 S 29
1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0,5-1 200 f / Hz -1,5 0 5 10 15 20 freal fs 200Hz 300 S/s faparente t / ms 100Hz 30
Amostragem Para evitar o aliasing, alguns sistemas de incluem um filtro passa baixo na entrada para eliminar frequências acima de f s /2 31
Amostragem Na ausência de aliasing, como se faz a reconstrução do sinal a partir das amostras? s t N 1 k 0 s k sin fst n f t n S 32
Amostragem Através da relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal podem definir-se 3 cenários diferentes: 1. Amostragem coerente síncrona 2. Amostragem coerente assíncrona 3. Amostragem não coerente 33
Amostragem coerente síncrona A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um inteiro: f S f Nesta situação, as amostras em cada período correspondem sempre à mesma fase do sinal 34
1,5 Amostragem coerente síncrona u(t) /V f S f 1000 5 200 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 0 2 4 6 8 10 t / ms 35
Amostragem coerente assíncrona A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um número fraccional não inteiro: f S, f Nesta situação, as amostras em cada período não correspondem sempre à mesma fase do sinal, mas ao fim de um certo número de períodos ocorre a repetição 36
1,5 Amostragem coerente assíncrona u(t) /V f S f 1100 5,5, 200 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 0 2 4 6 8 10 t / ms 37
Amostragem não coerente A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um número real, não fraccionário: f S, f Nesta situação, as amostras em cada período nunca correspondem à mesma fase do sinal Vantagem: nunca existe repetição de fase Todos os pontos correspondem a fases diferentes 38
1,5 Amostragem não coerente u(t) /V f S f 1000 2 5 2, 200 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 0 2 4 6 8 10 t / ms 39
Algoritmos 40
Algoritmos Como determinar o espectro de um sinal adquirido? Como calcular o número efectivo de bits de um canal? Como calcular o valor eficaz de um sinal? Como determinar o período de sinal periódico adquirido? Como determinar o valor médio do sinal? 41
Espectro Transformada de Fourier ft S f s t e dt j2 () Como determinar o espectro de um sinal amostrado a intervalos de tempo fixos e com um número limitado de amostras? s k k s f S e k k 0,1,..., N 1 42
Espectro Usando a DFT Discrete Fourier Transform S n N 1 k 0 s k e j2 nk / N n 0,1,... N 1 O número de pontos que representa o espectro é finito (N) Amostras temporais espaçadas de: t=1/f S Na frequência, o espaçamento é: f S 1 f N Nt [Nt é o tempo total de ] 43
Espectro Os elementos S n do espectro não correspondem às frequências n f Metade dos coeficientes correspondem a frequências negativas N nf se n 2 fn N n N f se n 2 O sinal sinusoidal pode ser escrito na forma: cos t e j t j t e 2 44
Espectro Exemplo 1: N = 8, f s = 100 S/s f S 1 100 f 12,5Hz Nt N 8 n 0 1 2 3 4 5 6 7 f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12,5 25 37,5 50 37,5 25 12,5 Componente Contínua Frequência de Nyquist (f S /2) 45
Espectro N = 8, f s = 100 S/s, f = 12,5 Hz 3cos 2 25t s t n 0 1 2 3 4 5 6 7 f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12,5 25 37,5 50 37,5 25 12,5 S n 0 0 12 0 0 0 12 0 É preciso normalizar os resultados da DFT dividindo todos os coeficientes por N 46
Espectro N = 8, f s = 100 S/s, f = 12,5 Hz 3cos 2 25t s t n 0 1 2 3 4 5 6 7 f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12,5 25 37,5 50 37,5 25 12,5 S n /N 0 0 1,5 0 0 0 1,5 0 cos t e jt e 2 jt 47
S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro Exemplo 2: N = 100 f s = 1000 S/s 0,6 cos 2 100t s t f = 10 Hz 0,5 0,4 0,3 E se a frequência não for múltipla de f? 0,2 0,1 0-200 -100 0 100 200 Frequência / Hz 48
S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro Exemplo 3: N = 100 f s = 1000 S/s f = 10 Hz 0,6 0,5 cos 2 103t s t 0,4 0,3 Espalhamento espectral 0,2 0,1 Spectral Leakage 0-200 -100 0 100 200 Frequência / Hz 49
