Modelação das Ondas de Rayleigh

Modelação das Ondas de Rayleigh Gonçalo Manuel de Sousa Henriques Vitorino Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Presidente: Orientador: Co-Orientador: Vogal: Júri Prof. Pedro Parreira Prof. João Teixeira de Freitas Prof. Ionut Dragos Moldovan Prof. Luís Guerreiro Outubro de 2010

Agradecimentos Sinceramente nem sei por onde começar, para mim esta tese é um culminar de cinco anos de muito estudo, amizades e convívio. É com algum pesar que escrevo esta parte, pois significa que a minha vida de estudante acabou e está na altura de seguir em frente, cada um o seu caminho. Gostaria não só de agradecer mas também congratular o Prof. João Teixeira de Freitas por ser um belíssimo exemplo do que é ser Professor, não só a sabedoria e conhecimentos científicos, mas uma boa pessoa, sempre disponível para ajudar assim como claro e expedito em fazê-lo. O meu obrigado estende-se também à excelente pessoa que é o Professor Ionut Moldovan, sempre despachado e obstinado, sempre que precisava da sua ajuda sabia qualquer tipo de dúvida seria esclarecida e resolvida. Não poderia deixar de agradecer aos meus pais, como é óbvio, não só por sempre me ajudarem, mas como incansavelmente se propunham a fazê-lo, para além de terem sempre confiança em mim no meu percurso escolar e me deixarem fazer sempre o que queria. Obrigado a eles, e se tivesse de escolher outros pais no meio de seis biliões que o mundo tem, escolheria os mesmos sem pestanejar. Acabo esta conversa com um abraço e obrigado ao meu irmão, porque é simplesmente o meu melhor amigo. i

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Resumo As ondas de Rayleigh podem ser descritas através um conjunto de equações diferenciais, sujeita a condições de superfície livre. A sua formulação é feita separando as variáveis no espaço e no tempo, originando um conjunto de problemas definidos no domínio da frequência. A discretização no tempo é normalmente feita recorrendo a séries de Fourier, aproximando uma função periódica inicial por um certo de número de funções espectrais, sendo a variação espacial definida pelas equações da Mecânica adequadas à modelação do meio de propagação. A combinação dessas equações origina a descrição espectral (ou de Helmholtz) da equação da onda. As ondas de Rayleigh são então definidas combinando ondas-p e ondas-s em condições de superfície livre. São estabelecidas admitindo dois tipos de meio (homogéneo) de propagação, designamente meios de uma fase (por exemplo, solos secos) e meios de duas fases (solos saturados). O modelo apresentado para as ondas de Rayleigh é formulado admitindo um estado plano de deformação. Para ultrapassar as dificuldades conhecidas na modelação de respostas não-periódicas com séries de Fourier, utiliza-se uma base de aproximação no tempo definida sobre um conjunto completo de Wavelets. Com o modelo definido, e com a variação no espaço e tempo acoplados, é possível representar a propagação das ondas de Rayleigh provocadas por uma acção sísmica. Palavras-Chave Modelação de Ondas de Rayleigh Solos Homogénos Solos Saturados Modelação de Ondas no Tempo iii

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Abstract Rayleigh waves can be defined by a set of differential equations subject to free-surface conditions. These equations are derived separating the variables in space and time to obtain a set of problems defined in the frequency domain. The discretization in time is usually implemented using Fourier series, replacing the initial periodic function by a number of spectral functions. The variation in space is defined by a set of equations that model adequately the mechanical behavior of the medium of propagation. The combination of these equations leads to the spectral (Helmholtz) definition of the wave equation. Rayleigh waves are defined combining P- and S-waves under free-surface conditions, assuming that they propagate in two distinct homogeneous media, namely singlephase (dry) and biphasic (saturated) media The Rayleigh wave models are derived for states of plane strain. The approximation in time is implemented using a system of Wavelets to circumvent the difficulties inherent to the modelling of non-periodic problems with Fourier series. The modelling of the propagation of seismic waves is obtained combining this temporal series with the solutions of the spectral definitions obtained for the Rayleigh waves Keywords Modelling of Rayleigh Waves Homogeneous Soils Saturated Soils Transient Wave Modelling v

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Índice 1 Introdução... 1 1.1 Objecto e Objectivo... 1 1.2 Ondas Sísmicas... 2 1.2.1 Ondas de Volume... 2 1.2.2 Ondas de Superfície... 3 1.3 Organização do texto... 4 2 Solução de Equações Não Lineares Complexas... 5 2.1 Introdução... 5 2.2 Método Gráfico... 6 2.3 Métodos Numéricos... 6 2.3.1 Método da Bissecção... 7 2.3.2 Método da Falsa Posição... 7 2.3.3 Método do Ponto Fixo... 8 2.3.4 Método de Newton... 9 2.3.5 Método da Secante... 9 2.4 Conclusão... 10 3 Integração no Domínio do Tempo... 13 3.1 Introdução... 13 3.2 Série de Fourier... 13 3.3 Série de Fourier Complexa... 14 3.4 Análise Periódica... 15 3.5 Análise Não Periódica... 16 3.6 Conclusão... 17 4 Estado de Tensão num Sólido... 19 4.1 Introdução... 19 4.2 Estado de tensão num ponto... 21 4.2.1 Tensor das tensões... 22 4.2.2 Equilíbrio na fronteira... 23 4.2.3 Equilíbrio no domínio... 24 4.3 Estado Plano de Tensão... 26 4.4 Conclusão... 27 5 Estado de Deformação num Sólido... 29 5.1 Introdução... 29 vii

