REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DO GEOGEBRA E DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS

REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DO GEOGEBRA E DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS Karla Aparecida Lovis * Universidade Estadual de Maringá karlalovis@hotmail.com Valdeni Soliani Franco ** Universidade Estadual de Maringá vsfranco@uem.br Vanderléa Mendes de Lima *** Universidade Estadual de Maringá vmlima2@uem.br Resumo: O artigo relata os resultados obtidos em uma pesquisa realizada com 25 (vinte e cinco) professores de Matemática, participantes de um minicurso que abordou o uso do software GeoGebra e de materiais manipuláveis no ensino da Geometria Fractal. Durante o curso foram apresentados e explorados, por meio de atividades com o GeoGebra e Materiais Manipuláveis, conceitos e resultados da Geometria Fractal, bem como da Geometria Euclidiana Plana. O curso foi realizado, em uma cidade do noroeste do estado do Paraná, em turnos de 08 horas, em três dias, perfazendo um total de 24 horas e realizado a cada 15 dias. No decorrer do curso observou-se que os professores se mostraram interessados em aprender a Geometria Fractal por meio da utilização do GeoGebra e dos materiais concretos disponibilizados. Quanto às atividades, os professores as consideraram atrativas e estimulantes, além de propícias para aplicação em sala de aula, bem como a possibilidade de explorar conceitos de ambas as Geometrias. Uma reflexão sobre os resultados obtidos leva-nos a concluir que a introdução da Geometria Fractal na Educação Básica, pode ter um efeito de ampliar as discussões de conceitos e resultados da própria Geometria Euclidiana, muitas vezes não discutida em sala de aula. Palavras-chave: Educação Matemática. Fractais. GeoGebra. Materiais Manipuláveis. Introdução * Doutora em Educação Para a Ciência e a Matemática (UEM). Professora do Instituto Federal Catarinense (IFC-Concórdia). karlalovis@hotmail.com ** Doutor em Matemática (ICMC/USP-São Carlos). Professor Associado da Universidade Estadual de Maringá (UEM).vsfranco@uem.br *** Mestre em Matemática (UEM). Professora Assistente da Universidade Estadual de Maringá (UEM). vmlima2@uem.br

No Paraná, as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática (PARANÁ, 2008) recomendam a abordagem da Geometria Fractal tanto para o Ensino Fundamental quanto para o Ensino Médio. Segundo o documento: [...] na geometria dos fractais, pode-se explorar: o floco de neve e a curva de Koch, triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para as suas propriedades (PARANÁ, 2008, p.56). A Geometria Fractal é um conceito relativamente novo no contexto escolar. Por meio de buscas nas estruturas curriculares de cursos de formação de professores de matemática, percebe-se que este conteúdo não está presente nas estruturas curriculares, principalmente com um enfoque voltado para o seu ensino. Acredita-se que foi com a inclusão deste conteúdo na Educação Básica, que a maioria dos professores de Matemática tomou conhecimento da existência dessa Geometria. Diante desta inclusão, têm-se então algumas indagações: depois de seis anos como parte dos conteúdos estruturantes de Geometria das DCE, que conhecimentos os professores possuem sobre o assunto? Eles já estão preparados para trabalhar este tema em suas aulas? Como os professores se sentem em relação à inserção deste tema na proposta curricular? Foram questionamentos como esses que motivaram a preparação e aplicação do curso: Trabalhando com Fractais na Educação Básica com diferentes abordagens. O curso foi realizado, em uma cidade do noroeste do estado do Paraná, em turnos de 08 horas, divididos em dois períodos de um dia, e trabalhado em três dias, perfazendo assim, um total de 24 horas, com intervalos de 15 dias entre cada dia de aula. Participaram da pesquisa 25 professores de matemática. Os resultados foram coletados por meio de questionários realizados durante o curso, no início e no final, além de postagens enviadas pelos participantes para os pesquisadores após a aplicação de algumas atividades em sala de aula. Para introduzir o assunto foi discutido inicialmente o conjunto de Mandelbrot. Este conjunto foi construído e estudado na década de 1970, é um dos fractais mais conhecidos. Ele é definido como o subconjunto do plano complexo de todos os pontos c para os quais a sequência z 0 = 0

