Unidade 3 Bohr e de Broglie: a antiga teoria quântica CEDERJ / EXTENSÃO FÍSICA Érica Polycarpo & Marta F. Barroso Sumário: Apresentação Espectros atômicos e a evolução dos modelos para o átomo As ondas de matéria de Louis de Broglie As lacunas da antiga teoria quântica Referências Apresentação No final do século XIX já se sabia que os átomos continham elétrons e que, sendo neutros, deveriam conter uma carga positiva igual em módulo à carga dos elétrons, e que a maior parte da sua massa estava associada a essa carga positiva. Era também conhecido que os átomos emitem radiação com um espectro de freqüências concentrado em determinados valores. Esses espectros, característicos de cada tipo de átomo, eram a principal fonte de informação sobre as propriedades do átomo. Com a descoberta da radioatividade por H. Becquerel em 1896, mais uma forma de se estudar o átomo tornava-se disponível: o uso das partículas produzidas no decaimento radioativo como projéteis para colidirem com os átomos. Nesta unidade, veremos como o conhecimento da estrutura atômica foi se desenvolvendo nessa época, e como esse conhecimento, junto com a formulação das ondas de matéria por Louis de Broglie, foi usado para guiar a construção de uma teoria quântica consistente. Espectros atômicos e a evolução dos modelos para o átomo Observações de espectros atômicos Os espectros atômicos são tipicamente observados com um equipamento como o da Fig.1, onde um tubo contendo um gás monoatômico sofre uma descarga elétrica. Os átomos do gás ganham energia na descarga e emitem radiação, que é colimada por uma fenda e decomposta em seu espectro de freqüências (ou comprimentos de onda) em um prisma ou em uma rede de difração (para melhor resolução). Após a decomposição, a radiação incide sobre um anteparo, o qual, se instrumentado com um detector, como uma chapa fotográfica, pode dar informação sobre a intensidade de cada freqüência. Foi observado que a radiação emitida pelos átomos se concentra em determinadas freqüências, e que os valores dessas freqüências são propriedades intrínsecas de cada tipo de átomo. Assim, cada elemento possui as suas linhas espectrais características, assim chamadas devido ao fato da imagem correspondente a cada freqüência no anteparo ter a forma de uma linha. Medidas precisas foram realizadas para vários gases, mostrando que as linhas espectrais se estendem além da região visível do espectro, apresentando uma certa regularidade, e que a distância entre as freqüências observadas diminui na região do ultravioleta. Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.1
Fendas Prisma Tubo de discargas contendo gas Figura 1: Arranjo experimental utilizado na observação de espectros atômicos, mostrando como exemplo algumas linhas espectrais do hidrogênio. A Figura foi adaptada de http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/bohr.html. Vários cientistas buscaram fórmulas empíricas para os comprimentos de ondas das linhas espectrais. Balmer foi o primeiro a determinar uma equação simples capaz de prever com precisão surpreendente o comprimento de onda de nove linhas espectrais do hidrogênio na região do visível e do ultravioleta próximo. Essa equação é dada por: Evolução dos modelos atômicos A descrição do átomo proposta por J.J. Thomson consistia de uma nuvem contínua de carga positiva, na qual se distribuíam uniformemente os elétrons de carga negativa, devido à repulsão Coulombiana mútua. Esse modelo, conhecido como o modelo do pudim de passas, explicava qualitativamente a emissão de radiação pelo átomo a partir da vibração dos elétrons em torno da posição de equilíbrio. O modelo, porém, não era capaz de descrever as propriedades dos espectros atômicos observados experimentalmente. Um cálculo mais detalhado mostraria ainda que esse modelo não apresenta uma configuração de equilíbrio estável. Na sequência do trabalho de J.J. Thomson, seu estudante R. Rutherford liderou experiências de espalhamento de um feixe estreito de partículas α por alvos na forma de uma folha fina de um material, em geral, metálico. O aparato incluía ainda um detector que produzia uma pequena cintilação quando atingido por uma partícula α e um microscópio, que permitia a distinção das cintilações devidas a uma única partícula. Com esse arranjo experimental, era possível medir o número de partículas defletidas em função do ângulo de espalhamento e, assim, testar a estrutura atômica. Joseph John Thomson (1856-1940) descobriu o elétron em uma série de experimentos projetados para estudar a natureza das descargas elétricas, utilizando tubos de raios catódicos. Ele primeiro mostrou que os raios catódicos eram curvados sob ação de um campo elétrico, o que o fez concluir que os raios eram cargas elétricas negativas carregadas por partículas de matéria. Posteriormente, mediu a razão entre a carga e a massa dessas partículas, medindo a curvatura da trajetória dos raios sob ação de um campo magnético. A sua descoberta lhe valeu o prêmio Nobel de 1906. Rutherford já sabia que as partículas α são átomos de Hélio dois quais foram retirados dois elétrons, e que elas são emitidas em grande velocidade por algumas substâncias radioativas. Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.2
