Teoria Geométrica da Medida

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1 Teoria Geométrica da Medida Diego Marcon 11 de Outubro de 2018 Estas notas de aula começaram 2016 quando lecionei Teoria Geométrica da Medida no programa de pós-graduação em matemática da UFRGS; ver dmarcon em Teaching. Os resultados aqui apresentados não são originais e, sempre que possível, tento deixar as referências explicitadas. As referências principais são [3, 7]. Referências adicionais incluem [1, 4, 5, 6, 8]. 1 Medida exterior O conceito de medida exterior foi considerado pela primeira vez por Constantin Carathéodory 1 [2, 230, página 231]. Definição 1 Medida exterior. Seja 2 Rd a coleção de todos os subconjuntos de R d. Uma medida exterior é uma aplicação µ : 2 Rd [0, + ] tal que: i µ = 0; ii Se E E n, então µe µe n. n=1 n=1 1 Constantin Carathéodory foi um matemático grego que viveu de 13 de Setembro de 1873, Berlin, Império Alemão até 2 de Feveireiro de 1950, Munique, Alemanha Ocidental. Carathéodory é filho de gregos, mas cresceu em Bruxelas, na Bélgica, e passou a maior parte da sua carreira na Alemanha. É conhecido pelo seu trabalho em diversas áreas, como cálculo de variações, análise real, teoria da medida, funções de uma variável complexa, formulação axiomática da termodinâmica, etc. De acordo com Wikipedia, referência abaixo, Carathéodory falava e escrevia em vários idiomas, como grego, francês, alemão, inglês, italiano e turco. Algumas destas informações e a foto acima foram tiradas do link permanente wikipedia.org/constantin-caratheodory 1

2 É imediato da definição que, se E F, então µe µf. medidas exteriores. Vejamos alguns exemplos de Exemplo 2 Dirac. para E R d, δ x E = { 1, se x E 0, se x E. Exemplo 3 Contagem. Para E R d, definimos #E = #E como o número de elementos de E se E é finito e +, caso contrário. Exemplo 4 Lebesgue. A medida de Lebesgue em R d é definida como segue. Para E R d, L d E := inf lq d, F onde F é qualquer cobertura de E por cubos Q de arestas paralelas aos eixos coordenados e lq denota o comprimento das arestas de Q. Frequentemente, denotaremos L d E = E. É de fácil verificação exercício! que a medida de Lebesgue satisfaz: Para todo x R d e E R d, x + E = E ; Para todo λ > 0 e E R d, λe = λ n E. Exemplo 5 Hausdorff. Na medida de Hausdorff, a ideia é atribuir alguma medida para conjuntos de R d de dimensão menor do que d. Fixa s [0, + e define, para E R d, A constante { HδE s ωs = inf 2 s ω s := j=1 π s/2 Γ1 + s/2 Q F diam E j s E onde Γx = j=1 + 0 } E j, diam E j δ. 1 t x 1 e t dt, é uma constante de normalização coerente com a medida de Lebesgue d-dimensional na bola unitária. Notamos que Hδ s é uma medida exterior verifique!. Assim, a medida de Hausdorff s dimensional de E é definida por H s E = lim H s δ 0 δe = sup HδE s. 2 δ>0 Nota que H s é uma medida exterior porque H s δ o é. Nota também que H0 é a medida de contagem. Mostraremos mais adiante que a medida de Hausdorff d dimensional é a própria medida de Lebesgue, como já era de se esperar. Como também veremos, no caso de E ser uma superfície s-dimensional, a medida de Hausdorff coincide com a área usual da superfície. As medidas de Hausdorff são objetos centrais do nosso curso. Observamos ainda que as coberturas que consideramos na definição da medida de Hausdorff poderia ter sido tomada sobre Conjuntos fechados E j ; Conjuntos abertos E j ou ainda; Conjuntos convexos E j. Definição 6. Dizemos que uma medida µ está concentrada em um conjunto E se µ R d \E = 0. O suporte de µ é o conjunto definido por { supp µ = x R d µ Br x } > 0, r > 0. 2

3 Exemplo 7. Mostramos neste exemplo que uma medida µ pode estar concentrada em conjuntos menores do que supp µ. Definimos uma medida µ em R por µ = n=1 δ 2 n 2 n. Assim, µ se concentra em {2 n }, mas é fácil de ver que supp µ = {0} {2 n }. Intuitivamente, nós pensaríamos que vale a seguinte propriedade, chamada de σ-aditividade: Se E = j E j, com E j E k =, para j k, então µe = µe j. em geral, falso No entanto, como mostra o próximo exemplo, isto é falso. j=1 Exemplo 8 Conjunto de Vitalli, Vamos construir um conjunto E [0, 1] que não é aditivo com a medida de Lebesgue. Definimos uma relação de equivalência em [0, 1] da seguinte maneira: x y x y Q. Usando o axioma da escolha, construimos o conjunto E := {um elemento de cada classe de equivalência} [0, 1]. Agora, sendo o conjunto dos números racionais enumerável, escrevemos Q [ 1, 1] = {x h } h N e definimos E j := x j +E, que formam conjuntos disjuntos verifique!. Dado x [0, 1], consideramos o único elemento y [x] E e temos x y = x h, para algum h N. Segue que [0, 1] + j=1 E j [ 1, 2]. Como a medida de Lebesgue é invariante por translações, temos E = E j, e logo que é uma contradição. 1 + j=1 E j = + j=1 E 3, Um outro exemplo que mostra ser impossível construir uma medida σ aditiva sobre todos os subconjuntos de R d é o que segue. Exemplo 9 Paradoxo de Banach Tarski, Dada uma bola sólida em R 3, existe uma decomposição da bola em um número finito de subconjuntos disjuntos que podem ser rearranjados de modo a formar duas cópias idênticas da bola original. De modo um pouco mais preciso, podemos escrever 5 B 1 = E i, com E i E j. i=1 Em seguida, a partir de apenas translações e rotações, temos que as imagens F i = L i E i podem ser escritas como 5 F i = B 1 B 1. Um esboço da construção pode ser encontrado na página Wikipedia. 2 i=1 2 O Teorema de Banach Tarski é conhecido como um paradoxo simplesmente por contradizer nossa intuição geométrica elementar. O fato de conseguirmos dobrar uma bola a partir de divisões, translações e rotações, sem qualquer tipo de dobraduras, alongamentos ou adição de novos pontos parece impossível, já que é plausível acreditarmos que volume deveria ser preservado. 3

4 Como visto, não existem medidas σ aditivas definidas sobre todos os subconjuntos de R d. Entretanto, a experiência mostra que conjuntos patológicos como os dos exemplos acima são raros e geralmente não aparecem em aplicações. Definição 10 Conjuntos µ-mensuráveis. Dados uma medida µ, um conjunto E é dito µ-mensurável se, para todo conjunto F, vale que µf = µf E + µf \E. 3 Denotamos a coleção de todos os conjuntos µ-mensuráveis por Mµ. Observamos que, em 3, basta mostrar que µf µf E + µf \E para verificar que E é µ-mensurável, pois a desigualdade inversa é sempre verdadeira. Esta é a classe de conjuntos que se utiliza em Teoria da Medida, como o Teorema de Caratheodory abaixo justifica. Teorema 11 Carathéodory. Seja µ uma medida exterior em R d. Então a coleção Mµ de todos os conjuntos µ mensuráveis forma uma σ-álgebra. Além disso, quando restrita a Mµ, temos que µ é σ-aditiva. Demonstração. Prova da primeira afirmação: Se E =, então F E = e F \E = F, de modo que 3 é válido. Logo, Mµ. Se E Mµ, usando F E = F \E c, temos que 3 vale para E c no lugar de E e E c Mµ. Finalmente, se E 1, E 2 Mµ, tem-se Por outro lado, como E 2 é mensurável, µf = µf E 1 + µf \E 1. µf \E 1 = µf \E 1 E 2 + µf \E 1 E 2. Nota que F E 1 E 2 = F \E1 E 2 F E1 para concluir: Segunda afirmação fica de exercício. µf µ F \E 1 E 2 + µ F E 1 E 2. Corolário 12. Se E h Mµ e E h E h+1, então µ Eh = lim µe h. h + Se E h Mµ é tal que E h+1 E h e µe 1 <, então µ Eh = lim µe h. h + Definição 13 Medida σ finita. Uma medida µ em R d é dita σ-finita se R d = + h=1 E h, com E h Mµ, e µe h < +, para todo h. 4

5 2 Integração Dada uma medida, podemos definir uma noção de integral como passamos a descrever. Definição 14 Função mensurável. Uma função u : R d {u > t} Mµ, para todo t R. [, + ] é dita µ-mensurável se Definição 15 Função simples. Uma função simples é uma função u : R d imagem ur d é um conjunto enumerável. [, + ] cuja Definição 16 Integração. Seja µ uma medida exterior. i Se u : R d [0, + ] é uma função simples, não negativa e µ-mensurável, definimos a sua integral como u dµ := tµ u 1 t. R d t ur d ii Se u : R d [0, + ] é uma função não negativa e µ-mensurável, definimos a sua integral como { u dµ := inf v dµ }. 0 v u, com v simples e µ-mensurável R d R d iii Se u : R d [, + ] é uma função µ-mensurável e u + dµ < + ou u dµ < +, R d R d definimos sua integral como u dµ := R d u + dµ R d u dµ. R d Funções mensuráveis aparecem como funções que preservam a estrutura de espaços de medida. O Teorema de Egorov Severini abaixo nos diz que uma sequência de funções mensuráveis que converge em quase todo ponto deve convergir uniformemente, a menos de um conjunto de medida tão pequena quanto se queira. Teorema 17 Egorov Severini, Seja {u h } uma família de funções µ-mensuráveis tais que u h u µ-q.s. Então, para quaisquer ε > 0 e E Mµ com µe <, existe F Mµ tal que µe\f < ε e u h u uniformemente em F. Definição 18 Medida produto. Sejam µ e ν medidas exteriores em R d e R k, respectivamente. Definimos a medida produto µ ν em R d R k como { µ νg := inf µe i νf i G } E i F i, com E i Mµ e F i Mν. i i Teorema 19 Fubini, Se u L 1 µ ν, então: i tem-se ux, L 1 ν para µ-q.t.p. x R d. ii a função pertence a L 1 µ. x ux, y dνy R k 5

6 iii vale que ux, y dµ νx, y = R d R k R d ux, y dνy dµx. R k Corolário 20 Fórmula bolo de camadas. Se u L 1 µ, onde µ é uma medida positiva, então u dµ = µ {u > t} dt. R d 0 Além disso, se u L p µ, então R d u p dµ = p 0 t p 1 µ {u > t} dt. Demonstração. Aplicar o Teorema de Fubini para fx, t = χ 0,ux t e µ L 1. Mostraremos com um exemplo que a hipótese u L 1 µ ν no Teorema de Fubini é necessária. Exemplo 21. Sejam µ = L 1 e ν medida de contagem. Consideramos R 2 = R, µ R, ν e ux, y := χ {x=y}. Observe u L 1 µ ν e temos 1 = fim da aula 1 [0,1] ux, y dνy [0,1] dx [0,1] ux, y dx [0,1] dνy = 0. 3 Medidas de Borel e de Radon Se o conjunto dos conjuntos mensuráveis fosse muito pequeno, como Mµ = {, R d }, teríamos um problema, pois a medida carregaria pouca informação. Émile Borel esq. & Johann Radon dir. Definição 22 Conjuntos e medidas de Borel. Considere R d com a topologia usual. i Denotamos por BR d a menor σ-álgebra que contém todos os conjuntos abertos. Os elementos de BR d são chamados de conjuntos de Borel. 3 3 Félix Édouard Justin Émile Borel foi um matemático francês e político que viveu de 7 de janeiro de 1871, Saint- Affrique, Aveyron, até 3 de fevereiro de 1956, Paris. Como matemático, é conhecido como um dos fundadores das áreas de teoria da medida e de probabilidade. 6

7 ii Uma medida µ é dita de Borel se BR d Mµ, isto é, se todo conjunto de Borel é µ- mensurável conforme a Definição 10. Lembramos que a distância entre dois conjuntos A, B R d é definida como dista, B := inf { x y ; x A, y B }. Teorema 23 Critério de Carathéodory. Se uma medida exterior µ satisfaz µe 1 E 2 = µe 1 + µe 2, para quaisquer E 1, E 2 tais que diste 1, E 2 > 0, então µ é uma medida de Borel. Demonstração. Basta mostrar que, para C fechado fixado, vale que µa µa C + µa\c para todo A R d. Se µa = +, não há o que provar. Suponhamos então que µa < + e definimos { 1 A k := x A; k + 1 distx, C < 1 } e A 0 := { x A; distx, C 1 }, k de modo que A \ C = + k=0 A k. Observamos que distc A, N k=0 A k > 0 e logo, pela hipótese, µa C + µa\c µa C + µ N k=0 A k + = µ C A N k=0 A k + µa + + k=n+1 µa k. + k=n+1 + k=n+1 µa k µa k 4 7

8 Olhando para os termos pares e ímpares, podemos usar a hipótese e conseguimos ver que a série µak é convergente. De fato, 2N j=1 µa j = 2N j=1 µa 2j + 2N j=1 µa 2j 1 2µA < +. Portanto, basta fazer N + em 4 para concluir a prova do teorema. Exercício 1. Use o Critério de Caratheodory acima para provar que H s é uma medida de Borel. Definição 24 Medida de Borel regular. Uma medida µ é dita de Borel regular se µ é uma medida de Borel e, para todo F R d, existe E BR d tal que F E e µf = µe. Exemplo 25. A medida de Hausdorff H s é de Borel regular. De fato, pela definição de H s δ com δ = 1/k, para todo k N, existe {F k i } i N uma família de fechados tal que F i F k i, diam F k i 1 k e H1/k s F + 1 k ω + s 2 s diam Fi k s. i=1 Definimos o Boreliano Logo, para todo k N, E = k N + i=1 F k i F. H1/k s E ω s diam F k s 2 s i H s 1/k F + 1 k. Fazendo k +, obtemos H s E H s F, como queríamos. i Definição 26 Medida de Radon. Uma medida µ é dita de Radon 4 se µ é de Borel regular e é localmente finita: µk < +, para todo compacto K R d. Teorema 27. i Sejam µ uma medida de Borel e A um conjunto de Borel com µa < +. Temos µa = sup { µk A K, K compacto }. ii Se µ é uma medida de Radon, então para todo conjunto de Borel A, temos µa = inf { µu A U, U aberto } = sup { µk A K, K compacto }. Observação 28. Para os que fizeram transporte ótimo semestre passado: em um espaço polonês, toda medida de Borel finita é de Radon. Por isso, usufruíamos de todas as propriedades das medidas de Radon. Observação 29. Na verdade, o teorema acima é um pouco mais geral: µa = inf { µu A U, U aberto }, mesmo que A não seja mensurável; µa = sup { µk A K, K compacto }, se µ é Borel e µa < +. Exemplo 30. A medida de Hausdorff H s não é de Radon, para s < d. Por exemplo, em [0, 1] 2, temos H 1 A = + para qualquer aberto A [0, 1] 2 e logo H 1 não é localmente finita. 4 Johann Karl August Radon foi um matemático austríaco que viveu de 16 de dezembro de 1887 Decín, Áustria- Hungria até 25 de maio de 1956 Viena, Áustria. Radon recebeu seu doutorado na Universidade de Viena em Em 1939, Radon tornou-se membro correspondente da Academia Austríaca de Ciências e, em 1947, tornou-se membro titular. Radon é conhecido por várias contribuições em matemática, como o Teorema Radon-Nikodym, a medida de Radon que começamos a estudar, a transformação do Radon em geometria integral, números de Radon-Hurwitz, etc. 8

