QUEDA LIVRE: ABORDAGEM VIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A. SCHENATTO 1 ; A. PRESOTTO 1 ; J. B LIMA 1 ; M. MAITO 1 ; M. CESCA 1, T. A. CRISTOFOLI 1 E S. D. STROCHEIN². RESUMO: O objetivo deste artigo é relacionar os conteúdos aprendidos na disciplina de Equações Diferenciais I, através da resolução de exemplos práticos. Faremos uma breve explanação acerca de três teóricos que dedicaram seus estudos à queda livre tais como: Aristóteles, Galileu e Newton, sendo este último quem através de suas teorias e experimentos físicos conseguiu descrevê-la de maneira mais adequada e até hoje seus conceitos embasam pesquisas sobre o tema em questão. Foi Newton quem concluiu que os corpos, independente de massa, caem sob influência da gravidade bem como definiu um corpo em queda livre como um Movimento Retilíneo Uniforme. Além das teorizações, será apresentado um modelo matemático do lançamento de uma pedra ao solo, partindo de um balão parado à 300m de distância do solo. Na sequência, será demonstrada a resolução da equação diferencial de forma analítica ou numérica para obtenção de informações qualitativas do problema, cujo resultado será analisado pelo campo de direções, após através da análise quantitativa representaremos solução geral da equação diferencial. PALAVRAS-CHAVE: queda-livre, aceleração e gravidade. INTRODUÇÃO Em nosso cotidiano podemos observar corriqueiramente objetos (corpos) que caem, desde uma borracha que cai da classe, um talher que cai da mesa, uma bola que desce após ser 1
lançada para cima, entre os vários exemplos que poderíamos citar. Aristóteles foi o primeiro que propôs uma teoria para explicar o fenômeno, em seguida Galileu, Newton e outros eruditos que deram sequência aos estudos acerca da Queda Livre. Neste artigo, tomaremos como base os três teóricos acima citados. Mostraremos suas teorias levando em conta a resistência do ar. Aristóteles, por exemplo, pregava que se duas pedras com pesos diferentes fossem abandonadas de uma mesma altura, a mais pesada cairia primeiro e, esta afirmação, foi aceita durante muito tempo, até que Galileu um dia resolveu testar a teoria dele. Sua experimentação baseou-se em largar da torre de Pisa, várias esferas com vários pesos diferentes, e todas elas chegaram ao solo no mesmo momento. Não satisfeito com o experimento, resolveu então, largar uma pedra e uma pena, e para sua surpresa, essa teoria começava a desmoronar, uma vez que os distintos objetos alcançaram o solo em intervalos de tempo diferentes. Ainda insatisfeito, logo chegou à hipótese de que o ar pudesse estar exercendo uma força contrária sobre a pena, tornando a queda dela mais lenta. Para Newton, porém, a queda não ocorreu no mesmo momento, pois sobre eles é exercida outra força que vem do ar e que origina uma resistência à movimentação do corpo e, essa resistência não tem a ver com o peso dos corpos, e sim com a área transversal perpendicular a direção do movimento. Podendo ser demonstrado através do exemplo: Uma folha de papel amassada na forma de uma bola, apesar do mesmo peso, cai mais rápido que uma folha de papel aberta. A queda só se daria em um mesmo momento, se os corpos fossem abandonados no vácuo, onde há ausência de ar. Deste experimento Newton conclui que todos os corpos, independente de seu tamanho e de sua massa, caem sob o efeito de uma mesma aceleração, que é a aceleração da gravidade. No estudo do movimento de um corpo em queda livre deve-se ter em mente que os copos sofrem influência da força gravitacional da terra chamada de campo gravitacional que é denominada força peso. Essa força é sempre direcionada para o centro da Terra, por isso que os corpos sempre caem para baixo em direção ao solo. Tem-se a aceleração da gravidade que é sempre constante em corpo em queda livre, que é representada pela letra g, que varia de g 9,78m/s 2, mas para os cálculos é usado g=10m/s 2. O corpo em queda livre é um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. A física elementar que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permaneça em 2
