Introdução a Modelos ARCH

Introdução a Modelos ARCH Henrique Dantas Neder - Professor Associado Universidade Federal de Uberlândia July 24, 2014 A volatilidade de uma série não é constante ao longo do tempo; períodos de volatilidade relativamente baixa e períodos de volatilidade relativamente elevada tendem a ser agrupados. Esta é uma característica frequentemente observada de séries temporais econômicas e é ainda mais pronunciada em muitas séries nanceiras. Modelos ARCH buscam fazer uma estimativa dessa volatilidade dependente do tempo como uma função da volatilidade observada anterioremente. Por vezes, o modelo de volatilidade é de maior interesse do que o modelo da média condicional. Como implementado através do comando arch, o modelo de volatilidade pode também incluir regressores para levar em conta uma componente estrutural na volatilidade, geralmente conhecida como heterocedasticidade multiplicativa. Modelos ARCH foram introduzidos por Engle (1982) em um estudo das taxas de inação, e desde então, ocorreu uma enxurrada de propostas de especicações paramétricas e não paramétricos de heterocedasticidade condicional auto-regressiva. Visões gerais da literatura podem ser encontrada em Bollerslev, Engle e Nelson (1994) e Bollerslev, Chou, e Kroner (1992). Introduções aos modelos básicos ARCH aparecem em muitos textos gerais de econometria, incluindo Davidson e MacKinnon (1993, 2004), Greene (2012), Kmenta (1997), Stock e Watson (2011) e Wooldridge (2013). Harvey (1989) e Enders (2004) apresentam introduções para ARCH no contexto mais amplo da modelagem econométrica de séries temporais, e Hamilton (1994) dá consideravelmente mais detalhe no mesmo contexto. Becketti (2013, cap. 8) fornece uma introdução simples a modelagem ARCH com ênfase em como usar o comando de Stata arch. O comando arch estima modelos de heterocedasticidade condicional autoregressiva (ARCH, GARCH, etc) usando máxima verossimilhança condicional. Por "condicional", queremos dizer que a verossimilhança é calculada com base em um conjunto assumido ou estimado dos valores para as inovações ao quadrados ɛ 2 t e variância σ 2 t prévias para a amostra de estimação; ver Hamilton (1994) ou Bollerslev (1986). Às vezes mais condicionamento é feito nas primeiras a, g ou a + g observações na amostra, em que a é o máximo termo de defasagem ARCH e g é o máximo termo de defasagem GARCH (ou o máximo de lags das outros termos ARCH). Este texto é baseado em uma tradução livre de diversas partes do Manual de Séries Temporais do Stata (que acompanha o software e pode ser visualizado através do menu Help - Documentation) 1

