MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES

4 MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES Os métodos geométricos auiliares são processos que permitem alterar a posição das figuras geométricas. Aqui mostrase como se aplicam a pontos, segmentos de recta, rectas e planos. É bastante útil a aplicação destes métodos principalmente no estudo de Figuras Planas, Paralelismos, Perpendicularidades, Distâncias e Ângulos. Por etensão, acabam também por se aplicar em Sólidos e em Sombras. Sumário: 2, 3 e 4. Rebatimento de planos projectantes 5 e 6. Rebatimento do plano oblíquo 7 e 8. Rebatimento do plano de rampa 9, 10 e 11. Rebatimento de planos definidos por rectas concorrentes 12. Rebatimento de planos definidos por rectas concorrentes, utilizando uma delas como charneira 13 e 14. Rebatimento de planos definidos por rectas paralelas 15. Rebatimento de planos definidos por rectas paralelas, utilizando uma delas como charneira 16, 17, 18 e 19. Rotação de rectas e segmentos de recta 20 e 21. Rotação de planos 22 e 23. Rotação de planos definidos por rectas 24, 25 e 26. Mudanças de planos aplicadas a rectas e segmentos de recta 27 e 28. Mudanças de planos aplicadas a planos 29 e 30. Mudanças de planos aplicadas a planos definidos por rectas 31, 32, 33 e 34. Eercícios Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 1

Rebatimento de planos projectantes Ao rebater um plano, este vai coincidir (ou ficar paralelo) a um plano de projecção, para que as figuras nele eistentes fiquem em verdadeira grandeza, ou seja, com o tamanho e a forma reais, sem as deformações provocadas pelas projecções. As figuras situadas nos planos frontal e horizontal estão sempre em verdadeira grandeza numa das projecções, não sendo necessário rebatêlos. fα F 2 F R P R hα R (t 2 )F 2 fαr 2 fα R H R fα R F 1 F 1 r 1 F R H 2 t 1 t R PR H 1 hαhα R hα Rebatimento do plano de topo À esquerda temos o rebatimento do plano para o PHP, pelo que a charneira do rebatimento é o traço horizontal; o traço frontal rebatido fica coincidente com o eio. À direita o rebatimento é feito sobre o PFP, com charneira no traço frontal; o traço horizontal rebatido fica perpendicular ao frontal. Em ambos os casos mostrase como rebate um ponto e uma recta do plano. fπfπ R fπ F 2 F R s 2 s R n 2 F 2 R 2 R R R 2 H 2 H R F 1 hπ R F 1 R 1 H 1 R 1 hπn 1 hπ R R R F R hπs 1 n R fπ R Rebatimento do plano vertical Aqui temos também um rebatimento sobre o PPF e outro sobre o PHP. O traço fio, ou charneira, é sempre o do plano de projecção sobre o qual o plano vai rebater. Também aqui um ponto e uma recta do plano o acompanham no rebatimento. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 2

Nos eemplos de cima mostrase o rebatimento do plano de perfil, levando consigo uma recta e um ponto. Em baio mostrase o rebatimento de um segmento de recta de perfil, o que permite determinar o seu tamanho real ou verdadeira grandeza (VG), processo que se emprega no capítulo Distâncias. À partida deve escolherse rebater para o lado onde haja mais espaço livre. fψhψv 2 fψ R fθhθp 2 p 1 hθ R P R v R F 2 p R H 2 H R F R hψ R fθ R H 2 F 1 P R (v 1 )H 1 H 1 H R Rebatimento do plano de perfil À esquerda temos o rebatimento do plano para o PFP, pelo que a charneira do rebatimento é o traço frontal; o traço horizontal rebatido fica coincidente com o eio. Rebateuse também o ponto P e uma recta vertical do plano. À direita o rebatimento é feito sobre o PHP, com charneira no traço horizontal; o traço frontal rebatido vai coincidir com o eio. Rebatese uma recta de perfil e o ponto P do plano. fβhβv 2 fβ R fβhβv 2 v R P R P R VG VG Q 2 Q R Q 2 Q R hβ R hβ R (v 1 ) (hρ) Q 1 Q 1 Rebatimentos para determinar a verdadeira grandeza de um segmento de recta de perfil À esquerda rebatese o plano de perfil que contém o segmento de recta [PQ] para o PFP, ficando [P R Q R ] em verdadeira grandeza (VG). À direita fazse um rebatimento sobre o plano frontal ρ, que contém o ponto P. Esse ponto fica fio e apenas rebate o ponto Q. A charneira deste rebatimento é a recta vertical v. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 3

Aqui mostrase, em cima, rebatimentos que têm por objectivo determinar o tamanho real ou verdadeira grandeza (VG) de um segmente de recta oblíquo. Em baio mostrase rebatimentos simplicados para a achar a verdadeira grandeza dos segmentos oblíquo e de perfil. Estes processos empregamse no capítulo Distâncias. fα fα B 2 B 2(t 2) (fσ) fα R B 1 B R B RB 1 hαhα R VG A R t 1 ch VG hα A R Rebatimentos para determinar a verdadeira grandeza de segmentos de recta oblíquos À esquerda, o plano e o segmento de recta são rebatidos para o plano horizontal de projecção. À direita, o plano é rebatido para o plano horizontal σ, que contém o ponto B. Aqui o rebatimento é feito em torno da charneira de topo t, que contém o ponto B e por isso fica fio. f 2 f R A R VG B 2 B R (t 2 )Q 2 (fω) B 1 hδf 1 VG P R Q 1 Q R t 1 t R Rebatimentos simplificados para determinar a verdadeira grandeza dos segmentos de recta oblíquo e de perfil À esquerda rebatese o segmento de recta oblíquo para o plano frontal δ, em torno da charneira frontal f, que contém o ponto B. Para isso marcase a medida na perpendicular à charneira. À direita fazse um rebatimento do segmento de recta de perfil sobre o plano horizontal ω, em torno da charneira de topo t, que contém o ponto Q. Marcase a medida na perpendicular à charneira. Neste processo simplificado não é necessário indicar um plano contendo o segmento, mas apenas o plano (horizontal ou frontal) sobre o qual o segmento é rebatido. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 4

Rebatimento do plano oblíquo Também aqui se utiliza um traço do plano como charneira, mas é necessário um ponto auiliar situado no traço móvel. Se esse ponto não eistir no enunciado do eercício, deve ser acrescentado. fπ fπ f 2 F 2 F 2 n 2 F 1 F 1 H 2 F R F R H 1 H R f 1 hπhπ R n 1 fπ R n R fπ R P R hπhπ R n R // hπ R f R // fπ R f R hπ R F 2 F R hπ R p R H R P R H R fπfπ R H R F 2F R r R fπfπ R H 2 H 2 r 2 H 2F 1 F 1 r 1 H 1 H 1 H 1 hπ p 1 p 2 hπ Rebatimento do plano oblíquo No eemplo de cima rebatese o plano para o PHP; como tal, a charneira é o traço horizontal, sendo móvel o traço frontal. Foi com o ponto F que se eecutou rebatimento. No caso de baio o plano rebatese para o PFP, pelo que é o traço frontal o fio, sendo móvel o horizontal. O rebatimento foi feito com ajuda do ponto H. À esquerda destacase apenas o rebatimento do plano; à direita rebatemse também duas rectas e o ponto onde se cruzam. De notar que os pontos se deslocam na perpendicular à charneira. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 5

