Transferência de Calor na Interface Metal-Molde Durante a Fundição Centrífuga 1 Santiago Vacca 2 Marcelo A. Martorano 3 Romulo Heringer 4 Mario Boccalini Jr 5 Resumo O coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde foi determinado durante a fundição centrífuga de um tubo de uma liga ferrosa utilizando-se o método do domínio completo. Este método busca o melhor ajuste entre as curvas de resfriamento medidas no interior do metal e as curvas calculadas por um modelo de transferência de calor. As curvas de resfriamento experimentais foram medidas a partir de termopares em contato com o metal e com o molde, sob movimento de rotação. O coeficiente de transferência de calor obtido por este modelo apresenta valores iniciais elevados, decrescendo bruscamente em um período de 400 s. Um modelo matemático simples para a transferência de calor na interface metal-molde a partir da condução do gás presente no vão e da radiação neste vão forneceu valores da mesma ordem de grandeza dos cálculos complexos realizados pelo método da solução inversa. Palavras-chave: fundição centrífuga, coeficiente de transferência de calor, interface metal-molde. Heat Transfer Coefficient at Metal-Mould Interface During Centrifugal Casting Abstract The heat transfer coefficient at the metal-mould interface was obtained during the centrifugal casting of a ferrous alloy tube by the whole domain method, which searches for the best agreement between experimental and calculated cooling curves. The experimental curves were measured using thermocouples inserted into the metal and into the rotating mold. The heat transfer coefficient obtained by this method is relatively large at the beginning, but decreases abruptly during a period of about 400s. A simple mathematical model for the heat transfer at the metal-mold interface considering radiation and heat conduction in the gas within the gap between the two surfaces in contact yield values that are of the same order of magnitude as those obtained by the more complex whole domain method. Keywords: centrifugal casting, heat transfer coefficient, metal-mould interface. 1 XV Congresso de Fundição, CONAF 2011. 2 Professor da Universidad de la República de Uruguay, Bolsista CAPES/Brasil, Aluno de mestrado da Universidade de São Paulo, Av. Prof. Mello Moraes, 2463, São Paulo, SP, Brasil, CEP 05508-900. 3 Professor, Universidade de São Paulo, Av. Prof. Mello Moraes, 2463, São Paulo, SP, Brasil, CEP 05508-900. 4 Professor, Universidade Federal da Paraíba, Centro de Tecnologia, João Pessoa, PA, CEP 58051-900. 5 Pesquisador, Instituto de Pesquisas Tecnológicas, Av. Prof. Almeida Prado, 532, São Paulo, SP, Brasil, CEP 05508-901.
1 INTRODUÇÃO A fundição centrífuga é um importante processo industrial de fundição utilizado na fabricação de produtos com geometria de revolução, notoriamente tubos. Para fabricação destes tubos, o processo consiste em um molde cilíndrico em posição vertical ou horizontal, que gira com uma velocidade de rotação fixa. Após o vazamento do metal líquido no interior do molde cilíndrico, forma-se uma camada de líquido aderida à superfície interna devido à ação da força centrífuga. O calor é extraído pelo molde através da interface metal-molde e o liquido começa a solidificar a partir de uma frente que surge na sua superfície externa, que coincide com a interface metal-molde, e caminha para as regiões mais internas. Devido ao calor trocado entre a superfície interna da camada de metal líquido (superfície livre) e a atmosfera interna, pode surgir ainda uma outra frente de solidificação nesta superfície, deslocando-se para a interface metal-molde. No caso da superfície livre do metal, uma parte importante do fluxo de calor de saída pode existir devido à radiação. O cálculo do coeficiente de transferência de calor na interface entre o metal e o molde utilizando o chamado método do domínio completo ("whole domain method") envolve a medida de curvas de resfriamento no interior do metal, que gira em conjunto com o molde. Atualmente estas medidas podem ser realizadas facilmente em moldes estáticos utilizando-se termopares imersos no metal e conectados por cabos de compensação a um sistema de aquisição de dados computadorizado. Devido ao movimento de rotação do molde, a aplicação deste método para medidas de curvas de resfriamento na fundição centrífuga apresenta inúmeras dificuldades. As dificuldades são ainda maiores no caso da fundição de ligas ferrosas devido às maiores temperaturas de vazamento em comparação ao caso das ligas nãoferrosas. Estas dificuldades explicam a inexistência na literatura de dados experimentais de curvas de resfriamento medidas no interior do metal durante a fundição centrífuga. Conseqüentemente, também não há dados de coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde para o processo de fundição centrífuga. O objetivo do presente trabalho é medir as curvas de resfriamento durante a fundição centrífuga de uma liga Fe-C e calcular o coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde utilizando o método do domínio completo e as curvas de resfriamento medidas tanto no interior do metal como do molde em rotação. 