9 Definição 31 Restrição de Medidas. Seja µ uma medida exterior e E Mµ. A restrição de µ ao conjunto E é a medida µ E definida por µ EA := µa E. Proposição 32. Suponhamos que µ é de Borel regular e E Mµ tal que µe < +. Então µ é de Radon. E Definição 33 Push-forward. Seja µ uma medida exterior em R d e f : R d R k. O push-forward de µ por f é a medida f # µ em R k definida por f # E := µ f 1 E. É fácil de verificar, por exemplo, que f # δ x = δ fx. Proposição 34. Seja µ uma medida de Radon e f : R d R k uma função contínua e própria imagem inversa de compacto é compacto. Então f # µ também é de Radon, supp f # µ = f supp µ e uy d f # µ y = u f x dµx, para toda função u : R d [0, + ] mensurável à Borel. Proposição 35. Seja µ uma medida de Radon e E R d limitado com µ E = 0. Então, para todo ε > 0, existem conjuntos A aberto e K compacto tais que Demonstração. Definimos A E int K e µk \ A < ε. A t = { x int E distx, E > t } e K s = { x R d distx, E s }. Segue que int E = t>0 A t e E = s>0 K s. Logo, µint E = lim t 0 µa t e µe = lim s 0 µk s. Observamos que, como µ E = 0, temos µint E = µe e utilizamos o Teorema 27. Proposição 36. Seja µ uma medida de Radon e {E t } t I BR d uma família disjunta de conjuntos de Borel. Então, o conjunto { t I µet > 0 } é finito ou infinito enumerável. Demonstração. Note que { t I µet > 0 } = { t I µ Et B k 0 > 1/k } =: I k. k N Logo, para todo subconjunto finito J I k, temos µ B k 0 µ E t B k 0 = t J t J Portanto, #I k kµ B k 0 < +. k N µ E t B k 0 #J k. 9

10 4 Medida de Hausdorff e dimensão de Hausdorff Esta seção segue Evans-Gariepy [3, Seção 2.1]. Proposição 37. As medidas de Hausdorff 5 satisfazem: 1. H 0 = #. 2. H s 0 em R d se s > d. 3. H s λa = λ s H s A, para todo λ > 0 e A R d. 4. H s LA = H s A, para todo A R d e L : R d R d isometria linear. Demonstração. Vamos mostrar o segundo item. Os demais ficam de exercício para o leitor. Seja Q o cubo unitário em R d. Fixamos m N e dividimos o cubo em m d cubos de aresta 1/m e logo de diâmetro d/m. Então H s d/m Q ω s 2 s m d i=1 diam Q i s = ω s 2 s d sm d s. Fazendo m 0, obtemos que H s Q = 0. Como isto vale para qualquer cubo, temos H s R d = 0. Exercício 2. Provar os itens 1, 3 e 4 da proposição acima. Um lema prático para verificar que um conjunto tem medida de Hausdorff nula é o que segue. Lema 38. Se A R d é tal que H s δ A = 0 para algum δ 0, + ], então Hs A = 0. 5 Felix Hausdorff foi um matemático alemão que viveu de 8 de novembro de 1868 Breslau, Reino da Prússia até 26 de janeiro de 1942 Bonn, Alemanha. É considerado um dos fundadores da topologia moderna e contribuiu significativamente para a teoria dos conjuntos, teoria dos conjuntos descritivos, teoria das medidas, teoria das funções e análise funcional. Durante a Segunda Guerra Mundial, a vida tornou-se difícil para Hausdorff e sua família e ele tentou ir para os Estados Unidos, mas sem sucesso. Em 26 de janeiro de 1942, Felix Hausdorff, sua esposa e cunhada, se suicidaram para evitar a ida a um campo de concentração. Hausdorff é conhecido em diversas áreas de matemática; em particular seu nome aparece em medida de Hausdorff, dimensão Hausdorff, espaço Hausdorff, princípio do máximo de Hausdorff, distância de Hausdorff, paradoxo de Hausdorff, desigualdade de Hausdorff-Young, etc. 10

11 Demonstração. Suponhamos, sem perda de generalidade, que s > 0. Para ε > 0 fixo, existe E i i N tal que A i E i, diam E i δ e ω s 2 s diam E i s < ε. Em particular, temos diam E i 2ωs 1/s ε 1/s para todo i e portanto H s 2ωs 1/s ε 1/sE ω s 2 s diam E i s < ε. Lema 39. Seja A R d e 0 s < t < +. Então 1. H s A < + = H t A = 0; 2. H t A > 0 = H s A = +. i Demonstração. Fixa δ > 0. Então, existe uma cobertura C i i N tal que A i C i, diam C i δ e Logo, ω s 2 s diam C i s HδA s + 1 H s A + 1. HδA t ω t 2 t diam C i t ω t 2 s t δ t s ω i s i i i diam C i s ω t ω s 2 s t δ t s H s A + 1. Fazendo δ 0, obtemos H t A = 0. O segundo item é a contrapositiva de i. O lema anterior garante que a dimensão de Hausdorff abaixo está bem definida e é sempre menor do que ou igual à dimensão d do espaço ambiente R d. Definição 40 Dimensão de Hausdorff. A dimensão de Hausdorff de A R d é definida por dim H A := inf { s > 0 H s A = 0 }. Exemplo 41. Conjunto de Cantor unidimensional. Definimos C = n C n. Temos um tipo de simetria do tipo C = 1 3 C 1 3 C, de onde segue que Se H s C não é 0 nem +, obtemos H s C = 2H s 1 3 C = 2 3 s Hs C. 2 log 2 = 1, que é equivalente à s = 3s log 3. Proposição 42. Seja C o conjunto de Cantor acima e s = log 2/log 3. Então H s C = 1. Consequentemente, temos dim H C = log 2 log

12 fim da aula 2 A prova que segue pode ser encontrada em Falconer [4, Theorem 1.14]. Demonstração. O conjunto de Cantor pode ser coberto por 2 j intervalos de comprimento 3 j, de modo que j 2 H3 s C 3 js = 2 j 3 js = 1, pois s = log 2 j log 3 3s = 2. k=1 Fazendo j +, obtemos H s C 1. Suponhamos que C i A i. Aumentando um pouquinho os A i s, podemos supor que são abertos e daí usar a compacidade de C para extrair uma subcobertura finita: C N i=1 A i. Fazendo mais uma redução, podemos assumir que cada A k é o menor intervalo que contém algum par de intervalos J e J da construção de C. Se J e J são os maiores possíveis, então I = J K J para K um intervalo no complemento de C. Já que K foi removido em um passo anterior na construção de C, temos J, J K e logo I s = J + J + K s 3 J + J s J + J s t s côncava = 2 J s + J s. 2 2 Assim, substituindo I por intervalos J e J que estão contidos em I. Repetindo essa substituição um número finito de vezes, chegamos a uma cobertura que necessariamente inclui todos os intervalos do passo i da construção de C. Logo, tem-se A i s J i s + J i s 2 i 3 si = 1. i i *Os intervalos J acima devem cobrir algum C i da construção do conjunto de Cantor. 5 Medidas de Hausdorff e funções Lipschitz Definição 43 Função Lipschitz. Dizemos que uma função f : E R d R k é de Lipschitz se existe uma constante L > 0 tal que Neste caso, a constante de Lipschitz é fx fy L x y x, y E. Lipf, E := inf { L > 0; fx fy L x y x, y E }. No caso E = R d, também denotamos Lipf, R d = Lipf. Proposição 44. Seja f : E R d R k uma função de Lipschitz. Então Em particular, H s fe Lip f s H s E. dim H fe dim H E. Demonstração. Considere uma cobertura E i A i com diam A i δ. Pela definição de função de Lipschitz, temos diam fa i Lip f diam A i δ Lipf. Como fe i fa i, temos H s δ Lip f fe i diam fai s Lip f s i diam A i s. Fazendo o ínfimo sobre todas as coberturas de E com diâmetro menor do que δ, obtemos O resultado segue ao fazer δ 0. H s δ Lip f fe Lipf s H s δe. 12

13 Exercício 3. Prove que se f C 0,α E; R k, então H s/α fe Holf s H s E. Corolário 45. Se L R d é um subespaço e π : R d L é a projeção ortgonal, então H s πa H s A A R d. Exemplo 46. Conjunto de Cantor bidimensional ver Figura 1. Cantor bidimensional Com o mesmo tipo de análise do Cantor unidimensional, temos H s C = 4H s C/4 = 4 4 s Hs C = s = 1. Proposição 47. Nas condições do Exemplo 46 acima, temos que dim H C = 1. Demonstração. Cantor bidimensional Como para o conjunto de Cantor, H 1 C < + segue pela cobertura natural. Para verificar a outra desigualdade, nota que πc 1 = πc 2 = = πc i = πc e portanto 1 H 1 πc H 1 C. 13

14 6 Recobrimento de Vitali Mais adiante, vamos mostrar que existe C = Cd > 0 tal que Cd E = H d E = H d δe E R d, δ 0, + ]. Para isto, vamos precisar do Teorema de recobrimento de Vitali, 6 que provamos a seguir. Teorema 48 Lema de recobrimento de Vitali, Seja F uma família de bolas fechadas em R d e suponhamos que sup diam B < +. B F Então existe uma subfamília enumerável e disjunta G F que cobre a união das bolas da família original: G = {B i } i N, B i B j = se i j e B F B B i G Demonstração. Vamos denotar D = sup B F diam B. Seja Sejam agora F j = { B F; 5B i. D 2 j+1 diam B D } 2 j. G 1 = subfamília maximal de F 1 de subconjuntos disjuntos G 2 = subfamília maximal de F 2 de subconjuntos disjuntos, disjunta de G 1. G k = subfamília maximal de F k de subconjuntos disjuntos, disjunta de G 1, G 2,..., G k 1 Definimos G = k G k. Afirmação. Para todo B F, existe B G tal que B B e B 5B. 6 Giuseppe Vitali foi um matemático italiano que trabalhou em vários ramos da análise matemática. Nasceu no dia 26 de agosto de 1875 em Ravena, norte da Itália, e faleceu em 29 de fevereiro de 1932 em Bolonha, Itália. Seu nome aparece em vários conceitos matemáticos, como os conjuntos de Vitali que vimos no início das notas, o primeiro exemplo de um subconjunto não mensurável de números reais. Também no Teorema de Recobrimento de Vitali, uma generalização do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e o Teorema de Vitali-Hahn-Saks. Estas informações e a foto foram retiradas de Wikipedia, no link permanente Vitali&oldid=

15 De fato, B F implica que B F j para algum j. Se B G j, OK. Caso contrário, pela maximalidade de G j, B B, para algum B G 1 G j. Assim, temos diam B D 2 j 1 e diam B D 2 j. Logo, diam B 2 diam B. Portanto, segue da desigualdade triangular que B 5B. Corolário 49. Se A R d é um conjunto aberto, então, para todo δ > 0, existe uma família enumerável G de bolas B i disjuntas tais que diam B i δ, B A e A B = 0. B G Demonstração. A menos de aplicar o resultado para A m := A {x A m < x < m + 1}, m N, podemos supor que A < Seja B G F 1 = { B A B é fechada e diam B δ }. Pelo Teorema de recobrimento de Vitalli, existe uma subfamília disjunta G 1 F 1 tal que A = B 5B. B F 1 B G 1 Segue, em particular, que Logo, A 5 d B = 5 d B G 1 A B G 1 B B G 1 B 1 1 A. 5 d. Fixando θ 1 1/5 d, 1, já que G 1 é enumerável, existe família finita de bolas B 1, B 2,..., B M1 G 1 tais que M1 A B i θ A. 2. Definimos agora i=1 A 2 = A M1 Como G 1 é formado por bolas fechadas, A 2 é aberto. Logo, podemos aplicar o primeiro passo para encontrar bolas fechadas e disjuntas B M1+1, B M1+2,..., B M1+M 2 tais que Logo, temos Depois de k passos, obtemos A M2 A 2 M2 i=m 1+1 B i = A 2 i=1 Fazendo k +, o resultado segue. A Mk i=1 B i. B i θ A 2. M2 i=m 1+1 B i θ k A. i=1 B i θ 2 A. 15

16 7 Simetrização de Steiner e a desigualdade isodiamétrica A desigualdade isodiamétrica afirma que, ao impormos uma restrição no diâmetro, bolas maximizam o volume. Mais precisamente, se denotarmos o volume da bola unitária em R d por ω d = B 1, a desigualdade isodiamétrica diz que, para qualquer E R d, vale que com igualdade se, e somente se, E = bola. E ω d diam E 2 Simetrização de Steiner com respeito ao eixo e n. Seja E R d. Vamos escrever x R d como x = z, t com z R d 1 e t R. Definimos projeções como Seja x d p z e x q t. E z = { t R; x, t E }. Simetrização de Steiner Definição 50 Simetrização de Steiner. Com a notação acima, a simetrização de Steiner de E com respeito ao eixo e n é definida como E s = {x R d ; qx L 1 } E px. 2 Pelo Teorema de Fubini, a função z L 1 E z é mensurável e vale tem-se E = L 1 E z dz = E s. R d 1 16

17 Proposição 51. Suponhamos que E é Lebesgue mensurável e seja E s a simetrização de Steiner de E construida acima. Então diam E s diam E. fim da aula 3 Demonstração. Como o fecho de um conjunto tem o mesmo diâmetro que o próprio conjunto, podemos assumir que E é fechado. Assim sendo, sejam x, y E s tais que diam E s = x y. Para z E, denotamos m z = z, inf E z R d e M z = z, sup E z R d. Assim, pm x = pm x = px e qm x qz qm x, para qualquer z tal que pz = px. Logo, Portanto, qx qy max { qm x qm y, qm x qm y }. x y 2 = px py 2 + qx qy 2 max { M x m y 2, m x M y 2} diam E 2. Teorema 52 Desigualdade isodiamétrica. Dentre todos os conjuntos de diâmetro fixo, a bola maximiza o volume, isto é, d diam E E ω d, 2 onde ω d = B 1. Além disso, igualdade vale se, e somente se, E é uma bola. Demonstração. Sem perda de generalidade, supomos que E é fechado caso contrário, substituimos E por E. Aplicamos a simetrização de Steiner repetidas vezes com respeito aos eixos e 1, e 2,..., e n, de modo a obter um conjunto F que é simétrico com respeito a todos os eixos, E = F e diam F diam E. Nas condições acima, F = F e logo F B diam F /2 0, que implica E = F Bdiam F /2 0 d diam E = B1. 2 Teorema 53. Para todo δ > 0, temos H d = H d δ = L d. Demonstração. Dividimos a prova em 3 passos: Passo 1. L d Hδ d Hd. De fato, seja uma cobertura E i A i com A i fechado e diam A i δ. Pela desigualdade isodiamétrica, temos E A i ω d 2 d diam A i d. i i Assim, tomando o ínfimo com respeito às coberturas, obtemos o afirmado. Passo 2. H d cd L d. De fato, cobrindo E com cubos Q i de lados paralelos aos eixos coordenados, obtemos H E d ω d 2 d diam Q i d = ω d d d/2 2 d Q i. Agora basta tomar o ínfimo com respeito às coberturas por cubos. Passo 3. H d L d. i i 17