Aqui mostrase o rebatimento de planos oblíquos cujos traços têm aberturas para lados contrários. Tratase de eemplos que apresentam diferenças ligeiras em relação aos da página anterior. fπ fπ F 2 n 2 F 2 F 1 F R fπ R F 1 F R fπ R hπhπ R hπhπ R n 1 n R n R // n 1 // hπ R f R // f 2 // fα R f 2 f R fα R fα R H R H R H 2 H 2 H 1 f 1 H 1 fαhαfα R fαhαfα R Rebatimento do plano oblíquo com traços abertos para lados contrários Em cima temos um plano comum, com os traços abertos para lados contrários, a rebater para o PHP. Em baio temos um plano perpendicular ao β 2/4 a rebater para o PFP. Dentro de cada plano rebate também uma recta, horizontal no primeiro caso, frontal no segundo. Comparese a aplicação do ponto auiliar entre estes casos e os da página anterior. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 6

Rebatimento do plano de rampa Para rebater, tal como sucede com o plano oblíquo, o plano de rampa necessita de um ponto auiliar situado no traço móvel. Contudo, esse ponto precisa de um rebatimento auiliar, como veremos. fα F 2 r 2 h 2 A R H 2 F 1 h 1 H 1 H R hαhα R r 1 h R P R fα R A R F R r R r R hα R A R H R H R P R fαfα R F 2 F R F 2 F R A R H 2 F 1 r 2 hα H 1 H 1 r 1 p 1 p 2 p R Rebatimento do plano de rampa No primeiro eemplo rebatese o plano para o PHP; como tal, a charneira é o traço horizontal, sendo móvel o traço frontal. Rebatese também uma recta oblíqua, outra frontohorizontal e o ponto P que lhes pertence. No segundo caso o plano é rebatido para o PFP, pelo que é fio o traço frontal e móvel o horizontal. Rebatese aqui uma recta oblíqua e uma de pertfil. Também aqui o ponto P é a intersecção dessas rectas. À esquerda fazse o rebatimento auiliar do ponto A, o que permite saber a distância real entre os dois traços, fundamental para determinar o rebatimento do plano. De facto, esse ponto passa por dois rebatimentos: um para o lado, que dá A R ; outro para baio ou para cima que dá o ponto A R. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 7

Aqui vemos o rebatimento de outros planos de rampa, o primeiro com os traços para o mesmo lado do eio, o segundo passante. A R H 2 F 1 r 1 R 1 H 1 H R hαhα R r 2 R 2 r R fα F 2 R R fα R A R F R Rebatimento do plano de rampa com os traços para o mesmo lado do eio Aqui vemos o rebatimento de um plano de rampa com os dois traços para baio do eio. Rebatese também uma recta oblíqua do plano e o ponto R que nela eiste. Este rebatimento é feito para o PHP. Comparese o traçado deste eercício com os da página anterior. S 2 s 2 hπfπhπ R P R s 1 A R S 1 S R s R A R S R Rebatimento do plano passante Como os traços do plano passante estão no eio, que serve se charneira, o ponto auiliar não pode estar situado num traço, pois isso de nada serviria para o rebatimento. Com o rebatimento do ponto A considerase que o plano está rebatido, neste caso para o PHP. Como nos outros planos de rampa, o ponto faz primeiro um rebatimento auiliar. Para rebater uma recta oblíqua, passante no ponto P, usase um ponto dessa recta. Os triângulos que resultam do rebatimento auiliar de cada ponto são proporcionais, ou seja, têm hipotenusas paralelas. Isso prova que os pontos A e S, assim como a recta s, se situam no plano. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 8

Rebatimento de planos definidos por rectas concorrentes Normalmente, rebatese os planos definidos pelos traços sobre os planos de projecção, rebatendose os planos definidos por rectas sobre planos horizontais ou frontais. O processo aqui utilizado designase por processo do triângulo do rebatimento. Para que possa devidamente compreendido, mostrase aqui uma representação em perspectiva, assim como a que lhe corresponde nas projecções. Este processo é muito útil para determinar a verdadeira grandeza do ângulo entre duas rectas. b a Rebatimento de um plano definido por duas rectas oblíquas, no espaço AA R I R I 2 3 α nn R b R 1 I R BB R a R Eemplificase aqui o rebatimento das rectas para um plano horizontal, em perspectiva. As rectas a e b cruzam o plano α nos pontos A e B, que definem a recta horizontal n, charneira do rebatimento. O Ponto de intersecção I roda num movimento circular perpendicular à charneira, os pontos A e B permanecem fios. Nas projecções (como se observa na imagem abaio) temos acesso às medidas e, mas não temos acesso directo à media, que corresponde à hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos são as medidas e. Os arcos indicados com algarismos significam: 1 Movimento real do ponto I durante o rebatimento; 2 Rebatimento auiliar do ponto I, para determinar o triângulo rebatido; 3 Deslocação da medida da hipotenusa. Os arcos 1 e 2 não têm representação na imagem de baio. B 2 I R A R b 2 a 2 I 2 (fα)n 2 n 1 n R B 1 B R a 1 I R a R b R b 1 Rebatimento de um plano definido por duas rectas oblíquas, nas projecções Este traçado mostra a situação anterior, em projecções. Procedese do seguinte modo: 1. Traçase o plano horizontal α, que cruza as rectas a e b nos pontos A e B; 2. Os pontos A e B definem a recta horizontal n, que é a charneira do rebatimento; 3. A partir do ponto traçase uma paralela e uma perpendicular à charneira; 4. Na paralela marcase a distância entre o ponto I e o plano α, de onde se obtém o ponto I R (rebatimento auiliar); 5. Constróise o triângulo do rebatimento e deslocase a medida da hipotenusa para a perpendicular à charneira, onde se obtém o ponto I R. 6. Unindo o ponto I R aos pontos A R e B R obtêmse as rectas rebatidas a R e b R, que correspondem ao plano que elas definem já rebatido. Surgem aqui indicadas as medidas, e para que se possa comparar melhor este traçado com o da perspectiva; na prática dos eercícios indicarseá apenas a medida. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 9

Mostramse aqui mais eemplos de rebatimentos de planos definidos por rectas concorrentes, rebatimentos esses que se fazem quer sobre um plano frontal quer sobre um plano horizontal. s 2 r 2 r R f 2 f R R 2 R R I 2 I R Rebatimento de um plano definido por duas rectas oblíquas s R I R S 2 S R As duas rectas que aqui se rebatem são as mesmas do eercício da página anterior, contudo aqui são rebatidas sobre um plano frontal, em torno de uma charneira frontal. Ao invés do que aconteceu no eercício anterior, obviamente aqui o triângulo do rebatimento é traçado na projecção frontal. (hθ)f 1 R 1 S 1 I 2 r 1 s 1 r 2 f 2 R 2 F 2 Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma frontal Na situação que se apresenta à direita o rebatimento é feito sobre um plano horizontal, em torno duma charneira horizontal. (fα)n 2 f 1 I R F 1 F R n 1 n R r R r R n R I R f 2 f R R 2 R R r 2 R 1 R R r 1 I R f R I R N 2 N R n 2 I 2 (hθ)f 1 Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma horizontal À esquerda rebatese o plano definido pelas rectas sobre um plano frontal, em torno duma charneira frontal. N 1 R 1 n 1 r 1 Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 10

