Campo Magnético - Força de Lorentz Evandro Bastos dos Santos 22 de Maio de 2017 1 Campo Magnético Podemos entender que a região próxima a um ímã influencia outros ímãs ou materiais ferromagnéticos e paramagnéticos, como cobalto e ferro. Essa região é uma região que possui um campo magnético. Nessa aula não veremos, ainda, a origem do campo magnético mas veremos como um campo magnético afeta uma carga elétrica em movimento. O vetor que descreva este campo, chamado vetor indução magnética, é simbolizado por B. Se pudermos colocar uma pequena bússola em um ponto sob ação do campo o vetor B terá direção da reta em que a agulha se alinha e sentido para onde aponta o polo norte magnético da agulha. Se pudermos traçar todos os pontos onde há um vetor indução magnética associado veremos linhas que são chamadas linhas de indução do campo magnético. Estas são orientados do polo norte em direção ao sul, e em cada ponto o vetor B tangencia estas linhas. Figura 1: Campo magnético produzido por um ímã As linhas de indução existem também no interior do ímã, portanto são linhas fechadas e sua orientação interna é do polo sul ao polo norte. Assim como as linhas de força, as linhas de indução não podem se cruzar e são mais densas onde o campo é mais intenso. Os pólos norte e sul de um ímã não podem ser separados, veremos nas próximas aulas o porque da não-existência do monopolo magnético. O nosso planeta é um grande ímã. Os pólos geográficos norte e sul, não coincidem com os pólos magnéticos norte e sul. Essa diferença, chamamos de declinação magnética. Essa diferença varia para cada região do planeta, em nossa região é em torno de 27 o. 1
Figura 2: Declinação Magnética 2 Força sobre uma partícula carregada Vimos que o campos elétrico e o campo gravitacional podem ser escritos como a força elétrica ou a força gravitacional, respectivamente, por unidade de carga elétrica e de massa. E = F e q g = F g m No caso do campo magnético, muitas situações que são válidas para o campo elétrico e campo gravitacional não são válidas para o campo magnético. Ele é bem particular nesses aspectos, o primeiro diz sobre a interação do campo magnético com uma carga elétrica. Para entendermos como funciona essa interação vamos considerar uma particula carregada com carga elétrica q, que se move em uma região de campo magnético (convenção do símbolo x indica o sentido do campo para dentro do plano). (1) (2) Figura 3: Particula carregada se movendo sob a ação de um campo magnético 2
Essa partícula, então, sofre a ação de uma força que é perpendicular ao vetor velocidade e ao vetor indução magnética, simultaneamente. O sentido do vetor força pode ser determinado pela regra da mão direita, indicada pela figura 4. Figura 4: Regra da mão direita O módulo da força magnética é obtido por F = qvb sin θ (3) em que, θ é o angulo entre a velocidade e o campo magnético. Portando, ao considerar a direção da força, temos que v e B compõem um produto vetorial e portando a força F pode ser escrita como F = q v B (4) A unidade do campo magnético, ou mais precisamente indução magnética, é o Tesla [T]. Usualmente também temos o Gauss [G], que equivale 1G = 10 4 T. Se a carga elétrica estiver, também, sob ação de um campo elétrico ( F = q E), então pelo princípio da superposição, podemos somar as duas forças, elétrica e magnética e obter. F = q E + q v B (5) F = q( E + v B) (6) Essa forma completa é conhecida por força de Lorentz, que representa a força sofrida por uma carga elétrica na ação de um campo elétrico e um campo magnético. Exemplo 1: Considere uma carga elétrica de valor desconhecido que se move sob a ação de um campo magnético de 2mT, quando sofre a ação de uma força de 2N sua velocidade é medida e igual a 200m/s. Calcule o valor da carga elétrica. 2.1 Aplicação a um espectrômetro de massas Um espectrômetro de massas é um equipamento muito utilizado em química que tem por finalidade separar em uma amostra desconhecida, seus componentes com massas, ou relação carga/massa, diferentes. Seu funcionamento básico é muito simples. Há um seletor de velocidades, que possui um campo elétrico (E) entre as suas placas e um campo magnético (B 1 ) perpendicular. Quando uma carga entra na região dos campos, sofre a ação das duas forças, que nesse caso são opostas. Se a velocidade 3
F e = F m (7) qe = qvb 1 (8) v = E B 1 (9) é respeitada, a força sobre a partícula é nula, então ela cruza sem sofrer qualquer deflexão. Após passar pelo sistema de seleção, a carga entra em uma outra região de campo magnético (B 2 ), sem campo elétrico, e sofre portanto uma deflexão. A força resultante é exatamente a força centrípeta que atua sobre a partícula, sendo também somente a força magnética. Então podemos obter F c = F m (10) m v2 r = qvb 2 (11) r = mv qb 2. (12) Esse valor de r é o ponto em que a partícula irá colidir no detector, como todas as partículas tem velocidade v, pois foram selecionadas, e o campo é o mesmo, apenas a relação m que é diferente. Sendo então para cada valor de m uma posição de detecção diferente. O q q esquema é mostrado na figura 5. Figura 5: Esquema de um espectrômetro de massas 3 Movimento de uma partícula em um campo magnético A figura 6 mostra que se a velocidade da partícula tiver a mesma direção do campo magnético, a força será nula, resultando num movimento retilíneo uniforme. Por outro lado, se o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor campo magnético for diferente de zero, podemos decompor o vetor velocidade em duas direções: uma na direção de B, e outra perpendicular. Isto é, v = v + v (13) Portanto, o movimento de uma partícula, de massa m e carga q, numa região do espaço onde existe um campo magnético, é sempre composto de um movimento retilíneo uniforme 4
e de um movimento circular. Este tipo de movimento é esquematizado na figura 6. Como se vê a força centrípeta, que proporciona o movimento circular, é igual à força magnética. Figura 6: Movimento de uma partícula sob um campo B. Assim, a partícula movimenta-se num círculo com raio r = mv qb (14) Da relação v = ωr, obtém-se a velocidade angular ω = qb m (15) Da relação ω = 2πf, obtém-se a frequência e o período f = qb 2πm (16) T = 1 f = 2πm qb (17) Exemplo 2: Determine, no exemplo 1, o raio de curvatura do movimento. O período e a frequência. Exercícios: Halliday 9ed: 3, 7, 17, 27. 5