Resistência dos Materiais

1ª Parte Capítulo 2: Tensão e Deformação Carregamento Axial Professor Fernando Porto Resistência dos Materiais

Introdução No Capítulo anterior, aprendemos a calcular as tensões que surgem pela aplicação de carregamentos em vários membros e conexões, de uma máquina ou estrutura. Aprendemos a projetar membros ou conexões de maneira que eles não viessem a falhar sob especificadas condições de carregamento.

Introdução Outro importante aspecto na análise e projeto de estruturas se relaciona com as deformações causadas pela aplicação das cargas a uma estrutura. É importante evitar que as deformações se tornem tão grandes a ponto de impedir que a estrutura venha a cumprir os fins aos quais estava destinada. Através da análise das deformações pode-se também determinar as tensões.

Deformação Normal sob Carregamento Axial Vamos considerar a barra BC, de comprimento L, e seção transversal de área A, suspensa do ponto B. Se aplicarmos uma carga P na extremidade C, a barra sofre uma deformação (delta). : defomação

Deformação Normal sob Carregamento Axial Nós definimos a deformação específica normal ( - epsilon) pela seguinte expressão: = : deformação linear total L : comprimento inicial Uma vez que a deformação linear total e o comprimento são expressos nas mesmas unidades, a deformação específica normal é uma grandeza adimensional.

Deformação Normal sob Carregamento Axial Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L = 0,600 m e de seção transversal uniforme, que se deforma de um valor = 150 x 10-6 m. A deformação específica correspondente é: ou

Diagrama Tensão-Deformação É o diagrama que representa as relações entre tensões e deformações específicas de um material. Para obtenção do diagrama tensão-deformação de certo material, normalmente se faz um ensaio de tração de uma amostra do material. Máquina para ensaios de tensão

Neste ensaio, utiliza-se um corpo-de-prova típico do material. Corpo-de-prova é uma amostra de um dado material, retirado de um lote, com o objetivo de se obter as propriedades mecânicas do material. Corpo de prova típico

O corpo-de-prova é levado à máquina de teste, que é usada para aplicar a carga centrada P. A medida que aumenta o valor de P, a distância L entre as duas marcas também aumenta

É obtido dividindo-se as ordenadas (forças) pela área da seção transversal inicial (estimando assim as tensões) e as abscissas (deformações) pelo comprimento inicial L, estimando assim a deformação específica. = =

= 400 Ruptura [MPa] 280 s e escoamento s R 140 recuperação estricção =

O diagrama tensão-deformação varia muito de material para material, e, para um mesmo material, podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga.

Entre os diagramas tensão-deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas características comuns. Elas nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: Materiais dúcteis; Materiais frágeis.

Material dúctil Material frágil Diagramas típicos de materiais dúctil e frágil.

Materiais Dúcteis Os materiais dúcteis, que compreendem o aço estrutural e outros metais, se caracterizam por apresentarem escoamento a temperaturas normais.

O corpo-de-prova é submetido a carregamento crescente, e seu comprimento aumenta, de início, lentamente, sempre proporcional ao carregamento. Desse modo, a parte inicial do diagrama tensãodeformação é uma linha reta com grande coeficiente angular.

Entretanto, quando é atingido um valor crítico de tensão s e, o corpo-de-prova sofre uma longa deformação, com pouco aumento da carga aplicada.

Essa deformação é causada por deslizamento relativo das camadas do material de superfícies oblíquas, o que mostra que este fato se dá principalmente por tensões de cisalhamento. Quando o carregamento atinge um valor máximo, o diâmetro do corpo começa a diminuir, devido a perda de resistência local. Esse fenômeno é conhecido como estricção.

