CO 6: Algoritmos de divisão medievais e renascentistas: o método do galeão Severino Carlos Gomes Instituto Federal de Educação, Ciência e tecnologia do Rio Grande do Norte severocarlosgomes@gmail.com Bernadete Morey Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN bernadetemorey@gmail.com RESUMO O presente artigo foi idealizado a partir da leitura do livro Arithmetica Practica do Padre Juan Joseph de Padilla publicado em meados do século XVIII, na cidade de Santiago de Guatemala, conhecida atualmente como Antigua Guatemala. Em particular, nossa atenção se deteve no método de divisão utilizado em tal obra. Com o intuito de conhecer melhor o método de divisão apresentado pelo Padre Padilla, investigamos sobre os métodos de divisão utilizados na Europa no final da Idade Média e durante o Renascimento. Assim, nesse texto apresentamos e comparamos os algoritmos de divisão expostos por Padilla (1732), Moya (1572), Boyer (1996) e na obra L'arte dell'abaco publicado em Treviso em 1478. Palavras-chave: Método do Galeão. Algoritmos de Divisão. Padre Padilla. Introdução Em artigo publicado na Revista Brasileira de História da Matemática, Radford (27) apresenta um livro de aritmética publicado em meados do século XVIII, na cidade de Santiago de Guatemala, antiga sede da capitania colonial espanhola, conhecida nos dias atuais como Antigua Guatemala. O livro Arithmetica Practica do Padre Juan Joseph de Padilla (1732), agora digitalizado 1, apresenta estrutura de aritmética comercial similar aos livros de ábaco que circularam pela Europa no final da Idade Média e durante o Renascimento (RADFORD, 27). No capítulo II, Padilla (1732) apresenta os métodos utilizados nas quatro operações aritméticas básicas. O método apresentado para a operação de divisão despertou nossa curiosidade. Essa curiosidade ampliou-se com a suposição de Radford (27) que, apesar de desconhecer as fontes do Padre Padilla, os escritos deste foram influenciados por vários autores, dentre eles o trabalho de Juan Perez de Moya (1573) 2. 1 O livro digitalizado de Padilla (1732) está disponível em <http://luisradford.ca/luisradford/?page_id=13> 2 Apesar de Radford (27) citar o livro de Moya publicado em 1573, apenas conseguimos acessar a publicação de 1572.
Os livros do Padre Padilla e Juan de Moya acompanharam as exigências de ampliação do comércio na época da expansão marítima. Os problemas comerciais ajudaram no desenvolvimento de técnicas matemáticas essenciais qualificadas por dois aspectos: o entorno de uma atividade comercial que lhe dá sentido e um entorno intelectual suficientemente amplo para dar conta das reflexões matemático-comerciais (RADFORD, 27, p. 197, tradução nossa). Algumas dessas técnicas aritméticas conhecidas hoje como regra de três, regras de sociedade, por exemplo estavam presentes nas obras de Padilla (1732) e Moya (1572). Assim, esse trabalho tem como objetivo investigar e comparar uma das técnicas matemáticas apresentadas por Padilla (1732) e Moya (1572): os seus métodos de divisão. Porém, durante o processo de coleta de informações, surgiu a necessidade de incluirmos o método de divisão do Galeão apresentado em Boyer (1996) e Smith (1925; 27). Vejamos então esses métodos de divisão. O Método da divisão exposto por Padilla (1732) Na página 25 do Arithmetica Practica Padilla explica o processo de divisão de 7386 por 32. Veja essa divisão reproduzida passo-a-passo: 1 9 7 3 8 6 7 3 8 6 2 7 3 8 6 2 3 2 3 2 3 2 1º passo 2º passo 3º passo Note que, no terceiro passo, o quociente 2 é multiplicado pelo divisor 32 e o resultado (64, seis dezenas e 4 unidades) é subtraído de 73. A subtração é feita da esquerda para a direita, porém em 3 etapas. Primeiramente subtraem-se as dezenas (6 para 7 falta 1) e em seguida subtraem-se as unidades. Ao fazer isto, vê-se que 4 unidades não podem ser subtraídas de 3, o que nos obriga a retornar à casa das dezenas, diminuir uma dezena (escrevendo em vez de 1) e considerar agora a subtração 4 para 13, que dá resto 9. 1 9 1 9 1 9 2 7 3 8 6 2 7 3 8 6 2 3 7 3 8 6 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4º passo 5º passo 6º passo