Espectro O espalhamento espectral ocorre quando: como f f f 1 T e f 1 Nt Nt T Ou seja, quando o período de (Nt) não corresponde a um número inteiro de períodos do sinal de entrada 50
Espectro O espalhamento espectral surge porque o período de, não corresponde a um múltiplo do período do sinal Mas porquê? N 1 j2ft j2 nk / N n k k 0 S f s( t) e dt S s e Está aqui assumido que o período de se repete antes e depois do usado 51
Espectro s(t) N t N t N t t Não há espalhamento espectral s(t) N t N t N t t Há espalhamento espectral 52
Espectro Se: f f verifica-se que, para todas as harmónicas do sinal: n f f Ou seja, não existe espalhamento espectral para nenhuma das harmónicas! Será? E se: n f > f S /2?? 53
Espectro Resolução na frequência do espectro: f S f N 1 Nt Melhorar a resolução, implica reduzir f Para reduzir f, é necessário aumentar o número de pontos adquiridos, ou diminuir f S Para eliminar o espalhamento espectral, não é necessário aumentar N. Que tal diminuir N? 54
Janelas Temporais Como reduzir os efeitos do espalhamento espectral? Uma das técnicas consiste na aplicação de uma janela temporal ao sinal antes do cálculo do seu espectro Estas janelas temporais são funções contínuas reais cuja amplitude varia lentamente e que tendem para 0 nas extremidades eliminando assim as descontinuidades 55
Janelas Temporais A aplicação das janelas temporais consiste na multiplicação do sinal amostrado pelos coeficientes da janela A multiplicação no tempo corresponde à convolução na frequência dos respectivos espectros Mesmo no caso da amostragem normal sem aplicação explicita de uma janela, estamos a aplicar uma janela rectangular 56
Janela Temporal Rectangular 57
Janela Temporal Hann 58
Janela Temporal Blackman 59
Janela Temporal Bartlett 60
Janela Temporal Hamming 61
Janela Temporal Flat Top 62
Janelas Temporais Cada janela é caracterizada pela função dos coeficientes e por alguns parâmetros do seu espectro 63
Janelas Temporais Janela Largura - 3dB Largura - 6dB Peak side lobe level Roll-off rate (bins) (bins) (db) (db/dec) Rectangular 0.88 1.21-13 20 Hann 1.44 2.00-32 60 Hamming 1.30 1.81-43 20 Blackman 1.64 2.30-58 60 Flat top 2.94 3.56-44 20 64
(db) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Janelas Temporais -10-20 -30-40 -50-60 rectangular Bartlett f = 1100 Hz f s = 10000 S/s n = 8 A = 1 V N = 10017 f = 0,9983 Hz -70-80 Blackman Hann -90 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 (Hz) 65
Janelas Temporais Tipo de Sinal Janela Onda sinusoidal ou composição de ondas sinusoidais Onda sinusoidal em que a exactidão da amplitude seja importante Sinais aleatórios de banda estreita Sinais aleatórios de banda larga (ruído branco) Sinusóides sobrepostas Hanning, Blackman Flat Top Hanning, Blackman Rectangular Rectangular, Hamming Conteúdo desconhecido Hanning, Blackman 66
Espectro de um sinal real A DFT de um sinal real é simétrica: S k SN k S k SN k 67
Teorema de Parseval A energia total de um sinal pode ser determinada no domínio do tempo ou no domínio da frequência 2 2 s t dt S f df E para sinais amostrados? 1 N1 N1 2 2 s k k0 N n0 S n 68
Espectro de Potência Power Spectrum Two-sided power spectrum S AA f * DFT A DFT A N 2 S AA k * 2 Ak A k Ak N N 2 2 69
Espectro de Potência Two-sided power spectrum 2 2 2 cos 2128t 3 2 cos 2256t At (S AA ) k / V RMS 2 4 4,5 2-256 -128 128 256 f / Hz 70
Espectro de Potência Single-sided power spectrum AA k N GAA 2 SAA 1 k 1 k k 2 N AA k 2 S k 0 DC S k Nyquist Freq. 71
Espectro de Potência Single-sided power spectrum 2 2 2 cos 2128t 3 2 cos 2256t At (G AA ) k / V RMS 2 9 4 4 128 256 f / Hz 72
