GEOMETRIA FRACTAL: UMA EXPERIÊNCIA COM GEOGEBRA E MATERIAS MANIPULÁVEIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES

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1 GEOMETRIA FRACTAL: UMA EXPERIÊNCIA COM GEOGEBRA E MATERIAS MANIPULÁVEIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES Maria Regina Carvalho Macieira Lopes mrlopes_0@yahoo.com.br Universidade Estadual do Centro-Oeste, Departamento de Matemática Guarapuava - PR Adriana Fernandes de Matto adrianamatto@fiqnet.com.br Escola Estadual José de Anchieta Quedas do Iguaçu PR Alessandry Amaral alessandryamaral833@hotmail.com Escola Estadual José de Anchieta Quedas do Iguaçu PR Karolina Barone Ribeiro da Silva kbarone@unicentro.br Universidade Estadual do Centro-Oeste Rua Simeão Varela de Sá, n. 3. Vila Carli. Guarapuava PR Resumo: Com base nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná e nos Parâmetros Curriculares Nacionais, neste trabalho são apresentadas as atividades de uma oficina resultante de um projeto de extensão vinculado ao Departamento de Matemática da UNICENTRO, realizada com professores da educação básica. Nela foram propostas estratégias metodológicas diferenciadas para o estudo da geometria fractal, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra e materiais manipuláveis. Inicialmente foi executada uma atividade piloto com os alunos com os objetivos de verificar junto aos estudantes a viabilidade da proposta e obter subsídios para argumentar com os docentes sobre a importância da geometria fractal. Foi elaborada uma apostila com o passo a passo das construções dos principais fractais no software e disponibilizada ao cursistas. Paralelamente às construções os professores executaram os cálculos matemáticos e as generalizações solicitadas. Também foi proposta a construção de mandalas baseadas em fractais que podem ser construídos no software Nfract. Espera-se que os cursistas se tornem multiplicadores dos conhecimentos adquiridos na oficina. Palavras-chave: Fractal, GeoGebra, Material manipulável.

2 1 INTRODUÇÃO Um dos documentos norteadores das práticas docentes são as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná (PARANÁ, 2008). Nelas, o conteúdo estruturante Geometrias se desdobra, tanto para o ensino fundamental, quanto para o médio, em noções básicas de geometrias não euclidianas. Dentre as últimas, encontra-se a geometria dos fractais. Nas Diretrizes não há orientação específica sobre o que deve ser ensinado acerca do assunto no ensino fundamental. Contudo, para o ensino médio, sugere-se (PARANÁ, 2008, p. 57) [...] explorar: o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para as suas propriedades, através da regularidade harmoniosa nas suas próprias irregularidades (BARBOSA, 2005, p. 14). As Diretrizes destacam ainda que os conteúdos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática, como por exemplo, as mídias tecnológicas. Sobre seu uso, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 43) afirmam que ele [...] relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas; possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. Na sala de aula, mídias como softwares de geometria dinâmica vêm contribuindo, por exemplo, em atividades de investigação, possibilitando que por meio de uma única construção, utilizando o recurso de movimentação de pontos, em questão de segundos o estudante obtenha uma variação da figura original, acarretando a dinamização do processo de ensino e aprendizagem, quando comparado ao uso de lápis e papel para o desenvolvimento das mesmas tarefas. Nas escolas públicas estaduais do Paraná, todos os laboratórios de informática estão equipados com o GeoGebra (GONÇALVES, 2011), que segundo seu site oficial 1 é um software de matemática dinâmica gratuito e multi-plataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Há alguns anos o GeoGebra vem sendo utilizado em propostas de atividades envolvendo a geometria fractal, conforme relatado a seguir. Fuzzo, Santos e Ferreira (2011), sugerem a construção de diferentes níveis da curva de Koch com o auxílio do software, visando a observação de características do fractal, como estrutura fina e auto-semelhança, além da realização de atividades algébricas para determinação do comprimento total da curva em cada nível. Faria e Maltempi (2012, p. II) apresentam uma discussão sobre como o GeoGebra atua no desenvolvimento de atividades de manipulação e análise de padrões fractais, por meio da construção dos seguintes fractais: Árvore Pitagórica, Triângulo de Sierpinski, Curva de Koch, Tetra Círculo, Lunda-Design e Hexagonal tipo Dürer. 1