construída por iteração, é limitada. z n+1 = (z n ) 2 +c, Por exemplo, se c = 1, obtém-se a sequência 0, 1, 2, 5, 26,..., que diverge. Logo, esta sequência não é limitada e, portanto, o número complexo 1 + 0i não é um elemento que pertence ao conjunto de Mandelbrot, e assim o ponto (1,0) no eixo das abcissas no plano complexo de Argand-Gauss não é assinalado. Ao considerar c = 1, obtém-se, por iteração, a sequência 0, 1, 0, 1,..., que é limitada. Logo, o número complexo 1 + 0i pertence ao conjunto, e assim o ponto ( 1,0) do eixo das abcissas no plano complexo de Argand-Gauss deve ser assinalado. Por meio do uso de computador, a construção é realizada utilizando-se todos os números complexos, obtendo-se a figura seguir. Figura 1: Conjunto de Mandelbrot Fonte: Disponível em <http://msdn.microsoft.com/pt-br/library/jj635753%28v=vs.85%29.aspx> Acesso em: 30 abr. 2014 Se a Figura 1 for ampliada, observa-se a característica que os fractais possuem o conjunto constitui uma imagem de si próprio em cada uma de suas partes. Esse fato pode auxiliar a construir uma definição em uma forma coloquial, que será feita mais adiante. Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento da teoria. A noção inicial foi introduzida por Benoit Mandelbrot por meio do neologismo "Fractal", que provém do adjetivo latino fractus, que significa irregular ou quebrado. Uma primeira definição matemática dada pelo próprio Mandelbrot é assim descrita: um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff- Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica (BARBOSA, 2005, p. 18). No

decorrer dos últimos anos ficou claro que esta maneira de descrever os Fractais era muito restritiva embora tivesse motivações pertinentes. Em outra abordagem, ainda em nível complexo para compreensão é a que considera que um Fractal é o ponto fixo de um sistema de funções iteradas num espaço métrico munido de uma métrica de Hausdorff (ALVES, 2007, p. 7). Segundo Alves: Os fractais definidos por sistemas de funções iteradas constituem apenas uma pequena classe dos fractais, mas esta forma de construir fractais é muito útil para trabalhar o conceito de fractal com os alunos dos ensinos básico e secundário porque, por um lado é simples de entender e, por outro, pode interligar muitos conceitos matemáticos (ALVES, 2007, p. 4). A Geometria Fractal refere-se ao estudo de formas geométricas chamadas, pelo seu iniciador Benoit Mandelbrot, de Fractais. Essas formas geométricas possuem as propriedades de autossimilaridade e complexidade infinita. Essa seria uma maneira menos formal para explicar o que é um fractal para pessoas que não foram introduzidas em conceitos mais elaborados da topologia. A autossimilaridade refere-se a cópias aproximadas de si mesmo. O conjunto total é constituído de pequenas réplicas do mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliação considerada obtem-se sucessivas cópias do objeto inicial. Logo, visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar. A complexidade infinita significa que nunca é possível representar um fractal por completo, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. A Geometria Fractal reflete uma natureza de irregularidades. Essa Geometria descreve de uma maneira mais real, a Geometria presente na natureza. Para Mandelbrot (1983), nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta (MANDELBROT, 1983, p.1, tradução nossa). A maior parte dos objetos que encontramos no dia-a-dia não são retas, nem esferas, nem cones etc. Na natureza, em geral, mares e oceanos separam os continentes e ilhas, com suas costas, suas montanhas e rios, rochas, plantas e animais, as formas de seus componentes dominam a irregularidade. Tentar simplificar essas formas empregando formas da Geometria Euclidiana, como triângulos, círculos, esferas etc.,

