UFABC NHZ3043 NOÇÕES DE ASTRONOMIA E COSMOLOGIA Curso 2016.2 Prof. Germán Lugones Capítulo 6 Astrofísica estelar: estrutura e evolução das estrelas
Equilíbrio hidrostático A primeira condição que precisa ser cumprida pelo interior estelar é a condição de equilíbrio hidrostático (mecânico): todas as forças atuando em qualquer elemento de volume dentro da estrela têm de ser compensadas exatamente, já que uma força resultante não-nula implicaria movimentos e, portanto, mudanças na estrutura. As únicas forças que precisamos considerar são a força gravitacional, para dentro, e a força de pressão, para fora. Vamos considerar um elemento de volume cilíndrico, a uma distância r do centro da estrela, com seu eixo na direção do centro, com uma seção transversal da e um comprimento dr: volume do elemento: dv = da dr massa: dm=ρdadr, onde ρ=ρ(r) é a densidade do gás no radio r. seja Mr a massa dentro do raio r (região cinza na figura)
A força gravitacional no elemento dm é: df g = GM r dm r 2 = GM rρ r 2 d A dr onde G é a constante gravitacional. O sinal negativo indica que a força aponta para o centro da estrela. Se a pressão na superfície inferior do elemento de volume é P, e na superfície superior é P + dp, a força líquida da pressão atuando sobre o elemento é: df p = P d A (P + d P)d A = dp d A. Uma vez que a pressão diminui para fora, dp será negativo e a força df p será positiva.
Para termos equilíbrio hidrostático, a força total actuando sobre o elemento de volume deve ser igual a zero, i.e. 0 = df g + df p Portanto, = GM rρ r 2 d A dr d P d A dp dr = GM rρ r 2. Esta é a equação e equilíbrio hidrostático.
Equação da massa Consideremos uma casca esférica de espessura dr, à distância r do centro da estrela. A massa dessa casca é: Obtemos então: dm r = 4πr 2 ρ dr dm r dr = 4πr 2 ρ. Esta é a equação de continuidade da massa.
Produção de energia A terceira condição de equilíbrio expressa a conservação da energia, a qual requer que qualquer energia produzida na estrela deve ser transportada para a superfície e irradiada para fora. Consideremos novamente uma casca esférica de espessura dr e massa dm r localizada no raio r (área cinza na figura). Seja L r o fluxo de energia, isto é, a quantidade de energia que passa através da superfície r por unidade de tempo. Seja ε o coeficiente de produção de energia, i.e. a quantidade de energia liberada na estrela por unidade de tempo e massa. Logo, a energia por unidade de tempo produzida pela casca esférica é: dl r = L r+dr L r = εdm r = 4πr 2 ρε dr.
A partir da equação anterior, obtemos: dl r dr = 4πr2 ρε Esta é a equação de conservação da energia. A taxa de produção de energia depende da distância ao centro. Essencialmente, toda a energia irradiada pela estrela é produzida no núcleo quente e denso. Nas camadas exteriores, a produção de energia é negligenciável e L r é quase constante.
Gradiente de temperatura A quarta equação de equilíbrio fornece a mudança de temperatura como função do raio, ou seja, o gradiente de temperatura dt/dr. A forma da equação depende de como a energia é transportada: por condução, convecção ou radiação. No interior de estrelas normais, a condução é bastante ineficiente, uma vez que os elétrons que transportam a energia só podem viajar uma distância muito curta, antes de colidir com outras partículas. A condução só se torna importante em estrelas compactas, como anãs brancas e estrelas de nêutrons, onde o caminho livre médio dos fótons é extremamente curto, mas o de alguns elétrons podem ser relativamente grande. Em estrelas normais o transporte de energia por condução pode ser negligenciado. TRANSPORTE RADIATIVO: No caso do transporte de energia por radiação, os fótons emitidos em partes mais quentes da estrela são absorvidos em regiões mais frias, as quais são aquecidas. Quando a energia liberada no interior estelar é levada para fora inteiramente por radiação, a gente diz que a estrela está em equilíbrio radiativo.
