Halliday Fundamentos de Física Volume 2 www.grupogen.com.br http://gen-io.grupogen.com.br
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Capítulo 13 Gravitação
13.2 A Lei da Gravitação de Newton onde m 1 e m 2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é a constante gravitacional. G = 6,67 10 11 N. m 2 /kg 2 = 6,67 10 11 m 3 /kg. s 2.
13.2 A Lei da Gravitação de Newton Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro.
12.3 Gravitação e o Princípio da Superposição No caso de n partículas, a aplicação do princípio da superposição às forças gravitacionais que agem sobre a partícula 1 permite escrever onde o é a força resultante a que está submetida a partícula 1 e, por exemplo, é é a força exercida pela partícula 3 sobre a partícula 1. Assim, A força gravitacional exercida por um objeto real (de dimensões finitas) sobre uma partícula pode ser expressa na forma onde a integração é realizada para todo o objeto.
Exemplo: Força gravitacional resultante Cálculos: O ângulo que F 1,res dado por faz com o semieixo x positivo é
13.4 A Gravitação Perto da Superfície da Terra Se uma partícula é liberada, cai em direção ao centro da Terra, em consequência da força gravitacional F, com uma aceleração a g conhecida como aceleração da gravidade. De acordo com a segunda lei de Newton, F e a g estão relacionadas através da equação Supondo que a Terra é uma esfera homogênea de massa M, o módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m situada fora da Terra, a uma distância r do centro da Terra, é Assim,
13.4 A Gravitação Perto da Superfície da Terra O valor de g medido em um ponto específico da superfície terrestre é diferente do valor de a g calculado usando a fórmula geral por três razões: (1) a massa da Terra não está distribuída uniformemente; (2) a Terra não é uma esfera perfeita; (3) a Terra está girando. Pelas mesmas razões, o peso mg de uma partícula é diferente do módulo da força gravitacional a que a partícula está sujeita.
Exemplo: Diferença entre duas acelerações
13.4 A Gravitação no Interior da Terra Uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre uma partícula situada no interior da casca. Exemplo Em um conto de ficção científica, três exploradores usam uma cápsula para viajar em um túnel natural do polo sul ao polo norte. Na história, quando a cápsula se aproxima do centro da Terra, a força gravitacional aumenta assustadoramente, mas desaparece por um momento, quando a cápsula atinge o centro da Terra. Em seguida, a cápsula atravessa a outra metade do túnel e chega ao polo norte. Verifique se essa descrição está correta calculando a força gravitacional experimentada por uma cápsula de massa m quando está a uma distância r do centro da Terra. Suponha que a Terra é uma esfera homogênea de massa específica (massa por unidade de volume) ρ. Cálculos: O módulo da força varia linearmente com a distância r do centro da Terra. Assim, a força diminui continuamente até se anular no centro da Terra.
13.6 Energia Potencial Gravitacional A energia potencial de um sistema de duas partículas é: U(r) tende a zero quando r tende a infinito e é negativa para qualquer valor finito de U(r). Se um sistema contém mais de duas partículas, basta considerar separadamente cada par de partículas, aplicar a equação acima e somar os resultados. No caso de três partículas, por exemplo, o resultado é
13.6 Energia Potencial Gravitacional Suponha que uma bola de tênis seja lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra. Estamos interessados em calcular a energia potencial gravitacional U da bola no ponto P da trajetória, a uma distância radial R do centro da Terra. Para isso, calculamos o trabalho W realizado sobre a bola pela força gravitacional enquanto a bola se move do ponto P até uma distância muito grande (infinita) da Terra. O trabalho também pode ser expresso, em termos das energias potenciais, na forma
13.6 Energia Potencial Gravitacional Independência da Trajetória O trabalho realizado ao longo dos arcos de circunferência é zero, já que F é perpendicular aos arcos em todos os pontos. Assim, W é a soma apenas dos trabalhos realizados por F ao longo dos segmentos radiais. Como a força gravitacional é uma força conservativa, o trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula que se move de um ponto inicial i para um ponto final f não depende da trajetória seguida. A variação U da energia potencial gravitacional do ponto i ao ponto f é dada por Como o trabalho W realizado por uma força conservativa não depende da trajetória, a variação U da energia potencial gravitacional também é independente da trajetória.
13.6 Energia Potencial Gravitacional Energia Potencial e Força O sinal negativo indica que a força exercida sobre a massa m aponta na direção da origem, ou seja, na direção da massa M.
13.6 Energia Potencial Gravitacional Velocidade de Escape Quando lançamos um projétil para cima, a partir da superfície de um planeta, existe uma velocidade mínima a partir da qual o projétil continua a subir indefinidamente. Essa velocidade é chamada de velocidade de escape. Considere um projétil de massa m que parte da superfície de um planeta de massa M e raio R com a velocidade de escape v. O projétil possui uma energia cinética K dada por mv 2 /2 e uma energia potencial U dada por Quando o projétil atinge o infinito, ele para e, portanto, não possui energia cinética. Também não possui energia potencial gravitacional, pois uma distância infinita entre dois corpos corresponde à configuração que escolhemos como referência de energia potencial nula. A energia total do projétil no infinito é, portanto, zero. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia total do projétil na superfície do planeta também deve ter sido nula, de modo que Assim, a velocidade de escape é
13.6 Energia Potencial Gravitacional Velocidade de Escape
Exemplo:
13.7 Planetas e Satélites A Primeira Lei de Kepler 1. LEI DAS ÓRBITAS: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
13.7 Planetas e Satélites A Segunda Lei de Kepler 2. LEI DAS ÁREAS: A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo iguais, ou seja, a taxa de variação da área A com o tempo, da/dt, é constante. Momento angular, L:
13.7 Planetas e Satélites A Terceira Lei de Kepler 3. LEI DOS PERÍODOS: O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita. Considere uma órbita circular de raio r (o raio de uma circunferência é equivalente ao semieixo maior de uma elipse). Aplicando a segunda lei de Newton ao planeta, temos: Usando a relação entre a velocidade angular ω e o período T, obtemos:
Exemplo: O cometa de Halley
13.8 Satélites Órbitas e Energia Quando um satélite gira em torno da Terra em uma órbita elíptica, a energia mecânica E do satélite permanece constante. Suponha que a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra. A energia potencial do sistema é dada por No caso de um satélite em órbita circular, Assim, temos: No caso de uma órbita elíptica, onde a é o semieixo maior.
Exemplo: Energia mecânica de uma bola de boliche
13.9 Einstein e a Gravitação O postulado fundamental da teoria da relatividade geral de Einstein é o princípio de equivalência, segundo o qual a gravitação e a aceleração são equivalentes.
13.9 Einstein e a Gravitação A Curvatura do Espaço
13.9 Einstein e a Gravitação A Curvatura do Espaço