Números naturais e cardinalidade

Números naturais e cardinalidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 5 de Janeiro de 2008 Resumo 1 Axiomas de Peano e o princípio da indução Intuitivamente, o conjunto N dos números naturais corresponde aos números 1, 2, 3,.... Os chamados axiomas de Peano descrevem as propriedades fundamentais destes números em termos abstratos, através de três propriedades intuitivas básicas. 1. Existência de sucessor: todo elemento n N tem um sucessor, chamado provisoriamente de s(n). Dois elementos distintos de N têm sucessores também distintos. [Isto implica que a função s : N N que leva cada natural em seu sucessor é injetiva.] 2. Existência de um primeiro elemento. Existe um elemento de N, chamado de 1, tal que 1 s(n) para todo n N (isto é, 1 não é o sucessor de número algum em N). 3. Princípio da indução: seja X N um subconjunto tal que 1 X e s(n) X para todo n X. Então X = N. O último axioma é o de mais difícil compreensão. Um exemplo do seu uso é dado logo a seguir. Teorema 1. Para todo n N, s(n) n. IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040. rimfo@impa.br 1

Prova: Seja X = {n N : s(n) n}. Veja que X é um subconjunto de N. axioma 3. 1. 1 X, já que, pelo segundo axioma, 1 s(1). Provaremos que X = N usando o 2. Se n X, então s(n) n. Como s é injetiva, para todos x, y N com x y tem-se s(x) s(y). Em particular, para n X como acima, vê-se que s(s(n)) s(n) (tome x = s(n), y = n). Donde concluímos que s(n) X. Portanto, s(n) X para qualquer n X. 2 Soma, produto e ordem Agora mostramos como as operações básicas sobre os naturais podem ser definidas a partir dos axiomas. Começamos com a adição. Ela é uma operação que leva um par de números na sua soma, portanto é uma função de N N em N: soma : N N N. Fato 1. Existe uma única função soma como acima tal que para todo p N: soma(p, 1) = s(p); e seja n N. Então soma(p, s(n)) = s(soma(p, n)). Fato 2. Existe uma única função prod : N N N tal que para todo p N: prod(p, 1) = p; e Seja n N. Então prod(p, s(n)) = soma(prod(p, n), p). Em geral escreveremos p + n no lugar de soma(p, n) e pn ou p.n no lugar de prod(p, n). Os seguintes fatos são essenciais. Teorema 2 (Associatividade da soma). Para todos p, q, r N, soma(soma(p, q), r) = soma(p, soma(q, r)). Ou seja, (p + q) + r = p + (q + r). 2

Prova: Fixe p, q N. Mostraremos que o conjunto X = X p,q {r N : (p + q) + r = p + (q + r)} é igual a N. Como p, q são arbitrários, isto prova o teorema. Note primeiro que 1 X, já que, usando as duas propriedades da soma (a primeira, a segunda e a primeira nesta ordem): soma(soma(p, q), 1) = s(soma(p, q)) = soma(p, s(q)) = soma(p, soma(q, 1)). Provaremos agora que n X implica que s(n) X; deste modo, X = N seguirá por indução. Veja que se n X, então soma(soma(p, q), n) = soma(p, soma(q, n)). Tomando o sucessor dos dois lados da igualdade, s(soma(soma(p, q), n)) = s(soma(p, soma(q, n))). (1) Note agora que, pela segunda propriedade da soma, o lado esquerdo de (1) é igual a soma(soma(p, q), s(n)), enquanto o lado direito é igual a soma(p, s(soma(q, n))) = soma(p, soma(q, s(n))) onde a igualdade decorre da prop. 2 da soma usada mais uma vez. Segue que: soma(soma(p, q), s(n)) = soma(p, soma(q, s(n))), logo s(n) X, como desejado. Teorema 3 (Comutatividade da soma). Para todos m, n N, m + n = n + m. Prova: Fixe um n N e defina o conjunto dos elementos de N que comutam com n. C n {m N : m + n = n + m}. Nosso objetivo é provar que C n = N para todo n N. Primeiro provaremos que 1 C n para todo n, o que equivale a provar que C 1 = N. Para isso, usaremos indução. Veja que 1 C 1 trivialmente, já que 1 + 1 = 1 + 1. 3

