CAPÍTULO 4 DESCRIÇÃO E EXPLORAÇÃO DOS DADOS 2ª parte

CAPÍTULO 4 DESCRIÇÃO E EXPLORAÇÃO DOS DADOS 2ª parte

4.3 Medidas de posição 4.4 Medidas de dispersão 4.5 Separatrizes Prof. franke 2

Vimos que a informação contida num conjunto de dados pode ser resumida na forma de tabelas e gráficos. Frequentemente, entretanto, necessitamos de um índice que expresse certa propriedade dos dados. ESTATÍSTICAS: As Estatísticas são índices numéricos que representam propriedades específicas das variáveis. A primeira propriedade de uma variável em que normalmente estamos interessados refere-se a posições específicas na distribuição desta variável. Qual o significado dos valores de x 1 e x 2 na distribuição? x 1 x 2 Prof. franke 3

Existem três medidas básicas que refletem a posição da estatística numa distribuição de frequências: Média (aritmética, ponderada, geométrica, harmônica) Moda Mediana 4.3.1 - Média Aritmética É a medida de posição mais utilizada. Indica uma posição central nos dados. É a soma de todos os casos dividida por seu número total. onde: = média aritmética para amostra e para população = representa cada uma das observações disponíveis na amostra n = número de amostras. Obs.: a média é afetada por valores extremos. Prof. franke 4

A média aritmética nem sempre está no CENTRO Exemplo: Considere as notas finais, relativas aos alunos de três turmas. Turma Notas dos alunos Média da turma A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8? B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10? C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5? Figura 1 Representação das distribuições das notas de três turmas e posições das médias aritméticas. Adaptado de BARBETTA et al., 2010. Prof. franke 5

4.3.2 - Média aritmética ponderada: A forma de calcular de uma média ponderada é multiplicar cada valor pelo seu respectivo peso, somar todas as parcelas e dividir o resultado dessa soma pelo total dos pesos atribuídos. Exemplo: Cálculo de média pondera de um aluno que obteve as seguintes notas Nota (x i ) Peso (p i ) Produto (x i.p i ) 4 1 4 7 2 14 6 3 18 Total = 6 = 36 Prof. franke 6

Experimente fazer: São dadas as notas de cinco alunos, em três provas que tinham pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Calcule as médias ponderadas. Aluno 1ª prova 2ª prova 3ª prova Média ponderada Ana 7 6 5 Cláudia 1 2 9 Marcos 5 5 5 Pedro 10 10 0 Sérgio 5 7 3 Quem terá a maior e quem terá a menor média ponderada? Prof. franke 7

Experimente fazer: São dadas as notas de cinco alunos, em três provas que tinham pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Calcule as médias ponderadas. Aluno 1ª prova 2ª prova 3ª prova Média ponderada Ana 7 6 5 5,70 Cláudia 1 2 9 5,30 Marcos 5 5 5 5,00 Pedro 10 10 0 5,00 Sérgio 5 7 3 4,60 Quem terá a maior e quem terá a menor média ponderada? Ana! Prof. franke 8

4.3.3 - Media Harmônica Retrata a harmonia entre os dados Exercício exemplo: 2, 3, 5, 10 4.3.4 - Media geométrica x h = 4 ( 1 2 +1 3 +1 5 + 1 10 ) = É obtida pela raiz n do produto dos n valores disponíveis 4 1,1333 = 3,529 É utilizada em administração e economia, para determinar taxas de crescimento em certo período Exercício: 2, 3, 5, 10. Prof. franke 9

Exemplo: Cálculo da média de dados apresentados (agrupados) em tabelas de distribuição de frequências. Exemplo das árvores Diâmetro (cm) Ponto médio da classe x i Frequência absoluta (f i ) 20 30 25 2 30 40 35 9 40 50 45 11 50 60 55 15 60 70 65 17 70 80 75 16 80 90 85 7 90 100 95 3 Total - 80 Parciais da média Prof. franke 10

Exemplo: Cálculo da média de dados apresentados (agrupados) em tabelas de distribuição de frequências. Exemplo das árvores Diâmetro (cm) Ponto médio da classe x i Frequência absoluta (f i ) Parciais da média 20 30 25 2 50,0 30 40 35 9 315,0 40 50 45 11 495,0 50 60 55 15 825,0 60 70 65 17 1.105,0 70 80 75 16 1.200,0 80 90 85 7 595,0 90 100 95 3 285,0 Total - 80 4.870,0 x = 60,5125 Prof. franke 11