Aqui observamse mais eemplos, onde também o rebatimento de faz quer sobre um plano horizontal, quer sobre um frontal, plano esse que corta ambas as rectas. I 2 r 2 (fδ)n 2 R 2 Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma de perfil I R p 2 p 1 À partida, a recta de perfil está definida pelos pontos I e P, passandose por este o plano horizontal sobre o qual é feito o rebatimento, em torno duma charneira horizontal. p R r R r 1 P R s 2 f 2 f R n 1 n R R 1R R t R s R S 2 S R I R I R Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma de topo À direita, o rebatimento fazse sobre um plano frontal e em torno duma recta frontal que, dadas as circunstâncias, tem a sua projecção frontal a coincidir com a da recta oblíqua. O triângulo do rebatimento reduzse a um segmento de recta, dado que um dos catetos não eiste. T 1 I R (t 2)I 2T 2T R (hδ)f 1 S 1 v 2 s 1 r 2 I 2 R 2 V 2 (fα)n 2 t 1 I R (v 1)V 1V R I R Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma vertical Aqui temos uma situação idêntica à anterior, mas invertida. Ou seja, o rebatimento é feito para um plano horizontal e em torno de uma recta horizontal, cuja projecção desse nome coincide com a da recta oblíqua. De novo o triângulo do rebatimento fica reduzido a um segmento de recta. R 1 R R r R v R r 1 n 1 n R Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 11

Rebatimento de planos definidos por rectas concorrentes utilizando uma delas como charneira Quando uma das rectas que definem o plano é paralela a um dos planos de projecção pode ser utilizada como charneira, pelo que apenas a outra rebate. São esses os casos que aqui se mostram. P R f 2 f R n R Rebatimento de um plano definido por uma recta frontal e uma horizontal P R n 2 I 2 I R Aqui o rebatimento fazse sobre um plano frontal, usando a recta frontal como charneira. Deste modo, apenas rebate a horizontal, com recurso ao ponto P, dado que I é fio. Podese também rebater sobre um plano horizontal, utilizando a recta horizontal como charneira e um ponto da recta frontal. (hα)f 1 r 1 I 2 r 2 (fρ)a 2 Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma frontohorizontal Aqui utilizase um plano horizontal, usando a recta frontohorizontal como charneira, pelo que apenas a recta oblíqua, com ajuda do ponto P. Podese, de igual modo, fazer o rebatimento sobre um plano frontal, mantendo a mesma recta frontohorizontal como charneira. r R P R I R a 1 a R v 2 v R r R r 2 r 1 I 2 I R P R P R Rebatimento de um plano definido por uma recta oblíqua e uma vertical P R r 1 (v 1 ) (hα) Fazendo passar um plano frontal pela recta vertical, essa recta será utilizada como charneira do rebatimento, pelo que permanecerá fia. Deste modo rebatese apenas a recta oblíqua, utilizando para o efeito o ponto P. Sendo o plano definido por uma recta oblíqua e outra de topo, servirá esta de charneira. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 12

Rebatimento de planos definidos por rectas paralelas Duas rectas concorrentes dão origem a diversas situações; paralelas não permitem tão grande variedade, contudo é igualmente importante rebater planos definidos por essas rectas. O rebatimento de rectas paralelas tem especial importância no capítulo Distâncias, para a determinação da distância entre duas rectas. r 2 s 2 Rebatimento de um plano definido por duas rectas oblíquas paralelas (fπ)n 2 n 2 n R R 2 S 2 P R Para rebater o plano definido por estas rectas começase por rebater uma delas, aplicando o triângulo do rebatimento a um dos seus pontos. As rectas rebatidas continuam paralelas. Este rebatimento foi feito para um plano horizontal, em torno de uma charneira horizontal. R 1R R r 1 S 1S R a R a R // b R s 1 P R b R P R r R // s R r R s R P R A R a 2 Rebatimento de um plano definido por duas rectas horizontais Este rebatimento é feito sobre um plano frontal, em torno de uma recta frontal. Começase por rebater uma das rectas com a ajuda de um ponto seu. Rebatidas as rectas continuam paralelas. (hβ)f 1 b 2 B 2 B R f 2 f R s 2 r 2 a 1 b 1 B 1 (fπ)n 2 r 1 s 1 n 1 R 2 S 2 R1RR S1SR r R P R P R s R r R // s R Rebatimento de um plano definido por duas rectas oblíquas paralelas, com uma das projecções coincidentes Esta situação é idêntica à primeira, mas aqui as projecções horizontais das rectas são coincidentes. Rebatendo sobre um plano horizontal, a charneira será horizontal, ficando a sua projecção horizontal coincidente com as projecções homónimas das rectas dadas. De notar que aqui o triângulo do rebatimento se reduz a um segmento de recta. Se se tivesse optado por um plano frontal, surgiria uma charneira de topo. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 13

Nesta página mostramse mais dois casos, bem diferentes, de rebatimentos de planos definidos por rectas paralelas. p 2 p 1 p 2 p 1 n 2 n 2 (fθ) B 2 n 1 C 1 C 2 D 2 Rebatimento de um plano definido por duas rectas de perfil Para não complicar o traçado (levando, por eemplo, à utilização das projecções laterais), cruzamse aqui com as rectas de perfil duas rectas horizontais paralelas entre si, provando que as rectas de perfil também são paralelas. Deste modo, utilizase uma das rectas horizontais como charneira. D 1D R n 1 n R A R B 1B R p R A R p R t R // t R p R // p R t R t R Rebatimento de um plano definido por duas rectas de topo f 2 f R (t 2 ) (t 2 ) Para efectuar o rebatimento do plano definido por estas rectas sobre um plano frontal basta colocálas perpendiculares à charneira, a partir das suas projecções frontais. Dada a simplicidade destas situações, não é necessário utilizar qualquer ponto auiliar. (hα)f 1 t 1 t 1 Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 14

Rebatimento de planos definidos por rectas paralelas utilizando uma delas como charneira Os rebatimentos de planos definidos por rectas, mostrados nas páginas anteriores, são feitos sobre planos horizontais ou frontais e em torno de rectas que neles eistem, ou seja, charneiras horizontais, frontais, frontohorizontais e de topo. Nesta página os planos são definidos por rectas paralelas desse tipo, pelo que uma delas é utilizada como charneira. Este tipo de rebatimento pode ser aplicado na determinação da verdadeira grandeza da distância entre duas rectas paralelas. a 2 b 2 (fβ) Rebatimento de um plano definido por duas rectas horizontais utilizando uma delas como charneira a 1 Aqui temos como charneira a recta b, por onde se passa o plano horizontal β sobre o qual rebate a recta a, que fica, obviamente, paralela à b. P R b 1 chb R a R (t 2 ) a R // b R P R (fπ) (t 2 ) Rebatimento de um plano definido por duas rectas de topo utilizando uma delas como charneira Neste caso utilizase como charneira a recta t, por onde se passa o plano horizontal π sobre o qual rebate a recta t, que fica paralela à outra. t 1 t R t R // t R t 1 t R R 2 m 2 n 2 (fω) R 1 R R m 1 n 1 chn R Rebatimento de um plano definido por duas rectas frontohorizontais utilizando uma delas como charneira Neste caso a recta n é a charneira, passando por ela o plano horizontal ω sobre o qual vai rebater a recta m que, rebatida, continua frontohorizontal. m R // n R R R m R Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 15