2 MEDIDA DAS CURVAS DE RESFRIAMENTO Uma carga de composição final Fe-2,88%C-0,19%Si-0,40%Mn (%peso) foi fundida em um forno a indução e vazada em uma panela intermediária para transporte do metal líquido até a região do molde. O molde utilizado é típico do processo de fundição centrífuga horizontal com uma cavidade cilíndrica girando com velocidade angular constante igual a 900 rpm, resultando em uma aceleração centrípeta de aproximadamente 53G, onde G é a aceleração da gravidade. O metal líquido foi vazado a uma temperatura de 1440 o C durante um período de 21 s para o interior do molde, pré-aquecido a uma temperatura de 65⁰C na sua superfície interna. Um dispositivo foi desenvolvido para a medição de curvas de resfriamento no molde e metal líquido durante a rotação (3). O dispositivo foi fixado no molde em rotação e consistiu de dois termopares do tipo R (Pt-13%Rh/Pt) posicionados para medir a
temperatura no interior do metal em duas distâncias diferentes em relação à interface metal-molde. Além disso, um terceiro termopar, neste caso do tipo K (Cromel-Alumel), foi inserido para medir a temperatura na parede do molde, próximo à interface metal-molde. A isolação entre os termopares e o metal, servindo também como blindagem a ruídos e suporte para os fios dos termopares, foi realizada com metais refratários (tântalo e nióbio) para suportar as elevadas temperaturas atingidas durante o vazamento e a solidificação. De forma geral, o dispositivo foi projetado para diminuir a inércia térmica, melhorando a precisão de medida. Os termopares em contado com o metal foram posicionadas às distâncias de 35mm (T1) e 20mm (T2) da interface metal-molde, enquanto o termopar inserido na parede do molde foi posicionado à 1mm (T3) da interface metal-molde. 3 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ATRAVÉS DA SOLUÇÃO INVERSA O método do domínio completo para o cálculo do coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde nos processos de fundição baseia-se na solução inversa de um modelo matemático para a condução de calor com mudança de fase (solidificação) no interior do metal. Na solução direta deste modelo, tem-se como objetivo o cálculo das curvas de resfriamento a partir de valores conhecidos do coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde (h ext ). Por outro lado, na solução inversa objetiva-se o cálculo deste coeficiente a partir de curvas de resfriamento medidas. Tanto na solução direta como inversa, é necessário construir um modelo matemático para a transferência de calor no interior do metal antes, durante e após a solidificação. Este modelo foi construído a partir da aplicação da equação da condução de calor com mudança de fase em coordenadas cilíndricas. A evolução da fração de sólido com a temperatura foi assumida obedecer à regra das alavancas de equilíbrio. A liga estudada foi considerada solidificar segundo o diagrama de fases binário do sistema Fe-Fe 3 C, utilizando um carbono equivalente de 2,96%, calculado com base na composição apresentada anteriormente. As linhas liquidus e solidus do diagrama de fases binário no trecho entre a temperatura liquidus da liga (T l = 1304 o C) e a temperatura do eutético (T E = 1148 o C) foram aproximadas por retas, considerando a concentração eutética C E = 4,3%C e a concentração no sólido em equilíbrio com o líquido nas temperaturas liquidus e do eutético como 1,15%C e 2,11%C (C SE ), respectivamente. Utilizando esta aproximação, a equação que fornece a fração de sólido em função da temperatura segundo a regra das alavancas pode ser escrito como ε = T T T T 1 (1 k ) k = C + 1,3 C + 1,3 (1) onde ε a fração de sólido; k é um coeficiente de partição de soluto modificado pela constante 1,3, e T (1806 o C) é uma temperatura de fusão também modificada, ambos válidos para o diagrama binário utilizado. Estas modificações são decorrentes da aproximação das linhas liquidus e solidus do diagrama binário Fe- F 3 C por linhas retas especificamente no intervalo de solidificação desta liga. Durante a solidificação do eutético em uma determinada região, a temperatura foi fixada na temperatura eutética e a fração de sólido calculada a partir da equação de condução de calor com mudança de fase, a ser descrita a seguir.