seria inadequado. A importância da Geometria Fractal é que ela pode fornecer aproximações para essas formas. Ainda que em algumas formas dominem a irregularidade, é possível encontrar um padrão de semelhança. Observando, por exemplo, uma folha de algumas árvores e uma parte desta folha, o que se nota é que esta parte se assemelha a folha toda, e ao considerar uma parte ainda menor novamente percebe-se que esta também se assemelha a folha toda. Esta característica esta presente na folha da figura a seguir. Figura 2: Autosimilaridade em uma folha Fonte: Disponível em <http://cftc.cii.fc.ul.pt/ices/manual/2/fractais-geometricos.html> Acesso: em 30 abr. 2014. Esta característica da folha pode ser observada também nos galhos de algumas árvores, em uma couve-flor, no contorno de montanhas, na formação de uma nuvem, na superfície dos pulmões humanos, em algumas obras de arte, entre muitos outros. Na figura 3, Escher apresenta uma obra que tem a característica básica dos Fractais, ou seja, a autossimilaridade e complexidade infinita. Figura 3: Circle Limit III de Maurits Cornelis Escher Fonte: Disponível em <http://www.mcescher.com/gallery/recogn-bmp/lw434.jpg> Acesso em 30 abr. 2014 O fractal pode ser obtido de um elemento base aplicando certa transformação por meio de regras que se aplicam infinitamente. Por isso, de acordo com ALMEIDA

(2006), o desenvolvimento da geometria fractal está intimamente relacionado ao uso do computador, uma vez que as imagens surgem com procedimentos recursivos, bastante facilitados pelos recursos computacionais. A Curva de Koch foi um dos primeiros fractais a serem descritos e que foi trabalhado no curso. De acordo com BARBOSA (2005), esta curva foi introduzida em 1904 e 1906 pelo matemático polonês Helge Von Koch. Sua construção pode ser feita considerando um segmento de reta, dividindo-o em três partes iguais e construindo um triângulo equilátero, em que a parte central desta divisão é um dos seus lados (que chamaremos base), em seguida retira-se a base. Essa regra aplicada ao segmento permite a obtenção do elemento base ou modelo gerador da Curva de Koch, que é formado por quatro segmentos de medida 1/3 da medida do segmento inicial. Substituindo, agora, cada um dos quatros segmentos pelo modelo gerador reduzido na razão de 1/3, obtemos o nível 2. Note que fazer esta substituição é o mesmo que aplicar a cada um dos quatro segmentos a regra. Figura 4: Nível 1 (modelo gerador) e nível 2 da curva de Koch Aplicando, agora, a regra a cada um dos doze segmentos obtemos o nível 3. E o processo pode ser repetido infinitamente. Observa-se que da própria construção resulta a autossimilaridade. Figura 5: Curva de Koch (nível 5) Fractais na Educação Básica

Por que aprender a Geometria Fractal para aplicar em sala de aula? Segundo Barbosa (2005), eis algumas razões: 1- Conexão com várias ciências; 2- Deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza; 3- Difusão e acesso aos computadores; 4- Existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver do senso estético com o estudo e arte aplicada à construção de fractais; 5- Sensação de surpresa diante da ordem na desordem. Muito se fala das dificuldades no ensino da Matemática, sejam dificuldades decorrentes da falta de motivação dos alunos ou dificuldades de ordem social, didática ou metodológica. O ensino tradicional da Matemática contribui para que o aluno veja as aulas de Matemática como um fardo a ser carregado durante o ano letivo e para que os índices de aprendizagem desta disciplina sejam muito baixos. Relacionar a Matemática com objetos e elementos da natureza pode fazer com que os alunos percebam a importância da Matemática. Ao trazer para a sala de aula atividades que desenvolvem o raciocínio lógico-matemático e empregam elementos do mundo concreto, o professor estará buscando um ensino que contempla as expectativas de um ensino contextualizado e motivador. Com a Geometria Fractal é possível desenvolver atividades que envolvem o uso de computadores favorecendo as visualizações, por meio dos recursos digitais, bem como o uso de materiais manipuláveis, tornando o ensino mais prazeroso com a realização de atividades diferenciadas, além de poder trabalhar, conjuntamente, conceitos da Geometria Euclidiana Plana e conceitos como de função, de progressão geométrica, proporcionalidade, cálculo de áreas e operações numéricas e, também trabalhar com formas geométricas e manuseio de régua e compasso. Fractais, GeoGebra e Materiais Manipuláveis Ao explorar os Fractais no GeoGebra e com materiais manipuláveis, o objetivo foi introduzir os conceitos fundamentais da Geometria Fractal como a autossimilaridade e a complexidade infinita, além de destacar aspectos da Geometria Euclidiana e