Rotação de rectas e de segmentos de recta Com as rotações alterase a posição das figuras geométricas, rodandoas em torno de eios verticais ou de topo. Por norma, no caso dos segmentos de recta, passase o eio por um etremo e rodase o outro; no caso das rectas passase por um dos seus pontos e rodase um outro. Nos eemplos mostrados partese da posição oblíqua, mas podese partir doutras posições. e 2 e 2 r 2 A r2 r r2 A r2 B 2 B r2 B 2 B r2 r 1 B 1(e 1)B r1 A r1 r r1 B 1(e 1)B r1 A r1 Rodar a recta e o segmento de recta oblíquos para frontais Nestas rotações utilizase o eio vertical contendo o ponto B. O ponto A roda até ao afastamento do do B. A projecção horizontal de A roda com o compasso, a frontal deslocase paralela ao eio. C 2 C 2 s 2 D 2(e 2)D r2 C r2 s r2 D 2(e 2)D r2 C r2 C 1 C r1 C 1 C r1 s 1 s r1 D 1 D r1 D 1 D r1 e 1 e 1 Rodar a recta e o segmento de recta oblíquos para horizontais Este caso é o inverso do anterior. Passando um eio de topo pelo pondo D fazse rodar o ponto C até ficar com a cota do D. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 16

A primeira situação aqui apresentada resolvese também apenas com uma rotação, na segunda já é necessário aplicar duas. e 2 s r2 s r1 e 2 s r2 s r1 s 2 E 2 E r2 E 2 E r2 F 2 F r2 F 2 F r2 s 1 E 1 E 1 F1(e1)Fr1 F 1(e 1)F r1 E r1 E r1 Rodar a recta e o segmento de recta oblíquos para de perfil Aqui o eio contém o ponto F, fazendose rodar o ponto E até à abcissa do outro. Para estas situações é indiferente utilizar um eio vertical ou de topo. C 2 e 2 D 2(e 2)D r2 C r2 C r 2 D r 2 C 1 Cr1(e 1)Cr 1 D r 1 D 1 D r1 e 1 Rodar o segmento de recta oblíquo para frontohorizontal Aqui é necessário aplicar duas rotações. Primeiro colocouse o segmento na posição intermédia horizontal, utilizando um eio de topo; depois colocouse na posição final, com um eio vertical. A posição intermédia será frontal se se fizer a primeira rotação com um eio vertical. Utilizando uma recta o procedimento é idêntico. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 17

Aqui mostramse outros casos onde se aplicam duas rotações. No primeiro mostrase uma recta, no segundo, um segmento de recta. e 2 B r 2 s 2 Ar2(e 2)Ar 2 s r2 Rodar a recta oblíqua para vertical s 1 B 2 B r2 B1(e1)Br1 A r1 (s r 1 ) A primeira rotação consiste em colocar a recta na posição frontal, com um eio vertical; na segunda, para o colocar vertical, utilizase um eio de topo. A aplicação dos eios tem de ser feita pela ordem referida. O processo seria idêntico caso se tratasse de um segmento de recta. s r1 e 1 r r 2 C 2 e 2 Rodar o segmento de recta oblíquo para de topo A primeira rotação consiste em colocar o segmento de recta na posição horizontal, com um eio de topo; na segunda, para o colocar de topo, utilizase um eio vertical. A utilização dos eios tem de ser feita pela ordem referida. O processo seria idêntico caso se tratasse de uma recta. C 1 D2(e2)Dr2 C r2c r 2D r 2 C r1(e 1)C r 1 D 1 D r1 e 1 D r 1 Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 18

Aqui mostramse casos em que o eio cruza um ponto intermédio ou fora do segmento de recta, assim como outros em que o eio é enviesado com a recta. A r2 C 2 e 2 D 2 P r2 B r2 B 2 Cr2 D r2 S2(e2)Sr2 S 1 S r1 B r1 P1(e1)Pr1 A r1 D r1 D 1 B 1 C r1 C 1 e 1 Rodar segmentos de recta para uma coordenada específica No primeiro caso rodase o segmento de recta para o valor de afastamento do ponto P, situado entre os etremos A e B. No segundo caso, o valor de cota pretendido fica fora do segmento de recta [CD], pelo que cruza o eio no ponto S numa linha que o prolonga. O eio terá o afastamento ou a cota pretendidos. s r2 P r2 Q r2 s 2 Q 2 (e 2 ) s 2 (e 2 ) s r2 K 2 L r2 L 2 K r2 Q 1 Pr1 Q r1 s 1 K 1 L 1 K r1 L r1 s r1 s 1 s r1 e 1 e 1 Rodar rectas com eios que não as cruzam À esquerda rodase uma recta oblíqua para horizontal utilizando o ponto P, que se obtém com uma perpendicular a partir de (e 2 ). Para que a recta resulte horizontal, a rotação desse ponto termina no alinhamento do eio; rodase também o ponto Q, que mantém a distância que vai dele ao P na projecção frontal. À direita a mesma recta é rodada 110º, pelo que os pontos utilizados rodam ambos esse valor. Aqui a recta mantémse oblíqua. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 19

Rotação de planos Para rodar planos utilizamse também eios verticais e de topo. Nos eemplos que se vão mostrar partese sempre do plano oblíquo. Os desta página resolvemse com recurso a uma só rotação. O eio, ao cruzarse com o plano, intersectao num ponto que é fio durante a rotação. O traço que se pretende rodar roda com ajuda de um segmento de recta que lhe é perpendicular. n 2 I 2 F 2 Rodar o plano oblíquo para de topo hπ r fπ r e 2 (e 1 ) F 1 hπ fπ O eio vertical cruza o plano no ponto I. A recta horizontal serve para determinar esse ponto. O segmento de recta perpendicular a hπ é rodado até à posição em que hπ r fica perpendicular ao eio. Uma vez que o plano de topo é projectante, o traço fπ r passa por I 2, ponto que se mantém fio na rotação. n 1 fπ fπ R Rodar o plano oblíquo para vertical (e 2 )I 2 Aqui procedese de modo idêntico ao anterior, mas utilizando um eio de topo que faz rodar o plano até à posição desejada. O traço frontal do plano é rodado até ficar perpendicular ao eio. Utilizase uma recta frontal para determinar o ponto I. Em qualquer casos, é indiferente essa recta ser horizontal ou frontal. f 1 f 2 H 2 H 1 F 2 fπ r hπ e 1 hπ R r 2 n 2 I 2 F 2 Rodar o plano oblíquo para de rampa F 1 r 1 n 1 e 2 F 1 (e 1 ) H 2 fπ H 1 Para que o plano fique de rampa é indiferente utilizar um eio vertical ou de topo. Neste caso utilizouse um eio vertical. A rotação do traço horizontal do plano terminou quando este ficou paralelo ao eio. Automaticamente, o outro traço ficou também paralelo ao eio. Após a obtenção do traço hπ r foi necessário traçar uma recta oblíqua (concorrente com o ponto fio I, que é fio), por cujo traço frontal passa o traço fπ r. hπ r hπ Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 20