18 Suponhamos, sem perda de generalidade, que E < +. Fixamos ε > 0 e A aberto que contem E e tal que A E + ε. Pelo Teorema de Vitalli, existe família enumerável de bolas disjuntas B i A tal que diam A i δ e L d A\ i B i = 0 que implica L d E\ i B i = 0. Pelo Passo 2, concluimos que H d E\ i B i = 0. Assim, H d E\ i B i = 0. Logo, E + ε A = i O resultado segue fazendo δ 0, ε 0. B i = ω d 2 d diam B i d Hδ d i B i = HδE. d i 8 Medidas de Radon e funções contínuas Vejamos mais alguns resultados de Teoria da Medida. Seguindo Maggi [7], toda medida de Radon é determinada pelo comportamento em conjuntos abertos e compactos por causa dos teoremas de aproximação. Assim, sendo é de certa maneira natural que integração com medidas de Radon sejam determinadas por integração de funções contínuas, como afirma o teorema abaixo. Teorema 54 Densidade de funções contínuas. Seja µ uma medida de Radon e p [1, +. Então, para toda função u L p R d, µ, existem u n C c R d tais que R d u u n p dµ 0. Na demonstração do Teorema 54 que não faremos é o utilizado o Teorema de Lusin, que é importante por si só e o enunciamos para futura referência. Teorema 55 Lusin, Seja µ uma medida de Borel, u : R d R e E R d. Então, para todo ε > 0, existe um compacto K E tal que µ E \ K < ε e u K é contínua. Em seguida, enunciamos o importante Teorema de Riesz. Teorema 56 de Riesz. Seja L : C c R d ; R k R um funcional linear contínuo. Se definirmos L A = sup L, ϕ A R d aberto e L E = inf L A, ϕ C cr d ;R k, ϕ χ A E A, A aberto então L é uma medida de Radon. Além disso, existe uma função L -mensurável g : R d R k, gx = 1 para L -q.t.p e L, ϕ = ϕ g d L. R d Exemplo 57. Para f L 1 R d ; µ, seja L := fµ, isto é, L, ϕ = ϕf dµ. R d Neste caso, L = f µ e g = f/ f. Observação 58. Note que, se µ 1 e µ 2 são medidas de Radon tais que ϕ dµ 1 = R d ϕ dµ 2 R d ϕ C c, então µ 1 = µ 2 em conjuntos de Borel. 18

19 De fato, para K A, com K compacto e A aberto, considere uma função teste ϕ tal que χ K ϕ χ A. Assim, ϕ C c e µ 1 K ϕ dµ 1 = ϕ dµ 2 µ 2 A. Assim, por aproximação, µ 1 E = sup µ 1 K inf µ 2A = µ 2 E. K E A E Mesmo argumento funciona trocando os papéis de µ 1 e µ 2. Como consequência desta observação, duas medidas de Radon que coincidem como funcionais lineares devem coincidir. Observação 59. Se L : C c R d ; R k R é um funcional linear contínuo, nós podemos definir uma medida de Radon com valores vetoriais como νe := g d L. Verificar que vale ν i E i = ν E i para Ei disjuntos. i Observação 60 Decomposição polar. Pelo Teorema de Riesz, se ν é uma medida de Radon com valores vetoriais, então admite uma decomposição polar ν = g ν. Quando k = 1, podemos também decompor ν em suas partes positiva e negativa, como segue: já que gx = ±1 ν + = χ {g=1} ν = ν + ν 2 e E ν = χ {g= 1} ν = ν ν. 2 A decomposição ν = ν + ν é chamada de decomposição de Jordan. Definição 61 Convergência fraca-*. Sejam µ n, n N, e µ medidas de Radon com valores vetoriais. Dizemos que µ n converge fracamente-* ou mesmo assassinamos o português e dizemos fraco-* a µ, e escrevemos µ n µ, quando ϕ dµ n ϕ dµ ϕ C c R d ; R k. R d Exemplo 62. Para µ n = δ xn, temos x n x 0 = µ n δx0. x n + = µ n 0. Exemplo 63 Espalhamento de massa. Pode acontecer de distribuições de massa de dimensão mais baixa convergir fraco-* para uma medida de dimensão maior: µ n = 1 n δ k/n L 1 [0, 1]. n Exemplo 64 Concentração de massa. Pode também acontecer de a massa se concentrar mais e mais em apenas um ponto µ n = 1 B χ n B n0 δ 0. Exemplo 65 Efeitos de média Lema de Riemann-Lebesgue. µ n = 1 + sennx L 1 L 1. k=1 19

20 Exemplo 66 Blow-up. Ideia fundamental que será utilizada mais adiante para estudar a existência de espaços tangentes a partir da convergência fraca de medidas de Radon. Seja γ : [a, b] R d uma curva em R d de classe C 1 e injetiva. Para x R d e r > 0, seja φ x,r : R d R d definida por φ x,r y := y x. r Assim, φ x,r leva a bola de centro x e raio r na bola de centro 0 e raio 1. Definimos µ r := 1 r φ γt0,r H 1 γ. # Afirmação: Se µ r é definida como acima, então µ r H 1 T γt0γ. De fato, para ϕ C c, tem-se ϕ dµ r = 1 ϕ φγt0,r dh 1 r γ = 1 b γt γt0 ϕ γt dt r a r b t 0 r γt0 + rs γt 0 = ϕ γt0 + rs ds t 0 a r r r 0 ϕ s γt 0 γt 0 ds R = ϕ dh 1, como queríamos. R γt 0 Daí a importância de entender convergência fraca de medidas de Radon. fim da aula 4 Proposição 67. Suponhamos que µ n e µ são medidas de Radon com valores reais. São equivalentes: 1. µ n µ 2. Vale que lim sup µ n K µk para todo compacto K e lim inf µ n A µa para todo aberto A. 3. Para todo conjunto de Borel, µ E = 0 = µ n E µe. Demonstração. Ver Maggi, pp.44. Proposição 68. Suponhamos que µ n e µ são medidas de Radon com valores vetoriais e que µ n µ. 1. Para todo aberto A, lim inf µ n A µ A. 2. Suponhamos adicionalmente que µ n ν. Então µ ν. 3. Se µ n R d µ R d < +, então µ = ν ou seja, µ n µ. 20

21 Demonstração. 1. Para A aberto, seja ϕ C c R d ; R k tal que ϕ χ A. Então, Riesz ϕ dµ = lim ϕ dµ n lim inf µ n A. R d n R d Lembra que µ A = sup µ, ϕ. ϕ C cr d ;R k, ϕ 1 Assim, tomamos supremo sobre todas as funções ϕ como acima para concluir o primeiro item. 2. Para A aberto limitado, seja ϕ : R d R tal que χ At ϕ χ A, onde A t := { x A distx, A > t }. Asim, µ A t 1. lim inf µ n A t lim inf ϕ d µ n = ϕ dν νa. 3. Pela Proposição 67, basta mostrar que Isto segue do item 1 com A = R d \ K. Exemplo 69. Pode acontecer de termos lim sup µ n K µ K, para qualquer compacto K. µ n = δ 1/n δ 1/n 0 e no entanto µn = δ 1/n + δ 1/n 2δ0. O Teorema de Vitali é suficiente para mostrar que a medidade de Lebesgue possui a Propriedade de Vitali Corolário 49. Para medidas de Radon, necessitamos do teorema de recobrimento abaixo. Teorema 70 Teorema de Recobrimento de Besicovitch, Existe uma constante dimensional ξd > 0 com a propriedade seguinte. Seja F uma família de bolas fechadas e C o conjunto formado pelos centros das bolas de F. Suponhamos C é limitado ou sup diam B < +. B F Então, existem subfamílias enumeráveis disjuntas G 1, G 2,..., G ξd F tais que C ξd B. i=1 B G i O uso principal deste tipo de recobrimento em análise é mostrar que conjuntos patológicos são de medida nula, como veremos em seguida com a Propriedade de Vitali. Observação 71. Se x R d, então o número de bolas G := i G i que contém x é no máximo ξd. Corolário 72. Seja µ uma medida exterior e C e F como acima. enumerável disjunta F F tal que µc B µc ξd. b F Então existe uma subfamília Demonstração. Tomar F como o G i que tem maior b G i µc B. 21

22 Corolário 73 Propriedade de Vitalli. Seja µ uma medida de Radon e F uma família de bolas fechadas cujo conjunto C dos centros das bolas é limitado, µ-mensurável e satisfaz, para cada x C, inf diam B = 0. B F, x B quando isto vale, F é dita uma cobertura fina Se A C e O é aberto com A O, então existe uma subfamília enumerável disjunta G F tal que µ A \ B = 0. B G Exercício 4. Provar o Corolário 73 acima. Prova semelhante à do corolário do Teorema de recobrimento de Vitalli. Lema 74. Para todo d 1, existe ηd tal que { Bk = B rk x k } k=1,...,n+1 x k x n r n r k 3r n /2 para 1 n < k N + 1 = # { k B k B N+1 } ηd. Demonstração. Ver Maggi [7, pp. 53]. Demonstração do Teorema de Besicovitch. Escrevemos R := sup diam B < +. B F Vamos mostrar no caso que C é limitado. O outro caso segue deste definindo C k = C {3kR x 3k + 1R} e C = C k ; ver Maggi [7, pp ]. 1. Seja B 1 tal que diam B R e desconsidere todas as bolas cujos centros estão em B 1. Em seguida, seja B 2,..., B k tal que diam B sup { diam B centro de B não está em B 1 },. diam B k 2 3 sup { diam B centro de B não está em Construimos de modo que B 1 G 1. Se B 2 B 1 = colocamos B 2 G 1. Caso contrário, B 2 G 2. Seguimos desta maneira: B k está em G i com o menor índice possível de modo que B k seja disjunta de todas as bolas que já estavam em G i. Por construção, temos 2. C M B k. k=1 k 1 n=1 B n }. x k x n > r n, r k 2 3 r n sempre que 1 h < k M = número de bolas. Se M < +, OK todos os centros já estão na união, foi por isto que o processo parou depois de um número finito de passos. Suponhamos então M = + e que existe x C \ B k. Então k existe r tal que B r x F. Temos, para todo k: r k 2 3 r que implica x k x n > 2 3 r. 22

23 Logo {x n } é uma sequencia limitada sem subsequência convergente, contradição. 3. Temos no máximo ξd = ηd + 1 subfamílias G i. De fato, se tivesse G ηd+1, existiria B N com N ηd + 2 tal que B N interseciona pelo menos uma bola de cada família G i para 1 i ηd + 1. Mas daí contradizendo o lema anterior. # { k B k B N } ηd + 1, Corolário 75 Teorema da densidade de Lebesgue. Seja µ uma medida de Radon e A um conjunto de Borel. Então µ A B r x { 0, para µ q.t.p. x A lim r 0 µ B r x = 1, para µ q.t.p. x A Demonstração. Sem perda de generalidade, suponhamos µa < + caso contrário, trabalhamos localmente em A B R. Fixa ε > 0 e define { E ε := x A r n 0 tal que µ A B rn x 1 εµ B rn x } n. Objetivo: µe ε = 0, o que implica µ k E 1/k = 0. Seja O ε aberto com E ε O ε, µo ε 1 + εµe ε. Seja F := {B rn x } x Eε, r n como em E ε e B rn x O ε. Pela Propriedade de Vitalli, existe uma subfamília disjunta G F tal que µ E ε \ B = 0. B G Logo µ E ε = B G µe ε B B G Como µe ε µa < +, temos µe ε = 0. fim da aula 5 1 εµb = 1 εµ 8.1 Teorema de diferenciação de Lebesgue-Besicovitch Sejam µ, ν medidas de Radon. Definimos µ-densidade superior: D + µ νx := lim sup r 0 µ-densidade inferior: D µ νx := lim inf r 0 B G ν B r x µ, para x supp µ. B r x ν B r x µ, para x supp µ. B r x B 1 εµo ε 1 ε 2 µe ε Se D + µ νx = D µ νx, definimos a densidade de ν com respeito a µ como D µ νx := D + µ νx. Também definimos: ν µ se para todo E de Borel, µe = 0 = νe = 0. ν µ se existe A de Borel ta que νa = 0 e µr d \ A = 0. 23

24 Teorema 76 Teorema de diferenciação de Lebesgue-Besicovitch. Se µ e ν são medidas de Radon, então D µ νx está bem definida para µ-quase todo ponto x R d, D µ ν é uma função de Borel, D µ ν L 1 loc µ e tem-se ν = D µ νµ + ν s, onde ν s µ. Além disso, ν s está concentrada em R d \ supp µ { x supp µ D + µ νx = + }. O teorema acima decompõe ν em uma parte absolutamente contínua ν ac := D µ νµ e uma parte singular ν s. Observação 77. Como consequência, D µ ν s = 0 µ-q.s. e para A R d, temos νa = D µ ν dµ + ν s A. A Corolário 78 Teorema dos pontos de Lebesgue. Para µ de Radon, p [1, + e u L p loc µ, vale que uy ux p dµy 0 para µ quase todo x R d. B rx Demonstração. Seja ν = u µ µ. Pelo Teorema da diferenciação de Lebesgue-Besicovitch, temos ν = D µ ν µ, onde D µ νx = lim u dµ. Agora, observa que de modo que νe = E u dµ = E ux = lim r 0 B rx D µ ν dµ = u = D µ ν r 0 B rx u dµ, µ-q.s. µ-q.s. Considere uma enumeração dos racionais {x n } n N = Q. Para cada n N, como u t n p L 1, existe E n com µe n = 0 e tal que lim u t n r 0 B p dµ ux t n p, x E n. rx Definindo E = E n, temos µe = 0. Além disso, para todo x E, temos lim sup r 0 B rx u ux p dµ 1/p lim sup r 0 = 2 ux t n. B rx 1/p u t n dµ p + O primeiro termo é de fato um limite e o segundo é constante. Assim, lim sup r 0 B rx B rx u ux p dµ 1/p 2 inf n ux t n = 0. 1/p t n ux p dµ Os pontos x com a propriedade do teorema são chamados de pontos de Lebesgue e por isso o nome do teorema. 24

25 8.2 Densidades de dimensão mais baixa Seja µ de Radon e s 0, n]. Definimos θ sµx := lim sup r 0 chamada densidade superior s-dimensional de µ. µ B r x ω s r s, Teorema 79 Densidade superior s-dimensional vs. Hausdorff. Seja µ de Radon e A de Borel. Então: 1. θ sµ 1 em A = µa H s A. 2. θ sµ 1 em A = µa 2 s H s A. Demonstração. 1. Sem perda de generalidade A B R. Passo 1. Suponhamos µa < +. Fixe ε > 0 e considere a cobertura F = { B r x x A, 2r < ε, µ Br x 1 εω s r s}. Pelo Teorema de Besicovitch, existem subfamílias disjuntas G 1, G 2,..., G ξd que cobrem A e logo H s εa w s 2 s Faça ε 0 para concluir que H s A < +. ξd i=1 B G i diam B s 1 ξd µb 1 ε i=1 B G i 1 ξd µ 1 ε i=1 ξd 1 ε µb R. B G i B Passo 2. Seja ν = H s A. Já que A é Borel, ν é Radon. Pela Propriedade de Vitali, existe subfamília disjunta G F tal que H s A \ B G B = ν A \ B G B = 0. Em particular, Hε s A \ B G B = 0. Então, HεA s Hε s B w s 2 s diam B s 1 B G B G 1 ε µ B G Let ε 0. *Considerar O ε aberto tal que B G B O ε e µo ε 1 + ε µa. 2. Fixe ε > 0. Por hipótese, para cada x, existe r x > 0 tal que Defina r < r x = µ B r x 1 + εω s r s. 1 + ε B 1 ε µa. A δ := { x A r x δ } A quando δ 0. pois θ sµ 1 em A Para δ fixado, seja { F i } uma cobertura de Aδ com diam F i δ e tal que HδA s δ + δ w s 2 s diam F i s. 25 i

