Equações não lineares

Capítulo 2 Equações não lineares Vamos estudar métodos numéricos para resolver o seguinte problema. Dada uma função f contínua, real e de uma variável, queremos encontrar uma solução x que satisfaça a equação não linear: f(x ) = 0. (2.1) Em geral a equação (2.1) não pode ser resolvida exatamente, isto é, a solução x não pode ser descrita a partir de uma combinação finita de operações algébricas simples (+,,/,, exp, log) e funções elementares (polinômios, razão entre polinômios, potências racionais, e as funções transcendentais: exp,log, trigonométricas, hiperbólicas). Há casos em que a própria função f não é conhecida explicitamente: pode ser definida a partir de uma série infinita, ou a partir de uma integral ou ainda ser solução de uma equação diferencial. nesses casos utilizamos métodos numéricos para resolver a equação. Idealmente, poderíamos dividir o procedimento nas seguintes etapas: inicialmente devemos encontrar uma região de interesse onde possam existir soluções da equação; em seguida, quando possível, isolar os intervalos que contém apenas 1 solução; feito isso, determinamos pelo menos 1 aproximação inicial x 0 da solução (de acordo com o método utilizado, pode ser necessário utilizar mais de uma aproximação inicial) para cada intervalo; finalmente, a partir das aproximações iniciais, o método numérico consiste na construção de uma seqüência {x n } n=0 que converge para a solução, isto é, lim x n = x n + solução da equação (2.1). Portanto os métodos numéricos para encontrar a solução de equações não lineares são métodos iterativos. A cada iteração, utilizamos um subconjunto das aproximações x n 1,x n 2,...,x 0, obtidas anteriormente, para determinar a próxima aproximação x n. Estudaremos os métodos separados em três classes principais: Métodos de quebra: o ponto de partida é encontrar um intervalo que contenha pelo menos 1 solução. Segundo o teorema de Bolzano, basta determinar um intervalo em que a função f muda de sinal. Os métodos de quebra consistem na descrição de como subdividir o intervalo inicial em intervalo cada vez menores que ainda contenham a mesma solução. Nesse caso, a seqüência x 0,x 1,x 2,...,x n é formada pelos extremos dos intervalos. A solução numérica será encontrada quando a largura do intervalo em uma m-ésima iteração for pequeno o suficiente para satisfazer as exigências de exatidão. Métodos de ponto fixo: A seqüência {x i } i=n i=0 é construída a partir da sucessiva iteração