5.2 Estado de deformação num ponto... 29 5.2.1 Deformação Homogénea... 29 5.2.2 Decomposição de deformações homogéneas... 31 5.2.3 Deformação Pura... 31 5.2.4 Tensor das deformações... 33 5.2.5 Compatibilidade no domínio... 34 5.2.6 Compatibilidade na fronteira... 34 5.3 Estado Plano de Deformação... 35 5.4 Conclusão... 36 6 Relações Constitutivas de um Sólido... 37 6.1 Introdução... 37 6.2 Lei de Hooke Generalizada... 37 6.3 Simetria Elástica... 38 6.4 Lei de Hooke para Materiais Isotrópicos... 39 6.4.1 Relação Tensão Normal-Extensão... 40 6.4.2 Relação Tensão Tangencial-Distorção... 41 6.5 Estado Plano de Tensão... 42 6.6 Estado Plano de Deformação... 43 6.7 Conclusão... 43 7 Propagação de Ondas de Rayleigh... 45 7.1 Introdução... 45 7.2 Formulação do Problema... 45 7.2.1 Condições de Domínio... 46 7.2.2 Condições de Fronteira... 47 7.3 Aproximação no Tempo... 47 7.4 Formulação Espectral... 49 7.5 Ondas de Rayleigh... 50 7.6 Acção Sísmica... 51 7.7 Conclusão... 51 8 Solos Não Saturados... 53 8.1 Introdução... 53 8.2 Identificação das Variáveis... 53 8.3 Equação da Onda... 55 8.4 Ondas Planas... 56 8.5 Ondas Cilíndricas... 56 8.6 Ondas de Rayleigh... 57 viii

8.7 Conclusão... 59 9 Solos Saturados... 61 9.1 Introdução... 61 9.2 Identificação das Variáveis... 61 9.3 Equação da Onda... 63 9.4 Ondas Planas... 64 9.5 Ondas Cilíndricas... 65 9.6 Ondas de Rayleigh... 66 9.7 Solução das Ondas de Rayleigh... 67 9.8 Conclusão... 69 10 Aplicações Numéricas... 71 10.1 Introdução... 71 10.2 Análise no Domínio da Frequência... 71 10.2.1 Frequência de 10 rads -1... 71 10.2.2 Frequência de 100 rads -1... 75 10.2.3 Frequência de 250 rads -1... 79 10.3 Análise no Domínio do Tempo... 82 10.3.1 Definição das Bases de Aproximação... 83 10.3.2 Determinação das Amplitudes... 84 10.3.3 Resultados... 85 11 Conclusão... 93 Apêndice 1: Raízes de Funções Não Lineares... 95 Apêndice 2: Equação da Onda em Solos Não Saturados... 99 Apêndice 3: Campos de Deslocamento, Deformação e Tensão em Solos Não Saturados... 101 Apêndice 4: Equação da Onda em Solos Saturados... 103 Apêndice 5: Campos de Deslocamento, Deformação e Tensão em Solos Saturados... 107 Apêndice 6: Propriedades do Solo de Ensaio... 109 ix

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Índice de Figuras Figura 1 - Ondas de Corpo ou Volume (ondas-p e ondas-s)... 2 Figura 2 Ondas de Superfície (ondas de Rayleigh e ondas de Love)... 3 Figura 3 - Gráfico de uma função f real de variável real [4]... 6 Figura 4 - Método da Bissecção [9]... 7 Figura 5 - Método da Falsa Posição (Cordas) [9]... 8 Figura 6 - Método do Ponto Fixo [9]... 8 Figura 7 - Método de Newton [9]... 9 Figura 8 - Método da Secante [9]... 10 Figura 9 - Variação temporal de uma função f(t)... 13 Figura 10 - Aproximação de uma função por Série de Fourier... 14 Figura 11 - Peça prismática sujeita a uma força F [5]... 20 Figura 12 - Comportamento Elástico Linear [5]... 20 Figura 13 - Comportamento Elástico Não Linear [5]... 20 Figura 14 - Comportamento Elastoplástico [5]... 20 Figura 15 - Corpo sujeito a forças mássicas e de superfície [5]... 21 Figura 16 - Vector tensão nas três facetas paralelas aos planos coordenados [5]... 22 Figura 17 - Significado dos elementos do Tensor das Tensões... 23 Figura 18 - Tetraedro Infinitesimal [5]... 23 Figura 19 - Paralelepípedo de volume infinitesimal [3]... 25 Figura 20 - Estado Plano de Tensão, componentes nulas do tensor das tensões... 26 Figura 21 - Corpo sujeito a uma deformação estado inicial e estado final [5]... 29 Figura 22 - Corpo sujeito a uma deformação [5]... 30 Figura 23 - Paralelepípedo Infinitesimal [5]... 31 Figura 24 - Extensão segundo [5]... 32 Figura 25 - Distorção entre os eixos e [5]... 32 Figura 26 - Diminuição do ângulo entre e [5]... 33 Figura 27 - Corpo sujeito a um Estado Plano de Deformação [5]... 35 Figura 28 - Cubo sujeito apenas a uma tensão normal [5]... 40 Figura 29 - Cubo sujeito apenas a uma tensão tangencial [5]... 41 Figura 30 - Distorção provocada por [5]... 41 Figura 31 - Domínio, Fronteiras de Neumann e Dirichlet e Sommerfeld [8]... 45 Figura 32 - Ondas de Rayleigh Solos Não Saturados... 58 Figura 33 - Ondas de Rayleigh em Solos Saturados... 66 Figura 34 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 73 Figura 35 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 73 Figura 36 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz, rads -1 )... 74 xi

Figura 37 - Campo de tensões (solo saturado, raiz, rads -1 )... 75 Figura 38 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 76 Figura 39 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 76 Figura 40 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz, rads -1 )... 77 Figura 41 - Campo de tensões (solo saturado, raiz, rads -1 )... 78 Figura 42 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 80 Figura 43 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz, rads -1 )... 80 Figura 44 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz, rads -1 )... 81 Figura 45 - Campo de tensões (solo saturado, raiz, rads -1 )... 82 Figura 46 Campos de tensões para solos homogéneos com base N=16... 86 Figura 47 Campos de tensões para solos homogéneos com base N=32... 87 Figura 48 Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=16... 88 Figura 49 Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=32... 89 Figura 50 Campo de deslocamentos, solos homogéneos com base N=16... 90 Figura 51 Campo de deslocamentos para solos homogéneos com base N=32... 90 Figura 52 Campo de deslocamentos no sólido para solos saturados com base N=16... 91 Figura 53 Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com base N=16... 91 Figura 54 Campo de deslocamentos no sólido para solos saturados com base N=32... 92 Figura 55 Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com base N=32... 92 xii

Índice de Tabelas Tabela 1: Soluções de k para rads -1 (solo não saturado)... 72 Tabela 2: Soluções de k para rads -1 (solo saturado)... 72 Tabela 3: Soluções de k para rads -1 (solo saturado)... 78 Tabela 4: Soluções de k para rads -1 (solo saturado)... 79 xiii

