UMA ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DAS CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO

UMA ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DAS CÔNICAS NO ENSINO BÁSICO Cicero da Silva Pereira Universidade Estadual da Paraíba - UEPB cspmat@hotmail.com Deodório Souza da Costa Escola Estadual Dom Adauto deodoriosouza@hotmail.com Resumo: O presente trabalho relata uma experiência pedagógica no ensino das cônicas (elipse, parábola e hipérbole) numa turma de terceiro ano do ensino médio de uma forma simples e dinâmica, visando ao aluno desenvolver uma aprendizagem significativa. A metodologia leva em conta não apenas apresenta uma sequência de fórmulas desprovidas de significado e de sentido. Para isto usamos a relação entre álgebra e geometria, mostrando a construção das cônicas através de dobraduras e também utilizando o software geogebra 1. Assim o aluno percebe o dinamismo da geometria e todos os elementos algébricos são relacionados adequadamente com os entes geométricos que representam e vice-versa. Palavras-chave: Educação Matemática; Cônicas; Geogebra; Ensino de geometria; Dobraduras. 1. INTRODUÇÃO O primeiro matemático a apresentar as secções cônicas, Menecmus (Menaecmus) nasceu em Alopeconnesus, Ásia Menor (agora Turquia) e morreu cerca de 320 a.c., foi discípulo e depois, sucessor de Eudoxo Cnido na direção da Escola de Cízico, estudou com Platão e há relatos que teria sido tutor de Alexandre O Grande. Foi o primeiro a mostrar que as elipses, as parábolas e as hipérboles são obtidas cortando um cone num plano não paralelo à base. Esta descoberta foi se dada pela tentava resolver o problema da duplicação do cubo, o problema deliano. Segundo Eves(2008, p. 135) [...] para livrar-se de uma peste que os castigava, os delianos foram orientados por seu oráculo para dobrar o tamanho do altar cúbico de Apolo[...]. Dentre os três famosos problemas da Antiguidade dá-se uma ênfase maior a duplicação do cubo, este problema consistia em construir um lado de um cubo cujo seu volume seria o dobro de um cubo dado. A importância desse problema, 1 www.geogebra.org 1

assim como os outros dois problemas da Antiguidade, influenciou profundamente a geometria grega levando a grandes descobertas como: as secções cônicas, muitas curvas cúbicas e quádricas, várias curvas transcendentes, o desenvolvimento de partes da teoria das equações ligadas a domínio de racionalidade, números algébricos e teoria dos grupos. Contudo, O primeiro estudo sistemático das cônicas deve-se a Apolônio de Perga, nasceu em 262 a.c. na cidade de Perga (hoje Turquia) e faleceu em 190 a.c.; o grande geômetra, como era conhecido pelos epítetos da antiguidade estudou na escola alexandrina, sua principal obra é um tratado intitulado As cônicas, ou as secções cônicas, o qual é composto por oito livros, contudo um dos seus não chegou aos nossos conhecimentos. Logo no seu Livro I, obteve todas as seções cônicas da maneira que até hoje é estudada, ou seja, a partir de um cone circular duplo, reto ou oblíquo. Foi Apolônio que atribuiu as cônicas à designação ainda hoje utilizada elipse, parábola e hipérbole, tais termos originaram-se da terminologia pitagórica (séc. VI a.c.) referente à duplicação de áreas. Assim, quando os pitagóricos faziam a base de um retângulo ficar sobre um segmento retilíneo de modo que uma extremidade dessa base coincidisse com uma das extremidades do segmento, obtinha-se um caso de elipse, parábola ou hipérbole, se a base fosse menor, coincidisse ou a excedesse o segmento. Os gregos antigos diziam que se tinha um caso de ellipsis, parabole ou hyperbole os quais tem significados em grego de: falta, igualdade ou excesso (EVES, 2008) respectivamente; o Livro II de Apolônio retrata propriedades de assíntotas e hipérboles conjugadas; o Livro III vem com demonstração teoremas sobre áreas como, por exemplo: se as tangentes a uma cônica em dois pontos A e B e se interceptam em C e também interceptam os diâmetros B e A em D e E, então os triângulos ΔCBD e ΔCAE tem áreas iguais, o final desse livro apresenta ainda as propriedades focais das cônicas, um fato curioso aqui está na palavra foco, pois os gregos não tinham um nome específico para essa palavra, sendo apenas introduzido posteriormente por Johann Kepler (mas deixemos para exemplificar isto no decorrer do trabalho); o Livro IV apresenta as interceptações das cônicas; o Livro V demonstrações de equações dos três tipos de cônicas; os Livros VI e VII contêm teoremas e problemas de construções relativo às cônicas. Assim, o seu Tratado sobre as secções cônicas superaram os trabalhos de Menaecmus e de Euclides. 2