Seja agora n C 1 ; provaremos que s(n) C 1 (donde seguirá C 1 = N). Veja que 1 + n = n + 1 (pois n C 1 ), logo s(1 + n) = s(n + 1) = n + s(1) pela primeira propriedade da soma. Além disso, s(1 + n) = 1 + s(n), pela segunda propriedade. Unindo as duas igualdades, temos 1+s(n) = n+s(1). Mas note que n+s(1) = n+(1+1) = (n+1)+1 por associatividade, e como (n + 1) = s(n), temos n + s(1) = s(n) + 1. Segue, portanto, que s(n) C 1, como queríamos demonstrar. A partir do que provamos, o princípio da indução mostra que C 1 = N. Agora mostraremos que, dado um n N fixo, temos C n = N. Novamente usaremos indução, notando que 1 C n segue do que vimos acima. Agora note que, se m C n, temos (pela segunda prop. da soma): n + s(m) = s(n + m) = s(m + n) (já que m C n ) = m + s(n). Além disso, m + s(n) = m + (n + 1) = m + (1 + n), já que 1 + n = n + 1 (ou seja, n C 1, provado acima). Por sua vez a associatividade implica que m + (1 + n) = (m + 1) + n = s(m) + n. Deduzimos que n + s(m) = s(m) + n (isto é, s(m) C n ) sempre que m C n. Como 1 C n N, o princípio da indução implica que C n = N, como desejado. O Exercício 1 abaixo prova que: Proposição 4. Também valem a comutatividade e associatividade da multiplicação, assim como a distributividade. 3 Ordem Definimos o que chamamos de ordem. Definição 5 (Ordem). Se n, m N, dizemos que n < m (ou equivalentemente m > n) se existe algum p N tal que m = n + p. Proposição 6. [1 é menor que qualquer outro natural] Para todo n N, ou 1 = n ou 1 < n. Prova: Seja X o seguinte subconjunto de N: X = {n N : n = 1 ou 1 < n}. Provaremos que X = N por indução. De fato, 1 X já que 1 = 1. Além disso, se n X, temos duas alternativas: 4

1. A primeira alternativa é n 1. Neste caso, 1 < n, já que n X. Deste modo, existe p N tal que 1 + p = n. Pelas regras da soma, vemos que s(n) = s(1 + p) = 1 + s(p), logo existe um elemento p = s(p) N tal que s(n) = 1 + s(p). Daí se deduz que se n X e n 1, s(n) > 1, logo s(n) X. 2. A segunda alternativa é n = 1. Neste caso, pelas propriedades da soma s(1) = 1 + 1 e como acima vê-se que s(1) X. Obviamente, se n X, n = 1 ou n 1. Nos dois casos, vimos que s(n) X. Logo n X, s(n) X. Como 1 X, o Princípio da Indução mostra que X = N, como queríamos demonstrar. Observação 7. A demonstração acima lista todas as possibilidades para n X e prova a afirmação desejada em cada um dos casos. Esta técnica chama-se análise de casos e é extremamente útil, embora algo cansativa. Proposição 8 (Cancelamento). Sejam dados quatro números a, b, c, d N. Então a = b é equivalente a a + c = b + c e a ad = bd. Do mesmo modo, a < b equivale a a + c < b + c e a ad < bd. Prova: Provaremos apenas a equivalência entre a = b e a + c = b + c. O resto fica como exercício. Seja H = {c N : a, b N a + c = b + c a = b }. Provaremos que H = N pelo princípio da indução. 1 H porque para quaisquer a, b N, a + 1 = b + 1 equivale a s(a) = s(b) ; e como pelos axiomas de Peano, naturais distintos têm sucessores distintos, vê-se que s(a) = s(b) é equivalente a a = b. Donde concluímos que a = b equivale a a + 1 = b + 1, isto é, 1 H. Agora veja que se c H, para todos a, b N, a+c = b+c s(a+c) = s(b+c) (s é injetiva) a+s(c) = b+s(c) (prop. 2 da soma). Em particular, a + s(c) = b + s(c) a + c = b + c a = b onde a segunda equivalência corresponde ao fato que c H. Deduzimos que c H s(c) H, o que, junto com o resultado do parágrafo anterior, implica que H = N. 5