1 9 2 7 3 8 6 2 3 3 2 3 2 3 2 7º passo Ou seja, na divisão como expõe Padilla (1732), o dividendo é colocado acima do divisor, o quociente à direita da barra vertical e o resto é composto pelos algarismos ordenados que estão no início superior de cada coluna. O produto entre o divisor e o quociente encontra-se implícito e a subtração é iniciada pela esquerda. O divisor é deslocado em cada etapa da divisão. Portanto, a divisão de 7386 por 32 tem quociente 23 e resto 26. Observe a seguir os quadros finais de duas divisões efetuadas pelo método exposto por Padilla (1732). Divisão de 73865 por 15 tem quociente 4924 e resto 5 1 4 2 3 3 3 6 5 7 3 8 6 5 4 9 2 4 1 5 1 5 1 5 1 5 Divisão de 1239 por 243 tem quociente 56 e resto 132 1 1 3 3 2 3 5 5 2 1 2 3 9 5 6 2 4 3 2 4 3 2 4 3 O primeiro método de divisão exposto por Moya (1572) A seguir encontra-se a divisão de 7386 por 32, passo-a-passo, através do primeiro método exposto por Juan de Moya: 1 9 1 9 3 2 7 3 8 6 3 2 7 3 8 6 3 2 7 3 8 6 3 2 7 3 8 6 2 2 2 3 1º passo 2º passo 3º passo 4º passo 1 9 2 1 9 2 3 2 7 3 8 6 3 2 7 3 8 6 2 3 2 3 5º passo 6º passo
Na divisão como expõe Moya (1572), o dividendo é separado do divisor que se encontra à esquerda, o quociente abaixo do dividendo e o resto é composto pelos algarismos que estão no início superior de cada coluna. O produto entre o divisor e o quociente encontrase implícito e a subtração é iniciada pela esquerda como no método exposto por Padilla (1732). Portanto, a divisão de 7386 por 32 tem quociente 23 e resto 26. A seguir encontram-se os quadros finais de duas divisões efetuadas pelo primeiro método exposto por Moya (1572). Divisão de 73865 por 15 tem quociente 4924 e resto 5 4 1 3 3 6 5 1 5 7 3 8 6 5 4 9 2 4 Divisão de 1239 por 243 tem quociente 56 e resto 132 1 1 3 3 2 3 5 5 2 2 4 3 1 2 3 9 5 6 O segundo método de divisão exposto por Moya (1572) A seguir encontra-se a divisão de 7386 por 32, passo-a-passo, através do segundo método exposto por Juan de Moya: 1 9 7 3 8 6 7 3 8 6 2 7 3 8 6 2 3 2 3 2 3 2 1º passo 2º passo 3º passo 1 9 1 9 1 9 2 7 3 8 6 2 7 3 8 6 2 3 7 3 8 6 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 4º passo 5º passo 6º passo 1 9 2 1 9 2 7 3 8 6 2 3 7 3 8 6 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 7º passo 8º passo
Na divisão pelo segundo método exposto por Moya (1572), o dividendo é colocado acima do divisor, o quociente à direita da barra vertical e o resto é composto pelos algarismos que estão no início superior de cada coluna. O produto entre o divisor e o quociente encontrase implícito e a subtração é iniciada pela esquerda como no método do Padre Padilla. O divisor é deslocado em cada etapa da divisão, não necessariamente na mesma linha. Portanto, a divisão de 7386 por 32 tem quociente 23 e resto 26. A seguir encontram-se os quadros finais de duas divisões efetuadas pelo segundo método exposto por Moya (1572). Divisão de 73865 por 15 tem quociente 4924 e resto 5 1 4 1 2 3 3 3 6 5 7 3 8 6 5 4 9 2 4 1 5 5 5 5 1 1 1 Divisão de 1239 por 243 tem quociente 56 e resto 132 1 1 3 3 2 3 5 5 2 1 2 3 9 5 6 2 4 3 3 3 2 4 4 2