O gradiente de temperatura por radiação está relacionado com o fluxo de energia de acordo com L r ( dt dr = 3 )( )( ) κρ Lr (1) 4ac T 3 4πr 2 onde a = 4σ/c = 7.564 10 16 J m 3 K 4 é a constante de radiação, c é a velocidade da luz,! a densidade, e " o coeficiente de absorção por unidade de massa (cujo valor depende da temperatura, da densidade e da composição química). A equação acima é a quarta equação básica de equilíbrio (neste curso não a demonstraremos). Ela é chamada de equação de equilíbrio radiativo, e fixa o valor do fluxo líquido de radiação (F r = L r / 4πr 2 ) como uma função do gradiente de temperatura e da opacidade "! dos gases atravessados pela radiação. A derivada dt/dr é negativa, uma vez que T aumenta para dentro da estrela. É evidente que deve haver um gradiente de T para que a energia seja transportada por radiação: caso contrário, o campo de radiação seria o mesmo em todas as direcções e o fluxo líquido F r = L r / 4πr 2, iria desaparecer.
TRANSPORTE CONVECTIVO: Se a transferência radiativa de energia se torna ineficiente, o valor absoluto do gradiente de temperatura por radiação pode ficar muito grande. Nesse caso, podem aparecer movimentos convectivos no gás, que transportam a energia para o exterior de forma mais eficiente do que a radiação. Nestes movimentos convectivos, gás quente sobe para cima até as camadas mais frias, onde ele perde a sua energia e afunda novamente. Os elementos de gás subindo e afundando também misturam a matéria estelar, de forma que a composição das partes convectivas de uma estrela tende a ficar mais homogénea. Pelo contrário, a radiação e a condução não misturam a matéria uma vez que elas transportam energia, não gás.
A fim de obter o gradiente de temperatura para o caso convectivo, consideremos uma bolha de matéria que sobe. Suponhamos que o gás que constitui a bolha obedece uma equação de estado adiabática T P 1 1 γ onde P é a pressão do gás e γ o expoente adiabático γ = C P /C V, sendo C P e C V os calores específicos a pressão e volume constante respectivamente. A suposição de equação de estado adiabática é uma aproximação razoável já que estamos pensando que a convenção acontece porque as transferências de energia por radiação e condução são desprezíveis. O expoente adiabático γ depende do grau de ionização do gás, e pode ser calculado se conhecemos a temperatura, a densidade e a composição química da matéria. Derivando a equação acima obtemos a equação para o gradiente de temperatura convectivo: dt dr = ( 1 1 γ ) T P dp dr (2)
Nas camadas mais exteriores da estrela, a troca de calor com o ambiente deve ser levada em conta, e a Eq. (2) não é uma boa aproximação. Os movimentos convectivos acontecem quando o gradiente de temperatura radiativa se torna maior em valor absoluto do que o gradiente adiabático, i.e. tanto se o gradiente de radiação fica grande ou se o gradiente de convecção fica pequeno. A partir de (1) vemos que um gradiente radiativo grande pode ocorrer se o fluxo de energia é grande e/ou se o coeficiente de absorção de massa fica grande (matéria opaca). A partir de (2) vemos que o gradiente convectivo pode ficar pequeno se o expoente adiabático se aproxima de 1. A teoria da convecção é difícil e ainda não é completamente entendida, mas uma abordagem mais detalhada está atém do escopo desta disciplina.
Condições de Contorno A fim de obtermos um problema bem posto, algumas condições de contorno devem ser prescritas para as equações diferenciais anteriores. Estas são: Não há fontes de energia ou massa no centro da estrela (r = 0); i.e. M 0 = 0 e L 0 = 0. A massa total dentro do raio R da estrela é fixa, M R = M. A temperatura e a pressão na superfície estelar têm valores determinados, T R e P R. Estes são muito pequenos em comparação com aqueles no interior, i.e. em geral é suficiente considerar T R = 0 e P R = 0. Para completar o sistema de equações, precisamos de uma equação de estado que relacione a pressão com a densidade e a temperatura. Também precisamos de expressões para o coeficiente de absorção e a taxa de geração de energia, que serão apresentadas mais adiante. A solução das equações diferenciais básicas permite obter a massa, a temperatura, a densidade e o fluxo de energia como funções da coordenada radial r. O raio e luminosidade estelar podem então ser calculados e comparados com as observações.