Proposição 9 (Transitividade da ordem). Se a, b, c N satisfazem a < b e b < c, então a < c. Prova: Se a, b, c são como acima, existem p 1, p 2 N com b = a + p 1, c = b + p 2. Deduzimos que: c = (a+p 1 )+p 2 = a+(p 1 +p 2 ) (por assoc.) = a+p, onde p p 1 +p 2 N. Donde a < c, como desejado. Proposição 10 (Tricotomia da ordem). Se a, b N, então há exatamente três possibilidades possíveis e mutuamente excludentes: a < b, a = b ou a > b. Prova: Chame a de tricotômico se para todo b N a tricotomia acima se verifica. Provaremos por indução que T = N. Prova de que 1 T : para todo b N temos a dicotomia fundamental: ou b = 1, ou b 1. O segundo caso implica que b > 1. Logo a tricotomia não vale se e somente se b > 1 b 1, pois neste caso ou b = 1, ou b > 1 é uma dicotomia equivalente á anterior. Mas veja que b > 1 implica que 1 + p = b para algum p N, logo b = p + 1 = s(p) para o mesmo p. Portanto, b é o sucessor de p, o que implica (pelos axiomas de Peano) que b 1. Prova de n T, s(n) T : Seja n T. Tome b N. Se b = 1, sabemos pelos axiomas que s(n) 1, logo s(n) > b sempre e esta é a única possibilidade. Se b 1, então b = s(c) = c + 1 para algum c N (também pelos axiomas). Pelas propriedade de cancelamento, vemos que b < n + 1, b = n + 1 e b > n + 1 são respectivamente equivalentes a c < n, c = n e c > n. Como n T, estas três últimas possibilidades são tricotômicas, de modo que b < n + 1, b = n + 1 e b > n + 1 também o são. Donde deduzimos que s(n) = n + 1 T também. 4 A segunda forma da indução Antes de prosseguir, provaremos uma forma modificada da propriedade de indução, que usaremos posteriormente. Teorema 11 (Segunda forma da indução). Seja X N um subconjunto de N com 1 X e i N, se j X para todo j i, então i + 1 X. 6

Então X = N. Prova: Considere X como acima. Seja Y = {n N : x n, x X}. Note que N X Y. Provaremos pela indução tradicional que de fato Y = N (em particular, X = Y = N). Veja que 1 Y, já que todo x N com x 1 é igual a 1, e além disso 1 X. Agora suponha que n Y. Veja que então j n, j X, de modo que, por hipótese, n + 1 = s(n) X. Para mostrar que s(n) Y, basta ver que todo x < n também está em x. Para isto, consideramos dois casos: 1. se x = 1, então x X por hipótese; 2. se x > 1, então x = a + 1 para algum a N (isto é, x é o sucessor de algum a) e além disso, como x < n+1, temos x+p = n+1 para algum p N. Vemos que (usando assoc., comut, assoc e cancelamento) n+1 = x+p = (a+1)+p = a+(1+p) = a+(p+1) = (a+p)+1 n = a+p n > a. Deste modo, usando um exercício abaixo, sabemos que ou n > a + 1 = x, ou n = x. De qualquer maneira, vê-se que x n e, como n Y, x X. Deduzimos que n Y implica x X para todo x s(n), logo s(n) Y. 5 O mínimo de um conjunto Proposição 12 (Existência do elemento mínimo). Todo subconjunto nãovazio X de N possui um único elemento x = min X, chamado de elemento mínimo, tal que para todo y X\{x}, tem-se y > x. Prova: Defina: R {z N : X N z X!x X : y X\{x}, x < y }. Provaremos pela segunda forma da indução que R = N, o que implica o teorema. Veja que 1 R: se X contem 1, então min X = 1 é o único min de X: qualquer outro elemento de X é maior que 1, como vimos acima. Suponha agora que n N é tal que para todo a n, a R. Provaremos que n + 1 N. Para isto, basta mostrar que qualquer conjunto X N contendo n + 1 tem um único mínimo. Seja então X como acima. Temos duas possibilidades: 7