Cálculo da DFT Para o cálculo da DFT recorre-se, sempre que possível, à FFT Fast Fourier Transform Porquê? Para o cálculo de uma DFT com N amostras, são precisas aproximadamente N 2 operações Com a FFT só são necessárias N log 2 (N) operações se o número de amostras for uma potência de 2 (N=2 n ) (256, 512, 1024, 2048, 4096,...) 73
FFT Como se consegue este ganho? Demonstra-se que uma DFT de N pontos pode ser decomposta na soma de duas DTFs de N/2 pontos Uma das DTFs usa os pontos temporais pares enquanto que a outra usa os pontos impares Este processo de separação pode continuar a ser aplicado até N=1! 74
FFT Mas será que o número de pontos tem de ser uma potência de 2? Algoritmos mais recentes requerem somente que: N = 2 m 3 k 5 j com m, j, k = 0, 1, 2,... Por exemplo: 480, 640, 1000 e 2000 No entanto, depende da existência ou desenvolvimento de algoritmos específicos para a plataforma de SW seleccionada 75
Estimativa da Frequência Se não existir espalhamento espectral fdft jf em que j corresponde ao índice onde o espectro tem um máximo Resolução: f E com espalhamento espectral? Média pesada DFT interpolada 76
Estimativa da Frequência Média pesada f Média Pesada j3 ij3 G if j3 ij3 O índice j corresponde ao máximo e a margem de 3 é razoável para espalhamento espectral reduzido ou quando se usam janelas temporais AA G i AA i 77
S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Estimativa da Frequência Exemplo Média Pesada N = 100 f s = 1000 S/s f = 10 Hz 0,6 0,5 0,4 0,3 cos 2 103t s t 0,2 0,1 fdft fmédia Pesada 100Hz 102,13Hz 0-200 -100 0 100 200 Frequência / Hz 78
Estimativa da Frequência DFT Interpolada IpDFT (Interpolated Discrete Fourier Transform) 1. Detecta-se o máximo de S k MAX = S j 2. Determina-se o maior vizinho de S j 3. Com estes dois pontos, e recorrendo à expressão teórica do espectro quando ocorre espalhamento, é possível determinar com exactidão o valor da frequência 79
Estimativa da Frequência A IpDFT funciona muito bem quando o espalhamento espectral é elevado Ou seja, quando os dois S k usados são pouco afectados pelo ruído fipdft 103Hz As fórmulas encontram-se em http://home.mit.bme.hu/~kollar/papers/csai-2003.pdf 80
Estimativa do valor médio Como determinar o valor médio de um sinal periódico? savg 1 T T Para um sinal amostrado 0 s t dt savg sk N k 0 E se N não corresponder a um número inteiro de períodos? 1 1 N 81
Estimativa do valor médio 2 cos 2 103t s t fs 1000 S/s 82
Estimativa do valor médio Método alternativo: 1. Adquirem-se N pontos a f S Exemplo: 2 cos 2 103t s t N 100, f S 1000 S/s s 2,0207 V 1,04% avg 2. Estima-se a frequência do sinal festimada 103Hz 3. Nºpts/período = f S /f estimada 4. Nºperíodos = N / Nºpts/período 5. Nºperíodos inteiros = Nºperíodos 6. Usar Nº pts / período 9,708 Nº períodos 10,3 Nº períodos inteiros 10 Navg 97 N avg = Nºperíodos inteiros Nºpontos/período s 1,9991 V 0,04% avg 83
Estimativa do valor eficaz Como determinar o valor eficaz de um sinal periódico? 1 T 2 s ef s t dt T Para um sinal amostrado 0 s ef 1 1 N s 2 k N k 0 E se N não corresponder a um número inteiro de períodos? Situação idêntica à do valor médio 84
Estimativa do valor eficaz 2 cos 2 103t s t fs 1000 S/s sef 2,1414 V 0,95% 100 s 2,1204 V 0,04% ef 97 85
Média Temporal A média temporal de um sinal é obtida recorrendo a diferentes aquisições Cada ponto temporal corresponde à média de diversas aquisições No entanto, tal só é possível se os pontos corresponderem à mesma fase do sinal periódico! Por exemplo, no osciloscópio digital consegue-se devido ao disparo (trigger). 86
Espectro médio Mesmo sem trigger é possível obter o espectro de amplitude médio Em vez de efectuar a média a todo o espectro, efectua-se a média só da amplitude de cada componente Retira-se toda a informação de fase... Ideal para reduzir efeitos aleatórios de valor médio nulo na amplitude 87