O modelo ARCH original proposto por Engle (1982) modelou a variância dos erros de um modelo de regresão como uma função linear de valores defasados dos erros de regressão ao quadrado. Podemos escrever um modelo ARCH (m) como: y t = x t β + ɛ t (média condicional) σt 2 = γ 0 + γ 1 ɛ 2 t 1 + γ 2 ɛ 2 t 2 +... + γ m ɛ 2 t m (variância condicional) ɛ 2 t são os quadrados dos erros (ou inovações) γ i são os parâmetros do modelo ARCH O modelo ARCH tem uma especicação tanto para a média condicional como para variância condicional e a variância é uma função do tamanho das inovações anterriores não antecipadas ɛ t. Este modelo foi generalizado por Bollerslev (1986) para incluir valores defasados da variância condicional - um modelo GARCH. O modelo GARCH (m; k) é escrito como: y t = x t β + ɛ t (média condicional) σt 2 = γ 0 + γ 1 ɛ 2 t 1 + γ 2 ɛ 2 t 2 +... + γ m ɛ 2 t m + δ 1 σt 1 2 + δ 2 σt 2 2 +... + δ k σt k 2 (variância condicional) γ i são os parâmetros do modelo ARCH δ i são os parâmetros do modelo GARCH Em seu trabalho pioneiro, Engle (1982) assumiu que o termo de erro ɛ t segue uma distribuição gaussiana (normal):ɛ t N(0, σt 2. No entanto, como Mandelbrot (1963) e muitos outros têm observado, a distribuição dos retornos das ações parece ser leptocúrtica, o que signica que os retornos extremos das ações são mais freqüentes do que seria esperado se os retornos fossem distribuídos normalmente. Os pesquisadores têm, portanto, assumido outras distribuições que podem ter caudascom maior altura do que a distribuição normal; o comando arch permite ajustar modelos assumindo que os erros seguem a distribuição t de Student ou uma distribuição de erro generalizado. A distribuição t tem caudas mais elevadas do que a distribuição normal; a medida que o número de graus de liberdade do parâmetro se aproxima do innito, a distribuição t converge para a distribuição normal. As caudas da distribuição generalizada de erros são mais elevadas (com mais densidade de frequencia) do que a distribuição normal quando o parâmetro de forma é inferior a dois e são mais nas do que a distribuição ormal quando o parâmetro de forma é maior do que dois. O modelo GARCH de variância condicional pode ser considerado um processo ARMA no quadrado inovações, embora não nas variações como as equações podem parecer sugerir; ver Hamilton (1994). Especicamente, o modelo GARCH padrão implica que as inovações ao quadrado resultam a partir de\eps ɛ 2 t = γ 0 + (γ 1 + δ 1 )ɛ 2 t 1 + (γ 2 + δ 2 )ɛ 2 t 2 +... + (γ k + δ k )ɛ 2 t k + w t γ 1 w t 1 γ 2 w t 2 γ 3 w t 3 w t = (ɛ 2 t σt 2 ) w t é um processo ruido branco que é fundamental para ɛ t Um dos principais benefícios da especicação GARCH é a parcimônia na identicação da variância condicional. Tal como acontece com os modelos 2

ARIMA, a especicação ARMA em GARCH permite que a variância condicional seja modelada com menos parâmetros do que com uma especicação ARCH sozinha. Empiricamente, muitas séries com uma perturbação (erro) condicionalmente heteroscedástica foram adequadamente modeladas com uma especicação GARCH (1,1). Um processo ARMA nas perturbações pode ser facilmente adicionado à equação da média. Por exemplo, a equação da média pode ser escrita com uma ARMA (1, 1) na perturbação (erro) como: y t = x t β + ρ(y t 1 x t 1 β) + θɛ t 1 + ɛ t om uma generalização óbvia para ARMA(p,q) pela adição de termos; ver o texto sobre modelos arima para mais discussão desta especicação. Esta alteração afeta apenas a especicação da variância condicional no sentido em que ɛ 2 t agora resulta a partir de uma especicação diferente da média condicional. Grande parte da literatura sobre modelos ARCH se concentra em especi- cações alternativas da equação da variância. O comando arch permite que muitas dessas especicações sejam solicitadas através das opções saarch () e pgarch (), o que implica que um ou mais termos podem ser mudados ou adicionados à especicação da equação da variância. Essas especicações alternativas também abordam a assimetria. Especi- cações Tanto as especicações ARCH como GARCH implicam em impacto simétrico de inovações. Se uma inovação ɛ 2 t é positiva ou negativa não faz nenhuma diferença para a variação esperada σt 2 nos períodos que se seguem; somente o tamanho da inovação importa - boas e más notícias têm o mesmo efeito. Muitas teorias, contudo, sugerem que inovações positivas e negativas devem variar em seu impacto. Para os investidores avessos ao risco, uma grande queda inesperada no mercado é mais susceptível de conduzir a uma maior volatilidade do que um grande aumento inesperado (ver Black [1976], Nelson [1991]). As opções saarch(), tarch(), aarch(), abarch(), earch(), aparch(), e tparch() permitem considerar diversas especicações de efeitos assimétricos. As opções narch(), narchk(), nparch(), e nparchk() implicam um impacto assimétrico de uma forma especíca. Todos os modelos considerados até agora têm uma variância mínima condicional quando as inovações defasadas são todas iguais a zero. "Nenhuma notícia é boa notícia", quando se trata de manter a variância condicional pequena. As opções narch (), narchk (), nparch (), e nparchk () também têm uma resposta simétrica para inovações, mas elas não são centradas em zero. A função inteira de resposta a notícias (resposta às inovações) é deslocada na horizontal de modo que a variância mínima situa-se em algum valor positivo ou negativo especíco para as inovações prévias. Modelos ARCH-em-média permitem que a variância condicional da série in- uencie a média condicional. Isso é particularmente conveniente para modelar a relação risco-retorno em séries nanceiras; quanto mais arriscado é um investimento, com tudo o resto igual, menor é o seu retorno esperado. Modelos ARCH-em-média modicam a especicação da equação da média condicional como: y t = x t β + ψσt 2 + ɛ t (ARCH-em-média) Embora esta forma linear na variância condicional corrente tem dominado a 3