verificar a integração da Matemática com a arte devido aos belos visuais que os Fractais apresentam. No primeiro dia do curso foram construídos, no Geogebra, os fractais Curva de Koch, Floco de Neve, Triângulo de Sierpinski e o Fractal Pentagonal de Durer. O primeiro foi apresentado na Figura 5 e os outros três são apresentados nas figuras a seguir. Figura 6: Floco de Neve (nível 4) Figura 7: Triângulo de Sierpinski (nível 4) Figura 8: Fractal Pentagonal de Durer (nível 4) Para todas essas construções foi realizada uma exploração geométrica. Aqui será destacada a exploração do Floco de Neve. Na tabela abaixo temos a relação de números de segmentos e do comprimento de cada segmento em cada iteração e também o perímetro do Floco de Neve. Supomos que iniciamos com um triângulo equilátero onde cada um de seus lados tem medida igual a c. Quadro 1: Exploração do Fractal Floco de Neve Nível N de Segmentos Comprimento de cada segmento Perímetro 1 3 c = c x (1/3) 0 3 x c 2 3 x 4 = 12 c/3 = c x (1/3) 1 3 x 4 x c x (1/3) 3 3 x 4 2 = 48 c/9 = c x (1/3) 2 3 x 4 2 x c x (1/3) 2 4 3 x 4 3 = 192 c/27 = c x (1/3) 3 3 x 4 3 x c x (1/3) 3............ n 3 x 4 n-1 c x (1/3) n-1 3 x c x (4/3) n-1 No segundo dia do curso, foram realizadas atividades com materiais manipuláveis. Dentre elas, as construções, em papel cartão, dos cartões fractais Triângulo de Sierpinski e Degraus Centrais, conforme figuras a seguir.

Figura 9: Cartão Fractal Degraus Centrais (nível 4) Figura 10: Cartão Fractal Triângulo de Sierpinski (nível 4) Outra atividade realizada foi a construção de fractais por ampliação, que, diferentemente daqueles que foram construídos com redução adequada em escala para passagem de um nível para o nível consecutivo, são construídos por dilatação, pois os níveis consecutivos são dados por ampliação das escalas. Foram construídos, utilizando papel cartão e EVA, o Fractal Hexagonal tipo Durer, o Fractal Triminó e o Fractal Tapete de Sierpinski. A figura abaixo apresenta fotos dos fractais construídos pelos professores durante o curso. Figura 11: Fractal Hexagonal tipo Durer (nível 3) Figura 12:Fractal Triminó (nível 4) Figura 13:Fractal Tapete de Sierpinski (nível 2) Para as atividades realizadas no segundo dia do curso, vamos destacar a exploração do Fractal Hexagonal tipo Durer. Ao realizar esta construção, durante o curso, a aproveitamos para deduzir a fórmula para o cálculo da área de um hexágono regular e também para realizar a construção, com régua e compasso, do hexágono que

serviu como molde. Consideramos que estamos trabalhando com um hexágono regular com medida do lado igual a. Quadro 2: Exploração do Fractal Hexagonal tipo Durer Nível N de Hexagónos Perímetro total Área total 1 1 = 6 0 6 = 6 1 2 6 = 6 6 6(6 )=36 =6 2 6( ) 3 36 = 6 2 6(36 ) = 6 3 36( )............ 5 6 n-1 6 n ( ) No terceiro dia de curso, foi realizado as construções, no GeoGebra, dos Fractais: Árvores Bifurcadas, Árvore Pitagórica, Tetra Círculo e Circuntexto, todos expostos nas figuras abaixo. Figura 14: Fractal Tetra Círculo (nível 4) Figura 15: Árvore Pitagórica Fundamental (nível 3) Figura 16: Fractal Tetra Círculo (nível 3) Figura 17: Fractal Circuntexto (nível 4)