Para alterar o plano oblíquo para horizontal, frontal ou de perfil são necessárias duas rotações. São esses os casos que se mostram aqui. De reparar que os dois primeiros eercícios são idênticos, na primeira rotação, aos primeiros da página anterior. (fπ r ) fπ r (e 2 ) hπ r F 2 I 2 e 2 F 1 n 1 (e 1 ) hπ n 2 fπ Rodar o plano oblíquo para horizontal Depois de alterar o plano oblíquo para de topo (ver pág. anterior) aplicouse um eio de topo. Em torno desse eio rodase o plano até à posição horizontal. Como o eio e o plano de topo são paralelos não eiste ponto de intersecção. Na posição final o traço horizontal desaparece. e 1 fπ R Rodar o plano oblíquo para frontal Primeiro alterase o plano para a posição intermédia vertical (ver página anterior). Após isso rodase para a posição frontal utilizando um eio vertical. Na posição final o traço frontal desaparece. e 2 (e 1 ) (e 2 )I 2 f 2 H 2 H 1 fπ f 1 hπ e 1 hπ R fπ R (hπ R ) e 2 (e 1 ) (e 2 )I 2 f 2 e 1 H2 fπ hπ H 1 f 1 hπ R Rodar o plano oblíquo para de perfil A posição intermédia entre o plano oblíquo e o de perfil tanto pode ser a de topo como a vertical. Aqui colocase na posição vertical. Comparando com o caso anterior, bastou rodar o plano vertical mais 90º em torno de um eio vertical. Naturalmente, os traços do plano ficam coincidentes. hπ R fπ R Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 21

Rotação de planos definidos por rectas Mostrase aqui como se rodam planos definidos por rectas. Os casos desta página resolvemse apenas com a aplicação de uma rotação. a r2 I r2 f r2 A r2 b r2 B r2 A r1b r1(f r1) e 1 (e 2 ) f 2 b 2 I 2 a 2 f 1 b 1 B 2 B 1 Rodar um plano oblíquo para vertical Para colocar o plano oblíquo definido pelas rectas a e b para a posição vertical, rodase uma recta frontal sua para a posição vertical. Para poupar traçado utilizase um eio alinhado com I 2 na perpendicular a f 2. Na rotação, o triângulo formado pelos pontos A, B e C mantém as proporções na projecção frontal. Para colocar o plano na posição de topo utilizase um eio vertical e uma recta horizontal, que se coloca de topo. I r1 a r1 b r1 a 1 a r2 I r2 b r2 B r2 A r2 f r2 (e 2 ) f 2 B 2 Rodar um plano oblíquo para de rampa b 2 Para colocar o plano oblíquo definido pelas rectas a e b na posição de rampa, rodase uma recta frontal sua para a posição frontohorizontal. Comparese este caso com o anterior e vejase que aqui a recta f roda mais 90º. Este caso também se resolve fazendo rodar uma recta horizontal com um eio vertical. B r1 A r1 I 2 a 2 f 1 f r1 B 1 b r1 e 1 b 1 a r1 I r1 a 1 Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 22

Aqui observamse dois casos que se resolvem com a aplicação de duas rotações. A r 2 a r 2 I r 2 I r2 A r2 (e 2 ) f 2 B 2 b r 2 a r2 f r2 b 2 e 2 b r2 I 2 a 2 B r 2 B r2 A r 1 B r 1 I r 1 Ar1Br1(fr1) f 1 B 1 a r 1 b r 1 (e 1 ) e 1 b 1 I r1 a r1 b r1 a 1 Rodar um plano oblíquo para frontal Para colocar o plano oblíquo definido pelas rectas a e b na posição frontal, colocase primeiro vertical, só depois na posição pretendida. Esta situação surge na continuação do primeiro eercício da página anterior. Para colocar o plano na posição horizontal, colocase primeiro de topo. A r 2 I r 2 I r2 A r2 (e 2 ) f 2 B 2 a r2 f r2 b 2 a r 1b r 1a r 2b r 2 e 2 b r2 I 2 a 2 B r 2 B r2 A r1b r1(f r1) f 1 B 1 I r 1 (e 1 ) e 1 b 1 I r1 a 1 a r1 b r1 A r 1 B r 1 Rodar um plano oblíquo de perfil Para colocar o plano na posição de perfil, colocase primeiro vertical, só depois na posição pretendida. A segunda rotação corresponde a menos 90º que a do eercício anterior. As rectas a e b ficam ambas de perfil. Esta situação também se resolve colocando o plano na posição intermédia de topo. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 23

Mudanças de planos aplicadas a rectas e segmentos de recta No método das mudanças de planos, as figuras geométricas mantêmse inalteráveis no espaço, sendo os planos de projecção que se movem. Se se mover o plano frontal de projecção surgirá uma nova projecção frontal; movendo o plano horizontal de projecção surgirá uma nova projecção horizontal. Aqui mostrase como alterar a posição da recta e do segmento de recta oblíquos para outras posições, o que se faz utilizando dois pontos. A 4 A 4 r 4 r 2 B 4 B 4 B 2 B 2 r 1 B 1 // r 2 // [ B 2 ] B 1 Alterar a recta e o segmento de recta oblíquos para horizontais Ao colocar o eio paralelo à projecção horizontal, garantese que toda a recta e todo o segmento de recta ficam com a mesma cota. Os afastamentos dos pontos A e B serão deslocados para o novo eio, através de linhas de chamadas a ele perpendiculares. Resultam novas projecções horizontais para os pontos e para a recta e segmento de recta. De notar que está escrito ao contrário, para se marcarem os afastamentos para lá do novo eio. A distância entre e r 2 ou [ B 2 ] é indiferente, salvo se um eercício eigir uma cota precisa. A mesma posição do eio mas com escrito na posição inversa àquela em que se encontra, levaria à marcação das novas projecções para o lado de cá. Os pontos têm afastamentos positivos, que se devem manter. C 2 C 2 D 2 s 2 D 2 C 1 C 1 D 1 D 1 C 4 s 1 C 4 s 4 // [C 1 D 1 ] D 4 // s 1 D 4 Alterar a recta e o segmento de recta oblíquos para frontais Aqui procedese de modo idêntico ao anterior, mas colocando o eio paralelo à projecção horizontal da figura. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 24

_ _ Nesta página temos ainda uma situação que se resolve apenas com uma mudança de plano e outra onde são necessárias duas. Se se pretender uma recta ou um segmento de recta com uma determinada cota ou afastamento, colocase o eio de modo a garantir o valor pretendido. F 4 F 4 E 4 E 4 E 2 E 2 F 2 a 2 a 4 F 2 E 1 E 1 s 1 F 1 F 1 a 2 [E 2 F 2 ] Alterar a recta e o segmento de recta oblíquos para de perfil Aqui colocouse o novo eio na perpendicular à projecção frontal da figura, mas podese também colocar na perpendicular à horizontal. Deslocando as projecções horizontais dos pontos E e F obtémse uma nova projecção horizontal das figuras. G 2 b 2 H 2 Alterar a recta oblíqua para frontohorizontal G 4 b 4 G 1 b 1 H 4 H 1 Esta alteração obriga à utilização de duas mudanças de plano. Aqui a posição intermédia é frontal, mas poderia ser horizontal. As cotas dos pontos G 4 e H 4 são iguais às de G 2 e H 2 ; os afastamentos de G 5 e H 5 são iguais aos de G 1 e H 1. O eio é paralelo à projecção frontal da recta; o eio é paralelo à nova projecção horizontal. O processo seria idêntico caso se tratasse de um segmento de recta. G 5 b 5 H 5 // [G 1 H 1 ] // [G 4 H 4 ] Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 25