26 Sem perda de generalidade, podemos supor que F i A δ. Seja então x i F i A δ e considere B diam Fi x i =: B i é aqui que vai surgir o 2 s : a bola tem o dobro do diâmetro de F i. Segue que { Bi } é também uma cobertura de Aδ. Logo, µa δ i µb i 1 + ε i 2 diam F i s 1 + ε2 s H s δa δ + δ 1 + ε2 s H s δa + δ. Faz δ 0 e depois ε 0. Observação 80. Se na definição da medida de Hausdorff tivéssemos tomado o ínfimo sobre coberturas por bolas e não quaisquer conjuntos F i, não sairia o 2 s acima. Esta definição é conhecida como medida de Hausdorff esférica. Exemplo 81. Outra prova de que dim H C = 1, onde C é o conjunto de Cantor do R 2. Definimos medidas de probabilidade µ k = 1 2 k δ x k i em C k. Então, µ kj µ que é de Radon. critério de compacidade na topologia fraca-*: sup µ k K < +. Assim, temos i µq n i = 4 n 1 donde segue que θ 1µ 1 por quê?. Logo, pois 4 n 1 i=1 µq n i = µc n = 1, 1 = µc 2H 1 C = 1 2 H1 C 1 = dim H C = Funções Lipschitz de novo. Definição 82. f : E R d R k def = Lipf; E := sup x,y E,x y fx fy. x y Observação 83. f : R d R k Lipschitz, C := { z, w R d R k w Lipf z }. Então f é Lip Γ f y, fy + C, para todo y. Teorema 84 Lema de McShane, 1934?. f : E R d R Lipschitz = g : R d R, g E = f e Lipg = Lipf; E. Demonstração. Basta definir ou { } g 1 x := inf fy + Lipf x y y E { } g 2 x := sup fy Lipf x y. y E Observação 85. Aplicando McShane para f = f 1, f 2,..., f k obtemos uma extensão com Lipg k Lipf, que não é otimal. Teorema 86 Kirszbraun, Seja f : E R d R k Lipschitz. Então existe g : R d R k tal que g E = f e Lipg = Lipf; E. A prova é baseada no seguinte lema: Lema 87. Considere uma família finita de bolas fechadas { B rk x k } N k=1 de Rd. Seja C t := N B trk x k e s = inf { t 0 C t }. k=1 Então C s = {x 0 }, onde x 0 cox i1, x i2,..., x im para aqueles x il tais que x il x 0 = sr l. 26

27 fim da aula 6 Demonstração. Tem-se s < + e C s pois as bolas são fechadas. Vejamos que C s possui só um elemento. Suponha que y z em C s e seja w = y + z 2. Então, w x k 2 = y x k 2 + z x k 2 2 y z 2 4 s 2 r 2 k y z 2 4 e logo w C s ε para ε 1, que é uma contradição. Agora, justificamos que x 0 cox i1, x i2,..., x im, como no enunciado. A menos de renomear a sequencia, podemos assumir Se substituirmos { } N B rk x k x k x 0 = sr k, para k = 1, 2, 3,..., M e x k x 0 sr k, para k = M + 1,..., N. k=1 por { B rk x k } M k=1, nada muda em s e x 0 alterar o raio destas bolas não faz diferença. Assim, podemos assumir, sem perda de generalidade, que M = N. Afirmação: Para v S d 1, existe k tal que v x 0 x k 0. De fato, fixando ε > 0, a construção de x 0 implica que existe k tal que x k x 0 2 < x k x 0 + εv 2 = x k x εv x k x 0 + ε 2 = 2εv x 0 x k ε. Como ε é arbitrário, segue a afirmação. Pela afirmação, não existe hiperplano que separa x 0 e {x k } M k=1 e portanto x 0 cox 1,..., x M. Prova do Teorema de Kirszbraun. Seja y R d \E. Estender de E para E {y}: queremos encontrar z R k tal que { fx, se x E gx = z, se x = y é Lipschitz e Lipg = Lipf spg = 1. Queremos encontrar z R k tal que Equivalentemente, queremos provar que fx z x y x E. x E B x y fx. Já que as bolas são compactas, basta mostrar para interseções finitas. Seja { } N x k k=1 lema anterior, existe s > 0 tal que E. Pelo N B s xk y fxk = { z }. k=1 Basta mostrar que s 1. Como no lema, a menos de renomear os índices, podemos assumir z fx k = s y x k, para k = 1, 2, 3,..., M e temos M z = λ k fx k, k=1 onde M λ k = 1, λ k > 0. k=1 27

28 Assim, M 0 = 2 λ k z fxk 2 = 2 = k=1 M k,j=1 M k,j=1 M k,j=1 λ k λ j z fxk z fx j λ k λ j [ z fx k 2 + z fx j 2 fx k fx j 2] λ k λ j [ s 2 y x k 2 + s 2 y x j 2 s 2 x k x j 2 + s 2 1 x k x j 2] M = 2s 2 2 λ k y xk + s 2 1 k=1 M k,j=1 λ k λ j x k x j 2 *Aqui usamos f Lipschitz. Como todos os termos são positivos, segue que s 1. A extensão para todo R d segue do Lema de Zorn: G = { g, F } g : F R k, E F, g E = f, Lipg, F = Lipf, E. Uma ordem parcial em G é: g 1, F 1 g 2, F 2 F 1 F 2 e g 2 F1 = g 1. Pelo Lema de Zorn, existe g, F maximal. Pelo início da prova, F = R k. Um pouco sobre regularidade de funções Lipschitz. Definição 88 Derivada fraca. Seja Ω R d e u L 1 loc Ω. Se existe uma função g L1 loc Ω tal que ux φ x dx = uxgx dx φ Cc Ω, Ω x i Ω nós dizemos que g é a derivada fraca de u na direção de e i e denotamos g = u. Se existem todas x i as derivadas parciais fracas, denotamos u ux = x, u x,, u x, x 1 x 2 x d o gradiente fraco de u. Também se fala em derivada no sentido das distribuições. Definição 89 Espaços de Sobolev. Seja 1 p +. Dizemos que u W 1,p Ω se u L p Ω, e todas as derivadas parciais u/ x i existem e estão em L p Ω. Com a norma estes são espaços de Banach. Observação 90. d u W 1,p Ω = u p L p Ω + u x i i=1 u W 1, Ω = u L Ω + 1 p < + = W 1,p Ω separável; p L p Ω d u x i i=1 1/p 1 p < +, L Ω p = +, 28

29 1 < p < + = W 1,p Ω reflexivo; p = 2 = W 1,p Ω =: H 1 Ω é um espaço de Hilbert. Observa que se Ω R, ie, d = 1, funções em W 1,p Ω são de classe C 1 1/p Ω aplicação da desigualdade de Hölder. Notamos também a seguinte relação entre funções Lipschitz e o espaço W 1, Ω em qualquer dimensão: Proposição 91. Seja Ω R d aberto, limitado e convexo. Então Neste caso, u L Ω = Lipu, Ω. u W 1, Ω Lipu, Ω < +. Demonstração. Se u C 1 Ω, temos 1 ux uy = u x + ty x, y x dt u L Ω x y. 0 O caso geral segue por aproximação usando molificadores : 1 c exp u ε x := u ρ ε x := uyρ ε x y dy onde ρ ε y := x R 2 se x < 1 1 d 0 se x 1 Teorema 92 Rademacher. Se f : R d R é Lipschitz, então f é diferenciável q.t.p. Demonstração. Caso d = 1: existe um representante contínuo que denotamos ainda f tal que 7 fx + h fx = x+h x f y dy. Para x um ponto de Lebesgue para f, segue que fx + h fx h f x h f x + y f x dy 0. 0 Caso d qualquer: Para todo e S d 1, pelo Teorema de Fubini e pelo passo 1, f x existe em q.t.p. e Definimos f fx =, f,..., f x. x 1 x 2 x n Vamos mostrar que f x = fx e quase sempre. Notamos que e f fx + εe fx xϕx dx = lim ϕx dx e ε 0 ε ϕx + εe ϕx = lim fx dx ε 0 ε = fx ϕx e dx = fx eϕx dx 7 De fato. definindo vx = x a f t dt, temos pela Proposição 91 que v é Lipschitz. Além disso, por Fubini: b b x b b b vxφ x dx = f tφ x dt dx = f tφ x dx dt = f tφx dx, a a a a t a o que implica que f é a derivada fraca de v no sentido fraco. Isto por vez implica que f v c qtp. Definimos f := v + c. 29

30 *derivada fraca Fixamos D S d 1 enumerável e denso. Vimos que existe N tal que N = 0 e f x = fx e, x N, e D. e Queremos mostrar que f é diferenciável para x N. De fato, subtraindo uma função linear, podemos supor fx = 0 e fx = 0. Seja v S d 1. Fixado ε > 0, seja e i D tal que v e i < ε. Como f é diferenciável em e i, existe ρ > 0 tal que fx + ρei ρ < ρ = < ε. ρ Portanto, ρ < ρ implica fx + ρv fx + ρei ρ ρ + fx + ρv fx + ρei ρ < ε + Lipf v e i < ε 1 + Lipf. fim da aula 7 Enunciamos em seguida o famoso Teorema de Whitney sobre extensões de classe C 1. Teorema 93 Teorema de extensão de Whitney, Seja K R d compacto, f : K R e d : K R d contínuas e tais que fy fx dx y x ω x y x y, x, y K, onde ω : R + R + é tal que ωh h 0 0. Então, existe g C 1 R d tal que g K = f e g K = d. Demonstração. Evans-Gariepy [3, pp. 245] ou Federer [5, pp. 225]. Corolário 94. Seja f : B 1 R d R Lipschitz. Então, para todo ε > 0, existe g : R d R de classe C 1 tal que { f g } B1 ε. Ideia da prova. Sabemos f existe q.t.p. Se A = {x fx}, temos A = 0. Pelo Teorema de Lusin, existe K A tal que B 1 \ K ε/2 e f K é contínua. Assim, fy fx fx y x y x y x 0, x K. Então, pelo Teorema de Egorov, existe K tal que B 1 \ K ε/2 e a convergência é uniforme. Daí conseguimos aplicar Whitney para obter g. 9 Conjuntos retificáveis Definição 95 Conjunto contavelmente H k -retificável. Um conjunto A R d é dito H k -retificável se existe {C i } + i=0 tal que a H k C 0 = 0 e; 1. C i f i R k com f i : R k R d Lipschitz. b vale uma das 2. C i Γ fi := gráfico de f i : com f i : R k R d k Lipschitz. 3. C i Γ fi com f i : R k R d k de classe C 1. Lema 96. Seja f : R k R d Lipschitz, com k d. Definindo temos H k fe = 0. E = { x R k Dfx existe e posto Dfx < k }, 30

31 Demonstração. Seja ε > 0. Para x E, existe rx, ε > 0 tal que fx + v fx fx v ε v v < rx, ε. Logo, r < rx, ε = f B k r x fx + V εr fxb k r x, 5 onde V ε denota uma ε-vizinhança do conjunto e, já que fx é singular, tem-se fx B k r x D r contido em um disco de raio Lipfr em um subespaço de dimensão igual a m = posto fx k 1. Pensando em D r como { z, y R m R d m ; z < r, y = 0 }, podemos cobrir uma δ-vizinhança de D s por Cδ m conjuntos da forma F = { z, y R m R d m ; z < δr, y < δ } = B m δr B d m δ. Temos e logo diam F 2 = diam B m δr 2 + diam B d m δ 2 = 4δ r 2 H k Vεr D r ω k diam F k 2 k = cdε k m 1 + r 2 k/2 cdε1 + r 2 k/2 cdεr k. *δ < 1 e k m 1. Segue de 5 que Agora, definimos H k f Br k x cd, Lip fεr k r rx, ε. F = { B r x x E, 0 < r < rx, ε, Br x B k R}. Pelo Recobrimento de Besicovitch, existem G 1, G 1,..., G ξd subfamílias disjuntas tais que Logo, H k E B R f E B R ξd i=1 ξd B G i B, que implica f H k i=1 B G i fb ξd Cε ξd E BR i=1 i=1 B G i fb. B G i H k H k B CεξdH k B R Fazendo ε 0, obtemos H k fe BR = 0 = H k fe B R = 0. Daí faz R +. Proposição 97. As definições b1, b2 e b3 são equivalentes. 31

32 Demonstração. b3 = b2: ok. b2 = b1: Definir F i x = x, f i x : R k R d b1 = b3: Basta mostrar que se f : R k R d é Lipschitz, então fr k pode ser coberto por gráficos de funções C 1. Podemos escrever fr k = Q fq, {Q R k } família enumerável de cubos de aresta 1. Para j fixado, existe g j : Q R d com g j C 1 e tal que Logo, N = j {g j f} é tal que H k N = 0 e Mas f Lipschitz implica H k {g j f} = {g j f} < 1 j. + fq \ j=1 g j Q fn. H k fn Lip f k H k N = 0. Logo, basta mostrar que g j Q pode ser coberto por gráficos de funções Lipschitz. Nota que, pelo lema anterior, H k g j {x R k posto Dgj x < k } = 0 e pelo Teorema da Função Implícita g j {x R k posto Dgj x = k } = união de variedades de classe C 1. Logo, a menos de mudanças de coordenadas, g j {x R k posto Dgj x = k } = união de gráficos de classe C 1. Definição 98. Definimos TanA, x para H k -q.t.p. x A como TanC 1, x, se x C 1 TanC 2, x, se x C 2 \ C 1 TanA, x = TanC 3, x, se x C 3 \ C 1 C 2. Um primeiro objetico é justificar o seguinte: Teorema 99. TanA, x está bem definido H k -quase sempre. 32

33 Proposição 100. Se C 1, C 2 são superfícies k-dimensionais, então TanC 1, x = TanC 2, x para H k - qtp x C 1 C 2. Demonstração. Basta considerar o caso C i = Γ gi, onde g i : R k R d k é de classe C 1. Daí temos que provar que dg 1 = dg 2, para H k -qtp em {g 1 = g 2 }. De forma equivalente, colocando g = g 1 g 2, queremos provar que dg = 0, para H k -qtp em {g = 0}. Afirmação: dg = 0 em todo ponto de densidade de {g = 0}, isto é, para todo x 0 que satisfaz {g = 0} Br x 0 B r x 0 1. Suponhamos x 0 = 0. Se dg0 0, digamos, dg0 = a 1 e 1, com a 1 > 0, temos gx = a 1 x 1 + o x. Assim, fixado ε 0, a 1, existe δ > 0 tal que x < δ implica a 1 x 1 ε x gx a 1 x 1 + ε x Pela nossa escolha de ε > 0, a 2 1x 2 1 > ε 2 x 2 = ε 2 x x x 2 d a 2 1 ε 2 x 2 1 > ε 2 x x x 2 d representa um cone onde ux > 0 para valores positivos de x 1, o que contradiz a condição de densidade. Fazer desenho. Corolário 101 Localidade. Se A 1, A 2 são conjuntos H k -retificáveis, então TanA 1, x = TanA 2, x para H k -qtp x C 1 C 2. fim da aula 8 Para a medida de Lebesgue, nós provamos que, se E é de Borel, então { E B r x 1 para L d -quase todo x E B r x 0 para L d -quase todo x E. Para a medida de Hausdorff, em geral, vale apenas a segunda convergência, como mostra o lema abaixo. Lema 102. Para todo E de Borel com H k E < +, temos H k E B r x ω k r k 0 H k -quase sempre em R d \ E. Demonstração. Definimos µ = H k E e E δ := { x R d \ E θ s µx δ }. Pelo Teorema 79, temos δh k E δ µe δ = H k E δ E = 0. Logo, H k E δ = 0 e portanto, fazendo δ 0, obtemos o resultado. 33