Capítulo 2. Equações não lineares 21 x n+1 = φ(x n ). A convergência do método é garantida pelo teorema do ponto fixo, daí o nome dos métodos. Métodos de múltiplos passos: Uma generalização do método anterior onde a função φ depende de mais de uma aproximação anterior, i. e., x n+1 = φ(x n,x n 1,...,x n p ) para algum p n. 2.1. Métodos de quebra Os métodos de quebra utilizam como primeira aproximação um intervalo que contenha pelo menos 1 solução da equação não linear. As iterações consistem em seguidas subdivisões dos intervalos de maneira que o novo intervalo sempre contem a solução. O uso do teorema é comum a todos os métodos de quebra, ele fornece condições para que os intervalos contenham pelo menos 1 solução da equação. Apresentamos o teorema sem sua prova. Teorema (Bolzano) Seja I = [a,b] R e uma função f : I R contínua. Então o conjunto imagem f(i) é também um intervalo e [f(a),f(b)] f(i) ou [f(b),f(a)] f(i). Portanto, se encontrarmos um intervalo [a,b] tal que, por exemplo, f(a) < 0 e f(b) > 0, então pelo teorema de Bolzano existe, um ponto x [a,b] tal que f(x ) = 0. O que difere os métodos de quebra entre si é a maneira com que os intervalos são subdivididos. 2.1.1. Método da bissecção A aproximação inicial consiste em um intervalo [x 0,x 1 ] tal que f(x 0 )f(x 1 ) < 0. Então dividimos o intervalo ao meio, ou seja, no ponto x 2 = x 0 + x 1. Entre os intervalos [x 0,x 2 ] e [x 2,x 1 ] 2 escolhemos aquele que possui pelo menos 1 solução, ou seja, aquele em que f(x 2 )f(x i ) < 0 para i = 0,1. Pode ainda ocorrer que x 2 seja solução, ou seja, x 2 = x ou ainda que ambos os intervalos sejam tais que f(x 0 )f(x 2 ) < 0 e f(x 2 )f(x 1 ) < 0, nesse caso, ambos subintervalos contém pelo menos 1 solução e podemos continuar o procedimento em cada um deles em separado. Observação. Se a aproximação inicial [x 0,x 1 ] for tal que f(x 0 )f(x 1 ) > 0 isto não quer dizer que não exista solução nesse intervalo, apenas o teorema não permite uma conclusão sobre a existência ou não de solução nesse intervalo. Nesse caso é necessário escolher outro intervalo ou então realizar um divisão adicional. Por exemplo, se f(x) = x(1 x), a equação não linear f(x ) = 0 possui soluções x = 0 e x = 1, porém f( 1)f(3) > 0. Devemos adotar um critério de parada no processo de subdivisão dos intervalos. Em geral adotamos dois valores pequenos ε 1 e ε 2 de maneira que a solução é escolhida uma vez que uma das três desigualdades seguintes seja satisfeita: x n x m < ε 1, f(x n ) < ε 2 ou f(x m ) < ε 2. O seguinte algoritmo descreve com maior detalhe todos os passos. A entrada do programa consiste nos extremos do intervalo inicial [a,b], a função f, os parâmetros de exatidão ε 1 e ε 2 e o número máximo de passos aceitável N. A saída pode ser mensagens de erro, o intervalo mínimo (de comprimento ε 1 ) onde a solução se encontra (se não for possível obter a exatidão pretendida, ε 2 ) ou a solução x com exatidão dada pelo parâmetro ε 2. Por comodidade, os comentários estão colocados após o algoritmo.

Capítulo 2. Equações não lineares 22 1. entrada {a,b,f,ε 1,ε 2,N} 2. x 0 a; x 1 b;f 0 f(x 0 ); f 1 f(x 1 ); i 1 3. se f 0 f 1 > 0, então: saída{ Erro nos dados de entrada }; vá para: final 4. enquanto f 0 > ε 2 e f 1 > ε 2 e i < N a) se x 0 x 1 < ε 1 então: saída{x 0,x 1 }; vá para: final b) x 2 0,5 (x 0 + x 1 ); f 2 f(x 2 ) c) se f 2 f 0 < 0, então: x 1 x 2 ; f 1 f 2, senão: x 0 x 2 ; f 0 f 2 d) i i + 1 5. se i > N, então: saída{ Não atingiu a exatidão exigida em,n, passos. }; vá para: final 6. se f 0 ε 2 então: saída{x 0 }; vá para: final, senão: saída{x 1 }; vá para: final 7. final: termina o programa. Comentários: linha 2: as variáveis x 0 e x 1 guardam o valor dos extremos dos intervalos, f 0 e f 1 guardam o valor da função nesses extremos. A variável i é um contador. linha 4: laço em que os intervalos são divididos. Se alguma das condições for satisfeita encontramos a solução com exatidão desejada ou excedemos o número máximo de passos. linha 4(a): os intervalo atingiu o menor valor admissível. O intervalo que contem a solução é retornado como saída, porém a exatidão não foi atingida. linha 4(c): teste para encontrar o intervalo que contem pelo menos 1 solução com certeza. linha 4(d): incremento do contador linha 5: se o código está nesse ponto, o laço 4 terminou, ou seja, ou encontramos a solução ou excedemos o número máximo de passos. linha 6: não é necessário testar f 1 pois se i > N é falso e f 0 ε 2 é falso, só resta f 1 ε 2 como afirmação verdadeira. Como exemplo do método, vamos estudar a equação não linear para f(x) = x e x. A solução é dada em termos da função especial W de Lambert: x = W(1) = 0,5671432904097839... A tabela seguinte ilustra o comportamento dos extremos do intervalo para a equação x e x = 0 com intervalo inicial (0.0, 1.0): Após 20 iterações chegamos ao intervalo (0.567142..., 0.567143...). O valor 0,567143 é satisfatório como solução com 6 casa decimais exatas. Limitações do método No caso de raízes múltiplas de polinômios, pode não existir um intervalo onde a função troca de sinal. Ou pelo menos pode ser difícil encontrar tal intervalo. Veja os gráficos abaixo.