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Índice de Quadros Quadro 1 Implementação do Método da Bissecção... 95 Quadro 2 Implementação do Método da Falsa Posição... 96 Quadro 3 Implementação do Método do Ponto Fixo... 96 Quadro 4 Implementação do Método de Newton... 96 Quadro 5 Implementação do Método da Secante... 97 xv

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Lista de Símbolos Factor de Correcção de Tortuosidade Matriz dos Coeficientes de Amortecimento Tensor das Relações Constitutivas Tensor das Deformações Módulo de Elasticidade ( ou Módulo de Hooke) Vector das Forças de Massa Módulo de Distorção Matriz de Rigidez Número de Onda Segunda Constante de Biot Fracção de Líquido por Unidade de Volume Período de onda Vector dos Deslocamentos Vector dos Deslocamentos Inicial Vector das Acelerações Espectrais Vector das Velocidades Espectrais Vector das Velocidades Inicial Função de Bessel de ordem Vector dos Deslocamentos da Fase Líquida Amplitude Generalizada Primeira Constante de Biot Número de Onda Fronteira de Neumann Fronteira de Dirichlet Fronteira de Sommerfeld Distorção Tensor das Deformações Número de Onda Coeficiente que depende das Constantes de Biot e Lamé Constante de Lamé Constante de Lamé Coeficiente de Poisson Factor de Dissipação Vector da Pressão da Fase Líquida Matriz dos Coeficientes de Massa xvii

Massa Volúmica da Água Tensor das Tensões Função Potencial Frequências Numéricas Frequência de Fourier Frequência de Fourier Inicial Tensor das Rotações Gradiente de uma Função Laplaciano de uma Função xviii

1 Introdução 1.1 Objecto e Objectivo A investigação que aqui se resume incide sobre a modelação da propagação de ondas de Rayleigh em solos não saturados e saturados. Esse modelo é formulado e testado, visando a sua posterior incorporação num programa de elementos finitos desenvolvido para a análise do comportamento elastodinâmico de solos [8]. Esse programa foi desenvolvido para realizar análises dinâmicas tanto no domínio da frequência como no domínio do tempo de meios finitos e semi-infinitos. O tipo de elementos finitos que aí são implementados (elementos finitos híbridos-trefftz) caracteriza-se pela utilização de bases de aproximação definidas sobre a solução formal da equação da onda. A base incorpora, portanto, o comportamento mecânico do meio a analisar, o que permite, entre outros aspectos, modelar facilmente o comportamento de fundações usando elementos semiinfinitos ou fronteiras absorventes que satisfazem explicitamente a condição de Sommerfeld. Os resultados aqui apresentados servem para generalizar a base de aproximação usada nesse programa de modo a incluir as soluções de ondas de Rayleigh e utilizá-las para simular a propagação de ondas sísmicas em meios de fundação. A definição das ondas de Rayleigh está bem estabelecida para meios monofásicos, mas o mesmo não sucede em relação a meios poroelásticos saturados. Acresce ser nula a experiência existente na utilização das soluções formais das ondas de Rayleigh na modelação do comportamento de fundações pelo Método dos Elementos Finitos, no contexto acima definido. A formulação que aqui se usa baseia-se numa decomposição espectral do problema elastodinâmico. Essa decomposição não pressupõe mas permite a modelação de movimentos periódicos, servindo por isso para implementar análises no domínio da frequência (periódicas ou periodicamente estendidas) e, também, análises no domínio do tempo (periódicas ou não periódicas). Essa formulação permite modelar as ondas de Rayleigh induzidas por uma acção sísmica. A técnica que aqui se testa é a geração de um espectro de frequências (decorrente do método de integração no tempo adoptado), a definição das famílias de ondas de Rayleigh associadas a cada frequência e, finalmente, a determinação das suas amplitudes de modo a recuperar o acelerograma que caracteriza o sismo. Para simplificar a apresentação, a informação relativa ao método de integração usado e à formulação do comportamento elastodinâmico de solos saturados é indexada à tese de doutoramento que apoiou a realização deste trabalho, [8], podendo aí encontrar-se a informação detalhada sobre as fontes usadas em cada tema. 1

1.2 Ondas Sísmicas As ondas sísmicas que se propagam através da Terra têm geralmente origem em sismos ou em explosões. As características destas ondas, estudadas pelos sismólogos, são registadas por sismógrafos, sismómetros ou geofones, permitindo esses registos classificar as ondas sísmicas em duas grandes famílias, as ondas de volume (ou de corpo) e as ondas de superfície. 1.2.1 Ondas de Volume As ondas de corpo ou volume propagam-se no interior da Terra, apresentando percursos radiais deformados devido às variações de densidade e composição dos estratos que atravessam. Trata-se de um efeito semelhante à refracção de ondas de luz. As ondas de corpo são as responsáveis pelos primeiros tremores sentidos durante um sismo bem como grande parte da vibração produzida posteriormente. Existem dois tipos de ondas de corpo: primárias (ondas-p) e secundárias (ondas-s). As ondas-p são as primeiras a chegar, pois têm uma velocidade de propagação maior. São ondas longitudinais que fazem a rocha vibrar paralelamente à direcção da onda, tal como um elástico em contracção. Verifica-se alternadamente uma compressão seguida de uma distensão, com amplitudes e períodos baixos, impondo aos corpos sólidos elásticos alterações de volume. No ar, estas ondas de pressão tomam a forma de ondas sonoras e propagam-se à velocidade do som. A velocidade de propagação deste tipo de ondas varia com o meio em que se propagam, sendo típicos valores de 330 m/s no ar, 1450 m/s na água e 5000 m/s no granito. Não são tão destrutivas como as ondas-s ou as ondas de superfície que se lhes seguem. A velocidade de propagação destas ondas é, em geral, ligeiramente inferior ao dobro da das ondas-s. Figura 1 - Ondas de Corpo ou Volume (ondas-p e ondas-s) 2