Ao longo dos tempos a família das cônicas ia sendo vista de diferentes perspectivas e através destas eram descobertas algumas relações entre a matemática e a realidade. Segundo EVES (2008), a história relata que um dos maiores cientistas de todos os tempos teria sido o matemático grego, sucessor de Euclides na Escola de Alexandria, Arquimedes de Siracusa (287-212 a.c.), Arquimedes escreveu uma obra sobre a Quadratura da Parábola onde se calcula a área de um segmento de parábola pelo o seu método de exaustão. Conta-se que durante o cerco de Siracusa, Arquimedes teria incendiado vários navios romanos, os quais vinham no intuito de confronto, utilizando uns misteriosos espelhos, chamados "ustórios", que enchiam de pavor os viajantes; usando as propriedades das cônicas ele recorreu a um ou vários espelhos parabólicos colocados de modo a concentrar os raios de Sol refletidos num só ponto, desviando-o depois para uma galera romana que começava a queimar. 2. APLICAÇÕES DAS CÔNICAS Hoje em dia, é muito comum vermos nos telhados de casas ou em coberturas dos prédios antenas parabólicas, mas por que essas antenas devem ser parabólicas? A resposta para essa questão encontra-se na Física: os sinais de ondas de rádio (assim como os sinais de ondas de luz) são muito fracos. Por isso, é necessário captá-los em uma área relativamente grande e concentrá-los em um único ponto para que sejam amplificados. Logo, é usado a propriedade de reflexão da parábola, ou seja, todo raio de onda de rádio (ou de luz) que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete- se passando por um ponto fixo, o foco. No entanto as propriedades acústicas e ópticas não são exclusivamente da parábola. De fato, um raio que passe por um dos focos reflete-se na direção do outro foco, tanto na elipse, como na hipérbole. Os refletores dos consultórios odontológicos são refletores elípticos que têm como objetivo concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando e também evitar que os raios luminosos ofusquem a visão do paciente causando certo desconforto. É possível encontrar as propriedades das cônicas na engenharia e arquitetura, como é o caso dos cabos de suspensão de uma ponte, onde sua função é distribuir segundo o eixo horizontal da ponte, assim tais cabos tomam a forma de uma parábola. No cotidiano nos deparamos com cônicas às vezes de maneira imperceptível, como por exemplo, a trajetória de um jato d água produzido pela ponta de uma mangueira quando esta é pressionada. Aliás, a própria pressão estando esta em função 3