Capítulo 2. Equações não lineares 23 iteração x 0 x 1 1 0, 5 1,0 2 0,5 0,75 3 0,5 0,625 4 0, 5625 0, 625 5 0, 5625 0, 59375 6 0, 5625 0, 578125 Tabela 2.1. Tabela das primeiras iterações para o método da bissecção. 0.5 0.25 f x 0.25 0.5 1 4 1 2 x 3 4 1 x 0.75 1 Figura 2.1. Gráfico da função f(x) = x e x, no intervalo x [0, 1]. f x f x x x 2.1.2. Método da falsa posição ou regula falsi A diferença básica entre este método e o método da bisseção está na forma de dividir o intervalo. O método da falsa posição utiliza como ponto intermediário para divisão do intervalo (x 0,x 1 ), o ponto dado pela intersecção entre o eixo x e a reta que une os pontos (x 0,f(x 0 )) e (x 1,f(x 1 )). A reta que une esses dois pontos possui equação ρ(x): Portanto, o ponto intermediário x m é dado por ρ(x) = f(x 0) f(x 1 ) x 0 x 1 x + x 0f(x 1 ) x 1 f(x 0 ) x 0 x 1. x m = x 0 (x 0 x 1 ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 0). A tabela seguinte ilustra o comportamento dos extremos do intervalo para a equação x e x = 0 com intervalo inicial (0.0, 1.0):

Capítulo 2. Equações não lineares 24 f x x x 0 x x m x 1 Figura 2.2. A reta que une os pontos (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )) está pontilhada. Ela cruza o eixo x no ponto que divide o intervalo, x m iteração x 0 x 1 1 0, 0 0,6127 2 0, 0 0, 572181 3 0, 0 0, 567703 4 0, 0 0, 567206 5 0, 0 0, 567150 6 0, 0 0, 567144 Tabela 2.2. Tabela das primeiras iterações para o método da falsa posição. Após 7 iterações chegamos ao resultado nas mesmas condições (6 casas decimais de exatidão) utilizadas no método anterior. 2.2. Métodos de ponto fixo Os métodos de ponto fixo são caracterizados por reescrever a equação não linear f(x ) = 0 (2.2) na forma φ(x ) = x e utilizar o teorema do ponto fixo que veremos logo adiante para garantir a convergência da seqüência x n+1 = φ(x n ) para o ponto fixo x que é solução de (2.2). Seja portanto a função φ : [a,b] R φ(x) = x + γ(x)f(x), onde γ(x) 0 no intervalo [a,b]. Nesse caso, se φ(x ) = x, então como γ(x) 0 para todo x [a,b], f(x ) = 0. A solução x será então determinada através da convergência da seqüência {x n } n=0, lim n x n = x, onde x n+1 = φ(x n ). A garantia da convergência é estabelecida pelo teorema do ponto fixo:

Capítulo 2. Equações não lineares 25 Teorema (ponto fixo) Seja φ uma função contínua, definida em um intervalo I = [a,b] e tal que as seguintes condições sejam satisfeitas: φ(i) I, obs: (a notação indica x I, g(x) I) x I, φ (x) L < 1 obs:(φ é uma contração) Então dado qualquer x 0 I, existe um único ponto x I tal que a seqüência x n+1 = φ(x n ) converge para x = φ(x ). Demonstração: Vamos tratar inicialmente a questão da convergência (existência de ponto fixo). Seja a distância entre dois pontos consecutivos x n+1 e x n da seqüência : x n+1 x n = φ(x n ) φ(x n 1 ). Segundo o teorema do valor médio, existe um c [x n,x n 1 ] tal que φ(x n ) φ(x n 1 ) = φ (c) x n 1 x. De acordo com as hipóteses, φ é tal que φ(i) I, então se a aproximação inicial x 0 pertence a I então φ(x n ) e φ(x n 1 ) também lhe pertencem. Como c [x n,x n 1 ] I então segundo as hipóteses φ (c) L < 1, então x n+1 x n = φ(x n ) φ(x n 1 ) = φ (c) x n x n 1 L x n x n 1. (2.3) Utilizando recursivamente a desigualdade (2.3) temos x n+1 x n L x n x n 1 L 2 x n 1 x n 2... L n x 1 x 0, portanto lim x n+1 x n lim n n Ln x 1 x 0 = x 1 x 0 lim n Ln. Novamente segundo as hipóteses, L < 1 e x 1 x 0 é um número finito pois x 1 e x 0 pertencem ao intervalo finito [a,b]. Assim lim n L n = 0 e lim x n+1 x n = 0. n Ou seja, a seqüência converge para um x = φ(x ). Dessa forma, existe pelo menos um ponto x no intervalo [a,b] que satisfaz a equação x = φ(x ). A seguir vamos verificar que esse ponto é único. Sejam x 1 e x 2 dois pontos distintos no intervalo I = [a,b] que satisfazem a equação x = φ(x), ou seja, x 1 = φ(x 1 ) e x 2 = φ(x 2 ). Então, de acordo com o teorema do valor médio, existe um c [x 1,x 2 ] tal que x 1 x 2 = φ (c) x 1 x 2.

Capítulo 2. Equações não lineares 26 Segundo as hipóteses, x 1,x 2 I, então φ (c) L < 1, ou seja x 1 x 2 < x 1 x 2 o que é uma contradição. Portanto, no intervalo I = [a,b] há um e somente um ponto x = φ(x). Observação. Note que na demonstração do teorema do ponto fixo, é fundamental que a derivada de φ seja estritamente menor do que 1 em alguma vizinhança I que contém a solução. Caso contrário, se φ (x) 1 em um intervalo I, não podemos excluir a possibilidade de que as iteradas transitem por uma seqüência cíclica de pontos sem convergir para a solução x, ou mesmo a possibilidade de haver mais de uma solução nesse intervalo. Naturalmente isto não quer dizer que esses comportamentos ocorram sempre que as hipóteses do teorema não forem válidas. 2.2.1. Método da iteração linear Trata-se de encontrar uma função φ que satisfaça as hipóteses do teorema do ponto fixo para alguma vizinhança em torno da solução x da equação f(x ) = 0. Como a função φ é construída a partir de uma outra função γ(x) 0 em um intervalo que contem a solução de f(x ) = 0, encontrá-la significa determinar γ(x) 0. A condição de convergência é garantida então pelo teorema do ponto fixo se as suas hipóteses forem satisfeitas. Vamos considerar o exemplo que já estudamos anteriormente, f(x) = x e x. Nesse caso f(x) = 0 x = e x = φ(x). Portanto, como por definição, φ(x) = x + γ(x)f(x), no nosso exemplo γ(x) 1. Assim γ(x) 0 para qualquer valor de x. Como φ (x) = e x, as hipóteses do teorema do ponto fixo são válidas apenas nos intervalos 1 I [W(1),1], onde φ(i) I e φ (x) < 1. Vamos escolher então a aproximação inicial x 0 = 0,5. a seqüência é dada em seus primeiros termos por iteração n x n 1 0, 606531 2 0, 545239 3 0, 579703 4 0, 560065 5 0, 571172 6 0, 565863 Tabela 2.3. Tabela das primeiras iterações para o método da iteração linear com φ(x) = e x. A solução com 6 dígitos exatos é alcançada após 22 iterações. Uma outra possibilidade para a função φ seria a escolha φ(x) = ln x que corresponde a γ(x) = x + ln x x e x que é sempre negativa no intervalo (0,+ ). No entanto, φ (x) = 1 x é maior do que a unidade no intervalo (0, 1) que contém a solução e assim, o teorema do ponto fixo não dá 1 A função W é função W de Lambert e esta relacionada à solução da equação x = e x. Na prática, não procuramos garantir a hipótese φ(i) I pois muitas vezes, determinar esse intervalo exatamente equivale a resolver a equação não linear.