As ondas-s são ondas transversais ou de corte, o que significa que o solo é deslocado perpendicularmente à direcção de propagação. Quando as ondas-s são polarizadas horizontalmente, o solo move-se alternadamente para um e outro lado. A sua velocidade de propagação é cerca de 60% da das ondas-p, para um dado material, mas a sua amplitude é várias vezes maior que a amplitude dessas ondas. É o segundo grupo de ondas que são sentidas. Provocam alterações morfológicas mas não causam a alteração de volume. As ondas-s propagam-se apenas em corpos sólidos, uma vez que os fluidos (gases e líquidos) não suportam forças de corte. 1.2.2 Ondas de Superfície As ondas de superfície são semelhantes às ondas que se observam à superfície de um corpo de água e propagam-se imediatamente abaixo da superfície terrestre. Devido à sua baixa frequência, longa duração e grande amplitude, podem ser as ondas sísmicas mais destrutivas. Propagam-se pela superfície a partir do epicentro de um sismo (tal como as ondas de uma pedra ao cair num charco), com velocidades mais baixas que as ondas de corpo. Existem dois tipos de ondas de superfície: ondas de Rayleigh e ondas de Love. Figura 2 Ondas de Superfície (ondas de Rayleigh e ondas de Love) As ondas de Rayleigh, ou ondas-r, são ondas de superfície que se propagam como as ondas na superfície da água. A existência destas ondas foi prevista por John William Strutt, Lord Rayleigh, em 1885. Resultam da combinação de ondas-p e S, e provocam uma vibração no sentido contrário à propagação da onda, ou seja, um movimento de rolamento (descrevem uma órbita elíptica). A sua amplitude diminui rapidamente com a profundidade. As ondas de Love, ou ondas-l, são ondas de superfície que produzem corte horizontal do solo e a sua energia é obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra por 3

ocorrerem por reflexão interna total. São assim chamadas em honra de A.E.H. Love, um matemático britânico que criou o modelo matemático destas ondas em 1911. Essas ondas resultam da combinação de duas ondas-s. São ligeiramente mais rápidas que as ondas de Rayleigh e, sendo ondas de corte, são ondas altamente destrutivas. 1.3 Organização do texto Este texto está organizado em três partes, que traduzem as diferentes fases do trabalho realizado: a preparação de matérias básicas, o estudo da aplicação e a obtenção de resultados. A primeira parte incide sobre a recapitulação de dois temas da Análise Numérica, designadamente solução de equações não lineares complexas (Capítulo 2) e métodos de integração no tempo (Capítulo 3), e dos aspectos principais da Mecânica dos Sólidos, nomeadamente a caracterização de estados de tensão (Capítulo 4) e de estados de deformação (Capítulo 5) e a caracterização das relações constitutivas (Capítulo 6). A segunda parte resume o estudo da aplicação, o qual exigiu a abordagem de duas novas matérias, a formulação do comportamento dinâmico de meios contínuos e a modelação de meios bifásicos, isto é, de misturas com uma fase sólida e uma fase líquida. Para evitar repetições na apresentação, optou-se por formular primeiro (Capítulo 7) o problema em termos gerais, definindo as equações nos domínios do tempo e da frequência. Essa formulação é depois particularizada para meios monofásicos e bifásicos para modelar o comportamento dinâmico de solos não saturados e de solos saturados, respectivamente. As ondas de Rayleigh são caracterizadas nesses capítulos (Capítulos 8 e 9). A terceira parte do texto inclui a apresentação dos resultados (Capítulo 10) e uma apreciação não só desses resultados como da formação adquirida (Capítulo 11). A apresentação dos resultados está organizada em duas partes. A primeira ilustra os resultados obtidos no domínio da frequência e serve, fundamentalmente, para mostrar os modos que as ondas Rayleigh tomam em solos não saturados e em solos saturados sujeitos a diferentes níveis de frequências de excitação. A segunda parte ilustra a propagação dessas ondas quando se admite que esse meio, não saturado ou saturado, é actuado por um sismo. 4

2 Solução de Equações Não Lineares Complexas 2.1 Introdução Como adiante se mostra, as ondas de Rayleigh são caracterizadas combinando ondas-p e ondas-s sob a condição de serem nulas as forças na superfície livre do solo. Esta caracterização define um problema de valores e vectores próprios, representando os valores próprios os números de onda e os vectores próprios os modos de combinação das ondas. Os números de onda representam as raízes da equação discriminante do problema de valores e vectores próprios, a qual é, em geral, uma equação não linear com variáveis complexas. Foi esse o primeiro problema estudado, tendo como objectivo o desenvolvimento e a validação de rotinas a inserir no programa de elementos finitos que suportou o trabalho aqui apresentado, contribuindo assim para generalizar esse programa para a modelação da propagação de ondas sísmicas em solos saturados. Determinar a solução de uma equação pode ser considerada uma tarefa demasiado simples quando estejam disponíveis as ferramentas necessárias, designadamente software numérico ou analítico adequados. No entanto, é importante salientar que essas ferramentas têm limitações, não sendo em geral suficiente programar a função e obter as raízes procuradas chamando directamente as rotinas disponíveis. A maior parte dos métodos de resolução de equações exige o fornecimento dos limites onde se situam os zeros da função, por não ser viável estender a busca a todo o seu domínio. Por outro lado, as estratégias de busca desses métodos baseiam-se sobre hipóteses feitas sobre o comportamento da função, o qual tem, portanto, uma grande influência na eficácia da estratégia de solução. Consequentemente, a utilização de um determinado método obriga à realização de uma análise preliminar da função. Essa análise, no caso mais simples, passa pelo esboço do gráfico da função, permitindo estabelecer grosseiramente, os limites no domínio onde se encontram os zeros. Este capítulo resume o estudo feito sobre os principais métodos numéricos utilizados na determinação de raízes de funções não lineares com variáveis complexas, tendo cada um deles sido programado e devidamente testado no contexto da aplicação em causa, isto é, a determinação dos números de onda e da direcção de propagação de ondas de Rayleigh em solos saturados. 5

2.2 Método Gráfico O método gráfico é o mais simples dos métodos disponíveis para a estimar os zeros de uma função. Consiste no traçado da função (real) no intervalo que contem os zeros, seguido de sucessivos zooms até se obter a precisão pretendida. O recurso a este método é essencial para caracterizar o comportamento da função, o qual depende directamente do problema físico que a função representa, e obter assim a informação que vai fundamentar a escolha do método numérico a adoptar na determinação dessas raízes com a precisão desejada. Para uma dada função começa-se por traçar o gráfico num intervalo suficientemente amplo para conter as raízes esperadas (ver Figura 3), sendo esta operação muito facilitada pelas ferramentas actualmente disponíveis, p. ex. Mathematica, [13]. Figura 3 - Gráfico de uma função f real de variável real [4] Geralmente, o método gráfico é utilizado para a detecção das raízes de equações, ou seja para verificar a existência, o número e o intervalo onde se localizam essas raízes. No entanto, este procedimento é demorado, requer o traçado de vários gráficos e é inadequado em termos de automatização do cálculo, tanto termos de precisão como de sistematização, os quais exigem o recurso a um método numérico ajustado ao comportamento da função. 2.3 Métodos Numéricos Os métodos que irão ser apresentados são iterativos (em oposição aos métodos directos), ou seja fornecem-nos uma sucessão de valores que conduz, havendo convergência, às soluções da equação, com a precisão desejada. Esta sucessão é definida por recorrência, necessitando de um ou mais valores iniciais, dependendo do método utilizado. A aplicação de um método iterativo coloca diferentes problemas formais e práticos, a saber: A implementação da estratégia de pesquisa do método; O estudo de convergência da sucessão, obtida; O estudo da velocidade de convergência. 6