do volume descreve graficamente um ramo de uma hipérbole eqüilátera (quando suas assíntotas são perpendicular a própria hipérbole); outro exemplo de cônicas no nosso cotidiano seria uma lanterna direcionada para uma parede, seu feixe de luz emitido desenhará na parede uma curva cônica, dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, obtém-se uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. 3. O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA A geometria analítica, também denominada de geometria de coordenadas, se baseia nos estudos da geometria através da utilização da álgebra. Ela busca uma relação entre formas e números. Seu grande precursor foi René Descartes no ano de 1628, seus princípios matemáticos eram capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. A geometria analítica é de suma importância, visto que através desta podemos localizar coordenadas de um ponto, representarmos graficamente e calcularmos distâncias entre pontos e áreas de figuras plana. Assim nos deparamos com algo essencial, visto que podemos obter uma aplicação prática ao nosso cotidiano, pois todo tipo de localização é obtido através de posições de coordenadas, e onde mais são utilizadas estas coordenadas senão na própria geometria analítica? Contudo, percebemos dificuldades no ensino de geometria analítica, como a ênfase na memorização de fórmulas sem sentido e significado. A cada dia o ensino se torna extremamente dinâmico e contextualizado, o alunado de hoje não aceita respostas prontas, é ele mesmo que formula suas indagações. Não é mais aceitável afirmações do tipo: vocês devem decorar essa fórmula, pois faz parte do assunto da prova. Além do fato de decorar fórmulas do nada ser algo arcaico, o alunado de hoje necessita de conceitos para que haja a memorização do conteúdo. Então assim, faz-se necessária interação da geometria plana como ferramenta auxiliar da geometria analítica, pois a partir de uma representação de uma figura pode-se tirar várias conclusões, conforme os PCNEM(1999, p. 255), as propriedades de retas e parábolas estudadas em geometria analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Uma das maneiras de implementar esta interação é o uso da construção das figuras como apresentado em 4

nosso trabalho, através de dobraduras e com o auxílio do software geogebra, invocando o uso de tecnologia, que é uma ferramenta espetacular para o ensino de matemática, em particular para o ensino de geometria. Borba & Penteado (2005, p.17) defendem que o acesso as novas tecnologias, como a informática, precisam ser encarado um direito, portanto, a escola pode promover uma dimensão ampla do seu uso. 4. A Experiência O trabalho foi desenvolvido na escola E.E.E.F.M. Dom Adauto, município de Serra Redonda-PB, numa turma da 3ª série do ensino médio, e apresenta as seguintes características: a) Número de aulas: foi efetuado um número de 06 aulas; b) Justificativa: a proposta de abordagem didática procura levar o aluno redescobrir conceitos básicos de geometria, (pontos, retas, planos, perpendicularismo, entre outros), chegando até assuntos mais complexos, caso das cônicas, visualizando-as via dobraduras como também, utilizando o geogebra, programa de computador; c) Objetivo: desenvolver e aplicar estratégias de ensino que levem o aluno à construção de conhecimentos sobre as cônicas de maneira significativa; d) Metodologia: as aulas procederam numa turma de 25 alunos, da E.E.E.F.M. Dom Adauto do município de Serra Redonda-PB. As figuras foram confeccionadas em folhas de papel vegetal, e no programa de computador geogebra. Foi solicitado antecipadamente aos alunos o material necessário para a construção de figuras via dobraduras. Tais atividades podem ser realizadas em dupla ou individual; e) Material necessário para o método de obtenção das cônicas: papel vegetal, compasso, régua e lápis grafite; para o método de dobradura; e ainda, um computador para número máximo de três alunos; f) Programa de computador adotado: geogebra; g) Relatório das aulas demonstrativas: 5