3 Vielmo e Dalberto (2013), em minicurso cujo objetivo era contribuir com a formação continuada de professores da educação básica e de alunos de cursos de licenciatura em Matemática, iniciam construindo no GeoGebra os fractais Triângulo de Sierpinski e Floco de Neve de Koch. A seguir, os conteúdos área, perímetro, progressão geométrica, função exponencial e logarítmica são relacionados aos fractais obtidos. Dantas et al. (2013) propõem a construção dos mesmos fractais que Vielmo e Dalberto. Um novo fractal, o fractal de Lara, obtido a partir de quadrados e circunferências, é a proposta de Bertone e Barbosa (2013), que ao final, determinam sua dimensão. Concordamos com Isotani e Brandão (2013), que destacam vantagens em se utilizar softwares no trabalho com geometria. Para eles, seu uso De um lado, auxilia o professor em sua tarefa de criar material didático mais interativo e desenvolver atividades que estimulam a curiosidade. De outro lado, proporciona ao aluno um ambiente no qual a postura participativa e a busca por desafios promovem a troca de experiências e a maturidade para compreender o conteúdo geométrico (p. 1). Contudo, a efetiva utilização dos recursos disponíveis nos laboratórios de informática das escolas depende da constante atualização dos docentes. Assim, com o objetivo de contribuir para a formação continuada de professores, especificamente em geometria fractal, relatam-se aqui os resultados de uma oficina ministrada para docentes da rede estadual de Educação Básica, na qual foi utilizado o GeoGebra na construção dos primeiros níveis dos fractais Conjunto de Cantor, Curva de Peano, Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo e Tapete de Sierpinski. Posteriormente calculou-se dimensão, área e/ou perímetro das figuras. Ao final foram propostas atividades que pudessem ser feitas fora do laboratório e que fossem adequadas ao ensino fundamental e ao médio. 2 DESENVOLVIMENTO A oficina resultou de um projeto de extensão vinculado ao Departamento de Matemática da UNICENTRO e foi ministrada para 16 professores, sendo 13 de Matemática, dois de Arte e um de Geografia. As atividades ocorreram no laboratório de informática de uma escola estadual do interior do Paraná. Vale ressaltar que em um momento anterior à realização da oficina foram desenvolvidas algumas atividades com sete alunos do 3º ano do ensino médio. Elas constavam em uma apostila desenvolvida pela segunda autora deste trabalho. O objetivo era verificar junto aos estudantes a viabilidade da proposta da oficina a professores e obter subsídios para argumentar com os docentes sobre a importância da geometria fractal. Ao concluir a oficina-piloto, um dos alunos comentou: O programa GeoGebra é muito interessante e fácil de mexer, tendo a apostila para nos auxiliar. Aprendemos a fazer muitas figuras e aprendemos que para ser um fractal a figura tem que ter autossimilaridade para dar certo. Outro acrescentou: Foi uma nova experiência onde tivemos a chance de conhecer o GeoGebra e conseguimos desenhar alguns dos muitos fractais que existem. Tem tudo a ver com matemática, envolve cálculos e muita concentração, onde tudo deve sair perfeito. Com o sucesso das atividades-piloto, concretizou-se a oficina para os professores. Inicialmente aplicou-se um questionário (Tabela 1) para averiguar os conhecimentos prévios dos participantes em relação ao GeoGebra e à geometria fractal. Destaca-se que dos 16 professores, 15 responderam que não utilizavam o software GeoGebra, 10 tinham conhecimento sobre a geometria fractal, porém a maioria (15) nunca havia trabalhado com essa geometria em sala de aula.