Como é impraticável efectuar um número infinito de iterações (repetição do mesmo processo com valores iniciais diferentes, visando a obtenção de um dado termo da sucessão, ) será pois necessário escolher um limite, N, para o número de pesquisas. Isto põe o problema de escolha de um bom critério de paragem, o qual dependente da precisão desejada. A implementação de cada um dos métodos a seguir apresentados está apresentada no Apêndice 1. 2.3.1 Método da Bissecção Um dos métodos mais simples para a resolução de equações não lineares é o Método da Bissecção. Considere-se um intervalo [ ] de uma certa função (ver Figura 4). Figura 4 - Método da Bissecção [9] O método consiste em identificar um intervalo em que se verifica a condição, subdividir o intervalo ao meio e testar de novo a condição nos subintervalos, [ ] e [ ] com, para determinar qual deles contém a raiz. O processo é repetido para o novo subintervalo até se atingir a precisão desejada (ver Apêndice 1). 2.3.2 Método da Falsa Posição O Método da Bissecção é bastante lento em termos de convergência, o que de certa forma não é de estranhar pois exige apenas a informação sobre o intervalo que contém uma raiz da equação. O Método da Falsa Posição ou Regula Falsi (também designado por Método das Cordas) é muito semelhante ao Método da Bissecção. No entanto tem uma convergência mais rápida, pois envolve informações adicionais sobre a função (ver Figura 5), para além da informação sobre o intervalo que contém a raiz. 7

Figura 5 - Método da Falsa Posição (Cordas) [9] Como no Método da Bissecção, este método requer dois valores iniciais, a e b, situados na vizinhança da raiz. A corda definida pelos pontos e intersecta o eixo dos no ponto. A análise do gráfico representado na Figura 5 mostra que o eixo e a corda formam dois triângulos semelhantes, o que permite escrever: (1) Esta equação pode ser resolvida na variável que aproxima a raiz da função,, o que constitui a base da programação do Método da Falsa Posição (ver Apêndice 1). O desempenho deste método é relativamente fraco em consequência do número de testes que é necessário realizar em cada tentativa de localização da raiz. 2.3.3 Método do Ponto Fixo Muitas vezes o problema de determinação do zero de uma função pode reduzir-se à procura de um valor que verifique a igualdade, ou seja um ponto fixo da função. A técnica em que este método se baseia consiste em transformar o problema de encontrar uma solução da equação no problema de resolver a equação. Uma das condições para a convergência do método é a boa escolha da função, (ver Figura 6). Figura 6 - Método do Ponto Fixo [9] 8

Para que o método seja convergente, a função tem de satisfazer certas condições, as quais são definidas no Teorema do Ponto Fixo [4]. O Método do Ponto Fixo é bastante eficaz em consequência da simplicidade das operações que envolve (ver Apêndice 1), mas a qualidade do desempenho depende da natureza de cada problema, em consequência das condições de convergência acima referidas. 2.3.4 Método de Newton O Método de Newton, ou Newton-Raphson, é o método mais utilizado na solução de equações não lineares por ser simples de implementar ter uma convergência muito rápida (a convergência do método é quadrática [9]). A velocidade de convergência do método decorre de se basear não só no cálculo da função, como os métodos anteriores, mas também da sua derivada. A determinação da derivada da função pode não ser viável em determinadas aplicações, mesmo quando essa derivada é determinada numericamente, em consequência da perda de precisão que esse cálculo geralmente implica. Figura 7 - Método de Newton [9] Como se ilustra na Figura 7, a estratégia do Método de Newton consiste em utilizar o valor da função e da sua derivada num ponto para estimar o comportamento da função na vizinhança desse ponto (ver Apêndice 1). O Método de Newton apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções que coincidam com pontos de extremos de função e, também, na distinção de raízes múltiplas ou quase múltiplas. A convergência do Método de Newton depende, também, da escolha do valor inicial. 2.3.5 Método da Secante O Método da Secante é um método que alia a simplicidade conceptual do método da bissecção com uma velocidade de convergência semelhante à do método de Newton. Como no 9

método da bissecção, ele requer dois valores iniciais, e, localizados numa vizinhança da raiz da função. Figura 8 - Método da Secante [9] Considera-se como primeira aproximação da raiz o ponto de intersecção do eixo do com a secante da função, definida pelos pontos e, como se mostra na Figura 8. Este procedimento é equivalente a usar a secante como aproximação da tangente da função no ponto, ou seja: (2) Substituindo esta estimativa da tangente no Método de Newton obtém-se o procedimento de cálculo resumido no Apêndice 1. Da definição do Método da Secante, facilmente se constata que a vantagem é a de dispensar o cálculo formal da derivada da função. Se a função for bem comportada, contínua e com derivada contínua, a aproximação secante da derivada é suficiente para obter velocidades de convergência, medidas em tempos de cálculo, semelhantes às que caracterizam o Método de Newton. 2.4 Conclusão Neste capítulo foram apresentados cinco métodos para aproximação numérica de raízes de funções. Os três primeiros apresentados, Método da Bissecção, Falsa Posição e Ponto Fixo são métodos com convergência linear [4,9] e, portanto convergem lentamente para a solução. Consequentemente, estes métodos não foram utilizados neste trabalho. O Método de Newton e o Método da Secante são métodos com convergência supra linear [4,9] e, por isso mesmo, a convergência é muito mais rápida na vizinhança da raiz de uma equação não linear. Quando a derivada é difícil de determinar, ou o seu cálculo é dispendioso, o Método da Secante é mais eficiente. Em problemas extremamente sensíveis, estes dois métodos podem comportar-se de uma maneira menos boa, podendo ser necessário recorrer a técnicas para determinar um intervalo óptimo para análise da função. Qualquer dos 10

dois métodos permite determinar raízes complexas, tendo isso sido tomado em consideração na elaboração deste trabalho. Apesar do Método da Secante ser ligeiramente mais lento que o de Newton, tem uma grande vantagem face às equações não lineares que tiveram de ser resolvidas, a de dispensar a definição da derivada da função que define o discriminante do problema de valores e vectores próprios. O Método da Secante, nesta situação, revelou ser o melhor método numérico para o cálculo de raízes de funções não lineares, pelo que veio a ser o escolhido para a sistematização da caracterização das ondas de Rayleigh e da sua propagação em solos saturados. 11