4.5.5 - Mediana É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Se o número de observações for impar, a mediana será o valor central da distribuição; se o número for par, a mediana será a média dos dois valores centrais. Tem a vantagem de não ser afetada pelos valores extremos. Por ser insensível à presença de valores aberrantes, a mediana é considerada um estimador robusto. Exercício: 7,0; 8,5; 5,0; 8,0; 5,5; 10,0 Ordenando: 5,0; 5,5; 7,0; 8,0; 8,5; 10,0 A mediana é uma separatriz porque separa o conjunto de dados em dois: O que antecede a mediana; O que sucede a mediana. Prof. franke 12

4.3.6 Moda É o valor que ocorre com mais frequência em uma amostra A = {2, 4, 7, 12, 23, 8, 11, 4, 12, 22, 7, 12, 9, 10} Comparação entre média, mediana e moda: Quando se comparam medidas de posição (tendência central) devemos lembrar: A média aritmética é o centro de gravidade do conjunto de dados; A mediana é o valor que ocupa a posição central de um conjuntos de dados ordenados; A moda é o valor mais frequente. Prof. franke 13

As medidas de dispersão referem-se a maior ou menor variabilidade de um conjunto de dados em torno da média. Permite identificar até que ponto os resultados se concentram ao redor da centro de um conjunto de observações. Existem várias medidas para avaliar a dispersão de um conjunto de dados: 1. Amplitude 2. Variância 3. Desvio Padrão 4. Coeficiente de Variação 5. Assimetria 6. Curtose 7. Erro padrão da média Prof. franke 14

4.4.1 Amplitude É a diferença entre o maior e menor valor presente nos dados amostrais O seu conhecimento é importante quando se faz a representação gráfica dos dados, pois esta só deve conter valores entre o máximo e mínimo observado. 4.4.2 Variância Mede a dispersão dos dados em torno da média. A dispersão dos dados em torno da média é medida pelos desvios em relação à média. Desvios em relação à media é a diferença entre cada valor observado e a média do conjunto. Ou seja, variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno da média aritmética. = variância da população = variância da amostra Prof. franke 15

Exemplo: Calcule a variância do ph em cinco amostras de água. Amostras ph 1 1,6 2 1,7 3 1,7 4 1,5 5 1,6 Soma 8,1 = 1,62 Amostras ph Desvios 1 1,6-0,02 2 1,7 0,08 3 1,7 0,08 4 1,5-0,12 5 1,6-0,02 Soma 8,1 0,00 Amostras ph Desvios Desvios 1 1,6-0,02 0,0004 2 1,7 0,08 0,0064 3 1,7 0,08 0,0064 4 1,5-0,12 0,0144 5 1,6-0,02 0,0004 Soma 8,1 0,00 0,028 Prof. franke 16

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4.4.3. Desvio Padrão É a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância 4.4.3.1 Desvio padrão da Amostra S = desvio padrão 4.4.3.2 Desvio padrão da população = desvio padrão Prof. franke 18

4.4.4 Coeficiente de Variação ou coeficiente de variabilidade (CV) O Coeficiente de variação (CV) é o desvio padrão expresso como percentagem da média. É utilizado para comparar grandezas de unidades iguais ou diferentes, quando os grupos são essencialmente diferentes. Onde: CV =coeficiente de variação S = variância da amostra = media da amostra Interpretação para o CV: CV até 15% - variação pequena CV entre 15 e 30% - variação média CV superior a 30% - variação grande Prof. franke 19

Exemplo de medidas descritivas: Tabela 2 Medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas Tur ma Notas dos alunos A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão Tabela 2 Medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas CV (%) Tur ma Notas dos alunos Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 8 6,0 6,0 1,71 1,31 21,8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10 8 6,0 6,0 6,0 12,29 3,51 58,5 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 7 6,0 7,0 7,0 7,25 2,69 44,8 CV (%) Prof. franke 20

Exemplo de medidas descritivas: Tabela 2 medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas Tur ma Notas dos alunos Nº de alunos Média Mediana Moda Variância Desvio padrão A 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 8 6,0 6,0 1,71 1,31 21,8 B 1; 2; 4; 6; 6; 9; 10; 10 8 6,0 6,0 6,0 12,29 3,51 58,5 C 0; 6; 7; 7; 7; 7,5; 7,5 7 6,0 7,0 7,0 7,25 2,69 44,8 CV (%) Figura 1 Representação das distribuições das notas de três turmas e posições das médias aritméticas. Adaptado de BARBETTA et al., 2010. Prof. franke 21

4.4.5. Assimetria Indica o grau de desvio de uma curva no sentido horizontal, podendo esse desvio ser positivo, com excesso de valores altos, ou negativo, com predomínio de valores baixos em relação a uma curva da distribuição normal. Prof. franke 22