1. Existe a < n + 1 contido em X. Neste caso, pelo Exercício 2, a n, logo a R por hipótese da indução. Como a X, isto significa que!x X : y X\{x}, x < y, como desejado. 2. Para todo a X, a n + 1. Mas então todo y X\{n + 1} é diferente de n + 1 e não é menor que ele, donde (tricotomia) é maior: y > n + 1. Concluímos que neste caso x = n + 1 é o mínimo de X, com as propriedades desejadas. Logo n + 1 R sempre que j R para todo j n. Portanto, R = N, como desejado. 6 Cardinalidade de conjuntos finitos Os seguintes conjuntos são fundamentais para a contagem de elementos de outros conjuntos. Definição 13. Se n N, chamamos de [n] ou I n o seguinte conjunto: I n = [n] {m N : m n}. Proposição 14 (Ordem e conjuntos). Para n, m N, n m se e somente se [n] [m]. Se n < m, então [n] [m] mas [n] [m]. Prova: Exercício simples. Definição 15. Dizemos que um conjunto não-vazio X é finito se existe uma função injetiva f k : X [k] para algum k N. Seja U X N o conjunto de todos os k N para os quais existe uma f k deste tipo (U X se X é finito). Chamamos min U X de número de elementos (ou cardinalidade) de X (#X ou card(x)). Se X não é finito, é dito infinito. Note que # ainda não foi definida (deveria ser 0, claro, mas este número ainda não nos foi apresentado). Proposição 16. Sejam X, Y conjuntos finitos. Se há uma injeção de X em Y, então #X #Y. Se há uma sobrejeção, #X #Y. Se há uma bijeção, #X = #Y. Prova: Primeira afirmação: Seja ψ : X Y uma injeção e k = #Y. Sabemos que existe uma injeção f : Y [k]. A compisição g = f ψ é uma injeção de X em [k], logo #X k. 8

Segunda afirmação: Seja η : X Y uma sobrejeção e f : X [k] uma injeção, onde k = #X. Isto significa que para todo y Y, S y {i [k] : x X f(x) = i η(x) = y }. é não vazio, já que existe algum x com η(x) = y. Defina: α : Y [k] y α(y) min S y. Note que isto está bem definido porque S y é um subconjunto de N. Provaremos que α é uma injeção, de modo que #Y k = #X c.q.d. De fato, sejam y, z Y com α(y) = α(z). Então S y S z, já que os dois conjuntos têm o mesmo mínimo. Isto implica que existe algum x X com η(x) = y e η(x) = z, donde vemos que y = z. Provamos, portanto, que ou seja, α é injetiva. y, z Y α(z) = α(y) z = y, Terceira afirmação: Se há uma bijeção h : X Y, então h é injetiva e sobrejetiva, logo #X #Y e #X #Y. Dito de outro modo, #X #Y e #X #Y. Deduzimos da tricotomia da ordem que #X = #Y. Proposição 17. Suponha que A [n] é não vazio mas A [n]. Então #A < n. Prova: Note (exercício) que n > 1. Logo existe m N com n = m + 1. Seja agora v um elemento de [n]\a (ele existe porque sabemos que A [n], logo [n]\a ). Seja g : [n] [n] y, y {v, n}; y v, y = n; n, y = v. Ou seja, g troca v e n de lugar, mantendo todos os outros elementos de [n] parados. Note que g é bijeção de [n], logo sua restrição g A é injetiva. Além disso, a imagem de A por g está contida em [m], já que a A : a v g(a) g(v) = n g(a) [n]\{n} = [m] (por Exercício 2). De fato, Exercício 2 entra na última igualdade acima porque x N : x [n] \{n} x n x n x < n (tric.) x m (pelo ex.). Deduzimos que (exercício) g A pode ser tomada como uma função injetiva de A em [m], logo #A m < n. 9