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3 Integração no Domínio do Tempo 3.1 Introdução Os problemas de Dinâmica Estrutural são usualmente resolvidos separando as variáveis no espaço e no tempo. Dependendo do tipo informação que se pretende caracterizar, a solução é descrita no domínio da frequência (análise espectral) ou no domínio do tempo (análise temporal). Ambos os tipos de análise são frequentemente utilizados na modelação do comportamento elastodinâmico de solos saturados, o âmbito do estudo que aqui se apresenta. A abordagem que mais facilita a introdução dos conceitos envolvidos consiste em admitir que o comportamento é periódico no tempo, ou que se recorre a uma extensão periódica do problema, isto é, que a análise é estendida periodicamente, com um período suficiente grande para minimizar os efeitos dessa restrição. A Análise de Fourier é a que melhor se adapta a esta representação, permitindo esclarecer facilmente os dois tipos de análise, no domínio do tempo e de frequência. É esse o aspecto que é abordado na segunda parte deste capítulo, depois de recordar as bases da aproximação de uma função por uma série de Fourier. A análise no domínio do tempo baseia-se em métodos incrementais conceptualmente muito distintos da Análise de Fourier, sendo as variantes do Método de Newmark [8,11] as mais frequentemente utilizadas em Dinâmica Estrutural. Esses métodos não são aqui abordados por se ter optado por recorrer a uma generalização do método de decomposição espectral que não depende da periocidade do comportamento em análise [9,10]. Esse método de análise não-peródica no domínio do tempo é descrito sumariamente na terceira e última parte deste capítulo. 3.2 Série de Fourier Qualquer função contínua, com um certo período T, pode ser representada combinando um conjunto completo de funções periódicas simples, nomeadamente senos e cosenos, sob a forma de uma série designada por série de Fourier. Figura 9 - Variação temporal de uma função f(t) Assim, uma função periódica (ou periodicamente estendida) pode ser descrita na forma, 13

(3) sendo a seguinte a definição dos coeficientes da série: (4) (5) (6) Como a série é truncada, isto é, não se tomam infinitos termos na aproximação, a representação harmónica de uma certa função periódica pode ser feita como se ilustra na Figura 10, havendo no entanto a garantia de convergência para o número apropriado de termos da aproximação Figura 10 - Aproximação de uma função por Série de Fourier 3.3 Série de Fourier Complexa É frequentemente vantajoso escrever a série de Fourier em forma complexa, recorrendo à fórmula de Euler, (7) com, para, concluindo-se facilmente que: (8) 14

( ) (9) ( ) (10) Utilizando estas definições na equação (3) e sabendo que para a unidade imaginária, obtém-se: (11) Escrevendo, e, e substituindo na equação (3) obtém-se a expressão alternativa, (12) ou, mais simplesmente [7]: (13) (14) 3.4 Análise Periódica O movimento de uma partícula de um meio sujeito a uma acção dinâmica é descrito pelo deslocamento,, pela velocidade,, e pela aceleração,. A separação de variáveis consiste em admitir que esses campos podem ser escritos na forma seguinte: (15) (16) (17) Se se admitir que o movimento é periódico, com período T, e se optar por uma aproximação de Fourier no domínio do tempo, 15

obtêm-se as seguintes regras de integração no tempo para a velocidade e para a aceleração, (18) (19) (20) passando os coeficientes a representar os coeficientes de Fourier definidos pela equação (12). Como adiante se mostra, esses coeficientes são determinados recorrendo ao Método dos Elementos Finitos, impondo adequadamente as condições de equilíbrio e de compatibilidade do problema e as relações constitutivas do meio poroso em análise, o solo saturado. Uma análise espectral consiste simplesmente em representar a variação da componente espacial do problema, designadamente deslocamentos, velocidades, acelerações, tensões ou deformações, varrendo uma determinada gama de frequências, classificada como relevante para o problema em análise. Uma análise temporal periódica (ou estendida periodicamente) consiste em combinar cada uma dessas soluções espaciais, por exemplo o campo de deslocamentos obtido para cada frequência,, e representar a sua evolução no tempo recorrendo à decomposição (15) para a base de proximação no tempo. No contexto da Análise de Fourier, essa recomposição da solução no tempo e no espaço não é tão trivial como as equações em que se baseia podem sugerir, sendo necessário recorrer a transformadas de Fourier para tornar o processo suficientemente expedito. 3.5 Análise Não Periódica Visando este estudo modelar a propagação de ondas de Rayleigh num solo saturado accionado por um sismo, não se pode admitir que o movimento é periódico e é pouco prático admitir extensões periódicas desse movimento. Em vez de recorrer à aplicação de métodos tradicionais de integração no tempo para representar a resposta solo, optou-se por generalizar a decomposição (15) a (17) usando uma base de aproximação no tempo,, não periódica [8,11]. Esse método gera regras de integração no tempo semelhantes às obtidas para a aproximação periódica, definidas pelas equações (19) e (20), (21) (22) 16