Em grande parte as construções feitas no GeoGebra foi por meio de um modelo gerador e criado uma ferramenta para obter os níveis seguintes. Após as construções, todas eram exploradas por meio de conceitos e resultados tanto da Geometria Fractal, como da Geometria Euclidiana. Vamos destacar uma das explorações do Fractal Circuntexto e do Fractal Árvore Pitagórica Fundamental. Quadro 3: Exploração do Fractal Circuntexto Nível Número de circunferências novas Total de circunferências 1 3 = 3 1 1 + 3 = 3 0 + 3 1 2 9 = 3 2 3 0 + 3 1 + 3 2 3 27 = 3 3 3 0 + 3 1 + 3 2 + 3 3......... N 3 n Note que, o total de circunferências no nível n é a soma dos n elementos de uma progressão geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão 3. Na exploração do Fractal Árvore Pitagórica Fundamental, discutimos e resolvemos um exercício da prova de vestibular de 2010 da Universidade Federal de Goiás. Figura 18: Questão 12 do Grupo 3 e 4 do 1 o dia da Segunda Fase do Vestibular da UFG, 2010. Fonte: Disponível em http://www.vestibular.ufg.br/estatisticas/2010-1/2%20etapa/grupo3_1dia.pdf Acesso em: 30 abr. 2014

Foi apresentado também aos professores, no último dia de curso, um aplicativo online disponível no endereço: http://csdt.rpi.edu/african/african_fractals/background10.html (Acesso em: 30 abr. 2014), no qual é possível traçar, com o mouse, o modelo gerador de um fractal, tipo curva de Koch e o aplicativo fornece os níveis seguintes. A figura à esquerda da figura 18, mostra um modelo gerador, e a figura à direita o nível 3, feito por meio do aplicativo. Figura 18: Fractal tipo curva de Koch (nível 3) Também foram realizadas atividades utilizando malhas. Em umas destas atividades, foi construído os três primeiros níveis de uma curva tipo curva de Koch utilizando régua. Com esta atividade foi possível trabalhar de forma enfatizada a ideia de iteração que permeia um fractal, por meio de um nível para obter o nível seguinte. As outras duas atividades com malhas consistiu em obter fractais, com o triângulo de Pascal, colorindo os múltiplos de 2 e de 3. A figura a seguir traz imagens das construções realizadas pelos professores participantes do curso. Figura 19: Fractal Tipo Curva de Koch Fonte: professores do curso Figura 20: Fractal múltiplos de 2 Fonte: professores do curso Figura 21: Fractal múltiplos de 3 Fonte: professores do curso Os professores participantes do curso e análise de alguns dados obtidos

De acordo com o questionário respondido pelos professores participantes do curso, 07 (sete) concluíram sua graduação em alguma instituição pública e os outros 18 (dezoito) em instituições privadas. Quanto à disciplina de Geometria cursada na graduação, 22 (vinte e dois) professores responderam que estudaram e 03 (três) responderam que não. Somente 04 (quatro) tiveram disciplinas específicas de informática. Porém, 22 (vinte e dois) professores disseram utilizar novas tecnologias em sala de aula e 21 (vinte e um) fizeram cursos de capacitação para desenvolver atividades de ensino com o computador. Como acreditávamos a princípio, todos os professores afirmaram que o curso auxiliou no entendimento do que é fractal, comentando que o curso trouxe várias informações que eles não tinham, esclareceu conceitos e ajudou compreender melhor a forma de inserir o conteúdo em sala de aula. Por fim, comentaram que se sentiram incentivados com as prazerosas atividades realizadas. É importante reforçar que no minicurso foi trabalhado a Geometria Fractal conceitos e resultados com o software GeoGebra e com materiais manipuláveis. No que se refere ao GeoGebra, alguns professores comentaram que não o conheciam, outros não o conheciam com a finalidade de construção de fractais. Houve dificuldade em usar o GeoGebra, em grau maior para aqueles que nunca tinham tido contato com este software. Além dessa dificuldade, outras surgiram na construção dos Fractais, principalmente em imaginar o nível seguinte a partir do modelo gerador. Esta dificuldade pôde ser observada também nas atividades com materiais manipuláveis, mas que foi sendo superada em construções posteriores. A preocupação na aplicação das atividades foi de não interferir, em excesso, na percepção das regularidades existentes nos Fractais e nas explorações feitas pelos professores. Os professores se mostraram empolgados com a realização das atividades e motivados com os conceitos e resultados que aprenderam. Ainda que muitos considerassem um desafio e não por não se sentiram plenamente preparados, consideraram importante a inclusão da Geometria Fractal na Educação Básica e se mostraram ansiosos para aplicar as atividades em sala de aula. No período que ocorreu o curso, houve professores que aplicaram algumas das atividades desenvolvidas no curso, em suas salas de aula, tais como a construção de cartões fractais e atividades utilizando o GeoGebra. Os relatos feitos por esses