4.4.6. Curtose É o grau de achatamento de uma curva em relação a uma curva representativa da distribuição normal Prof. franke 23

4.4.7. Erro padrão da média Dá uma ideia da precisão da estimativa da média A estimativa para a média se torna mais precisa (intervalo menor) com o aumento da quantidade de observações (n). Prof. franke 24

4.4.1 Extremos Quando se tem interesse em conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de valores, além de um valor central ou valor típico, podemos recorrer a medidas como: mediana, extremos e quartil. Chamamos de extremo inferior ao menor valor do conjunto de valores e extremo superior ao maior valor. Obs.: Mesmo para variáveis que supostamente tenham distribuição razoavelmente simétricas, a média e a mediana podem não ser iguais, já que, em geral, estamos analisando apenas alguns valores dessas variáveis. Para variáveis com distribuições razoavelmente simétricas, a média é a medida de posição central mais adequada, porque usa o máximo da informação contida nos dados. A média é calculada usando propriamente a magnitude dos valores, enquanto a mediana utiliza somente a ordenação dos valores. Prof. franke 25

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4.5.2 Quartis São medidas que dividem a série de valores da amostra em quatro frequências iguais de 25% cada. São eles: Q 1 1º quartil (quartil inferior) que delimita os 25% menores valores Q 2-2º quartil (mediana) separa os 50% menores dos 50% maiores valores Q 3-3º quartil (quartil superior) que separa os 25% maiores valores Com os dados ordenados crescentemente, temos: Posição de Q i : Posição de m d : Posição de Q s : Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 27

Exemplo: Dados brutos: 15, 18, 5, 7, 9, 11, 3, 5, 6, 8, 12 Ordenando: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 18 n = 11 Posição de Q i : Q i = 5 Posição de m d : m d = 8 Posição de Q s : Q s = 12 Prof. franke 28

Série original Total Ano (mm) 1961 1868 1962 955 1963 1673 1964 1389 1965 1770 1966 1875 1967 1811 1968 1488 1969 3287 1970 2824 1971 1286 1972 1673 1973 1609 1974 1381 1975 1485 1976 1597 1977 1823 1978 1374 1979 1416 1980 1606 1981 1259 1982 1944 1983 2292 1984 2044 1985 1407 1986 1467 1987 2005 1988 1489 1989 1582 1990 1944 Prof. franke Moda = 1673 e 1944 mm Série ordenada Total Ano (mm) 1962 955 1981 1259 1971 1286 1978 1374 1974 1381 1964 1389 1985 1407 1979 1416 1986 1467 1975 1485 1968 1488 1988 1489 1989 1582 1976 1597 1980 1606 1973 1609 1963 1673 1972 1673 1965 1770 1967 1811 1977 1823 1961 1868 1966 1875 1982 1944 1990 1944 1987 2005 1984 2044 1983 2292 1970 2824 1969 3287 Qi Qs Distância interquartílica 29

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Série original Série ordenada Total Ano (mm) 1961 1868 1962 955 1963 1673 1964 1389 1965 1770 1966 1875 1967 1811 1968 1488 1969 3287 1970 2824 1971 1286 1972 1673 1973 1609 1974 1381 1975 1485 1976 1597 1977 1823 1978 1374 1979 1416 1980 1606 1981 1259 1982 1944 1983 2292 1984 2044 1985 1407 1986 1467 1987 2005 1988 1489 1989 1582 1990 1944 Orde m Ano Total (mm) 1 1962 955 2 1981 1259 3 1971 1286 4 1978 1374 5 1974 1381 6 1964 1389 7 1985 1407 8 1979 1416 9 1986 1467 10 1975 1485 11 1968 1488 12 1988 1489 13 1989 1582 14 1976 1597 15 1980 1606 16 1973 1609 17 1963 1673 18 1972 1673 19 1965 1770 20 1967 1811 21 1977 1823 22 1961 1868 23 1966 1875 24 1982 1944 25 1990 1944 26 1987 2005 27 1984 2044 28 1983 2292 29 1970 2824 30 1969 3287 Prof. franke Moda = 1673 e 1944 mm 31

Figura 5 Posição dos quartis e extremos em distribuições diferentes quanto à dispersão e assimetria. Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 32

4.5.2 Diagrama de caixas (Box plot) Trata-se de um retângulo que representa o desvio interquartílico. Este retângulo representa, portanto, a faixa dos 50% dos valores mais típicos da distribuição Ele é dividido no valor correspondente à mediana; assim, indica o quartil inferior, a mediana e o quartil superior Prof. franke 33