Nesta página são mostradas mais duas situações que implicam duas mudanças de planos. Nestes casos, a primeira consiste em resolver a relação de paralelismo, só depois a de perpendicularidade. Se se pretender uma recta ou segmento com uma determinada cota ou afastamento, colocase o eio de modo a garantir o valor pretendido. J 2 r 2 K 2 Alterar a recta oblíqua para vertical Esta alteração obriga à utilização de duas mudanças de plano, em que a posição intermédia tem de ser frontal. As cotas dos pontos J 4 e K 4 são iguais às de J 2 e K 2 ; os afastamentos de J 5 e K 5 são iguais aos novos afastamentos de J 1 e K 1. O eio é paralelo à projecção frontal da recta; o eio é paralelo à nova projecção horizontal. O processo seria idêntico caso se tratasse de um segmento de recta. J 4 J 1 r 1 K 1 r 4 K 4 J5K5(r5) // r 1 r 4 L 5 M 5 L 4 L 2 M 2 L 1 M 4 Alterar o segmento de recta oblíquo para de topo Aqui a posição intermédia tem de ser horizontal, pelo que o eio é paralelo a [L 2 M 2 ]. O eio é perpendicular a [L 4 M 4 ]. Os afastamentos de L 4 e M 4 são iguais aos de L 1 e M 1 ; as cotas de L 5 e M 5 são iguais às novas cotas de L 2 e M 2. O processo seria idêntico caso se tratasse de uma recta. M 1 // [L 2 M 2 ] [L 4 M 4 ] Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 26

Mudanças de planos aplicadas a planos Aqui mostramse os casos em que as posições dos planos são alteradas apenas com uma mudança de plano. Utilizase um ponto auiliar que, como se verá, é o ponto que pertence ao traço cuja posição se vai alterar. Esse ponto tem uma das projecções no cruzamento dos dois eios. fπ f π P 4 hπ Alterar o plano oblíquo para de topo Colocando o eio na perpendicular ao traço horizontal, basta mudar o ponto P, que pertence a esse traço e tem a sua projecção horizontal no ponto onde se cruzam os eios. A deslocação da projecção para P 4 fazse com o compasso, como forma de garantir que a medida se mantém. De notar que cada linha de chamada do ponto P é perpendicular a um dos eios. hπ fα fα Alterar o plano oblíquo para vertical Aqui colocase o eio na perpendicular ao traço frontal e utilizase o ponto P situado nesse traço, e cuja projecção frontal está no cruzamento dos eios. P 4 h α hα fπ P 4 Alterar o plano oblíquo para de rampa f π hπ Aqui colocouse o eio paralelo ao traço horizontal do plano. Como nos casos anteriores, o ponto P é deslocado de modo a que a sua linha de chamada fique perpendicular ao novo eio. Sendo o eio paralelo a hπ, ficará fπ também paralelo. Com o eio paralelo ao traço frontal daria resultado idêntico. // hπ Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 27

Aqui são utilizadas duas mudanças de planos para alterar o plano oblíquo para outra posição. Os dois primeiros eercícios são continuação dos da página anterior. fπ (f π) P 4 Alterar o plano oblíquo para horizontal Com o eio perpendicular a hπ, colocouse o plano na posição de topo. Com o eio paralelo ao novo traço frontal, o plano fica horizontal. Com o segundo eio, o traço horizontal do plano deia de eistir, pelo que o frontal se indica entre parêntesis. A distância do eio ao traço do plano corresponde à sua cota. hπ // (f π) hπ fα Alterar o plano oblíquo para frontal Com o eio perpendicular a fα, o plano ficou vertical. Com o eio paralelo ao novo traço horizontal, o plano fica frontal. Com o segundo eio, o traço frontal do plano deia de eistir, pelo que o horizontal se indica entre parêntesis. A distância do eio ao traço do plano corresponde ao seu afastamento. P 4 (h α) hα fα // (h α) fα fα h α P 4 Alterar o plano oblíquo para de perfil Comparese esta situação com a anterior. Aqui, após colocar o plano na posição vertical, traçouse o eio na perpendicular ao novo traço. Desse modo, o plano fica de perfil, bastando indicar a coincidência entre os seus traços. Daria resultado idêntico caso a posição intermédia fosse de topo. h αf α hα Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 28

Mudanças de planos aplicadas a planos definidos por rectas Mostrase aqui como se alteram as posições de planos definidos por rectas utilizando mudanças de planos. Os casos desta página resolvemse apenas com a aplicação de uma mudança de plano. B 2 A4B4(f4) a 4 b 4 I 4 b 2 I 2 a 2 f 2 f 1 b 1 B 1 Mudar o plano oblíquo para vertical Para colocar o plano oblíquo definido pelas rectas a e b na posição vertical, utilizase uma recta frontal do plano e colocase o eio perpendicular à sua projecção frontal. Mudando os pontos A e B essa recta fica vertical; mudando também o ponto I as rectas a e b ficam com as novas projecções horizontais coincidentes. Para colocar o plano na posição de topo será utilizada uma recta horizontal, que se coloca de topo. f 2 a 1 // f 2 I 4 b 4 B 4 a 4 f 4 Mudar o plano oblíquo para de rampa A 4 f 2 B 2 Para colocar o plano oblíquo definido pelas rectas a e b na posição de rampa, colocase paralelo à projecção frontal de uma recta frontal do plano. Na nova posição, essa recta tornase frontohorizontal, o que garante que o plano fica de rampa. Este caso também se resolve utilizando uma recta horizontal e colocando o eio paralelo à sua projecção horizontal. f 1 b 2 I 2 a 2 B 1 b 1 a 1 Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 29

Aqui observamse dois casos que se resolvem com a aplicação de duas mudanças de planos. B 5 B 2 // f 2 b 5 A 5 b 2 // I 5 a 5 A 4B 4(f 4) I 2 a 2 f 1 I 4 B 1 f 2 // a 4 b 4 a 4 b 4 b 1 a 1 Mudar o plano oblíquo para frontal Para colocar o plano definido pelas rectas a e b na posição frontal, colocase primeiro vertical. Para obter a posição pretendida colocase o eio paralelo às novas projecções horizontais das rectas e determinamse as suas novas projecções frontais. Esta situação surge na continuação do primeiro eercício da página anterior. Para colocar o plano na posição horizontal, colocase primeiro de topo com recurso a uma recta horizontal. B 2 f 2 f 2 a 4 b 4 b 2 A 4 B 4 (f 4 ) I 2 a 2 C 2 C 4 f 1 I 4 B 1 b 1 A 5 C 5 a 4 b 4 a 5 b 5 a 1 I 5 Mudar o plano oblíquo para de perfil Para colocar o plano na posição de perfil, colocase primeiro vertical. Para obter a posição pretendida colocase o eio perpendicular às novas projecções frontais. Assim, as rectas a e b ficam ambas de perfil. Como a nova cota do ponto B não cabe no espaço disponível, mudouse o ponto C, da mesma recta, com cota igual à do A. Esta situação também se resolve colocando o plano na posição intermédia de topo. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 30