4 Tabela 1 Resultados do questionário Questões Sim Não 1. Você conhece o programa GeoGebra? Você utiliza em sala o programa GeoGebra? Você conhece geometria fractal? Você trabalha com geometria fractal em sala de aula? Fonte: cursistas 1 15 Durante a oficina os professores revelaram que um dos maiores empecilhos para o uso do computador nas escolas é a falta de manutenção das máquinas, o que leva a um número insuficiente de computadores funcionando em relação ao total de alunos, ou mesmo laboratórios sem condições de uso. Outro problema, mais frequente em escolas de grande porte, é a dificuldade de agendamento de horários para uso do laboratório, já que são muitas turmas para um único espaço. A diminuição da carga horária da disciplina de Matemática no ensino médio também foi apontada como mais um dificultador. Algumas das dificuldades citadas pelos professores atuantes no Paraná são, na verdade, comuns a outros estados. É o caso, por exemplo, de São Paulo. Os resultados de uma pesquisa, realizada de 2009 a 2010 em 27 escolas de Campinas (ODA, 2011), revelou que 85% dos docentes não conseguiam utilizar o computador nas aulas, devido à deficiência na formação profissional e à falta de tempo, além do pouco incentivo para se aprimorarem e a infraestrutura deficiente no local de trabalho. Um dos pesquisados comentou Fazendo cursos já é difícil acompanhar a tecnologia. Imagine sem eles. A seguir foi apresentado um vídeo introdutório sobre geometria fractal, Fractais a Geometria do Caos 2, disponível no Portal Educacional do Estado do Paraná, Dia a Dia Educação. Nele é comentado que figuras da geometria euclidiana não são capazes de representar nuvens, montanhas, costas marítimas etc. Em seguida são explicadas características dos fractais, como a dimensão. Ao final, alguns fractais são construídos, como o Floco de Neve e a Curva de Koch. Houve também uma explanação breve sobre a história dos fractais e suas propriedades. Procurou-se ressaltar Benoit Mandelbrot ( ) como o pai da geometria fractal, já que em 1975 ele escolheu o termo fractal (do latim fractus: quebrado) para dar nome ao objeto de estudos pessoais que vinham sendo realizados desde 1948, quando o polonês trabalhara em uma grande empresa nos Estados Unidos (BARBOSA, 2005). Além disso, foi destacado que os fractais existiam desde pelo menos o século XIX, quando eram chamados apenas de monstros matemáticos, por apresentarem características contraditórias em relação ao esperado para figuras da geometria euclidiana. Alguns exemplos de tais aberrações são as Curvas de Peano, de Hilbert, de Koch e o Triângulo de Sierpinski. Apresentaram-se também as três propriedades dos fractais (SILVA, 2011): P1 Auto-semelhança: cada parte de um fractal se assemelha ao todo, não importando a escala de observação. P2 Complexidade infinita: a construção completa de um fractal é impossível, devido ao caráter recursivo dos passos para obtê-lo. 2 Disponível em: < Acesso em: 01 set

5 P3 Dimensão: cada fractal tem sua própria dimensão 3, que representa seu grau de irregularidade. Essa dimensão é, em geral 4, um número não inteiro. Esta é uma das razões para que a geometria fractal seja denominada de não euclidiana. A seguir, cada docente construiu no GeoGebra alguns níveis do Conjunto de Cantor, Curva de Peano, Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch (Figura 1), Triângulo (Figura 2) e Tapete de Sierpinski. Os cursistas utilizaram uma apostila, elaborada pela segunda autora deste trabalho, com o passo-a-passo de cada construção. Figura 1 - Nível 3 do Quadrado de Koch Figura 2 - Nível 5 do Triângulo de Sierpinski No Quadro 1 é apresentado o início do protocolo de construção do Tapete de Sierpinski. Nesta etapa houve colaboração dos professores que apresentavam algum conhecimento do software. A construção do Quadrado de Koch foi a que exigiu maior concentração por parte dos docentes, por se tratar de uma figura bem detalhada e que necessita de precisão quanto às retas e aos vértices que formam cada quadrado menor. 3 Considera-se a dimensão formulada por Felix Haussdorf, em 1919 (MANDELBROT, 1977, p. 15). 4 Um exemplo de estrutura fractal com dimensão inteira pode ser encontrado no movimento browniano (MANDELBROT, 1977, p. 15).