Após o início da estricção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpode-prova se deformando, até que ocorra a ruptura. Corpos de prova de material dúctil: a) Estricção b) Ruptura

Podemos perceber que a ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo aproximado de 45 o com a superfície inicial do corpo-deprova. Isto mostra que a ruptura dos materiais dúcteis ocorre sob tensão de cisalhamento;

Onde: s e s U s R Tensão de escoamento (início do escoamento); Tensão última (máxima carga aplicada); Tensão de ruptura (ponto de ruptura). Ruptura 400 Ruptura [MPa] 280 s e 140 Aço estrutural Alumínio

Os diagramas tensão-deformação mostram que o aço estrutural e o alumínio, ambos materiais dúcteis, apresentam diferenças de comportamento no escoamento. Para o aço estrutural, as tensões permanecem constantes para uma grande variação das deformações, após o início do escoamento. Ruptura 400 Ruptura [MPa] 280 s e 140 Aço estrutural Alumínio

No caso do alumínio, e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado pelo trecho horizontal do diagrama (patamar de escoamento). Ao invés disso, as tensões continuam aumentando - embora não de maneira linear até que a tensão última é alcançada. Começa então a estricção que pode levar a ruptura. 400 Ruptura [MPa] 280 s e 140 Alumínio

Para esses materiais se define um valor convencional para a tensão s e. A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abscissas a deformação específica = 0,2% (ou = 0,002), e por esse ponto traçando-se uma reta paralela ao trecho linear inicial do diagrama. A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama, é conhecida como tensão convencional a 0,2%.

A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama, é conhecida como tensão convencional a 0,2%. s e Ruptura convencional

Materiais Frágeis Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material. Então, para os materiais frágeis, não diferença entre tensão última e tensão de ruptura. Além disto, a deformação até a ruptura é muito menor nos materiais frágeis do que nos materiais dúcteis.

Materiais Frágeis Não ocorre estricção nos materiais frágeis e a ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento. Pode-se concluir daí que a ruptura dos materiais frágeis se deve principalmente a tensões normais.

s U = s R Ruptura

Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade Atualmente, as estruturas são projetadas de modo a sofrerem pequenas deformações que não ultrapassem os valores do diagrama tensão-deformação correspondentes ao trecho reto do diagrama (região elástica).

Região elástica

Na parte inicial do diagrama, a tensão s é diretamente proporcional à deformação específica e podemos escrever: =.

Esta relação é conhecida como Lei de Hooke, e se deve ao matemático inglês Robert Hooke. =. Robert Hooke (Julho 1635 Março 1703)

O coeficiente E é chamado módulo de elasticidade longitudinal do material, ou módulo de Young (Thomas Young, cientista inglês). Expresso em [Pa] ou seus múltiplos no sistema internacional, o coeficiente E é uma propriedade mecânica do material = Thomas Young (Junho 1773 Maio 1829)

Uma curiosidade sobre o módulo de Young é que dois outros grandes cientistas precederam Thomas Young em muitas décadas. Entretanto, como foi o cientista inglês quem conseguiu generalizar a aplicação, o módulo acabou por levar o seu nome. Giordano Riccati ou Jordan Riccati (fl. 1782) Leonhard Euler (Abril 1707 Setembro 1783)

Ao maior valor para o qual a Lei de Hooke é válida se denomina limite de proporcionalidade do material. Quando o material é dúctil e possui o início do escoamento em um ponto bem definido do diagrama, o limite de proporcionalidade coincide com o ponto de escoamento. Para outros materiais, o limite de proporcionalidade não se define tão facilmente. =.

Aço liga ASTM A709 (AISI 8614) Temperado e Revenido Diagramas tensão-deformação para ferro puro e para diversos tipos de aço. Aço baixa liga ASTM A992 Alta resistência Aço carbono ASTM A36 (AISI 1020) Ferro puro

Comparação entre diagramas de tensão-deformação: (1) latão macio; (2) aço de baixo carbono; (3) bronze duro; (4) aço laminado a frio; (5) de aço médio carbono, recozidos; (6) de aço médio carbono, com tratamento térmico.