O Método do Galeão segundo Boyer (1996) Vejamos a divisão de 7386 por 32, passo-a-passo, através do método do Galeão apresentado por Boyer: 1 9 3 2 7 3 8 6 3 2 7 3 8 6 2 3 2 7 3 8 6 2 6 4 6 4 1º passo 2º passo 3º passo 1 9 1 9 1 9 2 3 2 7 3 8 6 2 3 3 2 7 3 8 6 2 3 3 2 7 3 8 6 2 3 6 4 6 4 6 6 4 6 9 9 4º passo 5º passo 6º passo Na divisão pelo método do Galeão exposto por Boyer (1996), o dividendo é colocado entre as barras, o divisor à esquerda e o quociente à direita. O produto entre o divisor e o quociente é colocado abaixo do dividendo, não necessariamente na mesma linha, e a subtração é iniciada pela esquerda como no método do Padre Padilla. O resto é composto pelos algarismos que estão no início superior de cada coluna. Portanto, a divisão de 7386 por 32 tem quociente 23 e resto 26. A seguir encontram-se os quadros finais de duas divisões efetuadas pelo método do Galeão conforme Boyer (1996). Divisão de 73865 por 15 tem quociente 4924 e resto 5 1 3 3 6 5 1 5 7 3 8 6 5 4 9 2 4 6 5 1 3 3 6 Divisão de 1239 por 243 tem quociente 56 e resto 132 1 1 3 2 5 4 2 2 4 3 1 2 3 9 5 6 1 2 1 5 5 8 1 4
Algumas considerações No decorrer desse texto apresentamos os métodos de divisão expostos por Padilla (1732), Moya (1572) e Boyer (1996). Observando atentamente cada um desses algoritmos percebemos algumas semelhanças: em todos eles, a subtração é feita da esquerda para a direita em uma ou mais etapas e o resto, em cada etapa, encontra-se acima do dividendo; em relação à terminologia dividendo e divisor, como conhecida atualmente, Padilla (1732) e Moya (1572) denominam respectivamente de partição e partidor ; ainda em Padilla (1732) e Moya (1572), o produto entre o quociente e o divisor em cada etapa da divisão está implícito; em Padilla (1732), Boyer (1996) e no segundo algoritmo de Moya (1572), o quociente é posto à direita do dividendo; o divisor encontra-se abaixo do dividendo em Padilla (1732) e no segundo algoritmo de Moya (1572); em Boyer (1996) e no primeiro algoritmo de Moya (1572) o divisor é colocado à esquerda do dividendo. Apesar de muitas semelhanças, não podemos afirmar que os algoritmos aqui expostos são variações de um único método ou existiam paralelamente. Porém, existe uma obra (SMITH, 27), com originais de 198, que é um catálogo de escritos sobre aritmética publicados antes do ano 161. Neste livro, além de ficha catalográfica, o autor tece comentários sobre estes escritos e apresenta figuras com páginas originais desses trabalhos. Dentre estas figuras encontra-se uma página do L'arte dell'abaco publicado em Treviso 3 em 1478. A esta figura, o autor denomina de a divisão em forma de Galeão (idem, p. 6) apesar de não especificar se tal expressão consta ou não no L'arte dell'abaco. Com relação à origem da expressão divisão em Galeão ou método do Galeão, Boyer (1996), Lay-Yong (1966) e Smith (1925) destacam o aspecto visual Figura 1 do método por sua semelhança com um tipo de navio chamado Galeão. Smith (1925) afirma que o método de divisão em forma de Galeão era utilizado pelos árabes por volta do século IX e algumas variações surgiram por volta do século XI. Ainda, Lay-Yong (1966) afirma que o método do Galeão era o mais utilizado na Europa até meados de 16 e muito popular até o século XVIII. Porém, apesar das similaridades entre os métodos de divisão expostos no L'arte dell'abaco, em Padilla (1732), em Moya (1572) e em Boyer (1996), Padilla (1732) e Moya não fazem nenhuma menção à expressão Galeão em relação aos seus algoritmos. 3 Mais detalhes sobre essa obra estão em Smith (1924). 7