6 Quadro 1 Tapete de Sierpinski CONSTRUÇÃO DO TAPETE DE SIERPINSKI NO GEOGEBRA a) Abrir o GeoGebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo. Para isso, basta clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre, clicar em Eixos. b) Selecionar o ícone Polígono regular e clicar na área de visualização, marcando os pontos A e B. Na janela que se abre, digitar 4, para indicar um quadrado. c) Selecionar o ícone Círculo dados centro e raio, clicar no ponto A e quando para o valor do raio, digitar a/3, o que significa que ele será a terça parte do lado do quadrado. d) Clicar no ponto B e digitar a/3 no valor do raio novamente. Seguindo o processo, clicar no ponto D e digitar no valor do raio, d/3. Clicar no ponto C e digitar no valor do raio, b/3. e) Selecionar o ícone Interseção de dois objetos e clicar sobre os pontos de encontro dos círculos com os segmentos que formam o quadrado, sendo definidos os pontos E, F, G, H, I, J, K e L. No software procurou-se trabalhar com macros para poupar tempo, para que os cursistas visualizassem o processo de construção das figuras e, paralelamente, preenchessem as tabelas recebidas com os cálculos matemáticos e as generalizações solicitadas. A Figura 3 apresenta um modelo desta tabela para o Triângulo de Sierpinski. Nível do fractal Triângulos válidos Comprimento do lado Perímetro Perímetro do fractal (c =1) Área de cada triângulo Área do fractal enésimo Figura 3 Tabela a ser preenchida pelos professores A construção que mais chamou a atenção dos docentes foi a do Tapete de Sierpinski (Figura 4), pelo fato do perímetro total aumentar (166%) e a área total diminuir (88%) do nível n -1 para o nível n. Figura 4 - Nível 2 do Tapete de Sierpinski

7 Para cada fractal construído foi calculada a respectiva dimensão. Explicou-se aos professores o processo de cálculo da dimensão de homotetia ou de auto-similaridade, com base em Silva (2011), que apresenta uma metodologia prática para que se entenda o que é dimensão e seu processo de cálculo. Dessa forma, obteve-se a expressão para a dimensão fractal (D) D = log n log r em que n representa o número de réplicas (em menor escala) da figura do nível 0 (em geral) e r é a razão de semelhança. Para o Tapete de Sierpinski, por exemplo, a dimensão obtida foi 1,893, ou seja, um número não inteiro, como ressaltado no início da oficina, ao explicar a terceira propriedade dos fractais. Ao final foram sugeridas atividades para as últimas séries do ensino fundamental, sendo propostos modelos de construção de alguns fractais famosos com material manipulável, como papel, latas de alumínio, bolas de isopor, entre outros (Figura 5). Figura 5 Uso de cartolina para representação de fractais Já para o Ensino Médio, sugeriu-se a construção de mandalas (Figuras 5 e 6) por meio de mosaicos feitos com colagem de materiais manipuláveis como cerâmica, pastilhas, peças para bijuterias, dentre outros, baseadas em fractais que podem ser construídos no software Nfract 1.0 (BARBOSA, 2005). Os trabalhos foram expostos em uma feira organizada na escola. Figura 5 Mandala A Figura 6 - Mandala B Ao concluir a oficina, pediu-se que os professores respondessem três perguntas de um questionário, para avaliação das atividades. A primeira questão enfatizava a relevância, metodologias, contribuições, aplicabilidade e apontamentos referentes à oficina. Todos os professores consideraram o trabalho muito interessante e significativo para aplicação em sala de aula. Um dos professores escreveu:

8 A oficina pedagógica é de grande relevância na descoberta de novas metodologias que podem ser utilizadas com os alunos de qualquer série, tanto, no ensino fundamental como no ensino médio, a aplicabilidade envolve vários conteúdos estruturantes que facilitam o melhor entendimento em menos tempo, com a construção utilizando o software GeoGebra. A segunda questão perguntava se o professor considerava possível inserir a geometria fractal na sua prática pedagógica, utilizando o GeoGebra. Todos os docentes responderam que sim. Um deles acrescentou que... os alunos que já possuem a habilidade com o computador ou com o uso de outros aplicativos poderão facilmente realizar os desenhos e comparar com os cálculos realizados e as fórmulas utilizadas. A terceira questão indagava se o estudo da geometria fractal em sala de aula era justificável e de que forma ele poderia contribuir para o enriquecimento da aprendizagem do aluno. Um dos professores afirmou: [...] no decorrer dos encontros foi possível constatar que é viável aplicar em sala de aula. Também percebemos que a Geometria Fractal além de sua beleza, possibilita desenvolver atividades envolvendo conteúdos matemáticos de maneira diferente, atrativa e interessante. O detalhamento dos passos facilitou a compreensão e as construções das atividades propostas. A oficina foi muito produtiva e serviu para provar que com a prática conseguimos superar as dificuldades inicialmente demonstradas. Pelas respostas dos docentes constatou-se que eles conseguiram assimilar tanto o conteúdo de geometria fractal quanto desenvolver atividades no GeoGebra de forma muito satisfatória. 3 CONSIDERAÇÕES FINAIS Com base nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná (PARANÁ, 2008) e nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), a oficina realizada propôs estratégias metodológicas diferenciadas para o estudo da geometria fractal, proporcionando ao professor a exploração de conhecimentos novos, como é o caso do cálculo da dimensão fractal, além de uma revisão de conteúdos da geometria euclidiana e da matemática básica. Pode-se observar que a elaboração e utilização da apostila com detalhamento das etapas de construção dos fractais foi fundamental para o sucesso das atividades feitas no GeoGebra. Mesmo os professores pouco familiarizados com o software conseguiram construir todos os fractais. Houve também a preocupação de propor tarefas que não necessitassem do uso do laboratório de informática. Nesse sentido, a apostila sugeriu atividades com materiais manipuláveis, de modo que o professor pudesse realizar adaptações em suas aulas e não prejudicar o cumprimento do currículo. Espera-se que os cursistas se tornem multiplicadores dos conhecimentos adquiridos na oficina, tanto em relação aos seus alunos quanto aos colegas de profissão. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, (Tendências em Educação Matemática, 6). BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

9 BERTONE, A. M.; BARBOSA, L. GeoGebra e o fractal de Lara de dimensão não inteira. In: COLÓQUIO BRASILEIRO DE MATEMÁTICA, 29., 2013, Rio de Janeiro. DANTAS, S. C.; FERREIRA, G. F.; SILVA, M. B.; SILVA, S. L. Mosaicos, faixas, rosetas e fractais com o GeoGebra. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11., 2013, Curitiba. Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Curitiba: SBEM Regional PR, p FARIA, R. W. S.; MALTEMPI, M. V. Manipulação e análise de padrões fractais no processo de generalização de conteúdos matemáticos por meio do software GeoGebra. In: CONFERÊNCIA LATINO AMERICANA DE GEOGEBRA, 1., p. I-XV. FUZZO, R. A.; SANTOS, T. S.; FERREIRA, L. Fractais e GeoGebra: construindo a curva de Koch. In: CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2011, Recife. Anais da XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. Recife: EDUMATEC UFPE, p GONÇALVES, J. GeoGebra, software de apoio ao ensino de funções. Curitiba, 84 p., Monografia (Especialização) Universidade Federal do Paraná. ISOTANI, S.; BRANDÃO, L. O. O papel do professor e do aluno frente ao uso de um software de geometria interativa: igeom. Bolema, Rio Claro, v. 27, n. 45, p , abr MANDELBROT, B. B. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman and Company, ODA, F. Professores são inseguros para usar tecnologia. Estadão, São Paulo, 11 abr p PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemática Disponível em: < Acesso em: 01 set SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. Curitiba: CRV, VIELMO, S. E.; DALBERTO, F. Abordagem do ensino de matemática através de fractais e recursos tecnológicos. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DE MATEMÁTICA, 6., 2013, Canoas. Anais do VI CIAEM. Canoas: ULBRA, p Abstract: Based on the Basic Education Curriculum Guidelines of Paraná and the National Curriculum Guidelines, this paper presents the activities of a workshop resulting from an extension project linked to the Department of Mathematics at UNICENTRO, held with basic education teachers. Different methodological strategies have been proposed for the study of fractal geometry, using the dynamic geometry software, GeoGebra, and manipulative materials. A pilot activity with students was performed aiming to verify the viability of the proposal and to obtain subsidies to argue with teachers about the importance of fractal geometry. A handout with step by step constructions of the most important fractals was drawn and provided to the course participants. Alongside the constructions, the teachers performed the mathematical calculations and generalizations requested. It was also proposed the construction of mandalas based on fractals which can be constructed in the Nfract software.

10 It is expected that course participants become multipliers of the knowledge acquired in the workshop. Key-words: Fractal, GeoGebra, Manipulative material.