Segundo o modelo de Thomson, apenas pequenas deflexões seriam possíveis, pois os elétrons têm massa muito menor do que as partículas α e a carga positiva estava distribuída sobre todo o volume do átomo. Para surpresa de Rutherford e seus estudantes, havia um número pequeno de partículas que sofriam grandes deflexões, algumas até de 180 o. Variando a espessura das folhas do alvo, eles mostraram que o número de espalhamentos com alto ângulo era proporcional ao número de átomos atravessados pela partícula, o que sugeria que deveria haver uma probabilidade, ainda que pequena, de acontecerem grandes deflexões no espalhamento com apenas um átomo. Em 1911, Rutherford propôs um novo modelo para a estrutura atômica, com todas as cargas positivas (e praticamente toda a sua massa) concentradas em um pequeno núcleo, e com os elétrons orbitando em torno desse núcleo, como os planetas orbitam em torno do sol. Esse modelo, embora estivesse de acordo com as medidas de Rutherford, também não apresentava uma configuração com equilíbrio estável, pois, segundo a teoria eletromagnética clássica, cargas aceleradas emitem radiação. Logo, os elétrons, ao orbitarem ao redor do núcleo, perderiam energia por irradiação eletromagnética até colapsarem com o núcleo. Ele também não reproduzia as fórmulas empíricas para as linhas espectrais. Em 1913, inspirado pela fórmula de Balmer e pelas idéias de quantização de Planck e Einstein, e motivado pela dificuldade que a estabilidade do átomo representava, Bohr desenvolveu um novo modelo para o átomo, em especial o de hidrogênio, baseado em alguma regras, ou postulados. Os postulados de Bohr 1. Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular em torno do núcleo sob a influência da atração Coulombiana. O movimento obedece as leis clássicas da mecânica. O campo é central, logo o momento angular se conserva. 2. No entanto, somente as órbitas para as quais o momento angular é um múltiplo inteiro de h =h/2π são permitidas. 3. Apesar da sua aceleração constante, o elétron não emite radiação ao se mover em uma dessas órbitas. A sua energia é constante, e o estado é estacionário. 4. Se o elétron passa de uma órbita para outra de energia mais baixa, ele emite radiação eletromagnética com freqüência igual a diferença de energia entre os dois estados dividida pela constante h. De acordo com a mecânica clássica, o momento angular de uma partícula se movendo em um campo central é dado por L=mvr, (2) onde m é a massa da partícula, v a sua velocidade, e r o raio da órbita do movimento. Pelo segundo postulado de Bohr, mvr = nh (3) No caso de átomos com um elétron, o movimento se dá sob ação da força Coulombiana entre o elétron e o núcleo, formado por Z prótons de carga positiva +e, onde e é a carga do elétron, igual a 1,6x10-19 C. De acordo com a segunda lei de Newton, Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.3
Solucionando o sistema formado pela Eq.3 e Eq.4, podemos calcular os raios das órbitas permitidas e as velocidades correspondentes a essas órbitas: O raio da órbita de n=1 do hidrogênio é conhecido como o raio de Bohr : Vamos estimar o valor numérico do raio de Bohr? Já vimos anteriormente que o valor de h é 6,63x10-34 Js e e=1,6x10-19 C. A massa do elétron é 9,11x10-31 kg e ε0=8,85x10-12 C 2 /Fm 2. Logo, r1 3,5x10-11 m, ou r1 0,35Å. A energia das órbitas é dada pela soma das energias cinética e potencial. Pela Eq.5, vemos que a velocidade mais alta ocorre para o elétron na órbita correspondente a n=1 e que, mesmo neste caso, v 1 <<c. Isso é mais facilmente visualizado se escrevemos v n em termos da constante de estrutura fina, 2 α e /( 4πε0hc) 1/137 : Um ângstron (Å) é igual a 10-10 m. Sendo assim, podemos utilizar a forma não relativística para a energia cinética, e a energia total correspondente a cada órbita é dada por: Podemos então associar a cada órbita permitida um nível de energia E n. Quando o átomo está no estado de energia mais baixo, dizemos que ele está no estado fundamental. Todos os outros níveis de energia correspondem a estados excitados. O elétron pode passar do estado fundamental a estados excitados devido vários processos, como descargas, colisões etc. Como todo sistema físico, a tendência natural é que ele retorne ao estado de menor energia. Para isso ele emite radiação, podendo passar por vários estados de energia sucessivamente menor, até chegar ao estado fundamental. A energia necessária para ionizar o átomo de hidrogênio é a energia do estado fundamental. Precisamos fornecer E1=13,6 ev para retirar o elétron do estado fundamental e levarmos para uma distância infinita do núcleo (n ). Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.4