Métodos geométricos auiliares Eercícios Rebatimento de planos projectantes Rebatimento de planos não projectantes 1. Representar o plano e o segmento de recta que lhe pertence: α, vertical, que cruza o eio num ponto com 2cm de abcissa e faz 55ºae; segmento de recta cujos etremos são os pontos A(1;2) e B(4;1). Determinar o rebatimento do plano e do segmento: a) sobre o PFP; b) sobre o PHP. 2. Representar o plano e a recta que lhe pertence: α, do eercício anterior; p, recta passante cuja projecção frontal faz 60ºae. Determinar o rebatimento do plano e da recta. 3. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: α, do eercício 1; n, recta horizontal com 3cm de cota; v, recta vertical com 3cm de afastamento. Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 4. Representar o plano e o segmento de recta que lhe pertence: θ, de topo, que cruza o eio num ponto com 3cm de abcissa e faz 40ºad; segmento de recta cujos etremos são os pontos C(1;3) e D(4;2). Determinar o rebatimento do plano e do segmento: a) sobre o PHP; b) sobre o PFP. 5. Representar o plano e a recta que lhe pertence: θ, do eercício anterior; r, paralela ao β 2/4, cujo traço horizontal tem 4cm de afastamento. Determinar o rebatimento do plano e da recta. 6. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: θ, do eercício 5; t, de topo, com 2cm de cota; s, do β 2/4. Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 7. Representar o plano e o segmento de recta que lhe pertence: ρ, de perfil, com 1cm de abcissa; segmento de recta cujos etremos são os pontos E(1,5;1,5) e F(2;4). Determinar o rebatimento do plano e do segmento. 8. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: ρ, do eercício anterior; p, de perfil, cujos traços são H(5;0) e F(0;2); v, vertical, com 3cm de afastamento; Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 9. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: ψ, que cruza o eio num ponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 35ºad e 50ºad, respectivamente; n, horizontal, com 3cm de cota; f, frontal, com 2cm de afastamento. Determinar o rebatimento do plano e das rectas: a) sobre o PHP; b) sobre o PFP. 10. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: ψ, do eercício anterior; p, de perfil, com abcissa nula; n, horizontal, com 2cm de cota; Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 11. Representar o plano e o segmento de recta que lhe pertence: ψ, do eercício 9; segmento de recta cujos etremos são os pontos G(1;2) e H(3;5); Determinar o rebatimento do plano e do segmento. 12. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: ω, que cruza o eio num ponto com 1cm de abcissa, cujos traços frontal e horizontal fazem 65ºad e 30ºae, respectivamente; p, de perfil, com 3,5cm de abcissa n, horizontal, com 4cm de cota Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 13. Representar o plano e os pontos que lhe pertencem: δ, cujos traços frontal e horizontal têm 3cm de cota e 4cm de afastamento, respectivamente; J, com abcissa nula e 3cm de afastamento; K, com 4cm de abcissa e 1cm de afastamento. Determinar o rebatimento do plano e dos pontos. 14. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: δ, do eercício anterior; p, de perfil, com 2cm de abcissa; h, frontohorizontal, com 2cm de cota. Determinar o rebatimento do plano e das rectas. 15. Representar o plano e as rectas que lhe pertencem: σ, cujos traços frontal e horizontal têm 5cm de cota e 3cm de afastamento; a, frontohorizontal, com 1,5cm de cota r, oblíqua, cujos traços frontal e horizontal têm 6cm de abcissa e 1cm de abcissa, respectivamente. Determinar o rebatimento do plano e das rectas. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 31

Rebatimento de planos definidos por rectas e por pontos 16. Representar o plano π, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;3;6): r, paralela ao β 1/3, cuja projecção frontal faz 50ºad; s, cujas projecções frontal e horizontal fazem 30ºae e 60ºae, respectivamente. Determinar o rebatimento do plano sobre: a) um plano horizontal; b) um plano frontal. 17. Representar o plano α, definido por: P(2;6;1); a, paralela ao β 2/4, que possui o ponto A(2;4;2), fazendo a sua projecção horizontal 45ºae. Determinar o rebatimento do plano sobre: a) um plano horizontal; b) um plano frontal. 18. Representar o plano θ, definido pelos pontos: A(4;1;4), B(1;5;1) e C(5;3;1). Determinar o rebatimento do plano: 19. Representar o plano ω, definido pelas rectas passantes que se cruzam no ponto I(4;6;5): a, cuja projecção frontal faz 30ºad; b, cuja projecção horizontal faz 65ºad. Determinar o rebatimento do plano: 20. Representar o plano ρ, definido por duas rectas que se cruzam no ponto I(1;4;4): c, cujas projecções frontal e horizontal fazem 45ºae e 70ºae, respectivamente; d, cujas projecções frontal e horizontal fazem 50ºad e 55ºae, respectivamente. Detrminar o rebatimento do plano. 21. Representar o plano ψ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(1;5;5): r, passante num ponto com 3cm de abcissa; s, passante num ponto com 6cm de abcissa. Determinar o rebatimento do plano. 22. Representar o plano δ definido pelas rectas: n, horizontal, com 2cm de cota, fazendo 40ºae; r, oblíqua passante, fazendo a sua projeção frontal 60ºad, sendo concorrente com a anterior no seu ponto do β 1/3. Determinar o rebatimento do plano. 23. Representar o plano σ definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(0;0;5): f, frontal, fazendo 35ºad; s, paralela ao β 2/4, fazendo a sua projecção frontal 50ºae. Determinar o rebatimento do plano. 24. Representar o plano π, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;2;2): n, horizontal, fazendo 35ºae; f, frontal, fazendo 45ºad. Determinar o rebatimento do plano. 25. Representar o plano β, definido pelas rectas: a, frontohorizontal, que contém P(4;2;3); r, oblíqua, que contém S(1;4;1), fazendo a sua pojecção frontal 35ºad. Determinar o rebatimento do plano. 26. Representar o plano α, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;2;5): h, frontohorizontal; s, paralela ao β 2/4, fazendo a sua projecção horizontal 50ºad. Determinar o rebatimento do plano. 27. Representar o plano θ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(1;2;5): a, paralela ao β 2/4, cuja projecção frontal faz 50ºad; b, cujas projecções frontal e horizontal são perpendicular e coincidente com as homónimas da recta a. Determinar o rebatimento do plano sobre: a) um plano horizontal; b) um plano frontal. 28. Representar o plano ω, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(4;5;1): k, paralela ao β 2/4, cuja projecção frontal faz 60ºad; m, cuja projecção frontal coincide com a projecção homónima da outra recta, fazendo a horizontal 40ºae. Determinar o rebatimento do plano. 29. Representar o plano ρ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;4;3): t, de topo; r, oblíqua, passante num ponto com 5cm de abcissa. Determinar o rebatimento do plano. 30. Representar o plano ψ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;3;3): v, vertical; s, oblíqua do β 2/4, passante num ponto com 3cm de abcissa. Determinar o rebatimento do plano. 31. Representar o plano δ, definido pelas rectas: p, que contém A(2;1;5) e B(2;6;2); r, que contém A e C(1;3;3). Determinar o rebatimento do plano. 32. Representar o plano σ, definido pelas rectas: a, que contém H(4;4;0) e J(2;1;5); b, que contém K(5;2;5) e é paralela a a. Determinar o rebatimento do plano. 33. Representar o plano π, definido pelas rectas: n, que contém A(0;1;3) e B(4;4;4); m, paralela a n contendo C(3;3;2). Determinar o rebatimento do plano. 34. Representar o plano α, definido pelas rectas: h, frontohorizontal que contém P(4;0;5); u, paralela a h contendo R(1;3;3). Determinar o rebatimento do plano. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 32