Equação de estado da matéria estelar Devido à elevada temperatura, o gás nas estrelas está quase totalmente ionizado. As interações entre as partículas individuais são pequenas em relação à energia cinética das mesmas, i.e. é uma boa aproximação considerar que o gás obedece a equação do gás ideal: P = k ρt µm H onde k é a constante de Boltzmann, # é o peso molecular médio em unidades de m H, sendo m H a massa do átomo de hidrogénio. O peso molecular médio pode ser aproximadamente calculado assumindo ionização completa. Um átomo com carga nuclear Z produz então Z+1 partículas livres (o núcleo e Z elétrons). O hidrogénio dá origem a duas partículas por unidade de massa atómica; O hélio dá origem a três partículas por quatro unidades de massa atómica. Para todos os elementos mais pesados que H e He é suficiente tomar Z+1 como sendo a metade do peso atômico. (Valores exatos podem ser facilmente calculados, mas a abundância de elementos pesados é tão pequena que isso não é necessário prática.)
Em astrofísica a fracção relativa de massa de hidrogénio é indicada por X, a do hélio por Y e a de todos os elementos mais pesados (metais) por Z, de modo que X + Y + Z = 1 (A grandeza Z nesta equação não deve ser confundida com a carga nuclear, que, infelizmente, é denotada pela mesma letra.) Assim, o peso molecular médio será µ = 1 2X + 3 4 Y + 1 2 Z A altas temperaturas, a pressão de radiação deve ser adicionada à pressão do gás descrita pela equação do gás ideal. A pressão exercida pela radiação é P rad = 1 3 at 4 onde a = 4σ/c é a constante de radiação. Portanto, a pressão total fica: P = k µm H ρt + 1 3 at 4.
Opacidade A opacidade descreve quão difícil é para a radiação se propagar através do gás. A mudança di da intensidade ao se propagar uma distância dr pode ser expressa como di = Iαdr, onde α é a opacidade. A opacidade depende da composição química, da temperatura e da densidade do gás. Ele é geralmente escrita como α = "!, onde! é a densidade do gás e " o coeficiente de absorção por unidade de massa (["] = m 2 / kg). O inverso da opacidade representa o livre caminho médio da radiação no meio, isto é, a distância que pode se propagar sem ser dispersa ou absorvida: $ = 1/"ρ. No núcleo das estrelas, três mecanismos geram a opacidade: absorção, espalhamento e reflexão. Vamos listar os vários mecanismos:
1. absorção verdadeira (a) transições ligado-ligado (absorção em linhas, excitação) (b) transições ligado-livre (ionização) (c) transições livre-livre (bremstrahlung: um elétron livre no campo de um íon pode absorver uma quantidade arbitrária de energia, e aumentar sua energia cinética). 2. espalhamento Thomson de fótons por elétrons livres se o elétron não adquirir velocidade relativística, chama-se efeito Compton coerente. O termo coerente implica que a reemissão é na mesma frequência da radiação incidente. Se os elétrons forem relativísticos, a reemissão é incoerente. Esse processo, embora não seja uma absorção real, atenua o feixe de radiação, porque o elétron re-irradia, ou espalha, a luz em outra direção. 3. absorção por íons negativos 4. absorção molecular; 5. espalhamento Rayleigh (absorção da radiação por uma molécula, indo para um estado excitado e subsequente reemissão em qualquer direção);
6. espalhamento Raman (absorção da radiação por uma molécula, indo para um estado excitado e subsequente emissão de radiação em outra frequência, pois a molécula passa para um outro estado vibracional ou rotacional). 7. produção de pares; 8. espalhamento Compton incoerente (freqüência diferente) por elétrons relativísticos; 9. absorção nuclear; 10. espalhamento fóton-fóton; 11. processos fóton-neutrinos. 12. etc.
