Teoria Geométrica da Medida Aula 1

Teoria Geométrica da Medida Aula 1 Diego Marcon 08 de Agosto de 2016 Ver www.chasqueweb.ufrgs.br/~dmarcon em Teaching Referências principais 1. Evans, L.C. e Gariepy, R.C., Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992. 2. Maggi, F., Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems - An Introduction to Geometric Measure Theory, Cambridge, 2012. Referências adicionais 1. Ambrosio, L., Fusco, N. e Pallara, D., Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford Science Publ., 2000. 2. Falconer, K., The geometry of fractal sets, Cambridge, 1986. 3. Federer, H., Geometric Measure Theory, Springer, 1969. 4. Giusti, E., Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhauser, 1984. 5. Mattila, P., Fourier Analysis and Hausdorff Dimension, Cambridge, 2015. 1 Medida exterior Definição 1 (Medida exterior. Seja P(R d a coleção de todos os subconjuntos de R d. medida exterior é uma aplicação µ : P(R d [0, + ] tal que: Uma (i µ( = 0; (ii Se E E n, então µ(e µ(e n. n=1 n=1 É imediato da definição que, se E F, então µ(e µ(f. medidas exteriores. Vejamos alguns exemplos de Exemplo 2. Medida de Dirac: para E R d, δ x (E = { 1, se x E 0, se x E. Exemplo 3. Medida de contagem: para E R d, definimos #E = #(E como o número de elementos de E se E é finito e +, caso contrário. 1

Exemplo 4. Medida de Lebesgue em R d : para E R d, definimos L d (E = inf l(q d, F onde F é qualquer cobertura de E por cubos Q de arestas paralelas aos eixos coordenados e l(q denota o comprimento dos lados de Q. Frequentemente, denotaremos L d (E = E. É de fácil verificação (exercício! que a medida de Lebesgue satisfaz: Para todo x R d e E R d, x + E = E ; Para todo λ > 0 e E R d, λe = λ n E. Exemplo 5. Medida de Hausdorff: A ideia é atribuir alguma medida para conjuntos de R d de dimensão mais baixa (menor do que d. Fixa s [0, + e define, para E R d, Q F { Hδ(E s = inf (diam E j s E } E j, diam E j δ. (1 Segue que Hδ s é uma medida exterior (verifique!. Assim, a medida de Hausdorff s dimensional de E é definida por ( H s (E = lim H s δ 0 δ(e = sup Hδ(E s. (2 δ>0 Nota que H s é uma medida exterior porque H s δ o é. Nota também que H0 é a medida de contagem. Mostraremos mais adiante que a medida de Hausdorff d dimensional é a própria medida de Lebesgue, como já era de se esperar. As medidas de Hausdorff são uns dos objetos centrais do nosso curso. Observamos ainda que as coberturas que consideramos na definição da medida de Hausdorff poderia ter sido tomada sobre Conjuntos fechados E j ; Conjuntos abertos E j ou ainda; Conjuntos convexos E j. Definição 6. Dizemos que uma medida µ está concentrada em um conjunto E se µ ( R d \E = 0. O suporte de µ é o conjunto definido por { supp µ = x R d ( µ Br (x } > 0, r > 0. Exemplo 7. Mostramos neste exemplo que uma medida µ pode estar concentrada em conjuntos menores do que supp µ. Definimos uma medida µ em R por µ = n=1 δ 2 n 2 n. Assim, µ se concentra em {2 n }, mas é fácil de ver que supp µ = {0} {2 n }. Intuitivamente, nós pensaríamos que vale a seguinte propriedade, chamada de σ aditividade: Se E = j E j, com E j E k =, para j k, então µ(e = µ(e j. No entanto, como mostra o próximo exemplo, isto é falso. 2

Exemplo 8 (Conjunto de Vitalli, 1905. Consideramos o intervalo (0, 1 com a medida de Lebesgue. Definimos uma relação de equivalência por: x y x y Q construimos o conjunto E := {um elemento de cada classe de equivalência}. Agora, enumeramos o conjunto dos números racionais em (0, 1 escrevendo Q (0, 1 = {x h } h N e definimos E j := x j + E(mod 1. Observa que Logo, como E = E j, concluiríamos que que é uma contradição. 1 = + + E j = (0, 1. E j = Um outro exemplo que mostra ser impossível construir uma medida σ aditiva sobre todos os subconjuntos de R d é o que segue. Exemplo 9 (Paradoxo de Banach Tarski, 1924. Dada uma bola sólida em R 3, existe uma decomposição da bola em um número finito de subconjuntos disjuntos que podem ser rearranjados de modo a formar duas cópias idênticas da bola original. De modo um pouco mais preciso, podemos escrever 7 B 1 = E i, com E i E j. i=1 Em seguida, apenas com translações e rotações (sem esticar!, define-se F i = L i (E i e tem-se + 7 F i = B 1 B 1. i=1 E, Um esboço da construção pode ser encontrado no Wikipedia. 1 Como visto, não existem medidas σ aditivas definidas sobre todos os subconjuntos de R d. Entretanto, a experiência mostra que conjuntos patológicos como os dos exemplos acima são raros e não aparecem em aplicações. Definição 10 (Conjuntos µ-mensuráveis. Um conjunto E é dito µ-mensurável se, para todo conjunto F, vale que µ(f = µ(f E + µ(f \E. (3 Denotamos a coleção de todos os conjuntos µ-mensuráveis por M(µ. Observa que em (3, basta mostrar que µ(f µ(f E + µ(f \E, pois a outra desigualdade é sempre válida. Esta é a classe de conjuntos que se utiliza em Teoria da Medida, como o Teorema de Caratheodory abaixo justifica. Teorema 11 (Caratheodory. Seja µ uma medida exterior em R d. Então a coleção M(µ de todos os conjuntos µ mensuráveis é uma σ álgebra. Além disso, quando restrita a M(µ, a medida µ é σ aditiva. 1 O Teorema de Banach Tarski é conhecido como um paradoxo simplesmente por contradizer nossa intuição geométrica elementar. O fato de conseguirmos dobrar uma bola a partir de divisões, translações e rotações, sem qualquer tipo de dobraduras, alongamentos ou adição de novos pontos parece impossível, já que é plausível acreditarmos que volume deveria ser preservado. 3