Considerou-se a transferência de calor apenas na direção radial, desprezando-se os efeitos de borda e assumiu-se que o fluxo total de calor que deixa a superfície interna consiste de dois componentes: um devido à convecção, e outro devido à radiação. A equação diferencial de condução de calor para um sistemas de coordenadas cilíndricas localizado no eixo de rotação do molde e as condições de contorno e inicial empregadas no modelo estão apresentadas abaixo, respectivamente ρc T t = 1 r T rk r r + ΔH ρ ε t Fεσ(T T ) + h (T T) = k T r em r = R k T r = h (T T ) em r = R T(r, t = 0) = T onde T é a temperatura, t é o tempo, r é a coordenada radial, R int é o raio interior da camada de metal em solidificação (0.085m), R ext é o raio interno do molde (0.15m), ρ é a densidade (7860 kg/m 3 ) (7), c é o calor especifico a pressão constante, k é a condutividade térmica (c e k são obtidas de Pelhke (2) como funções da temperatura), ΔH f o é calor de fusão (274.32x10 3 J/Kg) (7), F o fator de vista de um ponto da superfície interna do metal para a região externa do cilindro através das extremidades (0,025), ε é a emissividade da superfície interior do metal (0.7) (7), σ é a constante de Stefan-Boltzman, T a é a temperatura do meio ambiente (25 C), T 3 é uma temperatura medida na parede do molde, próximo da interface metal-molde, h int o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície interna do metal e o meio ambiente (49 W/m 2 K) e T i é a temperatura inicial (1309 C), obtida a partir de medidas experimentais. As equações diferenciais e algébricas do modelo foram solucionadas pelo método dos volumes finitos no esquema de discretização implícito. Este método foi implementado na linguagem de computação ANSI C a partir da construção de um código computacional. Para validar o código implementado, este foi ajustado para solucionar um problema de solidificação eutética (intervalo de solidificação nulo) de um cilindro maciço de metal líquido, com extração de calor na superfície descrita por um coeficiente de transferência de calor constante. A temperatura de referência para o cálculo do fluxo de calor (equivalente a T 3 no modelo descrito anteriormente) foi assumida constante e a temperatura inicial do cilindro foi assumida uniforme e igual à temperatura eutética. A validação foi feita comparando-se os resultados do algoritmo com a solução numérica apresentada por Tao (4), como mostra a Figura 1, apresentando uma aderência excelente. (2) (3)
Figura 1. Comparação entre a coordenada radial da frente de solidificação (R i ) na forma adimensional, R = R /R, calculada pelo presente modelo de solidificação e obtida por Tao (4) em função do tempo adimensional, t = ( ), onde T E é a temperatura do eutético. A solução foi obtida para malha de 50 volumes finitos e um passo de tempo de 10s. As condições de solidificação são definidas por Bi=h ext R ext /k e Ste=c(T E -T a )/ΔH f. A solução inversa do modelo matemático para a solidificação do cilindro anular (tubo centrifugado) descrito nas Eqs. (2) a (3) foi obtida através do método do domínio completo (1), permitindo a determinação do coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde, h ext. De forma geral, o método do domínio completo procura o valor de h ext que resulta no menor erro quadrático entre as temperaturas medidas pelos termopares e as temperaturas calculadas pelo modelo de solidificação descrito anteriormente. Logo, este método é simplesmente um método de otimização não-linear que busca o valor mínimo da função-objetiva abaixo Eq = TCr, t, h T (r, t) (4) onde T (r, t) são as temperaturas medidas experimentalmente na posição r e tempo t; TCr, t, h é a temperatura calculada e h um vetor definido por