Fontes de energia estelar A fonte de energia das estrelas são as reações de fusão termonuclear que acontecem no interior estelar. Nas reações de fusão, elementos leves são transformados em elementos mais pesados. Os produtos finais da reacção têm massa total menor que os núcleos iniciais. Esta diferença de massa é liberada como energia de acordo com a relação E = mc 2. O núcleo atómico é formado por prótons e nêutrons, colectivamente denominados núcleons. Definimos: m p = massa do próton, m n = massa do nêutron, Z = carga nuclear = número atómico, N = número de nêutrons, A = Z + N = peso atómico, m(z, N) = massa do núcleo. A massa do núcleo é menor do que a soma das massas de todos os seus núcleons. A diferença é chamada de energia de ligação (energia de binding). A energia de binding por núcleon é: Q = 1 A (Zm p + Nm n m(z, N))c 2
A energia de binding Q aumenta no sentido de elementos mais pesados até ao ferro (Z = 26). Além ferro a energia de binding novamente começa a diminuir.
Já na década de 1930, era geralmente aceito que a energia estelar era produzida por fusão nuclear. Em 1938, Hans Bethe apresentou o primeiro mecanismo para a produção de energia nas estrelas, o ciclo carbono-nitrogénio-oxigénio (CNO). Os outros processos importantes de geração de energia (a cadeia próton-próton e a reação triplo-alfa) não foram propostas até a década de 1950.
O CICLO PRÓTON-PRÓTON Em estrelas com massas de aproximadamente a do Sol ou menor, a energia é produzida pelo ciclo próton-próton (pp). Ele consiste nos seguintes passos: ppi: (1) 1 H + 1 H 2 H + e + + ν e, 1 H + 1 H + e 2 H + ν e, (2) (3) 2 H + 1 H 3 He + γ, 3 He + 3 He 4 He + 2 1 H. Para cada reacção (3) as reacções (1) e (2) devem acontecer duas vezes. O neutrino % e produzido em (1) pode escapar livremente da estrela e leva parte da energia liberada. O pósitron e + é aniquilado com um elétron, dando origem a dois fótons gama. A segunda reacção, onde um deutério e um próton formam o isótopo do hélio, 3 He, é muito rápida em comparação com a anterior. Assim, a abundância de deutério no interior das estrelas é muito pequena. O último passo no ciclo pp pode assumir três formas diferentes. O ciclo PPI, acima, é o mais provável. No Sol, 91% da energia é produzida pelo ciclo PPI. É também possível para núcleos 3He para unir em núcleos 4He em dois ramos adicionais da cadeia pp.
É também possível que núcleos 3 He produzam núcleos 4 He através dois ramos adicionais da cadeia pp. ppii: (3) (4) (5) ppiii: (3) (4) (5) (6) 3 He + 4 He 7 Be + γ, 7 Be + e 7 Li + ν e, 7 Li + 1 H 4 He + 4 He, 3 He + 4 He 7 Be + γ, 7 Be + 1 H 8 B + γ, 8 B 8 Be + e + + ν e, 8 Be 4 He + 4 He. O ciclo PPI tem Q = 26,20 MeV, com dois neutrinos de energia média de 0,263 MeV cada (0,42 MeV máxima). O ciclo PPII tem Q = 25,67 MeV, correspondendo a uma perda por neutrinos de 4%, com neutrinos de 0,80 MeV, além dos dois de 0,263 MeV. O ciclo PPIII, com Q = 19,2 MeV, corresponde a uma perda por neutrinos de 28%, com neutrinos carregando 7,2 MeV, além dos dois de 0,263 MeV. No Sol, o PPI contribui com 85% da luminosidade, PPII com 15% e PPIII com 0,015%.
