Sistemas complexos? O que são?

Sistemas complexos? O que são? Rui Vilela Mendes 6/17/2004

Um sistema simples com comportamento complexo

Um sistema complexo com comportamento simples

A matemática como metáfora Considerando a Matemática como uma Metáfora, a própria interpretação do conhecimento matemático é um acto altamente criativo. Num certo sentido a Matemática é uma novela acerca da Natureza e da Humanidade. E não se pode dizer precisamente o que é que a Matemática nos ensina, do mesmo modo que não se pode dizer exactamente o que a leitura de Guerra e Paz nos ensina. O conhecimento é incorporado ele próprio no acto de repensar esse ensinamento. (Y. I. Manin)

Origem do comportamento complexo nos sistemas simples

Origem do comportamento complexo nos sistemas simples x y 6 7 5 5 x 7 4 y 7 7

Origem do comportamento complexo nos sistemas simples x x y 1 1 1 2 y

Origem do comportamento complexo nos sistemas simples Valores próprios das matrizes x y 6 7 5 7 5 7 x 4 y 7 a c b x d y = λ 1 =0.7143+i 0.6999 λ 2 =0.7143-i 0.6999 (Rotação) x λ y x x y 1 1 1 2 y λ 1 =0.382 λ 2 =2.618 (Contracção e expansão)

Origem do comportamento colectivo nos sistemas complexos Agentes = osciladores acoplados (tempo discreto) Parâmetro de ordem rt () = 1 N N j= 1 e ix j () t 2

Origem do comportamento colectivo nos sistemas complexos 2

Origem do comportamento colectivo nos sistemas complexos Sincronização e correlações são controladas pelo espectro de Lyapunov Neste caso: λ 1 = 0 λ j = log(1-αk(n/n-1)) (N-1) vezes Para k>0 há N-1 direcções contractantes fortes correlações, mesmo antes da sincronização 2

Origem do comportamento colectivo nos sistemas complexos 2

Dois paradigmas dinâmicos: 1) Depêndencia sensível das condições iniciais (= caos) 3

Dois paradigmas dinâmicos: 2) Interacção ( modos colectivos) Correlação Sincronização 3

Ciências da Complexidade = Estudo do comportamento complexo dos sistemas simples e do comportamento colectivo dos sistemas complexos Outros pontos de vista: Um objecto (físico ou intelectual) é complexo se contém informação difícil de obter (David Ruelle) Complexidade é a dificuldade de uma tarefa com significado. Complexidade dum instrumento (máquina, algoritmo, etc.) é a dificuldade da tarefa mais importante associada a esse instrumento. Complexidade de um objecto é a dificuldade de classificar esse objecto e descrever o conjunto a que ele pertence 3 (Peter Grassberger)

Se soubermos classificar todas as possíveis configurações que um sistema assume, usa-se a complexidade da classificação como uma medida de complexidade do sistema. Isto é, um sistema é complexo se o seu comportamento for complexo. (Giorgio Parisi) 3

Estes pontos de vista relacionam-se com o modo como se mede a complexidade dum sistema Medidas de complexidade : Complexidade algorítmica M N (S) = comprimento do menor programa capaz de reproduzir os primeiros N símbolos gerados por S C(S) = lim N (M N (S) /N) Profundidade lógica Tempo necessário para correr o menor programa que gera S 4

Medidas de complexidade : Sofisticação (c 1 ) M N (S) = c 1 + c 2 (comprimento do código) Excesso de entropia (Complexidade de medida efectiva) H(N) = - Σ {si } p(s 1... s 1N ) log p(s 1... s N ) h S = lim N H(N)/N é a entropia de Shannon E = Σ n=1 { H(N)/N - h S } Complexidade estatística (= complexidade de previsão) {} S = classe de passados com o mesmo futuro C = p({ S})log p({ S}) { S} 4

Alguns exemplos de sistemas complexos

O cérebro

O cérebro 7.10 10-8.10 10 neurónios no cérebro humano ~ 6,5.10 10 no cortex ~ 10 4 ligações sinápticas por neurónio 1-10.10 6 de kilómetros de ligações ~ 10 8 fibras no corpus callosum Connectividade esparsa ~10-6

O sistema imunitário

A bolsa

O planeta

Os ciclos do carbono, água, oxigénio e azoto

Os ciclos do carbono, água, oxigénio e azoto Estes ciclos são o núcleo do sistema de suporte vital (CO 2 +OH 2 ) plantas (fotosíntese) O 2, C Animais consomem hidratos de carbono e respiram O 2 Fotosíntese das algas nos oceanos criou a camada de O 2 que tornou possivel a biosfera (respiração e camada de ozono) Equilíbrio delicado do ciclo da água <1% circula no ciclo Excesso de azoto nas águas - entroficação, morte da vida aquática Azoto - grande reserva mas apenas fixado pelas bactérias e algas

Os ciclos do carbono, água, oxigénio e azoto

Sustentabilidade humana

Sustentabilidade dos outros

O estado da Arca