PRIMEIRA SESSÃO (2 AULAS) Foi apresentado no dia cinco de novembro de dois mil e nove, as primeiras duas aulas, com uma exploração histórica do assunto tendo início com a descoberta pelos gregos dando ênfase aos matemáticos Menaecmus e Apolônio, os dois principais estudiosos das secções cônicas, comparando ambos os métodos utilizados para obtenção das cônicas, e enfim, fazendo uma analogia de comparação com os livros didáticos atuais; relatando as primeiras utilidades das propriedades cônicas, se valendo assim do ustórios (espécie de espelho parabólico gigantesco), invenção de Arquimedes, que tinha por finalidade de defensa do seu clã contra os ataques de inimigos vindo de caravelas; abordando ainda, suas principais aplicações no século XVII tais como: a Primeira Lei de Kepler, trajetórias de projéteis, os telescópios refratores e refletores, entre outros; e atingindo os dias contemporâneos com os avanços tecnológicos. Foram aulas expositivas no intuito de relatar os principais fatos históricos do assunto, as cônicas; estas aulas foram apresentadas no data show, e não houve um interesse significativo da parte dos alunos. SEGUNDA SESSÃO (2 AULAS) Já na terceira e quarta aula (seis de novembro), trabalhamos as construções de figuras das cônicas: elipse, parábola e hipérbole de duas formas; na primeira de maneira simples apresentada na barra de ferramenta do programa geogebra; já na segunda, foi-se dado uma tarefa de construção de cônicas: parábola, elipse e hiper (ver construção das cônicas a seguir) ao grupo. Relato ainda, que estas aulas tiveram mais interesse dos alunos do que as duas primeiras, visto que foi implantado algo novo tanto aos alunos como em relação à própria escola e as aulas de matemáticas, houve questionamento de definições elaborado em cada figura criada no programa geogebra, assim como perguntas referentes as noções básicas de geometria, cito em exemplos: O que é um ponto?, Quantas pontos têm uma única reta?, O que é reta tangente?, O que é reta mediatriz, dentre outras; proporcionando assim uma revisão de conteúdos de geometria plana e analítica. Com estes questionamentos foi possível constatar que estes alunos não tinham entendido tais definições, pois tais assuntos foram abordados apenas de forma abstrata, já com o programa geogebra pôde enfim conceituá-las; salientamos que ao final de cada assunto conceituado no programa de computador foi definido implicitamente ao quadro. 6

TERCEIRA SESSÃO (2 AULAS) Em nove de novembro de dois mil e nove, foi dado continuidade ao número de aulas com a quinta e sexta aula com trabalho do método de dobradura para a construção de cônicas: parábola, elipse e hipérbole (ver construções das cônicas a seguir), este trabalho apesar de ser individual proporcionou uma atividade conjunta, onde cada aluno que obteve mais facilidade de construção pôde ajudar seu colega com as figuras, os alunos também se mostraram interessados todos participaram livremente, houve a comparação de construção das cônicas deste método com o do programa geogebra, nos momentos finais retomaram ao programa geogebra para a conclusão da tarefa passada e/ou aprimorando seus conhecimentos ao programa junto aos seus conceitos e definições matemáticas. 5. REFLEXÕES O trabalho mostrou-se extremamente proveitoso, visto que não apenas aplicamos, mas pelo fato dele gerar reflexões sobre a nossa própria prática, as quais apresentamos a seguir. O fato de considerarmos a importância do conhecimento do desenvolvimento histórico de um conceito e como isto desperta curiosidade nos alunos. Através desta proposta metodológica, foi perceptível o interesse e a aprendizagem do assunto com a metodologia adotada. É importante salientar, entretanto, que a única maneira de se aprender matemática é interpretando as possíveis situações para cada questão elaborada, mas antes disto tudo é preciso conceituar de forma expressiva sempre que necessário os assuntos didáticos, para que enfim haja uma compreensão da parte dos alunos para com os mesmos, acarretando um melhor entendimento nas definições apresentadas. Foi usado neste trabalho, como metodologia o método de dobradura, e principalmente o programa geogebra, o qual foi fundamental para a construção de tais figuras, como também para a conceitualização de definições ajudando assim na fixação do assunto abordado. Como consequência, notamos o início da percepção por parte dos alunos da relação geometriaálgebra e isto abre portas para uma melhor compreensão de temas não só da geometria analítica, como a exposição das equações das cônicas, mas também da trigonometria, por exemplo, que une tão bem não só geometria e álgebra, como também a aritmética. Pudemos perceber a importância da ferramenta tecnológica, pois o estudante pôde encontrar no programa geogebra uma ferramenta prática ao auxílio dos conteúdos 7

abordados, o que por sua vez proporcionou uma maior dinamização das aulas. Como todo trabalho, este pode ser aprimorado bem como abre perspectivas para outras investigações possíveis. Referências EVES, H. Introdução à história da matemática, tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004. Geogebra, programa de computador: 2001-2009. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms>. Acesso em 22/23/24 de agosto de 2009. BRASIL, MEC/INEP. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Brasília. 1999. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 8