Proposição 18. Um conjunto finito X tem cardinalidade [n] se e somente se existe uma bijeção entre X e [n]. Prova: Se: Suponha que #X = n. Neste caso, existe uma função injetiva f n : X [n]. Considere a imagem A = f(x) de X, isto é, o conjunto dos a [n] para os quais existe x X com f(x) = a. Afirmamos que A = [n], o que significa que A é sobrejetiva e portanto uma bijeção, como queremos demonstrar. De fato, suponha (para chegar a uma contradição) que A [n]. Como A [n], a Proposição 17 implica que #A < n, de modo que existe uma função injetiva g : A [m] para algum m < n. Defina então r(x) g(f(x)), para x X. r define uma função de X em [m], já que f(x) A para todo x X e g(a) [m] para todo a A. Além disso, r é injetiva, já que f e g o são. A existência de r : X [m] injetiva implica que #X m < n (transitividade), o que contradiz o fato que #X = n já que, pela tricotomia, #X < n #X n. A contradição implica que f : X [n] é sobrejetiva, logo bijetiva. Somente se: Como há uma bijeção entre X e [n], temos #X = #[n] pela Proposição 16. Logo basta mostrar que #[n] = n para todo n N. Faremos isto por indução. Seja W o conjunto dos n N satisfazendo #[n] = n. Note que 1 W (exercício). Para n W, [n] [n + 1] mas n + 1 [n] (já que n + 1 > n), de modo que n = #[n] < #[n + 1] pela Proposição 17. Além disso, #[n + 1] n + 1, já que a função u definida por u(j) = j (j [n + 1]) é injetiva. Segue que #[n + 1] n + 1 e #[n + 1] > n, donde #[n + 1] = n + 1 pelo Exercício 2. Logo n W n + 1 W. 7 Cardinalidade de conjuntos não necessariamente finitos Há uma noção de cardinalidade de conjuntos infinitos que permite que se associe algum valor a expressões como #X < #Y. Não definiremos o que é a cardinalidade de um conjunto, mas apenas comparações de cardinalidades. Definição 19. Sejam X, Y conjuntos. Diremos que #X #Y se existe uma função injetiva de X em Y. Se existe uma função sobrejetiva, diremos que #X #Y. Por fim, diremos que #X = #Y se há uma bijeção entre X e Y. Também escreveremos que #X < #Y se #X #Y e #X #Y, etc. É um fato não trivial de teoria de conjuntos que: 10

Teorema 20 (Cantor). Para quaisquer X, Y como acima: #X = #Y #X #Y #Y #X. Não provaremos este resultado no curso, mas o usaremos a seguir. Definição 21. Um conjunto não-vazio X é dito enumerável se e somente se #X = #N. Veja que todo conjunto enumerável é infinito. Definição 22. Dado um conjunto X, o conjunto das partes de X (P(X)) é o conjunto cujos elementos são os subconjuntos A X. Teorema 23. Para todo conjunto X, #P(X) > #X. Em particular, P(N) é infinito e não-enumerável. Prova: Precisamos mostrar que nenhuma função f : X P(X) é sobrejetiva, isto é: f : X P(X), A P(X), x X, f(x) A. Seja então f : X P(X) dada. Defina: A {x X : x f(x)}. Esmiuçando: sabemos que f(x) é um subconjunto de X para todo x X; botamos um dado x em A se e somente se x f(x). Isto garante a seguinte propriedade: para todo x X, x A x f(x), de modo que, em particular, A f(x) (já que A = f(x) implicaria x A x f(x)). A existência de A é exatamente o que pretendíamos demonstrar. 8 Exercícios Exercício 1. Prove alguma das seguintes propriedades: a comutatividade da multiplicação, associatividade da multiplicação e distributividade. Exercício 2. Mostre que para todos n, m N, n < m implica s(n) m. Mais ainda, se m = s(k) para algum k, então n k. 11

Exercício 3. Sejam a, b N tais que c N\{1} com a = bc. Prove que a > b. Exercício 4. Se a, b N, dizemos que a b (a divide b) se existe f N com af = b. Mostre que a a para todo a N. Prove ainda que, se a, b, c N, a divide b e b divide c, então a c. Exercício 5. Sejam 2 s(1) e 3 s(2). Mostre que 2 < 3 mas 2 não divide 3. Exercício 6. Chame p N de primo se p = 1 e os divisores de p são apenas 1 e p. Demonstre que todo n N tem um divisor primo. Exercício 7. Mostre que 2 = s(1), 3 = s(2) e 5 = s(s(3)) são primos, mas 4 = s(3) não é. Exercício 8. Mostre que para todo n, m N com n 1, n m n m+1. Exercício 9. Prove que #[1] = 1 a partir da definição de cardinalidade. Mostre também que dois conjuntos finitos X, Y têm a mesma cardinalidade se e somente se há uma bijeção entre eles. Mostre ainda que #X #Y equivale a haver uma injeção de X a Y, enquanto #X #Y é equivalente a existir uma sobrejeção. Exercício 10. Prove que se A e B são conjuntos finitos, #(A B) #A + #B. Exercício 11. Prove que N não é finito. Exercício 12. (Trabalhoso) Prove que todo conjunto infinito contem um subconjunto enumerável. 12