Sistemas de Numeração Professor Msc. Rodolfo Lauro Weinert Joinville, 26 de fevereiro de 2018
Introdução Resumo para próxima aula : Algarismos indo-arábicos O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado no dia a dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Ele possui dez algarismos com os quais podemos formar qualquer número através da lei de formação. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta.
Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração e chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: 258 10 =200+50+8=2.10 2 +5.10 1 +8.10 0 Notar que em uma dada base r, um número N pode ser representado na forma N r. Desse modo, o número subscrito indica a base em que o número se encontra. Alternativamente, o número da base pode ser substituído por uma letra, para alguns casos específicos.
Principais Bases numéricas Decimal - 101 10, 297 d Binário -101 2,10011 b Octal - 101 8, 712 o Hexadecimal -101 16, 2FA1 h
Relação de algarismos em algumas bases numéricas
Sistema Binário de Numeração No sistema binário de numeração existem apenas dois algarismos: o algarismo 0 (zero) e o algarismo 1 (um). Como podemos representar o algarismo 2?
Sistema Binário de Numeração DECIMAL BINÁRIO 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011
Conversão do Sistema Binário no Sistema Decimal Para explicar a conversão vamos utilizar um número decimal qualquer, por exemplo, 594. 5x100 + 9x10+ 4x1 =594; 5x10 2 +9x10 1 +4x10 0 =594; Nesse exemplo podemos notar que o algarismo menos significativo (4) multiplica a unidade ( 1 ou 10 0 ), o segundo algarismo (9) multiplica a dezena (10 ou 10 1 ) e o mais significativo (5) multiplica a centena (100 ou 10 2 ). A soma desses resultados vai representar o número.
Conversão do Sistema Binário no Sistema Decimal Utilizando a mesma ideia do sistema decimal vamos converter o número binário 101 2. 1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 =5; O número 101 2 é igual ao número 5 10. Converta os seguintes números para a base decimal; 1011101 2; 1100010 2;
Conversão do sistema decimal no sistema Binário Converta o número 158963 10 para a base binária. Exemplo: 47 10 para a base binária; 47 10-101111 2; Converta o número 400 10 para a base binária;
Conversão de números binários fracionais em decimais Até o momento tratamos de números inteiros. E se aparecesse um número binário fracionário? Como procederíamos para saber a quantidade que ele representa? Vamos utilizar um exemplo do sistema decimal. O número 10,5 é obtido a partir da seguinte regra de formação: 1x10 1 +0x10 0 +5x10-1 Para números binários agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o número 101,101 2.
Conversão de números binários fracionais em decimais 1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 +1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 =1x4+0x2+1x1+1x1/2+0x1/4+1x1/8; =4+1+0,5+0,125=5,625 10. Converta agora o seguinte número binário para a base decimal. 1010,1101 2.
Conversão de números decimais fracionários em binários Vamos transformar o número 8,375 10 para a base 2. Primeiro transformamos a parte inteira 8 10-1000 2. O próximo passo é transformar a parte fracionária. Para tal, utilizaremos a regra que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero.
Conversão de números decimais fracionários em binários 0,375*2=0,750; 0,750*2=1,500; 0,500*2=1,000; Assim obtemos que 0,011 2 = 0,375 10; Para completar a conversão juntamos a parte inteira e fracionária. 1000,011 2 = 8,375 10; Converta 10,235 10 para a base binária.
O sistema Octal de Numeração O sistema octal de numeração é de base 8 no qual há oito algarismos assim enumerados: 0,1,2,3,4,5,6,7; DECIMAL OCTAL 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10 9 11 10 12
Conversão do sistema Octal no sistema decimal Vamos utilizar o mesmo conceito de formação de um número. 144 8 em decimal.
Conversão do sistema Octal no sistema decimal Vamos utilizar o mesmo conceito de formação de um número. 144 8 em decimal. 1x8 2 +4x8 1 +4x8 0 =1x64+4x8+4=100 10 Exercício: Converta 77 8 em decimal.
Conversão do Sistema Decimal no Sistema Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal no binário, neste caso utilizamos a divisão por 8. 92 10 em sistema Octal;
Conversão do Sistema Decimal no Sistema Octal O processo é análogo à conversão do sistema decimal no binário, neste caso utilizamos a divisão por 8. 92 10 em sistema Octal; 92 10-134 8 ; Converta o número 512 10 em octal.
Conversão do Sistema Octal no Sistema Binário Trata-se de uma conversão extremamente simples. Vamos utilizar como exemplo o número octal 27 8. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (2 3 =8).
Conversão do Sistema Octal no Sistema Binário Trata-se de uma conversão extremamente simples. Vamos utilizar como exemplo o número octal 27 8. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (2 3 =8). 2 7 010 111 27 8-10111 2; Observe que a regra só é valida entre sistemas numéricos de base múltipla de 2 N, sendo N um número inteiro. Converta 526 8 para a base 2.
Conversão do Sistema Binário no Sistema Octal Para efetuar esta conversão, vamos aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Vamos utilizar o número 110010 2. Vamos separar esse número binário em grupo de 3 bits a partir da direita. 110 010
Conversão do Sistema Binário no Sistema Octal Para efetuar esta conversão, vamos aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Vamos utilizar o número 110010 2. Vamos separar esse número binário em grupo de 3 bits a partir da direita. 110 010 6 2 110010 2 62 8. Exercício, 1010 2 para a base 8;
O sistema Hexadecimal de Numeração O Sistema Hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F. DECIMAL HEXADECIMAL DECIMAL HEXADECIMAL 0 0 10 A 1 1 11 B 2 2 12 C 3 3 13 D 4 4 14 E 5 5 15 F 6 6 16 10 7 7 17 11 8 8 18 12 9 9 19 13
O sistema Hexadecimal de Numeração Este sistema é muito utilizados na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais, tratando-se de um sistema numérico muito importante, sendo aplicado em projetos de software e hardware. Resumo para a próxima aula: Microprocessadores, microcontroladores
Conversão do Sistema Hexadecimal no Sistema decimal 3F 16 para base 10;
Conversão do Sistema Hexadecimal no Sistema decimal 3F 16 para base 10; 3x16 1 +Fx16 0 =sendo F 16 =15 10 3x16 1 +15x16 0 =63 10. Converta o número 1C3 16 para a base 10;
Conversão do Sistema Decimal no Sistema Hexadecimal Vamos transformar 1000 10 em hexadecimal; Aplicamos a regra da divisão; 1000 10-3E8 16 ; Converta o número 134 10 em hexadecimal;
Conversão do sistema Hexadecimal no Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal no sistema binário, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. C13 16 para a base 2;
Conversão do sistema Hexadecimal no Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal no sistema binário, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal. C13 16 para a base 2; C 1 3 1100 0001 0011 C13 16 =110000010011 2 Converta 1ED 16 para a base 2.
Conversão do Sistema Binário no Sistema Hexadecimal É análoga à conversão do sistema binário no sistema octal, entretanto nesse caso precisamos de 4 bits. 10011000 2 para a base 16; 1001 1000 9 8 10011000 2 =98 16 Converta 11000111100011100 2 para a base 16.