repouso ou continua movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que quando a soma das forças F= Fk, isto é, a força líquida ou resultante que age sobre o corpo for zero, a aceleração do corpo será zero. A segunda lei do movimento de Newton indica que, quando a força líquida que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será proporcional à sua aceleração ou, mais precisamente, F=ma onde m é a massa do corpo. O nosso modelo foi retirado do artigo Queda dos corpos e Equações Diferenciais num primeiro curso de Cálculo. Sendo assim é uma hipótese. MODELO De um balão parado a 300m acima do solo, uma pedra é lançada diretamente ao solo, com velocidade de 15m/s. Achar a posição e a velocidade da pedra 20s depois. Considerando que a direção da pedra é positiva e consideramos a posição do balão como origem do movimento, onde s(0) =0 e aceleração da pedra igual a 9,8m/s. m dv/dt=mg-ɣv Consideramos: m=300m, Ɣ=15m\s, g=9,8m/s. Assim temos: ANÁLISE QUALITATIVA Quando resolvemos a equação diferencial de forma analítica ou numérica, seja explicitamente ou implicitamente, obtêm-se informações qualitativas do problema. Mas não é necessário resolvermos a equação diferencial para obtermos características do comportamento das soluções. Que será visto no gráfico da figura 1. Vejamos agora uma análise qualitativa das soluções do modelo. Consideramos: m=300m, Ɣ=15m\s, g=9,8m/s. Assim temos: 3
Inicialmente procuramos o valor crítico (solução de equilíbrio) da velocidade no qual. Cálculo: 9,8-0,05v=0 de onde obtemos V=196m/s Supondo v=200m/s, obtemos arc tg(-0.2)= -11.30º Supondo v=190m/s, obtemos arc tg (0,3) =16,7º Figura 1: Campo de direções Observamos que para v<196 a velocidade do objeto aumenta enquanto ele cai e para v>196 a velocidade diminui enquanto ele cai. O valor crítico da velocidade é de 196, no qual indica que a solução deste problema é constante, neste caso v=196 é denominada solução de equilíbrio do sistema. Mediante a análise do gráfico podemos observar que as soluções parecem convergir para a solução de equilíbrio enquanto t aumenta. Podemos observar que no modelo descrito, a equação diferencial tem a forma: 4
Definição do campo de direções: Seja a equação diferencial Geometricamente o campo de direções quer dizer que, para qualquer ponto (t,y) o coeficiente angular dy/dt neste ponto é dado por f(t,y). Construção: Calcula-se f em cada ponto de uma malha retangular sendo que para cada ponto desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor de f naquele ponto. O conjunto de segmentos de reta é denominado CAMPO DE DIREÇÕES. Faremos a seguir a análise quantitativa de equações de primeira ordem lineares denotadas por: Isto é obtermos a expressão analítica das soluções da equação (2). ANÁLISE QUANTITATIVA Esta equação pode-se ser resolvida por equações diferenciais lineares não homogêneas, onde temos: = 9,8 0,05v A solução geral representa a família de soluções de uma equação diferencial, ou seja, ela engloba todas as soluções da equação: Retornando ao exemplo anterior: a= -0,05, b=9,8 A solução geral é dada por: V=,onde obtemos v= 5
Conforme veremos no gráfico da figura 2. Figura 2: Gráfico da solução geral, onde K=0 e t=0. Observamos que o comportamento das soluções descrito qualitativamente pelo campo de direções é o mesmo descrito quantitativamente pela expressão analítica das soluções. CONSIDERAÇÕES FINAIS Um objeto em queda livre possui um valor crítico da velocidade que indica que a solução deste problema é constante, denominada solução de equilíbrio do sistema. Concluímos que após calcular o valor crítico da velocidade, conseguimos observar que com valores menores que o valor crítico a velocidade do objeto aumenta enquanto ele cai e para valores maiores que o valor crítico a velocidade diminui enquanto ele cai. Com o estudo do gráfico pode-se observar que as soluções convergem para a solução de equilíbrio enquanto o tempo aumenta. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 6
HERSKOWICZ, Gerson; PENTEADO, Paulo Cesar; SCOLFARO, Valdemar. Curso completo de Física. São Paulo: Moderna, 1991. htpp://www.mat.ufmg.br. Acessado em 23 de abril de 2013. 7