FÍSICA Professor Sérgio Gouveia MÓDULO 14 A REFLEXÃO DA LUZ EM ESPELHOS PLANOS E ESFÉRICOS
1. ESPELHO É qualquer superfície polida capaz de refletir a luz. 2. ESPELHO PLANO É uma superfície plana polida. Um espelho plano reflete especularmente a luz.
2.1. IMAGEM DE UM PONTO FORNECIDA POR UM ESPELHO PLANO Os triângulos PI, I 2 e P'I, I 2 são congruentes por terem um lado igual (I, I 2 ) compreendido entre ângulos iguais PI, ˆ I P'I, ˆ I 90 e I, Pˆ I i r I, P ˆ 'I. 2 2 2 2 Assim um espelho plano fornece de um ponto uma imagem pontual e simétrica do objeto em relação ao plano do espelho.
O observador tem a impressão que a luz vem de P' e vê a imagem de P em P'.
2.2. EQUAÇÃO DOS PONTOS CONJUGADOS PARA UM ESPELHO PLANOS Chamam-se pontos conjugados em um sistema óptico a um ponto objeto e sua imagem. Consideraremos as convenções a seguir, que serão utilizadas tanto em espelhos planos quanto em espelhos curvos.
Distâncias objeto e imagem serão medidas até o espelho sobre os eixos coincidentes Op e Op', perpendiculares ao espelho e orientados no sentido oposto ao da incidência de luz. Para o espelho se tem p + p = 0 que é a equação dos pontos conjugados para o espelho plano.
2.3. DISCUSSÃO DA EQUAÇÃO DOS PONTOS CONJUGADOS Se p > 0 (objeto real) tem-se P' < 0 (imagem virtual) Se p > 0 (objeto virtual) tem-se P' > 0 (imagem real) A figura ilustra a formação de uma imagem real e como pode ser vista. A figura ilustra a formação de uma imagem real e como pode ser vista.
OBSERVAÇÃO: 1ª - A visão humana percebe imagens reais e virtuais da mesma maneira. 2ª - Imagens reais podem ser projetadas sobre um anteparo.
2.4. IMAGEM DE UM OBJETO EXTENSO NUM ESPELHO PLANO AB i A'B' i A imagem de um objeto real é virtual, direita e do mesmo tamanho do objeto.
2.5. AMPLIAÇÃO Chama-se ampliação à razão i o entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. a i o CONVENÇÃO: Imagem direita: a > 0 Imagem invertida: a < 0
2.6. EQUAÇÃO DA AMPLIAÇÃO Para os espelhos planos a p' p 2.7. TRANSLAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Se um espelho se translada d a imagem translada 2d.
2.8. ROTAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Se um espelho sofre uma rotação θ o raio refletido sobre uma rotação 2θ.
2.9. ESPELHOS FORMANDO ÂNGULOS ENTRE SI O número n de imagens fornecidas é dado pela parte inteira de: 360 n 1
2.10. CAMPO DE UM ESPELHO PLANO É a região ocupada pelos pontos que podem ser vistos por reflexão no espelho.
3. EXEMPLOS 1º - Na figura determine em que ponto do lago deve um barqueiro colocar o seu barco para que o observador não veja a imagem do topo da torre do castelo.
SOLUÇÃO x 100 x 10x 180 1,8x 1,80 20 180 21,8x 180x x 8,26m 21,8
2º - Qual a menor dimensão de um espelho para que um homem de 1,80 m de altura e com os olhos a 1,70 do solo possa se ver de corpo inteiro?
SOLUÇÃO H h H h h 0,90m 2d d 2
3. REFLEXÃO DA LUZ NOS ESPELHOS ESFÉRICOS 3.1. ESPELHO ESFÉRICO É uma calota esférica polida, se a superfície polida é a superfície interna o espelho se diz côncavo, se é a externa o espelho se diz convexo.
Estudaremos apenas espelhos de pequena abertura, isto é, A 5.