h 0,h 1,h 2, h n, que são parâmetros internos de alguma função utilizada para definir o comportamento de h ext em função do tempo ou temperatura. Utilizando-se o método do domínio completo, obtém-se o sistema abaixo de equações que deve ser solucionado diversas vezes até que se atinja um mínimo em Eq: TCr, t, h TCr, t, h h h h + + TCr, t, h h = TCr, t, h T (r, t) TCr, t, h h TCr, t, h h i = 1,, n h (5) onde h i é o valor que deve ser incrementado no coeficiente h i. Desta forma, cada resolução do sistema fornece um conjunto de valores que deve ser adicionado a
cada termo h i que define o h ext. O processo seqüencial de resolução do sistema é interrompido quando se atinge o valor mínimo de Eq. 5 CURVAS DE RESFRIAMENTO MEDIDAS E RESULTADOS DA SOLUÇÃO INVERSA As curvas de resfriamento denominadas anteriormente como T1, T2, e T3 estão apresentadas na Figura 2. No momento do vazamento, em aproximadamente 250s, observa-se um aumento súbito nas temperaturas localizadas no interior do metal (T1 e T2) e do molde (T3). Inicialmente T2, que esta localizado mais próximo ao molde era maior do que T1, provavelmente devido a uma maior temperatura do primeiro líquido vazado, que deve atingir a posição de T2. Posteriormente, ocorre uma inversão definida pela extração de calor pelo molde, ou seja, as temperaturas medidas em T2, que estão mais próximas da interface metal molde, passam a ser menores. A temperatura T3 sofre um aumento de temperatura logo após o vazamento e, após aproximadamente 450 s, passa a ser constante, igual a cerca de 276 C. Esta medida está consistente com a hipótese de temperatura constante no molde utilizada para se obter soluções analíticas aproximadas para o problemas da solidificação (8). Nas temperaturas T1 e T2 observa-se uma mudança de inclinação em aproximadamente 1200s, correspondendo a uma temperatura de aproximadamente 1000⁰C, aparentemente abaixo da temperatura eutética (1148 o C). Esta discrepância pode indicar a existência de um super-resfriamento para o crescimento do eutético e imprecisões de medidas dos termopares. Figura 2. Curvas de resfriamento experimentais. No metal, T1 a 35mm e T2 20mm da interface metal molde, e no molde, T3 a 1mm da interface. Para obtenção da solução inversa, o modelo matemático para a solidificação do metal foi utilizado com uma malha de 30 volumes finitos uniformemente distribuídos na direção radial, e um passo de tempo de 0,5 s. A função adotada para representar h ext = h ext (t) foi um conjunto de segmentos de reta conectando quatro valores de h i desconhecidos (a serem determinados pela solução inversa) em quatro instantes de
tempo previamente definidos como 0, 400, 1200 e 2858 s, englobando todo o intervalo das curvas de resfriamento medidas. Na Figura 3 está apresentada o coeficiente de transferência de calor (h ext ) obtido a partir da solução inversa em função do tempo. O h ext apresenta um valor inicialmente elevado de aproximadamente 750 W/m 2 K, seguido de um decaimento brusco até 400 s, estacionando em aproximadamente 150 W/m 2 K. Estes valores são relativamente baixos quando comparados a medidas na fundição estática (1). A partir destes valores de h ext, foi calculada a temperatura na superfície do metal em contato com o molde em função do tempo, como mostrado na Figura 3..Esta curva de resfriamento apresenta uma aumento relativamente brusco em aproximadamente 250 s, que poderia ser interpretado como uma recalescência. No entanto, um exame da curva de h ext mostra que este aumento de temperatura está relacionado com a diminuição brusca em h ext. Uma diminuição abrupta deste coeficiente decresce repentinamente o fluxo de calor da superfície do metal para o molde. No entanto, o fluxo de