Capítulo 2. Equações não lineares 27 garantias de convergência. Podemos perceber que logo nas primeiras iterações, a seqüência toma valores negativos e, dessa forma, como φ(x) = lnx, a seqüência não estará definida apenas nos números reais. Em particular essa seqüência não converge para nenhuma solução de f(x) no plano complexo (a equação possui infinitas soluções lá). 2.2.2. Método Newton-Raphson A partir da demonstração do teorema do ponto fixo, podemos notar que quanto menor for o limite superior L < 1 para o valor absoluto da derivada de φ na vizinhança da solução x mais rapidamente a seqüência converge para a solução da equação não linear. O método de Newton-Raphson é um método iterativo que utiliza essa propriedade da convergência das seqüências para garantir uma convergência rápida para a solução a partir do instante que x n+1 se aproxima de uma vizinhança suficientemente próxima de x. Portanto, a idéia é determinar uma função γ(x) tal que φ (x ) = 0 e assim garantir que, em uma vizinhança próxima de x, a função φ é tal que φ 1. Tomando a derivada de φ, por definição temos: φ (x) = 1 + γ (x)f(x) + γ(x)f (x) e em x = x, solução da equação f(x ) = 0, temos φ (x ) = 1 + γ(x )f (x ). Portanto, a escolha γ(x) = 1 f (x) (2.4) implica φ (x ) = 0 de maneira que na vizinhança de x, φ assume pequenos valores. A partir da escolha (2.4) para a função γ, a função φ é dada por φ(x) = x f(x) f (x). (2.5) Vamos novamente utilizar o exemplo f(x) = x e x, nesse caso a iteração é dada pela função φ: Partindo da aproximação inicial x 0 = 0,5: φ(x) = x x e x (x + 1) = 1 + e x 1 + e x. iteração n x n 1 0, 566311 2 0, 567143 Tabela 2.4. Tabela das primeiras iterações para o método Newton-Raphson com φ(x) = (x+1) 1+e x. a seqüência converge para a solução exata até a 6 a casa decimal em duas iterações. Se utilizarmos x 0 = 1,0 como aproximação inicial obteríamos o mesmo resultado após três iterações.

Capítulo 2. Equações não lineares 28 Vamos analisar com um pouco mais de detalhe a questão da convergência. Se a função φ é suficientemente bem comportada a ponto de admitir uma expansão em série de Taylor em torno da solução x, então x n+1 x = φ(x n ) x = φ(x ) + φ (x ) x n x + 1 2 φ (x ) x n x 2 x Como a derivada φ é dada por φ (x ) x n x + 1 2 φ (x ) x n x 2 + O( x n x 3 ). (2.6) φ (x) = f(x)f (x) (f (x)) 2, (2.7) podemos concluir que se f (x ) 0 então φ (x ) = 0. E assim, a desigualdade (2.6) assume a forma x n x 1 2 φ (x ) x n 1 x 2 + O( x n 1 x 3 ) com φ (x ) = f (x ) f (x ). Ou seja, se f (x ) 0 então a convergência é quadrática pelo menos. No entanto se f (x ) = 0 (por exemplo, no caso de raízes múltiplas), a derivada de φ no ponto x não se anula. Se realizarmos uma expansão de Taylor para (2.7) encontraremos (devemos expandir o numerador e o denominador independentemente), no caso em que f (x ) = 0 e f (x ) 0, φ (x n ) = 1 2 + 1 f (x ) 3! f (x ) (x n x ) + O((x n x ) 2 ), ou seja φ (x ) = 1 2 se f (x ) = 0. E assim a desigualdade (2.6) assume a forma x n x 1 2 x n 1 x + O( x n 1 x 2 ) e a convergência é linear como nos métodos de iteração linear. 2.3. Métodos de múltiplos pontos 2.3.1. Método da secante O método da secante é similar ao método da falsa posição, diferem entre si pelo fato de que no método da secante não há divisão e escolha de intervalos, a seqüência de aproximações é calculada a partir das duas últimas aproximações e portanto, devemos iniciar com duas aproximações para a solução. Ao contrário do método da falsa posição, não há necessidade de que a solução esteja entre as duas aproximações iniciais.