G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média Exemplo: 0,8 cos 2 100 s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv 0-20 -40-60 -80-100 0 200 400 600 800 1000 Frequency / Hz 88
G n / db G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média Exemplo: (média de 10 aquisições) 0,8 cos 2 100 s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv 0-20 0-20 -40-40 -60-60 -80-80 -100 0 200 400 600 800 1000 Frequency / Hz -100 0 200 400 600 800 1000 Frequency / Hz 89
G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média 0,8 cos 2 100 s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv 0-20 -40-60 77 db n RMS N / 21 n0 10 Gn [ db] 10-80 -100 0 200 400 600 800 1000 Frequency / Hz 90
Espectro de potência média Este valor é o patamar de ruído (Noise Floor) Pode ser introduzido exteriormente (como no exemplo anterior) Mas é usualmente provocado pelo canal de (em especial pelo AD) A relação entre o sinal introduzido e o ruído e distorção, é a SINAD 91
SINAD SINAD SIgnal-to-Noise And Distortion ratio Para um conversor ideal de n bits testado com uma sinusóide de amplitude igual ao alcance do conversor SINAD[dB] 6,02n 1,76 A partir de um teste bem efectuado pode determinar-se o número efectivo de bits ou ENOB 92
ENOB ENOB Effective number of bits ENOB SINAD[dB] 1,76 6,02 93
G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ENOB Exemplo: Conversor de 8 bits 0,8 cos 2 100 s t t n t N 10000, f S 10kS/s 0 n RMS = 1 mv -20-40 -60-80 -100 0 200 400 600 800 1000 Frequency / Hz 94
ENOB 1. Calcula-se a potência da fundamental -4,95 db 2. Elimina-se a fundamental e determina-se a potência do sinal restante -52,09 db 3. SINAD = -4,95 + 52,09 = 47,14 db 4. ENOB = (47,14-1,76)/6,02 = 7,53 No entanto, não se usou a amplitude total do AD Como corrigir? Aplicar a amplitude máxima? Saturação! SINAD = -3 + 52,09 = 49,09 db ENOB = (49,09-1,76)/6,02 = 7,86 95
Simulação com Matlab 96
Simulação com Matlab Conversor Analógico-Digital Ideal function Vout=AD_simulated(Vin,n_bits,V_AD_min,V_AD_max); if Vin >= V_AD_max Vout=V_AD_max; % Saturacao maxima else if Vin <= V_AD_min Vout=V_AD_min; % Saturacao minima else LSB=(V_AD_max-V_AD_min)/(2^n_bits-1); ADC_code=round((Vin-V_AD_min)/LSB); Vout=ADC_code*LSB+V_AD_min; end end 97
Simulação com Matlab Teste do Conversor Analógico-Digital Ideal alcance=5; n_bits=4; vin=linspace(-alcance*1.2,alcance*1.2,2001); for i=1:length(v) vout(i)=ad_simulated(vin(i),n_bits,-alcance,alcance); end plot(vin,vout); axis([-6 6-6 6]); 98
Simulação com Matlab Amostragem de sinais N_pontos=60; f_amostragem=1500; frequencia=90; amplitude=1; k=0:1:n_pontos-1; t=k/f_amostragem; sk=amplitude*cos(2*pi*frequencia*t); %sk=amplitude*square(2*pi*frequencia*t); %sk=amplitude*sawtooth(2*pi*frequencia*t,0.5); plot(t,sk,'x-') 99
Simulação com Matlab Ruído Gaussiano NP=1E6; Std=10E-3; Avg=20E-3; U=randn(NP,1)*Std+Avg; Urms=sqrt(mean(U.*U)) hist(u,100) plot(u) 100
Simulação com Matlab FFT N_pontos=2048; f_amostragem=2048; frequencia=90; amplitude=1; k=0:1:n_pontos-1; t=k/f_amostragem; sk=amplitude*square(2*pi*frequencia*t); Sk=fft(sk); plot(abs(sk)/n_pontos) 101
Exemplo de Sistema de Aquisição 102
Medição de Impedâncias Circuito básico U ZR ZR FG Z U Z Usam-se dois ADs para amostrar estas tensões sinusoidais 103
Medição de Impedâncias Aplicam-se aos sinais amostrados técnicas de adaptação de sinusóides para determinar os parâmetros das tensões Obtêm-se os parâmetros da impedância recorrendo a: Z U Z ZR Z Z ZR ZR U ZR 104
Medição de Impedâncias Buffering, Filtering and Amplification DDS Sine Generator SDATA, SCLK, FSYNC SPORT0 SPORT1 TxD, RxD RS-232 interface PC Z R Digital Potentiometer CLK, /CS, SDI FL0, PF3, PF1 H CUR H POT PGA ADC CH1 DOUT /CS, CLK PF2 FL1, FL2 DSP External Memory Z X L POT ADC CH2 DOUT PF0 L CUR PGA 105
Medição de Impedâncias h e f g d e f a c b 106