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O coeficiente de Gini é um dos principais índices de desigualdade utilizados. O Gini é uma medida de desigualdade desenvolvida pelo estatístico italiano Corrado Gini e publicada no documento Variabilità e Mutabilità em 1912. Esse índice é comumente utilizado para calcular a desigualdade de distribuição de renda, mas pode ser usada também para qualquer distribuição, como concentração de terra, riqueza entre outras. Ele consiste em um número entre 0 e 1, onde: Índice 0 (zero) corresponde à completa igualdade de renda (onde todos têm a mesma renda), e; Índice 1 (um) corresponde à completa desigualdade (onde uma pessoa tem toda a renda, e as demais nada têm). A construção do coeficiente de Gini é baseado na Curva de Lorenz. Prof. franke 35

4.6.1 Definição da Curva de Lorenz É uma curva que mostra como a proporção acumulada da renda (q i ) varia em função da proporção acumulada da população ( i ), estando os indivíduos ordenados pelos valores crescentes da renda. Como a diagonal principal divide o quadrado em partes iguais, qualquer ponto nessa reta é um ponto em que os valores da abscissa e ordenada são iguais. Prof. franke 36

4.6.2 Coeficiente de Gini Para calcular o índice de Gini usa-se frequentemente a equação de Brown Onde: X = proporção acumulada da população Y= proporção acumulada da renda Para facilitar os cálculos pode-se usar uma forma equivalente, usando distribuição de frequências Onde: Q i = proporção de renda e P i = proporção da população Prof. franke 37

Exemplo: Calcule o índice de Gini para a distribuição dos salários mensais dos trabalhadores de uma empresa. Pessoa Salário Pessoa Salário Pessoa Salário 1 3200 16 600 31 600 2 1800 17 2500 32 300 3 1200 18 1500 33 480 4 600 19 360 34 480 5 5000 20 1200 35 480 6 3000 21 1680 36 600 7 2700 22 2300 37 720 8 1360 23 1094 38 400 9 750 24 1045 39 715 10 600 25 2625 40 960 11 150 26 4070 41 900 12 600 27 3565 42 400 13 700 28 2855 43 600 14 100 29 600 15 600 30 600 Parâmetros da tabela freq n =43 Máximo=5000 Mínimo=100 Amplitude=4900 n. classes=7 Intervalo classses =700 Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 38

Procedimento para cálculo do IGini (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Faixas de salários (R$) [100;800) [800;1500) [1500;2200) [2200; 2900) [2900;3600) [3600; 4300) [4300;5000] Ponto médio Frequência, pessoas (f i ) 23 8 2 5 3 1 1 Frequência acumulada (fa) 23 31 33 38 41 42 43 P. Médio X frequência 10.350 9.200 3.700 12.750 9.750 3.950 4.650 (6) = Acumulado da coluna (5) (7) = proporção do acumulado da população: quociente entre coluna (4) por (n) 43 (8) = proporção do acumulado da renda: quociente da coluna (6) por (54.350) (9) = Subtração da coluna (7) pela coluna (8) Acumulado P Q P-Q 450 1150 1850 2550 3250 3950 4650 10.350 19.550 23.250 36.000 47.750 49.700 54.350 0,53 0,72 0,77 0,88 0,95 0,98 1,00 0,19 0,36 0,43 0,66 0,84 0,91 1,00 0,34 0,36 0,34 0,22 0,11 0,07 0,00 Soma 43 54.350 4,83 1,44 Prof. franke 39

Frequência de trabalhadores 25 23 20 15 10 8 5 2 5 3 1 1 0 450 1150 1850 2550 3250 3950 4650 Classes de salários (R$) Figura 4 Histograma de frequência do exemplo dos trabalhadores de uma empresa Fonte: BARBETTA et al., 2010 Prof. franke 40

Porcentagem de salários (Q) Como faz a curva de Lorenz no Excel 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Porcentagem da população (P) Figura 5 Curva de Lorenz para o exemplo dos trabalhadores da empresa. Prof. franke 41

Tabela de classificação do Índice de Gini. Prof. franke 42

Figura 6 - Coeficiente de Gini para a renda dos brasileiro, no período de 1977 a 2008 Fonte: IBGE, 2013. Prof. franke 43

Índice de gini 0,700 0,650 0,600 0,550 0,500 0,450 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,622 0,604 0,593 0,582 0,589 0,594 0,588 0,596 0,587 0,599 0,615 0,634 0,612 desigualdade de renda no Brasil 0,602 0,5990,6000,6000,598 0,592 0,593 0,580 0,587 0,581 0,569 0,5660,5590,552 0,544 0,000 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 Figura 6 - Coeficiente de Gini para a renda dos brasileiro, no período de 1977 a 2008 Fonte: IBGE, 2013. Anos Prof. franke 44

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