3.2. ELEMENTOS DE UM ESPELHO ESFÉRICO A - Abertura C - Centro V - Vértice Principal CV - Eixo Principal V s - Vértice Secundário CV s - Eixo Secundário
3.3 EQUAÇÃO DE UM ESPELHO ESFÉRICO DE PEQUENA ABERTURA Considerando,, j, i e r muito pequenos, isto é, menores que 5.
PCI: i i 1 CP'I: r r (2) Como i = r vem: 2 3 h h PHI: tg HP p h h CPI: tg Como os ângulos são pequenos vem 5 HC R h h P'HI: tg HP p' 4 6
Levando (4), (5) e (6) em (3): h h h 2 1 1 2 R p p' R p p' OBSERVAÇÃO: Deduzimos a equação acima para o caso de um espelho côncavo, repetiremos a dedução para o caso de espelho convexo e, utilizando convenções apropriadas, generalizaremos a equação acima para qualquer espelho esférico de pequena abertura.
PCI: i 2 2 CP'I: r
h PHI: tg PH h CPI: tg CH h P'HI: tg P'H h p h R h p' h h h 2 1 1 2 1 1 2 R p p' R p p' R p p'
Vamos agora convencionar que: R côncavo > 0 R convexo < 0 E levando em conta que no caso do espelho côncavo P e P' eram pontos reais e, portanto, p > 0 e p' > 0 e que no caso do espelho convexo P é real e P' virtual, portanto, p > 0, p' < 0, podemos tomar a equação. 2 1 1 R p p'
Válida para todos os espelhos, observadas as convenções acima, que continuam se traduzindo na mesma orientação de eixos anteriormente estabelecida para os espelhos planos.
OBSERVAÇÃO Um espelho plano pode ser considerado como um espelho esférico cujo raio tende para infinito: 2 1 1 2 e se R então 0 R p p' R 1 1 1 1 0 p' p p p' 0 p p' p p' Que é a equação dos espelhos planos.
3.4. FOCOS DE UM ESPELHO ESFÉRICO 3.4.1. FOCO OBJETO (F) É o ponto objeto tal que sua imagem "está no infinito". Na verdade, um ponto tal que raios luminosos que nele se originam, atingem o espelho e refletem-se paralelamente uns aos outros; não há, pois, formação de imagem.
Observe as figuras:
Determine a exata localização de F, determinando f: 2 1 1 R p p' 1 Se p' 0 e p f p' 2 1 R f R f 2
3.4.2. FOCO IMAGEM (F') É a imagem de um objeto situado "no infinito". Em verdade, a imagem para raios paralelos que incidem no espelho.
Vamos localizar F' determinado f': 2 1 1 R p p' 1 Se p 0 e p' f' p 2 1 R f' R f' 2 Como se vê os focos de um espelho esférico são coincidentes. Chamaremos a este ponto simplesmente de foco e a distância f = f' de distância focal. Note que no espelho côncavo f > 0 e no convexo f < 0.
3.5. EQUAÇÃO DOS PONTOS CONJUGADOS 2 1 1 1 1 1 A equação é normalmente escrita na forma. R p p' f p p' 3.6. REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE UM ESPELHO ESFÉRICO
3.7. PROPRIEDADES (1ª) Todo raio que incide no espelho passando pelo centro reflete-se sobre si mesmo. (2ª) Todo raio que incide no espelho passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo da espelho. (3ª) Todo raio que incide no espelho paralelamente ao eixo reflete-se numa direção que passa pelo foco.
3.8. CONSTRUÇÃO DA IMAGEM DE UM OBJETO A' B' é real, invertida, menor que o objeto.
A' B' é virtual, direita, menor que o objeto.
3.9. EQUAÇÃO DA AMPLIAÇÃO ABV A'B'V i p' 0 p a p' p Embora obtida para o caso particular acima a equação da ampliação tem validade em qualquer caso.
3.10. FOCOS SECUNDÁRIOS Para cada eixo secundário de um espelho há um foco secundário correspondente. Devido à simetria as propriedades de 3,7 podem ser aplicadas relativamente a um eixo secundário. Observe com atenção a construção abaixo.