Capítulo 2. Equações não lineares 29 A seqüência é montada a partir da regra para iteração 2 x n+1 = x n (x n x n 1 ) f(x n ) f(x n 1 ) f(x n). De maneira semelhante à que ocorre nos métodos de ponto fixo, para que ocorra convergência, em geral, as duas primeiras aproximações devem estar em uma vizinhança suficientemente próxima da solução. É possível demonstrar que existe um constante K tal que x n+1 x lim n x n x ρ = K, onde ρ = 1 + 5 1,618. Ou seja, apesar de ser mais lenta que no método Newton-Raphson, a 2 convergência é mais rápida que a convergência linear de alguns métodos de ponto fixo. iteração n x n 1 0, 544221 2 0, 568826 3.567150 4.567143 Tabela 2.5. Tabela das primeiras iterações para o método da secante para f(x) = x e x, com aproximações iniciais x 0 = 0, 9 e x 1 = 1, 0. a seqüência converge para a solução exata até a 6 a casa decimal em quatro iterações. Se utilizarmos x 0 = 0,5 e x 1 = 1,0 como primeiras aproximações obteríamos o mesmo resultado após três iterações. 2.4. Exercícios 1) Seja a equação não linear x e x = 0. A solução é dada em termos da função W de Lambert, x = W(1) 0,567143290... Se utilizarmos o método da bissecção e o intervalo inicial (0, 1) serão necessárias 20 iterações para obter um resultado com 6 casas decimais exatas. Utilizando o mesmo intervalo inicial mas com o método da falsa posição serão necessárias apenas 8 iterações para obter um resultado com a mesma exatidão. Se no entanto, o intervalo inicial for ( 10, 10) serão necessárias 22029 iterações no método da falsa posição enquanto que no método da bissecção serão necessárias apenas 24 iterações. Como você explicaria essa diferença? 2 É comum utilizar as seguintes variações para minimizar os efeitos de arredondamento: x n+1 = f(x n 1 ) 1 f(xn) f(x n 1 ) x n (xn x n 1) f(xn) x n (xn x n 1) 1 f(x n 1 ) f(xn), se f(x n) < f(x n 1), se f(x n 1) < f(x n)

Capítulo 2. Equações não lineares 30 2) Encontre as duas soluções reais da equação x + e x 3 = 0 com seis dígitos exatos. 3) As seguintes equações possuem possuem uma raiz real positiva igual a 3 2. x 4 3,5x 3 + 2,25x 2 + 3,375x 3,375 = 0 x 4 + 1,5x 3 1,5x 2 3,5x 1,5 = 0 Utilize o método de Newton-Raphson com algumas aproximações iniciais diferentes para encontrar essa raiz. O que você pode notar? 4) Utilize os métodos de Newton-Raphson e da secante para determinar a primeira raiz real positiva da equação cos(x) = x. 5) Utilize os métodos de Newton-Raphson e da secante para determinar as duas raizes reais e positivas da equação x x 0.8 = 0 6) Determine as três raizes reais e positivas da equação cos(x) = 0.02x 2