34 Definição 103 Espaço tangente aproximado. Seja x A e defina Φ x,r y = y x. r Um espaço k-dimensional π x é dito o espaço tangente aproximado de A em x se isto é, Φ x,r # H k r k A H k 1 y x r k ϕ dh k y ϕz dh k z ϕ Cc 0 R d. A r π k Observação 104. A operação # perserva massa, por isso normalizamos dividindo por r k. Teorema 105. Se A é H k -retificável, então TanA, x é o único espaço tangente, para H k -qtp x A. Em particular, H k E B r x lim r 0 ω k r k = 1, H k -qs em A. Observação 106. Fora de conjuntos de Borel, conseguimos este resultado de densidade. entanto, não vale que H k E B r x ω k r k 1, H k -qs em E. O teorema acima afirma que funciona para E H k -retificável. π x, No Vamos utilizar a fórmula de área, que será provada em breve: se f : R d injetiva, e g : R m [, + ], então g dh d = g fx Jfx dx. fr d R d R m Lipschitz e Demonstração do teorema. 1. Vamos mostrar que vale se A = fe = gráfico de f Lipschitz. Vamos mostrar que TanA, x = fz R k, fz = x para todo z ponto de Lebesgue de f, de Jf e ponto de densidade 1 de E: E B rx 1. B r x De fato, tem-se 1 y x r k ϕ dh k y = 1 fw fz A r r k ϕ Jfw dw E r fz + rw fz = χ E z + rwϕ Jfz + rw dw R r k ϕ fxw Jfz dw R k = ϕy dh k y. fzr k A convergência acima deve ser justificada com uma aplicação cuidadosa do Teorema da Convergência Dominada pp. 100 do Maggi. A última igualdade é a Fórmula da Área. 2. A + i=1 C i. Pelo passo 1, 1 r k ϕ C i y x r dh k y ϕ dh k. TanC i,x 34

35 Pelo lema anterior, Assim, se ϕ C 0 c, vale H k A C i B r x 1 r k ϕ A C i ω k r k 0, H k -q.s. em A C i. y x r dh k y 0, H k -q.s. em A C i, de modo que vale 1 r k ϕ C i y x r dh k y ϕ dh k, para x A C i. TanC i,x Para a segunda parte, nota que H k A B r x Φx,r ω k r k = # H k A B k r k H k TanC i, x B 1 0 ω k = 1. Teorema 107. Seja µ medida de Radon concentrada em A, onde A é de Borel. Suponhamos que para todo x A, existe um espaço afim π x de dimensão k tal que Φx,r µ # r k H k π x. Então, µ = H k A e A é retificável. Iniciamos com um critério para retificabilidade. Um cone contendo um plano π e de abertura t > 0 pode ser escrito como Cπ, t := { y R d ; P π y < t P π y } = { y R d ; y < 1 + t 2 P π y }. Lema 108 Critério de retificabilidade. Se M R d é compacto, π é um plano k-dimensional em R d e existem constantes δ > 0 e t > 0 tais que M B δ x x + Cπ, t, então M é H k -retificável e até mais: união finita de gráficos no caso compacto. Demonstração. Para x 0 M fixo, temos que é equivalente a x, y B δ/2 x 0 = y B δ x 0 M hip. x + Cπ, t, P π y x t P π y x. Assim, P π é bijeção entre B δ/2 x 0 M e G x0 := P π Bδ/2 x 0 M isto segue de y = Pπ y + P π y. Assim, dado x 0 M, existe g : G x0 R d tal que P π g x0 z = z e g x0 z g x0 w t z w. Nota que B δ/2 x, x M, forma uma cobertura de M por abertos e logo existe {x n } N n=1 tal que M = N Bδ/2 x 0 M = n=1 Fazendo composição com rotações, o resultado segue. N g n G n. n=1 35

36 Antes de provar o teorema, definimos uma distância entre planos de R d : dados π, σ R d planos k-dimensionais, distπ, σ := p π p σ = sup p π v p σ v. v =1 Vale o seguinte Lema 109. Existe λ 0, 1 tal que distπ, σ < λ = B λ w w Cπ, 1 =, w R d \ Cσ, 2. Demonstração. Suponhamos que não vale. Então para todo n N, existem espaços π n e σ n tais que distπ n, σ n < 1 n e existe w n R d \ Cσ n, 2 tal que B wn /nw n Cπ n, 1. Tudo isto significa que escolhendo z n B wn /nw n Cπ n, 1 tem-se p πn p σn < 1 n, p σ n w n > 2 p σn w n, z n w n < w n n e p π n z n < p πn z n. O conjunto Π k das projeções ortogonais em subespaços de dimensão k é compacto. Assim, possivelmente tomando subsequências, temos: p πn p π, p σn p π, w n w n θ Sd 1 e z n z n θ. Assim, obtemos 2 p π θ < p π θ < p π θ, que é uma contradição. Demonstração do teorema. Temos, para todo x A, 36

37 µ Br x 1. lim r 0 ω k r k = 1 e µ Br x \ x + Cπ x, 1 2. lim r 0 ω k r k = 0. De fato, como H k π x B = 0, temos H k π x B = lim r 0 Φ x,r # µb r k, que é equivalente a 1. Como π x x + Cπ x, 1, mesma conta mostra 2. Sendo µ de Radon, dado R > 0, temos µ A B R < +. Logo, pelo Teorema de Egorov e aproximação por compactos, temos que existe M A B R compacto tal que µ A B R \ M < µa B R 2 e os limites 1 e 2 são uniformes com respeito a x M. Logo, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que µ B r x ω k r k 1 ε, µ B r x \ x + Cπ x, 1 ω k r k ε, para todo x M e para todo r 0, 2δ. Novamente usando que Π k é compacto, existem espaços k-dimensionais σ 1, σ 2,..., σ N tais que, para qualquer plano k-dimensional, min 1 n N distσ n, π < λ. λ é a constante do lema anterior. Afirmação: Se M n := { x M distσn, π x < λ }, 1 n N, então, podemos escolher ε = εk, λ > 0 tal que B δ x M n x + Cσ n, 2, x M n. De fato, se x M n, y B δ x M n, mas y x R d \ Cσ n, 2, então, usando o Lema 109, temos B λ y x y R d \ x + Cπ x, 1. Como 0 < λ < 1, temos B λ y x y B 2 y x x. Logo, B λ y x y B 2 y x x \ x + Cπ x, 1. Assim, 1 εω k λ k y x k µ B λ y x y µ B 2 y x x \ x + Cπ x, 1 εω k 2 k y x k, de modo que 1 ε ε2 k /λ k, que é uma contradição se ε 1. Pelo Lema 108 anterior, M n é H k -retificável. Como M N n=1m n, temos que M também é H k - retificável. Por iteração considerando M compacto cada vez mais próximo de A B R, obtemos que A B R é contavelmente H k -retificável. Finalmente, como R > 0 é arbitrário, concluimos que A é contavelmente H k -retificável. fim da aula 9 Para a outra afirmação do teorema, lembramos que a parte 1 desta demonstração e o Teorema 79 implicam que, para qualquer E A de Borel, temos H k E µe 2 k H k E. 37

38 Assim, H k A é de Radon já que µ o é e H k A K µa K < +. Mais ainda, tem-se µ H k A. Logo, por Lebesgue-Besicovitch ou Radon-Nikodym, Br x µ = θ H k A, onde θx = lim H k A B r x está definido Hk -quase sempre em A. r 0 µ Mas como já sabemos que A é retificável, temos que µ B r x H k A Br x lim r 0 ω k r k = 1 e lim r 0 ω k r k = 1 para H k -quase todo ponto e, portanto, θ = 1 para H k -quase todo ponto. 10 Fórmula da Área Seja f : R d R m de Lipschitz com d m. Sabemos que E R d, H d E < + = H d fe Lip f d H d E < +. Definimos o Jacobiano de f como Jf : R d [0, + ], { det fx Jfx := fx, +, se f é diferenciável em x caso contrário Teorema 110 Fórmula da Área. Seja f : R d R m Lipschitz e injetiva com d m e seja E R d de Borel. Então, H d fe = Jfx dx. Corolário 111. Nas condições acima, para g : R m [0, + ] Borel mensurável e positiva mais geralmente, em L 1 com respeito à medida de Hausdorff restrita à imagem de f, temos gy dh d y = g fx Jfx dx. fr d R d Demonstração. Aplicar a Fórmula da Área para c n χ An e g = lim c n χ An. E Corolário 112. Para M R m subvariedade d-dimensional, H d M. M = vol M = medida de volume de Demonstração. Seja f : U R d M uma vizinhança coordenada de Lipschitz e E fu de Borel. Notamos que f fx fx = x f x =: g ij x R d d, x i x j i,j que implica Portanto, Jfx = det fx fx = H d E = volume de E em M = f 1 E det g ij x. det g ij x dx = vol M E. Por partições da unidade, podemos considerar subconjuntos que não estão necessariamente em uma vizinhança coordenada. Iniciamos, como em Maggi [7, Seção 8], com um lema sobre mensurabilidade da imagem de f. 38

39 Lema 113. Se E R d é L d -mensurável e f : R d R m é Lipschitz com d m, então fe é H d - mensurável em R m. Demonstração. Consideramos K n E compactos tais que H d E \ K n = 0. n Logo, H d fe \ n fk n H d f E \ n K n Lipf d H d E \ n K n = 0. Nota que n fk n é de Borel porque fk n é compacto. Vamos iniciar provando o caso em que f = T : R d R m é linear e injetiva. Proposição 114 Decomposição polar. Para T : R d R m linear, temos T = P S, onde S : R d R d é simétrica e não singular. P : R d R m é ortogonal, isto é, P v P w = v w para todo v, w. Demonstração. T T é simétrica e não singular. Logo, pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal de autovetores de T T e podemos escrever T T = d λ i v i v i com λ i 0. Definimos tomar apenas índices com λ i > 0 se T não for injetiva T T = d i=1 i=1 λi v i v i e P v i = w i, onde w i = T v i λi ortonormais pois T T v i = λ i v i. Segue que T = P T T. Acima ainda completamos para uma base ortonormal de R m Demonstração da fórmula da área para T linear. A mostrar: H d T E = JT H d E. Seja κ := Hd T B 1 H d e definamos νe := H d T E. Como T é linear e a medida de Hausdorff B 1 invariante por translações, temos Por consequência, ν H d. ν = κh d, isto é, ν B r x = H d T x + rt B 1 0 = H d rt B 1 0 = r d H d T B 1 = κr d H d B 1 = κh d B r x. Além disso, D H dν κ e, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovitch, H d T E = κh d E, E R d. 6 Por outro lado, vamos mostrar que κ = JT, o que encerra a prova. De fato, podemos escrever T = P S, onde P é ortogonal e S é simétrica decomposição polar. Em particular, temos que P P = Id : R d R d e LipP = LipP = P = 1. 39

40 Observamos inicialmente que, para todo E R d, temos Logo são todas igualdades e H d E = H d P P E Lip P d H d P E = H d P E H d E. H d P E = H d E, E R d. Em particular, para Q R d cubo, temos κ = Hd T Q H d = Hd P SQ Q H d SQ Hd SQ H d Q = Hd SQ H d Q = Ld SQ L d. Q Agora, sejam v 1, v 2,..., v d base ortonormal de autovetores de S para R d Teorema Espectral, de modo que d S = µ i v i v i com µ i 0. Considere o cubo cujas arestas unitárias são paralelas a v i : Temos Tem-se Portanto, κ = SQ Q i=1 Q = { x R d ; x v i 1/2 i }. SQ = { x R d ; x v i µ i /2 i }. SQ = d µ i = det S. i=1 = SQ = dets S = dett T = JT. Exercício 5. Justifique que T não precisa ser invertível na prova acima. 11 Linearização Ideia: Fixar {T n } família densa de aplicações lineares e estudar o conjunto dos x tais que fx T n. Vamos obter uma partição enumerável onde fx é quase constante. Teorema 115 Federer, Se f : R d R m é Lipschitz com d m e F = { 0 < Jf < + }. Então, F = n F n, onde f Fn é injetiva. Além disso, para todo t > 1, podemos escolher F n de modo que existe S n : R d R d invertível tal que f Fn Sn 1 é quase uma isometria, isto é, vale 1 t S nx S n y fx fy t Sn x S n y, S n v t fx v t S n v e JS n t d Jf t d JS n. 8 Provavelmente em The Gauss-Green Theorem, Trans. of the AMS,

41 Demonstração. Fixamos t > 1 e escolhemos ε > 0 tal que 1 + ε < 1 < t ε. Seja G GLd uma t família densa. Para cada S G e para cada n N, definimos { 1 F S, n = x F ; t + ε Sv fx v t ε Sv, v R d e 1. Como S é invertível, a primeira condição implica 9 fx + v fx fx v ε Sv, v R d com v 1/n }. B 1/t+ε 0 Im fx fx S 1 B 1 0 B t ε 0 Im fx x n F S, n que implica pela Fórmula da Área para Aplicações Lineares: Logo, 2. Nota que, pela segunda condição, d 1 t + ε J fxs 1 t ε d. d 1 t + ε JS Jfx t ε d JS. fy fx fx y x + ε Sy Sx t Sy Sx e fy fx fx y x ε Sy Sx 1 Sy Sx. t Agora, nós escolhemos uma família densa {x j } F e definimos Para mostrar que F S, n B 1/2n x j. F S G,n N F S, n, seja x F e considera a decomposição polar de fx = P x S x, onde P x Od, m e S x Sd. Como Jfx > 0, temos S x GLd. Como G é denso, existe S G tal que Logo, Observando que S x S 1 t ε e SSx 1 1 1/t + ε. S x v t ε Sv e 1 t + ε Sv S x v, v R d. fx v = P x S x v = S x v, temos a primeira desigualdade da definição de F S, n. Para a segunda, basta usar a definição de diferenciabilidade: Para v 1/n, temos fx + v fx + fx v ωx 1/n v ω x 1/n S 1 Sv < ε Sv se n 1. 9 Para a primeira inclusão, note que 1 t + ε Sv fx v = t 1 + ε fxs 1 t ε que fornece uma visualização geométrica. Mais diretamente, A outra é mais direta. w = fxs 1 v B t 1 +ε = v = SS 1 v t 1 + ε 1 w = 1. 41

42 fim da aula 10 Demonstração da fórmula da área para aplicações injetivas. Fixa t > 1. E = E 0 E k, k 1, onde E 0 = {Jf = 0} {Jf = + }, que tem medida H d nula, e E k = E F k como no Teorema de Linearização acima. Logo H d fe 0 = 0 = Jfx dx. E 0 Em E k : por um lado, H d fe k = H d f Ek S 1 k Sk E k Lip f Ek S 1 dh d S k E k k t d JS k H d E k = t d E k JS k t 2d E k Jfx. *constante de Lipschitz limitada por t primeiro item do teorema. Por outro lado, Jfx t d JS k H d E k E k t d H d S k E k = t d H d Sk f 1 E k f Ek E k Logo, em E k, Portanto, t 2d H d fe k. 1 t 2d Hd fe \ E 0 = 1 t 2d H d fe k k k Mandando t 1 +, concluimos a prova. 1 t 2d Hd fe k Jf t 2d H d fe k. E k Jf = Jf t 2d H d fe \ E 0. E k E\E 0 Corolário 116 Área de gráficos. Se u : R d R é Lipschitz e injetiva, e denotamos U : R d R d+1, Ux = x, ux, então H d UE = 1 + ux 2 dh d x. E Demonstração. Vamos verificar que JU = 1 + ux 2. Nota que DUx = d i,j=1 U i x j e i e j = d e i e i + i=1 d u xi e d+1 e i = i=1 d ei + u xi e d+1 ei. i=1 42