Rotações de segmentos de recta e rectas 35. Representar o segmento de recta [AB] e rodálo para horizontal. A(0;4;3); B(4;0;5) 36. Representar o segmento de recta [AB] do eercício anterior e rodálo para horizontal com 2cm de cota. 37. Representar o segmento de recta [AB] do eercício 35 e rodálo para frontal. 38. Representar o segmento de recta [AB] do eercício 35 e rodálo para frontal com 3cm de afastamento. 39. Representar o segmento de recta [CD] e rodálo para de perfil. C(1;4;5); D(5;1;3) 40. Representar o segmento de recta [CD] do eercício anterior e rodálo para frontohorizontal. 41. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 39 e rodálo para frontohorizontal com 2cm de afastamento e 1,5cm de cota. 42. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 39 e rodálo para de topo. 43. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 39 e rodálo para vertical com 3cm de afastamento. 44. Representar a recta r que contém o ponto E(4;4;3) e é paralela ao β 2/4, fazendo a sua projecção frontal 35ºad. Rodála para frontal com 2cm de afastamento. 45. Representar a recta r do eercício anterior e rodála para horizontal utilizando um eio enviesado. 46. Representar a recta r do eercício 44 e rodála para de perfil. 47. Representar a recta r do eercício 44 e rodála para frontohorizontal do β 1/3, com 4cm de cota. 48. Representar a recta s, passante no ponto de abcissa nula, fazendo as suas projecções frontal e horizontal 30ºae e 45ºae, respectivamente. Rodála para vertical com 3cm de afastamento. 49. Representar a recta s do eercício anterior e rodála para de topo com 2cm de cota. 50. Representar a recta s do eercício 48 e rodála de modo a que coincida com o eio. 51. Representar a recta s do eercício 48 e rodála 90º com um eio enviesado. 52. Representar a recta s do eercício 48 e rodála para de perfil perpendicular ao β 1/3. Rotações de planos 53. Representar o plano α, cujos traços frontal e horizontal fazem 60ºad e 30ºae, respectivamente. Rodar esse plano para a posição de topo. 54. Representar o plano α do eercício anterior e rodálo para a posição vertical. 55. Representar o plano α do eercício 53 e rodálo para a posição de rampa. 56. Representar o plano π, cujos traços frontal e horizontal fazem 40ºae e 55ºae, respectivamente. Rodar esse plano para a posição horizontal. 57. Representar o plano π do eercício anterior e rodálo para a posição frontal. 58. Representar o plano π do eercício 56 e rodálo para a posição de perfil. 59. Representar o plano θ, perpendicular ao β 2/4, cujo traço frontal faz 50ºae. Rodar esse plano para a posição de rampa. 60. Representar o plano θ do eercício anterior e rodálo para a posição de perfil. Rotações de planos definidos por rectas e por pontos 61. Representar o plano ρ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;2;1): r, paralela ao β 1/3, fazendo a sua projecção frontal 55ºae; s, cujas projecções frontal e horizontal fazem 45ºad e 25ºad, respectivamente. Rodar esse plano para a posição de topo. 62. Representar o plano ρ do eercício anterior e rodálo para a posição vertical. 63. Representar o plano ρ do eercício 61 e rodálo para a posição de rampa. 64. Representar o plano ω, definido pelos pontos P(4;3;4), Q(2;6;6) e R(2;0;3). Rodar esse plano para a posição horizontal. 65. Representar o plano ω do eercício anterior e rodálo para a posição frontal com afastamento negativo. 66. Representar o plano ω do eercício 64 e rodálo para a posição de perfil. 67. Representar o plano ψ, definido pela recta d ψ, que contém o ponto D(2;3;4) cujas projecções frontal e horizontal fazem 60ºad e 45ºae, respectivamente. Rodar esse plano para a posição horizontal. 68. Representar o plano ψ do eercício anterior e rodálo para a posição de perfil. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 33

Mudanças de planos aplicadas a segmentos de recta e rectas 69. Representar o segmento de recta [AB] e mudálo para horizontal com 2cm de cota. A(0;4;3); B(4;0;5) 70. Representar o segmento de recta [AB] do eercício 69 e mudálo para frontal com 3cm de afastamento. 71. Representar o segmento de recta [CD] e mudálo para de perfil. C(1;4;5); D(5;1;3) 72. Representar o segmento de recta [CD] do eercício anterior e mudálo para frontohorizontal. 73. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 71 e mudálo para frontohorizontal com 2cm de afastamento e 1,5cm de cota. 74. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 71 e mudálo para de topo. 75. Representar o segmento de recta [CD] do eercício 71 e mudálo para vertical com 3cm de afastamento. 76. Representar a recta r que contém o ponto E(4;4;3) e é paralela ao β 2/4, fazendo a sua projecção frontal 35ºad. Mudála para frontal com 2cm de afastamento. 77. Representar a recta r do eercício 76 e mudála para de perfil. 78. Representar a recta r do eercício 76 e mudála para frontohorizontal do β 1/3, com 2,5cm de cota. 79. Representar a recta s, passante no ponto de abcissa nula, fazendo as suas projecções frontal e horizontal 30ºae e 45ºae, respectivamente. Mudála para vertical com 3cm de afastamento. 80. Representar a recta s do eercício anterior e mudála para de topo com 2cm de cota. 81. Representar a recta s do eercício 79 e mudála de modo a que coincida com o eio. 82. Representar a recta s do eercício 79 e mudála para de perfil perpendicular ao β 1/3. Mudanças de planos aplicadas a planos 83. Representar o plano α, cujos traços frontal e horizontal fazem 60ºad e 30ºae, respectivamente. Mudar esse plano para a posição de topo. 84. Representar o plano α do eercício anterior e mudálo para a posição vertical. 85. Representar o plano α do eercício 83 e mudálo para a posição de rampa. 86. Representar o plano π, cujos traços frontal e horizontal fazem 40ºae e 55ºae, respectivamente. Mudar esse plano para a posição horizontal. 87. Representar o plano π do eercício anterior e mudálo para a posição frontal. 88. Representar o plano π do eercício 86 e mudálo para a posição de perfil. 89. Representar o plano θ, perpendicular ao β 2/4, cujo traço frontal faz 50ºae. Mudar esse plano para a posição de rampa. 90. Representar o plano θ do eercício anterior e mudálo para a posição de perfil. Mudanças de planos aplicadas a planos definidos por rectas 91. Representar o plano ρ, definido pelas rectas que se cruzam no ponto I(2;2;1): r, paralela ao β 1/3, fazendo a sua projecção frontal 55ºae; s, cujas projecções frontal e horizontal fazem 45ºad e 25ºad, respectivamente. Mudar esse plano para a posição de topo. 92. Representar o plano ρ do eercício anterior e mudálo para a posição vertical. 93. Representar o plano ρ do eercício 91 e mudálo para a posição de rampa. 94. Representar o plano ω, definido pelos pontos P(4;3;4), Q(2;6;6) e R(2;0;3). Mudar esse plano para a posição horizontal. 95. Representar o plano ω do eercício anterior e mudálo para a posição frontal com afastamento negativo. 96. Representar o plano ω do eercício 94 e mudálo para a posição de perfil. 97. Representar o plano ψ, definido pela recta d ψ, que contém o ponto D(2;3;4) cujas projecções frontal e horizontal fazem 60ºad e 45ºae, respectivamente. Mudar esse plano para a posição horizontal. 98. Representar o plano ψ do eercício anterior e mudálo para a posição de perfil. Manual de Geometria Descritiva António Galrinho Métodos geométricos auiliares 34