mas envolvendo duas diferenças fundamentais: dependem da configuração inicial do sistema, definida pelo deslocamento e pela velocidade iniciais, e, pois o movimento não é periódico, e envolve frequências algorítmicas (adimensionais),, isto é, frequências de excitação que dependem da base de aproximação no tempo e do incremento de tempo escolhido: (23) Como o problema em estudo é linear, torna-se possível substituir uma análise incremental por uma análise realizada num único intervalo de tempo (como na Análise de Fourier), o período de análise da acção sísmica (em vez do período da resposta), desde que se adopte uma base de aproximação suficientemente estável e forte. A base que se utiliza para obter os resultados adiante apresentados é um sistema de wavelets definidas no intervalo [8,11]. Como se admite que a fundação está em repouso antes da acção sísmica, e, conclui-se que formalmente são as mesmas as regras de integração a adoptar na formulação do problema para análises periódicas (19) e (20) e não periódicas (21) e (22), o que facilita a formulação do problema e a implementação do modelo de elementos finitos utilizado na sua solução, bastando definir adequadamente as frequências do espectro gerado por cada uma das bases de aproximação no tempo. 3.6 Conclusão Mostra-se neste capítulo que a formulação aqui adoptada pode ser usada para resolver problemas dinâmicos no domínio da frequência ou no domínio do tempo, recorrendo a decomposições espectrais periódicas ou não periódicas. Para além de permitir usar a mesma formulação para resolver um mesmo problema no domínio da frequência ou no domínio do tempo, a separação de variáveis que é utilizada permite compreender essa formulação no mais simples dos contextos possíveis, de aproximação de uma função por uma série de Fourier. 17

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4 Estado de Tensão num Sólido 4.1 Introdução Neste capítulo são descritas as características do estado de tensão a que um corpo pode estar sujeito. Começa-se por apresentar o caso mais geral, Estado Tridimensional, seguindo-se um caso particular deste, o Estado Plano de Tensão. As equações apresentadas [1,2,3] serão fundamentais para a compreensão da formulação das equações das ondas apresentadas adiante. Apresentam-se de seguida algumas definições e hipóteses consideradas importantes: Matéria: Descontínua Caso real devido á natureza atómica do problema. Contínua Simplificação do problema Ao supor-se a matéria contínua, introduz-se um simplificação que na maior parte dos casos não introduz erros significativos desde que se pretenda analisar o comportamento em termos macroscópicos, como acontece na maioria dos problemas correntes, designadamente no que é aqui estudado. Material: Não Homogéneo Homogéneo Diz-se que um material é homogéneo se, de ponto para ponto de um mesmo corpo, as propriedades se mantêm iguais. Na generalidade dos casos supõe-se que o material é homogéneo. No entanto, distintos materiais apresentam em geral propriedades distintas. Se um determinado corpo for constituído por dois ou mais materiais homogéneos, existe uma descontinuidade de deformação na transição entre os diversos materiais. Isotropia: Material Anisotrópico Material Isotrópico No material anisotrópico as propriedades variam com a direcção considerada, enquanto no material isotrópico as propriedades são independentes da direcção. Comportamento do Material: Elástico e Linear Elástico não linear Elastoplástico 19

Para explicar esta classificação muito simplificada das diferentes formas de comportamento dos materiais estruturais, considere-se a peça prismática, encastrada numa extremidade e livre na outra, sujeita a uma força aplicada nesta última extremidade (ver Figura 11). Figura 11 - Peça prismática sujeita a uma força F [5] Assim, para os diferentes tipos de comportamento apresentam-se nas Figuras 12,13 e 14 a relação F-. Figura 12 - Comportamento Elástico Linear [5] Figura 13 - Comportamento Elástico Não Linear [5] Figura 14 - Comportamento Elastoplástico [5] O comportamento de um material pode ser ainda classificado relativamente à ordem de grandeza das deformações a que pode estar sujeito. O aparecimento de grandes deformações depende das propriedades do material, da geometria do elemento estrutural e da acção a que está sujeito, podendo ocorrer tanto em materiais muito flexíveis (e.g., borracha) como em materiais muito rígidos (e.g., lâmina de aço). O seu efeito não é considerado no presente trabalho. Em resumo, admitem-se as seguintes hipóteses na representação do comportamento de solos não saturados e saturados: Material contínuo. Material homogéneo. Material isotrópico. Material com comportamento elástico linear. No domínio das pequenas deformações. 20

Em rigor, nenhuma destas hipóteses é válida para qualquer acção sísmica. O solo é tipicamente um material com três fases, sólida, líquida e gasosa. A fase gasosa não é explicitamente considerada, atendo ao estado de saturação assumido, podendo o seu efeito ser introduzido corrigindo os parâmetros constitutivos relevantes. As fases sólida e líquida são modeladas explicitamente recorrendo à Teoria das Misturas, da qual resulta a definição de uma material macroscopicamente equivalente, contínuo, homogéneo e isotrópico. As duas hipóteses seguintes, de linearidade física e geométrica, decorrem simplesmente da necessidade de simplificar o modelo nesta fase de desenvolvimento do estudo da propagação de ondas de Rayleigh. 4.2 Estado de tensão num ponto Nesta secção é apresentado o caso geral, isto é, o estado de tensão é caracterizado em pontos de um corpo que apresenta uma forma qualquer no espaço a três dimensões. Admite-se também que as forças podem estar orientadas segundo uma qualquer direcção no espaço. Considere-se um corpo nas condições indicadas na Figura 15: C Legenda Corpo qualquer. V Volume arbitrário do corpo C, limitado pela superfície S. P Ponto da superfície S. f m Forças mássicas aplicadas a V. f s ΔS n Δf s Forças de superfície aplicadas a V através de S. Elemento de superfície S contendo o ponto P. Normal a ΔS dirigida para o exterior de S. Força exercida através de ΔS pela matéria exterior a V sobre a matéria Figura 15 - Corpo sujeito a forças mássicas e de superfície [5] As forças mássicas ou de massa, exercem a sua acção sobre todos os elementos infinitesimais de volume (e.g., forças gravíticas, forças de inércia). As forças de superfície actuam na superfície exterior do corpo (e.g., acção do vento, acção de uma carga aplicada). A definição da tensão no ponto P para uma faceta de normal será: (24) 21

4.2.1 Tensor das tensões Na Figura 16 está representado um cubo cujas faces são paralelas aos planos coordenados. As três faces representadas na figura são aquelas cujo versor normal coincide com, ou. As faces do cubo são facetas infinitesimais que contêm um mesmo ponto P. Encontra-se ainda representado na Figura 16 o vector tensão, correspondente a cada uma das três facetas. Figura 16 - Vector tensão nas três facetas paralelas aos planos coordenados [5] Cada um dos vectores representados na Figura 16 tem três componentes no espaço, segundo, e. Isto significa que as forças são campos vectoriais, (25) sendo, e referindo-se às tensões nas facetas 1, 2 e 3 que contêm respectivamente, e. Esta equação pode então ser escrita em notação tensorial, mais compacta. Considerando que, a equação pode ser reescrita, ficando com a seguinte forma: (26) (27) Nesta equação, é o índice livre e é um índice mudo. A cada índice mudo está associada a convenção do somatório de 1 a 3. A equação (27) pode ser apresentada matricialmente, correspondente às 3 facetas visíveis no cubo infinitesimal da Figura 16 obtendo-se: { } [ ] { } (28) 22