professores foram bastante significativos, pois perceberam o aprendizado dos seus alunos, citando que esses tipos de atividades torna o ensino mais interativo e dinâmico, além de facilitar a compreensão dos conceitos. Eis um trecho de um desses relatos e imagens das oficinas realizadas pelos professores: A aplicação mostrou que é possível realizar um trabalho diferenciado com os alunos, estes se mostram bastante interessados e interagem muito mais do que se comparado com uma aula tradicional. Figura 22: Oficina realizada em sala de aula Figura 23: Oficina realizada em sala de aula Considerações A realização deste curso e da pesquisa com os professores justifica-se pela necessidade e pelo anseio de um ensino que aborde temas mais recentes no campo da Matemática e por uma prática docente que não seja rotineira, inserindo atividades novas e diferenciadas. Neste sentido, D Ambrosio destaca que hoje é comum nas propostas para melhoria de eficiência profissional a recomendação de evitar a rotina (D AMBROSIO, 2012, p. 95). Ainda, em relação à inserção de novas tecnologias em sala de aula, depende da natureza da prática do professor, e este curso proporcionou experiências com essas novas tecnologias. Conforme afirma Borba e Penteado (2010), O professor é desafiado constantemente a rever e ampliar seu conhecimento. Quanto mais ele se insere no mundo da informática, mais ele corre o risco de se deparar com uma situação matemática, por exemplo, que não lhe é familiar (BORBA e PENTEADO, 2010, p. 65).

Vale ressaltar que a inserção dessas novas tecnologias não depende apenas do conhecimento do professor sobre elas, mas também dos recursos técnicos, espaço físico que comporte todos os alunos de uma turma etc. O estudo dos Fractais permitiu aos professores enxergar uma possibilidade de exploração de outros conteúdos matemáticos, como operações básicas, conceitos geométricos, polígonos, progressões geométricas etc. A reflexão sobre esses resultados, leva-nos a concluir que a introdução dessa geometria na Educação Básica, pode ter um efeito de ampliar as discussões de conceitos e resultados da própria Geometria Euclidiana, às vezes não discutida em sala de aula. Foi possível observar, além disso, o aspecto motivador que as tecnologias digitais representaram aos professores, tecnologias estas que fazem parte da vida dos professores fora do ambiente escolar. Para finalizar, é importante salientar que foi relatado pelos professores, em relação ao curso, não somente a introdução de novas tecnologias, mas a forma inovadora de abordar os temas matemáticos. Referências ALMEIDA, A. A. O. Os Fractais na formação docente e sua prática na sala de aula. Dissertação (mestrado profissional em Ensino de Matemática). São Paulo: PUC, 2006. ALVES, C. M. F. S. J. Fractais: Conceitos básicos, representações gráficas e aplicações ao ensino não universitário. 2007. 324 p. Dissertação de Mestrado em Matemática para o Ensino. Universidade de Lisboa, Lisboa. BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de aula 3 a edição - Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 144p. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação Matemática 4 a edição Belo Horizonte: Autêntica, 2010. 104p. D AMBROSIO, U. Educação Matemática: Da teoria à prática 23 a edição Campinas: Papirus, 2012. 110p. MANDELBROT, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Company, 1983. 468p. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba, 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/file/diretrizes/dce_mat.pdf>.

Acesso em:21 mar. 2014.