43 Logo DU xdux = = d [e i ][ ] e i + u xi e d+1 ej + u xj e d+1 ej i,j=1 d i,j=1 [δ ij + u xi u xj ] e i e j = Id + ux ux. *usamos, como é fácil de verificar, que a bc d = b, c a d. Resultado segue do seguinte fato geral: se w 1 := v/ v e completamos a uma base ortonormal, obtemos Id = i w i w i v v = v 2 w 1 w 1 ] = Id +v v = 1 + v 2 w 1 w 1 + i 1 w i w i = detid +v v = 1 + v 2. Caso f não injetiva, a multiplicidade compensa: Teorema 117 Fórmula da Área com multiplicidade. Seja f : R d R m Lipschitz com d m e seja E R d mensurável. Então, Jfx dh d = H 0 E f 1 y dh d y. E R m Demonstração. 1. My = H 0 E f 1 y é uma função mensurável, pois My = lim M ky, onde M k y = χ fe Q y k + Q Q k Q k é uma partição de R d em cubos de aresta 2 d. 2. Se H d F = 0, temos De fato, R m H 0 F f 1 y dh d y = 0. H 0 F f 1 y dh d y = lim M k y dh d y R m k + ff = lim H d ff Q k + Q Q k Lip f d H d F Q Q Q k = Lip f d H d F = 0. Logo, podemos desconsiderar conjuntos de medida nula. 3. Podemos assumir E F = {0 < Jf < + }. Por linearização, existe uma partição E F n de E tal que f E Fn é injetiva. Daí usamos a fórmula da área já conhecida: H 0 E f 1 y dh d y = H 0 E F n f 1 y dh d y R m R m n = H d fe F n n = Jf dh d n E F n = Jf dh d. E 43

44 Observação 118. Poderíamos escrever a fórmula acima como χ E xjfx dh d x = χ E z dh 0 z dh d y. R d R d f 1 y Logo, por aproximação, se g : R d [0, + ] é mensurável, temos gxjfx dh d x = gz dh 0 z dh d y. R d R d f 1 y 12 Fórmula da Área em subvariedades Considere M k R d uma variedade de classe C 1. Seja f : R d R m de Lipschitz podemos sempre estender de M k para R d Definição 119 Diferenciabilidade tangencial. A função f : R d R m é dita diferenciável tangencialmente em x M com respeito a M quando existe M fx : T x M R m linear tal que sup fx + hv fx M fx v h h 0 0. v T xm, v =1 Definição 120 Jacobiano tangencial. Definido como J M fx = det M fx M fx. Exemplo 121. Se M = Re 1 R 2 e fx, y = y, temos que f não é diferenciável em ponto algum de M, mas é tangencialmente diferenciável em todos os pontos de M, pois f M 0. Observação 122. Se f é diferenciável em x, então M fx = fx TxM. Logo, d k M fx = fx fxvi vi, T x M = Span{v 1, v 2,..., v d k }. i=1 Teorema 123. Seja M k R d uma variedade de classe C 1, f : R d R m Lipschitz e injetiva, com d m. H k fm = J M f dh k Demonstração. Como M é uma variedade C 1, podemos assumir, sem perda de generalidade, que M k = ga, onde A R k é aberto e g : R k R d é de classe C 1 e injetiva. Aplicando a fórmula da área para f g, obtemos H k fm = Jf gz dh k z. Nota agora que, se z A, temos A f gz = f gz gz = M f gz gz, pois Im gz = T gz M. Logo, exercício abaixo Jf g = J M f g Jg e portanto H k fm = J M f g Jgz H k z = J M f dh k. A Exercício 6. Nos espaços que fazem sentido, JT 1 T 2 = JT 1 JT 2, onde T 1, T 2 são lineares. Na linha dos resultados que já provamos, obtemos ver Maggi, Seção 11.2 M ga 44

45 Teorema 124. Se f : R d R m é Lipschitz e A R d é H k -retificável, então A fx existe para H k -quase todo ponto x A. Teorema 125. Se f : R d R m é Lipschitz com d m e A R d é H k -retificável, então J A fx dh k x = H 0 E f 1 y dh k y, E A. E R m fim da aula Fórmula da Coárea Pelo Teorema de Fubini, temos H d E = + H d 1 E t dt, onde E t = {x E x d = t}. Mas e se não considerarmos apenas hiperplanos? Teorema 126 Fórmula da Coárea. Seja f : R d R m Lipschitz com d m nota que é a desigualdade oposta na fórmula da área e A R d Lebesgue mensurável. Então, H d m f 1 y A dh m y = Jfx dh d x, R m A onde agora Jfx := { det fx fx, +, se f é diferenciável em x caso contrário. Observação 127. Se o posto de fx é igual a m, podemos calcular o Jacobiano como det fx fx = det fx ker fx. De fato, consideramos o caso de uma transformação linear L. Definindo M := L ker L temos um isomorfismo de ker L em R m. Mas como ker L = Im L, temos M = L e portanto MM = LL. Afirmação: Existe uma isometria linear R : R m ker L tal que MR : R m R m é simétrica. Para provar a afirmação, usamos a decomposição espectral para MM : existe uma base de autovetores v i tal que m MM = µ i v i v i. Definimos Temos S = MM = i=1 m µi v i v i e R := M S 1. i=1 Rv, Rw = M S 1 v, M S 1 w = S 1 v, MM S 1 w = S 1 v, Sw = v, w, pois MM S 1 = S e S = S. Pela afirmação, segue. Ideia da demonstração da Fórmula da Coárea. 1. No caso em que f = L : R d R m é linear com posto L = m, temos dimker L = d m e dimker L = m Denotando k := JL = det L ker L = detll, 45

46 temos A JLx dh d x = kh d A Fubini = k H d m A z dh m z. ker L Agora, denotamos M := L ker L e fazendo a mudança de variáveis z = M 1 y, obtemos A JLx dh d x = k H d m A M 1 yjm 1 dh m y ker L = H d m A L 1 y dh m y. ker L *pois A M 1 y = A L 1 y e JM 1 = k 1. Os passos seguintes, envolvem excluir os casos H d A = 0 e {posto Dfx = 0}. Nestes conjuntos, vamos verificar que a integral é zero. 2. Vamos mostrar que H d A = 0 implica R m H d m A f 1 y dh m y = 0. De fato, o resultado é mais geral: dado ε > 0, deve existir δ > 0 e uma cobertura {A i } i N de A com diam A i < δ e ω d 2 d diam A i d < H d A + ε. Assim, para todo y R m, temos i N H d m δ A f 1 y ω d m 2 d m diama i f 1 y d m i N o que implica, por integração dos dois lados, em A f 1 y dh m y ω d m 2 d m H d m δ R m i N R m diama i f 1 y d m dh m y ω d m 2 d m diam A i d m H m fa i Como fa i R m, temos a primeira desigualdade é a isodiamétrica i N Segue que H m fa i = L m fa i ω mdiam fa i m 2 m ω mlip f m H d m δ R m 2 m diam A i m. A f 1 y dh m y ω d mω m Lip f m 2 d diam A i d i N ω d mω m Lip f m ω d H d A + ε. Fazendo ε, δ 0, obtemos Rm H d m A f 1 y dh m y ω d mω m Lip f m H d A. 3. Suponhamos agora que A {x R d ; posto fx < m} = {x R d ; Jfx = 0}. ω d 46

47 Queremos mostrar que R m H d m A f 1 y dh m y = 0. Para cada x A, temos posto fx m 1 e logo, podemos, pela definição de diferenciabilidade, encotrar um sistema de coordenadas em que f B r x B m 1 0 [ εr, εr]. Fazendo isto para uma quantidade enumerável de pontos x A, cobrimos A e obtemos, usando o mesmo raciocínio do passo 2 acima, H d m A f 1 y dh m y ω d m R 2 d m diam B i d m H m fa i m i N ε C 1 diam B i d i N ε C 2 H d A. fazendo ínfimo Finalmente, mostra-se uma versão do Teorema de Linearização do Federer e aplica-se de forma parecida com o que fizemos na fórmula da área. Observação 128 Versão fraca do Teorema de Sard. Aplicando a Fórmula da Coárea para A = {Jf = 0}, obtemos H d m {Jf = 0} f 1 y = 0. O Teorema de Sard afirma que se f C ou em C k com k = 1 + d m, então {Jf = 0} f 1 y é vazio para Lebesgue quase todo ponto y R m. Corolário 129. Reescrevendo em termos de funções mensuráveis. A fórmula da coárea é χ A xjfx dh d x = χ A z dh m d z dh m y. R d R m f 1 y Logo, para qualquer g : R d [0, + ] integrável, tem-se g f 1 y H d m -integrável para q.t.p. y e A gxjfx dh d x = R m gz dh m d z dh m y. f 1 y A Em particular, se Jf 0 em A, podemos escolher g = 1/Jf e obter H d 1 A = Jfz dhm d z dh m y. R m f 1 y A Corolário 130. Se f : R d R é Lipschitz, temos Jfx = fx e logo ϕx fx dx = ϕy dh d 1 y dt. R d f 1 t Exemplo 131 Coordenadas polares. Para fx = x, obtemos ϕx dx = ϕy dh d 1 y dt. R d 0 S d 1 t Exemplo 132 Conjuntos de nível. Para f : R d R Lipschitz, temos Jfx = Dfx e portanto Dfx dh d x = H d 1 {f = t} dh 1 t. R d R 47

48 14 Conjuntos de perímetro finito Utilizando que a medida de Hausdorff é a medida de volume de uma subvariedade suave, lembramos do Teorema 133 Teorema de Gauss-Green. Se E tem fronteira E C 1, então ϕx dx = ϕyν E y dh d 1 y ϕ Cc 1 R d, E onde ν E C 0 E; S d 1 é o vetor normal exterior unitário. E Se definimos uma medida de Radon com valores vetoriais como µ E := ν E H d 1 ϕ dx = ϕ dµ E ϕ Cc 1 R d. Além disso, E µ E = H d 1 E e H d 1 E = µ E R d. Neste caso em que E C 1, podemos escrever 1 ν E x = lim r 0 H d 1 E B r x Br x = lim r 0 µ E µ E B r x E B rx ν E dh d 1 E, temos = dµ E d µ E x. Definição 134. Seja E MR d. Dizemos que E é localmente de perímetro finito se, para todo K R d compacto, temos { } sup div T dx; T Cc 1 R d ; R d com supp T K, sup T x 1 < +. x E Dizemos que E é de perímetro finito quando { } sup div T dx; T Cc 1 R d ; R d, sup T x 1 < +. x fim da aula 12 E Proposição 135. Seja E MR d. Então E é localmente de perímetro finito se, e somente se, existe uma medida de Radon µ E com valores vetoriais tal que ϕx dx = E ϕy dµ E y R d ϕ Cc 1 R d. Além disso, E tem perímetro finito se, e somente se, µ E R d < +. Demonstração. Seja E um conjunto localmente de perímetro finito e L : Cc 1 R d ; R d R dado por LT := div T x dx. Para K R d compacto fixo, existe C = CK tal que LT CK sup T x T com supp T K. x 48 E

49 Por densidade, podemos estender este funcional para funções contínuas de suporte compacto L : Cc 0 R d ; R d R. Segue do Teorema de Riesz a existência de µ E tal que div T dx = T dµ E T que é equivalente a ϕ dx = ϕ dµ E ϕ. E R d E R d Observamos ainda que E de perímetro finito implica que as constantes acima independem de K e logo µ E R d < +. Para a outra direção, nota que se T Cc 1 R d ; R d com supp T K e sup x K T x 1, então div T dx = T dµ E µ E K, como queríamos. Definição 136. Definimos Perímetro de E como { P E := µ E R d = sup Perímetro relativo de A em E como { P A, E := µ E A = sup div T dx Exemplo 137. Se E C 1, temos Observação 138. Justificar como exercícios: P x + λe = λ d 1 P E E E E div T dx T C1 c R d ; R d com sup x } T x 1 T C1 c R d ; R d com supp T A, sup x P E = H d 1 E e P A, E = H d 1 A E. E é localmente de perímetro finito E c é localmente de perímetro finito, µ E = µ E c div T dx = 0 T Cc 1. E F = 0 = µ E = µ F. E = 0 = E localmente de perímetro finito e µ E = 0. Na próxima proposição, analisamos o que acontece em dimensão um. Proposição 139. Se E R é Lebesgue-mensurável e P E < +, então E = N i=1 a i, b i Demonstração. Definimos, para x R, Temos, para ϕ C 1 c R, + uxϕ x dx = E ux := µ E, x. + x + + Fubini = y + = = + ϕ xdµ E y dx ϕy dµ E y ϕ x dx ϕ x dx dµ E y } T x 1. 49

50 Logo, u + χ E ϕ = 0 e temos χ E x = C ux. R Então χe x + h χ E x µe [x, x + h] e fazendo h 0 lim sup χe x + h χ E x µe {x}. h 0 Mas, por hipótese, temos µ E R < + de modo que a função característica χ E máximo um número finito de saltos. pode ter no 14.1 Semicontinuidade inferior Dizemos que E n converge localmente para E se, para todo K R d compacto, En E K 0. Isto é o mesmo χ En χ E em L 1 loc. Proposição 140. Suponhamos que E n loc E e sup n P E n, K CK < + para todo K compacto. Então, E tem perímetro localmente finito, µ En µe e, para todo A aberto, P E; A lim inf P E n ; A. n Demonstração. Para T Cc 1 A; R d com T 1, temos div T = lim div T lim inf P E n ; A. n E n n E Fazendo o supremo em T, obtemos semicontinuidade. Para verificar a convergência fraca, observamos que, para todo ϕ Cc 1, vale que ϕ dµ En = ϕ ϕ = ϕ dµ E. E n E Por aproximação, a convergência vale para qualquer ϕ C 0 c. Exercício 7. Segue da semicontinuidade a propriedade de localidade: A aberto e E A = F A = P E; A = P A; A. Exercício 8. Repetir a prova de semicontinuidade inferior para provar que: Se {u n } Cc 1 que L u 1 loc n χ E e u n dx CK, então E tem perímetro localmente finito e Dica: Usar que E div T = lim n K P E; A lim inf n A u n dx. u n div T = limn u n T. é tal 50

51 15 Regularização e compacidade Seja ρ C c B 1, 0 ρ 1 com ρx dx = 1, ρx = ρ x e B ρ ε x := 1 x ε d ρ, de modo que ρ ε Cc B ε e ρ ε x dx = 1. ε B ε Para f, g funções, lembramos que a convolução f g é a função definida por f g x := R d fx ygy dy. Para f uma função e µ uma medida, a convolução µ f é a função definida por µ f x := R d fx y dµy. Teorema 141 Propriedades de molificadores. Sejam f L 1 loc e µ medida de Radon. Definindo f ε := f ρ ε e µ ε := µ ρ ε, temos f ε C e µ ε C f ε f quase sempre quando ε 0. f C 0 = f ε f uniformemente em compactos. p [1, +, f L p loc = f ε f em L p loc. µ ε µ e µε µ. Demonstração. Evans, PDE Apêndice C e Maggi, pp Lema 142. Seja E mensurável e u ε := χ E ρ ε. 1. Se E tem perímetro localmente finito, então 2. Se u ε = µ E ρ ε, u ε µe e u ε K u ε dx CK, então E tem perímetro localmente finito. K compacto, µ E. Demonstração. 1. Suponhamos inicialmente que P E < +. Temos µe ρ ε x = ρ ε x y dµ E y = ρ ε x y dy = χ E ρ ε x = χe ρ ε x. E Para mostrar a convergência, usamos que ϕ ρ ε ϕ em L 1 : ϕx u ε dx = ϕx ϕ µ E ρ ε x dx = ρε y dµe y ϕ dµ E. Nota que também que u ε x dx = ρε µ E x dx d µ E = µ E R d. Isto implica que µ E R d s.c.i. lim inf u ε dx lim sup ε 0 R d ε 0 u ε dx µ E R d. R d Segue que u ε µ E ; ver Proposição Usar critério de compacidade para medidas de Radon a saber, nossa hipótese implica que existe µ tal que u ε µ e o Exercício 8. 51