Deformações de barras sujeitas a esforços axiais Vamos considerar a barra homogênea BC, de comprimento L, e seção transversal de área A, suspensa do ponto B, sujeita a força axial centrada P. : deformação

Deformações de barras sujeitas a esforços axiais Se a tensão atuante s = P/A não exceder o limite de proporcionalidade do material, podemos aplicar a Lei de Hooke : =. : deformação

=. Por definição, temos : deformação

Atenção: A equação acima só pode ser usada se a barra for homogênea (módulo de elasticidade E constante), tiver seção transversal uniforme de área constante A e carga for aplicada nas extremidades da barra.

Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se a barra consiste de várias partes com diferentes seções transversais ou compostas de diferentes materiais, devemos dividi-la em segmentos que, individualmente satisfaçam a as condições de aplicação da fórmula do slide anterior. Assim, a deformação total da barra pode ser escrita como:

Exemplo: A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio (E = 70GPa) com área de seção transversal de 500mm 2 ; a haste CD é de aço (E = 200GPa) com área de seção transversal de 600mm 2. Para a força de 30kN determine: a) deslocamento do ponto B; b) deslocamento de D; c) deslocamento do ponto E.

Corpo livre Barra BDE tensão compressão

Deslocamento de B O sinal negativo indica uma contração da barra AB, e em consequência, o deslocamento para cima de B.

Deslocamento de D

Deslocamento de E

Exemplo: Os suportes rígidos A e B comprimem uma barra de alumínio EF de diâmetro de 1,5pol. através de dois parafusos de aço de diâmetro ¾ pol., CD e GH, de passo de rosca simples de 0,1pol., e após serem ajustados, as porcas em D e H são ambas apertadas de um quarto de volta. Sabendo-se que E é 29 x 10 6 psi para aço, e 10,6 x 10 6 psi para alumínio, determine a tensão normal na barra EF.

Parafusos CD e GH

Barra EF

Deslocamento de D relativo à B É importante visualizar que

Tensão na barra de alumínio

Empregando as equações anteriores: Corpo livre para peça B

Exercício 1 A barra de aço redondo A992 é sujeita ao carregamento mostrado. Se a área da seção transversal é 60mm 2, determine o deslocamento de B e de A. Despreze as dimensões dos acoplamentos em C e B. Respostas: 2,31 mm; 2,64 mm 1 9ª ed

Exercício 2 A montagem consiste de uma barra redonda CB de aço A36 e uma barra redonda BA de alumínio 1100-H14, ambas de 12mm de diâmetro. Se o conjunto é sujeito à carga axial em A e no ponto B, determine o deslocamento de B e do ponto A. As dimensões originais da montagem são mostradas na figura. Despreze as dimensões das conexões em B e C, e assuma que são rígidas. Respostas: 1,59 mm; 6,14 mm 5 9ª ed

Exercício 3 A montagem consiste de duas barras redondas AB e CD de latão vermelho C83400 (E = 101GPa) de 10mm de diâmetro, uma barra redonda EF de aço inox 304 (E = 193GPa), e uma barra rígida G. Se P = 5kN, determine o deslocamento horizontal do ponto F. Resposta: 0,453 mm 9 9ª ed

Exercício 4 A barra rígida é suportada pela barra CB, conectada por pinos, a qual tem uma seção transversal de 14mm 2 e é feita de alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra em D quando a carga é aplicada. Resposta: 17,3 mm 13 9ª ed

Exercício 5 Para a treliça de aço (ASTM A36) e carregamentos mostrados, determinar as deformações nos membros BD e DE, sabendo-se que suas seções transversais tem 1300mm 2 e 1950mm 2. 2,5 m 2,5 m 2,5 m 130kN 130kN 130kN 4,5 m 2-23 3ª ed

Exercício 6 Os membros AB e BE da treliça mostrada são de barras de aço ASTM A36, com diâmetro de 25mm. Para o carregamento mostrado, determinar o alongamento da barra AB e da barra BE. Resposta: 1,222 mm; +1,910 mm 2-24 3ª ed

Exercício 7 Cada um dos braços AB e CD é feito de alumínio 2014-T6 e tem área de seção transversal de 125mm 2. Sabendo que eles suportam o membro rígido BC, determine a deflexão do ponto E. 0,38 m P = 5kN 0,20 m 0,44 m Resposta: 0,1024 mm 2-24 4ª ed

Exercício 8 O comprimento do cabo de aço ASTM A36 de 2mm de diâmetro CD foi ajustado quando não havia carga aplicada, deixando um vão de 1,5mm entre o ponto E e o ponto B do braço ACB. Determine onde (x) o bloco de 20kg deve ser colocado para que ocorra contato entre o ponto B e o E. 0,08 m 0,25 m 0,32 m x 20 kg 1,5 mm Resposta: 92,6 mm 2-26 4ª ed

250 mm Exercício 9 400 mm 250 mm 40 mm 300 mm Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas vigas horizontais, são de alumínio 1100-H14 e tem uma seção transversal retangular de 10x40mm. Para o carregamento mostrado, determinar a deflexão (a) no ponto E, (b) ponto F e (c) no ponto G. 24kN Resposta: a) 80,4mm ; b) 209 m ; c) 390 m 2-25 3ª ed

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAIS USADOS EM ENGENHARIA

Material Peso Específico Kg/m 3 Tensões de Ruptura Tração MPa Compressão MPa Cisalhamento MPa Tensões de escoamento Tração MPa Cisalhamento MPa Módulos e elasticidade Longitudinal GPa Transversal GPa Coef Dilatação Térmica 10-6 / o C Alongamento %

Material Peso Específico Kg/m 3 Tensões de Ruptura Tração MPa Compressão MPa Cisalhamento MPa Tensões de escoamento Tração MPa Cisalhamento MPa Módulos e elasticidade Longitudinal GPa Transversal GPa Coef Dilatação Térmica 10-6 / o C Alongamento % Aço Estrutural ASTM A36 Baixa liga alta resistência ASTM A709 Grade 345 ASTM A913 Grade 450 ASTM A992 Grade 345 Temperado e revenido ASTM A709 Grade 690 Aço inoxidável AISI 302 Laminado a frio Recozido Aço para concreto armado Média resistência Alta resistência Ferro Fundido Ferro Fundido Cinzento 4,5% C, ASTM A-48 Ferro Fundido Maleável 2% C, 1% Si, ASTM A-47

Material Peso Específico Kg/m 3 Tensões de Ruptura Tração MPa Compressão MPa Cisalhamento MPa Tensões de escoamento Tração MPa Cisalhamento MPa Módulos e elasticidade Longitudinal GPa Transversal GPa Coef Dilatação Térmica 10-6 / o C Alongamento % Alumínio Ligas de Magnésio Titânio Ligas Níquel Cobre Monel 400 Cuproníquel Obs.: Alloy Liga; Forging Forjado; Extrusion Extrudado; Cold-Worked Encruado a frio; Annealed Recozido.

Material Peso Específico Kg/m 3 Tensões de Ruptura Tração MPa Compressão MPa Cisalhamento MPa Tensões de escoamento Tração MPa Cisalhamento MPa Módulos e elasticidade Longitudinal GPa Transversal GPa Coef Dilatação Térmica 10-6 / o C Alongamento % Ligas de Cobre Cobre livre de Oxigênio Latão Amarelo (latão 1/3 zinco) Latão Vermelho C230 Bronze Estanho Bronze Manganês Bronze Alumínio Obs.: Alloy Liga; Annealed Recozido; Hard-drawn Trefilado a frio; Cold-rolled Laminado a frio.

Material Peso Específico Kg/m 3 Tensões de Ruptura Tração MPa Compressão MPa Cisalhamento MPa Tensões de escoamento Tração MPa Cisalhamento MPa Módulos e elasticidade Longitudinal GPa Transversal GPa Coef Dilatação Térmica 10-6 / o C Alongamento % Concreto Resistência média Resistência alta Plásticos Nylon tipo 6/6 (material para moldagem) Policarbonato Poliéster PBT (termoplástico) Elastômero Poliéster Poliestireno Vinil, rígido PVC Borracha Granito (valores médios) Mármore (valores médios) Arenito Vidro 95% Si Obs.: Alloy Liga; Annealed Recozido; Hard-drawn Trefilado a frio; Cold-rolled Laminado a frio.

Obs.: HR - Hot-Rolled (laminado à quente) CD - Cold-Drawn (trefilado à frio)

N o AISI Tratamento Temperatura o C ( o F) Tensão de Ruptura MPa (kpsi) Tensão de Escoamento MPa (kpsi) Alongamento em 2pol, % Redução em área, % Dureza Brinell Obs.: Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido) Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água) Normalized Normalizado Annealed - Recozido

Problemas Estaticamente Indeterminados Nos problemas na seção precedente, pudemos sempre utilizar os diagramas de corpo livre e as equações de equilíbrio na determinação das forças internas produzidas nas várias partes da estrutura por carregamentos conhecidos. Feito isto, mostrouse possível ser estimada a deformação de qualquer parte da estrutura.

Problemas Estaticamente Indeterminados Entretanto, em muitos problemas as forças internas não podem ser determinadas apenas com os recursos da estática, ou seja, através do desenho do diagrama de corpo livre da peça e estudando suas equações de equilíbrio. Neste caso, as equações de equilíbrio devem ser complementadas por outras relações envolvendo deformações, obtidas através da consideração das condições geométricas do problema.

Problemas Estaticamente Indeterminados Tais problemas são ditos serem estaticamente indeterminados, pois a estática não é suficiente para determinar as reações e esforços internos. Neste tópico é mostrado como conduzir à solução desses problemas.

Exemplo 1 Uma barra de comprimento L e área da seção transversal A 1, com módulo de elasticidade E 1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento, mas de área transversal A 2 e módulo de elasticidade E 2. Qual a deformação da barra e do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida? Tubo Barra Placa rígida

Chamando de P 1 e P 2 as forças axiais na barra e no tubo, desenhamos os diagramas de corpo livre dos 3 elementos: P 1 + P 2 = P

P 1 + P 2 = P Ocorre, no entanto, que uma equação não é suficiente para determinar duas incógnitas. O problema é estaticamente indeterminado! Entretanto, a geometria do problema nos mostra que as deformações 1 e 2 na barra e no tubo devem ser iguais:

Igualando as equações: =. e lembrando que P 1 + P 2 = P :. + =

. + =. + 1 =. + = Similarmente: =. + =. + Com os valores de P 1 e P 2 podemos calcular a deformação da barra e do tubo.

Exemplo 2 A barra mostrada ao lado é presa aos apoios fixos A e B. Determinar as reações desses apoios quando se aplica o carregamento indicado. Observe que não são dadas informações sobre o material!

Vamos considerar inicialmente que a barra esteja livre em B, e que a reação R B seja uma força externa desconhecida, cujo valor será determinada pelas considerações de deformação da barra igual a zero.

Para estimar a deformação total, a barra é dividida em 4 partes: P 1 é a carga aplicada à fração 1 da barra

Com estes dados podemos calcular a deformação da barra causada pelas forças aplicadas em D e K, se esta estivesse livre na base:

Agora estima-se uma força R B capaz de anular a deformação causada pelas forças aplicadas nos pontos D e K: Deformação total: =. + =. 1,95 10 Uma deformação anula a outra, de modo que devem ser iguais!

Exemplo 3 Calcular as reações em A e B, considerando uma distância inicial de 4,5mm entre a barra e o apoio B. Adotar E = 200GPa

Exemplo 4 450mm 32KN 300mm 200mm 600 mm 750 mm A haste CE (10mm ) e a DF (15mm ) são ligadas à barra rígida ABCD como mostrado. Sabendo-se que as hastes são de alumínio (E = 70GPa), determinar: (a) a força atuante em cada haste; (b) deslocamento do ponto A.

Condições de Equilíbrio Considerando como corpo livre a barra ABCD, notamos que as reações em B e nas hastes são estaticamente indeterminadas. No entanto, da estática podemos escrever: 450mm 300mm 200mm + M B = 0 32KN 32. 0,45. 0,3. 0,5 = 0 0,3. + 0,5. = 14,4 10 Eq.1

Condições de Geometria Após a aplicação da força de 32kN, a barra assume a posição A BC D. Da semelhança de triângulos BAA, BCC e BDD, temos: 450mm 300mm 200mm 0,3 = 0,5 0,45 = 0,5 = 0,6. = 0,9.

Deformações Empregando a equação de deformação: =.. =.. = 0,6... = 0,6...

Deformações. = 0,6.... = 0,6 = 0,75m E = 70 10 Pa = 4 0,010 = 0,333. Eq.2 = 4 0,015 = 7,8540 10 = 1,7671 10

Aplicando a equação 1 na equação 2: 0,3. + 0,5. = 14,4 10 Eq.1 = 0,333. Eq.2 0,3 (0,333. ) + 0,5. = 14,4 10 = 24 Usando novamente a Eq.2: = 8

Deslocamento dos pontos D e A: =.. = 24000. 0,75 1,7671 10. 70 10 = 1,455 = 0,9. = 1,310

Exercício 1 A coluna de concreto é reforçada empregando 4 barras de aço, cada uma com diâmetro de 18mm. Determine (a) a tensão no concreto e (b) no aço se a coluna é sujeita a um carregamento de 800kN. Considere E aço = 200GPa e E conc = 25GPa Ex.4-31 9th Ed. Resp.: (a) 65,9MPa; (b) 8,24MPa

Exercício 2 Uma coluna é construída de concreto de alta resistência e 4 barras de aço A-36. Se sujeita a uma força de 800kN, determine o diâmetro requerido de cada barra de modo que um quarto da carga seja suportado pelo aço e três quartos seja pelo concreto. Considere E aço = 200GPa e E conc = 25GPa Ex.4-32 9th Ed. Resp.: 33,9mm

Exercício 3 Um tubo de aço é preenchido com concreto e sujeito a uma carga compressiva de 80kN. Determine a tensão média (a) no concreto e (b) no aço devido ao carregamento. O tubo tem um diâmetro externo de 80mm e diâmetro interno de 70mm. Considere E aço = 200GPa e E conc = 24GPa Ex.4-33 9th Ed. Resp.: (a) 5,85MPa; (b) 48,8MPa

Exercício 4 A barra AC de alumínio 2014-T6 é reforçada pelo cilindro BC firmemente ajustado de aço A992. Quando a montagem não sofre carregamento, permanece uma fresta de 0,5mm entre C e o piso rígido inferior E. Determine as reações (a) no suporte rígido D e (b) na base C quando a carga axial de 400kN é aplicada. E Aço A992 alumínio Ex.4-42 9th Ed. Resp.: (a) 219kN; (b) 181kN

Exercício 5 A montagem consiste de duas barras AB e CD de cobre vermelho C83400 de diâmetro de 30mm, uma barra EF de aço inox 304 de diâmetro 40mm, e a barra rígida G. Se os suportes em A, C e F são também rígidos, determine a tensão normal média desenvolvida nas barras (a) AB, CD e (b) EF. Ex.4-43 9th Ed. Resp.: (a) 26.5MPa; (b) 33,8MPa

Exercício 6 O suporte consiste de uma barra redonda de cobre vermelho C83400 circundada por um cilindro de aço inox 304. Antes da carga ser aplicada, é observada uma defasagem de 1mm entre o comprimento da barra e o do cilindro. Determine a maior carga axial possível de ser aplicada no topo rígido A sem causar escoamento de nenhum dos materiais. Ex.4-47 9th Ed. Resp.: 198kN

Fonte Bibliográfica Resistência dos Materiais Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010