literatura, o comando arch permite que a variância condicional entre na equação da média através de uma transformação não linear g () e que este termo transformada seja incluído contemporaneamente ou desfasado. y t = x t β + ψ 0 g(σ 2 t ) + ψ 1 g(σ 2 t 1) + ψ 2 g(σ 2 t 2) +... + ɛ t Raiz quadrada é a mais comumente usada transformação g () porque geralmente os pesquisadores querem incluir um termo linear para o desvio padrão condicional, mas qualquer transformação g () é permitida. Exemplo 1 Modelo ARCH Considere um modelo simples do Índice de Preços por Atacado EUA (WPI) (Enders 2004, 87-93), que também consideramos em um dos exemplos para a modelagem Arima. Os dados são trimestrais durante o período 1960q1 até 1990q4. Na modelagem Arima, ajustamos um modelo da taxa de variação do WPI, ln(w P I t ) ln(w P I t 1 ). O gráco da série diferenciada mostra claramente períodos de alta volatilidade e outros períodos de relativa tranqüilidade. Isso torna a série de uma boa candidata para a modelagem ARCH. De fato, os índices de preços têm sido um alvo comum para modelos ARCH. Engle (1982) apresentou a formulação original ARCH na análise das taxas de inação no Reino Unido. Em primeiro lugar, estimamos um modelo somente com uma constante por OLS e testamos os efeitos ARCH, usando o teste de multiplicador de Lagrange de Engle (estat archlm). use http://www.stata-press.com/data/r13/wpi1 regress D.ln_wpi Como o teste LM mostra um valor-p de 0,0038, o que está bem abaixo de 0,05, rejeitamos a hipótese nula de inexistência de efeitos ARCH (1). Assim, podemos ainda estimar o parâmetro ARCH(1) especicando arch(1). O modelo ARCH generalizado de primeira ordem (GARCH, Bollerslev 1986) é a especicação mais comumente usada para a variância condicional em trabalhos empíricos e geralmente denotado como GARCH(1, 1). Podemos estimar um processo GARCH(1, 1) para a série de logaritmos diferenciados, digitando: arch D.ln_wpi, arch(1) garch(1) 4

Estimamos o parâmetro ARCH(1) como 0,436 e o parâmetro GARCH(1) como 0,454 de modo que nosso modelo GARCH(1,1) ajustado é y t = 0, 0061 + ɛ t σ 2 t = 0, 436ɛ 2 t 1 + 0, 454σ 2 t 1 y t = ln(wpi t ) ln(wpi t 1 ) O teste Wald para o modelo (análogo ao teste F para a regressão linear comum) e a sua respectiva probabilidade (p-value) são ambos dados missing (.). Por convenção, Stata reporta o teste para o modelo da equação da média. Aqui e com bastante frequência para modelos ARCH, a equação da média consiste apenas de uma constante, e não há nada a testar. 5