A matriz de 3x3 com elementos representa o tensor das tensões. O tensor das tensões num ponto do interior dum corpo é definido pelas componentes normais e tangenciais dos vectores das tensões que actuam em três facetas ortogonais que se cruzam nesse ponto (ver Figura 17). Figura 17 - Significado dos elementos do Tensor das Tensões Nos elementos do tensor das tensões, o índice está associado à faceta e o índice está associado à componente de. As componentes com índices iguais (, ) são designadas tensões normais, enquanto que as tensões com índices diferentes (,,,, e ) definem as tensões tangenciais. 4.2.2 Equilíbrio na fronteira Considere-se um ponto P cujo estado de tensão é caracterizado pelo tensor. Na Figura 18 encontra-se representado um tetraedro infinitesimal (OABC). Figura 18 - Tetraedro Infinitesimal [5] 23

A face ABC é uma faceta que apresenta uma orientação arbitrária definida pelo versor. As faces OAB, OAC, OBC são paralelas aos planos coordenados. O referencial utilizado tem a origem coincidente com o ponto P. Uma vez que o tetraedro tem dimensões infinitesimais, no limite, todas as faces contêm o ponto P. Impondo o equilíbrio vectorial no tetraedro segundo a direcção encontra-se a condição, ( ) ( ) ( ) (29) a qual, após algumas simplificações [2,3], pode ser reduzida à seguinte forma: (30) O processo pode ser repetido para as outras direcções, e, obtendo-se assim de uma forma mais compacta, em notação indicial, a equação de equilíbrio na fronteira: (31) Na equação (31), que define a condição de Neumann, o índice refere-se à direcção dos vectores, enquanto, o índice refere-se a cada um dos vectores na respectiva faceta 1,2 e 3. Matricialmente ter-se-á: { } [ ] { } (32) Este resultado mostra que o estado de tensão num ponto do interior dum corpo, definido pelo tensor das tensões, não fica determinado pelas três condições de equilíbrio na fronteira. Pelo contrário, as forças numa faceta da fronteira, caracterizada pelo versor, são complemente determinadas pelo estado de tensão nesse ponto. 4.2.3 Equilíbrio no domínio A determinação do campo de tensões instalado num corpo sujeito à acção de forças exteriores conhecidas conduz a um problema estaticamente indeterminado ou hiperestático, na medida em que as nove componentes de tensão estão relacionadas por apenas seis equações de equilíbrio. A simetria do tensor das tensões,, resulta da imposição das três condições de equilíbrio de momentos. As três condições de equilíbrio de forças definem três condições independentes sobre as seis componentes restantes do tensor das tensões (,,,, e ). 24

Considere-se então o paralelepípedo de volume infinitesimal de arestas representado na Figura 19. Figura 19 - Paralelepípedo de volume infinitesimal [3] Fazendo-se o equilíbrio de forças na direcção, ( ). / ( ) (33) obtém-se, após simplificação e eliminação dos infinitésimos de ordem superior: (34) e : Obtêm-se equações análogas impondo o equilíbrio de forças nas outras duas direcções, (35) (36) Estas três equações definem as condições de equilíbrio no interior de um corpo. Tal como se fez o equilíbrio de forças, o equilíbrio de momentos também se tem de verificar para assegurar o equilíbrio estático do corpo. Sendo nulas as componentes de momento das forças de massa, o momento resultante em relação a qualquer eixo tem de ser nula. Se se considerar um eixo paralelo ao eixo e que passe pelo centro do elemento, terse-á, 25

( ). / (37) ou, após simplificação: (38) Repetindo a condição de equilíbrio relativamente a eixos e, paralelos aos eixos y e z respectivamente, passando pelo centro do elemento infinitesimal, obtêm-se relações análogas sobre as componentes tangenciais do tensor das tensões, (39) (40) o que estabelece a simetria do tensor das tensões. Escrevendo a equações de equilíbrio de uma forma mais compacta, em notação indicial, para os eixos x,y e z como 1,2 e 3 respectivamente, ter-se-á, (41) (42) sendo um tensor de segunda ordem simétrico, tendo apenas seis componentes independentes. 4.3 Estado Plano de Tensão Existem vários tipos de estado de tensão num corpo, sendo importante salientar um caso muito comum, o Estado Plano de Tensão. Se se considerar um corpo em que uma das suas tensões principais é nula, diz-se que esse corpo está sujeito ao Estado Duplo de Tensão. Se se verificar o estado duplo no corpo todo e se a direcção correspondente à tensão principal nula for a mesma em todos os pontos do corpo, o Estado de Tensão diz-se Plano. Figura 20 - Estado Plano de Tensão, componentes nulas do tensor das tensões 26

Se as componentes, e do tensor das tensões forem nulas (ver Figura 20), devido à simetria do tensor das tensões, e também são nulas, resultando, [ ] (43) O estado de tensão caracterizado pelo tensor (43) verifica-se nas seguintes condições: Corpo com espessura h muito pequena quando comparada com as outras duas direcções; Corpo simétrico em relação ao plano médio ; Todas as acções paralelas e simétricas em relação a esse plano. 4.4 Conclusão Este capítulo resume a caracterização do estado de tensão num corpo sólido tridimensional, a qual foi particularizada para o Estado Plano de Tensão. Foram apresentadas as equações que serão utilizadas posteriormente para formular o problema de propagação de ondas em meios homogéneos e em meios saturados. Em qualquer um destes casos, as condições de equilíbrio no domínio serão generalizadas para incluir o efeito de forças de inércia e de amortecimento. Na análise de meios saturados, as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira são ainda generalizadas para incluir os termos que caracterizam o equilíbrio da fase líquida da mistura. As equações de equilíbrio estático, tanto no interior de qualquer corpo (41), como na fronteira (32), assim como a simetria (42) do tensor das tensões, são resultados importantes para um melhor entendimento de formulações e resultados posteriores. 27