O CICLO CNO A temperaturas inferiores a 20 milhões de graus a cadeia pp é o mecanismo principal de produção de energia. A temperaturas mais elevadas, correspondentes a estrelas com massas acima de 1.5 M, o ciclo de carbono (CNO) torna-se dominante, porque as suas taxas de reacção aumentam mais rapidamente com a temperatura. No ciclo CNO, o carbono, o oxigênio e o nitrogênio atuam como catalisadores. O ciclo é o seguinte: 12 C+p! 13 N+ (Q =1, 944 MeV) 13 N! 13 C+e + + e (0, 710 MeV) (Q =1, 511 MeV) 13 C+p! 14 N+ (Q =7, 550 MeV) 14 N+p! 15 O+ (Q =7, 290 MeV) 15 O! 15 N+e + + e (1, 000 MeV) (Q =1, 761 MeV) 15 N+p! 12 C+ 4 He (Q =4, 965 MeV) X Q = 25, 02 MeV A fração da energia liberada como radiação no ciclo CNO é ligeiramente menor do que na cadeia pp, porque mais energia é levada embora por neutrinos.
A REAÇÃO TRIPLO ALFA Como resultado das reacções de precedentes, a abundância de hélio nos interiores estelares aumenta. A uma temperatura acima de 10 8 graus, o hélio pode ser transformado em carbono na reacção triplo alfa: (1) (2) 4 He + 4 He 8 Be, 8 Be + 4 He 12 C + γ O 8 Be é instável e decai em dois núcleos de hélio ou partículas alfa em 2,6 10-16 s. A produção de carbono requer, portanto, a colisão quase simultânea de três partículas. A reacção é muitas vezes escrita 3 4 He 12 C + γ Uma vez que a queima de hélio foi completada, a temperaturas mais elevadas se tornam possíveis outras reacções, em que os elementos mais pesados até ao ferro e níquel são produzidos. Exemplos de tais reacções são: várias reacções reações alfa, queima de oxigénio, queima de carbono e queima de silício.
Reações alfa. Durante a queima de hélio alguns dos núcleos de carbono produzidos reagem com núcleos de hélio para formar oxigénio, que por sua vez reage para formar néon, etc. Estas reacções são bastante raras e, portanto, não são importantes como fontes de energia estelar. Exemplos são: 12 C + 4 He 16 O + γ, 16 O + 4 He 20 Ne + γ, 20 Ne + 4 He 24 Mg + γ. Queima de carbono. Depois que o hélio se esgota, a queima carbono começa a uma temperatura (5-8) 10 10 K: 12 C + 12 C 24 Mg + γ 23 Na + 1 H 20 Ne + 4 He 23 Mg + n 16 O + 2 4 He.
Queima de oxigênio. O oxigênio é consumido em temperaturas ligeiramente mais elevadas nas reações 16 O + 16 O 32 S + γ 31 P + 1 H 28 Si + 4 He 31 S + n 24 Mg + 2 4 He. Queima de silício. Após várias etapas intermediárias, a queima de silício produz níquel e ferro. O processo total pode ser expresso como 28 Si + 28 Si 56 Ni + γ, 56 Ni 56 Fe + 2e + + 2 ν e.
Quando a temperatura se torna superior a cerca de 10 9 K, a energia dos fótons se torna grande o suficiente para destruir certos núcleos. Tais reacções são chamadas de reacções fotonucleares ou fotodissociações. A produção de elementos mais pesados do que o ferro requer a adição de energia (reações endotérmicas). Portanto, tais elementos não podem ser produzidos através de reacções termonucleares. Elementos mais pesados que o ferro são produzidos quase exclusivamente por captura de nêutrons durante as fases finais violentas da evolução estelar (veremos isso mais adiante).
As taxas das reacções apresentadas antes podem ser determinadas por experiências de laboratório ou por cálculos teóricos. Conhecendo essas taxas, pode-se calcular a taxa na qual a energia é libertada por unidade de massa e de tempo como uma função da densidade, da composição químicas, e da temperatura: ε = ε (t,!, X, Y, Z). Na realidade, a abundância relativa de cada um dos núcleos mais pesados tem que ser conhecida, não apenas a sua abundância total Z. Tipicamente, as taxas de reação termonucleares possuem uma dependência muito forte com a temperatura. Por exemplo: ε PPI ~ T 4 ε CNO ~ T 20 ε 3& ~ T 41 Com uma dependência tao forte, um aumento pequeno da temperatura produz um aumento enorme na energia gerada por segundo. Por exemplo, no caso do processo 3&, um aumento de 10% na temperatura leva a um aumento de 50 vezes na taxa de produção de energia!