calor que atravessa a casca solidificada ainda é alto e apresenta uma inércia térmica, demorando mais para se ajustar às novas condições de extração. Logo, um balanço de energia permite concluir sobre a existência de um acúmulo de energia no sólido junto à interface com o molde, resultando em um aumento de temperatura, como observado. Figura 3. Coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde, hext, obtido a partir da solução inversa e a temperatura do metal na interface metal-molde, Tsup, em função do tempo calculada utilizando-se o hext obtido a partir da solução inversa. Uma verificação importante que indica se o modelo escolhido para a transferência de calor no interior do metal é adequado e se o método de minimização empregado na solução inversa está funcionando corretamente é a comparação entre as curvas de resfriamento medidas e as calculadas pelo modelo de solidificação utilizando o h ext obtido pela solução inversa. Esta comparação está apresentada na Figura 4, onde se observa uma boa aderência entre estas curvas, mostrando a boa qualidade da metodologia adotada para o cálculo do h ext.
Figura 4. Curvas de resfriamento em T1 e T2 calculadas na solução inversa e experimentais,t1exp e T2exp. 4 MODELO PARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR NA INTERFACE METAL MOLDE No item anterior foram apresentados resultados da solução inversa para o coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde, h ext, em função do tempo. No presente item, o coeficiente h ext será estimado a partir dos mecanismos fundamentais de transferência de calor que ocorrem na interface metal-molde. Em uma primeira abordagem, será assumido que a transferência de calor ocorre na interface metal-molde devido a dois mecanismos paralelos: (1) condução de calor no gás presente no vão ("gap") entre a superfície externa do tubo e a superfície interna do molde e (2) transferência de calor por radiação entre estas duas superfícies. O cálculo da primeira parcela depende da evolução da espessura do vão. A formação e evolução do vão pode ser dividida em dois estágios: um estágio inicial de contato "conformante", onde as duas superfícies (metal e molde) estão em contato nos picos maiores de suas rugosidades, e um estágio posterior de vão contínuo, quando a casca solidificada começa a se contrair e descolar da parede interna do molde. Será assumido que o segundo estágio (vão contínuo) tem início quando a superfície externa do metal atinge a temperatura do eutético, formando uma casca completamente sólida. Desta forma, a contração pode ser calculada utilizando o coeficiente de expansão térmica linear do metal,, e desprezando-se as alterações na dimensão do molde em contato. Durante o contato conformante, adotou-se um valor fixo para a espessura do vão igual a x 0. Desta forma, o modelo matemático final para o coeficiente de transferência de calor na interface metal molde, h, foi definido como h = 1 h + k x (6)
x = R α(t T ) + x h = FεσT, + T T, + T onde x representa a espessura do vão presente na interface metal-molde, α é o coeficiente de expansão térmica linear do metal sólido (16x10-6 K -1 ) (7), h rad o coeficiente de transferência de calor por radiação através do vão; T 3 é a temperatura medida na parede do molde, que foi considerada constante (276 C), T sup,met é a temperatura na superfície externa do metal e k ar é a condutividade térmica do ar no vão (0.1 W/mK) (6). Durante o contato conformante, o cálculo da espessura do vão, x 0, é mais complexo, pois depende da rugosidade superficial na superfície externa do metal e interna do molde. Desta forma, x 0 foi obtido como o valor que fornece o coeficiente calculado pela solução inversa, h, quando a temperatura