A freqüência da radiação emitida quando o elétron passa de um nível de energia E ni a outro de energia E nf é: que reproduz a fórmula de Balmer (Eq. 1), se utilizamos Z=1 e escrevemos a constante de Rydberg em termos de constantes fundamentais da física: As previsões acima estão de acordo com os dados experimentais com uma precisão impressionante, especialmente se as equações são corrigidas devido à massa finita do núcleo. Com essa correção, o modelo de Bohr consegue prever as frequências de várias séries de linhas espectrais do hidrogênio com uma precisão de cerca de uma parte em 10 5. Esse sucesso é mais impressionante porque algumas dessas séries não haviam ainda sido observadas quando as previsões foram feitas. O princípio da correspondência de Bohr Uma série de linhas espectrais é um conjunto de linhas espectrais para as quais n f é o mesmo. A série de Balmer, por exemplo, tem n f =2. Bohr utilizou bastante a noção de que a física clássica deve sempre ser obtida como um limite da física quântica. Ele determinou esse limite como sendo aquele dos grandes números quânticos. No caso do átomo de hidrogênio, as previsões quânticas devem reproduzir os resultados clássicos quando n é muito grande. Podemos verificar essa afirmação calculando a frequência da radiação emitida em uma transição de um estado de energia E n para um estado de energia E n-1, onde n é muito grande. Segundo a Eq. 10, Quando n, a expressão entre parênteses tende a 3 2/ n, logo Classicamente, a radiação seria emitida com frequência igual a frequência do movimento circular, dada por: onde as Eq. 5 e 6 foram utilizadas. Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.5
As ondas de matéria de Louis de Broglie Em analogia com o comportamento dual da radiação, Louis de Broglie, na sua tese de doutoramento em 1924, apresentou a hipótese de que também a matéria, como os elétrons, tinha um comportamento ondulatório. Ele postulou que a onda associada ao movimento de uma partícula material não relativística com momento p=mv teria comprimento de onda: chamado comprimento de onda de de Broglie da partícula. Podemos calcular o comprimento de de Broglie para um elétron livre de energia igual a 100 ev, e para uma bola de tênis, lançada a uma velocidade de 240 km/h, a maior velocidade alcançada até hoje. Para o elétron, p = c 6 2mE / c = 2x0,511 x10 ev x100ev / 3,4x 10-5 EVs/m. Logo, Para a bola de tênis, -15-5 -10 λ = 4,14 x10 evs /(3, 4x 10 evs / m) 1, 2x 10 m = 1, 2 Å. p=mv=0,2x67kg.m/s e λ = 6,63x10-24 Js /(1, 34x 10Js / m) 4,35x10 34 m. Assim como o comportamento ondulatório da luz só pode ser evidenciado quando as dimensões do aparato experimental são comparáveis com o comprimento de onda da luz, também para a matéria o comportamento ondulatório só será verificado nessa situação. O próprio de Broglie chegou a argumentar que o comportamento ondulatório do elétron poderia ser observado em experimentos de difração por cristais, onde o espaçamento entre átomos é da ordem de alguns ângstrons. Para partículas macroscópicas, como a nossa bola de tênis, fica claro que não podemos esperar encontrar qualquer tipo de evidência do seu comportamento ondulatório. A hipótese de de Broglie trouxe um sentido mais físico para a regra de quantização de Bohr. Se expressamos o momento do elétron na órbita em função do comprimento de onda de de Broglie na Eq. 3, a regra de quantização de Bohr fica definida como Ou seja, as órbitas possíveis são aquelas cujas circunferências contêm um número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie (Fig. 2). Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.6
Figure 2: Diagrama das três primeiras órbitas do átomo de hidrogênio, com as ondas de de Broglie associadas a cada uma delas. Note que os nós poderiam ocorrer em qualquer ponto da órbita. Experiências de difração de elétrons foram realizadas independentemente por Davisson e Germer, nos Estados Unidos em 1925, e por G.P. Thomson, na Escócia em 1927. Ambos confirmaram, qualitativa e quantitativamente, as previsões de de Broglie. Davisson e Thomson receberam o prêmio Nobel em 1937, por demonstrar propriedades ondulatórias do elétron. É curioso lembrar que J.J. Thomson, o pai de G.P. Thomson, ganhou o prêmio Nobel de 1906 por identificar o elétron como uma partícula de carga negativa As lacunas da antiga teoria quântica O modelo de Bohr obteve grande sucesso na previsão e reprodução de linhas espectrais do átomo hidrogênio e outros com apenas um elétron. Esse sucesso, porém, não se repetiu para átomos com mais elétrons. Uma outra falha do modelo foi a de não ser capaz de prever com que probabilidades cada uma das transições poderia ocorrer, mesmo para o átomo de hidrogênio. Apesar do grande sucesso dos modelos de Planck, Einstein, Compton e Bohr na descrição de muitos dos dados experimentais disponíveis na época, a teoria como um todo carecia de uma base mais fundamental, de uma coerência que foi alcançada um pouco mais tarde, em 1925, a partir do desenvolvimento da mecânica quântica por Schroedinger. Referências [1] R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, Editora Campus, 1979. [2] S. Gasiorowicz, Física Quântica, Editora Guanabara Dois, 1979. Erica Polycarpo e Marta F. Barroso pág.7