52 fim da aula 13 Corolário 143. Se E, F são de perímetro localmente finito, então E F e E F também são e vale P E F, A + P E F, A P E, A + P F, A, A R d aberto. Demonstração. Consideramos u ε e v ε aproximações por molificadores de χ E e χ F, respectivamente. Observamos que Logo, P E F, A lim inf ε 0 A P E F, A lim inf ε 0 A Somando L u ε v 1 loc L ε χ E F e w ε := u ε + v ε u ε v 1 loc ε χ E F. u ε v ε x dx lim inf ε 0 A v ε x u ε x + u ε x v ε x dx; w ε x dx lim inf ε 0 A 1 vε x u ε x + 1 u ε x v ε x dx. P E F, A + P E F, A lim inf u ε x + v ε x dx ε 0 A P E, Ā + P F, Ā. Considerando A δ := { x A distx, A < δ }, temos Faz δ 0. P E F, A δ + P E F, A δ P E, A + P F, A. Exemplo 144. A ideia deste exemplo é ver que conjuntos de perímetro finito podem ser bastante bizarros. Consideramos { B n = B rn x n } e E = n B n. Vamos mostrar que, se n rd 1 n < +, então E tem perímetro finito. De fato, para E N = N n=1 B n, temos Além disso, e logo P E N E \ E N + N P B n = C d n=1 n=n+1 N n=1 B n CC d + P E lim inf P E N C d + n=n+1 n=1 r d 1 n r d 1 n. r d 1 n 0 < +. Agora, observamos que se {x n } é denso em um aberto A e B n A para todo n, teremos Ē = Ā e Ē = Ā. Por outro lado, E C + rn d n=1 pode ser tão pequeno quanto se queira, de modo que E = Ē E > 0. = H d 1 E = +. 52

53 15.1 Compacidade a partir de limitação do perímetro Temos o seguinte resultado de compacidade para conjuntos de perímetro finito. Teorema 145. Sejam E n conjuntos de perímetro finito em R d tais que E n B R n e sup P E n < +. n Então existe subsequência E nk E, onde E tem perímetro finito e µ Enk µe. Demonstração. Passo 1: Desigualdade de Poincaré. Denotando Qx, r = x + r, r d, temos que, para qualquer u C 1, vale uy uqx,r dy 2 d r uy dy, onde u Qx,r := ux dx. 7 Qx,r Qx,r Qx,r A ideia para mostrar esta desigualdade diretamente é a seguinte. Reduzir ao caso Q0, 1. Depois provar para dimensão um Teorema Fundamental do Cálculo e, em seguida, utilizar Fubini para estender para dimensão qualquer. Passo 2: Vamos mostrar que, fixado F de perímetro finito com F < +, existe uma reunião finita T = Q de cubos disjuntos de aresta 2r tal que F T C d rp F. Para fazer isto, consideramos uma partição R d = n Q n em cubos Q n de aresta 2r. Escrevendo u ε := χ F ρ ε, temos pelo passo 1 R d u ε x dx = n N Q n u ε x dx C r n N Q n uε x u ε Qn dx. Fazendo ε 0 e observando que u ε Qn = u ε y dy χ F y dy = F Q n, Q n Q n Q n obtemos CrP F n N = n N = 2 n N Q n χ F x F Q n Q n dx 1 F Q n Q n dx + Q n F Q n \ F F Q n. Q n Q n\f F Q n Q n dx Sendo F < +, existe no máximo um número finito de cubos tais que F Q n Q n 1 2. A menos de renomear estes cubos, podemos assumir que F Q n Q n 2 para n = 1, 2,..., N 53

54 Logo, definindo obtemos, como queríamos F Q n Q n 2 T := para n N + 1. N n=1 Q n CrP F 2 N n=1 Q n \ F F Q n Q n N Q n \ F + n=1 + n=n Q n F = T \ F + F \ T = T F. + n=n+1 Q n \ F F Q n Q n Passo 3: Consideramos o espaço X := { E MR d ; E < + } com a métrica de, F := E F = χ E χ F L 1. Para que de fato seja uma métrica, precisamos identificar conjuntos que são iguais em quase toda parte. Para terminar a prova do teorema, afirmamos que o subconjunto X r,p := { E MR d ; E B R e P E p } é compacto. Como o perímetro é semicontínuo inferiormente, temos que é fechado. Resta ver que é totalmente limitado. Fixado ε > 0, seja r > 0 a ser escolhido. Consideramos { Q r n } NR,r n=1 = {cubos de aresta 2r que intersecionam B R } e { } MR,r Tk = { k=1 j Q r } MR,r j = {todas as possíveis uniões de Q r k=1 n}. Pelo passo 2, qualquer que seja F X R,p, existe T k tal que para r 1. df, T k CrP F Crp ε Somente a condição de perímetros limitados não é suficiente para compacidade porque pode acontecer de os conjuntos E n serem bolas escapando para infinito. No entanto, vale compacidade local. Corolário 146. Sejam E n conjuntos de perímetro localmente finito em R d tais que, para todo R > 0, Então existe subsequência E nk Demonstração. Passo 1: Vamos mostrar que sup P E n ; B R < +. n loc E, onde E tem perímetro finito e µ Enk µe. P E B R P E; B R + P B R. De fato, dado R < R, por aproximação, escolhemos v ε Cc B R tal que L 0 v ε 1, v 1 R d ε χ BR e v ε dx P B R. R d 54

55 Além disso, utilizando molificadores u ε := χ E ρ ε, temos P E B R lim inf u ε v ε dx R d lim sup u ε v ε + u ε v ε dx R d Por semicontinuidade, temos P B R + P E; B R P B R + P E; B R. P E B R lim inf R R P E B R P B R + P E; B R. Passo 2: Para cada R > 0 fixado, podemos aplicar o teorema anterior, pois P E B R P B R + P E; B R C R. Usando um argumento de diagonal, obtemos uma subsequência E nk tal que E nk B R E R para todo R N. Logo Definimos E nk B R E R E nk B R+1 E R+1. E := E R. R N Observação 147. Se, além das hipóteses do corolário acima, supomos que E n \ B R εr R + 0, então temos que E n E. De fato, E E nk E E nk B R + 2εR Problemas isoperimétrico relativo Dos problemas mais típicos de Teoria Geométrica da Medida, consiste em minimizar a área de superfícies cuja fronteira é uma curva fixada. Possíveis formulações de problemas semelhantes: minimizar H 2 Σ sujeito à restrição Σ = γ minimizar H 2 E sujeito à restrição E A = γ minimizar P E; B sujeito à restrição E \ A = E 0 \ A. 8 Proposição 148. Seja A um aberto limitado e m 0, A. Então, existe um minimizante para o problema isoperimétrico relativo: minimizar P E; A sujeito às restrições E A e E = m. 55

56 Demonstração. Seja E n uma sequência minimizante, isto é, E n A, E n = m, e P E n ; B inf { P E; B; E A e E = m }. Como P E n ; B C, existe uma subsequência que converge para um conjunto de perímetro finito E. Por semicontinuidade, P E; B lim inf P E n ; B = inf. A última identidade é porque E n é sequência minimizante. fim da aula Observação sobre as aproximações anteriores No Lema 142, para E mensurável e de perímetro localmente finito, definimos u ε := χ E ρ ε x = ρ ε x y dy e mostramos que E u ε = µ E ρ ε, u ε µe e u ε µ E. A última propriedade segue das anteriores a partir da seguinte observação: u ε x dx = ρε µ E x dx d µ E = µ E R d, o que implica que µ E R d s.c.i. lim inf u ε dx lim sup u ε dx µ E R d. ε 0 R d ε 0 R d Deste modo, temos e usamos a Proposição 68. Esta última identidade é o mesmo que µ E R d = lim u ε dx ε 0 R d P E = lim u ε dx. ε 0 R d No entanto, somente quando µ E A = P E; A = 0 é que podemos afirmar que P E; A = lim u ε dx, ε 0 A ver Proposição 67, item 3. No entanto, pelo item 2 da mesma proposição, desde que seja A limitado para ser Ā compacto, podemos escrever lim sup ε 0 u ε dx lim sup ε 0 u ε dx P E; Ā. A Sendo assim, um truque usual para obter estimativas com P E; A do lado direito da desigualdade acima é considerar B A e no final utilizar Ver demonstrações dos Corolários 143 e 146. Ā P E; B P E; A. 56

57 18 Desigualdades isoperimétricas 1. A Desigualdade de Poincaré 7 que vimos anteriormente vale também quando substituimos os cubos por bolas: uy ubrx dy 2 d r uy dy. B rx B rx Aplicando u ε := χ E ρ ε na Desigualdade de Poincaré acima e fazendo ε 0, obtemos 2 E B rx B r x \ E B r x C d rp E; B r x. Usando que min{t, 1 t} 2t1 t para t [0, 1], obtemos que { E Br x min, B } rx \ E C drp E; B r x. B r x B r x B r x ou ainda { E Br x min r d, B } rx \ E r d CP E; B rx r d Uma outra versão da Desigualdade de Poincaré é a seguinte B 10 uy ub10 d d 1 dy d 1 d C uy dy. B 10 E esta, além de tudo, é invariante de escalas, isto é, ao substituir B 1 0 por B r x por mudança de variáveis, a constante C não é alterada e não aparece nenhum fator r. Aplicando u ε := χ E ρ ε nesta versão e fazendo ε 0, obtemos min { E B r x d 1 d, Br x \ E d 1 d que é conhecida como desigualdade isoperimétrica relativa. 3. A seguinte Desigualdade de Sobolev u L d R d u L 1 R d } CP E; B r x, implica na limitação do volume pelo perímetro desigualdade isoperimétrica: E d 1 d P E. 19 Funções de variação limitada Um caso particular da Fórmula da Coárea é o seguinte ux dx = + A H d 1 {u = t} A dt. Definição 149. Uma função u L 1 Ω é de variação limitada ou de VL 10 se { } V u; Ω := sup ux div T x dx; T Cc 1 Ω; R d, T 1 < +. R d Denotamos por V LΩ o conjunto das funções de variação limitada em Ω. 10 Do inglês bounded variation indica a sigla BV. 57

58 O seguinte resultado tem a demonstração igual à da Proposição 135 e fica de exercício. Proposição 150. u BV Du, a derivada no sentido de distribuições de u, é uma medida de Radon finita em Ω. Neste caso, V u; Ω = u Ω. Observação 151. E é um conjunto de perímetro finito χ E V L. Teorema 152. Se u : Ω R, u L 1 loc Ω. Então, V u; Ω = + P {u > t}; Ω dt. Em particular, se u BV Ω, {u > t} tem perímetro finito para quase todo t. Além disso, se u BV Ω, Du A = + P {u > t}; A dt. Ideia da demonstração. A prova completa pode ser encontrada em Ambrosio, Fusco, Pallara, Theorem Note que v 0 mensurável implica que vx = vx Assim, para u L 1 loc Ω, podemos escrever ux = dt = χ {v>t} x dt χ {v>t} x dt. 1 χ{v>t} x dt. Uma das desigualdades pode ser provada rapidamente nem é só uma ideia: para T Cc 1 Ω; R d com T 1, + 0 ux div T x dx = χ {v>t} x div T x dx dt + 1 χ{v>t} x div T x dx dt Ω 0 Ω Ω + = χ {v>t} x div T x dx dt + Ω P {v > t}; Ω dt. Para a outra direção, a ideia é usar que o resultado vale para funções Lipschtiz, aproximar u V LΩ por funções suaves, e usar a semicontinuidade inferior do perímetro. Vejamos como obter, a partir da Fórmula da Coárea para funções de variação limitada, densidade da coleção de conjuntos com fronteira suave. Corolário 153 Densidade de conjuntos de fronteira suave. Se E tem perímetro localmente finito, então existe E n com E n C tais que E n loc E e µ En µ E. Como exercício, utilize o Teorema de Fubini para provar o seguinte lema que será usado na demonstração do corolário. Exercício 9. Se A é de Borel e limitado, então + u v = A A Dica: Separe a integral em duas do tipo ux vx dx = A {u>v} A χ {u>v} x 58 {u > t} {v > t} dt. + χ {u>t} xχ {v t} x dt dx.

59 L Demonstração do Corolário. Suponhamos P E < + e definamos u ε = χ E ρ ε. Temos u 1 loc ε χ E e, pelo exercício acima, {u ε > t} loc {χ E > t} para quase todo t. Denotando E ε t := {u ε > t}, temos E ε t P E = 1 0 P E dt 1 0 loc E para quase todo t. Logo, por semicontinuidade inferior, lim inf P ε 0 Eε t dt Fatou lim inf ε 0 + P Et ε dt = lim inf ε 0 Logo, ao longo de uma sequência ε n 0, temos que, para quase todo t 0, 1, Du ε P E. E εn t loc E, P E εn t P E, n. Pelo Teorema de Sard, para quase todo t, temos E εn t = { u εn = t } C. fim da aula 15 Vamos utilizar o seguinte mais adiante: Proposição 154 Exemplo de aplicação da fórmula da coárea. Sejam E um conjunto de Borel e m : 0, + [0, + definida por Então m é crescente e mr = mr = E Br x. r Em particular, m é absolutamente contínua e 0 H d 1 E B t x dt. m r = d E Br x = H d 1 E B r x, para q.t. r > 0. dr Demonstração. Vamos provar para A aberto que geram todos os conjuntos de Borel. É imediato que m é crescente. Lembra da versão da fórmula da coárea: ux dx = P {u > t}; A dt. A Aplicando para uy = y x e A B r x, temos A B r x = P { y x > t}; A B t x dt Mas { y x > t} = R d \ B t x e logo P { y x > t}; A B t x = H d 1 A B t x. R R 20 Fronteira reduzida e retificabilidade Iniciamos com um lema que indica como minimizar a fronteira topológica de um conjunto de perímetro finito. Lema 155. Seja E de perímetro localmente finito. Então { supp µ E = x R d ; 0 < E B } rx < 1 para todo r > 0 E B r x e, além disso, existe F com E F = 0 o que implica µ E = µ F e supp µ F = F. 59