Figura 1 Divisão em Galeão Fonte: Boyer (1996, p. 149) Entretanto, em Boyer (1996) encontramos um fato curioso que talvez somente os leitores mais atentos tenham percebido. Na página 148 encontra-se a divisão de 44977 por 382 efetuada pelo algoritmo que o autor denomina de método do Galeão 4. Porém, na página 149, o autor apresenta um manuscrito do século dezesseis (Figura 1) com uma divisão em Galeão. Nesta divisão, o dividendo e o divisor são diferentes dos apresentados no exemplo da página 148. Além disso, apesar de similares, há algumas diferenças na estrutura desses dois algoritmos. As duas principais são: 1) enquanto o divisor encontra-se abaixo do dividendo na Figura 1, no exemplo da página 148, o divisor está à esquerda; 2) o produto entre o divisor e o quociente está implícito no algoritmo da Figura 1 enquanto no método do Galeão segundo Boyer este produto aparece abaixo do dividendo. Outro fato curioso é que a forma da divisão na Figura 1 é a mesma das divisões como encontradas no L'arte dell'abaco (SMITH, 27) e no segundo método de Moya (1572), apesar deste autor não citar a expressão Galeão para seu algoritmo, como já mencionado. 4 Esse algoritmo exemplificado por Boyer (1996) serviu de modelo para apresentarmos as divisões pelo que denominamos de método do Galeão segundo Boyer. 8
Portanto, as informações aqui relatadas sobre os algoritmos de divisão na Europa Medieval e Renascentista nos levam a supor que existiam vários métodos 5 similares de divisão nessa época, como os expostos nesse trabalho. Se algum deles é derivado de outro, não podemos afirmar 6. Apenas podemos constatar diversas particularidades comuns entre eles. Referências BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. LAY-YONG, Lam. On the chinese origin of the galley method of arithmetical division. The British Journal for the History of Science, v. 3, n. 1, p. 66-69, 1966. Disponível em: <http://www.jstor.org/discover/1.237/42513?uid=2&uid=4&sid=2115236454753> Acesso em 18/11/214. MOYA, Juan Perez de. Arithmetica practica y speculatiua. Salamanca: Mathias Gaft, 1572. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=und_dv1b- 8C&pg=PA769&hl=pt-BR&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=true> Acesso em: 12/11/214. PADILLA, Juan Jofeph de. Arithmetica practica. Guatemala: Ignacio Jacobo de Beteta, 1732. Disponível em: <http://www.luisradford.ca/pub/padre%2padilla%2- %2Completo%2web%2version.pdf> Acesso em: 12/11/214. RADFORD, Luiz. La Arithmetica Practica del Padre Padilla y los inicios de la matemática en Centro América en el período colonial, Revista Brasileira de História da Matemática, v. 7, n. 14, p. 193-211, 27. SMITH, David Eugene. Rara Arithmetica: A Catalogue of the Arithmetics Written Before the Year 161. New York: Cosimo, 27. Disponível em:< http://books.google.com.br/books?id=rceqr4gkukqc&printsec=frontcover&hl=pt- BR&source=gbs_ge_summary_r&cad=#v=onepage&q&f=false> Acesso em: 13/11/214. The First Printed Arithmetic (Treviso, 1478). Isis, v. 6, n. 3, p. 311-331, 1924. Disponível em: < http://www.jstor.org/discover/1.237/224315?uid=2129&uid=2&uid=7&uid=4&sid=21 15226321613> Acesso em 15/11/214. History of Mathematics, v. 2, 1925. Disponível em < https://archive.org/details/historyofmathema31897mbp> Acesso em 18/11/214. 5 Smith (27) apresenta uma página do livro Pictagoras arithmetrice introductor de Philippi Calandri publicado em Florença em 1491 com a divisão de 53497 por 83 pelo método das divisões sucessivas (como conhecemos atualmente). 6 Apesar de este trabalho estar voltado para determinado período europeu, vale citar o relato de Lay-Yong (1966) sobre um método chinês de divisão que, segundo ele, seria derivado do método do Galeão. 9