na superfície externa do metal, T, = T, ou seja, no instante inicial do segundo estágio de evolução do vão. Desta forma, impõe-se h = h para T, = T, obtendo-se x 0 = 380 m. Este valor poderia ser comparado com os maiores picos da rugosidade presente nas duas superfícies em contato. (7) (8) Figura 5. Coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde calculado pela solução inversa (h ext ) e pelo modelo matemático proposto ( ext M ) em função da temperatura do metal na superfície externa (T sup,met ) em contato com o molde. Na Figura 5 os valores do coeficiente de transferência de calor na interface metalmolde obtidos pelo método da solução inversa, h, e pelo modelo proposto no presente trabalho, h, estão comparados em função da temperatura na superfície externa do metal, T,. Estas temperaturas foram obtidas a partir do modelo de solidificação utilizando-se h obtido pela solução inversa. Apesar dos comportamentos diferentes mostrados pelos dois tipos de cálculos, as ordens de grandeza dois valores obtidos são semelhantes. Como o modelo matemático proposto pelas Eqs. (6) a (8) para a formação e transferência de calor no vão é muito simples, considera-se que a aderência foi muito boa.
6 CONCLUSÕES Curvas de resfriamento foram medidas em duas posições no interior do metal líquido e em uma posição na parede do molde durante a fundição centrífuga de uma liga Fe-C. Um dispositivo especial foi desenvolvido para possibilitar a medida das curvas de resfriamento neste processo, onde a solidificação ocorre sob movimento de rotação. Estas curvas de resfriamento medidas foram utilizadas para obtenção da solução inversa de um modelo que representa a transferência de calor no interior do metal antes, durante e após a solidificação. A solução inversa, baseada no método do domínio completo, permitiu o cálculo do coeficiente de transferência de calor na interface metal-molde em função do tempo durante a fundição centrífuga. Este coeficiente apresenta os maiores valores logo após o vazamento, decrescendo bruscamente em um período de 400 s. Um modelo simples para o coeficiente de transferência de calor baseado na formação de um vão entre a superfície externa do metal e interna do molde, considerando os mecanismos de condução no gás presente neste vão e transferência por radiação, foi proposto. Os valores calculados por este modelo simples mostraram-se da mesma ordem de grandeza dos calculados pela solução inversa. Agradecimentos Um dos autores (S. V.) agradece a CAPES pela concessão da bolsa de mestrado. REFERÊNCIAS 1. M. A. Martorano, J.D.T. Capocchi. "Heat Transfer Coeficient at the Metal- Mould Interface in The Unidirectional Solidification of Cu-8%Sn Alloys." (2000). 2. Pehlke, Robert D. Summary of Thermal Properties for Casting Alloys and Mold Materials. University of Michigan, 1982. 3. Romulo Heringer, Mario Boccalini Jr., Marcelo A. Martorano, Claudia r. Serantoni. "Measurement of Cooling Curves in Centrifugal Casting of a Ferrous Alloy." Proceedings of 2008 ASME Summer Heat Transfer Conference. n.d. 4. TAO, LC. "Generalized Numerical Solutions Of Freezing A Saturated Liquid In Cylinders And Spheres." AICHE JOURNAL, Vol.13, Iss.1 (1967). 5. ASM Handbook Volume 1: Properties and Selection: Irons, Steels, and High- Performance Alloys. ASM International, 1990. 6. Frank P. Incropera, David P. DeWitt. Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 5th Edition. Wiley, 2001. 7. E A Brandes, G B Brook. Smithells Metals Reference Book, Seventh Edition. Butterworth-Heinemann, 1998. 8. A. Garcia; T.W. Clyne; M. Prates. Mathematical model for the unidirectional solidification of metals - II. Massive molds. Metallurgical Transactions B,,v.10B, p.85-92, 1979.