Demonstração. Prova da primeira afirmação: Se E =, então F E = e F \E = F, de modo que (3 é válido e M(µ. Se E M(µ, então F E = F \E c e (3 vale para E c no lugar de E. Logo, E c M(µ. Finalmente, se E 1, E 2 M(µ, tem-se Por outro lado, como E 2 é mensurável, µ(f = µ(f E 1 + µ(f \E 1. µ(f \E 1 = µ(f \E 1 E 2 + µ((f \(E 1 E 2. Nota que F ( E 1 E 2 = ( (F \E1 E 2 (F E1 para concluir: Segunda afirmação fica de exercício. µ(f µ ( F \(E 1 E 2 + µ ( F (E 1 E 2. Corolário 12. Se E h M(µ e E h E h+1, então ( µ Eh = lim µ(e h. h + Se E h M(µ é tal que E h+1 E h e µ(e 1 <, então ( µ Eh = lim µ(e h. h + Definição 13 (Medida σ finita. Uma medida µ em R d é dita σ finita se R d = + h=1 E h, com E h M(µ, e µ(e h < +, para todo h. 2 Integração Uma das propriedades mais importantes das medidas é que permite definir uma noção de integral. Definição 14 (Função mensurável. Uma função u : R d {u > t} M(µ, para todo t R. [, + ] é dita µ-mensurável se Definição 15 (Função simples. Uma função simples é uma função u : R d [, + ] tal que u(r d é um conjunto enumerável. Definição 16 (Integração. Seja µ uma medida exterior. (i Se u : R d [0, + ] é uma função simples, não negativa e µ-mensurável, definimos a sua integral como u dµ := tµ ( u 1 (t. t u(r d (ii Se u : R d [0, + ] é uma função não negativa e µ-mensurável, definimos a sua integral como { u dµ := inf v dµ }. 0 v u, com v simples e µ-mensurável 4

(iii Se u : R d [, + ] é uma função µ-mensurável e u + dµ < + ou u dµ < +, definimos sua integral como u dµ := u + dµ u dµ. Funções mensuráveis aparecem como funções que preservam a estrutura de espaços de medida. Teorema de Egorov Severini abaixo nos diz que uma sequência de funções mensuráveis que converge em quase todo ponto deve convergir uniformemente, a menos de um conjunto de medida tão pequena quanto se queira. Teorema 17 (Egorov Severini, 1911. Seja {u h } uma família de funções µ-mensuráveis tais que u h u µ-q.s. Então, para quaisquer ε > 0 e E M(µ com µ(e <, existe F M(µ tal que µ(e\f < ε e u h u uniformemente em F. Definição 18 (Medida produto. Sejam µ e ν medidas exteriores em R d e R k, respectivamente. Definimos a medida produto µ ν em R d R k como { (µ ν(g := inf µ(e i ν(f j G } E i F j, com E i M(µ e F j M(ν. i,j Teorema 19 (Fubini, 1907. Se u L 1 (µ ν, então: (i tem-se u(x, L 1 (ν para µ-q.t.p. x R d. i,j (ii a função pertence a L 1 (µ. x u(x, y dν(y (iii vale que ( u(x, y d(µ ν(x, y = u(x, y dν(y dµ(x. Corolário 20 (Fórmula bolo de camadas. Se u L 1 (µ, onde µ é uma medida positiva, então u dµ = µ ( {u > t} dt. Além disso, se u L p (µ, então u p dµ = p 0 0 t p 1 µ ( {u > t} dt. Demonstração. Aplicar o Teorema de Fubini f(x, t = χ (0,u(x (t e µ L 1. Mostraremos com um exemplo que a hipótese u L 1 (µ ν no Teorema de Fubini é necessária. Exemplo 21. Sejam µ = L 1 e ν medida de contagem. Consideramos R 2 = (R, µ (R, ν e u(x, y := χ {x=y}. Observe u L 1 (µ ν e temos ( 1 = ( u(x, y dν(y dx u(x, y dx dν = 0. 5

3 Borel and Radon measures Se o conjunto dos conjuntos mensuráveis fosse muito pequeno, como M(µ = {, R d }, teríamos um problema, pois a medida carregaria pouca informação. Definição 22 (Conjuntos e medidas de Borel. Considere R d com a topologia usual. (i Denotamos por B(R d a menor σ-álgebra que contém todos os conjuntos abertos. Os elementos de B(R d são chamados de conjuntos de Borel. (ii Uma medida µ é dita de Borel se B(R d M(µ, isto é, se todo conjunto de Borel é µ- mensurável. Teorema 23 (Caratheodory. Se uma medida exterior µ satisfaz µ(e 1 E 2 = µ(e 1 + µ(e 2, para quaisquer E 1, E 2 disjuntos tais que dist(e 1, E 2 > 0, então µ é uma medida de Borel. 6