60 Demonstração. Ao mostrarmos a igualdade, temos que supp µ E E, pois para que se verifique 0 < E B r x < B r x, é preciso que B r x contenha pontos de E e de R d \ E. Logo, basta mostrar que x supp µ E r > 0 tal que E B rx B r x = 0 ou 1. Se x supp µ E, então existe r > 0 tal que µ E B r x = 0. Assim, para φ Cc 1 com supp φ B r x, então χ E y φy dy = φy dy = φ dµ E = 0. R d E R d Então χ E c {0, 1} quase sempre em B r x. Isto mostra a ida. Para mostrar a volta, analisamos cada caso. Se E B r x = 0 para algum r > 0, então, para φ Cc 1 com supp φ B r x, tem-se φ dµ E = φy dy = 0. R d Assim, temos que µ E B r x = 0, o que significa que x supp µ E. Se E B r x = B r x para algum r > 0, então, para φ Cc 1 com supp φ B r x, tem-se φ dµ E = φy dy = φy dy = 0. R d E B rx E Na última identidade acima, utilizamos o Teorema de Gauss-Green usual de B r x. Assim, temos que µ E B r x = 0, o que significa que x supp µ E. Para a outra afirmação, definimos A 1 := {x R d ; r > 0 tal que E Br x = Br x } e A 0 =: {x R d ; r > 0 tal que E Br x } = 0 e F := E A 1 \ A0. Para verificar que funciona, podemos escrever A 0 B rn x n com E B rn x n = 0. Notando que A 1 \ E é o análogo de A 0 para o conjunto de perímetro finito R d \ E, concluimos pelo mesmo tipo de argumento que A 1 \ E = 0. Daí terminamos a prova: E F = E \ F + F \ E E A 0 + A 1 \ E = 0. F R d \ A 0 A 1 = supp µ F pois A 1 int F e F R d \ A 0. Pelo lema, sem perda de generalidade, podemos assumir que supp µ E = E. Definição 156. A fronteira reduzida de um conjunto de perímetro finito é o conjunto { µ E Br x } E := x supp µ E ; lim r 0 µ E existe e tem norma 1. B r x Para x E, o vetor µ E Br x ν E x := lim r 0 µ E B r x é chamado vetor normal unitário exterior de teoria da medida. 60

61 Observação 157. Se E C 1, temos µ E = ν E H d 1 E, µ E = H d 1 E e µ E Br x µ E B r x = B rx E ν E dh d 1. Observação 158. Pelo Teorema de Lebesgue-Besicovitch, para µ E -quase todo ponto, vale µ E = ν E µ E E. Observação 159. Como supp µ E E, temos E E. Exemplo 160. Quadrado. Vértices não pertencem à fronteira reduzida, pois limite que existe não tem norma 1. Teorema 161. Seja E um conjunto de perímetro localmente finito. Definimos Para x E, seja Então, E x,r := Φ x,r E, onde Φ x,r y := y x. r H x := { y R d ; y ν E x 0 }. E x,r loc H x, µ Ex,r νe x H d 1 H x e µ Ex,r H d 1 H x. Vamos primeiro mostrar uma consequência importante do teorema acima. Corolário 162 Teorema de retificabilidade de De Giorgi. Seja E um conjunto de perímetro localmente finito. Então, E é contavelmente H d 1 -retificável e vale que E µ E = ν E H d 1 E, µ E = H d 1 E e ϕx dx = ϕx dµ E x = ϕxν E x dh d 1 x para todo ϕ Cc 1 R d. R d E E para mostrar o corolário, utilizamos um lema: Lema 163. Seja E um conjunto de perímetro localmente finito. Então E x,r é de perímetro localmente finito e vale que Φx,r # µ Ex,r = µ E Φx,r # r d 1 e µ Ex,r = µ E r d 1. Demonstração do lema. Abaixo, vamos denotar ϕ r y = ϕ y x r. Daí, basta escrever, por mudança de coordenadas, ϕ Φ x,r y ϕy dy = E x,r E r d dy = 1 r d 1 ϕ r y dy E = 1 r d 1 ϕ r y dµ E y R d = 1 r d 1 ϕy d Φ x,r# µ E y. Como Φ x,r# µ E é uma medida de Radon, então E x,r é de perímetro localmente finito e µ Ex,r é como enunciado. 61

62 Demonstração do Corolário. Pelo teorema e pelo lema, temos que, para todo x E, Φx,r # µ Ex,r = µ E H d 1 r d 1 H x. Usando que µ E está concentrada em E, temos que E é retificável e µ E = H d 1 Teorema 107. E; ver fim da aula 16 Demonstração do Teorema 161. A menos de translação e rotação, podemos assumir que x = 0 e que ν E x = e d. Temos i ν E e d d µ E 1, B r ii ν E e i d µ E 0, para i = 1, 2,..., d 1 B r O item i acima segue do Teorema de Diferenciação de Lebesgue-Besicovitch. O item ii fica de exercício usar item i. Passo 1. ν E e d d µ E d B r dr E B r = H d 1 E B r x. De fato, seja ξ ε Cc 1 tal que 0 ξ ε 1, ξ ε 1 em B r x, ξ ε 1 em R d \ B r+ε x, e ξ ε = 1 ε em B r+εx \ B r x. Temos que ξ ε ν E e d d µ E = ξ ε e d dµ E = E divξ ε e d dx E Br+ε E \ B r E ξ ε dx =. ε Logo, fazendo ε 0, temos, para quase todo r > 0 para todo r tal que µ E B r = 0, B r+ε E \ B r E ν E e d d µ E lim sup = d B r ε 0 ε dr E B r = H d 1 E B r x. Passo 2. Usando i, para r 1, e o passo 1, temos µ E B r 2 ν E e d d µ E 2H d 1 E B r x Cr d 1. B r Logo, para r 1, P E x,r ; B R = µex,r B R = µ E B rr r d 1 Pelo critério de compacidade, existe uma subsequência r k 0 tal que E x,rk Além disso, por semicontinuidade do perímetro, CrRd 1 r d 1 = CR d 1. 9 P F ; B R lim inf P E x,rk ; B R CR d 1, para todo R > 0. k loc F e µ Ex,rk µf. Passo 3. F = {x d λ} para algum λ R. De fato, por um lado, para qualquer ξ Cc 1 e i = 1, 2,..., d 1, temos i ξy dy = e i ξy dy = e i ξy dµ Ex,r y = 1 E x,r E x,r R r d 1 ξy/r e i dµ E y. d R d 62

63 Logo, lembrando que µ E = ν E µ E, i ξy dy = 1 y E x,r r d 1 ξ ν E y e i d µ E y r 1 νe r d 1 y e i d µe y B rr νe y e i d µe y ii 0. B rr * µ E B rr CrR d 1 ; ver 9. Logo, para qualquer ξ Cc 1 e i = 1, 2,..., d 1, i ξ = 0, i = 1, 2, 3,..., d 1. F Vamos mostrar que isto implica que a menos de um conjunto de medida nula F = R d 1 A para A R. De fato, considerando molificadores u ε = χ F ρ ε, temos 0 = i ξu ε = ξ i u ε = i u ε = 0, i = 1, 2,..., d 1 = u ε x = v ε x d ε 0 = χ F = χ R d 1 χ A. Por outro lado, para qualquer ξ Cc 1 com ξ 0 e supp ξ B R, podemos escrever d ξy dy = 1 y E x,r r d 1 ξ ν E y e d d µ E y. B rr r Que segue da observação: i = B r {ν E e d 0} d µ E µ E B r 0, 0 { }}{ B ν E e d d µ E = r {ν E e d 0} ν E e d d µ E B r µ E B r Logo, como ξy/r ν E e d Cχ BrR, temos d ξy dy 1 E x,r r d 1 Então, F d ξy dy 0 ξ 0 = 0 C r d 1 F + B rr {ν E e d 0} B rr {ν E e d 0} 1 { }}{ B r {ν E e d >0} ν E e d d µ E 1. µ E B r ξ y/r ν E e d d µ E d µ E 0. d ξyu ε y dy = ξy d u ε y dy = d u ε 0. F Isto implica que v ε é descrescente e χ A = χ,λ para algum λ R. Passo 4. F = {x d 0}, ou seja, λ = 0. Consideramos o mesmo tipo de argumento da Proposição 154: gr = E B r, de modo que g r = H d 1 E B r. 63

64 Pelo passo 2 acima, já tínhamos P E; B r 2H d 1 E B r Pela Desigualdade Isoperimétrica, = P E B r 3H d 1 E B r = 3g r. P E B r E B r d 1 d = gr d 1 d. Logo, 3gr 1 d 1 g r 1. Mas nota que gr 1 d 1 g r = dgr 1 d e que g0 = 0, de modo que 3dgr 1 d r = gr Cr d. Esta última desigualdade é o mesmo que E B r B r C > 0 para todo r pequeno e o mesmo vale com R d \ E no lugar de E, pois E = R d \ E. Afirmação. = λ = 0. Suponhamos, por contradição, que λ < 0. Daí, aplicando o raciocínio acima para F, temos F H x, F B λ = 0 e 0 = F B λ B λ E rn B λ E B rnλ = lim = lim C. n + B λ n + B rnλ Aplicando o mesmo raciocínio para R d \ E, temos uma contradição com λ > 0. loc Com isto, encerramos a prova de que E x,r H x. Resta mostrar que µ Ex,r H d 1 H x. Para isto, observamos que, por semicontinuidade inferior, µ Hx B R lim inf µ E x,r B R i = lim inf e d µ Ex,r B R r 0 r 0 lim inf r 0 e d µ Ex,r B R = e d µ Hx B R µ Hx B R. para quase todo r > 0 todo tal que µ Hx B R = 0. Observamos finalmente que, para o conjunto de fronteira suave H x, o Teorema de Gaus-Green usual implica que µ Hx = H d 1 H x e que µ Hx = e d H d 1 H x. fim da aula 17 Faltou da última vez a verificação de que P E B r x P E; B r x + H d 1 E B r x. Isto segue do seguinte: para T Cc 1 R d com supp T E B r x e T 1, temos div T y dy = T y dµ E y + T y ν Brxy dh d 1 y. E B rx E B rx E B rx Na última integral, podemos substituir pela medida de superfície para um subconjunto da superfície suave B r x. 64

65 Definição 164 Pontos de densidade t. Para t [0, 1], definimos { } E t E B r x := x E; lim = t. r 0 B r x Corolário 165. Se E tem perímetro localmente finito, então E E 1/2. Demonstração. Usando que E x,r loc H x, temos E B r x B r x = E x,r B 1 B 1 H x B 1 B 1 Corolário 166. Se E tem perímetro localmente finito, então Demonstração. Usando que µ Ex,r P E; B r x lim r 0 w d 1 r d 1 = 1. H d 1 = 1 2. H x e que H d 1 B 1 H x = 0, temos P E; B r x w d 1 r d 1 = P E x,r, B 1 w d 1 P H x, B 1 w d 1 = 1. Definição 167 Fronteira essencial. É o conjunto e E := R d \ E 0 E 1. Temos o: Teorema 168 Federer. Se E tem perímetro localmente finito, então E E 1/2 e E e H d 1 e E \ E = 0. Demonstração. Pela Desigualdade Isoperimétrica Relativa, H d 1 E B r x r d 1 = P E; Br x { E Br x r d 1 C d min, B } rx \ E = C d min{α r, 1 α r }. B r x B r x Fazendo r 0, obtemos θd 1 H d 1 E x := lim sup r H d 1 E B r x r d 1 C d lim sup min{αr, 1 α r }. r Logo, caso θd 1 H d 1 E x = 0, temos x E 0 E 1. Portanto, { e E \ E x R d \ E; θd 1 H d 1 E } x > 0 =: A. Mas H d 1 A = 0 pois Hd 1 E B r r d 1 0 para H d 1 -quase todo x E. Observação 169. O Teorema de Federer acima é útil em operações com conjuntos. O Teorema afirma que, a menos de um conjunto de medida H d 1 -nula, E = E 1/2 = e E e que M Hd 1 -qs = M E 1 M E 0 M E 1/2. Por exemplo, isso pode ser usado para mostrar que prova não difícil, mas longa, ver [7, pp 185]: Interseção de conjuntos de perímetro localmente finito: µ E F = µ E F 1 + µ F E 1 + ν E H d 1 {ν E = ν F }, e que E F Hd 1 -qs = E F 1 F E 1 {ν E = ν F } P E F ; A = P E; F 1 A + P F ; E 1 A + H d 1 {ν E = ν F } A. 65

66 Diferença de conjuntos de perímetro localmente finito: µ E\F = µ E F 0 µ F E 1 + ν E H d 1 {ν E = ν F }, e que E \ F Hd 1 -qs = E F 0 F E 1 {ν E = ν F } P E \ F ; A = P E; F 0 A + P F ; E 1 A + H d 1 {ν E = ν F } A. União de conjuntos de perímetro localmente finito: µ E F = µ E F 0 + µ F E 0 + ν E H d 1 {ν E = ν F }, e que E F Hd 1 -qs = E F 0 F E 0 {ν E = ν F } P E F ; A = P E; F 0 A + P F ; E 0 A + H d 1 {ν E = ν F } A. Diferença simétrica de conjuntos de perímetro localmente finito: µ E F = µ E F 0 + µ F E 0 µ E F 1 µ F E 1 e que P E F ; A = P E; A \ F + P F ; A \ E P E; A + P F ; A. 21 Minimizantes locais do perímetro Sem perda de generalidade, podemos assumir que supp µ E = E. Definição 170. Seja A um conjunto aberto. Dizemos que E é minimizante em A se P E; A P F ; A, F tal que F E A. E é minimizante local em A se existe r 0 > 0 tal que, para todo x A P E; A P F ; A, F tal que F E B r x A e r r 0. E é minimizante local fraco em A se existe r 0 > 0 e Λ > 0 tais que, para todo x A P E; A P F ; A + ΛrP E F ; A, F tal que F E B r x A e r r 0. Exemplo 171. Conjunto E com um bico quadrado não pode satisfazer a condição de minimizante local fraco: comparar 2l e l + Cl 2. Teorema 172 Estimativas de densidade. Seja A R d aberto e E minimizante local fraco em A. Então, existe ε = εd, r 0, Λ 0, 1, c = cd, r 0, Λ > 0 e C = Cd, r 0, Λ > 0 tais que, para todo x E A, E Br x ε Br x 1 ε, cr d 1 P E; B r x Cr d 1, para todo r < r 0 suficientemente pequeno, B r x A. Em particular, H d 1 A E \ E = 0. 66

67 Demonstração. 1. Para x A E, definimos κx = min{distx, A, r 0 } e assim, já que H d 1 E B κx x < +, H d 1 E B r x = 0, para quase todo r < κ. Para usar minimalidade, considere o competidor mais simples e provavelmente o pior de se imaginar F = E B r x. Como E F B s x A, para cada s r, κ, temos P E; B s x P F ; B s x + ΛrP E F ; B s x P E B r x; B s x + Λr [H d 1 E 0 B r x + P E; B s x B r x ] = H d 1 E 0 B s x + P E; B s x [ + Λr H d 1 E 0 B s x + P E; B s x ]. Logo, fazendo s r +, obtemos 1 ΛrP E; B r x 1 + ΛrH d 1 E 0 B r x e P E; B r x CH d 1 B r x = Cr d 1, para r Supondo supp µ E = E, temos 0 < E B r x < B r x, x E e r > 0. Pelo passo anterior, obtemos P E; B s x CH d 1 E 1 B r x Mesmo truque da aula passada, combinar e com a Desigualdade Isoperimétrica para garantir que fr = E B r x εr d. Analogamente, aplicamos o mesmo para R d \ E para concluir que R d \ E B r x εr d. 3. Pela Desigualdade Isoperimétrica Relativa, P E; B r x r d 1 { E Br x c min B r x Br x \ E }, B r x cε. 4. Finalmente, pelo Teorema de Federer, Hd 1 -qs = e E e, pelas estimativas de densidade, concluimos também que E e E. 67

68 Referências [1] Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, and Diego Pallara. Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, [2] Constantin Carathéodory. Vorlesungen über reelle Funktionen. Third corrected edition. Chelsea Publishing Co., New York, [3] L. Evans and R. Gariepy. Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, [4] K. J. Falconer. The geometry of fractal sets, volume 85 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, [5] Herbert Federer. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. Springer-Verlag New York Inc., New York, [6] Enrico Giusti. Minimal surfaces and functions of bounded variation, volume 80 of Monographs in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel, [7] Francesco Maggi. Sets of finite perimeter and geometric variational problems, volume 135 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, An introduction to geometric measure theory. [8] Pertti Mattila. Fourier analysis and Hausdorff dimension, volume 150 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge,