Aplicação de Wavelets na Identificação de Mudanças Significativas em Tendências Gráficas

Aplicação de Wavelets na Identificação de Mudanças Significativas em Tendências Gráficas Relatório Final Departamento de Engenharia Elétrica Orientador: Prof. Dr. Aldo Artur Belardi Aluno: Gustavo Bobrow 09/2010 1

RESUMO Este estudo consiste em analisar gráficos para tentar determinar futuras mudanças significativas em suas tendências. Usaremos como exemplos gráficos do mercado acionário, pois deles podemos extrair uma amostra interessante. A partir da amostra coletada, faremos estudos e simulações com a ferramenta MATLAB em conjunto com o EXCEL em cima dos comportamentos periódicos de um índice (nosso foco será o índice BOVESPA), correlacionando-o ao comportamento da variação do preço do dólar americano (USD) nos mesmos períodos do índice BOVESPA devido à alta correlação que existe entre os dois. Imagina-se que surgirão nos espectros (visualização do sinal em termos da freqüência) dados indicando altíssimas correlações. Então, as wavelets nos alertarão, com essa marcação no espectro, que uma grande virada na tendência do gráfico está para acontecer. Caso cheguemos aos resultados esperados, passaremos a estudá-los e analisá-los para tentarmos alcançar alguma conclusão definitiva. OBJETIVOS O objetivo deste trabalho é analisar e desenvolver através de análises gráficas com wavelets métodos eficazes que se comprovem, por uma significante porcentagem das amostras, padrões que indiquem mudanças nas tendências dos gráficos analisados. Para tanto, pretende-se analisar algumas amostras de gráficos da Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA) e gráficos do Dólar Americano da Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F), pelo número de amostras e variações já existentes, e se basear em uma metodologia previamente estudada por terceiros para início do processo. 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Técnicas de análise de sinal como Fourier e wavelets normalmente utilizadas em processamento de imagens, começaram a serem empregadas cada vez com maior freqüência por analistas gráficos ligados às Bolsas de Valores. A metodologia da Transformada de Fourier serve para mudar o espaço de observações dos dados do gráfico dispostos no tempo para o campo das freqüências. Busca-se observação da repetição dos eventos em termos de suas freqüências. Mais abrangente do que Fourier é a metodologia de wavelets ("ondaletes" ou "pequenas ondas"), que também apresenta os resultados em freqüências, mas consegue relacionar quando (na escala de tempo) essas freqüências podem ocorrer. E ao se tratar de freqüências, deve sempre se lembrar das combinações de senos e co-senos na representação dos sinais, em "pequenas ondas", por isso wavelets. O estudo de wavelets em gráficos não é novidade, nessa linha de raciocínio, pesquisas relacionadas às mudanças abruptas em gráficos foram realizadas. Podemos destacar a publicação na revista internacional "Physica A", em 2007, com o título "Characterizing abrupt changes in the stock prices using a wavelet decomposition method. Assim sendo, os fatos apresentados acima exigirão do aluno um estudo detalhado e aprofundado de wavelets, incluindo metodologias de aplicações de wavelets em gráficos, além da elaboração de programas e desenvolvimento de análises, métodos, amostras, algoritmos das aplicações e, fundamentalmente, interpretação dos resultados para uma eventual percepção de padrão. METODOLOGIA (PARTE I) O material em estudo são as oscilações de preços do índice BOVESPA e do USD ao longo de um mesmo período de tempo, para uma análise preliminar usaremos os dados históricos de 02/01/2008 até 30/06/2008. Pelo fato de ser um estudo experimental, não temos nenhuma metodologia completamente definida. Iremos tratar os dados para conseguir deixá-los no mesmo padrão e com isso fazer as análises previamente 3

mencionadas. Faremos análises de Desvio Padrão, Correlação, Covariância, de Máximos, Mínimos e passaremos wavelets para analisarmos os resultados com os coeficientes zerados e também analisarmos os resíduos e os espectros dos sinais obtidos. Primeiramente entra-se no site do BACEN e clica-se em mais moedas, a seguir escolhe-se o período histórico e a moeda que se deseja obter os resultados: Imagem I Escolha do período da amostra de USD Após eliminarmos todas as informações do arquivo que não precisamos, obtemos uma tabela do seguinte modo: (vale lembrar que teremos 122 valores de USD de 02/01/2008 até 30/06/2008) # DIA USD 1 2/1/2008 1,7722 2 3/1/2008 1,7569 3 4/1/2008 1,7574 4 7/1/2008 1,7675 5 8/1/2008 1,7554 6 9/1/2008 1,7691 7 10/1/2008 1,7628 8 11/1/2008 1,7536 4

9 14/1/2008 1,7414 10 15/1/2008 1,7450 11 16/1/2008 1,7630 12 17/1/2008 1,7687 13 18/1/2008 1,7850 14 21/1/2008 1,8301 15 22/1/2008 1,8041 16 23/1/2008 1,8147 17 24/1/2008 1,7883 18 28/1/2008 1,7906 19 29/1/2008 1,7762 20 30/1/2008 1,7802 Tabela I Parte dos dados de USD Uma vez que temos os dados históricos do USD precisamos dos dados do índice BOVESPA. Para tanto, pegaremos esses valores também da internet no site da BOVESPA. Imagem II Coleta dos dados do índice IBOVESPA 5

Após fazermos a filtragem dos dados conforme feito com os dados do USD tem-se a seguinte tabela: # DIA USD IBOV 1 2/1/2008 1,7722 62815 2 3/1/2008 1,7569 62891 3 4/1/2008 1,7574 61036 4 7/1/2008 1,7675 60772 5 8/1/2008 1,7554 62080 6 9/1/2008 1,7691 62673 7 10/1/2008 1,7628 63515 8 11/1/2008 1,7536 61942 9 14/1/2008 1,7414 62187 10 15/1/2008 1,7450 59907 11 16/1/2008 1,7630 58777 12 17/1/2008 1,7687 57036 13 18/1/2008 1,7850 57506 14 21/1/2008 1,8301 53709 15 22/1/2008 1,8041 56097 16 23/1/2008 1,8147 54234 17 24/1/2008 1,7883 57463 18 28/1/2008 1,7906 58593 19 29/1/2008 1,7762 59529 20 30/1/2008 1,7802 60289 Tabela II Dados USD e IBOVESPA Primeiramente calcularemos a Correlação e Covariância do USD com o IBOVESPA, depois o Desvio Padrão, valores Máximos e Mínimos de cada um dos dados analisados. Em probabilidade e estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que: seja um número não negativo; use as mesmas unidades de medida que os nossos dados. 6

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão s de um sub-conjunto em amostra. O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como: onde é o valor esperado de X. Em teoria da probabilidade e na estatística, a covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, com valores esperados E(X) = X e E(Y) = Y é definida como umas das medidas de como duas variáveis possam variar conjuntamente: onde E é o operador do valor esperado. Isto equivale à seguinte fórmula, a qual é geralmente usada para fazer os cálculos: Em teoria da probabilidade e estatística, correlação, também chamada de coeficiente de correlação, indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias. No uso estatístico geral, correlação ou co-relação se refere a medida da relação entre duas variáveis, embora correlação não implique causalidade. Neste sentido geral, existem vários coeficientes medindo o grau de correlação, adaptados à natureza dos dados. Vários coeficientes são utilizados para situações diferentes. O mais conhecido é o coeficiente de correlação de Pearson, o qual é obtido dividindo a covariância de duas variáveis pelo produto de seus desvios padrão. Apesar do nome, ela foi apresentada inicialmente por Francis Galton. O coeficiente de correlação X, Y entre duas variáveis aleatórias X e Y com valores esperados X e Y e desvios padrão X e Y é definida como: 7

onde E é o operador valor esperado e cov significa covariância. Como X = E(X), X ² = E(X²) E²(X) e, do mesmo modo para Y, podemos escrever também A correlação é definida apenas se ambos os desvios padrões são finitos e diferentes de zero. Pelo corolário da desigualdade de Cauchy-Schwarz, a correlação não pode exceder 1 em valor absoluto. Após fazermos os cálculos de todos os itens acima demonstrados, obtemos os seguintes resultados: COVAR CORREL -177,86-75,42% DP IBOV MAX IBOV MIN IBOV MEIO IBOV % DP IBOV 4.338,81 73.516,00 53.709,00 63.612,50 6,82% DP USD MAX USD MIN USD MEIO USD % DP USD 0,0548 1,8301 1,5919 1,7110 3,20% Tabela III Correlação, Covariância, Desvio Padrão, Máximos e Mínimos de USD e IBOVESPA Em outras palavras, quando o USD sobe, o IBOV desce e o recíproco também é verdadeiro conforme imagem a seguir: 8

IBOV X USD 01/2008-06/2008 74000 1,8500 71000 1,8100 68000 1,7700 65000 1,7300 62000 1,6900 59000 1,6500 56000 1,6100 53000 1 60 119 1,5700 IBOV USD Imagem III Gráficos de USD e IBOVESPA Selecionamos o maior nível possível e após analisado, deixaremos 25% de coeficientes de HAAR, o resto tenderemos a zero para termos uma forma de onda associada a wavelets wavelets de HAAR como segue: Imagem IV Resultado das wavelets de HAAR em IBOVESPA 9

Imagem V Resultado dos resíduos das wavelets de HAAR em IBOVESPA Imagem VI Resultado dos resíduos das wavelets de HAAR em USD 10

METODOLOGIA (PARTE II) Além da metodologia adotada na primeira parte da iniciação científica, após estudos e pesquisas sobre o tema, usou-se uma segunda metodologia de análise com base em outros artigos relacionados ao tema. A tendência linear precisa ser subtraída da amostra original e dessa resultante, também é subtraída a tendência cíclica de baixíssima frequência. Apesar de ser possível a aplicação de wavelets em uma amostra com tendências lineares e cíclicas embutidas, elas adicionariam coeficientes extras que prejudicariam nossa análise, embutindo ruídos. Primeiramente, a tendência linear da amostra foi estimada utilizando o método dos mínimos quadrados padrões, chegando na seguinte equação (com t em dias de amostra): yl(t) = 89,944t + 58867 Depois da remoção da parte linear yl, a série yr=y-yl apresenta um componênte de tendência cíclica. Novamente, usando os métodos dos mínimos quadrados padrões, uma estimativa do componente cíclico da amostra foi encontrada: yc(t) = 1985,65 * cosseno(-0,07t) 11

Imagem VII Amostra original com Tendência Linear e Cíclica Removidas RESULTADOS Os resultados apresentados a seguir apresentam a aplicação da metodologia proposta às amostrar utilizadas de USD e IBOVESPA. # DIA USD IBOV HAAR IBOV HAAR USD 1 2/1/2008 1,7722 62815 63190 1,7619 2 3/1/2008 1,7569 62891 63190 1,7619 3 4/1/2008 1,7574 61036 61241 1,7619 4 7/1/2008 1,7675 60772 61241 1,7619 5 8/1/2008 1,7554 62080 62216 1,7619 6 9/1/2008 1,7691 62673 62216 1,7619 7 10/1/2008 1,7628 63515 62216 1,7619 8 11/1/2008 1,7536 61942 62216 1,7619 9 14/1/2008 1,7414 62187 61047 1,7432 10 15/1/2008 1,7450 59907 61047 1,7432 11 16/1/2008 1,7630 58777 57907 1,7659 12 17/1/2008 1,7687 57036 57907 1,7659 13 18/1/2008 1,7850 57506 57285 1,7859 12

14 21/1/2008 1,8301 53709 53488 1,8310 15 22/1/2008 1,8041 56097 55387 1,8085 16 23/1/2008 1,8147 54234 55387 1,8085 17 24/1/2008 1,7883 57463 58357 1,7838 18 28/1/2008 1,7906 58593 58357 1,7838 19 29/1/2008 1,7762 59529 60238 1,7838 20 30/1/2008 1,7802 60289 60238 1,7838 Tabela IV Valores de USD e IBOVESPA com e sem HAAR COVAR CORREL -174,32-75,42% DP IBOV MAX IBOV MIN IBOV MEIO IBOV % DP IBOV 4.274,18 72.764,91 53.488,00 63.126,45 6,77% DP USD MAX USD MIN USD MEIO USD % DP USD 0,0545 1,8310 1,6027 1,7169 3,18% Tabela V Correlação, Covariância, Desvio Padrão, Máximos e Mínimos de USD e IBOVESPA após HAAR 13

IBOV X USD & HAAR IBOV X HAAR USD 01/2008-06/2008 74000 1,8500 71000 1,8100 68000 1,7700 65000 1,7300 62000 1,6900 59000 1,6500 56000 1,6100 53000 1 60 119 1,5700 IBOV HAAR IBOV USD HAAR USD Imagem VIII Gráfico de USD e IBOVESPA antes e após HAAR Imagem IX Resposta da aplicação da wavelets de HAAR em yf. 14

METODOLOGIA REAPLICADA Visando a confirmação dos conceitos estudados, aplicamos o processo anterior em mais alguns casos para ver se os resultados, dessa vez, são conclusivos o bastante. Dessa vez utilizamos 627 amostrar do USD (dolar americano) desde 02/jan/2008 até 01/jul/2010. O comportamento gráfico do ativo no período foi o seguinte: Imagem X Comportamento do USD entre 02/jan/2008 até 01/jul/2010 Para verificar eficácia da metodologia, foram escolhidos alguns pontos de mudança de trajetória do USD, como segue: Imagem XI Amostrar utilizadas nos estudos 1 - Tendência de alta revertida por uma tendência de baixa/lado 2 -Tendência de baixa revertida por uma tendência de alta 3 -Tendência de baixa revertida por uma tendência de alta/lado 4 -Tendência de alta revertida por uma tendência de baixa/lado. 15

Iremos estudar caso-a-caso esses dados para tentarmos identificar tendências de reversão como propõe a iniciação. Algumas estatísticas da nova amostra estudada: Desvio Padrão: 24,11% Valor Mínimo: 1,5593 Valor Máximo: 2,5004 Média: 1,8919 Mediana: 1,8000 Moda: 1,7412 Partimos agora para o estudo caso-a-caso das 4 trajetórias identificadas na amostra de USD de 02/jan/2008 até 01/jul/2010: Da primeira amostra, é possível se traçar uma tendência linear,subtraindo-se a tendência linear da amostra original, temos o seguinte gráfico: Imagem XII Sem Tendência Linear e Cíclica - Amostra 1 Por meio do MATLAB, conforme já mencionado previamente, conseguimos a extração dos seus coeficientes, como segue: 16

Imagem XIII Coeficientes de HAAR do MATLAB - Amostra 1 Dos coeficientes montamos um gráfico: Imagem XIV Tendência linear dos coeficientes pós tratamento e HAAR - Amostra 1 Esse gráfico de coeficientes apresenta uma tendência linear inclinada oposta à tendência original, indicanto uma provável inversão. A tendência original da amostra era para cima, depois do tratamento da amostra e da aplicação das wavelets de HAAR temos uma tendência de baixa. 17

Da segunda amostra, é possível se traçar uma tendência linear, subtraindo-se a tendência linear da amostra original, temos o seguinte gráfico: Imagem XV Sem Tendência Linear e Cíclica - Amostra 2 Por meio do MATLAB, conforme já mencionado previamente, conseguimos a extração dos seus coeficientes, como segue: Imagem XVI Coeficientes de HAAR do MATLAB - Amostra 2 Dos coeficientes montamos um gráfico: 18

Imagem XVII Tendência linear dos coeficientes pós tratamento Esse gráfico de coeficientes apresenta uma tendência linear inclinada oposta à tendência original, indicanto uma provável inversão. A tendência original da amostra era para baixo, depois do tratamento da amostra e da aplicação das wavelets de HAAR temos uma tendência de alta. Da terceira e quarta amostra, é possível se trassar uma tendência linear: Imagem XVIII Sem Tendência Linear e Cíclica 19

Imagem IXX Tendência linear dos coeficientes pós tratamento Esse gráfico de coeficientes apresenta uma tendência linear inclinada oposta à tendência original, indicanto uma provável inversão. A tendência original da amostra era para cima, depois do tratamento da amostra e da aplicação das wavelets de HAAR temos uma tendência de baixa/lado. CONCLUSÃO Do contrário ao resultado incerto que tivemos na primeira parta da iniciação, essa segunda parte nos deixou mais seguros para podermos afirmar algo quanto à metodologia proposta e utilzada. Se por um lado não tínhamos exemplos que tinham funcionado na primeira parte da iniciação, agora conseguimos aplicar, com sucesso, nossa teoria. Os resultados foram surpreendentes, nos 4 dos 4 casos analisados a tendência de inversão foi confirmada históricamente. Fizemos a análise proposta na metodologia e o resultado foi comprovado empiricamente pelo comportamento do USD no período que se sucedeu à análise. Nossos padrões analíticos se mostraram eficientes em todos os casos.portanto, para efeitos acadêmicos, podemos concluir que a experiência foi realizada com sucesso e ela pode ser abordada, citada, estudada e/ou aprofundada por outros alunos da FEI que se interessarem pelo tema. 20

AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer a todo apoio que me foi fornecido nesse período de aprendizagem e desenvolvimento dentro e fora da Instituição. Sem dúvida sem o suporte de pessoas e recursos da FEI esse trabalho não teria sido concretizado. O professor Dr. Aldo Artur Belardi foi extremamente relevante nas reuniões para sugestão e melhorias e processos a iniciação científica. Por fim, gostaria também de agradecer ao meu colega Allan Tirado pelo apoio e suporte prestados em pról da iniciação científica nos momentos difíceis, em que soluções nem sempre estavam claras. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1]Morettin P. A., Ondas e Ondaletas. 1.ed. São Paulo, Edusp, 1999. [2]Belardi A. A.,Cardoso J. R., Sartori C. F., Wavelets Application in Electrostatic and their Computing Aspects, Electric and Magnetic Fields, EMF 2003, Germany, 2003, pp. 43-46. [3]Belardi A. A., Cardoso J. R., Sartori C. F., Application of Haar s Wavelets in the Method of Moments to Solve Electrostatic Problems, Compel, 2004, v. 23, n 3, pp. 606-612. [4]Caetano M. L., Quando uma grande virada está por acontecer, publicado no dia 27/08/2008 no Jornal Valor Econômico [5]Yoneyama T., Caetano M. L., Characterizing abrupt changes in the stock prices using wavelet decomposition method, Physica A, 2007. 21